554-1842-1-Pb Solucion Numerica a Ec Dif Parciales

TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XXV, No. 1, 2005 87

ESTUDIO DE LA APROXIMACIÓN EN LA SOLUCIÓNNUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES

PARCIALES UTILIZANDO EL ESQUEMA DEDISCRETIZACION TOTALMENTE IMPLÍCITO APLICADO

A LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN(SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONESDIFERENCIALES PARCIALES PARTE III)

Armando A. Díaz García, Eldis Mejías Aliaga, Heber A. Díaz MatosUniversidad de Oriente

En el presente trabajo se hace una evaluación de la aproximación de los resultados entre lasolución analítica y numérica de ecuaciones diferenciales parciales parabólicas aplicadas a latransferencia de calor por convección.Se toma como modelo físico la transferencia de calor por convección a través de un conductocilíndrico por el cual circula un fluido newtoniano en régimen laminar y estacionario.Se obtienen los resultados numéricos aplicando los esquemas de discretización explícito ytotalmente implícito, concluyéndose que a iguales incrementos de espacio y tiempo los resultadosmas aproximados a los analíticos son los correspondientes al esquema explícito.Palabras clave: ecuaciones diferenciales parciales, transferencia de calor por convección.

In the present work is made an evaluation of the approach of the results among the analytic andnumeric solution of parabolic partial differential equations applied to the transfer of heat byconduction. It is taken as physical model the transfer of heat by conduction through a plane wall.The numeric results are obtained applying the outline of explicit and completely implicitdiscretización being concluded that at same space and increments the results most approximateto the analytic ones are those corresponding to the explicit outline.Key words: partial differential equations, heat transfer by convection.

Introducción

La utilización de los métodos numéricos en lasolución de las ecuaciones diferenciales parcia-les, constituye un enorme avance en la soluciónde los problemas en los que se ven involucradasmás de una variable. Teniendo en cuenta que lamayoría de los problemas son de naturaleza com-pleja, y que los modelos por utilizar no pueden sersiempre simplificados, las ecuaciones diferencia-les parciales son una herramienta insustituiblecuya principal dificultad consiste en lo complejoque resulta obtener una solución analíticapráctica.

Este trabajo se ha desarrollado para compararlos resultados obtenidos con las soluciones analí-ticas y aproximadas utilizando diferencias finitasen modelos matemáticos cuya solución analíticaes conocida.

Fundamento teórico

Por lo general, las ecuaciones diferencialesparciales más comunes aplicadas a la ingenieríaquímica son del tipo:

que en este caso, corresponde a la ecuación noestacionaria de la variación de la temperatura enun plano es posible; muy sencillamente, clasificarlas ecuaciones de este tipo.

Si A . B > 0 y E = 0 se dice que la ecuaciónes elíptica, y si A o B son nulas o ambas existen,pero E = 0 entonces la ecuación es denominadaparabólica.

En general, las ecuaciones parciales que des-criben la distribución de una propiedad en estado

02

2

2

2=+

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂

∂+

∂

∂ FtTE

XTD

XTC

Y

TBX

TA

TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XXV, No. 1, 200588

estacionario (en el ejemplo hemos tomado latemperatura), son por lo general ecuaciones elíp-ticas, y las que la describen en estado no estacio-nario son parabólicas.

Las ecuaciones discretas, obtenidas cuando sesustituyen por diferencias finitas las derivadas par-ciales de las ecuaciones diferenciales parabólicas desegundo orden con coeficientes constantes parafunciones de dos variables, son por lo general de laforma:

Para que una ecuación discreta tenga solu-ción, deben cumplirse las siguientes condicionespara la convergencia:1. Todos los coeficientes ai de la ecuación dis-

creta tienen que ser menores que la unidad.

2. La suma de todos los coeficientes a1 tienenque ser igual o menor que la unidad.

3. Todos los coeficientes ai tienen que ser posi-tivos.

En términos generales, el sistema deecuaciones que se obtiene se puede clasificarcomo explícito o implícito.

El sistema es explícito cuando el cálculo de losvalores Ti,,j de una fila de la red se puede calcularpunto a punto, resolviendo sólo una ecuación cadavez. En los sistema implícitos, como su nombre loindica, el cálculo de los Ti,,j de una fila de la red,se realiza resolviendo simultáneamente el sistemade ecuaciones que corresponde a dicha fila.

Esquema de discretización

Teniendo en cuenta que muchas veces, lasecuaciones discretas obtenidas no convergenadecuadamente o presentan dificultades en lamanipulación de los intervalos, es posible estable-cer diferentes relaciones entre las variables dis-cretas que permitan mejores resultados en lassoluciones. Un ejemplo claro del uso de los esque-mas de discretización consiste en la posibilidad deconvertir las ecuaciones discretas explícitas en

completamente implícitas, lo cual permite que sepueda seleccionar arbitrariamente la magnitud delos intervalos sin ningún tipo de restricciones.

Tomemos como ejemplo la ecuación parabólica: (1)

Supongamos una malla en ∆X y ∆t igualmenteespaciada donde las coordenadas de un nodoP(i,j) puede indicarse con la notación:

donde:

El valor de la función T entre tn evaluado paraun tiempo p, y tn evaluado para un tiempo p+θ,puede escribirse por medio de la notación:

donde θ es una fracción de ∆t y se puede obtenerinterpolando linealmente entre los valores extre-mos del intervalo (n,p) y (n,p+1):Interpolando:

(2)

donde θ es un parámetro que define la posición delpunto base interpolado.Si:a) θ = 0 el punto coincide con

b) θ = 1 el punto coincide con

c) el punto está en el medio del intervalo

Reducción a las diferencias finitas de losesquemas de discretización

El esquema de discretización totalmente implí-cito se deduce a partir de la sustitución de la

2

2

X

Tkt

TCp∂

∂=

∂∂ρ

6

),( ptnXTpnT =

6

XptXnX

p

n

∆=∆=

θ+pnt

6

pnTp

nTpnTp

nT −+=−+ θθ)1(

6

pn

pn

pn TTT )1(1 θθθ −+= ++

6

pnT

1+pnT

21

=θ

21

+pnT

mnTamnTamnTamnT ,13,12,11, −+++=+

0<ia

∑ ≤ 1ia

0>ia


ecuación (2) en las expresiones (3), (4) y (5) quedescriben las derivadas en el punto (p + θ).

A partir de esta sustitución y evaluando paraθ = 1 se obtiene que:

y

Sustituyendo estas expresiones en la ecuaciónparabólica (1)

Finalmente:

Todos los coeficientes de la ecuación resultanmenores que la unidad para cualquier valor de Fo, locual facilita la solución de los problemas, desde el puntode vista de la convergencia, ya que permite elegirlibremente los valores de los incrementos.

Desarrollo de la investigación

En el presente artículo se hace un resumen dela evaluación de la aproximación de los resultados

(4)

(3)

(5)

entre las soluciones analíticas y numéricas deecuaciones diferenciales lineales parabólicas, to-mando como modelo físico para la comparaciónla transferencia de calor por convección en unconducto cilíndrico que aparece totalmente desa-rrollado en /14/.

Teniendo en cuenta que la ecuación diferen-cial parcial que se obtiene como modelo matemá-tico para describir el fenómeno es parabólica, losresultados numéricos aproximados se obtienenaplicando los esquemas de discretización explíci-to y totalmente implícito con vistas a compararloscon los obtenidos con la solución analítica.

Modelo físico

Descripción del modelo correspondiente ala transferencia de calor por convecciónforzada en un conducto cilíndrico

Solución analiticaEn el libro Fenómenos de transporte /1/ de R.

Byron Bird, se considera un problema deconvección forzada en estado estacionario quepresenta un caso límite suficientemente sencillopara poder resolverse analíticamente. Un fluidoviscoso cuyas propiedades físicas son constantes(ρ, µ, k, Cp) circula en flujo laminar por un tubode radio R para z<0, la temperatura del fluido esconstante e igual a T0, y para z>0 hay un flujo decalor q1 a través de la pared.

Para obtener la solución del problema de trans-misión de calor por convección es necesario de-terminar el perfil de velocidad en el sistema, paralo cual en /1/ se lleva cabo un balance de cantidadde movimiento, obteniéndose que:

en la que viene dada porPara obtener la distribución de temperatura se

aplica un balance de energía calorífica, y teniendoen cuenta que Τ es una función de r y z; seconcluye que la ecuación diferencial que describela variación de la temperatura viene dada por:

(6)

MAXZv ,

t

pnTp

nTt

T∆

−+=

∂∂

1

XTT

XT p

np

n

∆−

=∂∂ +

−+

+

211θθ

2121

2

2

X

pnTp

nTpnT

X

T

∆

+−++−+

+=∂

∂θθθ

XTT

XT p

np

n

∆−

=∂∂ +

−+

+

2

11

11

2

11

1211

2

2

X

pnTp

nTpnT

X

T

∆

+−++−+

+=∂

∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆

+−=

∆− +

−++

++

2

11

111

1 2X

TTTkt

TTCpp

np

np

np

np

nρ

( )11

111

1 2 +−

+++

+ +−=− pn

pn

pn

pn

pn TTTFoTT

( ) ( )11

11

121 +−

++

+ ++=+ pn

pn

pn

pn TTFoTTFo

( )11

11

1

2121+

−+

++ +

++

+= p

np

n

pnp

n TTFo

FoFo

TT

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

21; R

rMAXZvZv


Además, teniendo en cuenta que generalmen-te la conducción del calor en la dirección z espequeña, comparada con la transmisión porconvección, el término puede suprimirse, sin

errores apreciables, en la ecuación (7) quedandofinalmente:

Para resolver la ecuación diferencial (8) quedescribe la variación temperatura en función der y z en el tubo, se utilizan las siguientes condicio-nes límites:C.L 1: para r = 0, T = finito (9)C.L 2: para r = R, (una constante) (10)C.L 3: para z= 0, (para cualquier valor de r) (11)

Además, se introducen las siguientes variablesadimensionales:

La ecuación que se obtiene para la distribuciónde temperatura es

que resuelta teniendo en cuenta que ζ > 0,1, lasolución de la ecuación (12) obtenida es :

Este resultado expresa la temperatura en funciónde la coordenada radial adimensional ξ y la axial ζ.Es exacta en el límite cuando ζ → ∞ ; para ζ = 0,1predice el valor local de Θ con un error aproximadodel 2 por ciento.

Solución por el método de las diferencias finitasdel problema correspondiente a la transferenciade calor por convección forzada en régimenlaminar por un conducto cilíndrico

Consideremos que un fluido viscoso cuyas pro-piedades físicas son constantes (ρ, µ, Κ, Cρ) circu-

la con flujo laminar en un tubo de radio (R). ParaZ<0 la temperatura del fluido es constante e iguala T0, y para Z>0 hay un flujo de calor constante q1

a través de la pared .Se desea determinar el perfilde temperatura.Datos de prueba por utilizar para la validación delproblema:

Solución del problema utilizando el esquemaexplícito

Por un balance de energía calorífica microscó-pico se obtiene:

Teniendo en cuenta que para r = 0 hay unadiscontinuidad, ya que entonces:

Para resolver la discontinuidad en el punto r =0se aplica el teorema de L Hospital:

Luego sustituyendo (15) en (14)

Definiendo:

Discretizando:

(7)

(8)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∂∂

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

2

2121

z

TrTr

rrk

zT

Rr

MAXvpCρ

2

2

z

T

∂

∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∂∂

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

rTr

rrk

zT

Rr

MAXvpC 121ρ

mD 05,0= mr 005,0=∆

kgkcalCp /7,0=

CT °= 300

6

3/8001 mkg=ρ

6

hkcalq /2001 −= hmkcalk °= /35,0

Chmkcalh °= 2/100

kRqTT/10−

=ΘRr

=ξ 2, RMAXZvpC

zk

ρζ =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Θ∂

∂∂

=∂Θ∂

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

ξξ

ξξζξ

121

2774

4124 ++−−=Θ ξξζ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

+∂

∂=

∂∂

rT

rr

TkzTVzCp 1

2

2ρ

0=∂∂

rT

001

=∂∂

rT

r

( ) 2

210

r

T

rr

rT

rlimrT

rrlim∂

∂=

∂∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∂∂

∂∂

=∂∂

→

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂=

∂∂

2

22

r

TkzT

zvCpρ

zmz ∆=

rnr ∆=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆

−+−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

∆

−+

210021020

10

r

mTmTmT

nvCpk

z

mTmT

ρ


Para los puntos de la pared cuya temperatura noes conocida, se hace necesario llevar a cabo un

balance de calor estacionario en la superficie, deter-minándose las temperaturas en la superficie (n= N):

Tabla 1Resultados de la solución de la ecuación diferencial correspondiente

a la transferencia de calor estacionaria por convección forzada en régimenlaminar en un conducto cilíndrico

Para ∆r = 0,005 m ∆z = 0,2 m

Valores del perfil de temperatura para L = 1 m Valores de Temperatura Error Perfiles

Analítica Explícita Implícita Explícita Implícita 0 26,19 30 30 14,55 14,55 1 26,75 30 30 12,15 12,15 2 28,38 30,01 30,02 5,74 5,78 3 30,87 30,17 30,19 -2,27 -2,20 4 33,87 31,31 31,23 -7,56 -7,79 5 36,90 34,17 34,09 -7,40 -7,67

Tabla 2Valores del número de Fourier (Fo) en función de la velocidad

para la solución de la ecuación diferencial por sustitución por diferenciasfinitas del problema correspondiente a la transferencia de calor por

convección forzada (Tabla 1)

(24)

Por un balance de calor estacionario en la superficie:

6

.n 0 1 2 3 4 5 V(n) m/s 0,02 0,019 2 0,016 8 0,012 8 0,007 2 0 Fo(n) 0,030 8 0,032 1 0,036 7 0,048 1 0,085 5 -

011

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆−

+−++

−

rTTkAqA

mN

mN

krqTT m

Nm

N∆

−= +−

+ 11

1

0. =∂∂

+− ArTkqA


Tabla 3Resultados de la validación para la solución de la ecuación

diferencial correspondiente a la transferencia de calor estacionariapor convección forzada en régimen laminar en un conducto cilíndrico

Para ∆r = 0,005 m ; T0 = 30 0C ∆z = 0,2 m


Analítica Explícita Implícita Explícita Implícita 0 26,19 30 30 14,56 14,56 1 26,75 30 30 12,14 12,15 2 28,38 30,01 30,02 5,74 5,78 3 30,87 30,15 30,18 -2,31 -2,22 4 33,87 31,21 31,14 -7,84 -8,04 5 36,90 33,86 33,79 -8,23 -8,41

Tabla 4Resultados de la solución de la ecuación diferencial correspondiente a la

transferencia de calor estacionaria por convección forzada enrégimen laminar en un conducto cilíndrico

Para ∆r = 0,005 m ; T0 = 100 0C ∆z = 1 m

Tabla 5Resultados de la solución de la ecuación diferencial correspondiente

a la transferencia de calor estacionaria por convección forzadaen régimen laminar en un conducto cilíndrico

Para ∆r = 0,025 m ; T0 = 150 0C ∆z = 2 m

6


Analítica Exp lícita Implícita Explíc ita Implícita 0 96,90 100 100,04 3,21 3,24 1 97,46 100 100,07 2,61 2,68 2 99,08 100,13 100,23 1,06 1,15 3 101,57 100,72 100,75 -0,83 -0,80 4 104,57 102,62 102,13 -1,87 -2,33 5 107,60 104,44 104,37 -2,94 -3,01

6


Analítica Exp lícita Implícita Explícita Implícita 0 97,60 100,03 100,13 2,49 2,60 1 98,16 100,11 100,23 1,98 2,11 2 99,79 100,48 100,56 0,69 0,77 3 102,28 101,48 101,44 -0,78 -0,82 4 105,25 103,54 103,19 -1,65 -1,98 5 108,31 105,64 105,54 -2,46 -2,56


Con las ecuaciones (22), (23) y (24) se obtie-nen los valores de temperatura en todos los pun-tos. El sistema por resolver se evaluará para m=0,luego para m=1 y así sucesivamente:

Análisis de los resultadosPara cumplir con el objetivo de comparar

resultados alcanzados por medio de ecuacionesdiscretas obtenidas mediante la aproximación condiferencias finitas, con los obtenidos con la solu-ción analítica, se utilizó un modelo característicode los procesos del campo de la ingeniería quími-ca, que estuviera descrito por ecuaciones diferen-ciales parabólicas, seleccionándose el correspon-diente a la transferencia de calor por convecciónen régimen laminar y estacionario en conductoscilíndricos que aparece descrito y resuelto en ellibro de Fenómenos de transporte de R. ByronBird.

Se desarrollaron los algoritmos para la progra-mación y se elaboraron los programas, utilizándo-se el Borlan Pascal (Delphy 7) incluyéndose laposibilidad de poder variar cualquiera de las va-riables, parámetros, intervalos, incrementos, et-cétera, de la forma que el usuario lo necesite.

En la tabla 1 se presenta una muestra de losresultados obtenidos en los cálculos llevados acabo para validar los programas para el caso de laconvección forzada en un conducto cilíndrico; delmismo modo en la tabla 3 se muestran algunos delos resultados obtenidos con los mismos datos deprueba utilizando el programa de computaciónelaborado; se puede observar que las diferenciasson mínimas y que son las correspondientes porel redondeo y el truncamiento, siendo iguales losresultados con tres cifras significativas, lo queindica que no existen errores de programación.

En la tabla 4 se muestran los resultados para laconvección forzada en conductos cilíndricos paracada uno de los esquemas de discretización estudia-dos tomado Z = 1 y r =0,005, y temperatura inicial delfluido de 100 °C; teniendo en cuenta que la soluciónanalítica es preferentemente válida para longitudesde tubo lo suficientemente largos, se puede observarcómo el error va disminuyendo en la medida quecrece la longitud, y a partir de un metro de longitud

la diferencia es menor que 3 % como promedio,siendo el esquema de discretización explícito ligera-mente más aproximado que el esquema totalmenteimplícito, y en la práctica pueden considerarse igua-les.

En la tabla 5 se evalúa la misma situación, peroutilizando Z = 2 m y r = 0,025 m, con unatemperatura inicial para el fluido de 150 °C; puedeobservarse que el error se incrementa hasta ci-fras un poco mayores que 4 %, y la diferenciaentre la solución analítica y cualquiera de lasaproximadas es mayor, siendo semejantes en doscifras significativas, de igual manera resultó elesquema de discretización explícita, ligeramentemás aproximado que los restantes.

Conclusiones1. Se concluye que de forma general el esquema

de discretización totamente implícito resultaigualmente satisfactorio que el explícito cuan-do se utilizan valores de incrementos suficien-temente pequeños, siendo el esquema total-mente implícito el que brinda peores resultadosa valores altos de incrementos.

2. En todos los casos, el esquema explícito resul-tó el más aproximado a iguales valores deincremento utilizado.

NomenclaturaBi número de Biot, adimensionalCp calor especifico a presión constante [kcal/kg]D diámetro del tubo [m]Fo número de Fourier, adimensional.h coeficiente de transferencia de calor [kcal/hm2 ºC]NMAX número de máximo de iteracionesQ calor entregado para calentar el fluido del tubo

[kcal/h]R radio del tubo [m]∆∆∆∆∆r incremento en dirección radial [m]To temperatura inicial [ºC]TE temperatura correspondiente a la red de pun

tos [ºC]∆∆∆∆∆tIncremento del tiempo [h]Vzmáx velocidad máxima en dirección z [m/s]∆∆∆∆∆x Incremento en dirección x [m]


Z longitud del tubo a la cual la función analítica haceel cálculo del perfil de temperatura [m]

Dz incremento en dirección z [m]

Letras griegas

ρρρρρ densidad [kg/m3]ξξξξξ es un valor menor que la unidad para garantizar

una convergencia en un determinado númerode iteraciones

ζζζζζ longitud adimensional

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