16

6 Planar Graphs

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 6 Planar Graphs

� ������ ����

������� ��� ��� � ���� � ����� � ��� ���� � � ��� � ����� � �� ��� � �����

��� ��� �� �� ��� ����� ��� ��� ��������� �� ���� �� �� � ���� � � ����� � �

����� �� � � � � �� ������ � �� � �� �� ���� ����� ����� �� � � � � ���� ���� � �

�������� ��� �� ���� �� ��� � � ��� � ��� ��� ��� ���� ��� ���� � ���� �

� ����� � �� ����� �� � � � � ������ ���� �� �� � ��� ��� ! ���� � ��� � �� �

�� ������ �� �� ��� �� �� ����� � �� ��� �� �� ���� �� �� ������ " ���� �� ��

� � ����� ����� ��� � ����� � ��� ���� �� �� �� �� � ��� ����� ��� � ���� �

����� � ��� ���� � � ��� � ��� ���� ��� �� ��� ��� ��� � ��� ��� � ������

�� �� �� ��� ������ �� ������� ���� ��� �������� � ��� ���� ����� ���� ���

�� � ���� � � ������ ��� ���� #�� $���� � ����� � ��� %�� �� �� � ���� � �

������ ��� ��� ���� � ��� �� �� ��� �� ��� ���� ���� �� ��� �� �������� �

�� �� ����� ������ &'� ()� #�� ��� ��� �� ���� � ����� �� �� ����� �� ������ ���

���� ����� �� "���������

� �� � ����� �� �� � ��� ��� �� �� � � �� ���� � � ������� ��� ��*� ��

���� � �� ��� � ���� �� � ����� ! ��� � �������� %�� �� �� ����� ������ ����� ����

� ���� � � �� �� � ���� � � ��� ���� ���� �� ���� � �� ���� �� ��� �� �� �

� �� � ��� � �� �� ��� ��� ��� �� �� ��� ���� ���� ���� ��� �� ���� �� �� �

��� ����

������� ��� ���������� �������

� ����� �� ���� �� �� � �� �� � ���� ��������� � � �� ��������� �

����

� ���� �� �� � ����� � � +�� �� ,�-�

��� ����� ��� ���

��������� �� � ��� ��� � ��� ���� � �� ������� ������ .� � � � ��� ����� ���

���� ���� ��� �� � �� �� �� � �/� �� ������� ��� �� ���� �� �� �� ����� ���� �� ��

� �������� �� �� � ��� � �� � � �� �� �� � ��� � �� ������ �� � �� �� �� ���

� �� ��� �� �� � � 0��� ��� ���� ��� � ��� �� �� � �1� �� �� �� � ��� �� ��

�� �1� � ���� � �������� ���� �� � � �� �� � ���� ���� �� �� � � �� �����

���� ���� �� �� �� ��� ��� ��� �� � �� �������� �� � � 2 ���� �� � ��� �� ��

�� ���� �� � ��� ���� �� � ��� �� � ��� � � � ��� � �� ����� �� �� ���� �� �

��� ����� ���� ��

Page 2: 6 Planar Graphs

������ ��

��� ����� � �� ��� � ���� �� ��� � � ������ ��� ������� ����� �� �� �� ��� ������

�� ���� ���� � �� ����� ���� ��� ������ ����� ��� ��� �� ���� ��� ��� �� ���� �

�� � � ���� � �� � �� � ��� � � ��� ��� ��� � � � ����� �� �� ������� ����

���� ������ ���� ���� � ��� �� ������ �� �� � � ���� � � �� �!� " �� ����� �

�� � ��� ���� ��� �� ������ �� �� ������ � � �� �� �� ������ ��

��� ������� �� �� ����� � ���� ����� ����� ���� #��� � �� ��� �� ����� �

���� �� ����$ ��� ���#���� �� ����� � �� � �� � ���� �� �� �� ������ ��

� �� ���� ����� �� % �� � �� �� �� �� ���� � �� � � ����� ������ ������ �

�� �� ������ ��� �� ������ � ��� " &�� � ���� �� � �� ��#� ���� � �� ���� ��

� '����� �� �� ���� ��������

����� � � ���� ������ ����� �� �� ������� � ��##� ��� ���� ������� � ���� ������

"� �� ��� �� �� ������ �� ����� ���� � � � �!� �� ������� �� ����� ���� �� �� �����

� ����� ������ � ��� �� � � ��� � �� � ���� � ����� � ����� ��� ��� ����

�� �� ����� � � ��� � �� �� � �� � ���� �� �� � � � ����� � � �� ��� (�##�

��)��!� �� �������� ����� � �� �� ������� ����� ����� ������� �� � �� ��

������ � ������ ���$

������� ���

��� � �� � ����� ���� ���

��� ���

�� � ! * ��� �!��

��� �� ���#���� � ���� ��� �� ������ �� �� �����# ������ " ������� �� ��

� �� ��� � �� ������� �� � ���� � ����� � �� �� ������� ���� �� �� �����

������� ��� ���� ����� �� ������� ��� ����� ����

������# ����� � ���� ������ ��+�� � � � ,����-� ���#��� �� �� ������� �

��##� ��� ���� � �.�� ���� �� ����� ������ � � � �� ���� �� ����� ��������

,����-� ���#��� ������ �� �!�� �� �!� �� �� �!� �� �������$

Page 3: 6 Planar Graphs

������� ��� �������� �����

��� � �� � �������� ���� � ��� ����

�� ���� � ������ � �� ���� � ��

��� ��� �� ��� ����� �� ��� � � ���� ������ �� ��� ������ �� ����� ��� �� �������

� � ��� �� � ���� ���� ������ � �� ���� � �� ��� �� ����� ��� � � ���� �� ��������

�� ������ � �� ���� � �� �� � � ����� ��� �� ����� ���

�� ��� ��� � ����� ��� � �� ��� ��� � ��

��� ����� � �� �� � ��� �� ��� ������ � � �� � �� � ����� �� �� ��� �� � �� �� � �����

������� �� � �� ������ ��� ��� ����� ��� � ������ � � ��� �� ��� ��� � �� ���� � �

! ������� ��

�� ���� � ������� � �� � ��� ���� � �� � �

��� ��� ��"�� #���$� %����� & � �

'� �� �(���� �� �� ����� ���� � ��� ���� )���� �� �������� �� ��� �� ���� �� ����

������ * ���� �� �� ������ �+����� ���� ���� �� ����� ��� ����� ��"� ����� � ����

�� � � ��, ,� �, -� �- ,� �. ,� �, .�� %� �(����� �� � ��� ��� �� � � �- -� �� ��

������� /� ������ & � �� �� ��"� -�� ���� � ������� /� �� �������)��� ������

-�� ���� � ������� /� #���$� %����� & � �� �� ���� � ������ � �� ���� � � /� ��

��� ���� ���� �� 0��� �� ��� �� � ��� ���� ��� * �� ��� �� �� -+����� ���� ��� �� �

��� ����� �� ����� ��� ��� �� ���� ������ �� ����� �����

'�� �� ������ ����� ��� �� � ��"� � ��1���� ����� ��� �� ���+����� �� � �� ���

���� � ��� �� ��� �� �"�� ������� ����

������� ����

��� � �� � ���� � �� ���������� � ������ ���� ������ � �

������ �������� ��� � � �� ���

������ �� � ��� ���� ����� �� �� �� � ������ � �� ��� ���� � �� �� ������ � ,�� �����&�

�� ��� ��� � � �� ������� ����

���� 2���� �"�� ���� ��� ����� � ���� �� ����� & � � ��"�� ��� ���� � �������

3� ��� ��� �� #���$� %����� & � �� �� ��

�� ���� � ������ ��

������� � �

������ �������� ��"�� �� ������ ����� �� ������ ��� ��� ���� �� �� ������

�� ��(���0�� ���� � � ,� �� ����� ���� �� �� ������ � ,�� ���� � & �� ��� ����

���� � /� �� �������)��� ������ �� ��� "� ���� �� � ��� ����� � ���� ��(� ���

������ � ,�� ����� � ��� ���� ��� � ��� �� 4�� �"�� 2� �"�� ���� ��� ��� �

In the next theorem, a graph is d-degenerate if it has no subgraph of minimumdegree at least d.

Page 4: 6 Planar Graphs

������ �� ����� � ���� ��� ����� ����� ������ �� � �� ��� ����� ���� ���� ���

����� ������ �� � �� ������ �� ����� � ���� ��� �� � �� �����������

�� ������� ���� � �� ��� �������� ��!�"� � �

���!�� !�"� � #" ��$� �� ����� %�

��������� �� �� ��� ���� ����� ��!��"� & �' �� � & � �� ���� �� ��� ���� �����

��!����"� & ( �� � & )� %� ��� �� ��� ����� ���� ������� �� �� ����������� �� ���

�� �� �������� �� ����������� �� �� �� ���� �� ��� ����� �� *����+�,�$� �������

��'�� ����� ��� ����� �� ��� �+� ������ ��� ��� ��� ���� ����- ������ �� �������

����������� �� ��� �� ����������� �� ����� .� +��� ����� ���� �� ������� �� �

��� ������� �� � �� ���

/����$� 0����� ����# ��� �� �� ������ �� ��������������� �� ���� ����� 1���� ���

��� �� ���������� �� ����� ������ �� � !�������� � ������" �� ������� �����

� ���� �� 2���� �� ���������� ��� �� !� 3 �"����������� �� 4���������� ��#�#� ��

������� ���� � ����� ���� ��� �� ����������� �� ���� ���� ��� ����� ���� ���

�� ������������ 5��� �� ������ ������- ������� +� ��� ���� ��� � �� ����

� ���� ���� ���� ��!�"� � �

�!�� !�"� � #" �� ������� ���� � �� ����� ������ �� �

���� ��� ������ �� ����� � ���� �+�� �� ��� �����,�� ����� ��������� � ��

#���������� +���� ���� ��� � �� �����������

%� ���� ����� ���� ��� �� ������������ .� ����� ���� �������� ����� ��� ���� �� ��

���� ���� �� *����+�,�$� ������� ��'���

������� ���

����� ����� ���� � �������������

������� 4������ �� ��������� �� �� !�"�� %� �� !�"� � �� ���� ��� ������� �� ����- 6���

���� �� �������� ��7����� �������� 8�+ ������� �� !�"� � �� %� � �� ������ � ��

����� � ���� ����� ���� � � � �� ����������� �� ���������� �� +� �� ������ ����

�������� �� � �� ������ �� � ������ +���� ���� ��� ���� �� �� �� ��� ����������

����� ����� +��� �� ������� ��� � ���� ���� ��������� �� �� �� ��+ +� ����� � ��

�� ������ �� ����� � ���� ����� ����� � �� ����������� �� ������� ���� � � ��

������ � �� ����� ��� %� �� ��������� �� � �� �6���� �� ��� ������ ���� ���� ����

��� ��� �� �� ��� ����� �� ��� �� ������������� ��������� +� �� ���, ���������

�� �� � +���� �� ��� �6����� 8�+ �������� ��� ��� � & ��� �� 9 ��� ���

+� ������� �� � �� ����� ������ �� �� ���������� � �� ������������ 0�� ���

� � � !�"�� ��� ���� �� � ��� ������ �� �������� �� �� 2���� �� ��� ������

��� � �������� �� � 9 +� �� �� ��� ����� �� �� ��� �6����� 0������ +�$�� ����

���� ������� �� ��� ��������� �� �� ����� �� �� ��� ��� ������� �� ����� �� ���

������ +���� �� �� ������ �� �� ���� ������ ��� � �� ������������

Page 5: 6 Planar Graphs

������� ��� �� ���� ����� � ��� � ����� ����� � ��� ������ ������ �����

�� ����� ��� ����� ���� !" ����� ������ ����� � ����������# $������������ ����� �

� ��� ��%� %� �� � �� ������ ��� ����# &�� ������� ��� � ��������� ��� ��

� '������ ��� (���� �����!#

������� ��� ��������� �����

����� ����� ���� � �������������

��� ����� ����� ������

)� ������� ���� �� ���� ����� ��� ��� ����� ����� ��� �� � � ��� ������ ����� �*

���� ��� ������� � ��� ����� ��� ������ % �� � +����� ����� ���# ,� ����� %� ��� �

�� ��� ����� ����� �� � � � ��� ���� ����� ����� �� � � �� �� ��� �� � �

(��������� � ��-��� �# ,� ���� ������ %� ��� ��� ��� ���� � � ����� ����� �� ���

�.� �� ����"

����� � �� ����� ����� ���� �� � ���� ������� �� �� � ���� � � ��� ����� ����

�� ��� ���� ������� �� �� ������������ �� ����� ��� �� �� � � ������ ���� ���

�� �� � ��� ���� ����� ��� �� ��� �� ������� � �� � � ������ ����

����#� /�� � ����� � ������ � � ����� �� ������ � ���� ��� �������� � ������� �

� �� ��� � � �# &��� %��� ��� ����� ����� �� �� � � ����� ��� ������# 0������

��� ��� ��� ����� � � %� �� ��� � � �� ��� �! � ��� � �� ��� �� �! � � %� �� � ��

�� ��� � � ���� 1 �� 1 ��! � ��� ����� ��.��� �� ��� � �� ������ ��� � � � ��� ��� �!

��� ��� ���2 �# 3�� ���� � � � � -��� � ���%��� �� ��� ��� � %���� � 4 �5� 5� �!

������ ��� ���� ��� � �# /�� �� ��� ��� � �� ����� � # 6��� �� .2��� �����

��� ������ ��� � �� ���� � ���� �� ��� ���� ��� � �# 3% ����� ��� � ���

�� ����� �� � �� ����� ����!� % �� ��� ������� ���� ��� ���� � ����! � ���

�.� �� ����# &�� ����� �������� � ��� ����� � ���� �� �� �2���� ��#

������ �� ������� ���� ����������

Page 6: 6 Planar Graphs

������� ��� �� ������ �������� �� � �� � ��� � ���� ��� ����� �� �������� �����

���� ��� �� ���� �� ��� � ���� ������

������� ��� ������� ����

����� ���� ���� ��� ��� � ��� �������� �� ����� � �� �� ��� ����� �� ���

�� ������

������ �� ����� ������ ����� � ���� ����� �� � ����������� !� �� ������ ��

�������� � �� "�#�� ��� ����� � �������� �� � � ���� ����� �� $� �� "�#� � �� ����

��� ���� � �� ������ %����� � �� � � ���� ����� ���� �� "�#� � �� &� �� �����

���� � �� �'�� � ���� ( � � ) � �� �� � ���� ����� �� ��� ���� �� ���� �� ��

�� � � ��� �������� � �� � ����� � �� ���� ������ ������ �������� �� �� � ��� �

������ ���� �� �� ����� !� �� � �� � �����' � ������ �� �� *�� �� ��� ����

�� � � ��� � � ��� ��������� �� �� �� ���� ���� � ��� ����� ��� �������� ����� +��

��� ��� � � � � �� �� ��� ��������� � �� ����� � �� ���� ����� �� � ��� � � � ����

���� � "# , ���� ��� � � � � ��� ( ����� ����� ���� � �� �� � ������ ������ ����� ���� � �

��������� �� ��������� � � � ��� ������� �� � ������ �� ���� ���� ���� �� ���

������� � � ���� � �� �� �������� ������ �� ��� �-� ��� ������� � � *����

���� � �� !� � ��� � �� ��� ������� � � ���� � ���� � �������� � ( ���� ��� �� ���

���� � �������� ��� ������ �� � � ���� �����' ��� ��� � � � � ��� ���� �� �� �������� �

� �� ����� � ����� ��� �������� ��� ��������

.�������� ��������� � ��� ������� � � � ���� ������ �� ���� ���� ���� ����� ����

�� ������ � � ��� ��������� ���� ��/����� ���� ������� "0����� ��#� 0��������� ��

���1� ������ ���� ��� ����� ��� ����'� ���� �� 2 �������� � ���� ������� �� �'�� �

���� ��� � �������� �� ����� � ����� ��� ����'� 3������ ����� ����� ���� �����

� �������� � ���� ����� ��� �� ����� ���� ����' ����� ��� �������� ��� ������ ���

&������1� ����� ������ ���� ��� �������� �� ���4���

������� ��� ����������� ����

����� ����������� ���� ��� ��� � ������ �������� �� ��� ��� �� ����� ����� ����

�� � ������ �� �� ��� ����� �� � �� � ����� �� ��� �� �����

5 ������ ������� ������������� �� � ��� ��� ��� ����� � � ��� � ����� �� � ���� ��

� � ��� �������� � �� ��� ��� ��� ��� ����� ���� ������ ������ ����� � ���� ����

������� ����� � ����� �4�� ����� �� ���� � ��� ��� � �������� ����� ����� ����

��� � ��� �������� �� �4�� ����� �� � ����' �������� ��� ��������� &� � �� ����

���� � ����� ����� �����

Page 7: 6 Planar Graphs

��� ������

��� � �� � ����� ���� �� ��� �� ����� ��� ���� ���� ������� �� ������ � �����

�� �� ��� ������ �� ���� ���� � � � ��� �� ����� � �� �� ���� �� �������� ���

�� ���� �� � �� ��� ���� �� �� � ���� � � � ���� ���� �� �� �� ���� � ���� �� ��

������ ����� ��� �� �� ��� �� ���� � � � � ���� �� ��� ���� �� �� ������� �����

�� � � � ���� ���� �� �� �� �� �� � � �� �� ����� ������ �� ��� �� �� ���� �� ��

��� ����� �� ��!���������� ��� �� �� "��!���� �� ���� �� ����� �� #��� �$�

������ �� ���� �

��� �� !��� ���� �� ������ �� ����� ����� ��� �� ������ �� !������ ��� ���!���

�� �������� �� !�� ������� �����! �� �� ����� ��� ����� �� � ����� ��� �� ���� �

��� ���� ������� ��� ����� ���� �� � �� ���� ���� �%���� ������� &�� �� ����

��� ��� �� � ����� ���� �� ��� ���� ��� !�� ������� �����! �� � ����� ��� ��

�'�������� �� ��� ����� ������� �����! �� ��� ���� ������ ���� �� ���� �� �!��� ���

����� �� ��� ���� (� ��� )*����� �����!� ���� !���� ���� ��� ����� �� ��� !�� ���

�� ������ �� ��� ������ �� ���� � ��� ���� � ������ ����� ���� �%���� ������� +�

����� ���� !�� �� ���� �� �� ���� �� ���� ��� )*����� �����! �� ����� ����� �� ��

��,����� �� ����� � !���!�� ����� ���� �� �� ����� ���� ������������ �� �� � ���

� � �� �� � ���*����� ����� +� � !���!�� ����� ���� ��� ����� �� ���� � ��

������� ���������� �� ������� ��� ��� �� � !���!�� ����� ��� �� � ����� ���� +�

��� ���� �� ����-� ���� ���� !���!�� ����� ���� ������ � ������� �� .*�������� � ��

���� ��� ��� �� ������� ���� .*�������� � �� �� ��� ������� �� ��� )*����� �����!

�� �� �� �� ���� ���� ���� ����� ��� �� .*� �*���������� �� ���� ���� �� �'�������� ��

��� )*����� �����!�

������� ��� ����� ����� ���� � ������������ �� �� ��� �� ����� ����� �����

��������� ���� �� ������������� ����� ������

������ ��� � �� � ����� ��� �� ��� �� �� � ����� �!�� �� �� �� ��� �� ��

�������� �� � !���!�� ����� ��� ��� +� ���� ����� ��� �� )*���������� ���� �� ��

Page 8: 6 Planar Graphs

���������� �� �� ���� ���� �� ��� ��

� � �������������� ��� �� �� � �� �� � ��

�������� �� �� �� ��

� � � � �� �� ��� �� �� ��

� � �� �� ������� �� ������ ���

����� ��� ��� �� ��������� � �� ���� ��� �� ��

��� �� ������� �� ���� �� ������

� ��� �� �� ������ � ��� �� ��� �� ��������� � �� ���� ��� �� ��

��� �� �������

�� ���� �� ������� � ��� �� �� ������� � ��� �� ��� ��� �� ��������� � �� ��� ��� � ��

��� �� �� � ���!� ���� �� � � � ����� ����������� �� �� ��� �� �"� ���

#$� ����� ��� ��

��� � �� $��� ���� �� �� ������ %� ��� �� � ������ ����� � �����

��������� ��� ��

���� � ����� ����������� ��� � �� ������� �� � ��� �� &��� � �� ���

���� ��

�' �� ��� ��� ��� �� � �� ����� ����� �� ���� �� �� �� ��� �� ������

�� &�� �� '�� ��� � � ���� ����� ��� �� '�� ��� � � ���� ������ (����� ��

���� �� �� � �� ������� � ��� �� ��� ������ �� ���� �� �� � �� ������� �) ��� �)� &�

�� � ������ �� �� �� ���� �� ��

�� ��� ��� � ������ �� �� ������ � ��� � � �� ������

*�� � �+ � � � ����� �� � � �� �� �� ������ � � �� ��� � �� �� �� ������ �� � ��� &��

�� ���� �� ������� � ��� � ����� ��� �� ���!� ���� �� � � ����� ������ �� �� ��

���� �� ��

��

&� � ���,����� ���� ��� ��������� �� � ������ ������ �� ��� ���� �� - �� ����� �

� ����� �� ���� - �� �� � � ����� �� � ����������� �� &��� �� �. ��� �� ������

%� &� �)� ���,���� ��� � ���� ��� � ����� ������ �� ��� ���� �� ���� �� ���

��� ��� �� ��� � �� ����� �� � �� ��� �� �� � ����� �������� �� �� ��� �� �

��������� ������

��� ������� �� ������

%� �� � ��� ��� �)�� � � � ����� �� /�������! )� &���� .�0��� 1��� �� �� ��� �

�$� ��������2 � ������� � ��� ����� ���� �� �� �� �� �� �� �� ��� �������� � �,� ��

����� ��� ��� �� ���� 3���� ���� � ���! �� � ����� � � ��� ��� ���������

������� �� �� �� � � �� �� �� &� ���� /�������! )� &���� .�0��� � �� ��

������ �� �������� � �� ����� ��� ������ � �� �� ����������2

����������� �� ��� � �� � �������� ��� ��������� �� ����� � � �� �����

����� �� � �� � ����� �� � �� � �� � ���� �� ������ �� ��� �� � ��� �� ����� �� ������

���� �� 4� � ���! �� �� %� �' �� ��� ��� �� ���������� � ��� �

&���� ������ %� � ��� � ����� ��� � ��� $�� � ���� � � ��� �� �� � �

�������� � �,� �� ���� � ���� ���� � � � � � �������� � ������� �� ��� �� ��� ���!

� � ����� 5 ���� �� ����� ������� � ����� �� �� �� ���� �� ���!� � �� %�

� ���� � � ��� ���� �� ���!� � �� ��� � � � ���� �� �� ������ � ��� �� ���� ���

���!�� ��� �� � ������� �� �� &�� � ' �� � �� ��� �� ��� �� ���� ����

�� ���� � 1� ����� ��� �� ��� �� �� ��� �� ����� ��� ��� ��� ,� � �� �� ���

�� �� � � �� ���� � ���� � � �� �� ����� ��� ���

Page 9: 6 Planar Graphs

������ �� ��� �� � ��� ��� ���

�� ��� ������ � ���������� � �� ��� ���� �� �� ��� ���� ��� �������� ���� ��� �

���� � ������ ������� � ������� � � ���� ��� ���� �� ���� �� ������ � �����

����������� �� � ��� ���� ������ �� ������� � � ���� �� � ���� � � ��������� ��

��� �� �������� � �� �� ������� �!�"� ����� ������ � ��� ������ � ��� ���

�� ��� ��� ������� � ������ �� #���� "$� ���� �� ������ ������ ��������� � %���

��� � ������ �� ��� �������& �� � �� � � ��� �� � ����� ���� �� ���� ���'�( ������

��� ��� � ������� � � ������ �� ��� ���'�( ������ ��� ��� � ������� � � ������ ��

������� )� ����� ��� ���� �� � ���� ������� � ���������� � �� ����� ���� �� ��

�� ������ *� �� ��� ���� �� � �� �� ������ ���� � ������� � ���������� � ��

����� +�� � �� � ������� ��,����� ���� ����� ������� � ���������� � �� �����

-��� ����� ���� ��� ��� ������� � � �� ������ )� �� ������ � �� ���������

��� �� ������ �� '�(� � � ���� �� � ����� � �������� ��� ������

��� " �'�( � .�

/������ � � ����������� ���� � � � '�( ��� ����� ���� ���� ����� 0����� �� ����

�� �� � '�(� -��� ���� �� �� ������ � ��������� � �� ��� ����� � ��� ����� ��

��� ��� �� ����� ����� ���� � �� ������ -����� �'�( � .�

��� 1 ��� � � '�(� �'�( 2 ����� �� ������ �� ����� �� ����� � ���������� �� ��

/����� � � ����� �� �� � �,����� *� ��� ��� � ����� ���������� �� � ���������

� �� *� � � � �� �� ������ ��� ����� ��� ���� �������� ������ / � �������

�.�"� �� ��� ������ � � ���'�( ��� ���'�( �� ��,���� � � ��� � ��� � � � � � ���

3 ��������� � �� �����'�( ��� � ����� ���������� �� '��� #���� 14(� 3 �������

�.�"� �� ��� ����� � �� � ��� ����� � ��� ��%���� ���� �� ��� *� ������ ���

����� ����� � � ���'�( '����� �� #���� 14( ��� �� � ��� � ����� ��������� � ��

Page 10: 6 Planar Graphs

������ �� �� � ������� � �� ��

���� � ��� � � ��� ��� ��� �� ��� ��� ������ �� ������ ����

����� ��� � � �� ���� � ��� ��� �� �������� �������� ��� �� ��� ��� ��� ������ � ���

� ���� � ��� � ��� ���� �������� �� ���� ��������� �� �� �� � ��� � ���� ������ �������

������ � � ! ��� � ���� ��� ����� ��� �� ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� � ��� � "����� ��

�� #� ���� $ ���� � ����� � � ��� �� �� � ��� �� ����� ��� �� ��� �������%����� ��

����� ������ �� ����� �� �� � �� � �%���� �� ��� �� �� �� #%� � ��� � ���� ������ �������

����� �� ����� ��� �� �� ��� ��� �������� �� � � ��� �� �� � ��� � ��� �� ��� ���

�������� � ������������� �� �� ��� � & ���� ���%�� $��

������ �� �������� �� ������ � � � ���

'�� �� �� ����� ��� ������ #� ���� $ ��� ����������� &�(�� ����� ����) �� ���� � ��

�� �� �� � ����� ��� ��� � � ���� #� ���� � ��� ��� �� ��� ��� ������ �� ������

��� �� �� � �������) �� ��� �� � ����� �� *�� ��� �� � ��� ����� ������� � ��� � ��

� �%������� �� ���� +��� � ��� � ���� ������ ��� �� ��� �� ���� ��� ���� �������� ��

�� �������� �� �� +�������� ��� �%������ �� � ���%��� �� � �� � � �������� � "������

#� ���� $ ���� ���� �� ���� �� ��� �� ������"�������� ��� �� #� ���� � ���� ����

��� ! � � ��� �� ��� �� � � �� � �� �� ��� ! �� '�� ����� �� ��� � & ����� ��

Page 11: 6 Planar Graphs

� ���� � � � � ��� ���� �� �� �� � ��� �� ��� ���� ��� �� ���� �� � ������� ��

� �� � � � ������� � �� ����� �� ��� ��� �� ����� � ������ ��� �� ���� � � � ��� ��

���� ��� � � �� ���� ���� ��� �� ���� ���� �� ���� � !� ��� �� ���� � �� ��� �� �

�� � � �� ���� ���� ��� �� ���� ���� �� ���� � "� ������������ #��� �� ��� ����$���

��� ������

������ �� � � �� � � �

��� ������ ��� ����

%� ��� ������� �� ���� ������ ���� �� �����$ ������ ������� ����� � &�����

���� ���� ���' ����� �� �����$ ����$� �� �� ��$$ ��(�� ��������� �� �$��������

����� '����� �� ���� ���� ��������� ��� �� ���� �� ���� ����� � ����$� �� ���

������ �� $��' �� ��$$ �$$ �� ��������$�) ���� ��� �$��� ������ ����� ����� �� � �����

���� � (���� ������ �� ����$� ��� ����� ��������� ��� �*���$�� ��� ���� ����� ��

�������� ��� ����$� �� ��� ������ ��� ��� ����$� ���� ����� �� �������� ��� ����$�

�� ��� ������ ��� ������ �� ����$� �������� �� � � ��$$�� ��� ��� �� �� ��� �������

���� ��� +�$�� ������������� �� � � ����� ��(��� �� �� ����� ��� �*���$�� ��� +�$��

������������� �� ��� ����� � ���� ������ ��� ��$�� ������������� �� ��� ���� � ,����

-�� � �� � ����� .� �������� �� � �� � � � ��� � ) � ��� � � �� ����� ���� �

��������� ����� �� � ����� �� � �� ���� �������� � � �� ����� ��� �*���$�� ��

�������� �� �� �� ��� ���� � ���� ��$��� %� � ���������� �� ��$$ � ���� �������$ ��

�� ��� �� �������� �� ��� ���� ������� ����� �

������ �� � ������� ��������� �� ���

Page 12: 6 Planar Graphs

��� �������� ��� �� � ������� ������ �� ��� � ��� ����� �������� ��� ������ �

��� ��� ��� � � ����� ����� � �� �������� �� ��� ������ ��������� �� �� ������

��� ����� ��� ��� ��� � �� ������ ������ ����� ��� �� ������ ������ ��� �� � � ��

������ � � ��� � ����� ���� ����� � � ������� ����� �� ��� ��� �

��� ���� � ����� �� ������ ��� � � ��� ������� � ���� ����� � ��� ���� �

����� ������ �� ��� �� � ����� ���� �� ! ���� " #� ��� $���� ���������� ���

� � ��� " � � ���� �� � �� ��� �� ���� ��� �������� ������ � ��� $����%

&�����'� ����� � �� ����� $����( ������ )�#�� � ����� � ��� �� �� ���� ���

������ ��� �� ��� ��������� � ����� � � ����� ���������� ��� � ���� ���

������ �� ��� �������

������� ���� ���������� ��� ����� �

��� � �� � ���� � � ��� ������������� � �������� ��� � �������� �� � � ����� � �

������������� �� ���

�� ���� � ������ � �� ���� � ��

��� ����� �� ���� ������ ��� � �������� � ��������� �� �� �������� �� �� ����������

������ �� ����� ���� �� ���� � ������ � �� ���� � ���� � ���� � � ����� ���� �� ���

���� �� ��������� �� �� ��� �������� �� � ��� � ����� � ���� ���� � ��� � ��

��� �� ���� � �� �� � ��� ��� ��� � �� � ���� � � �� ��� ��������� ���� ���!�� "��

������� � ��� �� ������� ���� ��� �� ���� � � ���� ���� ���� ��� � �� � ���� ��

���� �� ��� ��� � �� ���� � � ��� ����� ��� ��������� ���� ���!�� ������� �� ���� �� �

���� � � ���� � ��� ���� ��� ��� ���� ���� �� ��� ������ �� �� ���� ��� ����#��

���� �� �� � ��� � �� ���� � � �� ��� ��������� ���� ���!�� ��� ������� ��� ���� �� ���

������� ��� ������ �� ������ ��� $����%&�����'� ������ (�(�� ����� &������'� ���� �

����������� ��������)����� �� �� ����� ����� ��� �������� � ��������� ��� #��� ����� ��

��� $����%&������'� ������ (�(�� ��� ������� � ��� ����� � *��������

� ������� �����+����� �� ��� $����%&������'� ������ (�(�� �� ���� ������ � ,�� �����,�

�������� � �� � ����� ����� ��� � ������� �� � ������� �� �������������� � �������

���������� ���� ����� ��� �-���� ���� � ������ � ������� �� ��� ����� �������

��������� ����� ������ ���

�� ./ ������� ,�� ���� � ,� � .0� ������� �����+����� ��

���� ��� ���������� �� � ����� � ������ �� � ������� ��������� �����#��

��� � �( �(�

�� ������

1� �� ��� �-���� ��� ������ ���� ������ ������ ���� (%��������� �� ������ �����

���������

Page 13: 6 Planar Graphs

������� ���� ��������� ��� �������� ��������

��� ������� ��� �� �� � ����� �� ����� ���� �������� � � ������� �� ���������

�� � � � � � ���

���� � ����� �

�� ����

����������� � � � � ����� ������������ ����� ����� �� � ������� �� ����������

� �� ��� ��� � � ������

����� � ��� �� ����� ��� ����� ����� ���� � ������

�� ����� ��� � �� ��������

�� � ������� � �� ��������� �� � � � ����� ����� � �� !� ��" ������ ���� � � � � � ��#

�$������� � ���� �� �% ����� � � ����� &" '����� � �� (���� ��� �" )��� ��#�� � �

�����* �� ���## �� ���� � ��##��� ���� ���� � � � �� +�������� ������ � ������ ����% �"

��� �������, � #����� -� ��� ����� ���� ������ � .�� �����.�% �" ��� /�#��$'� ����0�

�����#� 1�1��� +��������

� � �

��� ���� � .�� ���� � .�

�� �� � ��� ���� ��

�� � ���� ����� 1� � �

2 ��� �� ������� � � �% � � � ��##��� ���� ��� ���� ���� �� ��� �� �������� �� ���

������ 3�� �� ���� � � � ��� ���� � � � �% ��

�� � �� � 1� � �

+� � ��� �� � ��� ��% ��� �� �#���#" ���� ��,� ��� ��� � �� �4���� ����� +� �

������ ��� ����� ����� �� �����

� +�� ������ ���� �� ��� ����� � �� ���� � � ��� 5� � �� �� ���� �� ���� � � � �% ���

� � �� �*���� �� �� ����� ���� � �� ���� � � � �% ���� � ���� ��� �� � ����� �� � �)� ��

���� ���� �� ����� � �� �## �� �� ������� ��� ����� �� �� ��� ����� 5� ���� ��#��%

������ � �����

�� (� +� � � ������ ���� .��� ���� � ��% ������� �� � ��� /�#��$'� ����0�

�����#� 1�1��� +�������� �� ���� � � � .� 3�� ���� � � � � � 1% ��� �" &���,6�

+������% � � ��� � � � �� �#��% ������ �� � ���#� �� � � � ��#�����#�� +��������

������ �� ������ � ��

+� � ��� �� � � � �� � 1� � � ��� �� � � � ���� 1�� +� � � ��� ���� �#� ��#���

� � ���

3��� ���� �� �� ��� ��#��� ��� ���� �� �#��� �����% ����� ���� � � 2���� � � #"% �� �

���� �#�� � ���� � �� ��� ����� �����#� ��� ����� 7#��% �� ��� ��� � � ��� +�� ��##

�#��� 8��� ��% ��� �## � ��� ���� ��� �## �������� ���� ��#" �� �����#� ����� ��� ��� �"

Page 14: 6 Planar Graphs

������ ��� ���� �� ����� �� ���� ���� ������ ������� ��� �� ������� �� � ����� �

����� � � �� �� ���� ����� ��� �������������� ������ � � ��� �� ���� � ��!�

��"�#� ��

� � $"�� "�#� � �#

��� ���� �� ��� ���� ����� ������ %��� ��%�� ������ �& ��������� ��� ������� � ���

��� � '����� � � $

��� ����������� � � ����� � ��������

(� ��!� ��� ���%��� )��� ��� ��� �* � +��� ��� '��������

������� � ����� � ���� � ����� ��� � �� ����� � �� ������

���� ������� �� � ��� � �� � ����� ���� ������ �� ����� � � ��

� �� �� ���� � ������ �� ���� �� � � ���� � ������������ �� �� � ���

�������� ����� � ������ �� � �� ������� !�� ����� ����� �� ��

����� ������� � �� ���� � �� ����� �� ��� ��� �������"

(���� ������ ��� ����� �� � ������� � ����� � %����� ��������, - ����)����� �

�� � ��� ������� ������� �� ������������ ������ ��� .���� +���� '������ ��� �

������� ��� /�&���� �� ���� �� ��& �� ����� �0���� � 1���� ���� � ������ �� ���� ����

��& ����� %���� ��� �� ����� � � ������� � ����� � ������� � ����� �� �� �� � ����

2����%�*�3� '����� � 4 �� ���� � ������ �� ������ ������� %���� �� 5 ��� �����

6����������&� �� �������� � ������ ������ ��� *�%� ���� �� ��������!��& ���� ��� ���

�������� ������� ���� �� �� *�%� '�� ������� ��� ���� ����� �� � 1���� ���� �� ��� �

'�������

- !��& ������� )������ � ��������� ������ �� ��� ���%���� �� ��� ���� ������� %�

��!� ���������� � ������ � �������� %���� ��� � ��� ����� %��� � ��� ������0�

���& ��� �� ��������� � ����� ���*� (���� �� �� ���� ���� �!��& $��������� ������

����� ��� �� ��������� %���� �!��& ���� �� ��������� � � ���*� �� �� �� *�%� ��

�!��& $��������� ����� ��� �� �������� �� ��� ������� �� ���� � %�& ���� ��� �����

��� ��������� � ���*� '��� �� *�%� �� ��� ����� ������������& ��7������� ���

�� ������� ��� �� ��� ���& ���� ����)������ �� ����� ����&8 �� �0������ ��� �!��&

$��������� ����� ������ � ��� � �&���� ���� ���� �!��& ���� �� �� ������ �� � �% �

��� �&����, �� ������ ������� ���� �� ������ ��� ��������� � ��� ����� %��� �� ��� ����

�!��& ���� �� �� �0����& �% �&���� '�� ��7������ ��� ��� ����������� �� ��� �0�������

� �%���� 9�� :�;%� �� ��� ��������� � ������ � ��������� ��� -�������� �

+��� ��� '�������

Page 15: 6 Planar Graphs

��� ������

�� � ������� ��� ���� �� � ��� ���� � � ����� ��� � � � ������ ��� � ��

�� � ��� �� ��� �������� ������ � �� � ����� � ����� ����

��� !��� � ������� ��� ���� � � ��� ������

��� " �� � �� � ������� ��� ���� � � ����� �� �� � # ��� �� $� � %

����

$� & �� �� � ���� � � '���� � �� �����( )������ ���� ����

������ �

�� " �� � �� ��� ����� ���� ��� � ������� �� �������� �� %����������

% ��� *��� � �� �� � �� � ���� �� ���� � � �� �� � ����� � � ������ ��

� ����������� � ��� ��� ��������� � ������ � ���� ���� � ���� � $�

��� +� ��� �� ���� � �� � ���� � '���� $ �� �� �������� ,$-

������ �

Page 16: 6 Planar Graphs

�� ����� ��� ���� ��� ��� � �� �� ��� ������ � ���� ����� �� ���� �� ���

������

�� �� ��� �������� �� ��� �� ���� � �� ��� � ����� �� ��� �� ���� �� ����

����� ������ ���� ���� �� ������ �� � �� ��� ����� ����� �� ����� ���� �����

� ������ ������ ��� ��� �������� �� ��� �� �� � ��� �������� �� ��� �� �����

��� ����� ��� ��� �������� �� ��� �� ���� �� � ���

���

�����

���

!����� ��� �� ����� �� �� ��� ���� �� ���� ����� �� ������ ��� �� ����� �� ��

�� ���� ���� �� ���� ����� �� �������"