空间角及其求法

教材地位分析

高考地位分析

（ 1） 立体几何板块主要有两大类型 （ 1 ）判断、推理型 （ 2 ）有关的几何量的计算，其中包括空间角、空间距离、体积的计算。

空间角及其求法是是立体几何包括的重要组成部分，是立体几何板块的一个重点，也是难点。

（ 2）在历届高考中，空间角及其求法是每年必考的内容，与距离的计算、线面位置关系论证形成新的热点，该部分的分值约 6-16 分，属于中等难度。

立体几何高考分析

高考中，立体几何板块往往有 4 个题目： 2 个选择题，一个填空题和 1 个大题。在大题中，一般是论证题和空间角（距离）计算组成。在选择题中有时有一个题考查空间角的求法。

理解空间角的概念、会求空间角的大小。

1. 作出所求的空间角 < 定位>2. 证明所作的角符合定义 < 定性 >

3. 构造三角形并求出所要求角 < 定量>

简言之，空间角的求解步骤为：

“ 一作”“ 二证”“ 三算”

“ 一作”

“ 二证”

“ 三算”

撤消

过 D1 作 D1E//AM ，再过 N 作 NG//D1E ，显然 为异面直线 AM 与 CN 所成角。通过解 即可。

过 D1 作 D1E//AM ，作 D1F//CN ，显然 为异面直线 AM 与 CN 所成角。通过解 即可。

A

B C

D

1A1B

1C

1D

N

E

FM

EFD1EFD1△

A

B C

D

1A1B

1C

1D

N

E

M

途径一 途径二G

途径一

途径二 NGCNGC△

如图，正方体 ， M 、 N 分别为 ， 的中点，求直线 AM 与 CN 所成角。

1111 DCBAABCD 1DD 11DA例 1.

方法提炼

例 2. 如图棱长是 1的正方体， P、 Q分别是棱 AB、 CC1上的内

分点，满足 21

QC

CQ

PB

AP

.

（ 1）求证： A1P⊥平面 AQD；（ 2 ）求直线 PQ 与平面 AQD 所成角的正弦值 .

[ 厦门市 2004 届高三年质量检查 - 数学（文） ]

R

P

Q

A

A1

CD

B

D1 C1

B1

方法提炼

（ 1 ）易证，略（ 2 ）如何作出线面角？

过 Q 作 QR 平行 AD ，交 BB1 与 R ，连接 AR ，易知面 ADQR 即为面 AQD 由（ 1 ）知 A1P ⊥ 面 AQD ，

设 A1P 交 AR 与 S ，连接 SQ 即可。由以上的作法可知 即为所求角。SQP

S

解析

只需解△ QSP 即可。

在四棱锥 P-ABCD 中，已知 ABCD 为矩形， PA ⊥ 平面 ABCD ，设 PA=AB=a ， BC=2a ，求二面角 B-PC-D 的大小。

例 3.

D

P

B C

A E

F

解析 1 定义法 过 D 作 DE PC⊥ 于 E ，过 E 作 EF PC⊥于 F ，连接 FD ，由二面角的平面角的定义可知 是所求二面角 B-PC-D 的平面角。求解二面角 B-PC-D 的大小只需解△ DEF 即可。

SQP

解析 2P

B C

A D

N

M

Q

垂面法 易证面 PAB⊥ 面 PBC ，过 A 作 AM BP⊥ 于 M ，显然 AM ⊥ 面 PBC ，从而有 A

M PC⊥ ，同法可得 AN PC⊥ ，再由 AM 与AN 相交与 A 得 PC ⊥ 面 AMN 。设面 AMN交 PC 于 Q ，则 为二面角 B-PC-D 的平面角；再利用三面角公式可解。

MQN

跳转

易证面 PEDA PDC⊥ ，过 E 作 EF PD⊥ 于 F ，显然 PF ⊥ 面 PDC ，在面 PCE 内，过 E 作 EG PC⊥ 于 G ，连接 GF ，由三垂线得 GF PC ⊥ 即角 EGF 为二面角 E-P

C-D 的平面角，只需解△ EFG 即可。

由解析 3 的分析过程知，△ PFC 为△ PEC 在面 PDC 上的射影，由射影面积公式得 sin

＝ ，余下的问题比较容易解决！

在四棱锥 P-ABCD 中，已知 ABCD 为矩形， PA ⊥ 平面 ABCD ，设 PA=AB=a ， BC=2a ，求二面角 B-PC-D 的大小。

P

B C

A D

E

F

P

B C

A D

解析 3

例 3.

E利用三垂线求解

FG

把四棱锥 P-ABCD 补成如图的直三棱柱PAB-EDC ，显然二面角 E-PC-D 与二面角 D-PC-B 互补，转化为求二面角 E-PC-D 。

EGF 解析 4

射影面积法

10

5

跳转

在四棱锥 P-ABCD 中，已知 ABCD 为矩形， PA ⊥ 平面 ABCD ，设 PA=AB=a ， BC=2a ，求二面角 B-PC-D 的大小。

D

B C

A

P解析 5

例 3.

利用空间余弦定理求解

在面 PDC 内，分别过 D 、 B 作 DE P⊥C 于 E ， BF PC⊥ 于 F ，连接 EF 即可。

E

F 利用平面知识求 BF 、 EF 、 DE 的长度，再利用空间余弦定理求出 即可。

复习

方法提炼

针对训练 1 已知二面角－ l － ， A 为面内一点， A 到 的距离为 2 ，到 l 的距离为 4 。求二面角 － l － 的大小。

A .

O

l

DO

A B

P

C

EE O

P

针对训练 2 如图，三棱锥 P-ABC 的顶点 P 在底面 ABC 上的射影是底面 Rt△ABC 斜边 AC 的中点 O ，若 PB=AB=1 ， BC= ，求二面角 P-AB-C 的正切值。

2

KEY:2

2

KEY:6

撤消

针对训练 3 如图 P 为二面角 α–ι–β 内一点， PA⊥α, PB⊥β, 且 PA=5 ，PB=8 ， AB=7 ，求这二面角的度数。

B

P

A

βα

ι O

KEY 120º

针对训练 4 在直角坐标系中，设 A （－ 2 , 3 ）、 B （ 3 ，－ 2 ），沿 x 轴把

直角坐标平面折成大小为 的二面角后， ，则 的值为 。 24AB

x

y

o

A

B

y

A

B

xo

本专题主要复习空间角（包括异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角）的定义、求法，可总结为：

空间问题

技 巧“ 移”、“补” 、“换”

平面问题

线线角，用平移，妙选顶点，线面角，作射影，二足相连。二面角，求法多，空间余弦，用定义，三垂线，射影垂面。熟化归，解三角，算准结果，作证求，三环节，环环相扣。

求解的基本思路为：

1. 定义 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

O

O

A

B

A

B

＝AOB BOA ? 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。

l

二面角的平面角必须满足：（ 1 ）角的顶点在棱上。（ 2 ）角的两边分别在两个面内。（ 3 ）角的边都要垂直于二面角的棱。

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求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平线。常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。

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中点方法提炼 1

方法提炼 1 求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平行线。常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。

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求直线和平面所成角要领 “找射影，二足相连”。由于平面的一条斜线在这个平面的射影只有一条，所以关键在于寻该斜线在面上的射影。

方法提炼 2

撤消

求二面角的方法比较多，常见的有（ 1 ） 定义法 在棱上的点分别作棱的垂线，

（ 3 ） 垂面法 在棱上的点分别作棱的垂线， （ 2 ） 利用三垂线求解 在棱上的点分别作棱的垂线，

(1) 定义法（点在棱上）

(3) 垂面法（点在空间内 ）

oA

Bo

A

Ao B

l

l

l

(2) 三垂线定理法（点在面内）

如例 3 解析 1

如例 3 解析 2

如例 3 解析 3

方法提炼 3

（ 4 ） 射影面积法 利用射影面积与斜面的关系求解

如图所示， 射影 DBC 、斜面△ ABC 与两面所

成的二面角之间有：ABC

DBC

SS

cos

A

B

C

DH

M

（ 5 ）空间余弦定理

运用公式 求解，如例 3 解析 5

cos22222 mnnmdEF

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方法提炼 3 （续）

推广E

F

m

nd

C

l

n m

c

n m

c推广

ｃ 2 ＝ａ 2＋ｂ 2 ｃ 2 ＝ａ 2＋ｂ 2 － 2abcos

EF2 ＝ａ 2＋ｂ 2+d 2 － 2abcos 撤消

cos22222 mnnmdEF

用此公式为空间余弦定理，可求异面直线上两点的距离，异面直线所成角，还可求二面角的平面角。

如图， CBF= 为二面角的平面角 ，在 CBF中，由余弦定理可求得 CF

cos2222 mnnmCF

再由 RtECF 可得

E

F

m

nd

A

B

C

l

md

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