第六章第六节

相对论力学相对论力学

§6 §6 相对论力学相对论力学

　　经典力学在伽利略变换下形式不变（具有伽利略

协变性），一般仅适用于 v<<c 的情况。当ｖ趋近

光速时，必须用相对论时空理论来处理问题。经典

力学的方程一般不满足洛伦兹变换，必须在相对论

时空理论下加以修正。

本节任务主要讨论相对论条件下的力学方程。

机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、能量—动量四维矢量（简称为一、能量—动量四维矢量（简称为 44 维动维动量）量） 1.1. 经典力学中的牛顿第二定律：经典力学中的牛顿第二定律：

22 、用四维速度定义四维动量、用四维速度定义四维动量

dpF

dt

dpF

dt

p mv

伽利略变换

已知四维速度矢量dx dx

Ud dt

不是洛伦兹协变量p F

，

1 3iidx

v idt

2 21

ddt d

v c

机动 目录 上页 下页 返回 结束

假定物体相对参考系静止时的质量为 m0 ，它是一个洛伦兹标量（不变量）。

0 1 3i ip m v i 2

04 0 2 21

m cip ic m

c v c

Ump 0定义四维动量：

四维动量前三分量与经典动量形式上一致

3 、引入运动质量 0

2 21

mm

v c

i ip mv

机动 目录 上页 下页 返回 结束

p mv

22 20

4 0 02 2

1[ ......]

21

m ci ip m c m v

c cv c

相对论的质速关系

设2

0

2 21

m cW

v c

物体的能量

2W mc4

ip W

c

( , )i

p p Wc

—四维动量又称为能量 动量四维矢量（相对论协变量）

4 、静止能量与动能当 0v 时，物体相对静止，定义此时动能 0T

0v 时，物体具有的能量为 TWW 0

2

2 200 0 02 21

m cT W W m c m m c

v c

20

1

2v c T m v ，

称为质能关系20 0W m c

20 0W W m c 称为静止能量 （经典力学中不存在）

机动 目录 上页 下页 返回 结束

5 、能量、动量和质量间的关系式2

2 2 22

( )i W

p p p W pc c

22 2 2

02

Wp m c

c

2 2 2 40W p c m c

对于光子：由于光速相对任何系均为 C ，假定无静止质量，即

00 m W pc

从量子论知光子能量、动量为 W p k

，

Wp

c

( )pc

20: 0p W m c ，设

四维动量的点乘是洛伦兹标量

22 2 2

02

Wp p p m c p p

c

二、关于质能关系的讨论 20 0( )W m c2W mc

⑴ 它反映了作为惯性量度的质量与作为运动强度量度的能量间的关系。

1、质能关系的意义

机动 目录 上页 下页 返回 结束

⑶ 在物质反映（如核反应）或转变过程中，物质存在与运动形式均发生变化，但不能讲物质转化为能量，物质并没有消失，而是从一种形式转化为另一种形式。在转化过程中可以释放大量能量。

⑵ 他揭示静止物体（如粒子）内部仍然存在运动。一定质量的粒子具有一定的内部运动能量，对于由 个微粒 1NN构成的系统，它的静止能 2

0 0W M c

（（注：复合系统质量注：复合系统质量 0M 一般不等于一般不等于各个各个静止粒子质量之和）静止粒子质量之和）

机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如：正负电子对→光子，电子静止质量转化为光子场的运动质量，正负电子对内部能（或静止能）转化为光子场能。22 、结合能与质量亏损、结合能与质量亏损

定义结合能

20 0i

i

W m c W

0 0ii

M m M 定义质量亏损

两者关系： 2 20 0W M M c W Mc

假定由 N 个例子构成系统，作为整体质心，静止时能量为2

0 0 ,W M c 第 i个粒子静止时的能量为 20im c，

20i

i

m c静质量之和为N个静止粒子

一般 2 20 0i

i

M c m c内部还有相对运动能和相互作用能

00 02 i

i

WM m

c ，

机动 目录 上页 下页 返回 结束

在原子核和基本粒子等物理实验中被证实，他是原子能利用的主要理论依据。在相对论力学中质量一般不是守恒量，而能量和动量守恒仍是最基本的定律。详细讨论在高能物理或原子核物理等课程中将有详细介绍。

2MCW

三 、相对论力学方程三 、相对论力学方程1. 四维力矢量 定义 dp

kd

0W 自动结合（体系稳定），称为结合能（吸能反应）

0W 自动分裂（体系不稳定），衰变才能发生

例如当一个质子与一个中子结合成一个氘核时，质量亏损为30M 3.9657 10 kg

相应的结合能为 2 13W M 3.5642 10c J

机动 目录 上页 下页 返回 结束

,dp a dp d d

4

i v dp ik v k

c d c

dpk

d

前三个分量前三个分量

2 2 2 40W p c m c

44

dp i dWk

d c d 而

2

2 2 2 40

12

2dW pc dp

p c m c

2( )p dp

W mcm

v dp p mv

dWk v

dt

ik k k v

c （ ， ）

k a k k k k k

机动 目录 上页 下页 返回 结束

22 ．相对论中的三维力矢量．相对论中的三维力矢量2

21

1dp d p vF K

cdt r d

与经典形式上一致

与经典意义不同，该定义适用任何惯性系

vmp

2

21

cv

mm

但这里但这里

（ 1 ）若定义加速度dv

adt

在不同的惯性系大小方向均不同，不满足洛伦兹变换

( )d mv dmF ma v ma

dt dt

(2) F

不是四维力的前三个分量

讨 论

0,v c m m

K F

机动 目录 上页 下页 返回 结束

四维力矢量定义功率方程

dWK v

d

dWF v

dt

同样可证明，经典力学的方程与相对论伦理学方程均在形式上一致。但其中力、能量、动量、质量、时间等概念均与经典不同。即使在 v<<c 时， 2 2 21 1

2 2W m c m v m v

能量含义与经典有很大区别（经典能量有一可加常数，相对论中 2W mc 是物体的总能量）。

33 、功率方程、功率方程

1,K F d dt

四、洛伦兹力公式在前几章中讨论洛伦兹力公式仅认为是一经验公式，与实验相符，在相对论里可用相对论力学及电磁场四维矢量导出。

举例：

解：初始动能为零，总能 20W m c eV 初

末态势能为零，总能 2W mc末

根据能量守恒：2

2 2 00 21

m ceV m c mc

22 2

2 0 02

0

11 (1 ) 1

1 /(1 )

c eVv c

eV eV m c m cm c

1、 静质量为 ，电荷为 e 的粒子通过电势差为 V 的电场后，将获得多大速度？（设粒子初速度为零，并讨论

0m

两种情况）

20eV m c

20eV m c

机动 目录 上页 下页 返回 结束

222 2

00 0

2( ) (1 )

eV eV eVcm cm c m c

V 0V

20 ,ev m c当

当 20 ,ev m c

从这里可以看出 v<c 总成立，当 ,eV v c 结论：不可能通过加速使物体运动速度大于光速。

20

2 220 00 0 2

0

1222

1 12 1

eVm ceVeV eV eVc

eVm c m cm c mm c

机动 目录 上页 下页 返回 结束

进一步近似0

2eVv

m 经典力学结果

2 22 20 01

1 12

m c m cv c c

eV eV

20 0

2 3 1 11 1 1 , 1

4 2 1

eV eVv x x y

m ym c

机动 目录 上页 下页 返回 结束

p

2 、已知质量为 m ，动量为 的粒子衰变为两个粒子。2m ，动量为 2 ,p

p

与 2p

的夹角 为已知，求另一粒子质量 1m一个粒子质量为

其中

1 2W W W 2 2 2

2 21 2 21 2 22 2 2 2

2W W W WW

p p p p pc c c c

1 2p p p

解 2 2 21 2 22p p p p p

2 2 21 2 22W W W WW

2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 41 2 2 2 22

12 cosm c m c m c pp p c m c p c m c

c

2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 2 22

2cosm m m pp p m c p m c

c

1 2 1 2 1 2 0m m m m m m m m m m 注意： ， ，

作业： 8 、 9 、 10