53206003 Apostila de Sistemas de Controle UFSM

8/6/2019 53206003 Apostila de Sistemas de Controle UFSM

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - UFSM

CENTRO DE TECNOLOGIA - CT

DEPARTAMENTO DE ELETRNICA E COMPUTAO - DELC

PROJETO REENGE - ENG. ELTRICA

CADERNO DIDTICO

DESISTEMAS DE CONTROLE 1

ELABORAO: Prof. Hlio Lees Hey, Dr. Eng.

DIGITAO: Patrick , bolsista

AGOSTO - 1997


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APOSTILA DE SISTEMAS DE CONTROLE 1

NDICE

CAPTULO 1 - GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS DE CONTROLE

1.1- INTRODUO ___________________________________________________________ I-1

1.2- DEFINIES BSICAS ___________________________________________________ I-1

1.2.1- CONTROLE EM MALHA-FECHADA E MALHA-ABERTA___________________ I-2

1.3- CLASSIFICAO DOS SISTEMAS DE CONTROLE __________________________ I-3

1.4- COMENTRIOS A RESPEITO DO CONTROLE DE UM SISTEMA _____________ I-4

CAPTULO 2 - REVISO MATEMTICA

2.1- INTRODUO ___________________________________________________________II-1

2.2- DEFINIO DE VARIVEL COMPLEXA E FUNO COMPLEXA ____________II-1

2.3- FUNES ANALTICAS __________________________________________________II-2

2.4- TEOREMA DE EULER ____________________________________________________II-22.5- TRANSFORMADA DE LAPLACE __________________________________________II-3

2.5.1- OBTENO DA TRANSF. DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNES __________II-3

a) Funo Exponencial___________________________________________________________ II-3

b) Funo Degrau ______________________________________________________________ II-4

c) Funo Rampa_______________________________________________________________ II-4

d) Funo Senoidal _____________________________________________________________ II-4

e) Funo Co-senoidal___________________________________________________________ II-5

2.5.2- TEOREMAS DA TRANSFORMADA DE LAPLACE__________________________II-6

a) Funo Transladada___________________________________________________________ II-6

b) Funo Pulso________________________________________________________________ II-7

c) Funo Impulso ______________________________________________________________ II-7

d) Multiplicao de f(t) por e-t ____________________________________________________ II-8

e) Mudana de escala de tempo____________________________________________________ II-8

f) Demonstrao do teorema da diferenciao ________________________________________ II-8g) Teorema do Valor Final ______________________________________________________ II-10


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h) Teorema do Valor Inicial______________________________________________________ II-11

2.6- TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE ________________________________ II-11

2.6.1- MTODO DE EXPANSO EM FRAES PARCIAIS_______________________II-12

DETERMINAO DOS RESDUOS ASSOCIADOS AOS PLOS _____________II-12

a) Plos Reais e Distintos _______________________________________________________ II-12

b) Plos Reais Mltiplos_______________________________________________ II-14

c) Plos Complexos Conjugados _________________________________________________ II-15

2.7- SOLUO DE EQUAES DIFERENCIAIS, LINEARES E INVARIANTES NOTEMPO ATRAVS DE T.L. ___________________________________________________II-16

CAPTULO 3 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS

3.1- INTRODUO __________________________________________________________ III-1

3.2- FUNO DE TRANSFERNCIA___________________________________________ III-1

COMENTRIOS SOBRE FUNO DE TRANSFERNCIA _______________________ III-1

3.3- DIAGRAMA DE BLOCOS ________________________________________________ III-2

- Blocos e Fluxo de Sinais _______________________________________________________ III-2- Ponto de Soma ______________________________________________________________ III-2

- Pontos de Ramificaes________________________________________________________ III-2

3.4- DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA EM MALHA FECHADA _________ III-3

3.5- SISTEMA EM MALHA-FECHADA SUJEITO A PERTURBAES_____________ III-4

3.6- REGRAS DA LGEBRA DO DIAGRAMA DE BLOCOS ______________________ III-5

3.7- GRFICOS DE FLUXO DE SINAL _________________________________________ III-6

DEFINIES DOS TERMOS USADOS EM GRF. DE FLUXO DE SINAIS __________ III-7

LGEBRA DO GRFICO DE FLUXO DE SINAIS_________________________________ III-7

3.8- FRMULA DO GANHO DE MASON _______________________________________ III-8

3.9- INTRODUO A TEORIA DE MODELOS DE VARIVEIS DE ESTADO _______ III-9

3.10- FORMA PADRO DE REPRESENTAO DO MODELO

DE VARIVEIS DE ESTADO DE UM SISTEMA________________________________III-12

3.11- OBTENO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DASEQUAES DIFERENCIAIS_________________________________________________ III-13


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3.12- OBTENO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DAFUNO DE TRANSFERNCIA _____________________________________________ III-13

3.13- OBTENO DA FUNO DE TRANSFERNCIA DE UM SISTEMA, A PARTIRDAS EQUAES DE ESTADO _______________________________________________ III-14

3.14- TRANSFORMAO DE EQUAES DE ESTADO E VARIVEIS DE ESTADOIII-15

CAPTULO 4 - MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMAS DINMICOS

4.1- INTRODUO __________________________________________________________ IV-1

4.2- MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMAS MECNICOS ________________ IV-1

- Massa _____________________________________________________________________ IV-1

- Fora ______________________________________________________________________ IV-2

- Torque_____________________________________________________________________ IV-2

- Deslocamento, Velocidade e Acelerao __________________________________________ IV-2

- Deslocamento Angular, Velocidade Angular e Acelerao Angular______________________ IV-2

LEIS DE NEWTON___________________________________________________________ IV-3

- Segunda lei de Newton (Translao) _____________________________________________ IV-3

- Segunda lei de Newton (Rotao)________________________________________________ IV-3

4.2.1- SISTEMAS MECNICOS DE TRANSLAO______________________________ IV-3- Elemento de Inrcia (Massa)____________________________________________________ IV-3

- Elemento de Amortecimento (Amortecedor) _______________________________________ IV-4

- Elemento de Elasticidade (Mola) ________________________________________________ IV-4

4.2.2- SISTEMAS MECNICOS DE ROTAO _________________________________ IV-6

- Elementos de inrcia (Momento de Inrcia) ________________________________________ IV-7

- Elemento de Amortecimento (Amortecedor) _______________________________________ IV-7

- Elemento de Elasticidade (Mola) ________________________________________________ IV-7

4.3- MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMAS ELTRICOS _________________ IV-8

4.3.1- CIRCUITO RLC________________________________________________________ IV-8

4.4- SISTEMAS ANLOGOS __________________________________________________ IV-9

4.4.1- ANALOGIA ENTRE SISTEMAS ELTRICOS E MECNICOS_______________ IV-9

a) Analogia Fora-Tenso _______________________________________________________ IV-9

b) Analogia Fora-Corrente_____________________________________________________ IV-10

4.5 - SISTEMAS ELETROMECNICOS _______________________________________ IV-11


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4.5.1- SERVOMOTORES DE CORRENTE CONTNUA __________________________ IV-11

4.5.1.1- CONTROLE PELA ARMADURA DE SERVOMOTORES CC ______________ IV-12

4.5.1.2- GERADOR CC ______________________________________________________ IV-16

4.6- TRANSFORMADORES E ENGRENAGENS ________________________________ IV-17

4.7- LINEARIZAO DE MODELOS MATEMTICOS NO-LINEARES _________ IV-18

CAPTULO 5 - AES BSICAS DE CONTROLE E CONTROLADORESAUTOMTICOS INDUSTRIAIS

5.1- AES BSICAS DE CONTROLE _________________________________________V-1

5.1.1- AO DE CONTROLE ON-OFF OU DE DUAS POSIES ___________________V-1

5.1.2- AO DE CONTROLE PROPORCIONAL__________________________________V-2

5.1.3- AO DE CONTROLE INTEGRAL _______________________________________V-2

5.1.4- AO DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL ______________________V-3

5.1.5- AO DE CONTROLE PROPORCIONAL-DERIVATIVO ____________________V-4

5.1.6- AO DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO_________ V-4

5.2- CONTROLE PROPORCIONAL APLICADO A UM SISTEMA DE 1aORDEM _____ V-5

5.2.1- IMPLEMENTAO DO CONTROLADOR PROPORCIONAL ________________V-6

5.2.2- IMPLEMENTAO DO CONTROLADOR PROPORCIONAL-DERIVATIVO___ V-6

5.2.3- IMPLEMENTAO DO CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL _____ V-7

5.3- EFEITOS DAS AES DE CONTROLE INTEGRAL E DERIVATIVA NODESEMPENHO DO SISTEMA _________________________________________________ V-8

5.3.1- AO DE CONTROLE INTEGRAL _______________________________________V-8

5.3.2- RESPOSTA DE UM SISTEMA COM CONTROLE PROPORCIONAL APERTURBAO _____________________________________________________________V-9

5.3.3- RESPOSTA DE UM SISTEMA COM CONTROLE P-I A PERTUBAES ____ V-9

CAPTULO 6 - ANLISE DA RESPOSTA TRANSITRIA, DO ERRO DEREGIME PERMANENTE E DA ESTABILIDADE DE SISTEMAS

6.1- INTRODUO __________________________________________________________ VI-1


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6.2- SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM________________________________________ VI-1

a) Resposta ao degrau __________________________________________________________ VI-1

b) Resposta a Rampa Unitria ____________________________________________________ VI-2

6.3- SISTEMAS DE 2a

ORDEM ________________________________________________ VI-3a) Plos Reais ________________________________________________________________ VI-3

b) Plos Complexos____________________________________________________________ VI-3

1o Caso: SISTEMA SUBAMORTECIDO __________________________________________ VI-3

2o Caso: SISTEMA CRITICAMENTE AMORTECIDO _______________________________ VI-4

3o Caso: SISTEMA SUPERAMORTECIDO ________________________________________ VI-5

6.3.1- ESPECIFICAES DO TEMPO DE RESPOSTA ___________________________ VI-6

- Tempo de Subida tr _________________________________________________________ VI-6- Tempo de Pico tp___________________________________________________________ VI-6

- Tempo de Acomodao ts ____________________________________________________ VI-6

- Overshoot Mximo Mp ______________________________________________________ VI-6

6.4- SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR / RESPOSTA TRANSITRIA _____________ VI-8

6.5 - ERRO DE REGIME PERMANENTEPARA UM SISTEMADE 2a ORDEM ASSOCIADA AUM COMPENSADOR PROPORCIONAL _______________________________________ VI-9

6.6- CONTROLADOR P-D APLICADO A UM SISTEMA DE 2a

ORDEM _________ VI-10

6.7- CRITRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ_____________________ VI-11

6.8- ERROS EM REGIME PERMANENTE_____________________________________ VI-12

6.8.1- ERRO PARA UMA ENTRADA DO TIPO DEGRAU UNITRIO _____________ VI-13

6.8.2- ERRO PARA UMA ENTRADA DO TIPO RAMPA UNITRIA_______________ VI-136.8.3- ERRO PARA UMA ENTRADA DO TIPO PARBOLA _____________________ VI-14

QUADRO RESUMO _________________________________________________________ VI-15

CAPTULO 7 - ANLISE DO LUGAR DAS RAZES

7.1- INTRODUO _________________________________________________________ VII-1

7.2- MTODO DO LUGAR DAS RAZES ______________________________________ VII-1

7.2.1- PRINCPIOS BSICOS DO MTODO DO LUGAR DAS RAZES____________ VII-17.2.2- DEFINIO GERAL DO LUGAR DAS RAZES ___________________________ VII-3


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7.3- REGRAS GERAIS PARA CONSTRUO DOS LUGARES ___________________ VII-5

CAPTULO 8- ANLISE DO MTODO DA RESPOSTA EM FREQNCIA

8.1- INTRODUO _________________________________________________________VIII-1

8.2- PRINCPIO BSICO ____________________________________________________VIII-1

8.3- DIAGRAMA DE BODE __________________________________________________VIII-4

8.3.1- GANHO CONSTANTE K _____________________________________________VIII-5

8.3.2 - PLOS E ZEROS NA ORIGEM_________________________________________VIII-5

8.3.3- PLOS E ZEROS REAIS E DIFERENTES DE ZERO_______________________VIII-6

8.3.4- PLOS E ZEROS COMPLEXOS ________________________________________VIII-7

8.4- CRITRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST _____________________________VIII-9

Teorema de Cauchy: _________________________________________________________ VIII-10

8.4.1- VANTAGEM DO CRITRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST SOBRE OCRITRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ _______________________VIII-11

8.4.2- APLICAES DO CRITRIO DE NYQUIST ____________________________VIII-11

8.5- ESTABILIDADE RELATIVA E DIAGRAMA DE BODE_____________________VIII-12

Margem de Ganho: __________________________________________________________ VIII-12

Margem de Fase: ____________________________________________________________ VIII-12

8.6- DIAGRAMAS DE NYQUIST - CASOS ESPECIAIS _________________________VIII-14


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Projeto Reenge - Eng. EltricaApostila de Sistemas de Controle I

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& $ 3 7 8 / 2 ,

GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS DE CONTROLE

1.1- INTRODUOEmbora muitas vezes no percebemos, todos os dias participamos ativa ou passivamente de

diversos sistemas de controle. Sempre que o ser humano participa de um determinado processo coma funo de monitor-lo, est participando do fechamento de uma malha. Como exemplos desistemas de controle, pode-se citar:

- Ato de guiar um automvel (malha fechada);- Ato de utilizar um liqidificador (malha fechada);- Ato de utilizar um mquina de lavar (malha aberta);- Ato de utilizar um microondas (malha aberta).

Atualmente os sistemas de controle tm assumido um papel progressivamente importante nodesenvolvimento da civilizao moderna. Praticamente todos aspectos de nossa atividade diria soafetados por algum tipo de sistema de controle. A busca da qualidade, eficincia e preciso,praticamente exige a presena de sistemas de controle em malha fechada sem a presena do operadorhumano, isto , CONTROLE AUTOMTICO.

O primeiro dispositivo que utilizava controle em malha fechada que se tem notcia, orelgio de gua inventado dois sculos antes de cristo.

O tempo era medido pelo volume degua acumulada no reservatrio inferior, o qualrecebia os pingos de gua com uma vazoconstante de um reservatrio para o outro. Istoera conseguido, graas a vlvula flutuante doprimeiro reservatrio que possua a funo degarantir sempre o mesmo nvel de gua noprimeiro reservatrio. Esta vlvula apresentavaas funes de sensor e atuador do sistema.

1.2- DEFINIES BSICAS

A seguir so introduzidas as definies bsicas a respeito das denominaes utilizadas nateoria de controle.

- Planta:A planta de um sistema de controle definida como sendo a parte do sistema a ser

controlada. Ex: reator qumico, caldeira, gerador, etc.

- Processo:O processo definido como sendo a operao a ser controlada na planta. Ex: processo

qumico, fsico, biolgico, etc.


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I-2

- Perturbaes:So sinais que tendem a afetar o valor da sada de um sistema. Se a perturbao gerada

dentro do sistema, ela denominada interna. Caso contrrio, considerada como um sinal de entradado sistema.

- Controle Realimentado: a operao que na presena de perturbaes externas, tende a reduzir a diferena entre asada do sistema e a entrada de referncia.

- Sistema de Controle Realimentado: um sistema que tende a manter uma relao preestabelecida entre o sinal de sada e a

entrada de referncia, comparando-as e utilizando a diferena entre estes sinais como um meio decontrole do sinal de sada.

Ex: sistema de controle de temperatura de uma sala. Pela comparao da temperatura da sala(sada) com a temperatura desejada (entrada), um termostato abre ou fecha, com o objetivo deigualar os sinais.

Outro exemplo o controle de velocidade de um automvel pelo motorista. Para que oautomvel no ultrapasse uma velocidade predefinida, o motorista deve comparar continuamente avelocidade do veculo (sada) com a velocidade estabelecida (entrada).

- Servo Mecanismo: um sistema de controle realimentado no qual a sada do sistema uma posio mecnica,

velocidade ou acelerao.

- Sistema Regulador Automtico: um sistema de controle cujas sada e entrada de referncia so constantes, ou variam

lentamente, e o objetivo do sistema manter a sada em um valor desejado mesmo na presena deperturbaes. Ex: controle de presso e temperatura em um processo qumico.

1.2.1- CONTROLE EM MALHA-FECHADA E MALHA-ABERTA

O controle em malha fechada o mesmo que controle realimentado. A diferena entre osinal de entrada (referncia) e o sinal de sada realimentado, chamado de sinal de erro, introduzidono controlador que atua na planta ou no processo de forma a reduzir o erro e manter a sada em umvalor desejado.

Conforme j foi mencionado anteriormente, existem dois tipos de controle em malha fechada(realimentado), definidos como controle manual e controle automtico. No controle automtico, o

operador substitudo por dispositivos que desempenham as suas funes de formas mais eficientese precisas.

J nos sistemas de controle em malha aberta, a sada no tem efeito na ao de controle, isto, a sada no medida nem realimentada para comparao com a entrada. Para cada entrada dereferncia haver uma condio preestabelecida de operao. Qualquer sistema que opere em umabase de tempo um sistema em malha aberta.

A operao em malha aberta deve ser usada, quando se conhece a relao entre entrada-sadae o sistema no apresentar nenhum tipo de perturbao.


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I-3

Nem sempre, os sistemas em malha fechada so aconselhveis. Nos sistemas em que as

entradas so conhecidas e no esto sujeitas a perturbaes, a operao em malha aberta deve serpreferida. Entretanto, quando o sistema estiver sujeito a perturbaes e variaes imprevisveis deve-se preferir a operao em malha fechada. Porm, estes sistemas devem ser analisados e projetadoscom bastante cuidado, visto que outros problemas podem ser gerados como por exemplo,instabilidade e oscilaes.

1.3- CLASSIFICAO DOS SISTEMAS DE CONTROLE

- Sistemas de Controle Linear e No-LinearPraticamente todos os sistemas fsicos existentes na prtica so no-lineares. Entretanto,

quando os mdulos dos sinais dos sistemas de controle so limitados a uma certa faixa de valores, naqual os componentes do sistema exibem caractersticas lineares, o sistema dito linear. Quando osmdulos dos sinais se estendem fora da faixa linear de operao, o sistema dever ser consideradocomo no-linear.

No geral o sistema dito linear, quando o princpio da superposio pode ser aplicado.

- Sistemas de Controle Invariante no tempo e Variante no tempoUm sistema de controle dito invariante no tempo quando seus parmetros so estacionrios

com relao ao tempo, isto , no variam com o tempo. A resposta do sistema independe do instantede tempo no qual a entrada aplicada.

Por outro lado, um sistema de controle dito variante no tempo, quando um ou mais

parmetros variam com o tempo e a resposta do sistema depende do instante de tempo no qual aentrada aplicada. Um exemplo de um sistema de controle variante no tempo o controle de ummssil teleguiado, no qual a massa do mesmo diminui com o tempo, j que combustvel consumidodurante o vo.

- Sistemas de Controle Contnuos e DiscretosUm sistema dito contnuo, quando todas as variveis do sistema so conhecidas em todos

os instantes de tempo.Um sistema dito discreto, quando pelo menos uma varivel do sistema s conhecida em

alguns instantes de tempo.

- Sistemas de Controle uma entrada - uma sada e vrias entradas - vrias sadasUm exemplo claro de um sistema uma entrada - uma sada o sistema de controle de

velocidade de um motor eltrico, onde a entrada a velocidade desejada e a sada a velocidadeatual.

Como exemplo de sistemas vrias entradas - vrias sadas pode-se citar o controle depresso e temperatura de um caldeira, que apresenta duas grandezas de entrada e de sada (presso etemperatura).

- Sistemas de Controle Clssico e Sistemas de Controle ModernoA teoria de controle clssico utiliza exaustivamente o conceito de funo de transferncia,

onde a anlise e o projeto de um sistema so feitos no domnio de freqncia, isto , no domnio S.Esta teoria fornece resultados satisfatrios somente para sistemas do tipo uma entrada - uma sada.


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I-4

A teoria de controle moderno baseado na abordagem de espao de estado, que utilizaexaustivamente os conceitos de matriz de transferncia e a anlise e o projeto de um sistema sofeitos no domnio do tempo.

1.4- COMENTRIOS A RESPEITO DO CONTROLE DE UM SISTEMA

- Requisitos de um Sistema de ControleA exigncia fundamental de um sistema de controle ser estvel, isto , apresentar

estabilidade absoluta. Deve tambm, apresentar um boa estabilidade relativa, isto , a velocidadede resposta deve ser rpida e esta resposta deve apresentar um bom amortecimento. O sistema decontrole deve ser capaz de reduzir os erros para zero ou para algum valor pequeno tolervel.

As exigncias de uma tima estabilidade relativa e erro zero em regime, muitas vezes soincompatveis. Deve-se portanto buscar um ponto timo entre estas exigncias.

- Modelagem Matemtica

Os componentes e dispositivos presentes nos mais diversos sistemas de controle sogeralmente de natureza totalmente distintas, como por exemplo, eletromecnicos, hidrulicos,pneumticos, eletrnicos, etc. Para que haja uma uniformidade na anlise estes componentes e/oudispositivos so substitudos pelos seus modelos matemticos.

Um dos primeiros problemas que nos deparamos quando vamos projetar um sistema decontrole, na obteno de modelos matemticos precisos para os dispositivos fsicos. Estesmodelos devem representar os aspectos essenciais destes dispositivos.

A anlise do desempenho do sistema baseado no seu modelo matemtico deve serrazoavelmente precisa. Sistemas aparentemente diferentes podem ser descritos pelo mesmo modelomatemtico. baseado neste fato que a teoria de sistemas de controle uma abordagem nica einterdisciplinar.

Devido a facilidade de se manipular e analisar os sistemas lineares, muitos dispositivos emque a relao entre entrada-sada no so lineares, normalmente so linearizados em torno do pontode operao atravs das tcnicas disponveis.

- Anlise, Projeto e Sntese de um Sistema de ControleA anlise de um sistema de controle significa a investigao do desempenho do sistema, cujo

modelo matemtico conhecido sob certas condies especificadas. Esta, deve comear peladescrio matemtica de cada dispositivo que o compe. Uma vez que o modelo matemtico dosistema obtido, a anlise do mesmo independe de sua natureza fsica (eletrnico, pneumtico, etc.).

No geral, a anlise de um sistema feita sob dois aspectos: anlise da resposta transitria e

anlise de regime permanente.Projetar um sistema, significa determin-lo de modo a desempenhar uma dada tarefa. Se ascaractersticas da resposta transitria e do regime permanente no forem satisfatrias, deve-seadicionar um componente ao sistema, com o objetivo de compensar o desempenho indesejado domesmo. Este componente adicional conhecido como compensador. Em geral o projeto de umcompensador, na teoria de controle clssico, baseado nos mtodos da resposta em freqncia e/oudo lugar das razes.

Sntese de um sistema, a sua determinao atravs de um procedimento direto que faa comque funcione com uma caracterstica especfica. Geralmente, este procedimento puramentematemtico.

Atualmente, os computadores tm tido um papel importante na anlise, projeto e operao de

sistema de controle, tanto na parte de simulao do sistema e projeto orientado, como tambmfazendo parte do sistema atuando como um controlador digital.- Abordagem Bsica para Projetos de Sistema de Controle


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I-5

Geralmente o projeto de um sistema de controle envolve mtodos de tentativa e erro. Isto sedeve principalmente, as no-linearidades do sistema e tambm as imprevises e simplificaesadotadas na determinao dos modelos caractersticos dos dispositivos do sistema.

Na prtica, o projetista de posse da planta a ser controlada, projeta o resto do sistema para

que atenda as especificaes solicitadas, como por exemplo, Amortecimento, Preciso em RegimePermanente, Confiabilidade e Custo.As especificaes podem ser solicitadas explicitamente ou no. Caso sejam solicitadas, o

projetista deve, dentro do possvel, obt-las. Caso contrrio, deve obter as especificaes que julgarconveniente. As especificaes devem ser analisadas em termos matemticos. Deve-se salientar, queas especificaes devem ser realsticas.

- Metodologia de projetoDe posse da planta a ser controlada, deve-se escolher qual o melhor sensor e atuador a ser

utilizado. Aps, deve-se obter os modelos matemticos da planta , sensor e atuador. A seguir,define-se o modelos matemtico do controlador, para que o sistema em malha fechada satisfaa as

especificaes do projeto.Uma vez que o projetista tenha em mos o modelo matemtico completo do sistema, deve

simul-lo para avaliar o seu desempenho em relao a variaes do sinal de entrada e tambm napresena perturbaes. Nesta fase que devem ser feitos os ajustes no sistema, para que a respostado mesmo atenda as especificaes solicitadas.

Aps, deve-se construir o prottipo fsico do sistema, para que o mesmo seja testado e paraque sejam feitos os ajustes prticos.


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Prof. Hlio Lees Hey - 1997

II-1

& $ 3 7 8 / 2 , ,

REVISO MATEMTICA

2.1- INTRODUO

Este captulo tem por objetivo revisar alguns fundamentos matemticos necessrios para oestudo da teoria de controle.

Inicialmente, defini-se o que vem a ser uma varivel complexa e uma funo complexa. Aps,revisa-se os teoremas de Euler. Por fim revisa-se os conceitos relativos a Transformao de Laplace.

O domnio da Transformao de Laplace fundamental para o entendimento da teoria deControle Clssico.

2.2- DEFINIO DE VARIVEL COMPLEXA E FUNO COMPLEXA

- Varivel Complexa

um nmero complexo, cujas partes real e ou imaginria so variveis. A varivel complexaS expressa em coordenadas retangulares, como mostrado a seguir:

S j1 1 1= + Onde: = Re( )s = Im( )s

- Funo Complexa

Uma funo complexa F(s), uma funo de S com parte real e imaginria; podendo ser

expressa como:

F(s) = Fx + jFy Onde: Fx e Fy so reais

Ex:VARIVEL COMPLEXA FUNO COMPLEXA

Plano S Plano F(s)

F s F F

tgFy

F

X Y

X

( ) = 2 2

1

+

=

O conjugado da funo Complexa F(s) :

2.3- FUNES ANALTICAS

F s Fx jFy( )=


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II-2

Uma funo dita Analtica, quando ela e suas derivadas so definidas para um dado valor deS ou um dado ponto no plano S.

Quando a funo F(s) ou suas derivadas tendem ao infinito para um dado valor de S, diz-seque a funo no analtica para aquele ponto.

Seja a seguinte funo F(s): F s S( ) ( )= +1 1

A derivada desta funo em relao a S, dada por:

d

dSF s

S( )

( )=

+

1

1 2

Tanto a funo F(s), como sua derivada, so definidas para todos os pontos do plano S,exceto para o ponto S =1. Neste ponto, F(s) e sua derivada se aproximam do infinito. Portanto, afuno F(s) Analtica em todo o Plano S, exceto no Ponto S =1.

Os pontos no plano S, onde a funo F(s) analtica so chamados PONTOSORDINRIOS,enquanto que os pontos onde F(s) no analtica, so chamados PONTOS SINGULARES. Os pontossingulares so tambm chamados de PLOS DA FUNO(S =1 um plo da funo F(s)).

Seja uma funo F(s) qualquer. Se F(s) tende a infinito quando S = p e se a funoF s s p n( ).( )+ onde n = 1, 2, 3..., um valor finito no nulo para o ponto S =p, ento: S =p chamado de PLO DE ORDEM n.

- Se n = 1 Plo simples;

- Se n = 2 Plo de 2a ordem;

- Se n = 3 Plo de 3a

ordem.Os valores de S em que a funo F(s) igual a zero, so chamados de ZEROS DA FUNO.

Ex:

F(s)K(S )(S )

S(S )(S )(S )=

+ ++ + +

2 10

1 5 15 2

Esta funo tem zeros em S =2 e S =10 e plos simples em: S = 0, S =1 e S =5 e umplo de 2a ordem em S =15.

Caso S , G sK

sS ( ) = 3 e G sS ( ) = 0. Portanto, se forem considerados pontos no infinito, afuno passa a ter 5 zeros sendo um de 3a ordem, em S =.

2.4- TEOREMA DE EULER

O teorema de Euler, definido por:

e jj = +cos sen

Pelo uso deste teorema, podemos expressar funes em seno e co-seno, na forma de uma

funo exponencial.Se e-j= cos - j sen ento, e-j o conjugado complexo de ej .


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II-3

Utilizando-se o teorema de Euler, pode-se definir as seguintes expresses para o sen e parao cos .

( )cos = + 1

2e ej j ( )sen =

1

2je ej j

2.5- TRANSFORMADA DE LAPLACE - T.L.

A transformada de laplace, a ferramenta matemtica utilizada para converter um sinal dodomnio de tempo em um funo de variveis complexas. Diversas funes, como por exemplo fun-es senoidais, exponenciais, etc.., podem ser convertidas para funes algbricas da varivel com-plexa S.

O uso do mtodo de transformada de laplace, simplifica os clculos para a obteno da res-posta do sistema.

Operaes complicadas no domnio de tempo, como por exemplo integrao e diferenciao,so substitudas por operaes algbricas bsicas no domnio da freqncia (plano complexo). Umavez resolvida a expresso algbrica no domnio S, a resposta da equao diferencial no domnio detempo obtida atravs do uso das tabelas de transformadas de laplace ou pelas tcnicas de expansoem fraes parciais.

A transformada de laplace, caracteriza completamente a resposta exponencial de uma funolinear invariante no tempo.

Esta transformao gerada atravs do processo de multiplicao de um sinal linear f(t) pelosinal e-St e integrando-se este produto, no intervalo de tempo compreendido entre (0, +).

Sejam as seguintes definies:

f(t) uma funo no domnio de tempo Linear e Invariante no tempo, tal quef(t) = 0 para t < 0.

S Varivel Complexa.

/ Operador transformada de laplace. Indica que a funo temporal f(t) associa-da, ser transformada pela integral de Laplace: e dtST

+0

.

F(s) Transformada de laplace da funo f(t).

{ } { }/ f t F s e dt f t f t e dtST ST( ) = = = ( ) ( ) ( )00

Obs:No esquecer que S j= + .

Se as funes f(t), f1(t) e f2(t) apresentam T.L., ento:

{ } { }* . ( )( ) */ /A f t A f t=

{ } { } { }*/ / /f t f t f t f t1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) *+ = +

2.5.1- OBTENO DA TRANSF. DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNES

a) Funo Exponencialpara t < 0para t 0 A, so constantes.

f t

f t A e T( )

( ) .

==

0


16/112



II-4

{ } { } ( )/ /f t A e e dt A e A e dtt st t S

t( ) = = =- - - +. . . . .

0 0

{ }( )

( )

( )( ) ( )( )/ A e

A

Se

A

Se et S t S S. . .- - + - + - +=

- + - +-=

0

b) Funo Degrau

para t < 0para t 0

{ } ( )/ A.

( ) . ( ).. ( )

. . .t A t e dtA t

S

eA

S

e eSt St S S= =

=

0

0

0

{ }/

A t AS

. ( ) =

c) Funo Rampa

para t < 0para t 0

{ }/ A.t =

A t e dtSt

. .0

Utilizando a definio de Integrao por partes tem-se: 0 0 0

t t td d = . .

Seja: = =t d dt e d e dtSt = = eS

St

A t e dt A te

S

e

SdtSt

St St

. . . . . .

=

0 00

{ }/ A t A

Se

SAS S

St. . .=

= 0

1 { }/ A t A

S. = 2

d) Funo Senoidal

para t < 0para t 0

Utilizando o teorema de Euler, tem-se:

( ) ( )sen . sen = = 12

12j

e e tj

e ej j j t j t

{ }/ A eA

St. - =

+

f t

f t A t

( )

( ) . ( )

==

0

f t

f t A t

( )

( ) .

==

0

f t

f t A t

( )

( ) .sen

==

0

10

0

10


17/112



II-5

{ }/ f t A t e dtSt( ) .sen .=

0

{ } ( )/ f tA

je e e dtj t j t St( ) . .=

20

{ } ( ) ( )/ f tA

je dt

A

je dtS j t S j t( ) . . . .=

+ 2 20 0

{ }( )

( )

( )

( ){ }/ f tA

j

e

S j

e

S j

S j t S j t

( ) .=

+

+

2 0 0

{ }/ f tA

j S j S j

A

j

j

S( ) . .=

+

=

+21 1

2

22 2

{ }/ A sen tA

S.

.

=+2 2

e) Funo Co-senoidal

para t < 0para t 0

{ } ( )/ f t A e e e dtj t j t St( ) . .= + 20

{ } ( ) ( )/ f tA

e dtA

e dtS j t S j t( ) . .= + + 2 20 0

{ }( )

( )

( )

( )/ f t

A e

S j

e

S j

S j t S j t

( ) =

+ +

+

2 0 0

{ }/ f t AS j S j

A SS

( ) =

++

=+

2

1 12

22 2

{ }/ A tA S

S.cos

.

=

+2 2

Embora o procedimento para a obteno da transformada de laplace de funes temporaisseja simples, existem tabelas prontas para as funes que freqentemente aparecem na anlise desistemas de controle.

Ex:Dada a funo f(t) abaixo, obtenha a T.L. da mesma.

f t

f t A t

( )

( ) .cos

==

0

( )cos t e ej t j t= +

1

2


18/112



II-6

( ) ( )f t t e t= + 5 3 2. . .

( ){ } ( ){ } { }/ / /f t t e t= + 5 3 2. . .

( ){ }a tS

) . ./ 5 5 = { }b eS

t) ./ 3 32

2 =+

( ){ }/ f tS S

= ++

5 3

2 ( ){ }

( )/ f t

S

S S=

++

8 10

2

2.5.2- TEOREMAS DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

a) Funo Transladada

Sejam as funes f(t) e f(t - ), mostradas a seguir:

Sabendo-se que (t) a funo Degrau unitrio, podemos escrever as funes f(t) e f(t-)como:f(t) = f(t). (t) e f(t-)= f(t-)..(t-)

A transformada da funo f(t-)..(t-) dada por:

( ) ( ){ } ( ) ( )/ f t t f t t e dtst = . . . .0

Chamando t = , tem-se: d = dt, j que uma constante.

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )/ f f e ds

. . .=

+

Como a funo s vlida para t > , ento quando substitu-se t , deve-se trocar olimite inferior da integral 0 . Porm, quando t =+, = 0.

Portanto:

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )/ f f e ds . . . .= +0

( ) ( ){ } ( )/ f f e e ds s . . . .=

0

1


19/112



II-7

( ) ( ){ } ( )/ f e f e d e F ss s s . . . . ( )= = 0

( ) ( ){ }/ f t t e F ss = . . ( )

Caso particular:

= 0 { }/ f t t F s( ) ( ) ( ). =

Comparando-se as expresses acima, conclu-se que transladar no tempo uma funo f(t)qualquer, significa multiplicar a transformada de laplace de f(t), F(s), por e-S onde , significa atranslao sofrida por f(t).

b) Funo Pulso

f(t) = A 0 < t < t0

f(t) = 0 t < 0 e t > t0

f(t) = A.(t) - A. (t - t0)

(t) = 1(t) e (t - t0) = 1(t - t0)

{ } ( ) ( )( )/ / /f t A t A t t( ) . .( ) . .= 1 1 0

( )/ A tA

S. ( )1 = e ( )( )/ A t t

A

Se S t. . . .1 0 0 =

{ } ( )/ f tA

Se S t( ) .= 1 0

c) Funo Impulso

A Funo Impulso um caso especial da funo pulso, onde o perodo de durao do impul-

so tende a zero(t0), e a amplitude tende a infinito At0

. Se f(t) a funo impulso, a sua transformada

ser:

{ } ( )/ O L P f tA

t Se

tS t( )

.

.=

0 0 01 0

{ }( )( )

/ O L P f t

d

d tA e

d

d tt S

A S

SA

t

S t

( ) . .

.

..

.

=

= =

0 0

0

0

1 0

0

Esta funo chamada de FUNO IMPULSO UNITRIOou FUNO DELTA DE DIRAC, se A =1.


20/112



II-8

d) Multiplicao de f(t) por e- t

{ } ( )/ e f t e f t e dt f t e dtt t st S t += = . ( ) . ( ). . ( ). .0 0

{ } ( ) ( )/ e f t t e dt F St S t += = + . ( ) ( ). .f0

Ex:Seja:

f(t) = sen t( )

F sS

( ) =+

2 2

Portanto:

f1(t) = e tt .sen ( )( )

F S

S

+ =

+ +

2 2

e) Mudana de escala de tempo

Se o tempo t modificado para t , a funo f(t) alterada para ( )ft . Seja a seguinte trans-

formao de Laplace.

( ){ } ( )/ f e dtt t St = f0 . .

Seja t t = 1 e S S= 1, onde uma constante. Desta forma:

( ){ }/ f t e d tt S t = f0 1 11 1( ). . ( . )

.

( ){ } ( )/ f t e dt F St S t = = f0 1 1 11 1. . . ( )

.

( ){ } ( )/ f F St = .

Ex:

Seja f(t) = e-t e ( )f et t50 2= ,

{ } ( ){ }/ /f t S f St( ) ;

.=

+1

1

5

5 15=

+

f) Demonstrao do teorema da diferenciao

Seja a T.L. da derivada primeira da funo f(t):

(t) (t-t0)ou


21/112


22/112



II-10

/

d

dtf t S F s S f f

2

22 0 0. ( ) . ( ) . ( )

,( )

=

g) Teorema do Valor Final

Este teorema, permite que se conhea o valor da funo f(t) no tempo t =, atravs da fun-o F(s), isto , o comportamento de f(t) em regime permanente igual ao comportamento de S.F(s)na vizinhana de S = 0.

Entretanto, este teorema s aplicvel se e somente se: O L P

tf t

( ) existir.

OO L P

tf t

( ) existe, se todos os plos de S.F(s) estiverem no semi-plano esquerdo do plano S.

Se S.F(s) tiver plos no eixo imaginrio ou no semi-plano direto, a funo f(t) ser oscila-tria ou crescer exponencialmente. Portanto o

O L P

tf t

( ) no existir.

Um exemplo, bastante elucidativo deste fato, so as funes sen t e cos t, onde S.F(s)apresenta plos em S

=j

.

O Teorema do Valor Final, diz que: se f(t) e ddt f t( )

so transformveis segundo Laplace, se

o O L P

tf t

( ) existe e F(s) a T.L. de f(t), ento:

O L P O L P

t Sf t S F s

=( ) . ( )

0

PROVA:Seja a seguinte T.L. da funo g t d

dtf t( ) ( )= :

/

d

dtf t g t e dt

d

dtf t e dtSt St. ( ) ( ) . ( ) . ..

= =

0 0

Se S tender a zero, resulta:

O L P O L P

S

St

S

Std

dtf t e dt e

=0 0 10 . ( ) : .onde

Portanto:

O L P

SStddt f t e dt ddt f t dt f t

= = 0 0 0 01. ( ) . . ( ). ( )

O L P

S

Std

dtf t e dt f f

= 0 0 0. ( ) . ( ) ( ) 1

Por outro lado:

{O L P O L P S

St

S

d

dtf t e dt S F s f

= 0 00 0. ( ) . . ( ) ( )

O L P O L P

S

St

S

ddt

f t e dt S F s f

= 0 00 0. ( ) . . ( ) ( ) 2


23/112



II-11

1=2 f f t S F st S

( ) ( ) . . ( ) = =

O L P O L P

0 03

Ex:Seja a seguinte T.L.: F(s) = 1

1S S( )+

Qual o valor de O L Pt f t ( ) ?A funo S.F(s), apresenta um plo no semi-plano esquerdo do plano S e portanto,

O L P

tf t

( ) existe. Ento, utilizando a expresso 3 , acima resulta:

O L P O L P O L P

t S S = =

+=. ( ) . . ( )f t S F s

S0 01

11

Este resultado, pode ser verificado aplicando-se transformao inversa de Laplace, onde:

h) Teorema do Valor Inicial

Ao contrrio do teorema do valor final, este no apresenta limitaes quanto a posio dosplos de S.F(s). Atravs deste teorema, possvel que se conhea o valor de uma funo f(t) no ins-tante t = 0+, diretamente da T.L. de f(t).

Se a funo f(t) edf t

dt

( )so transformveis por Laplace e se O L P

sS F s

. ( ) existe, ento:

f S F ss

( ) . ( )0+

= O L P

PROVA:

Seja a funo g(t) =d

dtf t. ( ) e:

{ }/ +

= =+ + g t g t e dt

d

dtf t e dtSt St( ) ( ) . ( ). .

0 0

{ } { }O L P / O L P O L P S S

St

Sg t

d

dt f t e dt S F s f +

+

= = =+( ) . ( ) . ( ) ( ). .0 0 0

{ }O L PS

S F s f

+ =. ( ) ( )0 0 f S F sS

( ) . ( )0+

= O L P

2.6- TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE{ }/ 1

o processo inverso da transformao de Laplace, isto , a partir de uma expresso no do-mnio S encontra-se a expresso no domnio de tempo correspondente.

{ }/ += = 1 12F s f t j F s e dSc jc j St( ) ( ) ( ).

f(t) = 1 - e-t e O L Pt

f t

( )= 1


24/112



II-12

Embora o procedimento matemtico que permite encontrar a transformada inversa de Lapla-ce seja um pouco complicado, esta pode ser encontrada atravs do uso das tabelas de transforma-das de Laplace. Porm, isto requer que a funo F(s) esteja na tabela. Muitas vezes isto no aconte-ce, fazendo com que seja necessrio expandir F(s) em fraes parciais, tornando a funo F(s) for-mada por termos simples e conhecidos.

2.6.1- MTODO DE EXPANSO EM FRAES PARCIAIS

Geralmente na anlise de sistemas de controle, a funo F(s) aparece na seguinte forma:

F sB s

A s( )

( )

( )= Onde: A(s), B(s) -So polinmios em S;

- O grau de B(s) sempre menor que A(s);

Se F(s) expandido em partes, ento:

( ) ( ) ( ) ( )

F s F s F s F s

F s F s F s F s

f t f t f t f t

n

n

n

( ) ( ) ( ) ......... ( )

( ) ( ) ( ) ......... ( )

( ) ( ) ( ) .......... ( )

= + + +

= + + +

= + + +

1 2

1 11

12

1

1 2

/ / / /

Porm para que possamos aplicar este mtodo numa funo do tipoF s B sA s

( ) ( )( )= , necessrio

que o grau do polinmio B(s) seja menor que o grau do polinmio A(s). Se isto no ocorrer, ne-

cessrio que se divida os polinmios com o objetivo de diminuir o grau do numerador.Qualquer funo racional B s

A s( )( )

, onde B(s) e A(s) so Polinmios, com o grau de B(s)

menor que o grau de A(s), pode ser escrito como a soma de funes racionais ( fraes parciais),tendo as seguintes formas:

( ) ( )

A

aS b

AS B

aS b S cR R+

+

+ +ou

2Onde: R = 1, 2, 3,....

Encontrando-se a transformada inversa de laplace para cada frao, temos a/

1 B s

A s

( )

( ).

DETERMINAO DOS RESDUOS ASSOCIADOS AOS PLOS

a) Plos Reais e Distintos

Seja a funo( )( ) ( )

( )( ) ( )F s

B s

A s

K S Z S Z S Z

S P S P S P

m

n

( )( )

( )

......

.......= =

+ + +

+ + +1 2

1 2

Onde: m < n

Se os plos de F(s) so distintos, ento F(s)pode ser expandido em :


25/112



II-13

( ) ( ) ( )F s

a

S P

a

S P

a

S Pn

n

( ) .........=+

++

++

1

1

2

2

O coeficiente ai chamado de resduo do plo S Pi= .

( )a S PiB s

A s S Pii = +

=

.( )

( )

Ex1:

( )( )F s

S

S S( ) =

++ +

3

1 2

F sa

S

a

S( ) =

++

+1 2

1 2

( )( )

( )( )a S

S

S S

S

SS S

1

1

11

13

1 2

3

22= +

++ +

=++

== =

. a

( )( )

( )( )a S

SS S

SS

S S2

2

22

23

1 231

11

1= ++

+ +

=++

=

+ =

= =

. a

Portanto:

F sS S

( ) =+

+

2

1

1

2

/

1 2

12

Se t

+

= . / 1 21

21

Se t

+

= .

f t e et t( ) .= 2 2 t 0

Ex2:

F s S S SS S

( )( )( )

= + + ++ +

3 25 9 71 2

S

S S S S SS S S S

S SS S

3 2 2

3 2

2

2

5 9 7 3 23 2 2

2 7 72 6 4

3

+ + + + + +

+ +

+

Com isto a funo F(s), escrita da seguinte forma:

Como o numerador apresenta um grau superiorao denominador, deve-se dividir os Polinmios.


26/112



II-14

F s SS

S S( ) ( )

( )( )= + +

++ +

23

1 2Portanto:

{ } { } { }/ / / / = + ++

+ +

1 1 1 123

1 2F s S

S

S S( )

( )( )

{ } { }/ /

1 1 1S S. { }

/

=1 1Sd t

dt.

( )

{ } { } { }/ / / = =1 1 12 1 2 1 22 . . . ( ) t

/

++ +

=

1 3

1 2

( )

( )( )

S

S S Esta parcela igual ao exemplo anterior.

b) Plos Reais Mltiplos

Seja a seguinte funo F sB s

A s

B s

S P S P( )

( )

( )

( )

( ) ( )= =

+ +13

2

Ento F(s), ser expandido na seguinte forma:

F sa

S P

a

S P

a

S P

a

S P( )

( ) ( ) ( ) ( )=

++

++

++

+13

13

12

12

11

1

2

2

Onde:

a S PB s

A s S P13 1

3

1

=

=

( ) .( )

( )+ ( )a

d

dSS P

B s

A s S P12 1

31

11

= +

=!

.( )

( )

( )ad

dSS P

B s

A sS P

11

2

2 1

31

21

= +

=

!.

( )

( )

( )a S PB s

A s S P2 2

2

= +

=

.( )

( )

Ex:

F sS S

S

a

S

a

S

a

S( )

.

( ) ( ) ( ) ( )=

+ ++

=+

++

++

2

313

312

2112 3

1 1 1 1

( )a S

S S

SS

13

32

31

13

2

131

2 3

1 1 2 1 3 2=+ +

+

= + ==+ a a( ) ( ) .

f t td

dtt e et t( ) ( ) ( )= + + 2 2 2 t

diferenciao

impulso unitrio

im ulso unitrio

CTE


27/112



II-15

( ) ( )ad

dSS

S S

SS

S

S123

2

3

1

12 1 12

1

11

2 3

12 2 0= +

+ ++

= + =

==! ( )

a a

( ) ( )ad

dS

SS S

S SS11

2

23

2

3

1

11 1

1

2

12 3

1

1

2

2 1= ++ +

+

= =

=

=

! ( )

a a

F sS S S

( ) =2

1

0

1

1

13 2( ) ( ) ( )++

++

+

{ }L L LF sS S

=+

+

+

1 13

12

1

1

1( )

( ) ( )

f t t e t( ) ( )= + 1 2

f(t) = t2e et t + t 0

c) Plos Complexos Conjugados

Seja a seguinte funo:

F sK

S a jb

K

S a j b( )

.=

+ +

+ +1 2

A definio dos termos K1 e K2, dada por:

{ }K S a jb F s M MeS a jbj

1 = + = == +( ). ( )

{ }K S a jb F s M MeS a jbj

2 = + + = == ( ). ( )

Desta forma:

F sMe

S a jb

Me

S a jb

j j

( )( ) ( )

=+

++ +

{ }/ += +1 F s M e e M e ej a jb t j a jb t( ) . . . .( ) ( )

{ } { }/ + += +12

2F s M e e eat j bt j bt( ) . . .( ) ( )

{ }/ + +

=+

1 22

F s M ee eat

j bt j bt

( ) . .( ) ( )

0


28/112



II-16

{ }/ = +1 2F s M e btat( ) . cos( )

2.7- SOLUO DE EQUAES DIFERENCIAIS, LINEARES E INVARIANTESNO TEMPO ATRAVS DE T.L.

Nos mtodos clssicos para obteno de soluo de equaes diferenciais h a necessidadeda determinao das constantes de integrao atravs do uso das condies iniciais. O uso da T.L.na soluo das equaes diferenciais elimina esta dificuldade, uma vez que as condies iniciais soautomaticamente includas.

Para a obteno da T.L. de um equao diferencial cujas condies iniciais so nulas, sim-

plesmente substitui-se ddt

por S, ddt

2

2 por S2 e assim sucessivamente.

Dada uma equao diferencial linear e invariante no tempo, acha-se inicialmente a T.L. decada termo que a compe, transformando-se uma equao diferencial em uma equao algbrica.Aps, deve-se manipular a expresso algbrica resultante isolando-se a varivel dependente. Uma

vez solucionada esta expresso, atravs da aplicao da T.I.L obtm-se a soluo da equao dife-rencial dada.Ex:

1) Ache a soluo para x(t) da equao diferencial, mostrada abaixo:

(t) + 3 (t) + 2 (t) 0= Onde: ( )0 = a ( ) 0 = b

X saS b a

S Ss

aS b a

S S( ) ( )

( )( )=

+ ++ +

=+ +

+ +3

3 2

3

1 22X

X sA

S

B

S( ) =

++

+1 2

AaS b a

S

a b a

S

=+ +

+

= + +

=

3

2

3

11A A b a= + 2

BaS b a

S

a b a

S

=+ +

+

= + +

=

3

1

2 3

12B B =b a

X s a bS

a bS

( )( )

( )= ++

++

21 2

( ) ( ). ( ).t a b e a b et t= + + 2 2

2) Ache a soluo para x(t) da equao diferencial:

+ + =2 5 3 ( )0 0= , ( ) 0 0=

Soluo: x(t) =3

5

3

102

3

52 . . . .cose sen t e tt t .


29/112



III-1

& $ 3 7 8 / 2 , , ,

CONCEITOS FUNDAMENTAIS

3.1- INTRODUO

Inicialmente neste captulo, estuda-se o conceito de funo de transferncia, o qual a baseda teoria de controle clssico. Aps, estuda-se a representao de sistemas atravs de diagrama deblocos, bem como a lgebra de blocos e suas simplificaes. tambm apresentado o grfico defluxo de sinais e a obteno da funo de transferncia de um sistema utilizando a frmula do ganhode Mason. Finalizando este captulo, apresentada uma introduo a abordagem de modelo devariveis de estado para representao de sistemas.

3.2- FUNO DE TRANSFERNCIA

A funo de transferncia de um sistema linear invariante no tempo definida como sendo arelao entre a transformada de laplace da sada (funo resposta) e a transformada de laplace daentrada (funo excitao), considerando-se nulas todas as condies iniciais.

Seja a seguinte expresso:

ad y t

dta

d y t

dt

dy t

dta y t b

d t

dtb

d t

dtb

d t

dtb t

n

n

n

n n n

m

m

m

m m m0 1

1

1 1 0 1

1

1 1

( ) ( )...

( ). ( )

( ) ( )...

( ). ( )+ + + = + + +

a

Onde: n m( )t entrada e y t( ) sada

Aplicando-se a transformao de laplace na expresso acima, temos:

( ) ( )a a S a a Y s b b b b X sn n n nm m

m m0 11

1 0 11

1.S .... .S ( ) .S .S .... .S ( )+ + + + = + + + +

Utilizando o conceito de funo de transferncia, resulta:

G sY s

X s

b b b b

a a a a

m mm m

n nn n

( )( )

( )

.S .S .... .S

.S .S .... .S= =

+ + + ++ + + +

0 11

1

0 11

1

COMENTRIOS SOBRE FUNO DE TRANSFERNCIA

A funo de transferncia de um sistema uma propriedade do sistema, independendo danatureza e da magnitude da entrada;

Utilizando-se o conceito de funo de transferncia, possvel representar um sistema

dinmico em termos de expresses algbricas da varivel complexa S; Embora a funo de transferncia de um sistema inclua as informaes necessrias para

relacionar a entrada com a sada, ela no fornece informaes a respeito da estrutura fsica dosistema. Isto significa que a funo de transferncia de sistemas fisicamente diferentes podemser idnticas;

FUNO DE TRANSFERNCIA(deum sistema de ordem n)


30/112



III-2

Se a funo de transferncia de um sistema conhecida, a resposta do mesmo pode seranalisada para diferentes formas de excitao (entrada), com a finalidade de compreender anatureza e o comportamento do sistema;

Se a funo de transferncia de um sistema no conhecida, ela pode se obtida

experimentalmente pela introduo de sinais de entrada conhecidos e estudando-se asrespostas obtidas. Uma vez obtida, a funo de transferncia fornece uma descrio completadas caractersticas dinmicas do sistema.

3.3- DIAGRAMA DE BLOCOS

O diagrama de blocos de um sistema, a representao grfica das funes desempenhadaspelos componentes que compe o sistema, juntamente com o fluxo de sinais dentro do sistema. Odiagrama de blocos, ao contrrio da representao matemtica do sistema, fornece uma viso grficaglobal do sistema indicando realisticamente a finalidade dos componentes dentro do sistema, e como

ocorre o fluxo de sinais entre os blocos. A seguir so apresentados os componentes que compe umdiagrama de blocos e uma descrio sobre os mesmos.

- Blocos e Fluxo de Sinais

uma representao simblica para a operao matemtica, na qual o sinal de sada do bloco produzido pelo sinal de entrada deste mesmo bloco, multiplicado pelo ganho do bloco (funo detransferncia do bloco).

Os fluxos de sinais so flechas que indicam o sentido em que os sinais de entrada e sada dosblocos so interligados.

A representao de um sistema atravs de diagramas de blocos, permite que se saiba qual acontribuio de cada bloco (componente) no desempenho global dosistema.

- Ponto de Soma

Os pontos de soma em um diagrama de blocos indicam como os sinais devem ser somados ousubtrados. Deve-se observar que os sinais a serem somados ou subtrados, devem ter as mesmasdimenses e unidades.

- Pontos de Ramificaes

So pontos nos quais, um mesmo sinal flui em direes diferentes.

Y s X s G s( ) ( ) . ( )=


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III-3

3.4-DIAGRAMADEBLOCOSDEUMSISTEMAEMMALHAFECHADA

Quando em um diagrama de blocos de um sistema em malha fechada, a sada realimentadapara um ponto de soma para comparao com o sinal de entrada, necessrio converter o sinal desada para a unidade do sinal de entrada (ex: tenso, fora, posio, etc.). Esta converso feita por

um elemento de realimentao, cuja funo de transferncia H(s). Na maioria das vezes, esteelemento de realimentao , um sensor que mede a grandeza de sada Y(s), fornecendo como sadaum sinal proporcional B(s), porm de mesma natureza que o sinal de entrada X(s). O sinal E(s) osinal de erro atuante do sistema.

Para o diagrama de bloco mostrado acima, as funes de transferncias associados so:

Funo de transferncia de malha-aberta: F.T.M.A B s

E sG s H s

( )

( )( ). ( )=

Funo de transferncia direta: F.T.D Y s

E sG s

( )

( )( )=

Funo de transferncia de malha-fechada: F.T.M.F Y s

X s

G s

G s H s

( )

( )

( )

( ). ( )=

+1

A funo de transferncia de malha-fechada pode ser obtida como segue:

Y s G s E s

E s X s B s

B s H s Y s

( ) ( ). ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ). ( )

=

=

=

{ } ( )Y s G s X s H s Y s G( ) ( ). ( ) ( ). ( )= =Y(s) 1 + G(s). H(s) (s). X(s)

Y sX s

G sG s H s

( )( )

( )+ ( ). ( )

=1

=+

Y sX s

F T DF T M A

( )( )

. .

. . .1

Ex:Seja o circuito abaixo representado; onde ei(t) o sinal de entrada e e0(t) o sinal de sada.

Obtenha o diagrama de blocos correspondente. Aps obtenha a funo de transferncia de malhafechada do circuito, utilizando o conceito visto.

Obs:

Para a obteno do diagrama de blocos de um determinado sistema, deve-se inicialmente

obter as equaes que descrevem cada componente. Aplica-se T.L., admitindo-se condies iniciaisnulas. Represente cada equao pelos blocos correspondentes. Ento junte os blocos e tenha o

diagrama de blocos completo.


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III-4

I sE s E s

R( )

( ) ( )=

1 0I s CS E s s

I s

CS( ) . ( ) ( )

( )= =0 0E

G sRCS

( ) =1

e H s( ) = 1

Sabendo-se que:E s

E s

G s

G s H s

0

1 1

( )

( )

( )

( ) ( )=

+, resulta:

E s

E s RCS

0

1

1

1

( )

( )=

+

E s

E sRC

S RC

0

1

1

1( )

( )=

+

3.5- SISTEMA EM MALHA-FECHADA SUJEITO A PERTURBAES

No sistema acima representado, temos dois sinais de entrada, isto , a prpria entrada dosistema X(s) e uma perturbao N(s).

Quando temos um sistema sujeito a entradas diferentes podemos obter independentemente asrespostas para cada uma das entradas, utilizando-se o teorema da superposio, e aps adicion-lasresultando na resposta completa.

Para o sistema mostrado, considere que:

Y(s) = YN(s)+ YX(s)Onde:

i te t e t

R

i t Cd e t

dt

i( )( ) ( )

( ) .. ( )

=

=

0

0


33/112



III-5

Y(s) = resposta completa do sistema;

YN(s) = resposta do sistema devido a entrada N(s) (perturbao);

YX(s) = resposta do sistema devido a entrada X(s) (ent. principal);

Y s

N s

G s

G s G s H s

N( )

( )

( )

( ) ( ). ( ).=

+2

2 11

Y s

X s

G s G s

G s G s H s

X( )

( )

( ). ( )

( ) ( ). ( ).=

+1 2

1 21

Y sG s N s

G s G s H s

G s G s X s

G s G s H s( )

( ). ( )

( ) ( ). ( )

( ) ( ). ( )

( ) ( ). ( ).

.

.=

++

+2

1 2

1 2

1 21 1

{ }Y sG s

G s G s H sN s G s X s( )

( )

( ) ( ). ( )( ) ( ). ( )

.=

++ +

2

1 21

1

Se G s G s H s1 2 1( ) ( ) ( ). . >>> e G s H s1 1( ). ( ) >>> ento:

Y sX s

H s( ) =

( )

( )

Com isto, conclu-se que:

Se o ganho G1(s).H(s) elevado, os efeitos que as perturbaes poderiam causar naresposta do sistema, so desprezados.

Se o ganho G1(s).H(s) elevado, a funo de transferncia do sistema independe das

variaes em G1(s) e G2(s) e inversamente proporcional ao ganho H(s). Se o ganhoda realimentao unitrio, ento o sistema em malha fechada, tende a igualar a sada

com a entrada.

3.6- REGRAS DA LGEBRA DO DIAGRAMA DE BLOCOS

Geralmente, diagramas de blocos complicados envolvendo diversos laos de realimentao,vrios blocos em srie, pode ser simplificado atravs da manipulao de blocos no diagrama,utilizando-se as regras da lgebra de blocos mostrados a seguir:

Y sN( ) 0

Y s

H s

X sX( )

( )

. ( )1


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III-6

Observaes:

- Em toda simplificao a ser feita, o produto das funes de transferncia diretas devepermanecer inalterado. Isto tambm vale para funes de transferncia em um lao.

- Para a correta simplificao de um diagrama de blocos deve-se inicialmente deslocar-sepontos de soma e juno, permutar pontos de soma e, ento, reduzir-se os laos de realimentao

internos.

3.7- GRFICOS DE FLUXO DE SINAL

Da mesma forma que o diagrama de blocos, o grfico de fluxo de sinais usado para arepresentao grfica de uma funo de transferncia.

No grfico de fluxo de sinais, os blocos so substitudos por setas e os pontos de soma porns. Porm, os ns tambm representam as variveis do sistema. Cada seta indica a direo do fluxode sinal e tambm o fator de multiplicao que deve ser aplicado a varivel de partida da seta (ganhodo bloco).

Ex:

C s G s E s( ) ( ). ( )=


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III-7

DEFINIES DOS TERMOS USADOS EM GRFICO DE FLUXO DE SINAIS

N:Representa uma varivel.Ganho de Ramo: o ganho entre dois ns.Ramo: uma reta interligando dois ns.N de Entrada:So os ns que possuem apenas ramos que saem do n. Corresponde a umavarivel de controle independente.N de Sada: So os ns que possuem apenas ramos que chegam ao n. Corresponde a uma

varivel dependente.N Misto:So os ns que apresentam ramos saindo e chegando ao n.Caminho: uma trajetria de ramos ligados no sentido das flechas.Caminho Aberto: aquele em que nenhum n cruzado mais de uma vez.Caminho Fechado: aquele em que termina no mesmo n em que comeou.Caminho Direto: o caminho desde um n de entrada at um n de sada, cruzando cadan uma nica vez.Lao: um caminho fechado.Ganho do Lao: o produto dos ganhos dos ramos que fazem parte do lao.Laos que no se tocam:So laos que no apresentam ns comuns.

LGEBRA DO GRFICO DE FLUXO DE SINAIS


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III-8

3.8- FRMULA DO GANHO DE MASON

A frmula do ganho de Mason permite que se determine o ganho de um sistema em malhafechada diretamente do diagrama de blocos ou do grfico de fluxo de sinais, sem a necessidade dereduo dos mesmos. Embora seja um procedimento simples, a aplicao desta tcnica deve ser

usada com extremo cuidado para que os termos que compe a frmula do ganho no sejamtrocados.

Ex: Seja o seguinte sistema:

A definio dos caminhos diretos e dos ganhos dos laos envolvidos mostrado abaixo.

CAMINHOS DIRETOS: G1 ,G2 ,G3 ,G4 ,G5G6 ,G4 ,G5

LAOS: G2 H1 G4 H2

Seja T, o ganho do grfico acima, isto , a sua funo de transferncia. A frmula do ganhode Mason dada por:

( )T M M M MK KK

P

p p= = + + +=

1 1

1

1 2 2

. . . ...... .

Onde: Determinante do grfico

1 ( dos ganhos dos laos individuais) + ( dos produtos de ganhos de todasas possveis combinaes de dois laos que no se tocam) ( dos produtos de ganhos de todas aspossveis combinaes de trs laos que no se tocam) + ( dos produtos de ganhos de todas aspossveis combinaes de quatros laos que no se tocam) (........

1 L L L L L Laa bb c c d e f d e f

+ +, , ,

. . . .....

MK= ganho do K-simo caminho direto;

K= o determinante associado ao K-simo caminho direto. obtido de , remo-vendo-se os laos que tocam este K-simo caminho direto.

Para o exemplo mostrado, resulta:

M1= G1, G2, G3, G4, G5M2= G6, G4, G5

L1= - G2H1

Ganho dos caminhos Diretos;

Ganhos dos laos individuais;L2= - G4H2


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III-9

L1. L2= G2H1.G4H2 Ganho de 2 laos que no se tocam;

= 1 - (- G2H1 - G4H2) + (G2H1.G4H2)

1= 1

2= 1 + G2H1

TM M

=+1 1 2 2

( ) ( ) ( )T

G G G G G G G G G H

G H G H G H G H=

+ ++ + +

1 2 3 4 5 6 4 5 2 1

2 1 4 2 2 1 4 2

1 1

1

. .

.

3.9- INTRODUO A TEORIA DE MODELOS DE VARIVEIS DE ESTADO

A tendncia dos sistemas modernos de que cada vez mais aumente sua complexidade. Istose deve principalmente a necessidade de uma boa preciso, aliada a prpria complexidade das tarefasa serem executadas pelo sistema. Nestes sistemas tem-se vrias-entradas e vrias-sadas quegeralmente podem ser variantes no tempo.

Esta complexidade fez com que os sistemas de controle fossem analisados segundo uma novaabordagem, que o modelo de variveis de estado.

Esta abordagem uma ferramenta fundamental na teoria de sistemas de controle moderno,sendo aplicvel a sistemas com mltiplas entradas e sadas, lineares ou no, variantes ou invariantesno tempo. Esta abordagem feita no domnio de tempo.

Vale lembrar que a abordagem de controle clssico, baseada no conceito de funo detransferncia, vlida para sistemas lineares, invariantes no tempo e uma entrada-uma sada e feitano domnio freqncia.

A seguir so feitas algumas definies necessrias para a abordagem de ESPAO DE ESTADO.

- Estado:O estado de um sistema dinmico o menor conjunto de variveis (de estado), tal que o

conhecimento destas variveis em t = t0, juntamente com a entrada para t t0, determinacompletamente o comportamento do sistema para qualquer instante t t0.

- Variveis de Estado

o menor conjunto de variveis que determina o estado de um sistema dinmico. Se pelomenos n variveis ( ) 1 2( ), ( ),.... ( )t t tn so necessrias para descrever completamente ocomportamento de um sistema dinmico, ento estas n variveis so um conjunto de variveis deestado.

Embora no seja necessrio, interessante que as variveis de estado sejam grandezasfacilmente mensurveis devido a aplicao das de de controle que necessitam da realimentaodestas variveis.

- Vetor de Estado

Se n variveis de estado so necessrias para descrever o comportamento de um sistema,ento estas n variveis podem ser consideradas como n componentes de um vetor X t1 ( ) ,chamado VETOR DE ESTADO.


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III-10

- Modelo de Variveis de Estado um conjunto de equaes diferenciais de 1a ordem, escritas na forma matricial que permite,

alm de representar as relaes entre as entradas e as sadas do sistema, permite representar tambmalgumas caractersticas internas do sistema.

Como caracterstica desta abordagem, pode-se citar:

-Como o sistema pode ter mais de uma entrada, possvel enviar para dentro do modelomais informaes a cerca da planta;

-Vrios modelos de variveis de estado podem ser obtidos para um mesmo sistema. Vistoque depende da escolha das variveis de estado;

-As teorias de controle moderno so desenvolvidas para esta abordagem;-Para simulao de sistemas, geralmente necessita-se do seu modelo de variveis de estado.Ex:

Seja o sistema mostrado abaixo. Obtenha a equao diferencial de segunda ordem queo define, a sua funo de transferncia e duas representaes por modelo de variveis de estado.

1, 2, 43

i t

R

c t

R

t

RC

d

dtt

L

R

d

dtt

( ) ( ) ( ). ( ) . . ( )

1 1

0

2

0

2

0= + + +

6

i tR

t

R

L

R R

d t

dt

t

R Cd t

dt

LC

R

d t

dt

( ) ( ).

( ) ( ).

( ).

( )

1

0

1 1 2

0 0

2

0

2

20

2= + + + + 7

LCRR

tL CR R

Rt

R RR

t i t1

2

01 2

2

01 2

2

0. ( ) . ( ) . ( ) ( ) ++

+

+

= 8

A expresso acima representa o sistema mostrado, atravs da equao diferencial de 2a

ordem que o define.

- Funo de Transferncia

Para a obteno da funo de transferncia deste sistema, deve-se obter a razo entre astransformaes de laplace dos sinais de entrada e sada.

i ti t c t

R1 1( )

( ) ( )=

1

c t t Ldi t

dt( ) ( ) .

( ) =0 2 2

i t i t Cd c t

dt1 2( ) ( ) .( )

=

3

0 2 2( ) . ( )t R i t= 42 c t t Ldi t

dt( ) ( ) .

( )= +0 2 5


39/112



III-11

Entrada: i t Vi s( ) ( ) Sada: 0 0( ) ( )t V s

LCR

RS V s

L CR R

RSV s

R R

RV s Vi s1

2

20

1 2

2

01 2

2

0. ( ) . ( ) ( ) ( )++

+

+

= 9

Seja:

ALCR

R= 1

2

; BL CR R

R=

+ 1 22

; CR R

R=

+1 22

;

V s

Vi s AS BS C

0

2

1( )

( )=

+ + 10

- 1o Modelo de Variveis de Estado

Para a obteno do modelo de variveis de estado, deve-se inicialmente definir quem so asvariveis de estado; sinais de entrada e sinais de sada.

Entrada: i t( ) Sada: 0( )tVariveis de Estado: 0 0( ), ( )t t

Desta forma, tem-se que:

1 0

2 0

( ) ( )

( ) ( )

t t

t t

=

=

Variveis de estado y t t t( ) ( ) ( )= = 0 1 Sinal de sada

LCR

Rt

L CR R

Rt

R R

Rt i t1

21

1 2

21

1 2

21. ( ) . ( ) . ( ) ( ) +

+

++

= 11

mas, ( ) ( ) 1 2t t= . Desta forma, resulta que:

LCR

Rt

L CR R

Rt

R R

Rt i t1

22

1 2

22

1 2

21. ( ) . ( ) . ( ) ( ) +

+

++

= 12

Seja:D

R R

LCR=

+1 21

; EL CR R

L CR=

++

1 2

1

; FR

LCR= 2

1

;

( ) ( )

.( )

( ). ( )

1

2

1

2

0 1 0t

t D E

t

t Fi t

=

+

13

[ ]y tt

t( ) .

( )

( )=

1 0

1

2

14

- 2o Modelo de Variveis de Estado


40/112



III-12

Sejam agora as variveis de estado, a tenso do capacitor e a corrente do indutor.

Entrada: i t( ) Sada: 0( )tVariveis de Estado: 1( ) ( )t c t=

2 2( ) ( )t i t=

( ) . ( ) . ( ) . ( ) 11 1

1 2

1 1 1t

R Ci t

R Ct

Ct= 15

( ) ( ) ( ) ( ) 11

1 21

1 1 1t

R Ct

Ct

R Ci t= + 16

( ) ( ) . ( ) 2 12

2

1t

Lt

R

Lt= 17

y t R t( ) . ( )= 2 2

( ) ( )

.( )

( ). ( )

1

2

1

2

1

21

1 1

1

1

0

t

tR C C

L

R

L

t

tR C i t

=

+

[ ]y t Rt

t( ) .

( )

( )=

0 2

1

2

3.10- FORMA PADRO DE REPRESENTAO DO MODELO DE VARIVEISDE

ESTADO DE UM SISTEMA

A forma padro para representao do modelo de variveis de estado para um sistemaqualquer mostrado abaixo.

( ) . ( ) . ( )

( ) . ( ) . ( )

X t A X t B U t

Y t C X t D U t

= + = +

Onde:X(t) Vetor de Estado;A Matrix de Estado;B Matrix de Entrada;C Matrix de Sada;D Matrix de Transmisso direta;

Equao de EstadoEquao de Sada

Y(t) Vetor de Sada.


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III-13

U(t) Vetor de Entrada;

Geralmente, a Matrix deTransmisso

Direta nula, visto que quase sempre existe uma dinmica em todas as ligaes entrada e sada dossistemas.

A obteno do modelo de variveis de estado de um sistema, geralmente pode ocorrer

atravs de uma das formas apresentadas abaixo

- Equaes Diferenciais do Sistema: Geralmente as variveis de estado so variveis fsicas dosistema.

- Funo de Transferncia: Geralmente no so variveis fsicas do sistema.3.11- OBTENO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DAS

EQUAES DIFERENCIAIS

Seja o seguinte sistema de equaes, onde y1(t) e y2(t) so as sadas do sistema e 1(t) e 2(t)

as entradas do sistema.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

y t K y t K y t t K t

y t K y t K y t K t1 1 1 2 1 1 3 2

2 4 2 5 1 6 1

+ + = +

+ + =

- Variveis de Estado

Desta forma, substituindo as variveis de estado no sistema de equaes, resulta:

( ) ( ) 1 2t t=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 1 3 2t K t K t t K t= + +

( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 2 4 3 6 1t K t K t K t= +

( ) ( ) ( )

.

( )

( )

( )

. ( )( )

1

2

3

2 1

5 4

1

2

3

3

6

1

2

0 1 0

0

0

0 0

1

0

t

t

t

K K

K K

t

t

t

K

K

tt

=

+

1 1

2 1

3 2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

t y t

t y t

t y t

===


42/112



III-14

y t

y t

t

t

t

1

2

1

2

3

1 0 0

0 0 1

( )

( ).

( )

( )

( )

=

3.12- OBTENO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DAFUNO DE TRANSFERNCIA

Seja a seguinte Funo de Transferncia:

Y s

U sG s

b S b S b

S a S a S as

s

( )

( )( ) . ( )

( )= =

+ ++ + +

22

1 03

22

1 0

1

1

Y s b S s b S s b s

U s S s a S s a S s a s

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= + +

= + + +

22

1 1 1 0 1

3

1 2

2

1 1 1 0 1

Definindo-se:

S s s 1 2( ) ( )= S s S s s2

1 2 3 ( ) ( ) ( )= =

Aplicando-se a transformao inversa de laplace no sistema de equaes acima, resulta que :

Y t b t b t b t( ) ( ) ( ) ( )= + +2 3 1 2 0 1

e:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 2 3 1 2 0 1

1 2

2 3

t a t a t a t t

t t

t t

= +

=

=


43/112



III-15

( ) ( ) ( )

.( )( )

( )

. ( )

1

2

3 0 1 2

1

2

3

0 1 00 0 1

00

1

tt

t a a a

tt

t

t

=

+

[ ]y t b b b

t

t

t

( ) .

( )

( )

( )

=

0 1 2

1

2

3

3.13- OBTENO DA FUNO DE TRANSFERNCIA DE UM SISTEMA, A

PARTIR DAS EQUAES DE ESTADO

Seja a representao de estado, mostrada abaixo:

Aplicando a transformao de laplace nestas equaes e considerando nulas as condiesiniciais, resulta:

SX s AX s BU s( ) ( ) ( )= +

Y s CX s DU s( ) ( ) ( )= +

( ). ( ) ( ) ( ) ( ) . ( )SI A X s BU s X s SI A BU s = = 1

Substituindo a expresso de X(s) na equao de Y(s), resulta:

{ }Y s C A B D U s( ) .(SI ) . . ( )= +1

Com isto, tem-se:

Y s

U sG s C SI A B D

( )

( )( ) .( ) .= = +1

X t A X t B t

Y t C X t D t

= += +

( ) . ( ) . ( )

( ) . ( ) . ( )

matrix identidade


44/112


45/112



III-17

[ ]Y tX

X( ) .=

1 0

1

2

O novo conjunto de variveis de estado V(t), em funo das variveis de estado X(t), dadopor:

V tX t

X t( ) .

( )

( )=

1 1

1 21

2

Onde: Q Q=

= +

1 1

1 21e e Adj Q. =

2 1

1 1

Sendo P-1=Q, resulta que:

P Q = =

1 1 1

1 2P Q

Adj Q

Q= =1

.P =

2 1

1 1

Com isto, temos que:

P A P =

=

=

1

1 1

1 2

0 1

2 3

2 1

1 1

2 2

4 5

2 1

1 1

2 0

3 1. . . . .

e:

P B =

=

1

1 1

1 2

0

1

1

2. . [ ] [ ]C.P =

= 1 0

2 1

1 12 1.

Finalizando, o novo modelo de variveis de estado dado por:

( )

( ).

( )

( ). ( )

V t

V t

V t

V tt1

2

1

2

2 0

3 1

1

2

=

+

[ ]Y tV t

V t( ) .

( )

( )=

2 1

1

2


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IV-1

& $ 3 7 8 / 2 , 9

MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMAS DINMICOS

4.1- INTRODUO

Inicialmente necessrio que se defina o que sistema, sistema dinmico e sistema esttico.Um SISTEMA uma combinao de componentes que atuam em conjunto para satisfazer um objetivoespecificado. O sistema dito ESTTICO, quando a sada atual do sistema depende somente da entra-da atual. A sada do sistema s varia se a sua entrada variar.

O sistema dito DINMICO, se a sua sada depende da entrada e dos valores passados daentrada. Num sistema dinmico a sada varia se ela no estiver num ponto de equilbrio, mesmo quenenhuma entrada esteja sendo aplicada.

O modelo matemtico de um sistema dinmico definido como sendo o conjunto de equa-es que representam a dinmica do sistema com uma certa preciso. O modelo matemtico de um

dado sistema no nico, isto , um sistema pode ser representado por diferentes modelos depen-dendo da anlise que se deseja fazer.

Na obteno do modelo matemtico para um dado sistema deve-se ter um compromisso en-tre a simplicidade do modelo e a sua preciso. Nenhum modelo matemtico, por mais preciso queseja, consegue representar completamente um sistema.

Em geral deve-se obter um modelo matemtico, que seja adequado para solucionar o pro-blema especfico que esta em anlise. Porm, importante ressaltar que os resultados obtidos destaanlise sero vlidos somente para os casos em que o modelo vlido.

Quando vamos obter um modelo simplificado de um sistema, geralmente ignoramos algumaspropriedades fsicas deste sistema. Se os efeitos que estas propriedades causam na resposta do siste-ma so pequenos, ento uma boa semelhana entre os resultados da anlise matemtica e os resulta-dos prticos do sistema obtido.

Em geral os sistemas dinmicos so no lineares. Porm, os procedimentos matemticos paraa obteno de soluo de modelos lineares so muito complicados. Por isto, geralmente substitu-seo modelo no linear por um modelo linear, com validade somente em uma regio limitada de opera-o, ou para um ponto de operao.

A obteno dos modelos que representam um dado sistema, so baseados nas leis que regemaquele sistema. Por exemplo, na modelagem de um sistema mecnico, deve-se ter em mente as leisde Newton; na modelagem de sistemas eltricos deve-se ter em mente as leis das correntes e dastenses de Kirchoff; na modelagem de sistemas trmicos deve-se ter mente as leis que regem os fe-nmenos trmicos, isto , conduo, radiao e conveno, etc...

Neste captulo, nos preocupamos com a modelagem de sistemas mecnicos de translao erotao e sistemas eletromecnicos. A modelagem de outros sistemas fsicos, tais como, sistemastrmicos e sistemas hidrulicos no sero objeto de anlise.

4.2- MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMAS MECNICOSOs sistemas mecnicos so divididos em dois grupos, isto , sistemas mecnicos de transla-

o, e sistemas mecnicos de rotao. A seguir, alguns conceitos importantes relativos a sistemasmecnicos, sero revisados.

- Massa

A massa de um corpo, a quantidade de matria deste corpo, a qual constante. Fisicamen-te, a massa de um corpo responsvel pela inrcia do mesmo, isto , a resistncia mudana de mo-vimento de um corpo. O peso de um corpo, a fora com a qual a terra exerce atrao deste corpo.


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IV-2

mg

=

Onde:

m massa (Kg) o peso (Kgf)

g a acelerao da gravidade ( 9,81 m/s2)

Embora o peso de um corpo possa variar de um ponto para outro, a massa do mesmo novaria.

- Fora

A fora definida como a causa que tende a produzir uma mudana na posio de um corpo,no qual a fora est atuando. As foras, podem ser classificadas de duas formas, FORAS DECONTATOeFORAS DE CAMPO. As foras de contato so aquelas que tem um contato direto com ocorpo, enquanto as foras de campo no apresentam contato direto com o corpo, como por exem-plo, fora magntica e fora gravitacional.

- Torque

O torque, definido como qualquer causa que tende a produzir uma mudana na posioangular (rotacional) de um corpo, no qual o torque esteja atuando.

- Deslocamento, Velocidade e Acelerao

O deslocamento( )t a troca de posio de um ponto, tomado como referncia, para outro.A velocidade a derivada temporal do deslocamento( )t .

( ) ( ) ( )t d tdt

t= =

A acelerao a derivada temporal da velocidade:

a td t

dt

d t

dtt t t( )

( ) ( )( ) ( ) ( )= = = =

2

2 a

- Deslocamento Angular, Velocidade Angular e Acelerao Angular

O deslocamento angular

(t), definido como a troca de posio angular, sobre um eixo,de um ngulo tomado como referncia e outro. medido em radianos. A direo anti-horrio to-mada como positiva.

A velocidade angular (t), a derivada temporal do deslocamento angular (t).

( )( )

( )td t

dtt= =

A acelerao angular (t), a derivada temporal da velocidade angular .

( )( ) ( )

( )

( )

( )t

d t

dt

d t

dt t t t= = = =

2

2


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IV-3

Obs:Se a velocidade ou a velocidade angular medida em relao a uma referncia fixa, ento

chamamos de velocidade absoluta ou velocidade angular absoluta. Caso contrrio sero grandezasrelativas. O mesmo vlido para a acelerao.

LEIS DE NEWTON

Das trs leis que foram formuladas por Newton, a segunda lei a mais importante, para aobteno de modelos matemticos de sistemas mecnicos.

- Segunda lei de Newton (Translao)

A acelerao adquirida por de qualquer corpo rgido diretamente proporcional as forasque atuam neste corpo, e inversamente proporcional a massa deste corpo.

- Segunda lei de Newton (Rotao)

A acelerao angular de qualquer corpo rgido diretamente proporcional aos torques queatuam neste corpo, e inversamente proporcional ao momento de inrcia deste corpo.

Onde: J Momento de inrcia;

4.2.1- SISTEMAS MECNICOS DE TRANSLAO

Nos sistemas mecnicos de translao, h trs elementos mecnicos envolvidos que so: ele-mento de inrcia, elemento de amortecimento, elemento de elasticidade.

- Elemento de Inrcia (Massa)

M massa;

f(t) fora aplicada;(t) deslocamento.

assumido que a massa rgida. Desta forma a conexo superior, no deve se mover emrelao a conexo inferior, isto , ambas conexes se deslocam segundo(t).

f t M a t md t

dtM

d t

dt( ) . ( )

( ) ( )= = =

22

Onde:

a(t) acelerao; (t) velocidade; (t) deslocamento.

foras = m.a

T = J


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IV-5

Ex2:

Este sistema mecnico, o modelo simplificado de umsistema de suspenso de uma das rodas de um autom-vel, onde:

M1 Massa do automvel;M2 Massa do roda;K1 Cte de elasticidade (mola);K2 Cte de elasticidade (pneu);B Cte de amortecimento (amortecedores).

Se observarmos a figura, existem 2 deslocamentos independentes 1( )t e 2

( )t . Isto significaque, conhecer o deslocamento 1( )t no implica em conhecer o de

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53206003 Apostila de Sistemas de Controle UFSM