第一章函数与极限

分析基础

函数－研究的对象极限－研究的方法连续－研究的桥梁

第一节 函数• 一、函数的概念• 定义 设给定非空数集 D, 如果按照某个对应法则，

对于 D 中的每一个数 x ，都有唯一确定的实数 y 与之对应，则称 y 是定义在 D 上的 x 的函数。 记作

• 函数的两个要素：定义域和对应法则• 函数的表示法：解析法、表格法和图像法

x D

自变量

y f x

因变量定义域

•分段函数：一个函数，在其定义域的不同部分可用不同的解析式表示，这种形式的函数称为分段函数。常见的分段函数有

例 1 符号函数 y=sgnx = 　　　　　　　，它的定义域是

D= .

1 , x>0

0 , x=0

-1 , x<0

, 。

。。

1

-1

例 2 绝对值函数　　　　　　　　　，定义域 D= , 0

, 0

x xy x

x x

,

０ xx

yy

例 3 取整函数 y= 　 ，表示不超过 x 的最大整数，它的

定义域 D= .

x ,

。

。

。。。。

0 1 20 1 2 -2 -1-2 -1 。。

yy

xx

•二、函数的几种特性•１、函数的奇偶性：设函数的定义域 D 关于原点对称

　若　　　　，有 f(-x)=f(x), 则称 f(x) 为 D 上的偶函数；

　若 , 　有 f(-x)=-f(x), 则称 f(x) 为 D 上的奇函数。

x D

x D

例如 函数　　　与　　　　　　都是奇函数；　

函数 与 都是偶函数。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

3y x

3y x tany x2y x cosy x

•结论：奇函数图形关于原点对称；偶函数图形关于ｙ轴对称。

•２、函数的周期性： , 满足 f(x+T)=f(x), 称 T 为函数

f(x) 的周期。通常说周期函数的周期是指

0T

最小正周期。

siny x cosy x 2tany x coty x

•３、函数的有界性：若 , 使得0M , ,x D f x M 有

。则称函数则称函数 f(x)f(x) 在在 DD 上上有界有界；否则称为；否则称为无界无界。。

例如：函数 与 都是以 为周期的 有界例如：函数 与 都是以 为周期的 有界

函数；函数 与 都是以 为周期的无界函函数；函数 与 都是以 为周期的无界函

数。数。

•４、函数的单调性：2 1 2 ,x I x x 1若对于 x、 ，且 有

1 2 ,f x f x１、

1 22 ,f x f x、

2y x

- , +

则称函数在区间 上则称函数在区间 上单调递增单调递增；；I

则称函数在区间 上则称函数在区间 上单调递减单调递减。。I

例如： 在 上单调递减；在 上单调递增。例如： 在 上单调递减；在 上单调递增。

在 不是单调的。在 不是单调的。

,0 0,

00xx

yy

•四、函数的运算：• 1 、复合函数

引例：自由落体运动的动能 E 是速度 v 的函数 E=

　　　　 , 而速度 v 又是时间 t 的函数 v=gt ，物体的动能 E 与 t 的关系　　　　　　　　就是由 函数　　　　　与函数 v =gt 复合而成。

21

2mv

21

2E mv

•定义　设 y=f （ u ）定义域为 ，函数 u= 的值域 且　　　　 , 那么 y 通过 u 的联系成为 x 的函数，则称 y 为 x 的复合函数，记为 y= 其中 y

=f （ u ）叫做

1U x2U

2 1U U

2, ,f x x U

21

2E m gt

外函数， u= 叫做内函数， u 叫做中间变量。 X

•注：两个函数构成复合函数的关键是内函数的值域一定要在外函数的定义域中。

例如 　　　　　 定义域　　　　　　；　　　　　　　定义域　　　　　　 ; 由于 的值域 　　　　　故不能把中间变量代入，如果要使复合函数有意义，必须把　　限制在 ，为此必须限制　的定义域为　　　　　于是得复合函数

y f u u 0,fD 21u x x

,D u x ,1 ,fR D

R 0,1 1,1 ,

21 , 1,1 .y x x

•２、反函数

•定义 设 y=f （ x ）为定义在 D 上的函数，其值域为W, 若对于数集 W 中的每个数 y ，数集 D 中都有唯一的一个数 x 使 f （ x ） =y ，这就是说变量 x 是变量 y 的函数，这个函数称为函数 y=f （ x ）的反函数，记为 x=

　　　其定义域为 W, 值域为 D. 习惯上用ｘ表示自变量，用ｙ表示因变量，函数ｙ＝ f(x) 的反函数　　　　　　　用　　　　　

表示。

1 ,f y

1x f y 1y f x

注：函数 y=f(x) 与反函数　　　　　　在同一平面内的图行关于直线 y=x 是对称的。

1y f x

例　 求函数　　　　　　的反函数。

解：由　　　　　　可解得　　　　　　　，交换 x 、 y

的位置，得所求函数的反函数为　　　　　　　　　，其

定义域为（ 0 ， 1 ）。

1

x

x

ey

e

1

x

x

ey

e

ln1

yx

y

ln1

xy

x

•四、初等函数

１、基本初等函数：常量函数ｙ＝ C （ C 为常数）；指数函数　　　　　　　　　　；幂函数 0, 1xy a a a (y x 为实数）；

对数函数　　　　　　　　　　　　三角函数　　　　　　

log ( 0, 1);ay x a a sin ,y x

cosy x , tan , cot , sec , csc ;y x y x y x y x

反三角函数 sin , cos , arctan ,y arc x y arc x y x

coty arc x 六种函数统称为基本初等函数。

２、初等函数

•定义　基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得的由一个解析式所表示的函数称为初等函数。

例如：多项式函数　　　　　　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

10 1 1

n nn n np x a x a x a x a

,x 是初等函数。

有理分式函数　　　　其定义域是 R 中去掉使　　　

　的根后的数集，也是初等函数。

n

m

P x

Q x 0mQ x

在工程技术上常常要用到称为双曲函数的初等函数，其定义为：

双曲正弦函数　2

x xe eshx

00xx

yy

y=shxy=shx

双曲余弦函数双曲余弦函数　　　　2

x xe echx

双曲正切函数双曲正切函数shx

thxchx

双曲余切函数双曲余切函数 1chxcthx

shx thx

00 xx

yy

11y=chxy=chx

00 xx

yy

-1-1

11

y=thxy=thx

•双曲函数的性质双曲函数的性质

1.1. 双曲正弦函数双曲正弦函数是　　　　上的是　　　　上的奇函数奇函数，在区间，在区间 , ,

上是上是严格递增函数严格递增函数；；2.2. 双曲余弦函数双曲余弦函数是　　　　上的是　　　　上的偶函数偶函数，在区间，在区间 , ,0 上是严格递减函数，在　　　　上是上是严格递减函数，在　　　　上是严格递增函数严格递增函数；； 0,

3.3.2 2 2 21, 2 2 , 2ch x sh x sh x shxchx ch x ch x sh x

启发与讨论：启发与讨论： sin xx 是否为初等函数？是否为初等函数？

内容小结内容小结：：

1. 函数2. 分段函数3. 复合函数4. 反函数5. 基本初等函数6. 初等函数

•第二节　　　　　数列的极限• 一、数列极限的定义

• 数列 ： 按一定规律排列的一串数 　　　　　 称

为数列，简记作　　　。数列也可作是定义在正整数集合上的函数 　　　　　　　　　称为数列的通项。

1 2, ,... ,...nx x x

nx nx f n 1,2,n

问题：问题：当项数ｎ无限增大时，数列的变化趋势？当项数ｎ无限增大时，数列的变化趋势？

例１数列　　　　　　　　当ｎ无限增大时，　　趋于确定常数１。

nx f n

3 4 12, , ,..., ,...

2 3

n

n

nx

例２数列　　　　　　　　　数列各项的值随例２数列　　　　　　　　　数列各项的值随 nn 增大交替增大交替

取得取得 11 与－与－ 11 两数，而不是与某一数接近；两数，而不是与某一数接近；

11, 1,1, , 1 ,

n

例例 3 3 数列数列 22 ，， 44 ，， 66 ，， 88 ，…，，…， 2n2n ，…数列各项随，…数列各项随 n n 的增大而增大，且无限增大 ；的增大而增大，且无限增大 ； 例４数列例４数列 aa ，， aa ，， aa ，…，，…， aa ，…数列各项的值都相同。，…数列各项的值都相同。

•定义定义 11 当当 nn 无限增大时，数列　　的通项　　的值无无限增大时，数列　　的通项　　的值无

限接近于某一确定的常数，则称当限接近于某一确定的常数，则称当 nn 趋于无穷大时数列　趋于无穷大时数列　

　以　以 aa 为极限，记作　　　　　　　　　　　　　　　；为极限，记作　　　　　　　　　　　　　　　；

这时称这个这时称这个数列收敛数列收敛；否则称它是；否则称它是发散数列发散数列。。

nx nx

nx lim nn

x a a n

n或x

例例 5 5 观察下列数列的变化趋势，并写出收敛数列的极限观察下列数列的变化趋势，并写出收敛数列的极限(1) (1) 2

13nx n

(2)(2) sin2n

nx

分析分析：： (1)(1) 当当 nn 依次取依次取 11 ，， 22 ，， 33 ，， 44 ，， 55 ，…等正整数，…等正整数

时，数列的各项依次为 ２，　　　　　　　，当　　　　时，数列的各项依次为 ２，　　　　　　　，当　　　　

　，　，

11 26 47 74, , , ,...

4 9 16 25n

2

13 3

n ；；

(2) (2) 当当 nn 依次取依次取 11 ，， 22 ，， 33 ，， 44 ，， 55 ，…等正整数时，数，…等正整数时，数

列各项依次为列各项依次为 11 ，， 00 ，－，－ 11 ，， 00 ，， 11 ，…，当 ，…，当

不能无限地趋于一确定的常数 不能无限地趋于一确定的常数 aa ，因此数列极限不存，因此数列极限不存

在。 在。

sin2

nn

时，

解：解： (1) (1) 2

1lim 3 3n n

(2) (2) 数列 的极限不存在，即数列发散数列 的极限不存在，即数列发散。。sin2

n

二、数列极限的性质二、数列极限的性质•定理定理 1.11.1 如果一个数列有极限，则此如果一个数列有极限，则此极限是唯一极限是唯一的。的。•定理定理 1.21.2 将一个数列将一个数列添加或减少有限项添加或减少有限项，不影响其极，不影响其极限是否存在，也不影响其极限值（如果极限存在）。限是否存在，也不影响其极限值（如果极限存在）。

11 , sin

2n n

•定理定理 1.31.3 收敛的数列必收敛的数列必有界有界；有界的数列不一定收敛。；有界的数列不一定收敛。

例如　数列　　　　　　　　　　　都是有界的数列，例如　数列　　　　　　　　　　　都是有界的数列，

但都是发散的。但都是发散的。

•定理定理 1.41.4 单调有界单调有界数列必有极限。数列必有极限。

如：利用定理如：利用定理 1.4 1.4 可证明重要数　　　　　收敛，其极限可证明重要数　　　　　收敛，其极限

记为ｅ，即　　　　　　　　。记为ｅ，即　　　　　　　　。

11

n

n

1lim 1

n

ne

n

•定理定理 1.51.5 数列极限的数列极限的四则运算法则四则运算法则假定　　　　　　　存在，则假定　　　　　　　存在，则lim limn n

n nx y

及

(1)(1) lim lim limn n n nn n n

x y x y

(2)(2) lim lim limn n n nn n n

x y x y

(3)(3) lim limn nn n

cx c x

(4)(4) lim

lim lim 0lim

nn nnn n

n nn

xxy

y y

若

;;

例６求极限例６求极限2

2

2 5 3lim

7 3 4n

n n

n n

分析：分析：　　　　型，可用型，可用“抓大头法”“抓大头法”　。　　　。　　

解　　　　　　　　　解　　　　　　　　　2

2

2 5 3lim

7 3 4n

n n

n n

2

2

1 12 5 3

lim1 1

7 3 4n

n n

n n

＝ 2 0 0 2

7 0 0 7

＝

例７求极限例７求极限 2

1 2 ...limn

n

n

分析：分析：先求和，再求极限先求和，再求极限。。

解：由解：由 2

1 1 2 ...1 2 ... lim

2 n

n n nn

n

知，

1 1lim

2 2n

n

n

1 1lim

2 2n

n

n

•内容小结

1.1. 数列极限的定义及应用；数列极限的定义及应用；

2.2. 收敛数列的性质；收敛数列的性质；

惟一性，有界性惟一性，有界性

3.3. 单调有界准则；单调有界准则；

4.4. 数列极限的四则运算法则。数列极限的四则运算法则。

•第三节　　　　函数的极限x •一、　　　　时函数的极限一、　　　　时函数的极限

　　从函数的观点看，数列是下标变量ｎ的函数　　　　从函数的观点看，数列是下标变量ｎ的函数　　　　

数列以ａ为极限可以叙述为：当自变量　　　　，相应的数列以ａ为极限可以叙述为：当自变量　　　　，相应的

函数　　　　　，这种定义数列极限的思维方法也适合于函数　　　　　，这种定义数列极限的思维方法也适合于

一般的函数　　　。　　　一般的函数　　　。　　　

,nx f n

n f n a

f x

例（如图）当例（如图）当 ,x 00 xx

yyyy

函数函数 1f x

x

无限接近无限接近 00 ，则称，则称 00 为函数 当为函数 当

时极限。时极限。

f xx

•定义定义 11 设函数 ，如果 无限增大时函数 设函数 ，如果 无限增大时函数

无限趋近于某个固定的常数 无限趋近于某个固定的常数 a a ，则称，则称 xx 趋于 时，趋于 时，

f(x)f(x) 以以 aa 为极限，记作 。为极限，记作 。

y f x x f x

lim

xf x A A X

或者f x

注：注：直线直线 yy ＝＝ aa 为曲线为曲线 yy ＝＝ f(x)f(x) 的水平渐近线。的水平渐近线。

两种特殊情况两种特殊情况

limx

f x a

若若 xx 取正值，且 无限增大时， 即取正值，且 无限增大时， 即x

，， f(x) f(x) 的值无限趋近于常数的值无限趋近于常数 aa 。。x

limx

f x a

若若 xx 取负值，且 无限增大时，即取负值，且 无限增大时，即x

,x f(x)f(x) 的值无限趋近于常数的值无限趋近于常数 aa 。。

注：注：直线直线 yy ＝＝ aa 仍是曲线仍是曲线 yy ＝＝ f(x)f(x) 的渐近线。的渐近线。

二、 时函数的极限二、 时函数的极限0x x

引例　讨论当 时，函数 的变化趋势。引例　讨论当 时，函数 的变化趋势。

解　此函数在ｘ＝１处无定义，但是当 时，函数 解　此函数在ｘ＝１处无定义，但是当 时，函数

　　　 因此当 函数　　　 因此当 函数

f(x)f(x) 以以 22 为极限。　　　　　 为极限。　　　　　

　　

1x 2 1

1

xf x

x

1x

2 1

1,1

xf x x

x

1 1x x 时，

总结：总结：函数在某一点的极限与函数在该点处的函数无关。函数在某一点的极限与函数在该点处的函数无关。

•　定义　定义　设函数　设函数 f(x)f(x) 在点 的附近（点 可以除外）有在点 的附近（点 可以除外）有

定义，如当 则 称定义，如当 则 称 A A 为函数为函数 f(x) f(x) 当 当

x x 时的极限，记作 或者时的极限，记作 或者

0x 0x

0 .x x A 时，f x

0x 0

limx x

f x A

.f x A

0 ,x x

在 ，在 ，0x x f x A 的概念中，的概念中， xx 是既从左侧趋是既从左侧趋

于 ，于 ，也是从右侧趋于也是从右侧趋于 0x 0 0,x x x x －即 记作 0x

0 0,x x x x 即 记作 的情形，这就产生了左极限和右的情形，这就产生了左极限和右

极限。极限。

•定义定义　设函数ｙ　设函数ｙ =f(x)=f(x) 在点 的去心邻域内有定义，若当在点 的去心邻域内有定义，若当

ｘ从的左（右）侧趋于 时，ｘ从的左（右）侧趋于 时， f(x)f(x) 趋于趋于 A,A, 则称则称 f(x)f(x) 当ｘ当ｘ

从的左（右）侧趋于 时收敛于Ａ从的左（右）侧趋于 时收敛于Ａ ,, 且称且称 AA 为为 f(x)f(x) 在点 在点

的的左（右）极限左（右）极限，记作 或，记作 或

0x0x

0x

0x 0x

0 0f x A 0 0f x A

结论：结论： 0 0 0

lim lim limx x x x x x

f x A f x f x A

的充要条件是

例例 11 　设函数 讨论当 时，　设函数 讨论当 时， f(x)f(x)

是否存在极限。 是否存在极限。

1, 0

0, 0

1, 0

x x

f x x

x x

0x

0 0

lim limx x x x

f x A f x A

解：根据单侧极限的定义解：根据单侧极限的定义

0 0

lim lim 1 1x x

f x x

0 0

lim lim 1 1x x

f x x

0 0

lim limx x

f x f x

故当x 0由于由于 。。

。。

时时

函数函数 f(x)f(x) 的极限不存在。的极限不存在。•三、极限的运算法则三、极限的运算法则

0 0

lim , lim ,x x x x

f x A f x B

•定理 定理 1.61.6 则则

(1) (1) 0 0 0

lim lim limx x x x x x

f x g x f x g x A B

若若

(2)(2) 0 0

lim limx x x x

kf x k f x kA

（（ KK 为常数）；为常数）；

(3)(3) 0 0 0

lim lim limx x x x x x

f x g x f x g x A B

;;

(4)(4)

0

0

0

limlim 0 .

limx x

x xx x

f xf x AB

g x g x B

注：注：法则法则 (1)(1) 、、 (3)(3) 可以推广到有限个具有极限的函数的可以推广到有限个具有极限的函数的和与积的情况且法则对于 情形也是成立。和与积的情况且法则对于 情形也是成立。x

例例 2 2 求求2

2

2 4 3lim

3 5 2x

x x

x x

分析：分析：属于 型，不能直接用四则运算法则求极限，但属于 型，不能直接用四则运算法则求极限，但

用 除分子与分母，则可用极限的四则运算法则求得极用 除分子与分母，则可用极限的四则运算法则求得极限。限。

2x

解：解：2 2

2

2

4 322 4 3 2

lim lim5 23 5 2 33

x x

x x x xx x

x x

总结：总结：“抓大头法”常用于“抓大头法”常用于 .

例例 3 3 求极限求极限1

0 11

0 1

limn n

nm mx

m

a x a x a

b x b x b

其中其中 0 00, 0,a b

mm 、、 nn 各为正整数。各为正整数。分析：分析：用“抓大头法”用“抓大头法”。。

解：解：1

0 11

0 1

limn n

nm mx

m

a x a x a

b x b x b

0 1

0 1

1 1

lim1 1

n nn m

x

m m

a a ax xx

b b bx x

0

0

,

0,

,

an m

b

n m

n m

。。

例例 4 4 求求 21

1 2lim

1 1x x

ｘ

分析：分析： 型，是不定型，要先通分，再求极限。型，是不定型，要先通分，再求极限。

解：解： 21

1 2lim

1 1x x

ｘ 21

1 2lim

1x

x

x

1 1

1 1lim lim

1 1 1x x

x

x x x

1

2

•四、函数极限存在的判别法，两个重要极限四、函数极限存在的判别法，两个重要极限

•定理 定理 1.71.7 （迫敛定理） （迫敛定理） 设函数 的 设函数 的

某个邻域内 某个邻域内 ( ( 可除外可除外 ) ) 满足条件 且 满足条件 且

则有　 。 则有　 。

0, ,f x g x h x x在点

0x ,f x h x g x

0 0

lim lim ,x x x x

f x g x A

0

limx x

h x A

例例 5 5 计算计算3 sin !

lim2n

n

n ｎ

分析：分析： 由于 ，而 由于 ，而3 3sin !

02 2

n n n

n n

lim 0 0,n

2

3 3

lim lim 022 1

n n

n n

nn

解：由解：由迫敛定理迫敛定理，有，有3 sin !

lim2n

n

n ｎ

＝＝ 00

•定理定理 1.81.8 极限极限0

sinlim 1x

x

x

00 AA

BB

CC

证 如图作一证 如图作一单位圆单位圆。设。设 02

x

由平面几何可知 ，由平面几何可知 ，

1 1 1sin tan

2 2 2x x x 即即

sin tanx x x 1

1sin cos

x

x x

sincos 1

xx

x 或或

sincos

xx

x与由于用－由于用－ xx代替代替 xx 时，时， 都不变，都不变，

OAC OABOACS S S 扇形

下面证明 下面证明 0

lim cos 1x

x

因为因为2 2

2cos 1 1 cos 2sin 22 2

x xx x x

即即2

0 cos 12

xx ，而，而

2

0lim 0

2x

x

由迫敛定理得由迫敛定理得 0

lim cos 1 0x

x

0

lim cos 1x

x

即即

所以所以 0

sinlim 1x

x

x

所以所以 sincos 1

xx

x 0

2x

例例 6 6 求求 0

sinlim

sinx

mx

nx （（ mm 、、 nn 为整数）。为整数）。

解：解：0

sinlim

sinx

mx

nx

0

sinlim

sinx

mx mx nx

mx nx nx

0 0

sinlim lim

sinx x

m mx nx m

n mx nx n

例例 7 7 求求0

tanlimx

x

x

解：解：0

tanlimx

x

x

0 0 0

sin 1lim

c

sin 1lim li

sm 1

so cox xx

x

x x

x

x x

例例 8 8 求求0

lim1 cosx

x

x

解：解：0

lim1 cosx

x

x

00

2lim 2 lim 22 sin sin

2 2

xx

xx

x x

•定理 定理 1.9 1.9 极限极限 1lim 1

x

xe

x

证 证 当 当 1, 1x x x x 有

1 1 1

1 1 11x x x

1

1 1 11 1 1

1

x xx

x x x

1 1

1 1 1lim 1 lim 1 1

1 1 1

x x

x xe

x x x

1

1 1 1lim 1 lim 1 1

x x

x xe

x x x

由由迫敛定理迫敛定理1

lim 1x

xe

x

作变量代换 作变量代换 令令 yy ＝－＝－ xx

1 1 1lim 1 lim 1 lim 1

1

y yx

x y yx y y

11 1

lim 1 11 1

y

ye

y y

1lim 1

x

xe

x

1

0lim 1 tt

t e

说明说明 此极限公式也可表示为另一种形式此极限公式也可表示为另一种形式

例例 8 8 求求3

lim 1x

x x

解 解 3lim 1

x

x x

3

333

lim 1

x

xe

x

例例 9 9 求求2

1lim 1

x

x x

解 令解 令 tt ＝－＝－ xx

21

lim 1x

x x

2

2

1 1lim 1 lim

11

t

tt tt

t

则当则当 x 时，t

2 2

1 1

1lim 1

t

t

e

t

例例 10 10 求求 1

0lim 1 2 xx

x

解 解 1

0lim 1 2 xx

x

21

220

lim 1 2 xx

x e

•五、无穷小量和无穷大量五、无穷小量和无穷大量

•11 、无穷小量、无穷小量•定义定义 若 若 0x x

x 或时，函数 ，则称函数时，函数 ，则称函数 f(x)f(x) 为为 0,f x

0x x 时的时的无穷小量无穷小量。。 x 或

例如：例如： 2

lim 2 0x

x

，函数，函数 2 2x x 当 时为时为无穷小无穷小

1lim 0x x

，函数，函数 1

x当当 x 时为时为无穷小无穷小。。

•说明 说明 除除 00 以外任何很小的常数都不是无穷小量。以外任何很小的常数都不是无穷小量。

•无穷小量的性质无穷小量的性质

•性质１性质１　　有限有限个无穷小量的个无穷小量的和和也是无穷小量。也是无穷小量。•性质２性质２　　有限有限个无穷小量的个无穷小量的乘积乘积仍是无穷小量。仍是无穷小量。•性质３性质３　　常数常数乘以无穷小量仍是无穷小量。乘以无穷小量仍是无穷小量。•性质４性质４　　有界函数有界函数乘以无穷小量仍是无穷小量。乘以无穷小量仍是无穷小量。

例如 由性质例如 由性质 44 可得可得cos

lim 0x

x

x

•22 、无穷大量、无穷大量

•定义 定义 若若 0x x 时，函数 ，则称函数时，函数 ，则称函数 f(x)f(x) | |f x

(( 或 或 ))x 为为 0x xx (( 或 或 ))

时的时的无穷大量无穷大量。。记作记作 0

limx x

f x

或或

limx

f x

或

注 注 无穷大量不是一个很大的数，它描述的是函数的一种无穷大量不是一个很大的数，它描述的是函数的一种

状态，若函数趋于无穷大，则必无界。状态，若函数趋于无穷大，则必无界。

。。

例如 例如 1

1 1lim , 1

1 1xx

x x

则称 是当 时无穷大量。时无穷大量。

•说明 说明 若 ，则直线 为曲线若 ，则直线 为曲线 yy ＝＝ f(x)f(x) 的的垂直渐近线。垂直渐近线。

0

limx x

f x

0x x

•33 、无穷小量与无穷大量的关系、无穷小量与无穷大量的关系

•定理定理 如果当 时， 如果当 时， f(x)f(x) 为无穷大量为无穷大量 , ,

则 为无 穷小量；反之，如果当 时，则 为无 穷小量；反之，如果当 时， f(x)f(x)

为无穷小量，且 为无穷大量。为无穷小量，且 为无穷大量。

0x x x 或

1

f x 0x x x 或

1

0,f xf x

则

•说明 说明 据此定理，关于无穷大的问题都可以转化无穷小据此定理，关于无穷大的问题都可以转化无穷小来讨论。来讨论。

例例 11 11 求 求 2lim 3 2x

x x

解 因为 的倒数 时是无穷小解 因为 的倒数 时是无穷小 2 3 2x x 2

1

3 2x

x x

当

所以 所以 2lim 3 2x

x x

•４、无穷小量的比较４、无穷小量的比较 引例 引例 当当 20 sinx x x x 时， 、 、 都是无穷小，而都是无穷小，而

2

20 0 0

sinlim 0, lim , lim 1x x x

x x x

x x x

两个无穷小量之比的极限的各种不同情况，反映了不同的两个无穷小量之比的极限的各种不同情况，反映了不同的

无穷小量趋于无穷小量趋于 00 的速度的多样。的速度的多样。•定义 定义 设 是同一变化过程中的两个无穷小量， 设 是同一变化过程中的两个无穷小量， ,f x g x

lim 0f x

cg x

或１ ,f x g x

f x Og x

(1) (1) 如果 ，则称 为如果 ，则称 为同阶无穷小量同阶无穷小量。。

记作 记作

(2)(2)如果 ， 则称如果 ， 则称 f(x)f(x) 与与 g(x)g(x) 为为等价无穷小量等价无穷小量，，

lim 1f x

g x

.f x g x

(3)(3)如果 ，则称如果 ，则称 ff 是比是比 gg高阶的无穷小量高阶的无穷小量，记作，记作

lim 0f x

g x

记作记作

f x og x

(4) (4) 如果 ，则称如果 ，则称 ff 是比是比 gg低阶的无穷小量低阶的无穷小量。。

limf x

g x

例如例如 ， ，所以 ， 当 时所以 ， 当 时

0 0

sin 2lim lim sin 2 2x x

x xx

x

0x

sin 2x x x 与 为为同阶无穷小量同阶无穷小量。。

0 0

tan sin 1lim lim 1

cosx x

x x

x x x ， 所以，当 时， 所以，当 时0x

tan x x

0 0 0

tan sin sin sinlim lim lim 1 1 0

cosx x x

x x x x

x x x x

，所以，所以

当当 0x 时，时，tan sinx x 是比是比 xx 高阶的无穷小高阶的无穷小；；

XX 是比 是比 低阶无穷小量低阶无穷小量。。tan sinx x

•思考与练习思考与练习

•填空题填空题

sin1 lim 0

x

x

x 、 1

2 lim sin 1x

xx

、

0

13 lim sin 0

xx

x、 4 lim sin

xx x

、 不存在

0 0 0, ,x x x x x x

22 、极限的运算法则；、极限的运算法则；

33 、无穷小量与无穷大量；、无穷小量与无穷大量；

44 、无穷小量的比较。、无穷小量的比较。

•内容小结内容小结 11 、函数极限的概念；、函数极限的概念；

六种情形六种情形

, ,x x x

第四节 函数的连续性•一、函数连续的概念•定义　设函数 的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量 趋于零时，相应的函数值的增量

也趋于零，则称 f(x) 在点 处

连续。

0y f x x 在点x

0 0y f x x f x 0x

函数函数 f(x)f(x) 在点连续的另一种形式的定义在点连续的另一种形式的定义•定义定义　设函数　设函数 f(x)f(x) 在点 的某个邻域内有定义，若在点 的某个邻域内有定义，若0x

0

0limx x

f x f x

则称函数则称函数 f(x)f(x) 在点 处连续。 在点 处连续。 0x

左连续左连续 0

0limx x

f x f x

右连续右连续 0

0limx x

f x f x

注：注：函数在某点连续的充要条件是函数在该点既是左连续函数在某点连续的充要条件是函数在该点既是左连续又是右连续。又是右连续。

•定义　定义　如果一个函数在某个区间上的每一点都连续，则如果一个函数在某个区间上的每一点都连续，则称这个函数为该区间上的连续称这个函数为该区间上的连续函数。函数。

例例 1 1 证明函数 在定义域内连续。证明函数 在定义域内连续。siny x

证明 证明 设设 xx 为函数定义域 上的任意一点，则为函数定义域 上的任意一点，则 ,

sin siny x x x 2sin cos2 2

x xx

0cos 1, lim sin 0

2 2x

x xx

因为因为

0 0lim lim 2sin cos 0

2 2x x

x xy x

所以所以

siny x因此因此 在定义域上连续在定义域上连续。。

例例 2 2 讨论函数讨论函数 1

sin , 0

0, 0

x xf x x

x

在在 xx ＝＝ 00 处的连续性。处的连续性。

解 解 0 0

1lim lim sin 0x x

f x xx

0 0

lim lim 0 0x x

f x

左连续左连续

右连续右连续

所以 函数所以 函数 f(x)f(x) 在在 xx ＝＝ 00 处连续。处连续。•二、函数的间断点二、函数的间断点

设函数设函数 ff （（ xx ）在点 的某去心邻域内有定义，则下）在点 的某去心邻域内有定义，则下

列情形之一函数列情形之一函数 f(x)f(x) 在点 在点 不连续不连续。。0x

0x

(1) (1) 在 处没有定义；在 处没有定义；0x x (2) (2) 虽在 处有定义，且 存在，但虽在 处有定义，且 存在，但

0x x 0

limx x

f x

0

0limx x

f x f x

(3) (3) 虽在 有定义，但 不存在。虽在 有定义，但 不存在。0x x 0

limx x

f x

这样的点 称为这样的点 称为间断点间断点。。0x

•下面举例来说明函数间断点的几种常见类型下面举例来说明函数间断点的几种常见类型

例例 3 3 函数 在点函数 在点 xx ＝＝ 22 处没有定义，所以处没有定义，所以 xx ＝＝

22

是该函数的间断点，但 ，如果是该函数的间断点，但 ，如果

2 4

2

xy f x

x

2 4

2

xy f x

x

2

2 2

4lim lim 2 4

2x x

xx

x

2

2 2

4lim lim 2 4

2x x

xx

x

2

2 2

4lim lim 2 4

2x x

xx

x

补充定义：令补充定义：令 xx ＝＝ 22 时，时， yy ＝＝ 44 ，所给函数在，所给函数在 xx ＝＝ 22 成为成为连续，则称连续，则称 xx ＝＝ 22 为该函数的为该函数的可去间断点可去间断点。。

例例 4 4 符号函数 ，当 时 符号函数 ，当 时 1, 0,

sgn 0, 0,

1, 0,

x

y f x x x

x

0x

0 0

lim lim 1 1x x

f x

0 0

lim lim 1 1x x

f x

，，

左、右极限都存在，但不相等，故 不存在，所以左、右极限都存在，但不相等，故 不存在，所以

点点 xx ＝＝ 00 是函数的间断点，则称是函数的间断点，则称 xx ＝＝ 00 为函数为函数 f(x)f(x) 的的跳跃跳跃

间断点。间断点。

0

limx

f x

例例 5 5 函数 在函数 在 xx ＝＝ 00 没有定义，且 没有定义，且 1sin

xf x＝

0lim ,x

f x

0

limx

f x 都不存在，则称都不存在，则称 xx ＝＝ 00 是是 f(x)f(x) 第二类间断点第二类间断点。。

小结：小结：间断点分两类间断点分两类：：如果 是函数如果 是函数 f(x)f(x) 的间断点，但的间断点，但

左极限 及右极限 都存在 ，则称 为左极限 及右极限 都存在 ，则称 为

f(x)f(x) 的的第一类间断点第一类间断点；在第一类间断点中，左、右极限相；在第一类间断点中，左、右极限相

等者称为等者称为可去间断点可去间断点，不相等者称为，不相等者称为跳跃间断点跳跃间断点。不是第。不是第

一类间断点的任何间断点，称为一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点第二类间断点。。

0x

0

limx x

f x

0

limx x

f x 0x

• 三、连续函数的基本性质三、连续函数的基本性质

•定理定理 1.101.10 （连续函数的四则运算）（连续函数的四则运算） 设设 f(x)f(x) 、、 gg

(x)(x)均在 处连续，则均在 处连续，则

（（ 11 ） 处连续；） 处连续；

（（ 22 ） 处连续；） 处连续；

（（ 33 ）若 处连续。 ）若 处连续。

0x

f x g x 0在x=x

f x g x 0在x=x

0 00,f x

g x x xg x

则 在

例如 由定理可知 在其定义域上连续。例如 由定理可知 在其定义域上连续。tan ,cotx x

•定理定理 1.12 1.12 （复合函数的连续性）（复合函数的连续性）设函数 处设函数 处

连续，函数 在 处连续，且且 连续，函数 在 处连续，且且

则复合函数 处连续。 即则复合函数 处连续。 即

0y f x u u 在

u x 0x x 0 0u x

0y f x x x 在

0 0

0lim limx x x x

f x f u f x

•说明 说明 ：定理的条件中内函数 在 处连续可以：定理的条件中内函数 在 处连续可以

减弱为内函数 在 时极限存在，函数的符号与减弱为内函数 在 时极限存在，函数的符号与

极限号可以交换次序。即 极限号可以交换次序。即

u x 0x x

u x 0x x

0 0

lim limx x x x

f x f x

例例 5 5 求求

0

ln 1limx

x

x

解 解 0

ln 1limx

x

x

1 1

0 0lim ln 1 ln lim 1x xx x

x x

＝ ln 1e＝

•定理定理 1.131.13 （反函数的连续性）（反函数的连续性）若函数在某区间上是严格若函数在某区间上是严格单调且连续，则它的反连续在对应的区间上也严格单调且单调且连续，则它的反连续在对应的区间上也严格单调且连续连续。。

例如 反三角函数 它例如 反三角函数 它们的定义域内都是连续的。们的定义域内都是连续的。

arcsin ,arccos ,arctan ,x x x cot x在

•定理定理 1.14 1.14 一切初等函数在其定义域内是连续的一切初等函数在其定义域内是连续的。。

•注：注：初等函数在定义域上某点的极限值等于函数在该点初等函数在定义域上某点的极限值等于函数在该点的函数值。的函数值。

例例 6 6 求求2 1

1

lnlim

2 1

x

x

e x

x

解 解 2 1

1

lnlim

2 1

x

x

e x

x

1 1 ln11

2 1 1

e

＝

例例 7 7 求求 4

2 1 3lim

2x

x

x

分析 ：分析 ：属于 型，先有理化，再求极限。属于 型，先有理化，再求极限。0

0

解 解 4

2 1 3lim

2x

x

x

4

2 1 3 2 1 3 2lim

( 2) 2 2 1 3x

x x x

x x x

＝

4

2 2lim

2 1 3x

x

x

＝ 2 4 2 4

32 4 1 3

＝

• 四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质

•定理定理 1.15 1.15 (( 最大值最小值定理最大值最小值定理 )) 若函数若函数 f(x)f(x) 在闭区间 在闭区间 上连续，则在 上至少存在两点 ，使对 上 上连续，则在 上至少存在两点 ，使对 上一切的一切的 xx ，都有 ，都有 ,, 其中其中和 分别称为和 分别称为 f(x)f(x) 在 上的最小值和最大值。如图在 上的最小值和最大值。如图

,a b

,a b 1 2x x、 ,a b

1 2f x f x f x 1f x

2f x ,a b

00 XX

yy

aa bb1x2x

• 推论推论 若函数若函数 f(x)f(x) 在闭区间 上连续，则在闭区间 上连续，则 f(x)f(x) 在 在 上必有界上必有界。 。

,a b ,a b

•说明说明 11 ：若把及推论中的闭区间改为开区间，定理不：若把及推论中的闭区间改为开区间，定理不一定成立。一定成立。

例如 是例如 是 (0,1) (0,1) 内的连续函数，它在内的连续函数，它在 (0,1) (0,1) 内既不能内既不能

取得最大值，也不能取得最小值。 取得最大值，也不能取得最小值。

1y

x

说明说明 22 ：：若定理及推论中函数若定理及推论中函数 f(x)f(x) 在闭区间有间断点，在闭区间有间断点，定理的结论也不一定成立。定理的结论也不一定成立。

例如 函数 在闭区间 上有间例如 函数 在闭区间 上有间 1, 1 0

0, 0

1,0 1

x x

f x x

x x

1,1

断点断点 xx ＝＝ 00 ，它取不到最大值和最小值。，它取不到最大值和最小值。

• 定理定理（介值定理）（介值定理）若函数若函数 f(x)f(x) 在闭在闭

区间 上连续，且 ，区间 上连续，且 ，

则对于则对于 f(a)f(a) 与与 f(b)f(b) 之间的任意数之间的任意数 kk ，，

在在 (a,b)(a,b) 内至少存在一点 内至少存在一点

,a b f a f b

, .f k 使得

,a b•说明：说明：如果函数如果函数 f(x)f(x) 在闭区间 上连续，则它必定能在闭区间 上连续，则它必定能

够取得够取得 f(a)f(a) 与与 f(b)f(b) 之间的任意值之间的任意值 k k 。。

00a ba b

yy

xx

kk

• 推论推论（根的存在定理）（根的存在定理）若若 f(x)f(x)

在区间 上连续，且 在区间 上连续，且

(( 即即 f(a)f(a) 、、 f(b)f(b) 异号异号 )) ，则在，则在 (a,(a,

b)b) 内少存在一点 内少存在一点

0f a f b

闭闭

至至

, 0,f 使 即方程即方程 0f x 在在 (a,b)(a,b) 内至少有一个内至少有一个根根 .

,a b

•说明 说明 ：连续的曲线：连续的曲线 y=f(x)y=f(x) 端点在端点在 xx 轴的两侧时，则曲线轴的两侧时，则曲线与与 xx 轴至少相交一次。轴至少相交一次。

例例 9 9 证明方程 至少有一个根介于证明方程 至少有一个根介于 11 和和 22 之间之间5 3 1x x 。。

00aa bb

xx

yy

•证明：证明：设设 5 3 1f x x x ，， 则则

f(x)f(x) 在 上连续，且在 上连续，且 1,2 1 3 0, 2 25 0f f

由根的存在定理知：在由根的存在定理知：在 (1,2)(1,2) 内至少存在一点内至少存在一点 ,

使得使得 0f ，得证。，得证。

•内容小结：内容小结：

11 、、函数连与间断的概念；函数连与间断的概念；

22 、、连续函数的基本性质；连续函数的基本性质；

33 、、闭区间上连续函数的性质。闭区间上连续函数的性质。