Upload
deborah-mcintosh
View
207
Download
6
Embed Size (px)
DESCRIPTION
6 . STABILNOST KONSTRUKCIJA. VI čas. 6. 8 Metoda početnih parametara. Osnovne jedna č ine š tapa : Linearizovana teorija II reda-tačno rešenje Linearizovana teorija II reda-aproksimativno rešenje. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
3. Stabilnost konstrukcija 1
6. STABILNOST KONSTRUKCIJA
VI čas
3. Stabilnost konstrukcija 2
6.8 Metoda početnih parametara Osnovne
jednačine štapa: Linearizovana
teorija II reda-tačno rešenje
Linearizovana teorija II reda-aproksimativno rešenje
R K q Q
0 g R K K q Q
3. Stabilnost konstrukcija 3
Matrice krutosti po K i Kg linearizovanoj Teoriji II reda, tačno i aproksimativno rešenje, znamo da odredimo.
Treba odrediti vektor ekvivalentnog opterećenja po linearizovanoj Teoriji II reda, tj, Q = ?
3. Stabilnost konstrukcija 4
Vektor ekvivalentnog opterećenja ćemo odrediti primenom metode početnih parametara iz nehomogene diferencijalne jednačine šapa.
Vrednost partikularnog integrala ćemo odrediti u zavisnosti od zadatog opterećenja.
3. Stabilnost konstrukcija 5
Metoda početnih parametara6.8.1 Pritisnut štap
Pritisnut štap – homogena dif.jednačina i rešenje
Ci su integracione konstante koje se određuju iz graničnih uslova štapa
IV 2 2
1 2 3 4
Sv k v 0 ( k )
EIv( x ) C C kx C sinkx C cos kx
3. Stabilnost konstrukcija 6
Integracione konstante se određuju iz graničnih uslova na početku štapa:
- ugib
- nagib
- momenat savijanja
- transverzalna sila
0 (0)v v)0(0 v
)0(0 vEIM
0 (0) (0)V EIv Sv
3. Stabilnost konstrukcija 7
Diferenciranjem se dobija
kxkCkxkCxv
kxkCkxkCxv
kxkCkxkCkCxv
sincos)(
cossin)(
sincos)(
34
33
24
23
432
3. Stabilnost konstrukcija 8
Unošenjem dobijenih izraza u granične uslove, dobija se sistem jednačina po konstantama Ci
0 1 4
0 2 3
0 4
0 3 2 3 2
(0)
(0)
(0) (0)
(0) (0) (0) ( )
v v C C
v C k C k
M EI v M C S
V EI v Sv V C kS S C k C k SkC
gde je S=k2EI
3. Stabilnost konstrukcija 9
Rešavanjem sistema jednačina dobija se:
02
04
01 0
0 03
,
,
,
,
VC
SkM
CS
MC v
SV
Ck Sk
3. Stabilnost konstrukcija 10
Rešenje homogene dif. jednačine pritisnutog štapa Metodom početnih parametara glasi:
gde su v0, , M0 i V0 početni parametri (ugib, nagib, momenat savijanja i transverzalna sila na početku štapa)
EIk
kxkxV
EIk
kxM
kkx
vxv302000sincos1sin
)(
3. Stabilnost konstrukcija 11
Opterećenje duž ose štapa py(x)=p(x)
d
p(x)
v0
V0
SM0
v(x)0
p( )d
x
x-
Nehomogena dif. jednačina:
2 ( )( ) ( )IV II p x
v x k v xEI
x
y
3. Stabilnost konstrukcija 12
Rešenje nehomogene diferencijealne jednačine je zbir rešenja homogenog dela vh(x) i partikularnog integrala vp(x) :
Partikularan integral pretpostavljamo u obliku:
x
p dpEIk
xkxkxv
03
)()(sin)(
)(
( ) ( ) ( )h pv x v x v x
silapomeranje usled sile
3. Stabilnost konstrukcija 13
Partikularan integral za pritisnut štap opterećen raspodeljenim opterećenjem p(x)=const je:
0
2
0
( ) ( ) sin ( )
cos ( )( )
2
x
p
x
p
pF x k x k x d
kS
p k xF x kx k
kS k
3. Stabilnost konstrukcija 14
Za konstantno opterećenje partikularan integral je:
2 2
2
2 2
2
( ) (cos 1 ) 0 ( .)2
( ) ( 1 ) 0 ( .)2
p
p
p k xF x kx za S prit
k S
p k xF x chkx za S zat
k S
3. Stabilnost konstrukcija 15
)()()()()(
)(sin
cossin)()(
)(cos1sin
cos)()(
)(sincos1sin
)(
2
00
000
2000
302000
EIS
kdpVxvSxvEIxV
xvEIkkx
VkxMkxkEIxvEIxM
xvEIk
kxV
EIkkx
Mkxxvx
xvEIk
kxkxV
EIk
kxM
kkx
vxv
x
p
p
p
Opšte rešenje se može prikazati u obliku:
3. Stabilnost konstrukcija 16
Ako uvedemo funkcije:
1 2
3 4
sin( ) 1, ( ) ,
1 cos sin( ) , ( )
kxF x F x
kkx kx kx
F x F xS kS
3. Stabilnost konstrukcija 17
)()()(
)()()(cossin)(
)()()(sin
cos)(
)()()()()()()(
2
00
022000
033000
0440302010
EIS
kdpVxV
dxFpxFVkxMkxkEIxM
dxFpxFVEIkkx
Mkxx
dxFpxFVxFMxFxFvxv
x
x
x
x
Opšte rešenje nehomogene dif.jedačine
3. Stabilnost konstrukcija 18
Ako uvedemo nove funkcije Ij(x), j=1,2,3,4:
1 1
0
2 2
0
3 3
0
4 4
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
x
x
x
I x F x p d
I x F x p d
I x F x p d
I x F x p d
3. Stabilnost konstrukcija 19
dobijaju se izrazi za pomeranje, obrtanje i sile u preseku:
0 1 0 2 0 3 0 4 4
0 0 0 3 3
0 0 0 2 2
20 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
sin( ) cos ( ) ( )
( ) sin cos ( ) ( )
( ) ( ) ( )
v x v F x F x M F x V F x I x
k kxx kx M V F x I x
SM x EI k kx M kx V F x I x
SV x V I x k
EI
3. Stabilnost konstrukcija 20
6.8.2 Zategnut štap
Diferencijalna jednačina zategnutog štapa je :
Koriste se rešenja za pritisnut štap, u koja se unose sledeće izmene:
IV 2 p( x )v k v
EI
1
cos sin
S S k ki i
iz chz i iz shz
3. Stabilnost konstrukcija 21
Za pritisnut štap je:
1 2
3 4
sin( ) 1 ( )
1 cos sin( ) ( )
kxF x F x
kkx kx kx
F x F xS kS
3. Stabilnost konstrukcija 22
Za zategnut štap se dobija:
1
2
3
4
( ) 1
sin( )
1 cos 1( )
sin( )
z
z
z
z
F x
ikx i shkxF x
ik i kikx chkx
F xS S
ikx ikx i kx shkxF x
ikS i kS
3. Stabilnost konstrukcija 23
Konačni izrazi za zategnuti štap su:
0 1 0 2 0 3 0 4 4
0
0 0 0 3 3
0
0 0 0 2 2
0
20
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
xz z z z z
xz z
xz z
x
v x v F x F x M F x V F x p F x d
ksh kxx ch kx M V F x p F x d
S
M x EI k sh kx M ch kx V F x p F x d
SV x V p d k
EI
3. Stabilnost konstrukcija 24
Ako uvedemo funkcije Ij(x), j=1,2,3,4, dobijaju se izrazi za pomeranje, obrtanje i sile u preseku:
0 1 0 2 0 3 0 4 4
0 0 0 3 3
0 0 0 2 2
20 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
z z z z z
z z
z z
z
v x v F x F x M F x V F x I x
ksh kxx ch kx M V F x I x
S
M x EI k sh kx M ch kx V F x I x
SV x V I x k
EI
3. Stabilnost konstrukcija 25
gde je:
1 1
0
2 2
0
3 3
0
4 4
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
xz z
xz z
xz z
xz z
I x F x p d
I x F x p d
I x F x p d
I x F x p d
3. Stabilnost konstrukcija 26
6.8.3 Stepenasto promenljivo opterećenje pravog štapa
Metoda početnih parametara
V0
M0
S
p0
p1
p2
P1
M1
P2
M2
a1
a2
x
3. Stabilnost konstrukcija 27
Funkcija ugib grede je oblika:
)()()(|
)()()(|
)()()()()(
22242232
11141131
04030200
2
1
axFaxFPaxFM
axFaxFPaxFM
xFxFVxFMxFvxv
pax
pax
p
3. Stabilnost konstrukcija 28
Nagib grede je:
)()()(sin
|
)()()(sin
|
)()(sin
cos)(
222322
2
111311
1
03000
2
1
axFaxFPS
axkkM
axFaxFPS
axkkM
xFxFVS
kxkMkxx
pax
pax
p
3. Stabilnost konstrukcija 29
Momenat savijanja je:
)()()(cos|
)()()(cos|
)()(cossin)(
2222222
1112111
02000
2
1
axFEIaxFPaxkM
axFEIaxFPaxkM
xFEIxFVkxMkxkEIxM
pax
pax
p
3. Stabilnost konstrukcija 30
Transverzalna sila je:
)(|
)(|)(
222
11100
2
1
axpP
axpPxpVxV
ax
ax