Upload
saturnino-san-jose
View
215
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
/54
Sistemas dinamicos
Estabilidad
1
/54
Contenido
1. Conexion entre los valores propios de la matriz de estado y los polos de la funcion de transferencia
2. Estabilidad interna de los sistemas lineales
3. Lyapunov y la estabilidad de sistemas lineales
4. Estabilidad externa de los sistemas lineales
2
/54
Conexion entre los valores propios de la matriz de estado y los polos de la funcion de transferencia
3
/54
La matriz de transicion
Por definicion la matriz de transicion es
» Entonces, utiliza la matriz
» Por lo tanto, cada elemento de la matriz de transicion contendra el polinomio caracteristico en el denominador
4
11Ate L sI A
1
det
adj sI AsI A
sI A
/54
Ejemplo
Considere la matriz A del sistema masa-resorte -amortiguador:
5
Entonces,
polinomio caracteristico de A
/54
La matriz de transicion
Volviendo con la matriz de transicion, se tiene entonces,
» En donde cada elemento de la matriz Adj{sI - A} es de orden menor o igual a n-1 y el escalar det{sI - A} es de orden n.
Por lo tanto, cada elemento de esta matriz puede escribirse,
6
11 12 21 22
2 21 21 2
a a a a
s s s ss s s s
1
det
adj sI AsI A
sI A
Expansion en fracciones parciales
/54
Elementos de la matriz de transicion
Al obtener el laplace inverso los elementos de la matriz de transicion toman la forma
7
1 1 2 211 12 21 22
s t s t s t s ta e a te a e a te
Los valores s1, s2, …, son también por definición los valores propios λi de A. Se puede concluir que:
Los valores propios son también conocidos como los modos caracteristicos del sistema
La matriz de transición de A tiene exponenciales cuyos exponentes están formados por los valores
propios de A
/54
Descomposicion en los componentes modales
8
Ejemplo: Respuesta impulsiva de un sistema LTI,
La señal de salida es muy complicada
La solucion se puede descomponer en sus componentes modales
con λ’s distintos
/54
Valores propios de la matriz de transicion
Sea λi un valor propio de A y vi su respectivo vector propio. Entonces,
9
itAti ie v e v
Es decir, la matriz de transición tiene por vectores propios a vi y por valores propios ite
Demostrar!
/54
Una trayectoria particular
Un resultado importante de esto es que la respuesta a entrada cero para una condición inicial x0
correspondiente a un vector propio vi se simplifica a
10
0itAt At
i ix t e x e v e v
Es decir, sólo el modo λi es excitado y la respuesta tiene
la dirección de vi y con una magnitud dada por eλit
/54
Una trayectoria particular
Un resultado importante de esto es que la respuesta a entrada cero para una condición inicial x0
correspondiente a un vector propio vi se simplifica a
11
0itAt At
i ix t e x e v e v
Si los valores propios son complejos y conjugados, éstos tendrán asociados vectores propios complejos y conjugados. En este caso, la condición inicial deberá tomarse como:
*0 i ix v v 2Re it
ix t e v
/54
Comportamiento de los modos
12
Parte real negativa
Parte real ceroSimples o repetidos
con ma = mg
Parte realpositiva
Re(l)
Im( l )
i i ij Valor propio correspondiente
iti ix e v
/54
Los modos en el plano complejo
13
0 if Re 0
lim if Re 0
if Re 0
t j t
t
λ
e e λ
λ
Estable Inestable
Im{l}
Re{l}
Marginalmenteestable
Semi-plano izquierdo (LHP)
Semi-plano derecho (RHP)
Valores propios distintos
Valores propios repetidos
0Reif
0Reif
0Reif0
lim
tk
tet
Para r raices repetidas del valor de ,l k = 0,…, r –1
/54
Impacto de los modos característicos
La respuesta de entrada cero consiste de los modos característicos del sistema
Sistema estable modos característicos decaen de manera exponencial y eventualmente se hacen cero
14
/54
Impacto de los modos característicos
Si la entrada tiene la forma de un modo característico, entonces el sistema respondera enérgicamente
Si la entrada es muy diferente de los modos característicos, entonces la respuesta sera débil
15
/54
Impacto de los modos característicos
Ejemplo: sistema escalar de primer-orden con el modo característico elt, condiciones iniciales cero, D = 0
Tres casos
16
resonancia
amplitud grande respuesta fuerte
amplitud pequeña respuesta debil
tt e u
y t
0
tt
t
y t ce be ud t tA
e e u
u t e u
/54
Modos no observables
El par (A,C) no es observable si y solo si para algún vector propio vk de A se cumple,
» Prueba: El par (A,C) es no obserbable si existe un estado no observable x*. Entonces
» Seleccionando el estado inicial
17
0kCv
* 0Aty t Ce x
* kx v
/54
Modos no observables
» Prueba: Los vectores propios forman un base por lo tanto cualesquier vector x0 ≠ 0 (en particular si x0 es no observable) puede ser generado a partir de
» Asi,
» Dado que x0 ≠ 0, entonces algun ak ≠ 0, entonces
18
1 1 2 2* n nx a v a v a v
1 21 1 2 2* ntt tAt
n ne x a e v a e v a e v
1 21 1 2 2* 0ntt tAt
n ny t Ce x a e Cv a e Vv a e Cv
0kCv
/54
Modos no controlables
El par (A,B) no es controlable si para algún vector propio wk de AT se cumple,
» Prueba: El par (A,B) es no controlable si existe un estado no controlable x*. Entonces
» Seleccionando el estado inicial
19
0TkB w
* kx w
* 0TT A tB e x
Se dice que wk es un vector propio por la izquierda de A
etc…
/54
La descomposicion canonica y los modos
En terminos de los modos, en la descomposicion canonica se tienen entonces:
» Modos controlables y observables
» Modos controlables y no observables
» Modos no controlables y observables
» Modos no controlables y no observables
20
CO
CO
C O
C O
u t
y t
/54
La descomposicion canonica y los modos
21
CO
CO
C O
C O
u t
y t
De la figura vemos que solo la parte controlable y observable del sistema determina la matriz transferencia.
1co co coH s C sI A B D
Unicamente los autovalores de la submatriz correspondiente a los estados del subsistema controlable y observable apareceran como POLOS de la funcion de transferencia
/54
La descomposicion canonica
22
CO
CO
C O
C O
u t
y t
1co co coH s C sI A B D
Por lo tanto la representacion en matriz tranferencia (representacion externa) no es necesariamente equivalente a la representacion en espacio de estados ( representacion interna).
/54
La descomposicion canonica
23
CO
CO
C O
C O
u t
y t
El subsistema observable y controlable, tomado como realizacion de la funcion de transferencia del sistema, es una realizacion minima, puesto que no puede obtenerse otra realizacion de orden menor con la misma funcion de tranferencia.
1co co coH s C sI A B D
/54
ESTABILIDAD INTERNA DE LOS SISTEMAS LINEALES
24
/54
El concepto de estabilidad
En general, la estabilidad interna describe las propiedades de convergencia de las trayectorias cercanas a estados de equilibrio del sistema
Para sistemas lineales, existe un solo estado de equilibrio aislado : el origen
25
0ex Ax
Los estados de equilibrio del sistema x = f(x) a son los puntos xe tales que f(xe) = 0.
x
0ex
/54
El concepto de estabilidad
En un estado de equilibrio estable, la presencia de un cambio pequeño en las entradas o condiciones iniciales tendra como resultado pequeñas modificaciones en su respuesta perturbada.
26
tx
0t Time
/54
El concepto de estabilidad
Por otro lado, en un estado de equilibrio inestable cualquier perturbacion, por pequeña que sea, llevara a los estados a alejarse cada vez mas
27
tx
0t Time
/54
Ejemplo
28
Estabilidad de los puntos de equilibrio» Eq #1 es estable» Eq #3 es inestable» Eq #2 and #4 son inestables,
pero con algunos “modos” estables
Eq #1 Eq #2
Eq #3 Eq #4
El doble pendulo invertido (sistema no lineal)
/54
Estabilidad interna de sistemas LTI
La estabilidad interna es un concepto especial de los sistemas lineales de la forma:
Y la definicion de estabilidad interna se hace para cualquier solucion del sistema no forzado
29
x Ax Bu
y Cx Du
x Ax
/54
Estabilidad en el sentido de Lyapunov
Definicion (Estabilidad en el sentido de Lyapunov).
» El (punto de equilibrio del) sistema es internamente estable en el sentido de Lyapunov, o simplemente estable,
» si toda condicion inicial finita origina una trayectoria acotada.
30
para toda solucion x(t), x(0) = x0
0x
ex
/54
Estabilidad Exponencial Definicion (Estabilidad Exponencial).
» El sistema es exponencialmente estable si existen constantes positivas y tales que
» toda condicion inicial finita origina una trayectoria acotada que ademas tiende al origen cuando
31
para toda solucion x(t), x(0) = x0
0x
ex
t
Definicion: El sistema es inestable si no es estable
/54
Ejemplo: estabilidad asintotica
32
-1 0 1-1
-0.5
0
0.5
1
x1
x2
-1 0 1-1
-0.5
0
0.5
1
x1
x2
1 2
2 1 2
x xdx x xdt
En las graficas se muestra la dinamica de los estados como campos vectoriales
/54
Estabilidad de un punto de equilibrio
33
Asintoticamene estable si todas las condiciones iniciales cercanas convergen al punto de equlilibrioEl punto de equilibrio es un atractor
Inestable si algunas condiciones iniciales divergen del punto de equilibrioEl punto de equilibrio es una fuente
Estable si las condiciones iniciales cercanas permanecen cerca del punto de equilibrio El punto de equilibrio es un centro
lim ( ) (0)e et
x t x x x
lim ( ) for some (0)t
x t x
( ) < , (0)e ex t x t x x
-1 0 1-1
-0.5
0
0.5
1
-1 0 1-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10-1
0
1
0 5 10-1
0
1
0 5 10-1
0
1
-1 0 1-1
-0.5
0
0.5
1
/54
Teorema de la estabilidad interna
El sistema es internamente inestable si algun autovalor de A tiene parte real positiva (pertenece al semiplano derecho del plano complejo).
» Prueba: en este caso, hay un valor propio con el correspondiente vector propio que da respuestas reales
34
1 cos sintx t e wtu wtv
iw C
2 sin costx t e wtu wtv
u iv
Claramente estas soluciones no estan acotadas cuando ya que
t 0
/54
Teorema de la estabilidad interna
El sistema es asintoticamente estable si y solo si todos los autovalores de A tienen parte real negativa (pertenecen al semiplano izquierdo del plano complejo).» Prueba: Si todos los autovalores estan en entonces
cualquier solucion sera una combinacion lineal de n funciones vectoriales de la forma
35
C
cos sink tt e wtu wtv k tt e u sin cosk tt e wtu wtv
Claramente estas soluciones tienden a cero cuando ya que
t 0
iw C
Se dice que la matriz A es Hurwitz si todos sus autovalores tienen parte real negativa
/54
Teorema de la estabilidad interna
El sistema estable en el sentido de Lyapunov si y solo si todos los autovalores de A tienen parte real no positiva, y para aquellos con parte real cero (sobre el eje imaginario) su multiplicidad aritmetica es igual a su multiplicidad geometrica.» Prueba: Si todos los autovalores tienen parte real cero, y su
multiplicidad aritmetica es igual a su multiplicidad geometrica, entonces la solucion tiene la forma
» De no ser asi, mg < ma, y la solucion tiene la forma
36
coskt wtu sinkt wtu
sin wtu cos wtu
Es inestable
/54
LYAPUNOV Y LA ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS LINEALES
37
/54
Análisis basado de la estabilidad en la energía
Ejemplo: sistema masa-resorte-amortiguador
38
Energía = Energía cinética + Energía potencial
¿Convergen las trayectorias al punto de equilibrio?
/54
Análisis basado de la estabilidad en la energía
Si no existiese amortiguamiento (c = 0), la energía aplicada en t = 0 se conservaría en el sistema ya que no existiría disipación.
Como consecuencia del amortiguamiento, la energía se disipa y las trayectorias van pasando por curvas de equi-energía de menor nivel hasta llegar al punto de equilibrio (el origen)
39
/54
Análisis basado de la estabilidad en la energía
Al evaluar la función de energía a lo largo de una trayectoria de sistema,
En este caso, la energia decae a cero, y cada variable de estado decae a cero cuanto el tiempo tiende a infinito
40
/54
Los metodos de Lyapunov
Los metodos de Lyapunov permiten determinar la estabilidad de sistemas de ecuaciones diferenciales sin necesidad de calcular explicitamente las soluciones
Se basan en las propiedades de una función V(x) (función de Lyapunov ) de los estados del sistema
» V(x) es una funcion escalar real definida en una región acotada y cerrada en el espacio x que contiene al origen, tal que,
41
0V x
/54
Teoremas de Lyapunov
El punto de equilibrio x = 0 del sistema es estable en la región S al rededor del origen si:
» Existe una fucion V(x) > 0 (definida positiva) en S
» Con (semidefinida negativa) en S a lo largo de la solucion del sistema
42
x f x
0V x
El teorema solo da condiciones suficientes de estabilidad y no condiciones necesarias.
/54
Teoremas de Lyapunov
El punto de equilibrio x = 0 del sistema es asintoticamente estable en la región S al rededor del origen si:
» Existe una fucion V(x) > 0 (definida positiva) en S
» Con (definida negativa) en S a lo largo de la solucion del sistema
43
x f x
0V x
El teorema solo da condiciones suficientes de estabilidad y no condiciones necesarias.
/54
Matrices definidas positivas
Una matriz cuadrada M es definida positiva si
Es semidefinida positiva si
El escalar xTMx es llamado una forma cuadratica
44
0Tx Mx Para todo x ≠ 0
0Tx Mx Para todo x ≠ 0
/54
Aplicación a los sistemas lineales
Sea un sistema lineal y una matriz definida positiva P, entonces
46
x Ax
es una funcion de Lypunov
0V x
/54
Aplicación a los sistemas lineales
Sea un sistema lineal , probemos como funcion de Lypunov , entonces
» Observamos que es tambien una forma cuadrática en terminos de la matriz simétrica AT+PA.
» Por lo tanto, una condicion suficiente para estabilidad asintotica es la existencia de una matriz definida positiva P para la cual AT+PA es definida negativa
47
x Ax
/54
Teorema de Lyapunov
Teorema: Para cualquier matriz definida positiva Q, la ecuacion de Lyapunov
Tiene una unica solucion P, simetrica definida positiva, si y solo si todos los valores propios de A tienen parte real estrictamente negativa
48
Prueba: ver texto
/54
ESTABILIDAD EXTERNA DE LOS SISTEMAS LINEALES
49
/54
Estabilidad de entrada-salida
Definicion (Estabilidad de entrada- acotada/salida-acotada (BIBO))
» Un sistema (A,B,C,D) es estable BIBO (entrada-acotada/salida-acotada) si toda entrada acotada produce una salida acotada, con condiciones iniciales nulas.
50
u t M y t K 00, 0t x
/54
Estabilidad de entrada-salida
Teorema: El sistema (A,B,C,D) es BIBO estable si y solamente si la respuesta impulsiva h(t) = CeAtB+ Dδ(t) satisface
51
0
h t dt M
Prueba: Sea la entrada u(t) acotada, |u(t)| ≤ k1 < , t ≥ 0. Entonces
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t h u t d h u t d
1 1 1
0 0
( ) ( )h k d k h d k M
/54
Estabilidad de entrada-salida
Teorema: El sistema (A,B,C,D) es BIBO estable si y solamente si la respuesta impulsiva h(t) = CeAtB+ Dδ(t) satisface
52
0
h t dt M
Prueba: Suponga que h(t) no es absolutamente integrable. Entonces, para
un sistema causal, LTI, con u(t) = k1 > 0 and h(t) > 0, t ≥ 0,
t
dtuhty0
)()()( t
dhkty0
1 )()(
00
)()( dhdht
t ,
y(t) no es acotada aunque u(t) sea acotada
/54
Funcion de transferencia
Teorema: un sistema dinámico LTI SISO es BIBO estable si y solamente si cada polo de su funcion de transferencia H(s) esta colocado sobre el semiplano izquierdo del plano s
53
Prueba: Sea H(s) una funcion racional propia de s, entonces cada polo
localizado en s = - pi, pi > 0, tiene multiplicidad ni, tal que
nnm
ii
1
1 1 ( )
inmij
ji j i
kH s
s p
m
i
n
j
tpjijm
i
n
jj
iij
i
i
i
etj
k
psLksHLth
1 1
1
1 1
11
)!1()(
1)()(
Absolutamente integrable
/54
Relaciones entre estabilidad externa e interna
Evidentemente, cada polo de H(s) es un valor propio de
A.
» Por lo tanto, si cada valor propio de A tiene parte real negativa,
entonces todos los polos de H(s) estan en el semiplano izquierdo
del plano s. Por lo tanto el sistema descrito por A es BIBO
estable.
Sin embargo, no todo autovalor de A aparecera como
polo de H(s), ya que puede haber modos no
observables o no controlables
54
/54
Ejemplo
Considere el sistema
55
)(2
2)(~
01
10)(~ tutxtx
)(~10)( txty
21det( ) det 1 ( 1)( 1)
1I A
El sistema es internamente inestable a causa del valor propio en = 1!
2 2
1 1 1
2 2
1
1 1( )1
1 1
At
s
s se L sI A Ls
s s
)(2
1)(
2
1
)(2
1)(
2
1
tttt
tttt
eeee
eeee
/54
Ejemplo
Considere el sistema
56
2
2
1
110
1
1)()(
21
s
s
sBAsICsH
1
2
)1)(1(
)1(2
1
222
sss
s
s
s
Cancelacion de polos y ceros en el calculo de la funcion de transferencia
La respuesta impulsiva es
)(2)( tueth st
00
01)(
t
ttu s BIBO estable
/54
Fuentes
A. D. Lewis, A Mathematical Approach to Classical Control, 2003, on line acces http://www.mast.queensu.ca/~andrew/teaching/math332/notes.shtml
Robert L., Williams, Douglas A. Lawrence “Linear State-Space Control Systems”, Wiley, 2007
Marino and Tomei, “Nonlinear Control Design: Geometric, Adaptive, & Robust”, Prentice-Hall, 1995.
57
/54
FIN
58