简单的三角恒等变换（二）函数

的性质及应用

sin cosy a x b x

重难点：把形如 的三角函数

式化成一个三角函数的形式 .

sin cosy a x b x

复习引入：回忆两角和与差的三角函数公式、

倍角公式 .

思考：求函数

的最大值、最小值和周期，其中 a、 b是不同时为零的实数 .

sin cosy a x b x

可写为sin cosy a x b x

2 2

2 2 2 2sin cos .

a by a b x x

a b a b

其中

2 2 2 2cos ,sin .

a b

a b a b

2 2

2 2

sin cos

(cos sin sin cos )

sin( ).

y a x b x

a b x x

a b x

则

解析

2 2sin cos sin( ),y a x b x a b x 由

所以函数 的最大值为

，最小值为 ，周期是 .

sin cosy a x b x

2 2a b 2 2a b

2

注：此结论可作为公式记住，可方便

解题 .

例3 求函数 的周期，最大值和最小值 .

sin 3 cosy x x

分析： 利用三角恒等变换，把函数式化成 形式，再求相应的值 .

sin( )A x

解：1 3

sin 3 cos 2 sin cos2 2

2 sin cos cos sin 2sin .3 3 3

y x x x x

x x x

所以，所求函数是周期为 ，最大值为 2 ，最小值为 -2.

2

例4 如图，已知 OPQ 是半径为 1，圆心角为 的扇形，C是扇形弧上的动点， ABCD 是扇形的内接矩形 .记 ，求当角 取何值时，矩形 ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积 .

3

COP

OA B

P

C

Q

D

分析：要求当角 取何值时，矩形 ABCD 的面积 S 最大，可分二步进行：

（ 1 ）找出 S 与 之间的函数关系 ;

（ 2 ）由得出的函数关系，求 S 的最大值 .

解： 在 中，Rt OBC cos , sin .OB BC

Rt OAD在 中， tan 60 3.DA

OA

所以

所以

3 3 3sin .

3 3 3OA DA BC

3cos sin .

3AB OB OA

设矩形 ABCD 的面积为 S ，则

23 3cos sin sin sin cos sin .

3 3S AB BC

求类似 函数的最值，应先降幂，再化成 型的三角函数求最值 .

2 2sin sin cos cosy a x b x x c x sin( )A x

由二倍角公式的变形，降幂升角，得1 3 1 3 3sin 2 (1 cos 2 ) sin 2 cos 22 6 2 6 6

1 3 1 3sin 2 cos 2

2 2 63

1 3sin 2 .

6 63

S

注意自变量的取值范围

50 .

3 6 6 6

由 ＜ ＜ ，得 ＜2 + ＜

26 2 6

所以当 ，即 时，

1 3 3.

6 63S 最大

6

3.

6

ABCD 因此，当 时，矩形 的面积最大，最

大面积为

引申：如果去掉 “记 ”，结论改为“求矩

形 ABCD 的面积”，这时，对自变量可多一种选择，

如设 AD=x,S= , 所设自变量不同，

所得函数不同，由此可见函数模型的多样性，本题还

可体现以角为自变量的优越性 .

2 31

3x x x

COP

思考：还有其他的建模方法吗？快来想一想，试一试吧！

小 结 本节课主要学习了把形如 的三角函数式化成一个角的一个三角函数的形式，即 形式，进而求解周期与最值等问题，使解题过程得以简化 . 要对过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用 .

sin cosy a x b x

sin( )A x

作业

4 42. ( ) cos 2sin cos sinf x x x x x 已知函数 ，

0, ( ) .2

x f x

（2）若 ，求 的最大、最小值

( )f x（1）求 的最小正周期；

sin o2 2

3 c sx y x x

1.当 时，求 的

最值.