金融機構風險管理

第三章 風險值與市場風險

衡量風險工具 風險值 衡量風險值的方法 共變異法及其應用 歷史模擬法 蒙地卡羅模擬法

衡量風險工具 一般衡量市場風險的方法有：敏感度、波動度、風險值 1.敏感度 (Sensitivity) 敏感度指的就是衡量某風險因子的變動對目標資產價值的影響程度。

2.波動度 (Volatility) 波動度基本上就是分析某風險因子的離散程度。最常見的衡量工具就

是變 異數、標準誤、準標準誤等。 標準誤 (Standard Deviation)

N

iiX XEx

N 1

2)]([1

1 (3.17)

右偏

E(R) E(R)

左偏

【圖 3.1】機率分配的偏誤

準標準誤 (Semi-Standard Deviation)

N

ii

Lsemi x

N 1

2)0,min(1

(3.18) x ＝ R-B ， R<B

R ＝ 實際報酬B ＝ 目標報酬

準標準誤的缺點是：

1.不像變異數、標準差普遍受到了解與使用，準標準誤知道的人不多，使用的人更少。

2.所謂目標報酬為何，並無清楚定義，導致執行上的困難。

3.不像標準差使用於個別資產或資產組合相當容易計算，準標準誤就不易從資產組合切割為個別資產。因此準標準誤的使用並不普遍。

風險值 (Value at Risk,VaR)

傳統較常用的風險管理工具，如：猜測數量、敏感度、情境模擬等一般風險值的定義有兩種：相對風險值與絕對風險值1.相對風險值 相對風險值所計算之潛在最大損失乃相對於該資產之期望值

而言，也就是該資產之潛在非預期損失。 2.絕對風險值 絕對風險值之計算則相對於該資產原先之投入價值而言，也

就是該資產之潛在非預期損失與預期損失之加總。 一般而言，均以相對風險為 VaR的定義。

假定某風險因子 X ，則：相對風險值 (Relative VaR) Xα

* σZXE(X)VaR(mean) (3.19)

絕對風險值 (Absolute VaR)

Xα0*

0 σZE(X)][XXXVaR(zero) (3.20)

在實務上要衡量某單一資產 W 的 VaR通常需要知道以下三件事：1.W在下一期的機率分配2.期間 t 有多長3.W在當期的價值 W0

因此假定該資產 W 的預期報酬率為 R ， W =W0 (1+R)，則 VaR可改寫成：相對風險值 (Relative VaR) ΔtσZWWE(W)VaR(mean) Rα0

* 絕對風險值 (absolute VAR) ΔtμΔtσZWWWVaR(zero) Rα0

*0

(3.21)

(3.22)

)μ(1WE(W) R0

R0σWσ(W) 其中， 的設定是來自於對報酬率作出以下兩項假定：t

其中

1.報酬率為連續複率 (Continuously Compounded Return) 形式2.未來每期利率均隸屬於常態分配

風險值舉例債券之利率風險根據 (3.5)式可知

drPDdP bb )(

r

DD

1

drDPP bb 0

)()( 0 drZDPPZVaR bb

(3.28)

(3.29)

(3.30)

(3.31)

Pb = 債券的市價r = 市場殖利率 (Risk Factor)D* = 修正後存續期間 (Modified

Duration)σ(r) = 市場殖利率的標準差

某債券的現值為 $100，存續期間為 7 ，假定殖利率的走向屬常態分配，其標準差為 0.2% ，求在 99% 信賴水準下的風險值。VaR＝ 100×7×2.32×0.2%＝3.24

衡量風險值的方法

根據 Jorion (2000)的分類，衡量風險值的方法

可分兩類：局部評價法、完全評價法 。

局部評價法的名稱很多，例如： Parametric VaR 、Linear VaR 、 Variance-Covariance VaR 、 Greek-

Normal

VaR 、 Delta-Normal 等，本文則以共變異法稱之。

這三種方法各有優劣，由表 3.1可清楚看出在：計算速度、處理非線性能力、處理非常態能力、與歷史資料的相關性等方面這三種方發之優劣處。

共變異法 歷史模擬法 蒙地卡羅模擬法

計算速度 ★★★★ × ★

處理非線性能力 × ★★★★ ★★★★

處理非常態能力 × ★ ★★★★

與歷史資料的相關性 ★★ ★★ ×

表 3.1 衡量風險值的方法的優缺點

共變異法及其應用

1.定義風險因子 ( 或因子集合 ) ，並確定該因子足以計 算出目標資產的價值。2.找出風險因子與目標資產之間的敏感度3.根據風險因子的歷史資料計算其平均數、標準誤及 相關係數等統計量4.根據風險因子之統計量及其敏感度計算目標資產的 標準誤5.假定風險因子與目標資產之隨機現象均為常態分 配，計算 99%信賴水準下的 VaR (2.33σ)

在共變異法下，任一資產或資產組合的VaR計算步驟如下：

以投資國外債券為例，假定美國的投資人投資以德國馬克計價的 4 年期債券，金額為 100 （百萬），該債券每期支付固定利息 C ，其市場價格為Pb，其他相關參數如（表 3.2），請求出在 99%信賴度下該投資的風險值。

參數 值投資金額 ($)期限 Muturity (T)債券市場利率 (r)利率之標準差 （ σr ）匯率 Exchange rate (EX)匯率標準差（ σEX ）利率與匯率之相關係數 (ρr,ex)存續期間 (Dollar duration)

100 (百萬 )4 年5%0.8%1.5 DEM/USD0.03 EM/USD-0.6298.49

一 . 股權之價格風險

Rw

R

R

R

www

RwRwRwR

n

n

nnp

2

1

21

2211

N

iiipp wRE

1

)(

ww

w

w

ww

wwwRV

NNNNN

N

N

N

i

N

i

N

ijjijjiiipp

1

21

11211

1

1 1 1

222)(

WwwZWZVAR pp

（ 3.40 ）

（ 3.41 ）

（ 3.42 ）

（ 3.43 ）

Ri = 第 i 項資產的報酬率Rp = 資產組合的報酬率wi = 持有第 i 項資產的比例( 權數 )W = 總投資金額

任選 3 檔股票 250天的股價資料如（表 3.3），並根據前後 2 天的股價，透過自然對數計算日報酬率（ ），假定3 檔股票：統一、中鋼、台積電分別以權數 0.3、 0.3、 04形成資產組合，則根據（ 3.40） ~ （ 3.42）可得資產組合的變異與共變異矩陣如（表 3.4），在根據（ 3.43）可得風險值（ VaR）： 51.99。

tt PP 1ln

年月日 統一 中鋼 台積電2000/11/30 19.22 16.88 56.48

2000/11/29 19.13 16.98 57.11

2000/11/28 19.03 16.98 58.37

2000/11/27 19.13 16.98 59.63

2000/11/24 19.22 16.98 59.95

2000/11/23 18.58 16.6 56.16

1999/12/27 20.92 20.9 82.95

（表 3.3）任選 3 檔股票 250天的股價資料

此外若根據（表 3.4）之對角線上之個別資產變異分別計算個別資產的風險值可得：

風險值

統一 中鋼 台積電

19.82112

12.60936

28.11064

（表 3.5）個別資產的風險值

資產組合之分散風險效果為： 8.55=19.82+12.61+28.11-51.99

0.000804 0.000335 0.000375

0.000335 0.000325 0.000418

0.000375 0.000418 0.00091

（表 3.4）三檔股票的共變異矩陣

二 .Delta-Gamma (Greeks) Method

1.以固定收益證券為例固定收益證券的泰勒展開式如下：

2)(2

1)*( drCVdrVDdV （ 3.47 ）

V = 固定收益證券價值r = 市場殖利率D*= 存續期間 (First Partial

Derivatives)

C = 凸性係數 (Convexity)

2.以買入買權 (long-call option) 為例假定波動度、到期期間、無風險利率等風險因子的敏感度太小可以忽略不計，則一個買權的二階泰勒展開式如下：

2

22

2

2

12

1

dSdS

dSS

cdS

S

cdc

（ 3.48 ）

若 dS隸屬常態分配，則假設：

標的資產價格變動服從常態分配，亦即假設股價上漲與下跌的機率式均等。

奇數動差 (Odd Moments) 為零

三次方以上的值很小可以予以省略

歷史模擬法 (Historical Simulation Method)

一 . 歷史模擬法的優點： 1.簡單方便：只要過去歷史資料的建檔與新資料的不斷加入， 在相同方法下，可循環使用資料庫。 2.可處理非線型、非常態的風險因子：例如選擇權的 Gamma 、 Vaga風險，

或機 率分配的厚尾 (Fat Tails)現象，歷史模擬法均可完全補捉。

二 . 歷史模擬法的缺點： 1.歷史資料不足時，會導致偏誤發生，風險值的估計可信度不高。 2.僅僅使用一條樣本 ( 已實現 ) 數列，代表性不足。如果一些重大事件不 在其中，不表示這些重大事件未來不會發生，反之，如果重大事件包含 其中，有可能因其所占比重過大，而高估重大事件的發生。 3.對於波動度暫時增加的情況無法處理，尤其是對結構性的改變 ( 如股價漲 跌限制 ) 無法反應，以致偏誤發生。 4.過去資料均以相同權數 (Weight) 計算，忽略了近期資料的相對重要性。 5.如果是計算一龐大的資產組合的風險值時，歷史模擬法所要計算的數據太 過龐大，嚴重影響計算的速度。

三 . 拔靴法 (Bootstrap Method) 拔靴法係假設樣本皆來自未知分配的獨立樣

本，並賦予每個樣本相同的機率，利用重複抽樣的方式，估計出資產組合未來報酬的分配，並以此求算出風險值。

蒙地卡羅模擬法 (Monte Carlo Simulation, MCS)

一 . 資產價格模擬 (Simulating a Price Path)

蒙地卡羅模擬法重要且關鍵的步驟為選擇一隨機模型二 . 多變數模擬 兩個或多個變數同時模擬，由於系統風險存在，變數與變數之間或多或少 都存在相關性，若採用上述隨機亂數的抽取方式，則變數與變數之間的相關 係數趨於 0 ，這並不符合一般市場的實際情況，有必要對模擬法進行調整。 三 .Cholesky 分解 透過 Cholesky分解法可將一組完全獨立的隨機變數，轉換為另一組具相

關性質的隨機變數。 四 . 特徵值分解 特徵值分解又稱主成分分析法其過程較 Cholesky分解複雜，但對那些非正定

共變異矩陣來說，特徵值分解是較佳的選擇。

模擬天數 隨機亂數 模擬股價1 -0.30 55.80

2 1.66 58.58

3 0.69 59.71

4 0.44 60.39

5 1.04 62.21

6 0.40 62.84

7 0.26 63.19

8 0.11 63.26

9 -0.64 61.81

10 -2.19 57.39

（表 3.5）台積電價格模擬 --初始價 56.48

【圖 3.3】 30條台積電價格模擬圖

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97 100

P

t

數列1

數列2

數列3

數列4

數列5

數列6

數列7

數列8

數列9

數列10

數列11

數列12

數列13

數列14

數列15

數列16

數列17