54 - Implementasi Dan Komparasi Aturan Segiempat Untuk Penyelesaian Integral Dengan Batas Menggunakan Matlab

Seminar Nasional Teknologi 2007 (SNT 2007) ISSN : 1978 – 9777 Yogyakarta, 24 November 2007

D ‐ 1

IMPLEMENTASI DAN KOMPARASI ATURAN SEGIEMPAT UNTUK PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN BATAS MENGGUNAKAN

MATLAB

Krisnawati

STMIK AMIKOM Yogyakarta

e-mail : [email protected]

ABSTRACT

Integral dengan batas didefinisikan sebagai luasan daerah yang dibatasi oleh suatu fungsi, sumbu x, x=a dan x=b. Salah satu metode untuk penyelesaian integral dengan batas adalah menggunakan aturan segiempat. Aturan ini membagi daerah yang dicari luasannya menjadi beberapa bagian segiempat, sehingga dengan lebar yang semakin kecil (persegi empat yang dihasilkan semakin banyak), diharapkan hasilnya akan semakin mendekati yang sebenarnya. Ada tiga macam aturan segiempat, yakni segiempat atas, segiempat tengah (midpoint rule), serta segiempat bawah. Dari tiga macam aturan tersebut metode segiempat tengah (midpoint rule) lebih cepat konvergen dibandingkan dua metode lainnya.

Keywords : integral dengan batas, aturan segiempat.

1. PENDAHULUAN

Integrasi suatu fungsi yang dinotasikan:

I = (1)

merupakan integral suatu fungsi f terhadap variabel x yang dihitung antara batas x = a sampai x = b. Dari persamaan di atas, yang dimaksud dengan integrasi adalah nilai total atau luasan yang dibatasi oleh fungsi f dan sumbu x, serta antara batas x = a dan x = b.

Integral analitik suatu fungsi dapat diselesaikan dengan mudah. Untuk selanjutnya yang

akan dibahas di sini adalah integrasi numerik yang merupakan metode pendekatan dari integrasi analitik. Integrasi numerik akan dilakukan apabila: integral tidak dapat (sukar) diselesaikan secara analitik. Metode integrasi numerik merupakan integral tertentu yang berdasarkan pada hitungan perkiraan. Seperti pada metode perhitungan integral secara analitik, hitungan integral secara numerik dapat dilakukan dengan membagi luasan dalam sejumlah pias kecil. Jumlah luas semua pias yang disebut dengan luas total.

y=f(x)

x=a x=b


D ‐ 2

2. ATURAN SEGIEMPAT

Untuk mempermudah mencari luasan daerah yang dimaksud maka dilakukan pemecahan interval batas menjadi beberapa bagian yang sama luasnya.

Luas daerah dicari dengan:

Luas = jumlahan luas segiempat

∑

∑

∑

−=

=

=

n

i

n

i

n

i

xfnab

anglebarxpanj

Luas

1

1

1

)(*)/)((

dengan x1=a+(b-a)/n

xi = xi-1+(b-a)/n

n : jumlah panel

y=f(x)

x=a x=b

Gambar 1. Pemecahan daerah untuk aturan segiempat atas

y=f(x)

x=a x=b

Gambar 2. Pemecahan daerah untuk aturan segiempat tengah (mid point rule)

: titik tengah interval


D ‐ 3



∑

∑

∑

−=

=

=

n

i

n

i

n

i

xfnab

anglebarxpanj

Luas

1

1

1

)(*)/)((

dengan x1=a+(b-a)/2n

xi = xi-1+(b-a)/n

n : jumlah panel



∑

∑

∑

−=

=

=

n

i

n

i

n

i

xfnab

anglebarxpanj

Luas

1

1

1

)(*)/)((

dengan x1=a

xi = xi-1+(b-a)/n

n : jumlah panel

3. IMPLEMENTASI PROGRAM

Algoritma diatas diimplementasikan menjadi sebuah program, dengan jumlah panel

y=f(x)

x=a x=b

Gambar 3. Pemecahan daerah untuk aturan segiempat bawah


D ‐ 4

(jumlah segiempat) awal adalah 100. Untuk setiap proses berikutnya dibuat jumlah panelnya bertambah 100, sehingga dengan semakin banyaknya panel yang dibuat, hasil yang didapat akan mendekati yang sebenarnya.

Listing programnya sebagai berikut:

clc;clear;

syms x;

f=input('Masukkan persamaan = ');

x1=input('Masukkan batas bawah = ');

x2=input('Masukkan batas atas = ');

b=100;

fprintf('=====================================================\n');

fprintf('Jml panel PPA PPT PPB\n');

fprintf('=====================================================\n');

for j=1:25

%metode segiempat atas

d=(x2-x1)/b;

luasa=0;

t=x1;

for i=1:b

t=t+d;

ft=subs(f,x,t);

luas1a=ft*d;

luasa=luasa+luas1a;

end

%metode segiempat tengah (midpoint rule)

t=x1-d/2;

luast=0;

for i=1:b

t=t+d;

ft=subs(f,x,t);

luas1t=ft*d;

luast=luast+luas1t;

end

%metode segiempat bawah

luasb=0;

t=x1;

for i=1:b


D ‐ 5

ft=subs(f,x,t);

luas1b=ft*d;

luasb=luasb+luas1b;

t=t+d;

end

fprintf('%4d %2.7f %2.7f %2.7f\n',b,luasa,luast,luasb);

b=b+100;

end

fprintf('=====================================================\n');

4. HASIL PERCOBAAN

Diambil contoh kasus sebagai berikut:

Hitung dxx∫4

2

2.

Secara analitis permasalahan diatas dapat diselesaikan sebagai berikut:

6666666.183

5638

364

31

4

2

4

2

32 ==−==∫ xdxx

Dengan menggunakan implementasi algoritma ketiga aturan di atas didapat output sebagai berikut (dengan tingkat ketepatan 7 angka dibelakang koma untuk aturan titik tengah):

Masukkan persamaan = x^2

Masukkan batas bawah = 2

Masukkan batas atas = 4

======================================================

Jml panel PPA PPT PPB

======================================================

100 18.7868000 18.6666000 18.5468000

200 18.7267000 18.6666500 18.6067000

300 18.7066815 18.6666593 18.6266815

400 18.6966750 18.6666625 18.6366750

500 18.6906720 18.6666640 18.6426720

600 18.6866704 18.6666648 18.6466704

700 18.6838122 18.6666653 18.6495265

800 18.6816687 18.6666656 18.6516687

900 18.6800016 18.6666658 18.6533350


D ‐ 6

1000 18.6786680 18.6666660 18.6546680

1100 18.6775769 18.6666661 18.6557587

1200 18.6766676 18.6666662 18.6566676

1300 18.6758982 18.6666663 18.6574367

1400 18.6752388 18.6666663 18.6580959

1500 18.6746673 18.6666664 18.6586673

1600 18.6741672 18.6666664 18.6591672

1700 18.6737260 18.6666664 18.6596083

1800 18.6733337 18.6666665 18.6600004

1900 18.6729828 18.6666665 18.6603512

2000 18.6726670 18.6666665 18.6606670

2100 18.6723813 18.6666665 18.6609527

2200 18.6721215 18.6666665 18.6612124

2300 18.6718843 18.6666665 18.6614495

2400 18.6716669 18.6666666 18.6616669

2500 18.6714669 18.6666666 18.6618669

======================================================

5. PEMBAHASAN

Dengan melihat hasil percobaan diatas terlihat bahwa untuk jumlah panel berapapun aturan titik tengah memberikan hasil yang lebih mendekati kepada hasil yang sebenarnya. Dengan tingkat ketepatan 7 angka dibelakang koma, aturan titik tengah memberikan hasil benar dengan jumlah panel 2.500. Sedangkan dua metode lainnya sampai dengan 100.000 panel (hasil tidak dilampirkan), baru mencapai tingkat ketepatan 2 angka dibelakang koma.

Dengan melihat visualisasi pada tiga gambar diatas bisa dijelaskan bahwa metode titik tengah mengambil rata-rata tinggi persegi panjang dari titik tengah lebar persegi panjangnya. Metode segiempat bawah menggunakan batas bawah interval untuk panjang segiempatnya, sedangkat metode persegiempat atas menggunakan batas atas interval untuk panjang persegiempatnya. Sehingga hasil untuk metode segiempat tengah akan nampak sebagai titik tengah antara metode segiempat atas dan segiempat bawah.

Dengan melihat kelebihan/kekurangan luasan yang dihasilkan oleh ketiga metode diatas, telihat pula metode segiempat atas mempunyai kelebihan paling besar (error paling besar positif). Metode segiempat tengah mempunyai sedikit kekurangan pada daerah hasilnya (error paling kecil negatif). Metode segiempat bawah mempunyai banyak kekurangan pada daerah hasilnya (error paling besar negatif).

6. KESIMPULAN

Dari ketiga aturan segiempat diatas, aturan segiempat tengah (midpoint rule) lebih cepat konvergen dibanding dengan dua metode lainnya. Ini dapat dimengerti dengan mudah, karena dalam metode ini kekurangan/kelebihan luasan yang ada, lebih kecil jika dibandingkan dengan dua metode lainnya.


D ‐ 7

7. DAFTAR PUSTAKA

[1] Gary J. Lastman & Naresh K. Sinha, 2000, Microcomputer-Based Numerical Methods for Science and Enginering.

[2] MatLab 6 Help.

[3] William J Palm, 2004, Introduction to MatLab 6 for Engineers, The McGraw-Hill Companies, Inc.

[4] http://www.malang.ac.id/e-learning/FMIPA/

[5] http://library.gunadarma.ac.id/files/disk1/9/jbptgunadarma-gdl-course-2004-jackwidjaj-415-met_num_-p.ppt

Documents

54 - Implementasi Dan Komparasi Aturan Segiempat Untuk Penyelesaian Integral Dengan Batas Menggunakan Matlab