数学与密码

数学是科学的女王，

而数论是数学的女王。

一个有趣的问题：

一个英文老师出了一道这样的难题 , 题目是这样子的 :

　　 ____ is better than the god.

　　 ____ is worse than the evil.

　　 if you eat ____,you will die.

　 ( 三个空格必须是同一个字 ) 没有人答的出来

有一个数学老师用数学的方法解出来了 ： 设上帝之善是＋∞ 恶魔之恶是－∞ 　　 令所求为 x 　　 则 x ＞＋∞， x ＜－∞ 　　 ∴ x 属于空集合 　　 ∴ x=nothing 　　 answer :

Nothing is better than the god. 　　 Nothing is worse than the evil. 　 If you eat nothing, you will die.

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密码的由来

密码，并不是什么奇怪的东西。它只是按照“你知、我知、他不知”的原则组成的信号。

密码的历史源远流长。据史料记载，在中国，密码的使用可以追溯到三国时期。

公元前 2000 年古埃及墓碑上刻的一些铭文就是用一些奇怪的符号代替当时使用的文字。

公元前 130 年左右，美索不达尼亚的一些碑文上将一些人名改用数字密写。

公元 4 世纪，希腊出现了隐蔽书信内容的初级密码。

1200 年，罗马教皇政府和意大利世俗政府开始系统地使用密码术。

在文艺复兴时期的欧洲，密码被广泛用于政治、军事和外交上。

到 16 世纪末期，多数国家设置了专职的密码秘书，重要文件都采用密码书写。

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密码联络原理

“ 置换” 思想

“ 置换” 思想 加密或者用密码联络是自古就有的事情，民间使用较多的所谓“暗号”就是最简单的表现形式。“暗号”只是收发双方对某些具体内容进行的事先约定，其方法只适用于特定时间内的特定内容，不具有一般性。但是“暗号”的基本思想却是一般加密所共有的，这就是“置换”或“代换”的思想——用一种形式取代另外一种形式。

加密传送基本模式

加密传送基本模式 无论何种加密传送，其基本模式都是一

样的： 把要传递的内容——“明文”，按照

“密钥”加密变成“密文”； 将密文按照正常方式发送出去； 对方接收到密文后，按照密钥解密再还

原成原来的明文。

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加密方法之一——代换法

加密的方法是人为地产生的，因此也就各种各样。“代换”或“置换”，是自古以来普遍采用的加密思想。所谓“代换”，就是用一种形式取代另外一种形式。这种方法早在罗马帝国时代就已经使用，当时他们把 26 个字母分别用 其 后 面 的 第 三 个 字 母 来 代 替 ， 用“群”的记号就是如下的“矩阵”：

cbazhgfed

zyxwedcbaG

......

......

hello khoor

一种变形：把字母或数字用其它字母或数字代换时没有明显的代换规律。比如把 0 ， 1 ， 2 ，…， 9 等 10个数字分别换成 3 ， 5 ， 6 ， 2 等等，即有下表：

0918472653

9876543210G

缺欠：

在日常书面语言中，每个字母所使用的频率是不相同的，人们可以通过截取大量信息进行统计分析，推测出大体的代换法则，然后再经过检验调整，即可确定正确的代换法则，从而破解出所有信息。

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RSA编码方法与原理

RSA 编码方法

RSA 方法可以公开用以制造密码与破解密码的方法，它依赖于两个大素数 p、 q，当然，不同的机构应当使用不同的 p 、 q 。下面是其基本方法：

制造密码与密钥：1. 我方掌握两个大素数 p 、 q ，由此

可以造出一个大数 N = pq；2. 选取一个较小的数 n ，使得 n 与 p -

1, q -1均互素；3. 再选取 m ，使得 mn -1 是 (p-1)(q-1)

的倍数 , 即 mn = k (p-1)(q-1) +1 ；4. 对外公开密钥： N 和 n。

可以采用双重加密。通常看见 11111 这个数，从它由 5 个 1

组成，容易联想到“五一劳动节”、“五个指头一把抓”、“我爱五指山，我爱万泉河”，等等。但是一般不太容易想到把它分解质因数。这个数可以分解成两个质因数的乘积：11111=41×271 。

一个 具体的例子 11111 这个数很容易记住。如果在需要设置密码时，选用 11111 ，别人不知道，自己忘不掉，可以考虑。

但是，万一被人家发现这个密码，人家也会过目不忘，怎么办呢？

这两个质因数都比较大，不是一眼就能看得出来的。把两个质因数连写，成为 41271 ，作为第二层次的密码，可以再加一道密，争取一些时间，以便采取补救措施。

如果担心破解密码的人也会想到分解质因数，可以加大分解的难度。把两个质因数取得大些，分解起来就会困难得多。例如，从质数表上可以查到， 8861 和 9973都是质数。把它们相乘，得到

8861×9973=88370753 。 把乘积 88370753 作为第一密码，构成第一道防线；

把两个质因数连写，成为 88619973 ，作为第二密码，这第二道防线就不是一般小偷能破解的了。即使想到尝试把 88370753 分解质因数，即使利用电子计算器帮助做除法，如果手头没有详细的质数表，逐个试除上去，等不及试除到 1000 ，就可能丧失信心，半途而废。

质因数这么大，万一自己忘记了密码，自己也同样破解不出，那不是自找麻烦吗？

这一点当然在编制密码时就要早作安排。选取上面这两个大质数 8861 和 9973 ，已经预先定下锦囊妙计：只要用谐音的办法，把它们读成“爸爸留意，舅舅漆伞”，就能牢牢记住了。

用以上这套简单办法，每个人都很容易编出只有自己知道的双重密码。

如果利用电子计算机，把一个不很大的数分解成质因数的乘积，是很容易的。但是如果这个数太大，计算量超出通常微机的能力范围，就使电脑也望尘莫及了。

1977年，曾经有三位科学家和电脑专家设计了一个世界上最难破解的密码锁，他们估计人类要想解开他们的密码，需要 40 个 1 千万万年。他们这样做，是要向政府和商界表明，利用长长的数学密码，可以保护储存在电脑数据库里的绝密资料，例如可口可乐配方、核武器方程式等。

他们编制密码的原则，基本上就是上面介绍的分解质因数的办法，不过他们的数取得很大很大很大，不是五位数 11111 或八位数88370753 ，而是一个 127位的数，使当时的任何电脑都望洋兴叹。

当然，编制密码锁的三位专家里夫斯特、沙美尔和艾德尔曼没有想到，科学会发展得这样快。仅仅过了 17年，经过世界五大洲 600位专家利用 1600部电脑，并且借助电脑网络，埋头苦干8 个月，终于攻克了这个号称千亿年难破的超级密码锁。结果发现，藏在密码锁下的，是这样一句话：“魔咒是神经质的秃鹰。”

密码锁下锁着什么，并不重要，重要的是这个密码锁非常非常难开。打开密码锁得到什么，也不重要，重要的是能够战胜很难很难克服的困难。

电脑网络的普及，使每一位用户只要坐在家里按按键盘，就能查阅世界各地电脑向网络提供的有用资料。但是也要小心提防，世界这么大，万一有哪位恶作剧的小孩通过网络闯进你家电脑，乱涂乱抹，储存在电脑里的资料就会受到损失。要像房门上锁一样，给进网络的电脑配上自己的密码锁。质数就是编制密码的一个理想工具。