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Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
60
MECÂNICA DOS FLUIDOS
A Mecânica dos Fluidos estuda o comportamento dos corpos fluidos em repouso
(Fluidoestática) e em movimento (Fluidodinâmica) e os efeitos dos fluidos em contato com
fronteiras, que podem ser sólidos ou outros fluidos.
É natural iniciar o estudo da Mecânica dos Fluidos pela definição de fluido. Um fluido é
aquela substância que se deforma continuamente sob a ação de um esforço tangencial, não
importando a magnitude deste esforço. Os fluidos compreendem as fases líquida e gasosa (ou
de vapor) das formas físicas nas quais a matéria existe. A distinção entre um fluido e o estado
sólido fica clara ao ser comparado seu comportamento. Aplicando-se uma força tangencial F
(Fig. 1) sobre um elemento sólido fixado entre duas placas, o elemento sofre uma deformação
e se estabiliza no novo formato. No regime elástico do material, ao cessar a aplicação da
força, o sólido retorna à forma original. Repetindo a experiência para um fluido, ele irá se
deformar continuamente, enquanto existir uma força tangencial atuando sobre ele.
Figura 1 – Elemento Fluido sob a Ação de Esforço Tangencial Constante
A Hipótese do Contínuo
Como o espaço médio entre as moléculas que compõem o fluido é bastante inferior às
dimensões físicas dos problemas estudados em engenharia, considera-se o fluido como uma
substância que pode ser dividida ao infinito.
PROPRIEDADES
A seguir, são apresentadas algumas propriedades dos fluidos, que ainda não foram definidas
na parte de Termodinâmica.
Peso Específico: Peso do fluido contido em uma unidade de volume
: Peso específico [N/m3]
W W: Peso da substância [N]
][m fluido do Volume: 3
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O peso específico é relacionado à massa específica através da seguinte equação
ggmmg
Viscosidade Dinâmica ou Absoluta: Propriedade que determina o grau de resistência do
fluido à força de cisalhamento ou, em outras palavras, a dificuldade do fluido em escoar.
A tensão tangencial ou tensão de cisalhamento do elemento fluido é dada por
dAy
dFx
Ay
Fxlim
0Ayyx
A taxa de deformação é igual a t
lim0t
Figura 2 – Deformação de um Elemento de Fluido
Se t
lu
, a distância entre os pontos M e M' (Fig. 2) pode ser dada por
tul (a)
A deformação do fluido é calculada através da expressão
y
ltg
Para pequenos ângulos, y
l
Assim, yl (b)
Igualando-se (a) e (b),
dy
du
dt
d
y
u
t
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Para fluidos Newtonianos, a tensão de cisalhamento é proporcional à taxa de deformação, ou
dy
duyx
dy
duyx
A constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta ou dinâmica do fluido, . No SI, a
unidade da viscosidade é kg/m.s (= N.s/m2 = Pa.s). No sistema britânico, utiliza-se slug/ft.s.
Uma unidade comum é o Poise, sendo 1 Poise = 0,1 Pa.s. A Tabela A.1 apresenta valores de
viscosidade absoluta para alguns fluidos.
O comportamento da viscosidade para alguns fluidos Newtonianos é apresentado na Fig. A.1.
Pode-se notar que, para os gases, a viscosidade aumenta com a temperatura, enquanto que os
líquidos apresentam comportamento inverso.
Exemplo 1 – Cálculo da tensão de cisalhamento
Suponha o escoamento de óleo SAE 10W entre uma placa inferior estacionária e uma placa
superior movendo-se em regime permanente com uma velocidade V, como mostrado na
figura. A distância entre as placas é h. Calcule a força de atrito na placa superior, se V=3m/s e
h=2cm. Considere que a largura da placa é 20 cm e o seu comprimento, 1,2 m.
A força de atrito em qualquer posição do fluido pode ser determinada a partir da tensão de
cisalhamento, através da relação
AF yxat
onde A á a área de contato entre o fluido e a superfície, dada pelo produto entre a largura e o
comprimento da placa.
A tensão de cisalhamento em qualquer posição do fluido é dada pela expressão
dy
duyx
onde dydu é a derivada da velocidade u em relação a y. Para se calcular a tensão de cisalhamento é
necessário determinar dydu .
Sabendo-se que o perfil de velocidades é linear, são necessários dois pontos para se determinar a
equação. Em y = 0, u = 0 e em y = h, u = V. Assim, a equação do perfil de velocidades é
h
Vyu
h
V
dy
du
A tensão de cisalhamento é
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h
Vyx
Da Tabela A.1, s.m/kg104,0
m02,0
s/m3
s.m
kg104,0yx
Pa6,15yx
Assim,
)m2,1.m2,0(.Pa6,15AF yxat
N744,3Fat ◄
Viscosidade Cinemática: Razão entre a viscosidade dinâmica e a massa específica.
: Viscosidade cinemática [m2/s]
: Viscosidade absoluta [Ns/m
2]
: massa específica [kg/m3]
Uma unidade comum para a viscosidade cinemática é o Stoke, sendo 1 Stoke = 1cm2/s.
Número de Reynolds: Número adimensional, obtido pela razão entre as forças de inércia e as
forças viscosas.
Re: Número de Reynolds [adimensional]
: massa específica do fluido [kg/m3]
**LVRe V
*: Velocidade característica do escoamento [m/s]
L*: Dimensão característica do escoamento [m]
: Viscosidade absoluta do fluido [Ns/m2]
O número de Reynolds é o adimensional mais importante da Mecânica dos Fluidos. Ele
determina a natureza do escoamento (laminar ou turbulento). Para escoamentos no interior de
tubos, o valor aceito para caracterizar a transição do escoamento laminar para turbulento é
2.300. Para escoamento sobre uma placa plana, o valor é 5x105. Para escoamentos no interior
de tubos,
Se
o turbulenté escoamento o 4000,Re
transiçãode faixa na está escoamento o 4000,Re2300
laminar é escoamento o 2300,Re
Deve-se ressaltar que V* e L
* correspondem, respectivamente, à velocidade e à dimensão
características do escoamento. Para escoamentos no interior de tubos, V* é a velocidade média
no interior do tubo e L*, o seu diâmetro. Para escoamentos sobre placas planas, V
* é a
velocidade da corrente livre e L*, o comprimento da placa.
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Exemplo 2 – Cálculo do número de Reynolds e determinação do regime de escoamento
Para o escoamento de óleo SAE 30W (a 20oC) a 2 m/s no interior de um tubo de 20 cm de
diâmetro, determine o regime de escoamento.
O regime de escoamento é definido pelo número de Reynolds,
**LVRe
Para escoamento no interior de um tubo, V* é a velocidade média no interior do tubo e L
*, o seu
diâmetro. e são, respectivamente, a massa específica e a viscosidade absoluta do fluido, no caso, o
óleo. Da Tabela A.1, .s.m/kg29,0em/kg891 3
1229s.m/kg29,0
m20,0.s/m2.m/kg891Re
3
Como Re < 2300, o escoamento é laminar. ◄
Campo de Velocidades
Entre as propriedades do escoamento, destaca-se o campo de velocidades. Seja o volume de
fluido mostrado na Fig. 3.
Figura 3 – Determinação do Campo de Velocidades em um Ponto
A velocidade instantânea do fluido em um ponto C qualquer do escoamento é definida como a
velocidade do centro de gravidade do volume infinitesimal que envolve o ponto C no
instante de tempo em questão.
O campo de velocidades V
é função das coordenadas x, y e z e do tempo t. A completa
representação do campo de velocidades é dada por
t,z,y,xVV
O vetor velocidade V
pode ser expresso em termos de suas três componentes escalares.
Chamando as componentes nas direções x, y e z de, respectivamente, u, v e w, o campo de
velocidades pode ser escrito como
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kwjviuV
,
onde as componentes escalares também dependem das coordenadas cartesianas e do tempo,
tz,y,x,wwetz,y,x,vv,tz,y,x,uu
Regime Permanente: As propriedades do fluido, em cada ponto do escoamento, não variam
com o tempo. A definição matemática do movimento permanente é
0t
, onde representa uma propriedade qualquer do escoamento.
Regime Transiente: As propriedades do fluido variam com o tempo.
Campo Uniforme de Escoamento: O módulo e o sentido do vetor velocidade permanecem
constantes em todo o campo de escoamento, podendo, no entanto, variar com o tempo.
Escoamentos uni-, bi- e tridimensionais:
Os escoamentos podem ser classificados em uni-, bi- e tridimensionais de acordo com o
número de coordenadas necessárias para descrever seu campo de velocidades. Nem todos os
escoamentos são tridimensionais. Suponha, por exemplo, o escoamento laminar em regime
permanente no interior de um duto de seção transversal constante, como mostrado na Fig. 4.
Figura 4 – Exemplo de Escoamento Unidimensional
A partir de uma certa distância da entrada do duto, a velocidade pode ser descrita pela
equação
2
maxR
r1uu
Como o campo de velocidades depende apenas da distância radial r, o escoamento é
unidimensional.
Seja agora o escoamento entre placas divergentes, de largura infinita (Fig. 5). Como o canal é
considerado infinito na direção do eixo dos z, o campo de velocidades será idêntico em todos
os planos perpendiculares a este eixo. Conseqüentemente, o campo de velocidades é função
somente das coordenadas x e y. O campo do escoamento é, portanto, bidimensional.
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
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Figura 5 – Exemplo de Escoamento Bidimensional
FLUIDOESTÁTICA
A fluidoestática é a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o comportamento dos fluidos
em repouso. A condição de velocidade nula do fluido é denominada condição hidrostática.
Em um problema de hidrostática, o objetivo principal é, em geral, a determinação da
distribuição de forças ou pressões em um elemento fluido.
A EQUAÇÃO BÁSICA DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS
Dois tipos genéricos de forças podem ser aplicados a um fluido: forças de corpo e forças de
superfície. As forças de corpo, também chamadas de forças de campo, são as forças
desenvolvidas sem contato físico com o fluido, distribuídas por todo o seu volume. É o caso
das forças gravitacionais e eletromagnéticas. De uma maneira geral, a única força de campo
que deve ser considerada na maioria dos problemas de Mecânica dos Fluidos é a força
gravitacional, ou o peso. As forças de superfície são aquelas que atuam nas fronteiras de um
meio, através do contato direto. Se um fluido estiver em repouso, só poderão estar presentes
forças normais à superfície (por definição, o fluido é a substância incapaz de resistir a forças
de cisalhamento sem se deformar). A única força de superfície a ser considerada é, portanto, a
força de pressão.
Seja um volume fluido infinitesimal, de dimensões dx, dy e dz, como mostrado na Fig. 6.
Figura 6 – Volume de Controle Infinitesimal
A força total atuando no elemento é dada por
SC FdFdFd
Como já foi dito, a única força de campo a ser considerada é a força peso.
g.dmFd C
Assim,
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SFdg.dmFd
A força líquida de pressão SFd
é dada pela soma das forças de pressão em cada uma das
faces do elemento. Se a pressão atuando na face esquerda do elemento é P, a força de pressão
atuando na face esquerda do elemento é
dz.dxPdFL
A força de pressão na face direita é dada por
dz.dxdyy
PPdFR
A força líquida de pressão é dada pela soma das forças de pressão em todas as faces do
elemento,
kdy.dxdzz
PPkdy.dxP
jdz.dxdyy
PPjdz.dxPidz.dydx
x
PPidz.dyPFd S
ou
dz.dy.dxkz
Pj
y
Pi
x
PFd S
A força total é dada, portanto, por
dz.dy.dxkz
Pj
y
Pi
x
Pg.dmFdg.dmFd S
Como
dz.dy.dx.d.dm ,
dPgdz.dy.dxk
z
Pj
y
Pi
x
Pg.dz.dy.dx.Fd
A 2ª Lei de Newton estabelece que
a.dmFd
Para um elemento fluido em repouso, a aceleração deve ser nula e o somatório de todas as
forças deve ser zero. Assim,
0Pg
Esta é uma equação vetorial, que pode ser decomposta em três equações escalares,
0gx
Px
0g
y
Py
0g
z
Pz
Para simplificar a equação, é conveniente adotar um sistema de eixos no qual o vetor
gravidade esteja alinhado com um dos eixos. Se o sistema for escolhido com o eixo z
apontando para cima gge0g,0g zyx , as equações podem ser reescritas como
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0x
P
0
y
P
g
z
P
Se o fluido puder ser considerado incompressível, a diferença de pressão entre dois pontos do
fluido será diretamente proporcional à diferença de altura entre eles (Fig. 7).
Figura 7 – Variação de Pressão em um Fluido Estático
ghPP CB
Observando as equações anteriores, pode-se concluir que:
1. Não há variação de pressão na direção horizontal, ou seja, dois pontos quaisquer,
situados a uma mesma altura e no mesmo fluido em repouso, estão submetidos à mesma
pressão;
2. A pressão varia na direção vertical, sendo esta variação devida ao peso da coluna
fluida (Equação Fundamental da Hidrostática);
3. No limite para z infinitamente pequeno, o elemento tende a um ponto. A pressão
passa a não variar, sendo independente da orientação (Lei de Pascal).
Os valores de pressão devem ser estabelecidos em relação a um nível de referência. As
maneiras de se expressar a pressão variam, portanto, com o nível de referência adotado.
Quando o nível de referência é zero (vácuo), as pressões são denominadas absolutas. Quando
o nível de referência é a pressão atmosférica local, as pressões são denominadas pressões
manométricas ou efetivas. O valor padrão adotado para a pressão atmosférica é Patm = 1atm =
101.325 Pa.
A pressão absoluta e a pressão manométrica se relacionam por
manatmabs PPP ou atmabsman PPP
A pressão manométrica pode assumir, portanto, valores positivos, negativos ou nulos (Fig. 8).
Se P>Patm, Pman > 0
Se P<Patm, Pman < 0
Se P=Patm, Pman = 0
A pressão a ser utilizada em cálculos envolvendo equações de gás ideal ou outras equações de
estado é a pressão absoluta.
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Figura 8 – Exemplo do Cálculo das Pressões Absoluta e Manométrica
O Barômetro de Mercúrio
A aplicação mais simples da lei da hidrostática é o barômetro, que é um medidor de pressão
atmosférica. Neste dispositivo, um tubo é preenchido com um fluido de alto peso específico
(geralmente o mercúrio), invertido e mergulhado em um reservatório contendo o mesmo
fluido. No processo de inversão do tubo, o fluido desce, criando um vácuo na parte superior
do tubo, como mostrado na Fig. 9.
Figura 9 – O Barômetro de Mercúrio
hghP
ghP
Vácuo P
ghPP
repouso em fluido mesmo no altura mesma uma a situadosPontos PP
PP
atm
A
E
EA
AA
atmA
0
'
´
Portanto, a pressão atmosférica pode ser medida a partir da altura de uma coluna líquida de
mercúrio.
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mmHg760atm1mm760h
Se o fluido for a água, a altura da coluna é de 10,332 m.
mca332,10atm1m332,10h
APLICAÇÃO PARA A MANOMETRIA
Da mesma maneira que a pressão atmosférica, uma diferença de pressão pode ser medida a
partir de uma diferença de elevação, conhecendo-se as massas específicas dos fluidos. Este é
o princípio de funcionamento dos manômetros de líquido (Fig. 10), que são tubos
transparentes e curvos, geralmente em forma de U, contendo o líquido manométrico. Para
medição de altas pressões, utilizam-se fluidos com altos pesos específicos, como o mercúrio.
No caso de menores pressões, utilizam-se fluidos com menores pesos específicos, como a
água ou um óleo. Os manômetros metálicos são instrumentos usados para medir as pressões
dos fluidos através de um tubo metálico curvo (Tubo de Bourdon – Fig. 11) ou de um
diafragma (Fig. 12), que cobre um recipiente metálico. São os manômetros mais utilizados em
aplicações industriais.
BA
BatmB
AatmA
BA
pp
ghpp
ghpp
hh
Figura 10 – Manômetro de Líquido
Figura 11 – Tubo de Bourdon Figura 12 – Manômetro de Diafragma
Exemplo 3 – Variação de pressão em uma coluna de múltiplos fluidos
Determine a pressão absoluta no ponto A e a pressão manométrica no ponto B da figura,
sendo as dimensões dadas em cm.
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A Equação Fundamental da Hidrostática estabelece que a diferença de pressão entre dois pontos de
uma massa fluida em equilíbrio é diretamente proporcional à diferença de altura entre eles, ou
ghPP 12
Se o ponto na superfície livre do reservatório for chamado de C e os pontos nas interfaces dos líquidos
forem chamados de D e E, tem-se que
1oleoCD ghPP (1)
2gliDA ghPP (2)
3gliAE ghPP (3)
32gliDE hhgPP (4)
4mercEB ghPP (5)
onde m20,0h1 m12,0h2 m13,0h3 m40,0h4
É necessário conhecer as massas específicas dos fluidos. Da Tabela A.1,
3oleo m/kg891 3
gli m/kg1260 3merc m/kg13550
Somando-se as equações (1) e (2),
2gli1oleoatm2gli1oleoCA ghghPghghPP
Pa414,566.104m12,0.s
m81,9.
m
kg1260m20,0.
s
m81,9.
m
kg891Pa325.101P
2323A
kPa5,104PA ◄
Somando-se as equações (1), (4) e (5),
4merc32gli1oleoatm4merc32gli1oleoCB ghhhgghPghhhgghPP
m4,0.s
m81,9.
m
kg13550m25,0.
s
m81,9.
m
kg1260m20,0.
s
m81,9.
m
kg891Pa325.101P
232323B
Pa492,333.159PB
Para se obter o valor da pressão manométrica no ponto B, basta subtrair a pressão atmosférica do valor
obtido, ou seja,
Pa325.101Pa492,333.159PPP atmman,Bman,B
kPa58P man,B ◄
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
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Exemplo 4 – Manômetros de líquido
Na figura, o manômetro A lê uma pressão de 1,5 kPa. Determine as alturas hB e hC dos fluidos
nos tubos piezométricos abertos para a atmosfera. Despreze o peso do ar.
Se os pontos nas interfaces dos líquidos forem chamados de 1, 2 e 3, tem-se que
1arA1 ghPP (1)
2oleo12 ghPP (2)
3gli23 ghPP (3)
onde m2h1 m5,1h2 m1h3
Ao mesmo tempo, as pressões nos pontos 2 e 3 podem ser relacionadas à pressão atmosférica por
3Coleoatm2 hhgPP (4)
Bgliatm3 ghPP (5)
É necessário conhecer as massas específicas dos fluidos. Da Tabela A.1,
3oleo m/kg891 3
gli m/kg1260
Somando-se as equações (1), (2) e (3), pode-se determinar a pressão no ponto 3 em relação à pressão
lida pelo manômetro.
3gli2oleo1arA3 ghghghPP
Como o peso do ar pode ser desprezado,
3gli2oleoA3 ghghPP
A pressão manométrica no ponto 3 será
Pa7,971.26m1.s
m81,9.
m
kg1260m5,1.
s
m81,9.
m
kg891Pa1500P
23233
Substituindo-se na equação (5),
B23Bgliatm3 h.s
m81,9.
m
kg12600Pa7,971.26ghPP
m18,2hB ◄
Deve ser ressaltado que, como foi utilizada a pressão manométrica no ponto 3, foi utilizado a pressão
atmosférica manométrica (0 Pa).
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
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Da mesma maneira, a altura hC pode ser encontrada igualando-se as equações (2) e (4),
3Coleoatm2oleo12 hhgPghPP
m1h.s
m81,9.
m
kg8910m5,1.
s
m81,9.
m
kg891Pa1500 C2323
m67,2hC ◄
EQUILÍBRIO DOS CORPOS FLUTUANTES
Se um corpo está imerso ou flutua em um fluido, a força que nele atua (em decorrência da
pressão do fluido) é chamada de empuxo de flutuação. Seja o objeto mostrado na Fig. 13,
imerso em um fluido em repouso.
Figura 13 – Corpo Imerso em um Fluido Estático
O empuxo vertical no cilindro elementar de volume d é dado por
dAPdAPdE 12
dAghPdAghPdE 1atm2atm
gddAhhgdE 12
O empuxo total é obtido integrando-se dE, ou seja,
ggddEE
Princípio de Arquimedes
Todo corpo imerso em um fluido em equilíbrio recebe, por parte do fluido, um empuxo
vertical, de baixo para cima, numericamente igual ao peso do volume fluido deslocado pelo
corpo.
É interessante notar que o “peso” de um corpo pode sofrer variações significativas
dependendo do meio em que o corpo estiver imerso. Isto ocorre porque, na verdade, o valor
sentido por uma pessoa ou medido por uma balança é a força resultante que atua sobre a
pessoa ou a balança. Assim, se o corpo estiver imerso no ar, o empuxo é muito pequeno,
podendo ser desprezado. Se o corpo estiver imerso na água, o empuxo é significativo e o
corpo “pesa” menos.
Quando um corpo é colocado em um recipiente contendo um fluido, podem acontecer três
situações distintas:
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
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1) o corpo afunda
Na situação inicial, a força peso é superior à força de empuxo.
fluidocorpo
corpofluidocorpocorpo gg
EW
Na situação final, o corpo atinge o equilíbrio
NEW
onde N é a reação normal no contato do corpo com o fundo do reservatório
2) o corpo retorna à superfície
Na situação inicial, a força peso é inferior à força de empuxo.
fluidocorpo
corpofluidocorpocorpo gg
EW
Na situação final, o corpo atinge o equilíbrio
gg
EW
deslocfluidocorpocorpo
3) o corpo permanece onde foi colocado
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Mecânica dos Fluidos
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fluidocorpo
corpofluidocorpocorpo gg
EW
O princípio de Arquimedes é de particular importância na prática. Entre suas principais
aplicações, destacam-se a navegação de superfície fluvial e marítima, o deslocamento de
submarinos a uma dada profundidade, a sustentação hidrostática dos aeróstatos (assim
chamados os veículos mais leves que o ar, como balões e dirigíveis – os últimos equipados de
hélices propulsoras e de sistemas de direção) e os aparelhos de medição como os densímetros
(para medição da massa específica), lactômetros (para medição da massa específica do leite) e
alcoômetros (para medição do teor alcoólico de vinhos e licores).
Exemplo 5 – Empuxo
Um bloco de madeira flutua, mantendo dois terços de seu volume embaixo d’ água a 20oC.
Quando flutua no óleo, 90% de seu volume fica submerso. Calcule a massa específica da
madeira e do óleo.
Para a situação de equilíbrio, a força resultante vertical deve ser nula, ou seja, a força de empuxo e o
peso devem se anular. Ou seja, tanto para a água como para o óleo, deve ser obedecida a equação
WE
gg blocomaddeslocfluido ou
blocomaddeslocfluido
Da Tabela A.1, 3agua
m
kg998
Para a água,
blocomadblocoagua3
2
blocomadbloco3 3
2
m
kg998
3madm
kg665 ◄
Para o óleo,
blocomadblocooleo .90,0.
bloco3blocooleom
kg665.90,0.
3oleom
kg739 ◄
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FLUIDODINÂMICA
A Fluidodinâmica é a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o comportamento dos fluidos
em movimento, ou seja, estuda os escoamentos de fluidos. Na solução de problemas da
fluidodinâmica, é importante definir o tipo de análise a ser feita, ou seja, deve-se escolher
entre as abordagens utilizando-se um sistema ou um volume de controle
As Leis da Mecânica são escritas para um sistema. Elas estabelecem o que ocorre quando há
uma interação entre o sistema e suas vizinhanças. No entanto, em muitos problemas de
Mecânica dos Fluidos, é mais comum a análise dos problemas utilizando-se a formulação de
Volume de Controle. O Teorema de Transporte de Reynolds permite que as leis da Mecânica,
escritas utilizando-se a formulação de sistema, sejam transformadas para a formulação de
volume de controle, como já visto anteriormente.
A EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO DA MASSA PARA UM VOLUME DE CONTROLE
ARBITRÁRIO
A equação de conservação da massa já foi definida anteriormente, no entanto, dada a sua
importância no estudo da Mecânica dos Fluidos, ela é repetida aqui.
0AdVdt
SCVC
onde
VC
dt
é a taxa de variação da massa dentro do volume de controle
SC
AdV
é a taxa líquida de fluxo de massa através da superfície de controle, ou vazão
mássica através da superfície de controle.
Para uma seção de uma superfície de controle de área A, define-se a vazão mássica ou vazão
em massa por:
A
AdVm
Para escoamento em regime permanente com um número finito de entradas e saídas, esta
equação é dada por
0mmentradasaída
Para uma seção de uma superfície de controle de área A, define-se a vazão volumétrica Q por:
A
AdVQ
,
a equação de conservação da massa pode ser escrita, para um número finito de entradas e
saídas, como
0QQentradasaída
A velocidade do escoamento varia em uma dada seção. Define-se a velocidade média em uma
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Mecânica dos Fluidos
77
seção como sendo a razão entre a vazão volumétrica Q e a área da seção A, ou
AdVA
1
A
QV
Observa-se, assim, que a vazão volumétrica através da seção pode ser dada por
AVQ
De maneira análoga, pode-se calcular a vazão mássica através da seção por:
AVm
A EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO DA ENERGIA PARA UM VOLUME DE CONTROLE
ARBITRÁRIO
Como já visto, a Primeira Lei da Termodinâmica para um volume de controle é dada por:
SC
2
VC
outrosS AdVgz2
VPude
tWWQ
Na equação, SW é a taxa de qualquer trabalho de eixo (potência) realizado sobre ou pelo
volume de controle, outrosW é a taxa de qualquer trabalho não considerado (como por exemplo
um trabalho produzido por forças eletromagnéticas).
É importante ressaltar que a dedução da equação está além do escopo desta disciplina. Para
maiores detalhes, recomenda-se consultar os livros texto de Mecânica dos Fluidos sugeridos
nas referências bibliográficas.
A EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Muitas vezes, deseja-se aplicar a equação de conservação da energia para o escoamento em
regime permanente de um fluido incompressível no interior de uma tubulação, com apenas
uma entrada e uma saída de massa. Para esta situação, a equação da energia pode ser
simplificada.
Adotando-se as hipóteses de escoamento em regime permanente, sem outras formas de
trabalho realizadas, a equação se reduz a
SC
2
S AdVgz2
VPuWQ
Chamando a entrada da tubulação de 1 e a saída da tubulação de 2, e considerando que, em
uma dada seção, a energia interna u, a pressão P e a distância vertical z não se alteram, a
equação pode ser dada por
1A
11
21
2A
22
22
222
2111
1S dAV2
VdAV
2
Vmgz
Pumgz
PuWQ
No entanto, sabe-se que, para escoamento incompressível, a vazão mássica se conserva.
mmm 21
Assim,
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
78
1A
11
2
1
2A
22
2
212
1212S dAV
2
VdAV
2
Vmgzgz
PPuuWQ
Definindo-se o coeficiente de energia cinética de forma que
A
2
A
2
VdA2
VVdA
2
V,
pode-se escrever a equação da energia em uma forma mais compacta
mgzgz2
V
2
VPPuuWQ 12
2
11
2
22
1212S
Para escoamento em regime turbulento, é aproximadamente igual à unidade. Para
escoamento em regime laminar, = 2.
Dividindo-se a equação pela vazão mássica, tem-se
12
21
1
22
212
12S gzgz
2
V
2
VPPuu
m
W
m
Q
Reescrevendo-se a equação,
m
Quu
m
Wgz
2
VPgz
2
VP12
S2
22
22
1
21
11
Os termos entre parênteses do lado esquerdo da equação representam a energia mecânica por
unidade de massa em cada seção transversal do escoamento. O termo mWS representa a
potência de eixo (por unidade de massa) fornecida ou retirada do fluido (hS) e o termo
m
Quu 12
representa a conversão irreversível de energia mecânica na seção 1 em energia
térmica não desejada e a perda de energia por transferência de calor. Este último termo é
denominado Perda de Carga, hLT.
A equação pode ser escrita como
LTS2
2
22
21
2
11
1 hhgz2
VPgz
2
VP
É importante lembrar que hS representa a energia de eixo por unidade de massa fornecida ou
retirada do fluido. Pela convenção de sinais adotada, esta energia é positiva quando se trata de
energia retirada do fluido (como no caso de uma turbina) e negativa quando fornecida ao
fluido (como no caso de uma bomba).
Para facilitar a utilização da equação de Bernoulli, pode-se definir a energia de uma bomba
(por unidade de massa do fluido) por hB e a energia de uma turbina (por unidade de massa do
fluido) por hT e atribuir sinais a elas, de acordo com a convenção adotada. A equação pode ser
dada por
LTBT2
2
22
21
2
11
1 hhhgz2
VPgz
2
VP
A potência de uma bomba, ou seja, a potência que a bomba fornece ao fluido é dada por:
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
79
BB QhW
onde é a massa específica do fluido
Q é a vazão volumétrica através da bomba
hB é a energia por unidade de massa do fluido fornecida pela bomba.
No entanto, a energia disponível para a bomba é diferente da energia transferida pela bomba
para o fluido. Uma parte da energia é perdida por fugas de massa e por dissipação por atrito
no interior da bomba. A eficiência da bomba é definida então como sendo a razão entre a
energia disponível para o fluido e a energia disponível para a bomba, ou seja, a razão entre a
potência real da bomba e a sua potência ideal (ou de acionamento),
oAcionamentedPotência
RealPotência
IdealPotência
RealPotênciab
A potência real é a potência que efetivamente chega ao fluido e a potência ideal ou de
acionamento de uma bomba é a potência de entrada (normalmente elétrica) da bomba, ou seja,
a potência gasta para acioná-la.
A unidade de potência, no SI, é o W (J/s). Outras unidades bastante utilizadas são o cavalo-
vapor (cv) e o horse power (hp), sendo 1cv = 736W e 1 hp = 745,7W, ou seja, 1hp = 1,014cv.
Da mesma maneira, pode-se definir a potência retirada do escoamento por uma turbina:
TT QhW
onde é a massa específica do fluido
Q é a vazão volumétrica através da turbina
hT é a energia por unidade de massa do fluido retirada pela turbina.
A energia retirada pela turbina é diferente da energia fornecida para um gerador. Uma parte
da energia é perdida por fugas de massa e por dissipação por atrito no interior da turbina. A
eficiência da turbina é definida então como sendo a razão entre a potência disponível para o
gerador (potência de saída) e a potência retirada pela turbina (potência de entrada), ou seja, a
razão entre a potência real da turbina e a sua potência ideal,
IdealPotência
RealPotênciaT
Cada termo da equação de Bernoulli, na forma apresentada, tem dimensões de energia por
unidade de massa, ou m2/s
2. Muitas vezes, é conveniente representar o nível de energia de um
escoamento por meios gráficos. Para isto, é mais conveniente a apresentação da equação de
Bernoulli dividida pela aceleração da gravidade, onde cada termo tem dimensões de
comprimento, ou carga do fluido em escoamento.
g
h
g
hz
g2
V
g
Pz
g2
V
g
P LTS
2
2
22
21
2
11
1
ou
LTS2
2
22
21
2
11
1 HHzg2
V
g
Pz
g2
V
g
P
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
80
A EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDOS IDEAIS
Para escoamentos de fluidos incompressíveis para os quais podem ser desprezados os efeitos
de atrito (fluidos ideais), tem-se que
m
Quu 12
ou
hLT = 0
A equação de Bernoulli pode ser dada então por
BT2
2
22
21
2
11
1 hhgz2
VPgz
2
VP
Quando, além disso, não há nenhuma potência de eixo, toda a energia mecânica se conserva.
A equação é dada por
2
22
22
1
21
11 gz
2
VPgz
2
VP
tetanconsHgz2
VP 2
Equação de Bernoulli para fluidos ideais
A energia em qualquer ponto da massa fluida em um escoamento incompressível em regime
permanente é constante.
Exemplo 6 – Equação de Bernoulli para fluidos ideais
Gasolina a 20oC escoa através do duto mostrado na figura, com uma vazão de 12kg/s.
Assumindo comportamento de fluido ideal, calcule a pressão manométrica na seção 1.
A equação de Bernoulli estabelece que
LTBT
22
222
21
111 hhh
2
Vgz
P
2
Vgz
P
Se forem desprezadas as perdas de carga, hLT = 0. Além disso, como não existe bomba nem turbina no
problema, hT = hB = 0.
A equação se reduz a
2
Vgz
P
2
Vgz
P 22
222
21
111
É necessário conhecer as velocidades do fluido nos pontos 1 e 2. Elas podem ser determinadas através
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
81
da definição da vazão mássica, lembrando que ela deve se conservar para um escoamento em regime
permanente.
2211 AVAVm
Da Tabela A.1, .s.m/kg10x92,2em/kg680 43
213m08,0
4.V.
m
kg68012
s/m51,3V1
223m05,0
4.V.
m
kg68012
s/m99,8V2
Para se determinar o regime de escoamento, é necessário calcular o número de Reynolds em ambas as
seções.
dVRe
Para a menor velocidade,
5
4
3
10x54,6s.m/kg10x92,2
m08,0.s/m51,3.m/kg680Re
Para a maior velocidade,
6
4
3
10x05,1s.m/kg10x92,2
m05,0.s/m99,8.m/kg680Re
Em ambas as seções, o escoamento é turbulento. Pode-se considerar, portanto,
121
Se o plano de referência for passado pela seção 1, z1 = 0 e z2 = 12 m.
Como a incógnita do problema é a pressão manométrica, pode-se utilizar o valor manométrico da
pressão atmosférica no ponto 2, ou seja, zero.
2
99,8.181,9.12
680
0
2
51,3.181,9.0
680
P 22man,1
kPa3,103P man,1 ◄
Visualização gráfica da equação de Bernoulli
Muitas vezes, é conveniente visualizar a equação de Bernoulli graficamente. Esta visualização
é mais facilmente feita se os termos da equação forem escritos com dimensão de energia por
unidade de peso. Para fluidos ideais sem trabalho de eixo, a equação de Bernoulli é dada por:
2
2
22
21
2
11
1 zg2
V
g
Pz
g2
V
g
P
Os termos individuais da equação de Bernoulli são
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
82
local dinâmica pressão à devida cargaou fluido do peso de unidadepor Cinética Energia :g2
V
elevação de cargaou fluido do peso de unidadepor Posição de Energia :z
local estática pressão à devida cargaou fluido do peso de unidadepor Pressão de Energia :g
P
2
Para um fluido ideal sem trabalho de eixo, a energia mecânica total se conserva. A energia
total por unidade de peso do fluido é a carga total do escoamento. A linha energética
representa a altura de carga total. Conforme mostrado na equação de Bernoulli, a altura da
linha energética permanece constante para o escoamento sem atrito, quando nenhum trabalho
é realizado sobre ou pelo fluido. A linha piezométrica representa a soma das alturas de carga
devidas à elevação e à pressão estática. A diferença entre as alturas da linha energética e da
linha piezométrica representa a altura de carga dinâmica (de velocidade). A Figura 14
apresenta uma representação das linhas de carga para o escoamento de um fluido.
Figura 14 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento em um Duto
Linha Energética: g2
V
g
Pz
2
Linha Piezométrica: g
Pz
Teorema de Torricelli
Seja um recipiente de paredes delgadas com a área da superfície livre constante, contendo um
fluido ideal, escoando em regime permanente através de um orifício lateral (Fig. 15).
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
83
Figura 15 – Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes Delgadas
A aplicação da equação de Bernoulli para fluidos ideais conduz a
g2
Vz
g
P
g2
Vz
g
P 21
111
22
222
Para escoamento turbulento, assume-se 121
A equação da continuidade estabelece que a vazão volumétrica é constante, ou seja,
2211 VAVAQ
Como 21 AA , pode-se considerar 0V1
Como o jato de saída é livre à pressão atmosférica, atm21 PPP .
Além disso, hzz 21
Portanto,
g2
uh
22 ou
gh2V2
Teorema de Torricelli: A velocidade média de um líquido jorrando por um orifício através de
uma parede delgada é igual à velocidade que teria um corpo em queda livre de uma altura h.
A EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDOS REAIS – PERDA DE CARGA
A perda de carga total hLT é dada pela soma das perdas distribuídas, hd, devidas aos efeitos de
atrito no escoamento completamente desenvolvido em tubos de seção reta constante, com as
perdas localizadas, hL, devidas a entradas, acessórios, mudanças de área e outros.
LdLT hhh
A equação de Bernoulli é dada, então, por
LdBT2
2
22
21
2
11
1 hhhhgz2
VPgz
2
VP
Perdas de carga distribuídas
A perda de carga distribuída é dada por
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
84
2
V
D
Lfh
2
d
onde L é a distância percorrida pelo fluido entre as duas seções consideradas
D é o diâmetro do tubo
V é a velocidade média do fluido
f é o fator de atrito.
O principal problema consiste então na determinação do fator de atrito. Basicamente, ele
depende da rugosidade e do diâmetro D da tubulação, da velocidade média do escoamento
V e das propriedades do fluido ( e ). Através de análise dimensional, obtém-se que o fator
de atrito é função de dois adimensionais: a rugosidade relativa /D e o número de Reynolds. O
adimensional de Reynolds, ou Re, é definido por
DVDVRe
Como já visto, o número de Reynolds caracteriza o regime de escoamento. Para escoamentos
no interior de tubos,
Se
o turbulenté escoamento o 4000,Re
transiçãode faixa na está escoamento o 4000,Re2300
laminar é escoamento o 2300,Re
O fator de atrito depende do regime de escoamento. Para escoamentos laminares, o fator de
atrito pode ser calculado por:
Re
64f
Para escoamentos turbulentos, a determinação do fator de atrito é mais complicada. A
expressão mais largamente utilizada é a de Colebrook
5,05,0 fRe
51,2
7,3
D/log2
f
1
A expressão anterior é transcendental, ou seja, deve ser resolvida por um procedimento
iterativo. No entanto, as calculadoras científicas atuais possuem recursos para resolver estas
equações sem a necessidade de iterações manuais.
Os valores do fator de atrito, para escoamentos laminares e turbulentos, foram determinados
experimentalmente para uma série de valores de Re e de /D e sumarizados em um ábaco
(Fig. 16), denominado Ábaco de Moody.
Moody apresenta também uma tabela para determinação da rugosidade absoluta em tubos,
para alguns materiais comuns de engenharia, em boas condições (Tabela 2).
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
85
Tabela 2 – Rugosidade para Tubos de Materiais Comuns de Engenharia
Material Rugosidade (mm)
Aço Rebitado 0,9-9
Concreto 0,3-3
Madeira 0,2-0,9
Ferro Fundido 0,26
Ferro Galvanizado 0,15
Ferro Fundido Asfaltado 0,12
Aço Comercial 0,046
Aço Galvanizado 0,06 a 0,20
Trefilado 0,0015
PVC 0,015
Exemplo 7 – Cálculo do fator de atrito – escoamento laminar
Óleo SAE 30W a 20oC escoa no interior de um tubo novo de aço comercial de 2 in de
diâmetro. Determine o fator de atrito do escoamento, se a velocidade do óleo é de 3 m/s.
Para a determinação do fator de atrito, é necessário conhecer o número de Reynolds e a rugosidade
relativa do tubo.
dVRe
Da Tabela A.1, 3m
kg891
s.m
kg29,0
m0508,0in2d
468s.m/kg29,0
m0508,0.s/m3.m/kg891Re
3
Como Re < 2300, o escoamento é laminar. O fator de atrito independe da rugosidade relativa do tubo,
sendo dado pela expressão
468
64
Re
64f
137,0f ◄
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
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86
Figura 16 – Ábaco de Moody
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
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87
Exemplo 8 – Cálculo do fator de atrito – escoamento turbulento
Determine o fator de atrito do escoamento de água a 15oC, para as mesmas condições do
exemplo anterior.
As propriedades da água a 15oC são
3m
kg999
s.m
kg10x14,1 3
Assim, pode-se calcular o número de Reynolds
dVRe
550.133s.m/kg10x14,1
m0508,0.s/m3.m/kg999Re
3
3
Como Re > 2300, o escoamento é turbulento. É necessário, portanto, determinar a rugosidade relativa
do tubo.
Da Tabela 2, a rugosidade absoluta do aço comercial é 0,046 mm. A rugosidade relativa pode ser
obtida dividindo-se a rugosidade absoluta pelo diâmetro do tubo. É importante ressaltar que ambas as
grandezas devem estar expressas nas mesmas unidades.
0009,0mm8,50
mm046,0
d
Utilizando-se o ábaco de Moody (Fig. 16) ou a equação de Colebrook, tem-se
021,0f ◄
Perdas de carga localizadas
Em um sistema real, muitas vezes o escoamento é obrigado a passar por uma série de
acessórios, conexões, curvas ou mudanças abruptas de seção e direção. Ao passar por estes
obstáculos, o escoamento perde energia e tem sua pressão diminuída. As perdas de carga
locais foram determinadas experimentalmente e modeladas segundo duas equações diferentes
2
VKh
2
L
2
V
D
Lfh
2
e
L
onde K é o coeficiente de perda local e Le é o comprimento equivalente da tubulação. Para
cada tipo de acessório, existe um coeficiente ou comprimento equivalente. A perda de carga
localizada total é dada pela soma das perdas de carga localizadas individuais.
2
V
D
Lf
2
VKh
2
e
2
L
A entrada do escoamento em um tubo pode causar uma perda de carga considerável, se for
mal projetada. Na Tabela 3, são apresentadas três geometrias básicas de entradas.
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
88
Tabela 3 – Coeficiente de Perda de Carga para Entrada e Saída do Escoamento
Tipo K
0,78
0,5
r/D 0,02 0,06 >0,015
K 0,28 0,15 0,04
Saída Submersa
Toda a energia cinética do fluido é dissipada pela mistura quando o escoamento descarrega de
um tubo em um grande reservatório ou câmara (saída submersa). Assim, para uma saída
submersa, o coeficiente de perda é igual a , não importando a geometria (Tabela 3). Deve-se
lembrar que o coeficiente de energia cinética é determinado pelo regime de escoamento.
Para escoamento laminar, = 2,0 e, para escoamento turbulento, = 1,0.
Um escoamento pode ainda sofrer uma expansão ou contração abrupta. Para este caso, a
Tabela 4 apresenta os coeficientes de perda de carga, em função da razão de áreas AR (razão
entre a menor e a maior área da contração ou expansão).
Tabela 4 – Coeficiente de Perda de Carga para Contração e Expansão
AR = A2 / A1 Kcontração Kexpansão
0 0,5 1
0,2 0,43 0,64
0,25 0,40 0,58
0,4 0,3 0,39
0,6 0,17 0,17
0,8 0,1 0,06
1,0 0 0
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
89
Para se obter coeficientes de perda de carga correspondentes a valores de AR intermediários
entre os apresentados na Tabela 4, deve-se fazer uma interpolação.
Exemplo 9 – Determinação do coeficiente de perda de carga em uma expansão abrupta
Um tubo de 15 cm de diâmetro (d) tem a sua seção subitamente alterada para 25 cm (D).
Determine o coeficiente de perda de carga correspondente a esta expansão.
Em primeiro lugar, deve-se determinar a razão de áreas AR, definida como a razão entre a área menor
e a área maior.
2
2
2
D
d
4/D
4/d
A
aAR
36,025
15AR
2
Na aplicação de uma interpolação linear, assume-se que o coeficiente de perda de carga varia
linearmente entre os extremos encontrados, como observado na figura a seguir. Para uma expansão
com AR = 0,2, o valor de k correspondente é 0,64. Para uma expansão com AR = 0,4, o valor de k
correspondente é 0,39.
Como os triângulos na figura são semelhantes, pode-se dizer que:
4,036,0
39,0k
4,02,0
39,064,0
Assim, k = 0,44 ◄
As perdas decorrentes da variação de área podem ser reduzidas pela instalação de um bocal ou
um difusor entre as duas seções de tubo reto. Um bocal é um dispositivo utilizado para a
redução gradual da seção do escoamento (Fig. 17). A Tabela 5 apresenta os coeficientes de
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
90
perda de carga para bocais, para diferentes razões de área e para diferentes ângulos .
Figura 17 – Bocal
Tabela 5 – Coeficientes de Perda de Carga para Redução Suave da Seção
Kcontração
A2 / A1 10o
15o - 40
o 50
o - 60
o 90
o 120
o 150
o 180
o
0,50 0,05 0,05 0,06 0,12 0,18 0,24 0,26
0,25 0,05 0,04 0,07 0,17 0,27 0,35 0,41
0,10 0,05 0,05 0,08 0,19 0,29 0,37 0,43
As perdas em difusores (expansão gradual da seção do escoamento) dependem de diversas
variáveis geométricas e do escoamento. Como um difusor provoca um aumento da pressão
estática do escoamento (redução da velocidade média), o coeficiente de perda é comumente
apresentado em termos de um coeficiente de recuperação de pressão, CP
21
12P
V21
PPC
O coeficiente de perda de carga é dado por
P2C
AR
11K
Definindo-se um coeficiente ideal de recuperação de pressão, CPi, como o coeficiente de
recuperação que existiria se os efeitos de atrito fossem desprezados,
2PiAR
11C
PPi CCK
A Figura 18 apresenta os coeficientes de perda de carga para difusores, em função do ângulo
total do difusor.
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
91
Figura 18 – Coeficiente de Perda de Carga para um Difusor
Deve ser observado que as perdas de carga são obtidas ao se multiplicar o coeficiente de
perda de carga por 2
V 2
. No entanto, em uma redução ou aumento de seção, há duas
velocidades diferentes; a da maior e a da menor seção. Para estes casos, sempre deve ser
usado o maior valor de velocidade.
As perdas de carga em escoamentos através de válvulas e conexões também podem ser
escritas em termos de comprimentos equivalentes de tubos retos. Estes valores, para cada um
dos acessórios, são mostrados na Tabela 6.
Tabela 6 – Comprimento Equivalente Adimensional para Válvulas e Conexões
Válvulas são dispositivos destinados a estabelecer, controlar e interromper a descarga de
fluidos em tubulações. Algumas garantem a segurança da instalação e outras permitem
desmontagens para reparos ou substituições de elementos da instalação. Existe uma grande
variedade de tipos de válvulas, cuja escolha depende da natureza da operação a realizar, das
propriedades físicas e químicas do fluido considerado, da pressão e da temperatura do
escoamento e da forma de acionamento pretendida.
As válvulas de gaveta (Figuras 19a e 20a) são as válvulas mais empregadas para escoamento
de líquidos. Possuem custo relativamente reduzido e permitem a redução da vazão do
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
92
escoamento através do volante situado na parte superior do corpo da válvula. Quando o
volante é girado, a válvula desliza para baixo na seção (Figura 20a).
As válvulas de esfera (Figura 19b) são válvulas de uso geral, de fechamento rápido, muito
usadas para ar comprimido, vácuo, vapor, gases e líquidos. O controle do fluxo é feito por
meio de uma esfera, possuindo uma passagem central e localizada no corpo da válvula. O
comando é, em geral, manual, com o auxílio de uma alavanca. Estas válvulas não se aplicam a
casos em que se pretende variar a vazão, mas apenas abrir ou fechar totalmente a passagem do
fluido.
(a) Válvula Gaveta (b) Válvula de Esfera
Figura 19 – Exemplos de Válvulas
Figura 20 – Geometrias de Válvulas Comerciais Típicas: (a) Válvula Gaveta; (b) Válvula Globo;
(c) Válvula Angular; (d) Válvula de Retenção Basculante; (e) Válvula tipo Disco
As válvulas globo (Fig. 20b) possuem uma haste parcialmente rosqueada em cuja extremidade
existe um alargamento, tampão ou disco para controlar a passagem do fluido por um orifício.
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
93
Servem para regular a vazão, pois podem trabalhar com o tampão da vedação do orifício em
qualquer posição, embora acarretem grandes perdas de carga, mesmo com abertura máxima.
As válvulas angulares (Fig. 20c) são semelhantes às válvulas globo, porém trabalham com
uma mudança de seção de 90.
As válvulas de retenção (Fig. 20d) permitem o escoamento em um só sentido. Quando há a
tendência de inversão no sentido do escoamento, fecham automaticamente pela diferença de
pressão provocada.
As válvulas tipo disco (Fig. 20e) fecham a seção com uma comporta circular.
Existe um número muito grande de dados experimentais para as perdas de carga localizadas.
Os valores apresentados constituem uma compilação dos dados da literatura, proposta por Fox
e McDonald (2001). Eles devem ser considerados como dados representativos para algumas
situações comumente encontradas. Para válvulas, o projeto irá variar significativamente,
dependendo do fabricante. Sempre que possível, os valores fornecidos pelos fabricantes
deverão ser utilizados para a obtenção de dados mais precisos. Além disso, como as perdas de
carga introduzidas por acessórios e válvulas irão variar consideravelmente, dependendo dos
cuidados tomados durante a fabricação da tubulação. Rebarbas do corte de trechos de tubos,
por exemplo, poderão causar obstruções locais, com aumento considerável das perdas.
Exemplo 10 – Equação de Bernoulli para fluidos reais – perdas de carga
Uma tubulação de aço comercial leva 0,15 m3/s de água a 20˚C entre dois reservatórios
abertos, como mostrado na figura. Sabendo que o diâmetro da tubulação é reduzido de 28 cm
para 14 cm na seção CD (com = 90o), calcule o desnível entre os pontos B e G.
Para se resolver o problema, deve-se utilizar a equação de Bernoulli,
LTBT
22
22
21
11 hhh
2
Vgz
P
2
Vgz
P
Considerando-se os pontos 1 e 2 na superfície livre do primeiro reservatório e na saída da tubulação,
podem ser feitas as seguintes simplificações
atm21 PPP 0V1 10hz1 0z2 0hh BT
A equação se reduz a
dL
22 hh
2
V10hg (2)
Como existem dois diâmetros diferentes ao longo da tubulação, devem ser consideradas duas perdas
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
94
de carga distribuídas, uma ao longo da tubulação BC e outra ao longo da tubulação DG. As perdas de
carga localizadas que devem ser consideradas são as perdas devido à entrada do escoamento na
tubulação (ponto B), à redução gradual de seção (CD) e ao cotovelo de 90o (EF). Indicando as
propriedades na seção BC pelo subscrito a e, na seção DG, pelo subscrito b, as perdas de carga são
dadas por
2
V
d
Lf
2
V
d
Lfh
2
b
b
bb
2
a
a
aad
observando-se que
m40La m15hLb
2
V
d
Lf
2
VK
2
VKh
2
b
ovelocot
eb
2
bredução
2
aentradaL
Deve ser observado que a perda de carga na redução foi dada em função da velocidade da seção DG
(maior valor de velocidade).
Da Tabela 3, Kentrada = 0,5 (Borda viva).
Da Tabela 4, para uma razão de áreas de 0,25 e um ângulo de 90o, Kredução = 0,17
Da Tabela 6,
ovelocot
e
d
L= 30
A equação é dada, então, por
2
V
d
Lf
2
VK
2
VK
2
V
d
Lf
2
V
d
Lf
2
V10hg
2
b
ovelocot
eb
2
bredução
2
aentrada
2
b
b
bb
2
a
a
aa
2
2
ou. lembrando que 2b VV
10g2
V
d
LfK
d
Lf1
g2
VK
d
Lfh
2
b
ovelocot
ebredução
b
bb
2
aentrada
a
aa
(1)
As velocidades devem ser calculadas a partir da vazão volumétrica, que se conserva através de toda a
tubulação (a água pode ser considerada incompressível).
bbaa AVA.VQ
4
m28,0.V
s
m15,0
2
a
3 s/m44,2Va
As propriedades da água a 20oC podem ser obtidas na Tabela A.2.
3m
kg998
s.m
kg10x0,1 3
5
3
3
a 10x81,6s.m/kg10x0,1
m28,0.s/m44,2.m/kg998Re
Da Tabela 2, a rugosidade absoluta do aço comercial é 0,046 mm. A rugosidade relativa na seção BC é
dada, portanto, por
00016,0mm280
mm046,0
d
Utilizando-se o ábaco de Moody (Fig. 16) ou a equação de Colebrook, tem-se
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
95
0147,0fa
Para a seção BG,
4
m14,0.V
s
m15,0
2
b
3 s/m74,9Vb
6
3
3
b 10x36,1s.m/kg10x0,1
m14,0.s/m74,9.m/kg998Re
00033,0mm140
mm046,0
d
0157,0fb
Substituindo-se os valores encontrados na equação (1), tem-se
m10
s/m81,9.2
s/m74,930.0157,017,0
m14,0
m15h0157,01
s/m81,9.2
s/m44,25,0
m28,0
m400147,0h
2
2
2
2
m98,14h ◄
Exemplo 11 –Potência de uma bomba
Água para resfriamento de perfuratrizes é bombeada de um reservatório para um canteiro de
obras usando o sistema de tubulação mostrado. A tubulação tem 10cm de diâmetro e é feita de
ferro fundido. Entre a saída da bomba e o canteiro de obras, existem 15 conexões, com K = 1
(cada) e a água percorre um comprimento total de 1 km. A vazão deve ser de 40 litros/s e a
água desemboca para a atmosfera. Estime a potência de acionamento requerida pela bomba se
a sua eficiência é de 70%. Despreze as perdas de carga nas curvas. Considere as propriedades
da água a 15˚C.
A potência de acionamento da bomba pode ser calculada pela expressão
BB
QhW (1)
onde hB é a energia, por unidade de peso, que a bomba fornece para o fluido e é a eficiência da
bomba. hB pode ser calculada pela equação de Bernoulli,
LdBT
22
222
21
111 hhhh
2
Vgz
P
2
Vgz
P
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
96
Se os pontos 1 e 2 forem definidos como sendo, respectivamente, a superfície livre do reservatório e o
canteiro de obras, podem ser feitas as seguintes simplificações
atm21 PPP 0V1 0z1 m120z2
A equação se reduz a
Ld
22
22B hh2
Vgzh (2)
onde hL e hd representam, respectivamente, as perdas de carga localizadas e distribuídas. No problema
em questão, deve ser considerada apenas uma perda de carga distribuída, ao longo de 1 km de
extensão da tubulação e perdas de carga localizadas devido à entrada do escoamento na tubulação, à
válvula gaveta e às conexões.
As perdas de carga são dadas por
2
V
d
Lfh
22
d
2
VK15
2
V
d
Lf
2
VKh
22
con
22
válvula
e22
entradaL
Da Tabela 3, Kentrada = 0,78 (Entrada Reentrante).
Da Tabela 6,
gavetaválvula
e
d
L= 8
2
Vf.878,15
2
V1.15f.878,0
2
VK15
d
LfKh
22
22
22
con
válvula
eentradaL
A equação é dada, então, por
2
Vf.878,15
2
V
d
Lf
2
Vgzh
22
22
22
22B
É necessário calcular a velocidade do fluido no ponto 2 e o fator de atrito do escoamento. A
velocidade é calculada através da vazão volumétrica,
222 A.VQ
4
m10,0.V
s
m040,0
222
3 s/m09,5V2
Para se determinar o fator de atrito, é necessário calcular o número de Reynolds e a rugosidade relativa
do tubo. As propriedades da água a 15oC podem ser obtidas na Tabela A.2.
3m
kg999
s.m
kg10x14,1 3
5
3
3
10x46,4s.m/kg10x14,1
m10,0.s/m09,5.m/kg999Re
Como Re > 2300, o escoamento é turbulento. Portanto, 12 .
Da Tabela 2, a rugosidade absoluta do ferro fundido é 0,26 mm. A rugosidade relativa é dada por
0026,0mm100
mm26,0
d
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
97
Utilizando-se o ábaco de Moody (Fig. 16) ou a equação de Colebrook, tem-se
025,0f
A energia por unidade de peso fornecida pela bomba é dada pela equação (2)
2
s/m09,5025,0.878,15
2
s/m09,5
m10,0
m1000025,0
2
s/m09,5.1m120.s/m81,9h
2222
B
2
2
Bs
m52,3458h
A potência de acionamento da bomba é então calculada através da expressão (1)
70,0
s/m040,0s/m52,3458.m/kg999W
3223
B
hp265kW197WB ◄
MEDIDORES DE VAZÃO
Freqüentemente, é necessário medir a vazão que passa por uma tubulação. Existem diferentes
dispositivos capazes de efetuar esta medição, divididos principalmente em duas classes:
instrumentos mecânicos e instrumentos de perda de carga. Os instrumentos mecânicos medem
a vazão real do fluido, retendo e medindo uma certa quantidade de fluido. Os dispositivos de
perda de carga obstruem o escoamento, causando a aceleração de uma corrente fluida e a
queda da pressão do escoamento, como mostrado na Fig. 21 para um bocal genérico.
Figura 21 – Escoamento Interno através de um Bocal Genérico
A separação do escoamento na borda viva da garganta do bocal provoca a formação de uma
zona de recirculação, como mostrado pelas linhas tracejadas a jusante do bocal. A corrente
principal do escoamento continua a se acelerar após a garganta, formando uma vena contracta
na seção 2 e, em seguida, desacelera-se para preencher toda a seção do tubo. Na vena
contracta, a área de escoamento é mínima e a velocidade é máxima.
A vazão teórica pode ser relacionada ao gradiente de pressão através da aplicação da equação
de Bernoulli para fluidos ideais e da equação de conservação da massa. A equação de
Bernoulli estabelece que
2
Vgz
P
2
Vgz
P 2
222
2
2
111
1
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
98
Como z1 = z2, a equação se reduz a
2
VP
2
VP 2
22
2
2
11
1
Assim, considerando-se escoamento turbulento, 121 e
21
2221 VV
2PP
22
21
22
21V
V1
2
VPP
As velocidades 21 VeV podem ser relacionadas através da equação de conservação da massa,
2211 AVAV
ou
1
2
2
1
A
A
V
V
Assim,
2
1
222
21A
A1
2
VPP
A velocidade teórica (ideal) 2V é, portanto, dada por
212
212
AA1
PP2V
A vazão volumétrica teórica é dada, portanto, por
22AVQ
2212
21 AAA1
PP2Q
No entanto, diversos fatores limitam a utilidade da equação anterior para o cálculo da vazão
através do medidor. A área do escoamento real na seção 2 é desconhecida quando a vena
contracta é pronunciada. Em geral, os perfis de velocidade não podem ser considerados
uniformes na seção. Os efeitos de atrito podem se tornar importantes quando os contornos do
medidor são abruptos. Finalmente, a localização das tomadas de pressão influencia a leitura
da pressão diferencial.
A equação teórica é ajustada pela definição de um coeficiente de descarga empírico C.
t21t
21real CA
AA1
PP2Q
Deve ser observado que no cálculo da vazão real a área que deve ser utilizada é a área da
garganta, e não a área do escoamento na seção 2.
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
99
São apresentados na literatura valores para os coeficientes dos medidores de vazão, medidos
com distribuições de velocidades turbulentas, completamente desenvolvidas na entrada do
medidor.
O Tubo de Venturi
O tubo de Venturi consiste em uma redução da seção do escoamento, provocando um
aumento de velocidade e uma queda na pressão, como mostrado na Fig. 22. Em geral, os
medidores são fundidos e usinados com pequenas tolerâncias, de modo a reproduzir o
desempenho de projeto. A perda de carga total é baixa. Dados experimentais mostram que os
coeficientes de descarga variam de 0,980 a 0,995 para altos números de Reynolds (maiores
que 2x105). Por isso, C = 0,99 pode ser usado para medir a vazão em massa com cerca de 1%
de erro. Para menores números de Reynolds, a literatura dos fabricantes deve ser consultada.
Figura 22 – Tubo de Venturi
A Placa de Orifício
A placa de orifício é uma placa fina que pode ser colocada entre flanges. Como a sua
geometria é simples, é de baixo custo e de fácil instalação e reposição. As principais
desvantagens são a sua capacidade limitada e a elevada perda de carga imposta ao sistema. As
tomadas de pressão podem ser posicionadas em diversos locais. Como a localização das
tomadas influencia o coeficiente de descarga, valores consistentes devem ser selecionados de
manuais.
Figura 23 – Placa de Orifício
A equação de correlação recomendada para um orifício concêntrico com tomadas de canto
(Fig. 23) é
5,2
75,01D
81,2
1D
Dt
Re
71,91
1D
Dt184,0
1D
Dt0312,05959,0C
Equações de correlação similares estão disponíveis para placas de orifício com tomadas de
flange e com tomadas de pressão com D e D/2.
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
100
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
101
LISTA DE EXERCÍCIOS – MECÂNICA DOS FLUIDOS
1) Qual a unidade de viscosidade absoluta no Sistema Gravitacional Britânico? Transforme
para unidades do Sistema Internacional.
2) Um cubo oco, de aresta a = 2 cm, é totalmente preenchido com mercúrio a 20oC.
Utilizando os valores dados no Apêndice A, determine:
a) A densidade relativa;
b) o volume específico;
c) o peso específico;
d) a viscosidade cinemática do mercúrio e
e) a pressão exercida pelo mercúrio na face inferior do cubo.
3) O óleo lubrificante SAE 70, a 55oC, tem um peso específico de 55lbf/ft
3 e uma
viscosidade absoluta de 0,0088slug/(ft.s). Em unidades do SI, quais são:
a) A sua viscosidade e
b) a sua viscosidade cinemática ?
4) Uma placa infinita move-se sobre outra igual e estacionária. Entre ambas há uma camada
líquida de espessura h = 0,3 mm. Admitindo que a distribuição das velocidades seja linear
com Vmax = 0,3m/s, que a viscosidade seja 0,65 centipoise e que a densidade relativa valha
0,88, calcule: (a) A viscosidade absoluta do líquido em slug/ft.s, (b) A viscosidade
cinemática do líquido em m2/s, (c) A tensão tangencial na placa superior em lbf/ft
2 e (d) A
tensão tangencial na placa inferior em Pa.
Exercício 4
5) Um bloco cúbico uniforme de aresta a = 10 cm é puxado sobre uma superfície horizontal
sobre a qual há uma fina película de óleo com viscosidade μ = 0,3 N.s/m2. A película de
óleo tem espessura h = 1 mm, como mostrado na figura. Supondo que a distribuição de
velocidades na película de óleo seja linear, determine qual deve ser a força necessária para
puxar o bloco com velocidade constante V = 0,8 m/s.
Exercício 5
6) A distribuição de velocidade para o escoamento laminar completamente desenvolvido
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
102
entre placas paralelas é dada por 2
max h
y21
u
u
onde h é a distância separando as placas. A origem está situada na linha mediana entre as
placas. Considere um escoamento de água a 20°C, com maxu = 0,10 m/s e h = 0,25 mm.
Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior.
7) Petróleo bruto, com densidade relativa SG = 0,85 e viscosidade = 2,15x10-3
lbf.s/ft2
,
escoa em regime permanente sobre uma superfície inclinada de 30° para baixo em relação
à horizontal, em uma película de espessura h = 0,12 in. O perfil de velocidades é dado por
sen
2
yhy
gu
2
A coordenada x está ao longo da superfície e y é normal a ela. Determine a tensão de
cisalhamento que atua sobre a superfície.
8) Um bloco cúbico pesando 45 N e com aresta de 25 cm é puxado para cima sobre uma
superfície inclinada sobre a qual há uma fina película de óleo ( 2m/s.N037,0 ). A
velocidade do bloco é de 0,6 m/s e a película de óleo tem 0,001 in de espessura. A
superfície está inclinada de 25° em relação à horizontal. Supondo que a distribuição de
velocidades na película de óleo seja linear, determine:
a) A tensão de cisalhamento sobre a superfície inferior do bloco;
b) A força de atrito entre o bloco e a película de óleo;
c) A força necessária para puxar o bloco.
9) Um bloco é puxado para cima sobre uma superfície inclinada 25 sobre a qual há
uma fina película de óleo, de espessura h = 0,01 in. Para que o bloco se movimente para
cima com uma velocidade constante de 1,5 m/s, é necessária uma força F = 130 N. A
densidade relativa do material do bloco é SGb = 5,3 e suas dimensões são a = 12 cm, b =
13 cm e c = 15 cm (perpendicular ao plano da folha). Sabendo que a densidade relativa do
óleo é 0,85, determine sua viscosidade cinemática. Considere que o perfil de velocidades
na película de óleo é linear.
Exercício 9
10) Um bloco cúbico de aresta a = 20 cm desliza para baixo sobre uma superfície inclinada
sobre a qual há uma fina película de óleo (viscosidade absoluta de 0,3 N.s/m2), de
espessura h = 0,01 in. A superfície está inclinada de θ = 20˚ em relação à horizontal, como
mostra a figura. Suponha que o perfil de velocidades no óleo é linear. Determine qual deve
ser a densidade absoluta do material do bloco para que ele se desloque para baixo com
velocidade constante U = 1,2 m/s.
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
103
Exercício 10
11) Água a 20oC escoa no interior de um tubo de 20cm de diâmetro com uma velocidade de
1,0 m/s. Calcule o número de Reynolds característico do escoamento.
12) Seja o escoamento laminar em um duto circular. A velocidade u em um ponto qualquer,
longe da região de entrada, é dada por
2r25612u ,
Determine: a) a velocidade máxima do escoamento; b) o raio do duto; c) a velocidade do
fluido nos pontos r = 0, r = 0,20 m e r = 0,40 m. d) Sabendo que a velocidade média do
escoamento é igual à metade da velocidade máxima, determine qual deve ser a mínima
viscosidade cinemática do fluido para garantir que o escoamento seja laminar.
13) O campo de velocidades de um escoamento é dado por kwjviuV ˆˆˆ
, onde
54/3,24 ywyxvyxu . Determine se o escoamento é uni, bi ou
tridimensional, permanente ou transiente e calcule a velocidade do elemento fluido
localizado no ponto P = (0,-1,2).
14) Para os campos de velocidade dados a seguir, determine se o escoamento é uni, bi ou
tridimensional e permanente ou transiente. a e b são constantes.
a) iaeV bx ˆ
b) jeaxV bt ˆ2
c) jbyitaxV ˆˆ 2
15) Para os campos de velocidade dados a seguir, determine se o escoamento é uni, bi ou
tridimensional e permanente ou transiente.
a) u = 2x + 3y v = 3z
b) u = 2x + 3y v = 3zt
c) u = 3x2 v = 2xyt w = 2y
2
16) Supondo que a água do mar seja incompressível , calcule a diferença de pressão entre um
ponto na superfície livre e um ponto localizado na profundidade de 4km. O peso
específico médio da água salgada é 10.050N/m3.
17) Calcule a pressão absoluta no fundo de um reservatório aberto de 2m de altura contendo:
a) água
b) mercúrio
18) Um tanque fechado contém mercúrio, água e óleo SAE 10W30, nas condições indicadas
na figura. O peso do ar acima do óleo é desprezível. Sabendo que a pressão no fundo do
tanque é 200 kPa, determine a pressão na superfície do óleo.
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
104
Exercício 18 Exercício 19
19) O tanque mostrado na figura está aberto para a atmosfera. Se a pressão absoluta no fundo
do tanque é 242 kPa, determine a massa específica do fluido X. O óleo é SAE 50W.
20) Determine a pressão no ponto “o” do mecanismo mostrado na figura, desprezando o atrito
entre o bloco (de massa m = 100kg) e a parede. O óleo utilizado é SAE 30W.
Exercício 20 Exercício 21
21) A carga de 500 kg do macaco hidráulico mostrado na figura deve ser elevada despejando-
se óleo (SG = 0,78) dentro de um tubo fino. Determine a altura h necessária para que o
peso comece a ser levantado. Ambos os lados do macaco hidráulico estão abertos para a
atmosfera. Considere que os tubos têm seção circular.
22) Na figura, um líquido manométrico tem densidade relativa 0,90 e em A e B existe água.
Sendo h1 = 0,40m, h2 = 0,30m e h3 = 0,80m, determine a diferença de pressão entre A e
B.
Exercício 22
23) Um manômetro é constituído por um tubo de vidro de diâmetro interno uniforme, D =
6,35 mm, como mostrado na figura. O tubo em U formado é preenchido parcialmente com
água. Em seguida, um volume de 3,25 cm3 de um óleo (com densidade relativa de 0,827) é
adicionado no lado esquerdo do tubo. Calcule a altura de equilíbrio H quando ambas as
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
105
pernas do tubo em U estão abertas para a atmosfera.
Exercício 23 Exercício 24 24) Um manômetro é constituído por um tubo de vidro de diâmetro interno D = 1 in, como
mostrado na figura. O tubo em U formado é preenchido parcialmente com água. Um
volume de óleo (SG = 0,8) é adicionado no lado direito do tubo. Quando ambas as pernas
do tubo estão abertas para a atmosfera, H = 2,5 cm. Determine o volume de óleo
adicionado.
25) O manômetro de tubo em U mostrado na figura contém água e querosene
3m/kg820Considere . Com ambos os tubos abertos para a atmosfera, as elevações da
superfície livre diferem de Ho = 20 mm. Determine a diferença de elevação H quando
uma pressão manométrica de 98 Pa é aplicada no tubo da direita.
Exercício 25 Exercício 26
26) Na figura, um líquido manométrico tem massa específica 1500kg/m3 e em A e B existe
água. Sendo h1 = 0,40m, h2 = 0,70m e h3 = 0,35m, determine a diferença de pressão entre
B e A.
27) Na figura, os fluidos estão a 20˚C.
a) Determine a diferença de pressão entre os pontos A e B, sabendo que h1 = 0,8 m, h2 =
0,25 m e h3 = 0,5 m.
b) Um manômetro colocado em B registrou uma pressão de 12 kPa. Determine a pressão
absoluta em A.
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
106
Exercício 27
28) Calcule a pressão manométrica da água no ponto C, sabendo que o ponto F está aberto
para a atmosfera.
Exercício 28
29) Considere o manômetro mostrado na figura. Todos os fluidos estão a 20oC. a) Determine a
diferença de pressão entre os pontos A e B, em função das variáveis mostradas. b) Calcule
a diferença de pressão entre A e B, se h1 = 20cm, h2 = 8cm, h3 = 40cm, h4 = 9cm, h5 =
14cm, SGbenzeno = 0.88.
Exercício 29
30) Na figura, as extremidades do manômetro estão abertas para a atmosfera. Determine a
densidade relativa do fluido X.
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
107
Exercício 30 Exercício 31
31) Na figura, o manômetro está aberto para a atmosfera em B. Determine a pressão
manométrica no ponto A.
32) Calcule a pressão absoluta no ponto A mostrado na figura.
Exercício 32
33) Para a figura mostrada, determine:
a) A pressão absoluta do ar;
b) O valor de H, para uma leitura do manômetro M de 120 kPa.
Exercício 33
34) Um manômetro de mercúrio é utilizado para medir a diferença de pressão entre as duas
tubulações mostradas na figura. A tubulação A transporta óleo combustível
3m/N8330 e a tubulação B transporta óleo SAE 30W. Qual será o valor da pressão
absoluta no tubo B se uma bolha de ar ficar presa na perna do manômetro e a pressão
absoluta em A for igual a 105 kPa? Considere h1 = 76 mm, h2 = 457 mm, h3 = 152,4 mm,
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia
Mecânica dos Fluidos
108
h4 = 177,8 mm e h5 = 127 mm.
Exercício 34
35) No ponto P indicado na figura, é colocado um corpo de massa m. O diâmetro do tubo
manométrico é d = 0,15m. Sabendo que os pontos A e B estão abertos para a atmosfera,
calcule: a) a massa m e b) a pressão lida pelo manômetro M. Despreze o atrito entre o
corpo e o tubo.
Exercício 35 Exercício 36
36) Qual é a leitura do manômetro no ponto A mostrado na figura? O óleo é o SAE 30W.
37) O Departamento financeiro de determinada companhia está comprando um sofisticado
equipamento laser de US$ 80 000,00 para medir a diferença de níveis de água entre dois
grandes reservatórios. É importante que pequenas diferenças de nível sejam precisamente
medidas. Você sugere que a tarefa deva ser desempenhada pela adequada instalação de um
manômetro de US$ 200,00. Um óleo menos denso do que a água pode ser usado para
proporcionar o aumento de 10:1 do movimento do menisco. Assim, uma pequena
diferença de nível dos dois reservatórios produzirá nos níveis de óleo do manômetro uma
deflexão 10 vezes maior. Determine a densidade relativa do óleo capaz de produzir este
aumento de deflexão.
Exercício 37 Exercício 38
38) O manômetro de tubo inclinado da figura tem D = 76,2 mm e tubo de medidas com d =
6,35 mm e contém óleo (de densidade relativa igual a 0,897) como líquido manométrico.
Determine o ângulo que permita a deflexão de 12,7 cm de óleo no tubo inclinado quando
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109
for medida a pressão manométrica equivalente a 1,866 mmHg.
39) O manômetro de combustível do tanque de gasolina de um carro registra
proporcionalmente à pressão manométrica do fundo (Ver figura). Se o tanque tem 30 cm
de profundidade e acidentalmente contém 2 cm de água, quantos centímetros de ar
permanecem no topo quando o manômetro registra erroneamente “cheio”?
Exercício 39 Exercício 41
40) Uma pessoa de massa m = 70 kg deseja mergulhar em água do mar 3m/kg1025 . Para
isto, veste uma roupa com massa de 30 kg, ocupando um volume total (pessoa + roupa) de
0,08 m3. Determine a força máxima na corda necessária para segurar esta pessoa,
considerando que a pessoa esteja completamente submersa.
41) Um cubo oco de 12 cm de aresta externa e 11 cm de aresta interna é equilibrado por uma
massa de 1 kg em uma balança de braço (ver figura) quando o cubo é imerso em etanol
( 3/789 mkg ). Com base nestas informações, determine a massa específica do material
do cubo.
42) Uma lata de estanho tem um volume total de 1200cm3 e massa igual a 130g. Quantos
gramas de balas de chumbo ela poderia conter sem afundar na água? A massa específica
do chumbo é igual a 11,4g/cm3.
43) Um pedaço de madeira de pinho ( = 650kg/m3) pode ser representado por um prisma
quadrado de 5cm de base e 2,2m de comprimento. Determine a massa de chumbo que
deve ser presa à extremidade da madeira para que ela flutue verticalmente com 30cm fora
da água. Despreze o volume do chumbo adicionado.
44) Calcule a área mínima de um bloco de gelo ( = 917 kg/m3) de 0,30m de espessura para
que ele possa sustentar um automóvel de massa igual a 1100kg, sem que o bloco afunde
na água.
45) Um densímetro é composto por uma caixa cúbica de aresta externa a = 0,8m e espessura
de parede t = 0,03m, com massa m igual a 11kg. Esta caixa é preenchida com o fluido cuja
massa específica se deseja medir e mergulhada em água. Medindo-se a profundidade que a
caixa afunda, pode-se determinar a massa específica do fluido. Se, para um determinado
fluido, a caixa fica 50% submersa, calcule a massa específica do fluido.
46) Um cubo oco de aresta interna 15 cm e espessura de parede 1 cm contém um líquido de
densidade relativa 0,7. Ao ser colocado em um recipiente contendo água ele flutua,
mantendo parte de seu volume submerso. Sabendo que a densidade do material do cubo é
de 1200 kg/m3, determine o volume de fluido deslocado.
47) Um paralelepípedo, feito de um material desconhecido, possui uma base de área S e uma
altura h. Ao ser mergulhado na gasolina, ele flutua, ficando com 9,3 cm acima da
superfície livre. Em seguida, o paralelepípedo é retirado da gasolina e mergulhado no
álcool (álcool = 800kg/m3), ficando com 14,4 cm acima da superfície livre. Obtenha: (a) a
altura h do paralelepípedo e (b) o peso específico do material do paralelepípedo.
48) Uma pessoa repousa sobre uma bóia (com 2,0m de comprimento, 50cm de largura e 30cm
de altura) imersa em uma piscina, fazendo com que a bóia afunde 7cm. Em seguida, uma
criança de 30kg pula sobre a pessoa. Considerando ar = 1,2kg/m3 e água = 1000kg/m
3,
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110
calcule: a) a massa da pessoa e b) quantos centímetros da bóia ficarão submersos após a
bóia estar em equilíbrio com a criança sobre a pessoa.
49) Um cilindro reto de paineira 3340 m/kg tem 0,3 m de diâmetro e altura H =1,6 m.
Em sua base inferior, prende-se certo volume de chumbo 311250 m/kg .
Mergulhado em óleo diesel 3820 m/kg , o cilindro modificado irá flutuar
verticalmente, deixando 20 cm de altura acima da superfície livre. Determine o volume e a
massa de chumbo adicionado.
Exercício 49 Exercício 50
50) Para executar as fundações de uma ponte, uma caixa de concreto armado de 12 m de
comprimento (perpendicular ao plano da folha), 5 m de largura, 10 m de altura e 400.000
kg de massa é lançada à água do rio, cuja profundidade média é 8 m. Determine o peso
mínimo do lastro a ser adicionado para que a caixa chegue ao fundo do rio.
51) A relação entre gordura e músculo de uma pessoa pode ser determinada por uma medição
de sua densidade relativa. A medição é feita imergindo o corpo em um tanque de água e
medindo o peso líquido WH. Determine uma expressão para a densidade relativa de uma
pessoa em termos de seu peso no ar Wa e de seu peso na água WH. Obs: A densidade
relativa deve ser função apenas de Wa e WH.
52) O peso lido por uma balança é dado como o valor da força exercida sobre ela. Assim, um
mesmo corpo pode apresentar pesos diferentes se for colocado sobre uma balança, imerso
em diferentes fluidos. O peso de uma moeda cunhada com uma liga de ouro (SG = 19,3) e
cobre (SG = 8,89), no ar, é de 0,36 N e, em água, 3/1000 mkg , é de 0,33 N. Calcule
o volume de ouro e o volume de cobre contidos na moeda.
53) O volume e a densidade de um corpo de forma irregular devem ser determinados usando-
se uma balança. O corpo pesa 7,2 kN no ar e 4,79 kN na água. Determine o volume e a
densidade absoluta do corpo. Despreze o empuxo no ar.
54) Um balão esférico cheio de hélio tem um raio de 12m. A massa total do balão, incluindo
todo o seu material, os cabos e a cesta, é igual a 196kg. Calcule a carga máxima M que
este balão pode transportar.
55) Um grupo de 10 crianças deseja fazer um passeio de balão. A massa do balão, incluindo o
material, os cabos e a cesta, além da massa do operador, é igual a 270kg. Se a elasticidade
do material do balão é tal que ele mantém a forma esférica independente da quantidade de
gás hélio em seu interior, calcule qual deve ser o mínimo raio do balão para que ele
consiga carregar o grupo de crianças (de massa individual 30kg). Despreze o volume da
cesta.
56) Um balão esférico cheio com hélio está imerso em ar atmosférico a uma altura de 1500
m 3
ar m/kg06,1 . Se o balão transporta uma carga total de 6000 kg (não considerado
o peso do hélio), determine o raio do balão. Despreze o volume ocupado pela cesta e pela
carga.
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111
57) Um bloco uniforme de aço 3m/kg7870 flutua em uma interface de água e mercúrio
como mostrado na figura. Qual é a razão entre as distâncias a e b para esta condição?
Exercício 57 Exercício 58
58) Um bloco cúbico uniforme de aresta a e densidade absoluta ρA = 900 kg/m3 flutua em uma
interface de dois fluidos B e C, com densidades absolutas ρB desconhecida e ρC = 1000
kg/m3, como mostrado na figura. Se CB h2h , determine a densidade absoluta do fluido
B.
59) Um bloco cúbico de gelo (SG = 0,9) flutua em água do mar (SG = 1,025), mantendo 10
cm para fora da água, como mostrado na figura. Determine a altura submersa na água do
mar.
Exercício 59 60) Deseja-se determinar a massa específica do material de um cone. Para tanto, mergulhou-se
o objeto em gasolina, com a base voltada para baixo. Observou-se que 50% da altura do
cone ficava submersa. Com base nestas informações, calcule a sua massa específica.
61) Um cubo oco de aresta interna 10cm e espessura de parede de 2cm contém ar. Ao ser
colocado em um recipiente contendo óleo (densidade relativa igual a 0,90), ele flutua,
mantendo metade de seu volume submerso. Desprezando o peso do ar, calcule a densidade
relativa do material do cubo.
62) Um cubo oco de aço 3/8000 mkg , de massa m = 15 kg e de aresta externa a = 20
cm, é mergulhado em água 3/1000 mkg , mantendo metade de seu volume submerso
(ver figura).
a) Determine o valor da massa M para equilibrar o corpo.
b) Determine a aresta interna do cubo.
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112
Exercício 62 Exercício 63
63) A esfera mostrada na figura tem 18,9 cm de raio e é mantida suspensa por um peso de 89
N, flutuando com metade de seu volume submerso quando colocada em água. Despreze o
atrito nas polias e cordas.
a) Determine o peso específico do material da esfera;
b) Se o peso for retirado, qual a porcentagem do volume da esfera que será mantido para
fora da água?
64) Uma caixa cúbica de massa m = 15kg, aresta a = 0,9m e espessura de parede desprezível
(caixa delgada), contém 2 líquidos imiscíveis, de densidades relativas SG1 = 0,75 e SG2 =
1,2. Determine o volume do fluido 1 no interior da caixa para que ela não afunde quando
colocada em um reservatório contendo água.
65) Uma esfera oca de ferro ( = 7870kg/m3) flutua completamente imersa na água. Se o
diâmetro externo da esfera é 60cm, calcule seu diâmetro interno.
66) Uma esfera oca com raio interno de 8cm e raio externo de 9cm flutua, mantendo metade
de seu volume submerso em um líquido cuja massa específica vale 800kg/m3. Calcule a
massa específica do material da esfera.
67) Um tronco retangular de madeira ( 3m/kg400 ), com 2 m de comprimento, 30 cm de
largura e 25 cm de altura flutua na água.
a) Determine a altura do tronco submersa;
b) Uma pessoa de massa m = 75 kg sobe em cima do tronco, fazendo com que ele
afunde. Considerando que nenhuma parte do corpo da pessoa fica dentro da água,
determine o volume do tronco submerso.
68) Uma tubulação de uma indústria despeja resíduos ( = 1500kg/m3) em um rio, com a
descarga acima do nível do rio. A tubulação tem diâmetro variável, como mostrado na
figura. Se a vazão de entrada do resíduo é de 0,6 m3/s, calcule a pressão absoluta no ponto
1. Despreze as perdas de energia.
Exercício 68 Exercício 69
69) Água escoa em regime permanente pelo tubo vertical de 0,1m de diâmetro mostrado na
figura. Ela é descarregada à pressão atmosférica pelo bocal com 0,05m de diâmetro. A
pressão absoluta de entrada da água na seção 1 é 330kPa. Calcule a velocidade da água
nas seções 1 e 2, considerando comportamento de fluido ideal.
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70) Considere o escoamento de água a 20C através do bocal mostrado na figura, Um fluido
de massa específica 2 = 1800 kg/m3 é utilizado como líquido manométrico. Se a vazão de
água é de 0,3 m3/min, D = 100 mm e d = 50 mm, determine o desnível h. Despreze as
perdas de carga.
Exercício 70
71) Ar escoa com baixa velocidade por um bocal horizontal que descarrega na atmosfera. A
área do bocal à entrada mede 0,1m2 e, à saída, 0,02m
2. O escoamento é, essencialmente,
de fluido incompressível e de atrito desprezível. Determine a pressão manométrica
necessária à entrada do bocal para produzir a velocidade de saída de 50 m/s. Represente
graficamente a equação de Bernoulli.
72) Calcule o fator de atrito para os escoamentos no interior de tubos de ferro fundido a
seguir:
Fluido Velocidade Diâmetro
Glicerina 2m/s 20 cm
Óleo SAE 10W 5m/s 10”
Óleo SAE 50W 1m/s 10”
73) Calcule o fator de atrito para os escoamentos no interior de tubos de aço comercial a
seguir, pelo ábaco de Moody e pela equação de Colebrook e compare os valores.
Fluido Vazão Diâmetro
Água 3 l/min 0,5”
Água 1,5 kg/s 5 cm
74) Dados foram obtidos por medições em um trecho vertical de um tubo de ferro
galvanizado, velho e corroído, com diâmetro de 25 mm. Em uma seção, foi medida uma
pressão manométrica de 700 kPa. Em uma segunda seção, 6 m abaixo, a pressão
manométrica era de 520 kPa. A vazão volumétrica de água é de 3 litros/s.
a) Estime a rugosidade relativa do tubo;
b) Determine a queda de pressão resultante se o tubo fosse restaurado ao estado de
rugosidade de tubo novo e limpo, mantendo-se a mesma vazão do escoamento.
75) Uma bomba impulsiona água a uma vazão constante de 10 kg/s através de um sistema de
tubos. A pressão manométrica na entrada da bomba é -20 kPa. A pressão manométrica na
descarga da bomba é 300 kPa. O diâmetro do tubo de entrada é 75 mm e do tubo de saída,
50 mm. A eficiência da bomba é de 70%. Desprezando as perdas na bomba, determine a
potência requerida para acionar a bomba
76) Água a 20C escoa na serpentina horizontal de um trocador de calor, como mostrado na
figura. Sabendo que a vazão do escoamento é 5,68x10-5
m3/s, determine a queda de
pressão entre as seções de alimentação e de descarga da serpentina. O tubo tem 12,7 mm
de diâmetro e é feito de cobre extrudado ( = 0,046 mm). O coeficiente de perda de carga
em uma curva de 180 é 1,5 m. Considere L = 46 cm.
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Exercício 76
77) Água a 20C em regime permanente escoa através da tubulação mostrada na figura. A
vazão do escoamento é de 125 litros/s. Sabendo que os diâmetros são D = 30 cm e d = 19
cm e os comprimentos L1 = L2 = L3 = 40 m, determine a queda de pressão através da
tubulação de aço comercial.
Exercício 77
78) Uma tubulação de aço comercial leva 15 litros/s de água do ponto A até o ponto C. No
trecho A-B, o diâmetro da tubulação é de 2 in, e no trecho B-C, o diâmetro é de 3 in. A
pressão absoluta da água no ponto A é de 500 kPa. Determine qual deve ser a pressão lida
por um manômetro colocado em C.
Exercício 78
79) Água a 20C escoa em regime permanente através da tubulação de ferro fundido mostrada
na figura. Do ponto A até o ponto B, o diâmetro da tubulação é de 20 cm e a velocidade é
de 2 m/s. No ponto B, há um estrangulamento da tubulação, fazendo com que a velocidade
alcance 3,5 m/s. No ponto C, o escoamento descarrega para a atmosfera. Determine:
a) o diâmetro da tubulação no trecho B-C;
b) A pressão lida por um manômetro colocado no ponto A.
Exercício 79
80) Água escoa através da tubulação mostrada na figura com uma vazão de 250 litros/s.
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Devido a uma restrição de espaço, no trecho BC o diâmetro foi reduzido para 25 cm. Nos
demais trechos, o diâmetro é de 45 cm. Determine a diferença de pressão entre os pontos
A e D. A tubulação é feita de aço comercial.
Exercício 80
81) Água escoa com uma vazão de 45 litros/s entre os dois reservatórios mostrados na figura
(indo de R1 para R2). Os reservatórios estão abertos para a atmosfera. As tubulações são
fabricadas em aço comercial, sendo D1 = 20 cm e D2 = 10 cm. Determine o desnível h
entre os reservatórios, se L1 = 10 m e L2 = 12 m.
Exercício 81
82) Uma tubulação, com altura média das irregularidades = 0,16mm, leva 0,2m3/s de água
de 1 até 2, como mostrado na figura. Na metade da distância, o diâmetro da tubulação
passa de 15 para 20cm. Se a pressão absoluta da água no ponto 1 é 3atm e o ponto 2 está
aberto para a atmosfera, calcule o desnível H entre os pontos 1 e 2. A distância percorrida
pela água é de 250m.
Exercício 82
83) Num reservatório aberto, é ligada uma tubulação de descarga que possui saída livre, como
mostrado na figura. A tubulação é feita com tubos de diâmetros diferentes, de maneira que
os valores das velocidades nos pontos iniciais de cada trecho sejam iguais a 1,25 vezes a
velocidade no trecho anterior. Se a tubulação descarrega na atmosfera, calcule as
velocidades u1, u2 e u3, desprezando as perdas de carga contínuas.
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Exercício 83
84) Para a tubulação em aço comercial de 25 cm de diâmetro mostrada na figura, determine a
diferença de elevação entre os reservatórios. A vazão de água é de 200 litros/s.
Exercício 84
85) Determine o nível h que deve ser mantido no reservatório mostrado na figura para que
uma vazão de 0,45 litros/s de água escoe através da tubulação de aço comercial de 13 mm
de diâmetro.
Exercício 85
86) Água a 20C escoa do subsolo para o segundo piso através de um tubo de cobre recozido
( = 0,0015 mm) de 0,75 in de diâmetro com uma vazão de 0,75 litros/s e sai através de
um bocal de 0,5 in de diâmetro, conforme mostrado na figura. Determine a pressão
medida por um manômetro colocado no ponto 1. Considere o coeficiente de perda de
carga no bocal Kbocal = 2.
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Exercício 86
87) Os reservatórios na figura estão conectados por tubos de ferro fundido unidos
abruptamente. Os tubos possuem diâmetros de 25 mm e 50 mm, ambos com 6,1 m de
comprimento. Para uma vazão de água de 4,7 litros/s, determine o desnível entre os
reservatórios.
Exercício 87
88) Para a tubulação em ferro fundido mostrada na figura, determine a diferença de elevação
entre os reservatórios, se a vazão de água é de 3 litros/s.
Exercício 88
89) Uma tubulação de ferro galvanizado leva 0,2m3/s de água entre os reservatórios mostrados
na figura. Se o diâmetro da tubulação até o ponto D é de 20cm e, a partir dele, de 16cm,
calcule a pressão absoluta da água no ponto A.
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Exercício 89
90) Água escoa em regime permanente através da tubulação de aço comercial mostrada na
figura. Determine a pressão manométrica no ponto 1 do reservatório fechado, necessária
para que a água escoe com uma vazão de 4 litros/s.
Exercício 90
91) Uma bomba leva uma vazão de 250 litros/s de água através da tubulação mostrada na
figura. A pressão absoluta no ponto A é de 150 kPa. Sabendo que a potência fornecida
pela bomba é de 32 kW, determine a pressão lida pelo manômetro em B. A tubulação é
feita de aço comercial, com 25 cm de diâmetro.
Exercício 91
92) Na instalação mostrada na figura, a tubulação de aço comercial tem 10 cm de diâmetro e a
bomba opera com uma vazão de 10 litros/s. A pressão manométrica do ar na câmara
(ponto 4) é igual a 90kPa. A distância percorrida pela água desde a bomba até a entrada do
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tanque pressurizado é de 10 m. Sabendo que a eficiência da bomba é igual a 80%, calcule
a potência de acionamento da bomba. Considere s.m/kg10x14,1em/kg1000 33 .
Exercício 92
93) Pretende-se bombear água de um poço artesiano até a caixa d’água de um edifício. Para
isto, a seguinte instalação deverá ser construída. A vazão de água é de 0,4 litros/s. O
diâmetro da tubulação é de 20 cm e a rugosidade relativa, de 0,002. Desprezando a energia
cinética na entrada e na saída e a variação de pressão, determine a potência ideal da
bomba.
15
0m
5m
15
m
Exercício 93
94) Para levar 250 litros/s de água do reservatório 1 para o reservatório 2 mostrados na figura,
foi utilizada uma tubulação de ferro galvanizado, de 40 cm de diâmetro e 250 m de
comprimento. Se a eficiência da bomba é de 80%, determine a sua potência de
acionamento.
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Exercício 94
95) A bomba mostrada na figura leva 20 litros/s de água do reservatório 1 para o reservatório
2. O tubo é de aço comercial, com diâmetro de 4 in. Determine a potência fornecida pela
bomba. Despreze o cotovelo na bomba.
Exercício 95
96) Uma bomba deve levar 120 litros/s de água do reservatório 1 para o reservatório 2, como
mostrado na figura. Os reservatórios estão abertos para a atmosfera. Se a tubulação de
ferro fundido tem 25 cm de diâmetro, determine a potência necessária para acionar a
bomba. Considere a eficiência da bomba como 75%.
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Exercício 96
97) Uma bomba leva 50 litros/s de água do reservatório da direita para o reservatório da
esquerda. A tubulação, com 15 cm de diâmetro, é de ferro fundido. Se a eficiência da
bomba é 75%, determine a potência requerida para acioná-la.
Exercício 97
98) Na figura, ambos os reservatórios estão abertos para a atmosfera. A vazão de água que
escoa através da tubulação de ferro fundido de 15 cm de diâmetro é de 85 litros/s.
Determine o nível de água H do reservatório 1
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Exercício 98
99) Considere a instalação de bombeamento de água mostrada na figura. A tubulação, de 5 cm
de diâmetro, é fabricada em aço comercial. A velocidade da água no bocal (de 1,5 cm de
diâmetro) é de 20 m/s. Se a potência de acionamento da bomba é de 7 kW, determine a sua
eficiência. Considere Kbocal = 0,3.
Exercício 99
100) Considere a instalação de bombeamento de água mostrada na figura a seguir. A
tubulação, de 15 cm de diâmetro, é feita de aço galvanizado ( = 0,15 mm) e a vazão de
água que escoa através da bomba é de 40 litros/s. A pressão manométrica do ar no ponto B
é mantida constante em 532 kPa. Se a bomba tem 70% de eficiência, determine a potência
do motor necessária para acioná-la.
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Exercício 100
101) A bomba mostrada na figura fornece 85 litros/s de água a 20C para uma máquina na
seção 2, que possui uma pressão absoluta de 68,95 kPa. O tubo é de aço comercial, com
diâmetro de 75 mm. Encontre a potência necessária para esta bomba, sabendo que a sua
eficiência é de 75%.
Exercício 101
102) Pretende-se bombear água de um rio até a caixa d’água situada no topo de uma colina.
Para isso, a instalação mostrada na figura deverá ser construída. A tubulação, de 25 mm de
diâmetro, possui rugosidade relativa de 0,003. Se a vazão de água é de 0,5 litros/s,
determine a potência fornecida pela bomba.
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Exercício 102
103) O sistema bomba-turbina mostrado na figura retira água do reservatório superior
durante o dia para produzir potência para uma cidade. À noite, o sistema bombeia água do
reservatório inferior para o superior para restaurar a situação. A vazão de projeto entre os
reservatórios é de 56,8 m3/min de água a 20C. A tubulação, de aço comercial, tem 50 cm
de diâmetro e 500 m de comprimento.
a. Determine a potência extraída pela turbina;
b. Determine a potência entregue pela bomba e
c. Discuta a viabilidade da instalação
Exercício 103
104) Água a 20C escoa de um lago, conforme mostrado na figura, com uma vazão de 113
litros/s. O comprimento total percorrido pela tubulação de aço comercial de 12 cm de
diâmetro é de 300 ft. O dispositivo interno da edificação é uma bomba ou uma turbina?
Justifique. Determine a potência do dispositivo.
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Exercício 104
105) A vazão de água através do sistema é de 15 m3/h. O tubo, de 6 cm de diâmetro, possui
rugosidade absoluta de 0,12 mm. Determine a potência extraída pela turbina.
Exercício 105
106) A tubulação mostrada na figura é de ferro fundido e tem 30 cm de diâmetro. A
velocidade média do escoamento de água é de 5 m/s. Determine a potência extraída pela
turbina.
Exercício 106
107) Na instalação mostrada na figura, a tubulação de aço comercial tem 10 cm de
diâmetro. Se a vazão de água é de 25 litros/s, determine a potência extraída pela turbina.
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Exercício 107
108) Na figura, encontram-se 75 m de tubo de ferro fundido de 50 mm de diâmetro.
Determine a potência extraída pela turbina para uma vazão de água de 4,0 litros/s.
Exercício 108
109) Água a 20C escoa em regime permanente através da tubulação mostrada na figura. A
vazão do escoamento é de 1,25 litros/s. A tubulação de PVC tem 3,81 cm de diâmetro.
Determine a potência extraída pela turbina.
Exercício 109
110) Um medidor de Venturi horizontal tem diâmetro de 25cm no tubo e 12,5cm no
estrangulamento. A pressão da água no tubo é de 0,54 atm e no estreitamento é de 0,41
atm. Determine a vazão em m3/s.
111) Considere um Venturi horizontal de 2 x 1 in com escoamento de água. Determine a
pressão diferencial, para uma vazão volumétrica de 8,6 litros/s.
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112) Gasolina escoa através de um medidor Venturi de 2 x 1 in. A pressão diferencial é de
380 mmHg. Determine a vazão em volume e a velocidade do fluido no tubo.
113) Água a 20C escoa através de um orifício com diâmetro de 3 in, instalado em um tubo
com 6 in de diâmetro interno. A vazão em volume é de 0,0189 m3/s. Determine a
diferença de pressão entre as tomadas de canto.