6-1

6. METODA KARAKTERISTIKA

6.1 Temeljne postavke

Pri razmatranju problema optjecanja tijela, zrak promatramo kao idealan i savršeni plin. Što više, to

optjecanje smatramo adijabatsko i bez utjecaja vanjskih sila. U tom slučaju optjecanje je određeno

jednadžbom kontinuiteta, Eulerovom jednadžbom gibanja, adiabatskom jednadžbom i jednadžbom

idealnog plina

( )( )

RTpconstp

pgraddtVd

Vdiv

=

=

−=

=

−

ρ

ρ

ρ

ρ

γ

r

r0

To su tri skalarne jednadžbe i jedna vektorska u kojima su nepoznate tlak p, gustoća ρ ,

komponente brzine [ ]Twvu i temperatura T. Prve tri jednadžbe ne sadrže temperaturu T, i mogu

se riješiti po wvup ,,,, ρ , a zatim, zadnja jednadžba određuje temperaturu na temelju rješenja

prvog problema. Drugim riječima sustav se može razdvojit na problem određivanja polja brzina,

gustoće i tlaka; a zatim određujemo temperaturu kad je prvi problem riješen.. U ovom poglavlju

pokazat ćemo kako se rješava taj prvi problem. Polazimo od prve tri jednadžbe:

( )( )

constp

pgraddtVd

Vdiv

=

−=

=

−γρ

ρ

ρr

r0

To je ukupno pet skalarnih jednadžba, od kojih su četiri diferencijalne jednadžbe. U tim

jednadžbama nepoznate su funkcije: wvup ,,,, ρ . S obzirom da promatramo stacionarno optjecanje

ove veličine ovise samo o koordinatama promatrane točke. Znači da su koordinate točke neovisne

varijable. Tu zadaću rješavamo ovdje metodom karakteristika. Područje u kome tražimo rješenje je

između udarnog vala i površine tijela.

Zato što imamo parcijalne diferencijalne jednadžbe moramo poznavati nepoznate veličine na

nekim površinama u prostoru u kome tražimo rješenje. U ovom slučaju znamo da nepoznate

funkcije moraju zadovoljiti uvjete na površini udarnog vala, a na optjecanoj površina strujanje mora

biti tangencijalno na površini tijela.

6-2

Ograničit ćemo se na slučaj optjecanja osno simetričnog tijela bez napadnog kuta tj. da je

brzina iz beskonačnosti paralelna osi tijela. Slika takvog strujanja je osno simetrična te je

komponenta brzine 0w = . Da bi iskoristili tu osobinu strujanja promatramo strujanje u

cilindričnim koordinatama i to s ishodištem na vrhu tijela, x os u pravcu osi tijela u smjeru brzine iz

beskonačnosti (slika 4-1). U cilindričnim koordinatama optjecana površina određena je

jednadžbom

( )xfr =

S obzirom na simetriju optjecanja tlak p , gustoća ρ a komponente brzine vu i ne ovise o kutu ϑ

pa prve dvije vektorske jednadžbe imaju oblik

( ) ( ) 0=∂

∂+

∂∂

rvr

xur ρρ

xpv

ruu

xu

∂∂

−=∂∂

+∂∂

ρ1

rpv

rvu

xv

∂∂

−=∂∂

+∂∂

ρ1

dok adiabatska9ednadžba ostaje nepromijenjena.

γ

∞V

r

x

Slika 6-1

6-3

6.2 Parcijalna diferencijalna jednadžba potencijala

Parcijalnu diferencijalnu jednadžbu potencijala u sfernim koordinatama dobivamo razvijanjem

jednadžbe kontinuiteta:

0=

+

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

rv

rv

xuv

ru

xρρρ

S obzirom na adiabatsku jednadžbu po kojoj je gustoća funkcija od tlaka, možemo Eulerovu

vektorsku jednadžbu gibanja napisati u obliku dvije skalarne

∂∂

+∂∂

−=∂∂

=∂∂ v

ruu

xu

axp

dpd

x 2ρρρ

∂∂

+∂∂

−=∂∂

=∂∂ v

rvu

xv

arp

dpd

r 2ρρρ

Zamjenom u razvijeni oblik jednadžbe kontinuiteta dobivamo poslije sređivanja:

( ) ( )rva

ru

xvuv

rvav

xuau

22222 =

∂∂

+∂∂

+∂∂

−+∂∂

−

Napomena

Strujanje potencijalno samo iza konusnog udarnog vala. Tada je vrtložnost jednaka nuli

02 =∂∂

−∂∂

=xv

ruω

pa možemo uvesti funkciju potencijala jer je

rxxv

ru

∂∂∂

=∂∂

=∂∂ φ2

gdje je

rv

xu

∂∂

=

∂∂

=

φ

φ

Udarni val je konusan samo u slučaju konusnog tijela. Ožival stvara zakrivljeni udarni val ali ta

zakrivljenost udarnog vala nije velika te je vrtložnost zanemarljiva, zato možemo usvojiti da je

optjecanje potencijalno iza udarnog vala ( 5<Ma ).

Poslije uvođenja funkcije potencijala gornja parcijalna jednadžba dobiva oblik:

( ) ( )rva

rxuv

rav

xau 2

2

2

222

2

222 2 =

∂∂∂

+∂∂

−+∂∂

−φφφ

To je parcijalna diferencijalna jednadžba potencijala u cilindričnim koordinatama.

6-4

6.2.1 Karakteristike

Ako u jednoj točki prostora A koja ima cilindrične koordinate x, r, djeluje neki poremećaj, onda će

se u konusu otvora µ osjećati njegovo djelovanje, a van konusa bit će strujanje neporemećeno.

Zato što je optjecanje osno simetrično promatrajmo ravan kroz tu točku i os x. Kao što znamo os

konusa je na pravcu brzine u točki x, r, a brzina čini kut ϑ s osom x.

uv

=ϑtan

kao na slici 6-2. U toj ravni nalazi se brzina V . Machov konus iz točke A sječe tu ravninu duž dva

pravca koje nazivamo Machovi pravci.

r

x

V

µ

µϑ

Au

v

Slika 6-2

Ta dva pravca imaju nagib prema osi x

( )µϑ ±tan

Zamislimo dvije familije krivulja takve da u svakoj točki imaju Machove pravce kao tangente. Te

krivulje nazivamo karakteristike. Označimo jednadžbu karakteristike sa ( )xr , onda mora biti

( )µϑ ±= tandxdr

To je diferencijalna jednadžba karakteristika. Za znak + dobivamo jednu familiju karakteristika, a

za znak - drugu. Kako su kutovi

uv

=ϑtan

22tan

aVa−

=µ

6-5

možemo diferencijalne jednadžbe karakteristika napisati pomoću komponenata brzine i brzine

zvuka u promatranoj točki. Tako dobivamo:

( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

( )222

222

22222

222222222

2222

2222

22

22

22

22

1tantan1tantantan

auVaVauvV

vaaVuuvaaVavaVauaVuv

avaVuavaVuavaVuauaVv

vaaVuauaVv

aVa

uv

aVa

uv

dxdr

−−±

=

−−+−±−±−

=

±−⋅−

±−⋅±−=

−

±−=

−⋅

−±

=±

=±=

m

mmm µϑµϑµϑ

pa je konačno

22

22

auaVauv

dxdr

−−±

=

U nadzvučnom strujanju u svakoj je točki aV > , ali ako je komponenta duž x osi au = onda je

Machov pravac vertikalan, tj. tangenta na karakteristiku je okomita na x os. Označimo sa ( )xr1

familiju karakteristika čiji je nagib tangente µϑ + . Njihova diferencijalna jednadžba je:

22

221

auaVauv

dxdr

−−+

= ,

a sa ( )xr2 drugu familiju čiji je nagib tangente µϑ − te ima diferencijalnu jednadžbu:

22

222

auaVauv

dxdr

−−−

=

Zbrajanjem ovih dviju diferencijalnih jednadžba familije karakteristika dobivamo

2221 2

auuv

dxdr

dxdr

−=+

6.2.2 Promjena brzine duž karakteristika

Kad se pomjerimo za dx i dy (slika 4-4) iza udarnog vala, komponente brzina se promjene za:

drrvdx

xvdv

drrudx

xudu

∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

=

6-6

Ako želimo promjenu komponenata brzine du i dv duž nekog pravca, onda je dxdr tangens tog

pravca. Prema tome ako želimo promjenu komponenata brzine duž karakteristika onda je

22

22

auaVauv

dxdr

−−±

=

Sa + imat ćemo promjene duž jedne familije, a sa - duž druge.

r

x∞V

duu +

u

dvv +

vdx

dr( )rx,

Slika 6-3

Pretpostavit ćemo da je strujanje potencijalno (ta pretpostavka je jedna aproksimacija, jer je ona

ispunjena samo kad je udarni val konusan) onda su priraštaji komponenata brzina duž elementarnog

pomaka dx, dr :

drr

dxrx

dv

drrx

dxx

du

2

22

2

2

2

∂∂

+∂∂

∂=

∂∂∂

+∂∂

=

φφ

φφ

u kojima druge parcijalne derivacije potencijala moraju zadovoljavati diferencijalnu jednadžbu

potencijala

( ) ( )rva

rxuv

rav

xau 2

2

2

222

2

222 2 =

∂∂∂

+∂∂

−+∂∂

−φφφ

Možemo promatrati i obrnuti problem. U nekoj točki polja strujanja u kojoj znamo kolike su

komponente brzina u i v kao i brzinu zvuka a, u određenom pravcu (poznat odnos dxdr ) znamo

6-7

kolike su promjene komponenata brzine du i dv, a htjeli bi na temelju tih podataka odrediti tri

parcijalne derivacije:

,, 2

22

2

2

rrxx ∂∂

∂∂∂

∂∂ φφφ

To su tri nepoznate za koje imamo obične tri jednadžbe

dvr

drrx

dx

durx

drx

dx

=∂∂

+∂∂

∂

=∂∂

∂+

∂∂

2

22

2

2

2

φφ

φφ

( ) ( )rva

rav

rxuv

xau

2

2

222

2

2

222 2 =

∂∂

−+∂∂

∂+

∂∂

−φφφ

Ove tri jednadžbe imaju determinantu sustava:

2

222222222

10

01

20

0dx

avuvaudxdr

dxdr

avuvaudrdx

drdxD ⋅

−−

=−−

=

i determinantu nepoznate 2

2

r∂∂ φ (npr.):

rvauv2au

dvdx0dudrdx

D222

rr

−

= .

Vrijednost tražene parcijalne derivacije bit će:

DD

rrr=

∂∂

2

2φ

i tako isto za druge dvije parcijalne derivacije.

Zamislimo da smo taj račun radili duž prve familije karakteristika. Onda su dx i dr povezani

diferencijalnom jednadžbom karakteristika

22

22

auaVauv

dxdr

−−±

=

Determinanta sustavu duž prve ili druge familije karakteristika bit će:

6-8

2

2222

22

22

22

22

2

10

01

dx

avuvau

auaVauv

auaVauv

D ⋅

−−

−−±

−−±

=

( ) ( ) 222

2222

2

22

2222 2 dx

auaVauvuvau

auaVauvavD ⋅

−−±

⋅−−⋅

−−±

+−=

( ) ( ) ( ) ( ) 222

222

222222 2 dxau

aVauvuvaVauvauav⋅

−−±⋅−−±+−⋅−

=

Izračunajmo tri člana brojnika:

( ) ( )( )( ) 222222

4222222222

22

4222222222

222

2

aVauvvuaVauvuv

avauaaVauvvuaVauv

avauavuauav

−±=−±⋅

−++−±=−±

+−−=−⋅−

Zbroj prva dva člana umanjen za treći jednak je nuli. Znači determinanta sustava duž karakteristika

jednaka je nuli

0=D

Ako je determinanta sustava jednaka nuli, znači da determinante nepoznatih funkcija rrxrxx DDD ,,

duž karakteristika moraju biti također jednake nuli, u protivnom parcijalne derivacije

,, 2

22

2

2

rrxx ∂∂

∂∂∂

∂∂ φφφ bit će beskonačne, što je dakako apsurd.

Uzmimo npr.

2

222 2

10

1

dx

rvauvau

dxdvdxdu

dxdr

Dxr ⋅

−

=

duž karakteristika ona mora biti jednaka nuli, odakle slijedi da je:

6-9

0

2

10

1

222

22

22

=

−

−−±

rvauvau

dxdvdxdu

auaVauv

Poslije razvijanja determinante dobivamo:

( ) ( ) 02222222

222 =−⋅−−⋅−⋅

−−±

+dxdvuv

dxduau

dxdvau

auaVauv

rva ,

a poslije sređivanja:

( ) ( )rva

dxdvaVauv

dxduau 22222 =−+− m .

Pri tome gornji znak odgovara prvoj familiji karakteristika, a donji drugoj.

Objasnimo što nam to govore ove diferencijalne jednadžbe. Kroz jednu točku rx, u kojoj

su komponente brzine vu, i brzina zvuka a, prolaze dvije karakteristike čije su jednadžbe ( )xr1 i

( )xr2 . Kada se pomjerimo za dx duž prve karakteristike komponente brzine imaju priraštaje

11, dvdu , a duž druge karakteristike 22 , dvdu . Te veličine povezane su jednadžbama duž prve

familije karakteristika ( )xr1 :

( ) ( ) ,1

21

221

22

22

22

1

dxrvaduaudvaVauv

dxau

aVauvdr

=⋅−+⋅−−

−−+

=

a duž druge familije ( )xr2 karakteristika:

( ) ( ) .2

22

222

22

22

22

2

dxrvaduaudvaVauv

dxau

aVauvdr

=⋅−+⋅−+

−−−

=

6.2.3 Numerička integracija

Metoda karakteristika daje diferencijalne jednadžbe koje određuju 222111 ,,,,, dvdudrdvdudr ovisno

od dx. Međutim jednadžba ima četiri, a nepoznatih ima šest.

Poznate su komponente brzine u dvjema točka A i B, a da tražimo komponente brzine u

trećoj točki C koja je presjeku karakteristike ( )xr A2 i karakteristike ( )xr B1 kao na slici 6-4

6-10

( )xr A2

∞V

( )xr A1

( )xr B1

( )xr B2

B

AC

Slika 6-4

Pretpostavimo da su točke A i B dovoljno bliske da možemo diferencijale koordinata zamijeniti sa

razlikama. Duž karakteristike ( )xr A2 od točke A do C možemo primijeniti diferencijalnu jednadžbu

karakteristike druge familije i diferencijalnu jednadžbu promjene komponenta brzine duž te

karakteristike:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ACA

2ACA

22AcA

22

AC

A

22

22

A2C2

xxruauuauvvaVauv

xxau

aVauvrr

−

=−⋅−+−⋅−+

−⋅

−−−

=−

Isto tako duž prve karakteristike od točku B do točke C možemo primijeniti diferencijalnu

jednadžbu prve karakteristike i diferencijalnu jednadžbu promjene komponenata brzine duž nje:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )BCB

2BCB

22BCB

22

BC

B

22

22

B1C1

xxruauuauvvaVauv

xxau

aVauvrr

−

=−⋅−+−⋅−+

−⋅

−−−

=−

U ovim četiri jednadžba poznate su sve veličine u točkama A i B a nepoznate su veličine u točki C :

CCCC vurx ,,

6-11

Tako smo u mogućnosti odrediti točku C i komponente brzine u njoj.

Da bi odredili slijedeću točku iznad ili ispod točke C treba nam točka iznad točke A,

odnosno točka ispod točke B. Drugim riječima treba nam cijeli niz točaka u kome se nalaze točke A

i točka B. To je početni uvjet. Njega možemo odrediti npr. ako početni dio oživala, do udaljenosti r

od vrha, zamijenimo s tangentnim konusom te izračunamo brzine (koje su funkcije samo kuta ϑ )

do udaljenosti r i kut konusnog udarnog vala kao i brzine odmah iza udarnog vala, kao na slici 6-6.

∞V

A

B

C

E

Dr

F

Slika 6-5

U slučaju točke D na površini tijela koristi se jednadžba karakteristike BD i jednadžba

promjene komponenata brzine duž te karakteristike, zatim jednadžba površine tijela i jednadžba o

tangentnoj brzini na površinu tijela

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )BDB

2BDB

22BDB

22

BD

B

22

22

B2D2

xxruauuauvvaVauv

xxau

aVauvrr

−

=−⋅−+−⋅−+

−⋅

−−−

=−

( )DD xfr =

( )DDD xfuv ′=

6-12

Konačno treba odrediti točku E na udarnom valu. Ona se određuje prije svega kao točka na

karakteristici AE pa je i promjena brzine od točke A do točke E u skladu s diferencijalnom

jednadžbom o promjeni komponenata brzine duž karakteristike AE :

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )AEA

2AEA

22AEA

22

AE

A

22

22

A2E2

xxruauuauvvaVauv

xxau

aVauvrr

−

=−⋅−+−⋅−+

−⋅

−−−

=−

Druge dvije jednadžbe trebaju se bazirati na činjenici da je točka E na udarnom valu te da

komponente brzine u točki E moraju isto zadovoljavati uvjete na udarnom valu koje smo izveli u

slučaju konusnog udarnog vala, ali u točki E lokalni nagib udarnog vala Eϑ nije jednak kutu Sϑ

zato što je udarni val zakrivljen.

−

++−

=⋅

=

∞∞∞

∞

1aV

11VV

VV2

E22

EE

EEr

γϑ

γγϑ

ϑ

ϑ sinsin

cos

∞V E

Ev

Eu

EϑEV ϑcos∞

EV ϑsin∞

EVϑ

ErV

Slika 6-6

Konstantu na desnoj strani drugog uvjeta možemo staviti i u oblik:

E222

cr

E222

E22

2

22

2

E22

V11a

V11V

11

V

V1

aV11

1aV

11

ϑγγ

ϑγγ

γγ

ϑγγ

γγ

ϑγγ

cos

cos

cossin

max

max

∞

∞

∞∞

∞∞

∞

+−

−=

+−

−+−

=

−−

++−

=

−

++−

43421

U ovom problemu radimo s cilindričnim a ne polarnim koordinatama pa zato treba polarne

komponente brzine ϑVVr , zamijeniti s cilindričnim komponentama vu, . Sa slike vidimo da su veze

6-13

⋅

−

=

− E

E

EE

EE

S

sr

vu

VV

ϑϑϑϑ

ϑ cossinsincos

ili

EEEEE

EEEEsr

vuV

vuV

ϑϑ

ϑϑ

ϑ cossin

sincos

−=

+=

Zamjenom u gornje uvjete na udarnom valu dobivamo:

( ) E222

crEEEEE

EEEEE

V11aVvu

Vvu

ϑγγϑϑϑ

ϑϑϑ

cossincossin

cossincos

∞∞

∞

+−

−=⋅−

=+

Iz prve jednadžbe slijedi da je

E

EE v

uV −= ∞ϑtan .

Drugu jednadžbu prvo podijelimo sa E2 ϑcos :

( ) 2

E2

2cr

EEEE V11aVvu ∞∞ +

−−=⋅−γγ

ϑϑϑ

costantan

a zatim zamijenimo Eϑtan dobiveno iz prve jednadžbe

( ) 22E

2E2

crE

EE

E

EE V

11

vuV1a

vuVVv

vuVu ∞

∞∞∞

∞

+−

−

−+=

−⋅

−

−γγ

Poslije sređivanja dobivamo:

( )

∞∞

∞∞

−+

−

−−=

VaV

12u

uVa

uVv 2cr

E

E

2cr

2E

2E

γ

Taj kut nam omogućuje da zamijenimo jednadžbu udarnog vala s tangentom pa je :

( )FEEFE xxrr −=− ϑtan .

Tako imamo ukupno 5 jednadžba za isto toliko nepoznatih: EEEEE vurx ϑi,,, .

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )AEA

2AEA

22AEA

22

AE

A

22

22

A2E2

xxruauuauvvaVauv

xxau

aVauvrr

−

=−⋅−+−⋅−+

−⋅

−−−

=−

( )FEEFE xxrr −=− ϑtan

E

EE v

uV −= ∞ϑtan

6-14

( )

∞∞

∞∞

−+

−

−−=

VaV

12u

uVa

uVv 2cr

E

E

2cr

2E

2E

γ