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曲面平面

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曲面平面

第三章 立体的表面交线 第一节 截交线 第二节 相贯线

曲面平面

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曲面平面

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曲面平面

第一节 截交线截切：用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。

截平面 —— 用以截切物体的平面。 截交线 —— 截平面与物体表面的交线。

截断面 —— 因截平面的截切，在物体上形成的平面。

截断面

截交线

截平面

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曲面平面

截交线是一个由线段组成的封闭的平面多边形，其形状取决于几何体的形状及截平面对平面体的截切位置。 ---- 封闭性

截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 ---- 共有性

求截交线的实质是求两平面的交线

截交线的性质：

一 平面立体的截交线

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曲面平面

求截交线的方法 ：1 、空间分析： 截平面与体的相对位置，确定截交线的形状； 截平面与投影面的相对位置，确定截交线 的投影特性。2 、作图方法： 1 ）交点法：求出立体表面上已知直线与截平面的交点，

连接交点即为所求。 2 ）表面取点法：利用立体表面在投影面上的投影具有积

聚性的特点求之。 3 ）辅助线法：在立体表面上作辅助素线及辅助圆求之。 4 ）辅助平面法：借助辅助平面与立体表面及截平面相交

来求之。

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1‘

2’3‘

1

2

3

3’‘2’‘

1’‘

一、 平面立体的截交线例例 1 1 求三棱锥被截切后的左视图和俯视求三棱锥被截切后的左视图和俯视图图 交点法

★ 空间分析★ 投影分析★ 求截交线

★ 分析棱线的投影★ 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性

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曲面平面

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曲面平面

例 4 、正垂面截切六棱柱，完成截切后的三面投影。

1'

1

2' （ 3'）

2

3

4' （ 5'）

4

5

1"

2"3"

4"5"

6'（ 7'）

6

7

6"7"

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曲面平面

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曲面平面

QV

1. 截平面平行于底面

a’

a

例例 2 2 求三棱锥被截切后的左视图和俯视求三棱锥被截切后的左视图和俯视图图

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曲面平面

例 5 ：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。

1

2

1(2)

Ⅰ 、Ⅱ两点分别同时位于三个面上。

三面共点：

2●

1●

注意：要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。

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曲面平面

例 6: 求八棱柱被平面 P 截切后的俯视图。

P

截交线的形状？

Ⅰ

ⅡⅢ

ⅣⅤ

ⅥⅦ

Ⅷ1

5 4

3 2

8

7 6

截交线的投影特性？

2≡3≡6≡7

1≡8

4≡5

求截交线

1

5

4

7

6

3

2

8

分析棱线的投影检查截交线的投影

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曲面平面

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曲面平面

2、看平面切割体的三视图 提示：

明确看图步骤： 根据轮廓为正多边形的视图，确定被切立体的原始形状。 从反映切口、开槽、穿孔的特征部位入手，分析截交线的形状及

其三面投影。 将想像中的切割体形状，从无序排列的立体图中辩认出来加以对

照。 要对同一图中的四组视图进行比较，根据切口、开槽、

穿孔部位的投影特征，总结出规律性的东西。 看图与画图能力的提高互为促进。

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曲面平面

二、曲面立体的截交线回转体截切的基本形式

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曲面平面

1 、曲面立体的截交线的画法

① 圆柱的截交线② 圆锥体的截交线③ 圆球的截交线

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曲面平面

1.1 圆柱体的截切 截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置

垂直圆 椭圆

平行两平行直线

倾斜

PV

P

PV

P

PV

P

截交线的空间形状？

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曲面平面

例 7 求圆柱被平面截切后的侧面投影

Pv

1 求特殊点：最高、最低、最左、最右、最前、最后轮廓线上的点

2 求中间点：3 依次平滑连接各点；4 整理投影图。

表面取点法

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曲面平面

例 8 、开槽圆柱的左视图。

1'（ 2'） •

• 1"2" •

• 1

• 2

• 3'（ 4'）

• 3

• 4

• 3"

• 4"

5'（ 6'） •

5

6

5" • 6" •

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曲面平面

完成后的投影图

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曲面平面

例 9 ：求左视图

★ 空间及投影分析

★ 求截交线★ 分析圆柱体轮廓素线的投影

截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置

●

● 解题步骤：

同一立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。

●

●

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曲面平面

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曲面平面

分析、比较分析、比较

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曲面平面

椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变。

45° 什么情况下投影为圆呢

？截平面与圆柱轴线成 45° 时。

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曲面平面

例 5 ：求左视图例 10 ：求左视图

虚实分界点

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曲面平面

例 11 已知主、俯视图，求左视图。

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曲面平面

小 结

1 、截交线的特点2 、平面体的截交线3 、曲面体的截交线

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曲面平面 圆球圆锥

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曲面平面

第一节 截交线截切：用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。

截平面 —— 用以截切物体的平面。 截交线 —— 截平面与物体表面的交线。

截断面 —— 因截平面的截切，在物体上形成的平面。

截平面

截断面

截交线

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曲面平面

截交线是一个由线段组成的封闭的平面多边形，其形状取决于几何体的形状及截平面对平面体的截切位置。 ---- 封闭性

截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 ---- 共有性

求截交线的实质是求两平面的交线

截交线的性质：

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曲面平面

棱柱、棱锥的截交线

★ 空间分析★ 投影分析★ 求截交线★ 分析棱线的投影

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曲面平面

圆柱的截交线1 求特殊点：

最高、最低、最左、最右、最前、最后

轮廓线上的点：

2 求中间点：

3 依次平滑连接各点；

4 整理投影图。

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曲面平面

由于截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有圆、三角形、椭圆、双曲线、抛物线五种情况。

2.2 圆锥体的截交线

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曲面平面

αα

θα

θ

α

θ

两相交直线 圆 椭圆 抛物线 双曲线

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曲面平面

Pv Pw

抛物线 双曲线

平行于任一素线 平行于轴线

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曲面平面

例 1: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。

★ 找特殊点★ 补充中间点★ 光滑连接各点★ 分析轮廓线的 投影

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曲面平面

例 : 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。

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曲面平面

例 2：求圆锥被截切后的水平和侧面投影。

2 求中间点：3 依次平滑连接各点；4 整理投影图

1 求特殊点：

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曲面平面

截切后的水平和侧面投影。

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曲面平面

2.3 球体的截切

平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。

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曲面平面

三、平面与球体相交 球被平面截切，截交线均为圆。由于截平面位置不同，截交线的投影可能是圆、直

线或椭圆。

Ph

1 、截平面为平行面

截平面为正平面，正面投影为截交线圆的实形。

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曲面平面

Pv

Pv

截平面为水平面，水平投影为截交线圆的实形。

截平面为正垂面，截交线的水平投影及侧面为椭圆。

3 、截平面为垂直面2 、截平面为水平面

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曲面平面

例 3 ：求半球体截切后的俯视图和左视图。

水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。

两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。

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曲面平面

例：求半球体截切后的俯视图和左视图。

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曲面平面

若在半球上打一个方孔，投影图该是什么样的？

思考题

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曲面平面

思考题

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曲面平面

●● ● ● ●●

●●

●●

㈣ 复合回转体的截切

●

●

●

●

●

●

首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。

例：求作顶尖的俯视图

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曲面平面

2 、看曲面切割体的三视图 提示：

要注意分析截平面的位置分析截平面与被切曲面体的相对位置截平面与投影面的相对位置

当截交线的投影为非圆曲线时，应先求特殊位置点的投影以圈定其投影范围

要注意分析曲面体轮廓线投影的变化情况

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曲面平面

总 结 截交线：

平面立体的截交线：棱柱棱锥

曲面立体的截交线：圆柱圆锥球

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曲面平面

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曲面平面

平面体与回转体相贯

回转体与回转体相贯

多体相贯

第二节 相贯线

1. 相贯的形式

两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做相贯线。 本章主要讨论常用不同立体相交时其表面相贯线的投影特性及画法。

开孔正交 特殊 多体平曲

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曲面平面

2. 相贯线的主要性质

其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。

★ 共有性

★ 表面性相贯线位于两立体的表面上。

相贯线是两立体表面的共有线。

★ 封闭性 相贯线一般是封闭的空间折线（通常由直线和曲线组成）或空间曲线。

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曲面平面

1. 相贯线的性质 相贯线一般为光滑封闭的空间曲线，它是两回转体表面的共有线。

回转体与回转体相贯

2. 作图方法 利用投影的积聚性直接找点。

用辅助平面法。

先找特殊点。⒊ 作图过程

补充中间点。确定交线的弯曲趋势

确定交线的范围

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曲面平面

一、正交两圆柱相贯线画法

●

●●

● ● ● ●

● ●

求相贯线的投影：

利用积聚性，采用表面取点法。☆ 找特殊点☆ 补充中间点☆ 光滑连接

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曲面平面

例 1 ：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。

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曲面平面

例 2 、求出其相贯线

中途返回请按“ ESC” 键

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曲面平面

当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。

交线向大圆柱一侧弯

交线为两条平面曲线（椭圆）

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曲面平面

二、开孔圆柱体的相贯线画法

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曲面平面

三、相贯线的特殊情况

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曲面平面

两圆柱体直径相等且轴线相交

相贯线为两个相同的椭圆，椭圆平面垂直于两轴线所决定的平面。

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曲面平面

例 3 ：补全主视图

● ●

● ●●●●

● ●

● ●

● ●

● ●

●●

● ●

★ 外形交线◆ 两外表面相贯◆ 一内表面和一外表面相贯

★ 内形交线◆ 两内表面相贯

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曲面平面

例 2 ：补全主视图

无轮是两外表面相贯，还是一内表面和一外表面相贯，或者两内表面相贯，求相贯线的方法和思路是一样的。

小 结：

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曲面平面

四、平面立体与曲面立体相交 平面立体与曲面立体的相贯线，一般是由若干段平面曲线或直线所组成的空间封闭曲线。

AC

DE

a``(b``)e``(f``) c``(d``)

c`(e`)

a`

d`(f`)

b`

a

c

e

b

d

f

相贯线投影

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曲面平面

讨论：下图错在何处？

棱柱孔与外圆柱面无交线

多线

查平面 P的投影——

p

是正平面，一个封闭的线框。

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曲面平面

正确的视图

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曲面平面

1

23

五、多体相贯

●

●

● ●●

●● ●

这是一个多体相贯的例子，首先分析它是由哪些基本体组成的，这些基本体是如何相贯的，然后分别进行相贯线的分析与作图。

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曲面平面

例 4 ：补全主视图

●

●

●

作图时要抓住一个关键点，相贯线汇交于这一点。

三面共点

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曲面平面

小 结 一、本章的基本内容⒈ 立体表面相贯线的概念

⒉ 求相贯线的基本方法相贯线的性质：表面性 共有性 封闭性

二、解题过程⒈ 交线分析⑴ 空间分析：

⑵ 投影分析： 是否有积聚性投影？找出相贯线的已知投影，预见未知投影，从而选择解题方法。

面上找点法

分析相交两立体的表面形状， 形体大小及相对位置，预见交线的形状。

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曲面平面

特殊点包括：最上点、最下点、最左点、 最右点、最前点、最后点、 轮廓线上的点等。

⒉ 作图

⑴ 找点

⑵连线⑶检查、加深

尤其注意检查回转体轮廓素线的投影。

当相贯线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：

☆ 先找特殊点

☆ 补充若干中间点