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结构力学. 结构力学教研室. 长安大学建筑工程学院. 静定结构的位移计算. 第七章. 1. 什么叫位移?. §7.1 概 述. 结构在外因作用下变形或位移后，某一横截面产生的相对其初始状态的位置改变 。. 位移 是矢量，可分解为三个位移分量，即两个线位移（一般常考虑水平位移和竖向位移），一个转角位移（简称角位移）。. 位移按位置变化的参考状态（参照物）可分为：. 绝对位移（一般称位移）. 相对位移. 绝对位移. 指结构上的一个指定截面，位移后的新位置相对其位移前旧位置的改变。如图7-1-1所示 C 截面的位移。. - PowerPoint PPT Presentation
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结构力学
结构力学教研室
长安大学建筑工程学院
静定结构的位移计算
第七章
§7.1 概 述
1. 什么叫位移 ?
结构在外因作用下变形或位移后，某一横截面产生的相对其初始状态的位置改变。
位移是矢量，可分解为三个位移分量，即两个线位移（一般常考虑水平位移和竖向位移），一个转角位移（简称角位移）。
位移按位置变化的参考状态（参照物）可分为：
绝对位移（一般称位移）
相对位移
绝对位移
指结构上的一个指定截面，位移后的新位置相对其位移前旧位置的改变。如图 7-1-1 所示C 截面的位移。
绝对位移是以结构未变形前的初始状态为参考状态的。
u cC `
C Bv c
c
C
图 7-1-1
相对位移
指结构上的两个指定截面，位移后新的位置关系相对其位移前旧位置关系的改变。
相对位移是结构上的两个截面互以对方为参考状态的。
(a) (b) 图 7-1-2
在图 7-1-2(a)中， A 、 B两端点的相对水平位移为：
C 、 D 两结点的相对转角位移：AB=AH+BH
CD=C+D
AB=AV-BV
在图 7-1-2(b)中， A 、 B 两端点的相对竖向位移：
2. 研究结构位移计算的目的
验算结构的刚度，使结构的变形 （一般由结构上的最大位移控制） 限制在允许的范围内。 为超静定结构的内力分析打基础。 即位移条件的建立和使用。
§7.2 刚体的虚功原理及应用
1. 虚功的概念
力与其在力方向上的位移的乘积。
虚功中的力和位移之间没有因果关系，即虚功的力和位移不相关。这是虚功区别于实功的重要特点。
虚功可大于零也可小于零。
(a)力状态
(b)位移状态
L
ba
BC
B
C `
C
图 7-2-1
2. 刚体的虚功原理及应用
刚体的虚功原理一个具有理想约束的刚体体系，若发生满足约束允许的微小刚体位移（可能的位移），则该刚体体系上任意平衡力系（可能的力系），在该位移上所作的总外力虚功等于零。
可表示为： W 外虚 =0
该式叫虚功方程。
虚力方程——求位移。 虚位移方程——求内力、约束力；
由于虚功中的两种状态不相关的特点，可使其中的一种状态是虚设的，而另一种是真实的状态。因此，虚功方程演变出两种形式及应用：
虚位移方程及应用
虚位移方程
使体系上真实的平衡力系，在体系可能的任意微小的刚体虚位移上，所作的外力总虚功等于零的方程。
虚位移方程用于求真实的未知力（内力、约束力、支座反力）。
如图 7-2-2(a)所示以杠杆（机构），B 端上有一集中荷载 FP，求 A 端需用多大的力 FA，该杠杆体系能平衡。
(a)
(b)
图 7-2-2
使机构发生约束允许的任意微小刚体虚位移，见图 (b)。因为欲求的力 FA要使图 (a)所示体系为平衡力系，所以该力系上的所有外力在图 (b)所示的虚位移上总外力虚功等于零，得虚位移方程：
0 BPAA FF
即： PA
BA FF
由虚位移图的几何关系，知：a
c
A
B
(↓) PA Fa
cF 所以：
L
ba
BC
B `C `
BP
C B B( = 1 )
(a)
(b)
例 7-2-1 试用单位位移法（虚位移法）求图 (a)所示简支梁的支座 B的约束反力。
分析：
图 (a)是一个平衡力系。图 (b)是可绕 A 铰作刚体转动（ 1个自由度）的体系。 可知，静定结构可利用刚体的虚功原理（虚位移方程）求力。
解：
(1) 去掉 B 支座链杆(2) 按拟求支座反力让机构发生 单位虚位移见图 (b) (3) 写出虚位移方程 01 PPBy FF
(4) 求解虚位移方程
虚力方程及应用
使体系上虚设的平衡力系，在体系真实的刚体位移上，所作的外力总虚功等于零的方程。
虚力方程
虚力方程用以求真实的位移
(a)
L
c d
B
k `
k
(b) Bk
图 7-2-3
静定结构在支座发生位移时，是满足约束允许的刚体位移，并且不产生内力。
在拟求位移截面，按假定的位移方向，作用一集中荷载（或单位荷载，或单位力），由平衡条件可求得虚力状态的支座反力。
虚设力状态如图 7-2-3(b)
在支座移动时的位移计算公式
E
GC D
E
GC D
3RF1RF
2RF
(a) (b) 图 7-2-4
虚力方程
01 332211 cFcFcF RRR
则所求位移为：
3
1iRi cF
例 7-2-2
6 m 6 m
4 m
1 0 c m
2 0 c m
C
(1) 求顶铰 C 的竖向位移；(2) 求 C 铰两侧截面的相对转角位移
解：
(1) C
F = 3 / 4B x
F = 1 / 2B y
(2) 按位移计算公式计算位移
2
1
)(5.17)]104
3()20
2
1[( cmcF iRiCV
(3) 计算顶铰两侧截面的相对 转角位移
F = 0B y
C
F = 1 / 4B x
相对转角位移
2
1
5.2)104
1( radcF iRi
()
§7.3 结构位移计算公式
变形体可分两大类
非线性变形体
线性弹性体
物理线性——材料的应力与应变成正比例，即服从虎克定律。几何线性——结构的变形（或位移）是微小的，在进行结构的内力和位移分析计算中，可按其原有的几何尺寸考虑。
结构（变形体）的位移计算一般公式推导如下
B `
A B
(a)
B `
A B
(b)
微段变形对结构位移的影响
B `
B
F Q
M
BF N
(c) (d)
dMdFdFd QN
)]([3
1
dMdFdFcFd QNiRi
结构位移计算的一般公式
L L L
QN dMdFdF
)(1
L L L
QN
n
dMdFdF
iRi
L L L
QN cFdMdFdF )(
(7-3-1)
(7-3-2)
线弹性变形体的位移计算公式
iRiQ
QN
N cFdsEI
MMds
GA
FkFds
EA
FF 0
iBiQQNN
cFdsEI
MMds
GA
FFkds
EA
FF0
(7-3-3)
§7.4 在荷载作用下静定结 构的位移计算
在荷载单独作用下，结构的位移计算公式
dsEI
MMds
GA
FFkds
EA
FF PQPQNPN
0
(7-4-1)
各类结构在荷载作用下的位移计算公式
梁和刚架，主要考虑弯曲变 形的影响，位移公式为：
dsEI
MM P (7-4-2)
dsEA
FF NPN(7-4-3)
桁架，只考虑轴向变形的影响， 位移公式：
组合结构和拱结构 ，一般将梁 式杆和桁架杆分别按各自的主要 变形考虑，位移计算公式可写成：
dsEA
FFds
EI
MM NPNP (7-4-4)
例 7-4-1
4 m
C
3m
4 m
DBA
(a)
求：
(1)D 结点的竖向位移
(2)CD 杆的转角位移
已知各杆 EA 相等，并为常数。
解：(1) 求 D 结点的竖向位移 DV
1) 计算 NPFC
DBA
(b) NPF 图 (kN)
2) 计算 NFC
DBA
(c) NF 图（ kN ）
3) 计算 DV
5
1
LEA
FF NPN
DV
)(6.53
)55.1283.055.1283.030141067.02(1
mEA
EADV
(2) 求 CD 杆的转角位移
radEAEA
25.26)55.1221.0241017.041017.0(
1
()
1 / 3 m
C
DBA
1 / 3 m
(d) NF 图（ 1/m）
例 7-4-2 求 B 结点的水平位移。各杆 EI 相同，并为常数。
(a)
解 :(1) 分别计算出荷载、虚单位力作用下结构的支座反力，并建立各杆独立的截面位置坐标，注意同一杆件在两种状态中的坐标一致。见图 (b)、(c) 。
q L
q L / 2
q L / 2
x
x
1
x
x
1
1
(b) (c)
(2) 两种状态下任意截面的弯矩函数 : (均以内侧受拉为正 )
AB 杆： 2)(
2qxqLxxM xxM )(
BC 杆： xqL
xM2
)( xxM )(
)(8
3
]2
)2
([
4
2
10 0
22
EI
qL
dxxqL
xdxqx
qLxdxEI
MM L LP
BH
(3) 将以上所得弯矩函数代入刚架的位移计算公式中，做积分运算：
图乘公式代替积分公式
§7.5 图乘法
M P
y
y
x
x
y
o
o
AE I
E IA
y C
(a)
图乘公式的应用条件 结构上各杆均为等截面直杆即， 各杆 EI 分别或分段为常数； 竖标必须取自直线弯矩图形 ; 另一弯矩图的面积 A 和面积形 心易求得。
标 准 二 次 抛 物 线
(b)
例 7-5-1
(a)
(b)
L /2 L /2
q
A BC
BC
A
5 ( L / 2 ) / 8
82q L
L /2 L /2
1 2
求：
简支梁 B 端截面的角位移和梁中点 C处的竖向位移。
已知梁的 EI值为常数。
解：(1) 求梁 B 端的角位移1) 作在荷载作用下梁的弯矩图， 见图 (b)所示。 2) 作虚单位力偶作用下的弯矩图 （常称单位弯矩图），见图 (b) 所示。 3) 由图乘公式计算位移
(2)求梁中点 C 的竖向位移 CV
CA y 1
M = 1B
F = 1P
y 2
BCA
(a)
(b)
L /2L /2
F P
BCA
(a)
例 7-5-2 求计算图 (a) 所示悬臂梁 B 端截面的竖向位移 BV 。
解：作 PM M图见图 (b)、 (c)。
(b) BCA
2
3
1
(c) F = 1PL /2
BA
L
C
y 3y 2
y 1
(c)
(d) F = 1PL /2
B
2
A
L
C3 1
BCA y 3y 2
y 1
例 7-5-3求所示刚架 B 点的水平位移 BH
q = 5 k N / m
CB D
A
(a)
1 0 k N m
C
c
D
A2 1 . 5 k N m
8 k N m
8 k N m 2B
b
1
4 3
2 2 . 5 k N m
(b) PM 图
1 0 k N m
CB D
A
q = 5 k N / m
8 k N m
8 k N m
(c) PM 图
CB D
A
图M(d)
例 7-5-4 求 :A,B 两端点的相对竖向位移 AB
2 m2 m
q = 5 k N / m
D
B
C
(a)
1 2 k N m
D
B
C
2kN
m
1 0 k N m
PM 图(b)
§7.6 温度改变时静定结构的 位移计算
B `A B
静定结构受到温度改变的影响时，发生满足约束允许的变形和位移，为零内力状态。
设温度沿截面高度 h 以直线传递，见图 (a)，则截面上材料的应变沿高度也呈线性变化。因此，杆件由于温度改变变形后平截面假定仍然适用。
h 2
h 1
h t d s0
d
t d s2
t d s1d s
(a)
h 2
h 1
h
t 0t 2 tt 1o
(b)
例 7-6-1图示静定刚架，各杆截面相同，截面为矩形，截面高度 h=60cm。设材料在温度作用下的线膨胀系数为 a=0.00001。白天施工时，室内外温度均在 10º，夜间室外温度降至 -10ºC，室内温度不变。求悬臂端 E 点的水平位移 DGH 。各杆杆长均为： L=6m 。
CG D
t 2
BA
t 2 t 1
t 2t 2
(a)
解：CG D
BA
(b)
实际状态下在白天和夜晚刚架外侧的温度变化量：
Ct 20)10(102
§7.6 线性变形体的互等定理1. 功的互等定理（基本定理）
静力荷载在由于自己的原因引起的相应位移上所作的功叫静力功（实功 )。
静力荷载，即从零到最后值有一个加载过程的荷载。
对于线弹性变形体，其变形（或位移）与外力是成正比的。所以，在线弹性体上静力荷载所作的静力功可表示为：
PPJ FW 2
1(7-7-1)
(a)
(b)
(c)
三个概念： 不管两个静力荷载以怎样的方 式（次序或增至最后值的过程） 加到梁上，当它们达到最后值 时，梁的变形也达到最后值。
线弹性体的变形将使其体内产生相应的弹性应变能。同一线弹性体在不同的外力作用下，若变形相同则弹性应变能相同。
对于理想保守体系（不考虑能量耗散的线弹性体系），在静力荷载作用下遵守能量守恒定律。即在加载的过程中，外力功 W与体系的弹性应变能 U 之和等于零：
W+U=0 (a)
W=U (b)
该表达式表示，在加载的过程中，外力功 W 始终等于体系的弹性应变能 U 。
基于两者的绝对值的考虑。
线弹性体上一组外力（已达最终值）在由另一组外力引起的相应位移上所作的总虚外力功，等于外力（已达最终值）在由外力引起的相应位移上所作的总虚外力功。
功的互等定理
(a)
状态 1
(b)
状态 2
2. 位移互等定理
21212 pF
12121 pF
12 21 称为位移影响系数——每单位力引起的位移值 。
状态 1 (a)
12 21 表示由于 单位力时，
2PF 1PF（ ） （ ） 引起的相应于 2PF 1PF（ ）
为
的位移值 。
位移互等定理
2112 (7-7-2)
位移互等定理叙述为：
，等于由
1PF
212PF
12
在任一线弹性变形体上，由力引起的沿另一力影响系数
方向上的位移影响系数引起的沿2PF
1PF 。
方向上的位移
在任一线弹性变形体上，由单位力 11 PF 引起的沿单位力 12 PF
方向上的位移 21 等于由 12 PF引起的沿 11 PF 方向上的位移 12
状态 2 (b)
3. 反力互等定理
R 2 1
R 1 1
R 2 2
R 1 2
状态 1 (a)
反力互等定理 2112 rr (7-7-3)
反力互等定理叙述为 :
引起的另一支座 2的反力在任一线弹性变形体上，由支座 1的位移 影响系数 , 等于由支座 2的位
移 引起的另一支座 1的反力影响
1
221r
12r系数 。
在任一线弹性变形体上，由支座 1的位移 影响系数 , 等于由支座 2的位
移 引起的另一支座 1的反力影响
1
221r
12r系数 。
在任一线弹性变形体上，由支座 1的位移
或，在任一线弹性变形体上，由
引起的另一支座 2的反力
等于由支座 2的单位位移
引起的支座 1的反力
11
12
21r
12r
支座 1的单位位移
r 2 1
r 1 1
r 2 2
r 1 2
状态 2 (b)
4. 反力位移互等定理
21A
2
21A1 2
状态 1 (a)
21A
2
21A1 2
状态 2 (b)
反力位移互等定理
2112 r (7-7-4)
反力位移互等定理叙述为：
1PF
在任一线弹性变形体上，状态 1在力 作用下引起的支座 2的反力影响系数
1PF
21r
与状态 2由支座 2的位移
2 引起的相应 处的位移影响系数 12 数值相等，符号相反。
符号相反。
状态或，在任一线弹性变形体上， 1在单位力 11 PF
座 2的反力 作用下引起
21r
单位位移 ，与状态 2由
12 引起的相应 11 PF
处的位移 12 数值相等，
支的支
座 2的
位移（反力）影响系数的量纲
的量纲取决于另一状态12位移
1PF 。的力
D
B
C
M 图(c)
