1

1. ลาดบ (Sequence)

1.1 ความหมายลาดบ บทนยาม ลาดบ คอ ฟงกชนท�มโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก n ตวแรก

หรอโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก

ลาดบท�มโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก n ตวแรก หรอ {1, 2, 3, ..., n}

เรยกวา ลาดบจากด (finite sequence)

ลาดบท�มโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก หรอ {1, 2, 3, ..., n, …}

เรยกวา ลาดบอนนต (infinite sequence)

จากบทนยาม ถา f เปนลาดบ การเขยนลาดบ f จะเขยนเฉพาะสมาชกของเรนจเรยงกนไป กลาวคอ

กาหนดให f(1) = 1a , f(2) = 2a , f(3) = 3a , … , f(n) = na , … จะไดวา

ถา f เปนลาดบจากด จะเขยนลาดบ f เปนดงน � a1, a2, a3, ..., an

ถา f เปนลาดบอนนต จะเขยนลาดบ f เปนดงน � a1, a2, a3, ..., an, ...

และจะเรยก

a1 วา พจนท� 1 ของลาดบ

a2 วา พจนท� 2 ของลาดบ

a3 วา พจนท� 3 ของลาดบ

an วา พจนท� n หรอ พจนท�วไป (general term) ของลาดบ

การเขยนลาดบม 2 วธ คอ

(1) เขยนแบบแจกแจงพจน เชน ลาดบ 5, 10, 15, ..., 60

ลาดบ 2, 4, 8, 16, 32, ...

(2) เขยนแบบพจนท�วไป เชน ลาดบ an = 50n เม�อ n = 1, 2, 3, ..., 12

ลาดบ bn = 2n เม�อ n เปนจานวนเตมบวก

2

ตวอยาง 1 กาหนดให n เปนจานวนเตมบวก จงเขยนลาดบตอไปน � แบบแจกแจงพจน

(1) an = 2n 1 เม�อ n = 1, 2, 3, …, 20

(2) an = n 1 n1( 1) ( )

2

(3) an =

(4) na เปนเลขในหลกหนวยของ n7

(5) กาหนดให 1 2a a 1 และ n n 1 n 2a a a เม�อ n 3

1

2n 1 ; n เปนจานวนค�บวก

n

n 1 ; n เปนจานวนคบวก

3

ตวอยาง 2 โดยอาศยการใหเหตผลแบบอปนย จงหาพจนท� 8 และพจนท�วไปของลาดบตอไปน �

(1) 1 2 3 4, , ,

2 4 8 16, …

(2) –2, 3, 8, 13, 18, 23, …

(3) 2, 5, 10, 17, 26, 37, ...

(4) 1 1 1 1 1 1, , , , , ,...

2 6 12 20 30 42…

(5) 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , ...

4

ตวอยาง 3 จากแบบรป(pattern)ของกานไมขด ท�กาหนดใหดงรป

จงหาจานวนของกานไมขดในรปท� 10 และจงหาจานวนกานไมขดในรปท� n

รปท� 1 รปท� 2 รปท� 3 รปท� 4 รปท� 5

วธทา รปท� 1 มจานวนกานไมขด เทากบ …………………………………

รปท� 2 มจานวนกานไมขด เทากบ …………………………………

รปท� 3 มจานวนกานไมขด เทากบ …………………………………

รปท� 4 มจานวนกานไมขด เทากบ …………………………………

รปท� 5 มจานวนกานไมขด เทากบ …………………………………

จะไดลาดบของจานวนกานไมขดคอ ........................................................................................

ตวอยาง 4 จากแบบรป(pattern)ของจด ท�กาหนดใหดงรป

จงหาจานวนของจดในรปท� 8 และจงหาจานวนจดในรปท� n

รปท� 1 รปท� 2 รปท� 3 รปท� 4 รปท� 5

วธทา รปท� 1 มจานวนจด เทากบ …………………………………

รปท� 2 มจานวนจด เทากบ …………………………………

รปท� 3 มจานวนจด เทากบ …………………………………

รปท� 4 มจานวนจด เทากบ …………………………………

รปท� 5 มจานวนจด เทากบ …………………………………

จะไดลาดบของจานวนจด คอ ........................................................................................

5

ตวอยาง 5 กาหนด n n 1

a a 4n

จงหาคาของ 14 2

a a

ตวอยาง 6 กาหนดให n n 1 n 2a a a และ

26 10a a 12 จงหา 25 8

a a

6

ตวอยาง 7 กาหนดให n

{a } เปนลาดบของจานวนจรง โดยท� 2n 1 n

a n a สาหรบ n = 1, 2, 3. …

จงหาคาของ 1

a ท�ทาให 101

a 5100 [PAT 1 : มนาคม 2554]

ตวอยาง 8 กาหนดให n na log (n 1) เม�อ n = 2, 3, 4,… 2047

และ 2 3 4 2047a a a a

1 1 1 1k ...log 10 log 10 log 10 log 10

จงหา k10

7

1.2 ชนดของลาดบท�ควรทราบ

(1) ลาดบเลขคณต (Arithmetric Sequence)

บทนยาม ลาดบเลขคณต คอ ลาดบท�มผลตางซ�งไดจากพจนท� n + 1 ลบดวยพจนท� n มคาคงตว

คาคงตวน � เรยกวา ผลตางรวม (common different)

จากบทนยาม ถาให d เปนผลตางรวม

จะได d = an + 1 – an หรอ an + 1 = an + d เม�อ n เปนจานวนเตมบวก

ถา กาหนดให a1 เปนพจนแรก และ d เปนผลตางรวม

แลวจะเขยนพจนอ�น ๆ ของลาดบเลขคณตในรปของ a1 และ d ไดดงน �

a1 = …………….……………………………… = ……………..…

a2 = ………………….………………………… = …………..……

a3 = ………………….………………………… = ………..………

a4 = ………………….………………………… = ………..………

ดงน �นพจนท� n ของลาดบเลขคณต คอ ……………………………………………….

ขอสงเกต

สรป

8

ตวอยาง 1 จงพจารณาวาลาดบตอไปน �เปนลาดบเลขคณตหรอไม

ถาเปนลาดบเลขคณตจงหาพจนท�วไป

(1) 2, 4, 6, 8, 10, ... (2) 3, 1, –1, –3, –5, ...

(3) 1, 1

12, 2,

12

2, 3, ... (4) log 3, log 6, log 12, log 24, …

(5) 100, 10, 1, 1

10 , … (6) 3, 23 , 33 , 43 , …

9

ตวอยาง 2 กาหนดลาดบเลขคณต –2, 1, 4, 7, ...

(1) จงหาพจนท� 20 (2) จงหาพจนท�วไป

(3) จงหาคา n ท�ทาใหพจนท� n เทากบ 58

ตวอยาง 3 กาหนดใหพจนท� 1 และพจนท� 5 ของลาดบเลขคณตเทากบ 18 และ 6 ตามลาดบ

(1) จงหาผลตางรวม (2) จงหาพจนท�วไป

(3) พจนท�มคามากกวา –500 มจานวนก�พจน

ตวอยาง 4 กาหนดใหพจนท� 4 และพจนท� 7 ของลาดบเลขคณตเทากบ 18 และ 12 ตามลาดบ

จงตอบคาถามตอไปน �

(1) จงหาผลตางรวม (2) จงหาพจนท�วไป

(3) พจนท�เทาไรท�มคาเทากบ 2

10

ตวอยาง 5 กาหนด na แทนพจนท�วไปของลาดบเลขคณตท�ม 1a 3 และ 5a 59

(1) จงหาผลตางรวม (2) จงหาคา n ท�ทาให na 283

(3) พจนท�มคานอยกวา 1,000 มจานวนก�พจน

ตวอยาง 6 ถา 6, x, y, z, 18 เปนพจนหาพจนท�เรยงกนลาดบเลขคณต จงหาคาของ x + y + z

ตวอยาง 7 ถา log 2 และ log 64 เปนพจนสองพจนของลาดบเลขคณตซ�งม 4 พจนเรยงอยระหวาง

สองพจนน � แลวผลบวกของส�พจนซ�งอยระหวางสองพจนน � เปนก�เทาของผลบวกของสองพจนน �

11

ตวอยาง 8 กาหนดให 1 2 3 4a , a , a , a เปนส�พจนแรกของลาดบเลขคณตซ�งผลตางรวมมากกวาศนย

ถาส�พจนน � มผลบวกเทากบ 116 และพจนท�มคามากท�สดเทากบ 110

จงหาจานวนพจนท �งหมดท�คาของพจนน �นมคานอยกวา 500

ตวอยาง 9 จานวนจรงสามจานวนเรยงกนแบบลาดบเลขคณต ถาผลบวกของจานวนแรกกบจานวนท�สาม

เทากบ 12 และผลคณของจานวนแรกกบจานวนท�สองเทากบ 24 จงหาจานวนสามจานวนน �

ตวอยาง 10 กาหนดให a, b, c เปนจานวนจรงสามจานวนเรยงกนแบบลาดบเลขคณต

ถา a + c = 12 และ ab = 24 จงหาจานวนท �งสามน �

12

ตวอยาง 11 กาหนด na เปนลาดบเลขคณต ซ�ง 1 3 5 201a a a ... a 303

จงหา 2 4 6 200a a a ... a

ตวอยาง 12 กาหนดให [0,2 ] จงหาผลบวกของ ท�ทาให sin , sin 2 , sin 3 เรยงกนเปน

ลาดบเลขคณต

ตวอยาง 13 ถา a, b, c, d เปนลาดบเลขคณต แลว 2 2 2 2a 3b 3c d มคาเทาใด

13

ตวอยาง 14 กาหนดสมการ 3 2x 12x 8x k 0 เม�อ k เปนจานวนจรง

(1) จงหาคาของ k ท�ทาใหรากของสมการน �เรยงกนเปนลาดบเลขคณต

(2) จงหารากท �งหมดของสมการ

ตวอยาง 15 ในแตละเดอนพอใหเงนนกเรยนจานวนหน�งเพ�อใหใชจายในการมาเรยนในแตละวน

หลงจากท�นกเรยนมาเรยนแลว 5 วน นกเรยนมเงนเหลอ 4,100 บาท

และ หลงจากท�นกเรยนมาเรยนแลว 11 วน นกเรยนมเงนเหลอ 3,200 บาท

ถานกเรยนใชเงนเทากนทกๆวน จงหา

(1) จานวนเงนท�ใชในแตละวน (2) จานวนเงนท�พอใหในแตละเดอน

14

ตวอยาง 16 จงหาจานวนของจานวนเตมท�มคาต �งแต 10 และ 200 ท�สอดคลองเง�อนไขตอไปน �

(1) หารดวย 3 ลงตว

(2) หารดวย 4 ลงตว

(3) หารดวย 3 และ 4 ลงตว

(4) หารดวย 3 หรอ 4 ลงตว

(5) หารดวย 3 และ 4 ไมลงตว

15

ตวอยาง 17 จงหาจานวนของจานวนเตมท�มคาระหวาง 100 และ 500 ท�สอดคลองเง�อนไขตอไปน �

(1) ท�หารดวย 4 เหลอเศษ 3

(2) ท�หารดวย 4 ไมลงตว

ขอสงเกต : ในการหารลงตวหรอเหลอเศษ เม�อเอาจานวนเตมเหลาน �นมาเรยงกนจะไดเปนลาดบเลขคณต

โดยมผลตางรวมเทากบตวหาร

ตวอยาง 18 ในจานวน 121 พจนแรกของลาดบเลขคณต 2, 7, 12, … และ 2, 5, 8, …

จะมพจนท�ซ �ากนท �งหมดก�พจน

16

ตวอยาง 19 กาหนดให M = {m |100 m 1000 และ ห.ร.ม. ของ m และ 28 เทากบ 1}

จงหา n(M)

17

(2) ลาดบเรขาคณต (Geometric Sequence)

บทนยาม ลาดบเรขาคณต คอ ลาดบท�อตราสวนของพจนท� n + 1 ตอ พจนท� n มคาคงตว

คาคงตวน �เรยกวา อตราสวนรวม (common ratio)

จากบทนยาม ถาให r เปนอตราสวนรวม จะได r = n 1

n

a

a หรอ an + 1 = anr เม�อ n

ถากาหนดให a1 เปนพจนแรก และ r เปนอตราสวนรวมแลว

จะเขยนพจนอ�น ๆ ของลาดบเรขาคณตในรปของ a1 และ r ไดดงน �

a1 = …………….……………………………… = ……………..…

a2 = ………………….………………………… = …………..……

a3 = ………………….………………………… = ………..………

a4 = ………………….………………………… = ………..………

ดงน �นพจนท� n ของลาดบเรขาคณต คอ ……………………………………………….

ขอสงเกต

สรป

18

ตวอยาง 1 จงพจาณาลาดบตอไปน � เปนลาดบเรขาคณตหรอไม ถาเปนจงหาพจนท�วไป

(1) 1, 3, 9, 27, 81, ... (2) 3 3

6, 3, , ,...2 4

(3) 2, 6, 3 2, 3 6 , ... (4) 3, 0.3, 0.03, 0.003, ...

ตวอยาง 2 จงหาพจนท�วไปของลาดบเรขาคณตท�ม 5a 192 , r = 4

ตวอยาง 3 กาหนดลาดบเรขาคณต 2, –6, 18, ... พจนท�เทาไรของลาดบท�มคาเปน 162

19

ตวอยาง 4 กาหนดลาดบเรขาคณตท�มพจนท� 1 และพจนท� 4 เทากบ –2 และ 16 ตามลาดบ

(1) จงหาอตราสวนรวม (2) จงหาพจนท�วไป

(3) พจนท�เทาไรของลาดบท�มคาเปน –512

ตวอยาง 5 กาหนดลาดบเรขาคณตท�มพจนท� 3 และพจนท� 5 เทากบ 3 และ 27

4 ตามลาดบ

(1) จงหาอตราสวนรวม (2) จงหาพจนท�วไป

ตวอยาง 6 ถา 2, a, b, c, 32 เปนหาพจนเรยงกนในลาดบเรขาคณตลาดบหน�ง

จงหา 2 2 2a b c

20

ตวอยาง 7 จงหาจานวนจรง k ท�ทาให k – 13, k – 1 , k + 33 เรยงกบเปนลาดบเรขาคณต

ตวอยาง 8 ถาลาดบ 2, a, b, c, 162 เปนลาดบเรขาคณตแลว คาของ

a b c a b clog 2 log a log b log b log c log 162 มคาเทาใด

ตวอยาง 9 ถา x และ y เปนจานวนจรงท�ทาให 3 yx , x และ 27x เปนพจนท� 2 พจนท� 3 และ พจนท� 10

ของลาดบเรขาคณต ตามลาดบ จงหาจานวนจรง y

21

ตวอยาง 10 ถาธนาคารคดอตราดอกเบ �ยใหรอยละ r ตอป จงหาสตรในการคานวณเงนรวมในปท� n

เม�อเร�มฝากดวยเงนตน P บาท

ตวอยาง 11 จานวน 4 จานวนเรยงกนแบบลาดบเรขาคณต และมอตราสวนรวมเปนจานวนจรงบวก

ถาผลบวกของสองพจนแรก มคาเทากบ 8 และผลบวกของสองพจนหลงมคาเทากบ 72

แลว จงหาจานวนท �งส�จานวนดงกลาว

22

ตวอยาง 12 ถาลาดบเรขาคณตทกพจนเปนจานวนจรงบวก ผลบวกของพจนท� 1, 3 และ 5 เทากบ 273 และ

ผลคณของพจนท� 2 กบพจนท� 4 เทากบ 256 จงหาพจนท�วไปของลาดบน �

ตวอยาง 13 จานวน 3 จานวนเรยงกนแบบลาดบเรขาคณต โดยมผลบวกและผลคณของจานวนท �งสาม

เทากบ 26 และ 216 ตามลาดบ จงหาจานวนท �งสามดงกลาว

23

ตวอยาง 14 รากของสมการ 3 2x 36x Ax B 0 เปนสามพจนตดกนในลาดบเรขาคณตถา

ผลบวกของสวนกลบของรากท �งสามเทากบ 4 แลว คาสมบรณของ B มคาเทาใด

ตวอยาง 15 ในลาดบเรขาคณตหน�งเปนลาดบจากดท�ม n พจน

โดยมหาพจนสดทายรวมกนเทากบ 1024 เทาของหาพจนแรกรวมกน

ถาพจนท� 5 เทากบ 20 แลวพจนสดทายมคาเทาใด

24

ตวอยาง 16 ให na เปนลาดบของจานวนจรงท�สอดคลองกบสมการ

n n 1log a log a

n n 1(a ) (a )

; n > 1 และ

1 2a 4, a 16

แลว 2 2557

log (a ) มคาเทาใด

ทาทาย คาของ 2 2556

log (a ) เปนจานวนจรงก�หลก

25

(3) ลาดบฮารโมนก (Harmonic Sequence)

บทนยาม ลาดบ 1 2 3 na , a , a , ...a , ... เปน ลาดบฮารโมนก

กตอเม�อ 1 2 3 n

1 1 1 1, , , ..., , ...

a a a a เปน ลาดบเลขคณต

จากบทนยาม เราสามารถสรปไดวา ลาดบฮารโมนกและลาดบเลขคณตสาหรบแตละพจน

ใด ๆ จะเปนสวนกลบซ�งกนและกน

ถาให nh แทน พจนท� n ของลาดบฮารโมนก และ na แทน พจนท�วไปของลาดบเลขคณต

เราสามารถสรปไดวา พจนท�วไปของลาดบฮารโมนก คอ

nh =

n

1

a = …………. สตร (3)

การตรวจสอบวาลาดบใดเปนลาดบฮารโมนก พจารณาจากลาดบท�ไดจากสวนกลบของแตละพจน โดย

ตรวจสอบวาลาดบดงกลาวเปนลาดบเลขคณตหรอไม ถาเปนแสดงวาลาดบน �นเปนลาดบฮารโมนก

ตวอยาง 1 จงพจารณาวาลาดบตอไปน �เปนลาดบฮารโมนกหรอไม ถาเปนจงหาพจนท�วไปของลาดบ

(1) 1, 1 1 1, , ...

2 3 4 (2)

1 1 1 1, , , , ...

3 7 11 15

(3) 2, 2, 2, 2, ... (4) 4 4, 4, 4, , ...

3 3

26

ตวอยาง 2 ถาพจนท� 10 และพจนท� 20 ของลาดบฮารโมนกเทากบ 17

และ – 1

33 จงหาพจนท� 25

ตวอยาง 3 ลาดบฮารโมนก 2 1 2 21, , , , ...,

5 4 11 299 มท �งหมดก�พจน

ตวอยาง 4 กาหนดให a, b และ c เปนจานวนจรงบวกและไมเทากบ 1 จงตอบคาถามตอไปน �

(1) ถา a b clog x, log x, log x เปนลาดบฮารโมนกแลว a, b, c เปนลาดบชนดใด

(2) ถา a, b, c เปนลาดบเรขาคณต แลว a b clog x, log x, log x เปนลาดบชนดใด

27

1.3 ทฤษฎบทเก�ยวกบลาดบเลขคณต ลาดบเรขาคณต และ ลาดบฮารโมนก

ทฤษฎบท 1.3.1 กาหนดลาดบ a, b, c ซ�งไมมจานวนใดเทากบ 0

(1) ถา a b

b c

=

a

a แลว a, b, c เปน ลาดบเลขคณต

(2) ถา a b

b c

=

a

b แลว a, b, c เปน ลาดบเรขาคณต

(3) ถา a b

b c

=

a

c แลว a, b, c เปน ลาดบฮารโมนก

ทฤษฎบท 1.3.2 กาหนดลาดบ 1 2 3 na , a , a , ..., a , ... ..........(A)

และลาดบ 1 2 3 nka , ka , ka , ..., ka , ... ..........(B)

เม�อ k เปนจานวนจรง จะไดวา

(1) ถา (A) เปนลาดบเลขคณต แลว (B) จะเปนลาดบเลขคณต

(2) ถา (A) เปนลาดบเรขาคณต และ k 0 แลว (B) เปนลาดบเรขาคณต

(3) ถา (A) เปนลาดบฮารโมนก และ k 0 แลว (B) เปนลาดบฮารโมนก

ทฤษฎบท 1.3.3 ถา 1 2 3 na , a , a , ..., a , ... เปนลาดบเลขคณต และ k เปนจานวนจรงใด ๆ

แลว k + a1, k + a2, k + a3, ..., k + an, ... เปนลาดบเลขคณต

ทฤษฎบท 1.3.4 ถา 1 2 3 na , a , a , ..., a , ... และ 1 2 3 nb , b , b , ..., b , ... เปนลาดบเลขคณต แลว

(1) 1 1 2 2 3 3 n na b , a b , a b , ..., a b , ... เปนลาดบเลขคณต

(2) 1 1 2 2 3 3 n na b , a b , a b , ..., a b , ... เปนลาดบเลขคณต

ทฤษฎบท 1.3.5 ถา 1 2 3 na , a , a , ..., a , ... และ 1 2 3 nb , b , b , ..., b , ... เปนลาดบเรขาคณต แลว

(1) 1 1 2 2 3 3 n na b , a b , a b , ..., a b , ... เปนลาดบเรขาคณต

(2) 1 2 3 n

1 2 3 n

a a a a, , , ..., , ...

b b b b เปนลาดบเรขาคณต

พจนกลางของลาดบตาง ๆ

1. ถา a, A, b เปน 3 พจนเรยงกนในลาดบเลขคณตแลว พจนกลาง A = a b

2

2. ถา a, G, b เปน 3 พจนเรยงกนในลาดบเรขาคณตแลว พจนกลาง G = ab

3. ถา a, H, b เปน 3 พจนเรยงกนในลาดบฮารโมนคแลว พจนกลาง H = 2ab

a b

4. ถา A, G, H เปนพจนกลางของลาดบเลขคณต เรขาคณต และฮารโมนกตามลาดบของ

a และ b แลว AH = 2G และถา a, b > 0 แลว A > G > H

28

ตวอยาง 1 ถา a, b, c เปนลาดบเรขาคณต แลว b – a, 2b, b – c เปนลาดบชนดใด

ตวอยาง 2 ถา a b c, ,

b c c a a b เปนลาดบฮารโมนก แลว a, b, c จะเปนลาดบชนดใด

เม�อ a + b + c 0

ตวอยาง 3 ถา b + c, c + a, a + b เปนลาดบฮารโมนก แลว a2, b2, c2 เปนลาดบชนดใด

29

ตวอยาง 4 จงหาพจนกลางเลขคณต พจนกลางเรขาคณต และ พจนกลางฮารโมนกของ a และ b

(1) a = 10 และ b = 15 (2) a = 4 และ b = 9

ตวอยาง 5 จงหาจานวนจรง a และ b ท�มพจนกลางเลขคณตเทากบ 25 และมพจนกลางเรขาคณตเทากบ 24

ตวอยาง 6 จงหาพจนกลางเลขคณต พจนกลางเรขาคณต และ พจนกลางฮารโมนก 3 พจน ระหวาง

8 และ 2

30

2. อนกรม (Series)

2.1 ความหมายของอนกรมและสญลกษณแทนการบวก

บทนยาม (1) ถา 1 2 3 na , a , a , ..., a เปนลาดบจากด

เราจะเรยก 1 2 3 na a a ... a วาเปน อนกรมจากด

(2) ถา 1 2 3 na , a , a , ..., a , ... เปนลาดบอนนต

เราจะเรยก 1 2 3 n

a a a ... a ... วาเปน อนกรมอนนต

สญลกษณแทนการบวก

เพ�อความสะดวกในการเขยนอนกรม จะใชอกษรกรก (summation) เปนสญลกษณแทนการบวก

อานวา “ซกมา” โดยมวธการเขยนดงน �

(1) 1 2 3 na a a ... a เขยนแทนดวย

n

ii 1

a

โดยท� n

ii 1

a อานวา “การบวก ia เม�อ i = 1 ถง i = n”

(2) 1 2 3 n

a a a ... a ... เขยนแทนดวย ii 1

a

โดยท� ii 1

a

อานวา “การบวก ia เม�อ i มคาต �งแต 1 ข �นไปเร�อยๆอยางไมจากด”

ËÁÒÂà˵Ø

1. การใชสญลกษณแทนการบวก จะเหนวามตวอกษรอยใตเคร�องหมาย เชน n

ii 1

a

ตวอกษร i เรยกวา ดชน (index) ซ�งเราอาจจะใชตวอกษรอ�นนอกเหนอจาก i กได เชน

2

n 1n

หรอ 2

k 1k

หรอ 2

i 1i

เหลาน �ลวนแทนอนกรมเดยวกน

2. ดชนท�อยใตเคร�องหมาย ไมจาเปนตองเร�มท� 1 อาจจะเร�มตนจากจานวนเตมอ�นกได เชน

10

n 0n 1

= ...................................................................................................

3. อนกรมจากดทกอนกรม จะแทนจานวนใดจานวนหน�งเสมอ หรอกลาวไดวาอนกรมจากดทกอนกรม

สามารถหาผลบวกไดเสมอ เชน

10

k 1k

= ............................................................................................................

31

ตวอยาง 1 จงเขยนอนกรมตอไปน � ในรปสญลกษณแทนการบวก

(1) 12 + 22 + 32 + 42 + 52

(2) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 113

(3) 1 1 1

1 ...2 4 8

ตวอยาง 2 จงเขยนสญลกษณแทนการบวกตอไปน � ในรปอนกรม

(1) 50

i 1

2

5

(2) 5

i 1

3(i 1)

(3) 8

n 1

( n 1 n )

32

สมบตของสญลกษณแทนการบวก

(1) n

i 1c

= …………………………………………………………………………….

(2) n

ii 1

ca = …………………………………………………………………………….

(3) n

i ii 1

(a b )

= ………………………………………………………………………..

ตวอยาง 3 กาหนดให 10

ii 1

a 120

, 10

ii 1

b 25

และ 10

i ii 1

(a b ) 60

จงหา

(1) 10

i ii 1

(a 4b )

= ............................................................................................

= ............................................................................................

= ............................................................................................

(2) 10

i ii 1

(a 2b 2)

= ............................................................................................

= ............................................................................................

= ............................................................................................

= ............................................................................................

(3) 10

i ii 1

(a 2)b

= ............................................................................................

= ............................................................................................

= ............................................................................................

= ............................................................................................

ตวอยาง 4 โดยท� 1 + 2 + 3 + ... + n = n

(n 1)2

จงหา 10

n 10(4n 42)

33

2.2 ผลบวก n พจนแรกของอนกรม

บทนยาม กาหนดอนกรม 1 2 3 n

a a a ... a ...

ผลบวก n พจนแรก ของอนกรม หมายถงผลบวกต �งแต พจนท� 1 ถง พจนท� n

ซ�งเขยนแทนดวย nS

จากนยามจะไดวา n 1 2 3 nS a a a ... a =

n

ii 1

a ................. สตร

เชน 8S …………………..................………………………………………………

7S …………………...................………………………………………………

จาก nS = …………………...............………………………………………………

n 1S = ……………………..............………….…………………………………

n n 1S S = ………........…….......……………………………………………..…….

ดงน �นเราสามารถหาพจนท� n จาก ................. สตร

สตรการหาผลบวก n พจนแรกท�ควรทราบ

(1) n

i 1i

= 1 + 2 + 3 + ... + n =

n(n 1)

2

(2) n

2

i 1i

= 12 + 22 + 32 + ... + n2 =

n(n 1)(2n 1)

6

(3) n 3

i 1i

= 13 + 23 + 33 + ... + n3 =

2n(n 1)

2

=

2n

i 1

i

34

ตวอยาง 1 จงหาผลบวกในแตละขอตอไปน �

(1) 24

i 1

i =...............................................................................................

=...............................................................................................

=...............................................................................................

(2) 10

2

k 1

k =...............................................................................................

=...............................................................................................

=...............................................................................................

(3) 15

3

n 1

n =...............................................................................................

=...............................................................................................

=...............................................................................................

ตวอยาง 2 จงหาจานวนเตมบวก n ท�ทาให สมการในแตละขอตอไปน �เปนจรง

(1) 1 + 2 + 3 + ... + n = 136

(2) 3 3 3 31 2 3 ... n 1296

35

ตวอยาง 3 จงหาผลบวกในแตละขอตอไปน �

(1) 10

2

k 1

(k k 1)

(2) 15

2

i 1

(i 1)

(3) 50

k

k 1

1 ( 1) k

(Onet-2549)

(4) กาหนดให na = จงหา 40

nn 1

a

n เม�อ n เปนเลขค�

2n เม�อ n เปนเลขค

36

ตวอยาง 4 จงหาผลบวกในแตละขอตอไปน �

(1) 2 2 2 21 3 5 ... 101

(2) 3 3 3 32 4 6 ... 20

(3) 12 + 23 + 34 + … + 2021

(4) 1 1 1 1

...1 2 2 3 3 4 19 20

37

ตวอยาง 5 กาหนดอนกรมแตละขอตอไปน � จงหา n 10S , S

(1) 2

k 1

(3k 1)

(2) 2 2 2 21 2 2 3 3 4 4 5 ...

(3) 1 1 1 1

... ...1 5 5 9 9 13 (4n 3)(4n 1)

38

ตวอยาง 6 จงหา na เม�อกาหนด nS แทนผลบวก n พจนแรกของอนกรม ดงน �

(1) 2n

S 13n 2n

(2) 1 2 3 n

na a a ... a

2(n 2)

ตวอยาง 7 กาหนดลาดบท�ม na 1 2 3 ... n

(1) จงหา n

ii 1

a (2) จงหา

19

i 1 i

1

2a

39

2.3 ชนดของอนกรม

(1) อนกรมเลขคณต (Arithmetic Series)

บทนยาม ถา a1, a2, a3, …, an, … เปนลาดบเลขคณตแลว

จะเรยกอนกรม a1 + a2 + a3 + … + an + … วา อนกรมเลขคณต

จากสตรพจนท� n ของลาดบเลขคณต na =……………………… เม�อ d เปนผลตางรวม จะได

ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต (Sn)

………. สตร

ตวอยาง 1 กาหนดอนกรมเลขคณตในแตละขอตอไปน �

จงหาผลบวก n พจนแรก และจงหาผลบวกของ 15 พจนแรก

(1) 3 + 5 + 7 + 9 + …

(2) 12 + 7 + 2 + (–3) + ...

40

ตวอยาง 2 กาหนดอนกรมเลขคณตท�ม 1a 5 และ 30a 63 จงหา

(1) ผลบวก n พจนแรก (2) ผลบวก 10 พจนแรก

ตวอยาง 3 กาหนดอนกรมเลขคณตท�ม d = –3 และ 12a 20 จงหา

(1) ผลบวก n พจนแรก (2) ผลบวก 20 พจนแรก

ตวอยาง 4 กาหนดอนกรมเลขคณตท�ม 10a 7 และ 25a –53 จงหา 25S

41

ตวอยาง 5 กาหนดอนกรมเลขคณต 24 + 22 + 20 + …

จงหา n ท�ทาให nS = 150

ตวอยาง 6 กาหนดอนกรมเลขคณตท�ม 1a 14 และ 3d

2

จงหาคา n ท�ทาใหผลบวก n พจนแรกเทากบ 180

ตวอยาง 7 กาหนดอนกรมเลขคณต ซ�งม ผลบวก 40 พจนแรก เทากบ 430

และ ผลบวก 60 พจนแรก เทากบ 945 จงหา 100S

42

ตวอยาง 8 กาหนดจานวนเตมท �งหมดท�มคาต �งแต 10 และ 300 จงหา

(1) ผลบวกของจานวนเตมซ�งหารดวย 4 ลงตว

(2) ผลบวกของจานวนเตมซ�งหารดวย 5 แลวเหลอเศษ 2

(3) ผลบวกของจานวนเตมซ�งหารดวย 3 ไมลงตว

43

ตวอยาง 9 ถาเราฝากเงนกบธนาคารเดอนละ 500 บาทเปนอยางนอย และจะฝากเพ�มจากเดอนกอนหนา

50 บาท ไปเร�อยๆจนครบ 1 ป จงหาเงนฝากรวมท �งหมดก�บาท (โดยไมรวมดอกเบ �ย)

ตวอยาง 10 ถา 4 11/ 3 10/ 3 (13 n)/ 3

1 1 1 1log[ ] 0

3 3 3 3

แลว n มคาเทากบเทาไร

ตวอยาง 11 กาหนดอนกรมเลขคณตท�ม 5 20S S จงหา

25S

ขอสงเกต : ถาอนกรมเลขคณตซ�งม m nS S แลว

m nS 0

44

ตวอยาง 12 กาหนดให 1 2 3 100a a a ... a เปนอนกรมเลขคณต และ

2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 5 99 100

a a a a a ... a a 1

จงหา 2 21 100

a a

ตวอยาง 13 อนกรมเลขคณตอนกรมหน�ง ถา m nS : S = 2

2

m

n จงหา 10 20a : a

45

(2) อนกรมเรขาคณต (Gometric Series)

บทนยาม ถา a1, a2, a3, …, an, … เปนลาดบเรขาคณตแลว

จะเรยกอนกรม a1 + a2 + a3 + … + an + … วา อนกรมเรขาคณต

จากพจนท�วไปของลาดบเรขาคณต n

a ....................... เม�อ r เปนอตราสวนรวม จะได

ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต (Sn)

………. สตร

ตวอยาง 1 กาหนดอนกรมเรขาคณตในแตละขอตอไปน � จงหา พจนท� n และผลบวกของ n พจนแรก

(1) 4 + 8 + 16 + 32 + …

(2) 1 1

4 2 1 ...2 4

(3) 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 ...

46

ตวอยาง 2 กาหนดอนกรมเรขาคณตท�ม 1a 9 และ 4

1a

3 จงหาผลบวก n พจนแรก

ตวอยาง 3 กาหนดอนกรมเรขาคณตท�ม 5

1a

8 และ r 2 จงหาผลบวก n พจนแรก

ตวอยาง 4 จงหา nS ของอนกรม 2 4 k 1

2a a a a

log b log b log b ... log b ...

47

ตวอยาง 5 กาหนดอนกรมเรขาคณตหน�ง ม 1a = 160 และ r = 3

2 จงหาคา n ท�ทาให Sn = 2,110

ตวอยาง 6 กาหนดอนกรมเรขาคณตหน�ง มอตราสวนรวมเทากบ 2

จงหาคา n ท�ทาให na 112 และ nS 217

ตวอยาง 7 กาหนดอนกรมเรขาคณตจากด 1 + 4 + 16 + 64 + … + 16,384

จงหาผลบวกของอนกรมน �

48

ตวอยาง 8 กาหนดอนกรมเรขาคณต 8 + 24 + 72 + …

จงหาจานวนเตมบวก n ท�มคานอยท�สด ซ�งทาให nS > 6,000,000

เม�อกาหนดให log 3 = 0.4771 และ log 1.5 = 0.1761

ตวอยาง 9 ชายคนหน�งเร�มฝากเงนกบธนาคาร เปนรายเดอนๆละ 1000 บาท ในแตละปถดไปเขาฝากเงน

เพ�มข �น 20% ของจานวนเงนท�เขาฝากตลอดปท�ผานมา

(1) จงหาวาในปท� 5 เขาตองฝากเงนเปนเทาใด

(2) เม�อส �นปท� 5 เขาจะมเงนฝากในธนาคารท�ไมรวมกบดอกเบ �ย เปนเงนเทาใด

ตวอยาง 10 กาหนดให k เปนจานวนเตมบวก และใหอนกรมเรขาคณตหน�ง ท�มพจนท� 1 และพจนท� k

เทากบ 3 และ 96 ตามลาดบ ถาผลบวกของ k พจนแรก เทากบ 189

จงหาผลบวกของ 10 พจนแรก

49

ตวอยาง 11 กาหนดอนกรมเรขาคณตอนกรมหน�ง ม ผลบวกของพจนท� 1 และพจนท� 2 เทากบ –3

และผลบวกของพจนท� 5 และพจนท� 6 มคาเทากบ 3

16 จงหาผลบวกของ 10 พจนแรก

ตวอยาง 12 กาหนดพจนท� n ของลาดบ n n 1 n 2a 3a 2a , n 2 และ

1 1a 1, a 2

จงหาคาของ 50

ii 1

a

50

ตวอยาง 13 จงหาผลบวกของอนกรม n พจนแรกของ 2 2 2 2 2 2

1 1 19 ( ... )

1 2 2 4 4 8

ตวอยาง 14 กาหนดพจนท� n ของลาดบดงน �

n n 2

n 2

1 ; n 1, 2

a a 2 ; n 3, 5, 7, ...

2a ; n 4, 6, 8,...

จงหา 101

ii 1

a

51

(3) อนกรม Telescopic

เรยกวา telescopic series ซ�งเปนอนกรมท�แตละละพจนท�อยใกลๆกนสามารถลบกนหรอ

หกลางกนไปเร�อยๆ

ตวอยาง 1 กาหนดอนกรมตอไปน � จงหา n 10S , S

(1) k 2

( n n 1)

(2) 1 1 1 1

... ...1 2 2 3 3 2 n n 1

(3) k 1

1

k(k 1) k k 1

52

ตวอยาง 2 กาหนดอนกรมตอไปน � จงหา n 10S , S

(1) 1 1 1 1

...1 2 2 3 3 4 4 5

(2) 1 1 1 1

...1 3 3 5 5 7 7 9

(3) i 1

1

i(i 1)(i 2)

53

(4) i 1

1

(2i 1)(2i 3)(2i 5)

(5) k 1

1

1 2 3 ... k

(6) 3 2

k 1

k 3

k 4k 3k

54

(7) 2k 1

1

n 4n 3

(8) k 1

n

(n 1)(n 2)(n 3)

(9)n 1

n

(n 1)!

55

ตวอยาง 3 ให n เปนจานวนเตมบวกท�ทาให i

n2

2i 1

log 2 n 21

จงหา n

3 2k 1

144

k 3k 2k

ตวอยาง 4 กาหนดให 2 2

n

1 1a 1 1 1 1

n n

สาหรบ n = 1, 2, 3, …

จงหาคาของ 20

n 1 n

1( )a

56

ตวอยาง 5 จงหาคาของ 9999

4 4n 1

1

( n n 1)( n n 1)

ตวอยาง 6 จงหาคาของ o o45

n 0

2n 1 12 cos sin

2 2

57

(4) ลาดบและอนกรมผสม

ÅíҴѺ¼ÊÁ

กาหนดลาดบ 1 2 3 4a , a , a , a , ... ซ�งเม�อพจารณาความสมพนธไดดงน �

(1) ลาดบท�มผลตางแตละพจนเปนจานวนท�เรยงกนเปนลาดบเลขคณต จะมพจนท� n หรอ na เปน

พหนามท�ม n เปนตวแปร

จะได n 1 1 1

(n 1) (n 1)(n 2) (n 1)(n 2)(n 3)a a b c d

1 (1)(2) (1)(2)(3)

สตร

ตวอยาง 1 จงหา na จากลาดบในแตละขอตอไปน �

(1) 1, 3, 8, 16, 27, …

(2) 4, 15, 40, 85, 156, …

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5

1 2 3 4

a , a , a , a , a , a , ...

b , b , b , b , b , ...

c , c , c , c , ...

d d dลาดบเลขคณต

58

(2) ลาดบท�มผลตางแตละพจนเปนจานวนท�เรยงกนเปนลาดบเรขาคณต

จะได n 1na Ar Bn C เม�อ A, B, C คาคงท� ซ�งเปนคาตอบของระบบสมการ

1

22

3

a A B C

a Ar 2B C

a Ar 3B C

สตร

ลาดบท�มลกษณะแบบน �เรยกวาเปนความสมพนธเวยนบงเกดเพราะพจนท� n มความสมพนธกบพจน

ท� n – 1, n – 2 , …, 2 หรอ 1

ตวอยาง 2 จงหา na จากลาดบในแตละขอตอไปน �

(1) 3, 5, 9, 17, 33, …

(2) 2, 7, 24, 77, 238, …

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5

1 2 3 4

a , a , a , a , a , a , ...

b , b , b , b , b , ...

c , c , c , c , ...

r r rลาดบเรขาคณต

59

͹ءÃÁ¼ÊÁ

อนกรมอ�นๆท�ไมใชอนกรมเลขคณต หรอนกรมเรขาคณต มวธหาผลบวกของ n พจนแรกของ

อนกรมแตกตางกนออกไป ดงตวอยางตอไปน �

Ẻ·Õè 1 : à»�¹Í¹Ø¡ÃÁ·ÕèÊÒÁÒöËҼźǡ n ¾¨¹�ááä �â´ÂËÒ¨Ò¡ n

n ii 1

S a

ตวอยาง 1 จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรม 1(32 – 22) + 2(42 – 32) + 3(52 – 42) + …

Ẻ·Õè 2 : à»�¹Í¹Ø¡ÃÁ¼ÊÁà¡Ô´¨Ò¡¡Òúǡ¡Ñ¹¢Í§¾¨¹�·Õè k ¢Í§Í¹Ø¡ÃÁàÅ¢¤³ÔµáÅÐ͹ءÃÁàâҤ³Ôµáºº¾¨¹�µ�;¨¹�

ËҼźǡ n ¾¨¹�ááâ´Âãª�¡ÒÃá¡à»�¹Í¹Ø¡ÃÁàÅ¢¤³ÔµºÇ¡¡ÑºÍ¹Ø¡ÃÁàâҤ³Ôµ ã¹áµ�Åо¨¹�áÅ�Çãª�ÊÙµÃ

¼ÅºÇ¡ n ¾¨¹�¢Í§Í¹Ø¡ÃÁáµ�ÅЪ¹Ô´

ตวอยาง 2 จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรม

(1) (1 + 2) + (2 + 22) + (3 + 23) + (4 + 24) + ...

(2) 7 + 9 + 13 + 21 + 37 + …

60

Ẻ·Õè 3 : à»�¹Í¹Ø¡ÃÁ¼ÊÁà¡Ô´¨Ò¡¡Òäٳ¡Ñ¹¢Í§¾¨¹�·Õè k ¢Í§Í¹Ø¡ÃÁàÅ¢¤³ÔµáÅÐ͹ءÃÁàâҤ³Ôµáºº¾¨¹�µ�;¨¹�

ËҼźǡ n ¾¨¹�ááâ´Âãª�¡ÒÃá¡à»�¹Í¹Ø¡ÃÁàÅ¢¤³Ôµ¤Ù³¡ÑºÍ¹Ø¡ÃÁàâҤ³Ôµã¹áµ�Åо¨¹�áÅ�Ç r ¢Í§Í¹Ø¡ÃÁ

àâҤ³Ôµ¤Ù³Í¹Ø¡ÃÁ¹Ñé¹áÅ�ǹíÒ͹ءÃÁãËÁ�¡ÑºÍ¹Ø¡ÃÁà ÔÁÁÒź¡Ñ¹¨¹¡Ç�ÒàÈɨÐà»�¹¤�Ò¤§·Õè áÅ�Ǩ֧ãª�Êٵüźǡ n

¾¨¹�áá¢Í§Í¹Ø¡ÃÁàâҤ³Ôµ

ตวอยาง 2 จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรม

(1) n2 3

1 3 5 (2n 1)... ...

3 33 3

(2) 2 3 41 3x 8x 16x 25x ...

61

ตวอยาง 3 จงหาผลบวกของ n พจนแรกของอนกรม ตอไปน �

(1) 2 + 7 + 15 + 29 + 55 + 105 + …

(2) 1 1 1 1

1 2 3 4 ...5 25 125 625

(3) 4 10 19 31

1 ...3 9 27 81

62

ตวอยาง 4 จงหาผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมตอไปน �

(1) 9 + 99 + 999 + 9999 + ….

(2) 1 + 11 + 111 + 1111 + …