5.7 Aplicación de la integral triple en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS CARTESIANAS

Teorema de Fubini

Sea f una función continua en una región D.

D= {( x , y , z )∈R3|a ≤ x ≤ b , h1 ( x ) ≤ y ≤ h2 (x ) ; g1 (x , y )≤ z≤ g2 ( x , y ) }Donde h1 y h2 , g1 , g2 son funciones continuas en sus dominios. Entonces:

∭D

❑

f (x , y , z ) dx dy dz=∫a

b

∫h1 (x )

h2 (x )

∫g1 ( x , y )

g2 ( x , y )

f ( x , y , z )dz dy dx

Ejemplo:

Hallar la integral triple de f (x,y,z) = z, extendida a la región D, limitada por los planos

y = 0, x + y = 2, 2y + x = 6 y el cilindro y2+z2=4

I=∫0

2

∫2− y

6−2 yz2

2 |√4− y2

0dx dy=∫

0

2

∫2− y

6−2 y4− y2

2dx dy

¿∫0

2

(6−2 y−2+ y )( 4− y2

2 )dy=12∫0

2

(4− y2 ) (4− y ) dy=12∫0

2

(16−4 y−4 y2+ y3 ) d y

¿ 12 [16−4 y2

2−4 y3

3+ y 4

4 ]20

¿ 12 [32−8−323 +4]=12 [28−323 ]

I=∫0

2

∫2− y

6−2 y

∫0

√4− y2

z dz dy dx=263

≈8.667

INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS CILÍNDRICAS

Muchas regiones comunes, como esferas, elipsoides, conos o paraboloides, dan lugar a integrales triples difíciles de calcular en coordenadas rectangulares por lo que hay que convertirlas en coordenadas cilíndricas.

x = r cos θy = r sen θz = z

Para obtener la expresión en coordenadas cilíndricas de una integral triple, supongamos que Q es una región sólida cuya proyección R sobre el plano xy puede describirse en coordenadas polares. Esto es:

Q= {( x , y , z) : ( x , y ) está en R , h1 ( x , y ) ≤ z ≤ h2 ( x , y ) } y

R={(r , θ ) : θ1≤ θ ≤θ2 , g1 (θ ) ≤r ≤ g2 (θ ) }

Si f es una función continua sobre el sólido Q, podemos escribir la integral triple de f sobre Q como:

∭Q

❑

f (x , y , z ) dV=∫R

❑

∫ [ ∫h1 (x , y )

h2 (x , y )

f ( x , y , z ) dz ]dA

Donde la integral doble sobre R se calcula en polares. Es decir, R es una región plana r-simple o θ ­simple. Si R es r-simple, la forma iterada de la integral triple en forma cilíndrica es:

∭Q

❑

f (x , y , z ) dV=∫θ1

θ2

∫g1 (θ )

g2 (θ )

∫h1( rcosθ ,r sinθ )

h2( rcosθ ,r sinθ )

f (r cosθ , r sin θ , z ) r dz dr dθ

Nota: Este es sólo uno de los posibles seis órdenes de integración. Los otros cinco

son dz dθ dr , dr dz dθ , dr dθ dz , dθdzdr , dθ dr dz .

Ejemplo:

Hallar el volumen de la región sólida Q que corta en la esfera

x2+ y2+z2=4 y el cilindro r=sinθ

x2+ y2+z2=r2+ z2=4

−√4−r2≤ z≤√4−r2

Sea R la proyección del sólido sobre el plano r∅ . L as cotas de R son

0≤ r ≤2sin θ y 0≤ θ ≤ π .Por lo que Q es:

V=∫0

π

∫0

2sin θ

∫−√4−r 2

√4−r2

r dz dr dθ

¿2∫0

π2

∫0

2sin θ

2 r √4−r2dr dθ

¿2∫0

π2−23

(4−r2 )32|2sinθ

0dθ

¿ 43∫0

π2

(8−8cos3θ ) dθ

¿ 323∫0

π2

[1−(cos θ ) (1−sin2θ ) ]dθ

¿ 323 [θ−sin θ+ sin

3θ3 ] π

20

¿ 169

(3 π−4 )

INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS ESFÉRICAS

Las integrales triples que involucran esferas o conos suelen ser más fáciles de calcular en coordenadas esféricas.

Conversión de coordenadas rectangulares a esféricas son:

x=ρ sin∅ cosθ

y=ρsin∅ sinθ

z=ρ cos∅

En este sistema de coordenadas la región más simple es un bloque esférico determinado por:

{( ρ,θ ,∅ ) : ρ1≤ ρ≤ ρ2 , θ1≤ θ ≤θ2 ,∅ 1≤∅ ≤∅ 2 }

Donde ρ1≥0 ,θ2−θ1≤2π , y 0≤∅ 1≤∅ 2≤ π

La integral triple en coordenadas esféricas para una función continúa f definida sobre

el sólido Q:

∭Q

❑

f (x , y , z ) dV=∫θ1

θ2

∫∅1

∅2

∫ρ1

ρ2

f ( ρ sin∅ cosθ , ρ sin∅ sinθ , ρ cos∅ ) ρ2sin∅ dρ d∅ dθ

Del mismo modo que en las cilíndricas, las integrales triples en coordenadas esféricas

se calculan mediante integrales iteradas.

Nota: la letra griega ρ es utilizada en coordenadas esféricas no tiene nada que ver

con la densidad. No es sino el análogo tridimensional de la r usada en polares.

Ejemplo:

Calcular el volumen de la región sólida Q acotada por abajo por la hoja superior del

cono z2=x2+ y2 y por arriba por la esfera 9=x2+ y2+z2.

En coordenadas esféricas la ecuación de la esfera es:

ρ2=x2+ y2+z2=9

ρ=3

La esfera y el cono se cortan cuando:

( x2+ y2 )+z2=( z2 )+z2=9

z= 3

√2Como z=ρ cos∅ entonces:

( 3√2 )( 13 )=cos∅∅=π

4

En consecuencia podemos usar el orden de integración dρ d ∅ dθ, donde

0≤ ρ ≤3 ,0≤∅ ≤π4

y 0≤ θ≤2π .El volumen es:

V=∭Q

❑

dV=∫0

2π

∫0

π4

∫0

3

ρ2 sin∅ dρ d ∅ dθ

¿∫0

2π

∫0

π4

9sin∅ d ∅ dθ=9∫0

2π

−cos∅|π40

dθ

¿9∫0

2π

(1−√22 )dθ=9 π (2−√2 ) ≈16.56