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(1) 단면의 관성상승모멘트
비대칭단면의 굽힘을 알기 위해 단면에 관한 관성상승모멘트(product of
inertia moment)를 설명한다. 그림에서 임의 직교축 y, z에 관해 다음 식을
단면의 z, y축에 관한 관성상승모멘트라 한다.
(6-53)
그림 6-24 상승모멘트
특히 두 축의 하나가 대칭축일 때는 Ixy는 0이 된다. 그림 (b)에서 y축이
대칭축이라면 y축의 우측면적에 대해서는 좌측면적은
가 되므로 합은 0이 됨을 알 수 있다.
6-11 상승모멘트(선택)
평행축의 정리
임의 도형의 도심을 지나는 z, y축에 관한 Iyz를 알 때 이 z, y축에 각각
평행한 Z, Y축의 상승모멘트는 밑의 그림에서 식 (6-54)을 유도할 수 있다.
그림 6-12
(6-54)
단, 는 각각 z, y축이 도심축이 되므로 0이 된다.
(2) 단면의 주축
그림 6-25 좌표변환
z, y축에 관해서
를 알고, 변환된 z´, y´축에
관한 Iy´, Iz´, Iz´y´를 계산해 보자. 단면 A
내의 미소면적 dA의 좌표 (y, z)와 (y´, z´)
사이의 관계는 식 (6-55)와 같다.
(6-55)
따라서 Iy´, Iz´ 및 Iz´y´은 식 (6-56)로 정리된다.
(6-56)
즉 Iy, Iz, Izy의 값을 알면 Iy´, Iz´, Iz´y´를 구할 수 있다. 식 (6-56)의
Iy´, Iz´을 합하면 다음식이 된다.
(a)
Ip는 극관성모멘트이다. 이 Iy´, Iz´의 최대, 최소값은 식 (b)에 의해
식 (6-57)일 때 생긴다.
(b)
(6-57)
이 2θn의 값은 Iy´, Iz´의 최대, 최소로 되며 이 θn의 값을 식 (6-56)에
대입하면 다음 식(6-58)을 얻는다.
(6-58)
이 I1, I2를 주관성모멘트(principal moment of inertia)라 하고 I1은 최대값,
I2는 최소값이며 이것의 축(1, 2축)을 관성주축(principal axis of inertia)
이라 한다. 이 주축은 식 (6-57)에서 그 방향을 알 수 있으며, 또한 식 (6-
56)의 제3식을 0으로 놓아도 식 (6-59)처럼 얻어진다.
(6-59)
임의 직교축 z, y축을 θ만큼 방향을 전환시킨 z´, y´축의 상승모멘트가 0
이 될 때(Iz´y´=0)이 z´, y´축에 관한 Iz´, Iy´는 최대, 최소가 되어(즉, I1, I2)
주관성모멘트가 되며, 이러한 z´, y´축을 주축이라고 한다(1축과 2축).
그림 6-26 모어의 관성원
(6-60)
[예제 6-19] 사각형의 단면(폭 b × 높이 h)의 한 모서리에 관한 상승모멘트를 구하라.
풀이 식 (6-49)에서 구한다. 즉,
Izy는 도심축 xy에 관한 것이므로 0이다(그림 (a)).
별법 (그림 (b))
[예제 6-23] L형단면(125 × 100 × 25)의 도심주축과 그 위치를 구하라.
풀이
A면적의
B면적의
A면적의
A면적의
B면적의
B면적의
주축의 경사각은 식 (6-52)에서 구한다.
주관성모멘트는 식 (6-51)에서 (또는 식 (6-53)에서) 구한다.
모어의 관성원을 이용하여 같은 결과를 얻을 수 있음을 그림 (b)에서 알 수 있다.
5장에서 대칭단면을 갖는 보가 하중면 내에서 굽힘을 받을 때 보에 작용하는
굽힘응력 σx과 전단응력 τ는다음과같이정의되었다.
(5-20)
(5-27)
본절에서는대칭단면이아닌두께가얇은단면이축하중을받을때의경우를
생각한다.
그림 6-27
6-12 임의 형상의 전단 중심(선택)
그림과 같은 ㄷ형 채널단면을 갖는 보가 도심축내에 하중 P를 받을 때,
x인 위치에서의 단면에 걸리는 하중상태는 그림 (b)와 같다. 이 때 단면에
발생하는 수직응력은 식 (5-20)으로 계산될 수 있으나 전단응력은 수직단면
이 대칭이 아니기 때문에 구할 수 없다.
ㄷ형 채널단면보에 하중 P가 작용할 때 비틀림을 수반하지 않는 굽힘상태,
즉 단순굽힘(simple bending)상태가 되도록 하기 위해 P를 다른 위치에
작용시켜야 한다. 이 위치를 전단중심(shear center)이라 하고, 이 전단중심
에 하중 P가 작용하면 보는 비틀림없는 굽힘만을 받게 되고 전단응력도 식
(5-27)로서 계산할 수 있다.
(6-25)
그림 6-28 전단중심
그림 6-28과 같은 임의 단면을 생각해 보자. 얇은 두께의 단면에 생기는
τ는 두께 사이에서 균일하고 두께의 중심선 방향을 향한다고 가정한다.
보의 dx부분을 생각하여 이의 양단면에 외력 P에 의해 Mx와 Mx+dMx의
굽힘모멘트가 생겼다면 양단면의 같은 위치 y위에 있는 굽힘응력 σx와 σ´x
는 식 (6-61)로 된다.
단면 상단에서 s만큼 떨어진 A부분의 FBD에서 평형방정식을 적용하면
식 (6-62)을 얻는다.
(6-62)
여기서 식 (b)를 얻게 된다.
(a)
(b)
(6-63)
(c)
도심에서전단중심까지의거리
또한, τst에 해당하는 값은 식 (d)로 되고 전단류(shear flow)라 하며
<그림 6-28(b)>에 그 흐름을 나타내고 있다.
(d)
[예제 6-24] 그림 6-19와 같은 얇은 두께의 H형단면의 전단중심을 구하라.
(z축에 대칭)
풀이 단순굽힘이 되는 조건하에서 힘 F가 작용하면 플랜지 1이나 2는 같은
곡률반지름으로 휘게 된다. 한편, F는 웨브(web)부분에서의 전단력 부담은
적으므로 플랜지(flange) 1과 2에서 부담한다고 생각된다. 양 플랜지에서
부담하는 전단력을 F1, F2, 굽힘모멘트도 각각 M1, M2라고 할 때 식 (1)이
성립된다.
그림 19
(1)
또 단순굽힘에서 식 (2), (3), (4)가 성립된다.
윗 식에서 식 (5)가 성립된다.
전단중심 Cs는 플랜지의 관성모멘트에 반비례되는 점, 즉 내분하는 점의
위치이다.
(2)
(3)
(4)
(5)
[예제 6-25] 그림 20과 같은 ㄷ형단면의 전단중심을 구하라.
풀이 (1) 플랜지의 전단응력 τf는 식 (a)로 된다. 단,
τf는 s의 1차식이므로 직선적으로 변화한다.
그림 20
(a)
(2) 웨브의 전단응력 τw는 식(b)로 된다.
(b)
중립축으로부터 거리 y만큼 떨어진
위치의 단면 dd에서 구한다.
tf = tw 이면
두께가 아주 얇다고 생각하면 t3f은 무시할 수 있으므로 아래식으로 된다.
웨브에 작용하는 전단력을 Fv라 하면 아래식으로 된다.
외부에서 적용되는 이 단면의 전단력 F는 단면내에 생긴 전단력의 총합
과 같아야 한다. 즉, F=Fv. 또 외력으로 인한 F·r0도 이로 인한 응력들에
관한 모멘트의 총합과 같아야 하므로(z는 도심에서 웨브 중심부 Fv까지
의 거리)
이 r0가 도심에서 전단중심까지의 거리이다.