梅须逊雪三分白，雪却输梅一段香

姓名：刘伯良 学号： 00620010 院系：中国语言文学系

——略论《九章算术》与《几何原本》

导言 《九章算术》是流传现今我国最早的一部杰出数学典籍，更是数学史上极为珍贵的古典文献，拥有东方数学独特的思维和价值。 但是长久以来，由于深受欧几里德几何体系的影响，西方的数学史著作对中国古代的数学成就往往给予贬低式的评价。数学史学家 D·J·斯特洛伊克的话很能反映这一点。 在一切古代东方数学中没有任何地方足

以使我们发现我们所谓证明的任何企图。从未用过推理，而仅仅是列出某些规则来：‘如何做，做这个’。我们无从知道定理被发现的途径……对于我们这些被欧几里德的严格推理所教育的人，这整个的东方思考方法在最初似乎是惊异而又高度地令人不满。东方数学似乎从未有它所由而生的几千年来技术学和行

政问题的影响下解放出来。”

斯特洛伊克的话虽然有失偏颇，但却又不无道理。若就逻辑的严密性和推理技巧而言《九章算术》确难与《几何原本》相媲美，这也是斯特洛伊克能得出东方数学不值一提观点的最主要论据。可是，基本产生于同一时代的《九章算术》和《几何原本》真的这么容易就能分出高下来么？下面我将做进一步探讨。

一、成书背景

众所周知，任何一部伟大科学著作的产生都是它所处的时代人类最高认识能力的智慧结晶，而不是有个别智者凭空创造的成果。因此，在这些著作诞生之日起，便已深深的打上了时代的烙印，《九章算术》和《几何原本》也概莫能外。也只有理解了它们诞生的时代背景，才能真正理解它们在表面纷繁复杂的命题之下所隐藏的真实内核。

首先看《九章算术》。关于《九章算术》的成书年代，历代多有争议，各家更是众说纷纭。但还是基本可以确定约是在公元 50年至 100 年之间，即东汉中期。 时代特征 1 ：儒学昌盛

东汉史学家，古称“良史”，也就是称赞他在注史书时能够做到公允客观、不偏不倚。但他在为《汉书·艺文志》作序时，曾经对春秋战国“百家争鸣”时代发展起来各种学派进行逐一评价，多有批评之词。唯独对儒学，却是一味的褒奖，且对各家学说的批评都是以儒学的观点为标准和论据的。

表现 1 ：

表现 2 ： 在“诸子百家”中，法、墨两家的逻辑推理能力最为高超。 法家：韩非子是第一次把“矛盾”分析法用到逻辑概念上的人； 墨家 ：对形式逻辑研究则尤为突出，在墨家经典《墨子》中，对直线、圆等几何概念都有了最初的定义，例如：“直，参也”（“参”同“叁”，即三点定一条直线），虽然不尽正确，但是已经开始向形式逻辑方向的努力。 儒家：完全不同，它的所有经典中的思想都可以算作是社会科学的，且从《论语》一书中就可以看出，理论的阐述很缺乏逻辑和系统性，基本是先哲想到哪就说到哪，并且没有什么抽象的概念，大都是从实际生活中直接得出的为人处事方法。

随着这几家的消亡，儒学的独尊，中国人思维方式的逻辑性几百年间就很难有进一步的发展。《九章算术》的编纂者们一定也会受到当时尚儒学术风气的深刻影响。在这样的社会背景下产生的《九章算术》，就注定了具有非逻辑结构的特点。

结果：

时代特征 2 ：农耕发达、统治至上表现 1 ：

东汉管理全国农业、水利的中央机构“大司农”向全国规定度量衡计算以《九章算术》为准。 表现 2 ： 高级知识分子“士”们多欲“齐家、治国、平天下”，没有兴趣和精力关心虚无缥缈的逻辑和繁琐的推理。“士、农、工、商”的社会结构，涉及数学的劳动者“工”和“商”，远排在“士”、甚至“农”之后，地位低下。 结果：1、数学作为一门学科的地位得到空前提高，受到官方支持；2、掌握数学的人却地位低下，与数学的地位产生矛盾，数学成为政治的附属品，发展无法由掌握数学的人引导，丧失了独立发展的可能性； 中国古代数学研究目的成了实际生活中的应用，故《九章算术》共收录 246题，相对于严密的现代数学著作而言，它更像是一本习题集。但却有极强的应用性，每道题基本都可以直接用于指导生产。

再看《几何原本》。《几何原本》大约成书于公元前三世纪的希腊，当时希腊的社会环境与东汉时的中国完全不同

时代特征 1 ：奴隶制顶峰、城邦制稳固 （ 1）奴隶负担着绝大多数的社会劳动，知识分子们有了充足的闲暇时间和稳定的物质生活条件；（ 2）城邦制下四分五裂的希腊，政府很难有干涉个人思想的实力。 同时拥有做思想家的生活保证和自由思考的权利，希腊的知识分子对抽象事物的追求就能形成强大的思潮。

时代特征 2 ：逻辑学、几何学长足发展1、远在公元前 6世纪，希腊七贤之一的泰利士将几何学知识带到了 希腊；2 、作为纯粹数学家的毕达格拉斯（公元前 569~475）曾为演绎几何学的奠基做出贡献，它第一个证明三角形三个内角和等于两个直角。并且据亚利士多德的学生欧德谟的《几何学史》记载，“凯尔斯”的希波克拉底曾系统的编写过一套《几何原本》，并发现月牙形面积的计算方法。 3 、尤其重要是，在形式逻辑上柏拉图的特殊贡献：

众所周知，他是一位理念主义者 理念的图形是最完全的形势；理念的逻辑是最令人信服的逻辑；理念的国家是最合理的国家

在几何学上，柏拉图形成了两个很重要的思想：一个是关于“证明”的思想，事物的真理性，必须在证明的基础上才能确定其真理性；另一个是关于“完全形式”的思想，没有部分的是“点”、有长度没有宽度的是“线”等等。这些自然界不存在的、从自然界抽象出来的、高度理想化的思维形式，就是“完全形式”。

影响： 欧几里德的几何学，显然就是建立在完全形式的定义方式和证明过程之上的。例如：《几何原本》“第十章”对“可公度”和“不可公度”两个概念的基本定义：能用同一尺寸度量的数为可公度数；不能用任何公共尺寸度量的数是不可公度数。这样抽象的概念，显然是“完全形式”的思维方法。

这样的思想，在中国传统数学中是不存在的，因为对像《九章算术》这样的纯粹应用数学来说，证明已知是正确的计算方法具有真理性和提出一些虚空的概念，如“直线是点的均匀分布”，对工程建造等毫无帮助，自然是完全没有意义的。

《九章算术》九卷，包括 246道应用题，按问题的性质分为九章，每章又以应用题解法归类：卷一 方田——以御田畴界域；卷二 粟米——以御交质变易；卷三 衰分——以御贵贱禀税；卷四 少广——以御积冥方圆；卷五 商功——以御工程积实；卷六 均输——以御远近劳费；卷七 盈不足——以御隐杂互见；卷八 方程——以御搓揉正负；卷九 句股——以御高深广远。

二、内容比较 （一）章节简介：

《几何原本》全书十三卷 ：第一卷：几何学基础，角、平行与面的理论；第二卷：几何代数问题；第三卷：圆的理论；第四卷：圆内接与圆外切正方形；第五卷：抽象比例问题；第六卷：相似形及几何学中的比例问题；第七卷：数论基础；第八卷：数论中的连续比例问题；第九卷：数论；第十卷：不可公度数（无理数）的分类；第十一卷：立体几何；第十二卷：形的测量（锥体问题）；第十三卷：正立体几何（柏拉图立体几何）

（二）章节特点比较：《九章算术》：每章各解法之间为并列平行结构，并无逻辑推理关系。 例如卷三“衰分”章，李籍《音义》：“衰，差分。以差为平分，故曰衰分。”据李籍的解释，“衰分”就是按一定比例分配的意思，以现代术语来说即“配分法”。此章共辖 24 题，便都是与按比例分配有关的。而关于比例分配，解法又有“列衰”（等差数列）、返衰（所配比率的倒数）两种。但是，两，调换使用不同解法应用题的顺序对此章的整体结构也无影响。它的应用题都是着眼于算法，却不说理由，重问题与结果，却轻解题步骤，

《几何原本》：每章都有严密的逻辑推理结构 。 整本书可以分为两部分，第一部分为“界说”（定义） 36条、求作（作图公法） 4条和“公论”（公理和公设） 19条；第二部分为命题，命题下有“解”（题设）、“论”（证明）和“法”（“解”和作图步骤）。第一部分是第二部分的逻辑基础，可以说第二部分所有命题的“论”都是由第一部分的定义直接推理演绎或结合已被证明出来的真理性命题共同精确演绎出的。

三、举例比较《九章算术》：卷五“商功 九” 今有圆堡，周四丈八尺，高一长一尺。问积几何。 答曰：二千一百一十二尺。 术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。 整道题设问和答案都较为完备，而解法却有些简略，具体步骤只有“相乘” 、“乘之”两步。从“术曰”中我们无法得出所有圆柱体的体积都是底面积乘以高、圆柱体底面积的计算方法和圆面积的计算方法相同这两个数学观点。同时，《九章算术》给出的圆周率为三，误差过大。东汉数学家刘徽便很清楚地看到《九章算术》的这些问题，因此他在为此题作注时，曾修改“答曰”的结果道：“于徽术，当积二千一百七尺一百五十七分尺之一百三十一”，并在“术曰”后补到：“此章诸术亦以周三径一为率，皆非也。于徽术，当以周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，三百一十四而一。此之圆幂，亦如圆田之幂也。求幂亦如圆田，而以高乘幂也。”

《几何原本》第 1 卷第 45 个命题： “求作一任意给定倾角的平行四边形，使其面积等于一任意给定的四边形。 ”

F

K

L

M

G

HE

D

C

B

A

四边形 ABCD 即为已知的四边形，∠ E为给定角。根据公设 1:‘从任意一点到另一点可以画一条直线”连接 BD 为一条直线。根据命题 42 ：‘求作一给定角的四边形的一边为基线，作一平行四边形等于一三角形’ 。那么我们就能够作出一个平行四边形 FKHG，使它的面积等于⊿ ABD, ∠FKH=∠E，和另一个平行四边形 GHML，使∠ GHM=∠E，它的面积等于⊿ BCD.故四边形 ABCD 面积等于平行四边形 KHGF和平行四边形 GHML之和。根据公理 1 ：‘跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也相等’故∠ FKH=∠E=∠GHM，再命题 34 ：‘在平行四边形中，对边相等，对角相等且对角线二等分其面片’，故∠ FGH=∠FKH=∠E=∠GHM；再根据命题 29 ：‘一直线与两平行线相交时内错角相等，同位角相等，且同旁两内角之和等于两直角’，故∠ GHM+∠HGL=两直角；再根据公理 2 ：‘等量加等量，总量仍相等’，∠ FGH+∠HGL=∠GHM+∠HGL；再根据定理 1，，故∠ FGH+∠HGL=两直角；再根据命题 14 ：‘如果过任意直线上一点有两条直线不在这一直线的同侧，且和直线所成邻角和等于二直角，则这两条直线在同一直线上’ ,故直线 FG和直线 GL在同一直线上；再根据命题 34 ：‘在平行四边形的片面中，对边相等，对角相等且对角线二分其面’，故 FK平行且等于 HG， LM平行且等于 HG；再根据命题 30：‘一些直线平行于同一条直线，则他们也互相平行’，公理 1，故 FK∥GH∥LM且 FK等于 LM；根据命题 33 ：‘在同一方向（分别）连接相等且平行的线段（的端点），则连成的线段也相等且平行’，故连接线段 KM、FL,则 KM、 FL相等且平行，所以 KFML是四边形，且这个四边形是平行四边形。

由此题可以看出，《几何原本》在单一一个命题推理演绎过程中的严谨性，除公设、公理的正确性存疑外其他命题都是已经证明成立的。更为重要的是，在第 1卷中，命题 42 、 29 、 14 、 34 、 30 和 33的证明过程中都未涉及到命题 45 ，故从命题 42 、 29 到命题 45 的推理演绎过程是单向的，避免了逻辑推理过程中最易出现的循环论证的错误。

四、应用比较《九章算术》： 非常明显地具有很强实用主义的色彩： 1、“方田”卷讲田亩面积计算，如第一题“今有田广十五步，从十六步。问为田几何。答曰‘一亩’。方田术曰‘广从步数相乘得积步’”；“粟米”卷主要是讲各种谷物的交换； 2、“衰分”卷主要是讲谷物的分配； 3、“少广”、“商工”两卷主要是讲土木工程问题； 4、“均输”卷主要是讲输纳税赋的问题； 5、“盈不足”卷主要是计算买卖盈亏问题； 6、“方程”、“勾股”两卷较为抽象，是关于勾股测量问题，应该是从生产实践中总结出来的，并不能直接用来解决生产问题，如第十六题“今有句八步，股十五步。问句中容圆径几何。答曰‘六步’。术曰‘八步为句，十五步为股，为之求弦。三位并之为法，以句成股，倍之为实，实如法得径一步。’”，但是也有应用的可能，如测算“城池东南角和东北角的步数”。

全书 469道命题，表述的全部是抽象的数学概念，如第五卷命题 24 ：“有长度可公度的两中项线所包含的矩形是中项面”，这里面提到的概念“可公度”、“中项线”、“矩形”、“中项面”都不是自然客观事物中直接存在的，

《几何原本》：凡论几何、先从一点始，自点引之线，线展为面，面积为体，是

名三度。

欧几里德的几何概念都是从客观事物中抽象出来的。数学技巧直观明了，超越实际问题之上而存在的，无法直接指导实践，这也不是我对《几何原本》的有意贬低。而应该是作者有意为之的。柏拉图曾说过：“盖若辈徒知何谓规矩方圆，徒求其应实践，而视为平常日用之物，岂不可笑，不知几何之目的，乃最高深之知识也。” 从这句话可以看出，柏拉图将几何学研究更多是视为一种追求知识的高贵信仰，而反对几何学知识的实际应用，很难说柏拉图这样的思想没有对欧几里德造成影响。

《九章算术》与《几何原本》相较，一个全属应用，一个则根本不讲应用。而当数学和社会生产力都还停留在农业社会阶段时，数学应用性对社会发展的价值是远远高于空泛理论指导的。这也就不难理解为何中国在古代初等数学上很长时间领先于西方了。

总结：

数学发展的动力主要有两个：一、是社会生产发展 ，即“当一门数学学科远离它的经验来源 ，…… 这门学科就危机四伏了”；二、是数学家自己的努力，即“对完美的追求，一般化的追求，理想化的追求”。

《九章算术》和《几何原本》的差异正好是对这两种数学 发展动力的反映。《九章算术》的各种应用题是不知多少代人在数百年的生产实践过程中逐渐积累汇编而成

的，可以算是社会生产实践的产物；《几何原本》的逻辑体系，数学定义多是欧几里得在前人的基础上自我的创造的结果，它源于欧几里得自身对几何美的不懈追求。这两种发展动力本身是没有高下之分的。

同时，《几何原本》在逻辑推理和思维严谨性上见长，而《九章算术》在应用性方面则更胜一筹，两本书从内容、结构、应用方面都是如此不同。如果数学史家单单站在《几何原本》逻辑学的视角、忽略应用方面，而对东方数学做出评价的话，肯定会有失公允的。

在我看来，《九章算术》和《几何原本》是东西方数学在不同背景情况下产生的同样耀眼的智慧结晶，本身是没有高下之分的，各有强项。

正是：

梅须逊雪三分白、雪却输梅一段香