Kljune Rijeisustavi visina

geometrijski nivelmanreklativna gravimetrija

gravimetrijskai nivelmanska izmjera

podruje estinausporedba normalnihi ortometrijskih visina

61List studenata Geodetskog fakulteta Sveuilita u Zagrebu

dr. sc. Danko Markovinovi, dipl. ing. geod. Tanja podnjak, mag. ing. geod. et geoinf.

Olga Bjelotomi, dipl. ing. geod.

Zavod za geomatiku, Katedra za dravnu izmjeru, Geodetski fakultet, Sveuilite u Zagrebu, Kaieva 26, e-mail: dankom@geof.hr Zavod za geomatiku, Katedra za dravnu izmjeru, Geodetski fakultet, Sveuilite u Zagrebu, Kaieva 26, e-mail: tspodnjak@geof.hr Zavod za geomatiku, Katedra za dravnu izmjeru, Geodetski fakultet, Sveuilite u Zagrebu, Kaieva 26, e-mail: objelotomic@geof.hr

1. UVOD

Jedna od osnovnih zadaa geodezije je odrei-vanje oblika geoida kojeg smatramo referentnom plohom potencijala ubrzanja sile tee koja opisuje oblik Zemlje. Geoid je tzv. ekvipotencijalna ili nivo ploha istog potencijala sile tee, kontinuirana je, prostorno razvedena i zatvorena. U svrhu korite-nja visinskih koordinatnih sustava, geoid se defi-nira kao referentna ploha (nulte visine) za odre-ivanje apsolutnih visina i u svakoj svojoj toki je okomita na smjer sile tee.

Problem odreivanja oblika Zemlje povezan je s modeliranjem Zemljinog polja ubrzanja sile tee, odnosno plohe geoida. Stoga se polju ubr-zanja sile tee posveuje veliki znaaj u geodeziji. Visine toaka na Zemljinoj povrini definiraju se u odnosu na neku referentnu plohu, najee nivo plohu mora. Postoji vie sustava visina koji se ra-zlikuju s obzirom na nain na koji se uzima u ob-zir ubrzanje sile tee. Polje ubrzanja sile tee ima veliki znaaj i za odreivanje te definiranje visina. S obzirom da nije poznata tona distribucija du-binskih masa, na Zemljinoj povrini se mjere njeni efekti putem raznih fizikalnih veliina, te se upo-trebljavaju u modeliranju polja sile tee. Postoje razni geodetski zadaci koji zahtijevaju vrijednost visina toaka u realnom polju sile tee Zemlje.

2. SUStaViViSina

Sustavi visina meusobno se razlikuju s obzi-rom na nain na koji se uzima u obzir ubrzanje sile tee prilikom njihova definiranja. Geopotencijal-ne kote definirane su kao razlika potencijala dviju nivoploha. One nemaju dimenziju visina i slue za odreivanje drugih sustava visina. Dinamike visi-

Markovinovi D., podnjak T., Bjelotomi O. (2011): Utjecaj sile tee u geometrijskom nivelmanuEkscentar, br. 14, pp. 61-65

SaetakU radu se daje prikaz podjele sustava visina s obzirom na nain na koji se uzima ubrzanje sile tee u njihovom odreivanju i definiranju. U praktinom dijelu rada prikazana su i objanjena nivelman-ska i gravimetrijska izmjera na test podruju estina. Obavljena su precizna nivelmanska i relativna gravimetrijska mjerenja u svrhu usporedbe normalnih ortometrijskih i normalnih visina, tj. prikaza utjecaja mjerenja ubrzanja sile tee du geometrijskog nivelmanskog vlaka.

ne se dobiju dijeljenjem geopotencijala s normalnom vrijednosti ubrzanja sile tee (koja je konstanta) i nemaju karakter visina, iako imaju dimenziju visina. Geopotencijalne kote i dinamike visine se mogu odrediti bez hipo-teze o rasporedu masa u Zemljinoj unutranjosti, ali nemaju vei znaaj u svakodnevnoj geodetskoj praksi. Ortometrijska visina, kao udaljenost od plohe geoida do neke toke na fizikoj povrini Zemlje du vertikale kroz tu toku, definirana je u realnom polju sile tee Zemlje. Za njeno raunanje potrebno je poznavanje srednje vrijednosti ubrzanja sile tee g du realne teinice u toki mjerenja. Normalne visine su nastale zbog nemogunosti odreivanja ortometrijskih visina bez hipoteze o rasporedu masa unutar Zemlje. Definirane su u normalnom polju sile tee Zemlje dijeljenjem geo-potencijala s poznatim srednjim normalnim ubrzanjem sile tee . Sustav elipsoidnih visina je u potpunosti geometrijski definiran i ne ovisi o ubrza-nju sile tee.

2.1 PojamvisineivisinskerazlikeVisina neke toke P1, P2, , Pn je vertikalna udaljenost te toke od neke

unaprijed usvojene nivoplohe, odnosno zamiljene plohe, koja je u svakoj svojoj toki okomita na smjer teinice. Ukoliko uzmemo za nivoplohu da je srednja mirna razina mora, koju zamiljamo produenu ispod kontine-nata, tada se vertikalna udaljenost toke P1, P2, , Pn od naziva nadmorska ili apsolutna visina (slika 1), (ubrani, 1974).

Utjecaj sile tee U geometrijskom nivelmanU

Slika 1. Pojam visine

Znanost i struka

62 List studenata Geodetskog fakulteta Sveuilita u Zagrebu

Markovinovi D., podnjak T., Bjelotomi O. (2011): Utjecaj sile tee u geometrijskom nivelmanuEkscentar, br. 14, pp. 61-65

Na slici 1. linija O-O predstavlja srednju mirnu razinu mora, odnosno ni-voplohu mora produenu ispod kontinenata, a H1, H2, ..., Hn su nadmorske visine toaka P1, P2, , Pn. Ova razina odgovara srednjem vodostaju mora, koji se odreuje opaanjima na mareografima kroz viegodinje razdoblje. Visinske razlike dviju ili vie toaka nazivamo relativnim visinama, a defini-ramo ih kao razliku vertikalnih udaljenosti izmeu horizontalno postavlje-nih ravnina na tim tokama i oznaavamo je sa h (ubrani, 1974).

2.2metodeodreivanjavisinaDanas razlikujemo nekoliko metoda za odreivanje visina i visinskih ra-

zlika (vrsta nivelmana), a to su: geometrijski, trigonometrijski, hidrostatski, barometrijski nivelman, te GNSS (Global Navigation Satellite System) ni-velman (Bai, 2009).

Trigonometrijski nivelman je posredna metoda odreivanja visinskih razlika mjerenjem vertikalnog kuta i horizontalne ili kose duljine izmeu toaka. Primjenjuje se na neravnom, vrlo strmom terenu gdje se uporaba direktnih metoda mjerenja ini nepraktina i dugotrajna. Visinska razlika h izmeu dviju toaka se dobije pomou horizontalne udaljenosti izme-u toakai vertikalnog kuta pod kojim se toke dogledaju.

Hidrostatski nivelman se zasniva na principu spojenih posuda. Pribor za niveliranje se sastoji od dvije staklene cijevi, koje su meusobno spoje-ne gumenim crijevom napunjenim tekuinom (alkoholom ili destiliranom vodom). Prema zakonu spojenih posuda razina vode u jednoj i drugoj po-sudi je ista, a pored vizualnog oitavanja, mogue je i precizno oitavanje posebnim mjernim ureajima.

Barometrijski nivelman se zasniva na principu da tlak zraka pada s pora-stom visine, mogue je odreivati visinske razlike na temelju mjerenja tlaka zraka. Kako bi mogli odreivati visinske razlike ovom metodom, potrebno je poznavati nadmorske visine toaka na kojima poinje i zavrava mjere-nje. Na taj nain se kalibrira mjerna skala barimetrijskog nivelmana.

GNSS nivelman je kombinacija globalnih navigacijskih satelitskih susta-va i geoida, dobivaju se elipsoidne visine, koje same po sebi nemaju kon-kretnu upotrebu, ve ih je koritenjem lokalnog modela geoida potrebno pretvoriti u neki od postojeih sustava visina.

Geometrijski nivelman je metoda odreivanja visinska razlika h izmeu to-aka A i B pomou horizontalne vizure. Na toke se postavljaju mjerne letve, a izmeu njih nivelir. Visinsku razliku h dobijemo iz razlika oitanja na letvama.

Prema namjeni nivelman moemo podijeliti na generalni i detaljni. Generalnim nivelmanom se odreuju nadmorske visine osnovnih repera. Detaljni nivelman se vee na generalni, a slui za odreivanje visina niza toaka koje karakteriziraju vertikalni prikaz terena. Generalni nivelman se prema traenoj tonosti (Kapovi, 2008) dijeli na: a) Nivelman visoke to-nosti - niveliranje u oba smjera, iz sredine, tonost je izraena vjerojatnom sluajnom pogrekom koja iznosi 1.00 mm/km i pridodaje joj se vrijed-nost vjerojatne sistematske pogreke , koja iznosi 0.20 mm/km; b) Preci-zni nivelman - niveliranje u oba smjera, iz sredine, = 2.00 mm/km i = 0.40 mm/km; c) Tehniki nivelman poveane tonosti niveliranje u oba smjera, iz sredine, = 5.00 mm/km i d) Tehniki nivelman niveliranje u jednom smjeru, = 8.00 mm/km.

GeometrijskinivelmaniovisnostoputuniveliranjaNiveliranjem se dobivaju visinske razlike h du nivelmanske linije od

poetne toke P1 do toke P2 (slika 2). Suma niveliranih visinskih razlika

moe se pisati kao (Heiskanen i Moritz, 1967):

22

1 1

(1) PP

P P

H h dh = = Suma ovih niveliranih visinskih razlika nee biti jednaka razlici ortome-

trijskih visina toaka P1 i P2, ak i kada bi uklonili sve sistematske i sluajne pogreke, uz pretpostavku apsolutne tonosti mjerenja. Razlog tome je ne-paralelnost nivoploha, zbog ega moemo rei da je nivelirana visina H, koja se dobije zbrojem niveliranih visinskih razlika, ovisna o putu.

Neparalelnost nivoploha se moe pokazati na slici 2. Ako niveliramo po

dva razliita puta: a) od P1 do toke K, pa zatim do toke P2 i b) P1 do toke P0, pa zatim do toke P2.

Za put a) veliina HP2 je odreena odsjekom 1PK , dok je za put b) odre-ena odsjekom 0 2P P . Pri tome zbog neparalelnosti nivoploha vrijedi 1PK

0 2P P . Kod mjerenja na kraim udaljenostima, koja ne zahtijevaju visoku to-nost, neparalelnost nivoploha se moe gotovo zanemariti. Tada mjerena visinska razlika h dviju toaka odgovara razlici ortometrijskih visina. Kod veih udaljenosti efekt neparalelnosti nivoploha moe postii centimetar-ski iznos i vie, te se ne smije zanemariti u geodetskim zadacima.

Kako bi dobili stvarnu visinu H iznad nivoplohe potrebno je uzeti u ob-zir ubrzanje sile tee g, odnosno razliku potencijala, te slijedi (Heiskanen i Moritz, 1967):

(2)' AW g n g H = =gdje je g ubrzanje sile tee na stajalitu, a g' sila tea du teinice toke A u HA, te vrijedi:

(3) 'Ag

H n ng

=

Jednadbom (2) izraena je fizika veza, to znai da nema direktne ge-ometrijske povezanosti izmeu nivelirane visinske razlike i ortometrijske visine. Ako se mjeri ubrzanje sile tee g tada imamo:

(4) B

B AA

W W g n = te dobivamo integral neovisan o putu niveliranja, to znai da razliite linije koje povezuju toke A i B moraju dati iste rezultate (slika 3). To slijedi iz i-njenice da je W funkcija samo poloaja, tako da svakoj toki odgovara jedin-stvena vrijednost potencijala W. Dakle, ako niveliramo od toke A do toke B linijom 1, dobit emo isti rezultat kao da se nivelira od A do B linijom 2.

Kako bi izraunali h potrebno je mjeriti ubrzanje sile tee g du nivel-manske strane, ime dobivamo razlike potencijala toaka ija se visinska razlika odreuje. Razlike potencijala predstavljaju osnovu za sve teorije vi-sina, te se i ortometrijske visine moraju razmatrati kao veliine izvedene iz razlike potencijala. Niveliranje bez mjerenja ubrzanja sile tee strogo gleda-no nema smisla, iako se primjenjuje u praksi, jer upotreba niveliranih visina vodi nezatvaranjima figura (Heiskanen, 1967).

Slika 2. Geometrijski nivelman

Slika 3. Zatvoreni poligon

Znanost i struka

63List studenata Geodetskog fakulteta Sveuilita u Zagrebu

GeopotencijalnekoteGeopotencijalna kota predstavlja o putu neovisan integral, koji se ozna-

ava sa C i dan je izrazom (Torge, 1989):

00

(5) B

BC gdn W W W= = = gdje je W0 potencijal koji odgovara plohi geoida i iznosi W0= 62 636 860.850 20 m2s-2 (Wellenhof i Moritz, 2005). Izraz (5) predstavlja prirast potenci-jala ubrzanja sile tee uzet sa suprotnim predznakom, u toki B u odnosu na geoid. Geopotencijalna kota se izraava u geopotencijanim jedinicama, gdje vrijedi 1 GPU = 1 kgal m, i to je zapravo razlika potencijala koja nema dimenziju visine. Da bi se dobila dimenzija za visine mora se podijeliti s vrijednou ubrzanja sile tee g, odnosno:

(6)

Razlika potencijalaVISINA

Ubrzanje sile tee=

dinamikevisineDinamike visine mogu se definirati kao vrijednost koja se dobije dijelje-

njem potencijala s normalnom vrijednosti ubrzanja sile tee 450 na visini H=0 i irini =45, a dane su izrazom (Bai, 2008):

450

(7) dinC

H

=

gdje je =9.806199203 ms-2 za geodetski referentni sustav GRS80. Pri tome se dinamike visine razlikuju od geopotencijalnih kota samo u jedinicama, jer se dijeljenjem s navedenom konstantom geopotencijalnu kotu pretvara u duinu.

ortometrijskevisineOrtometrijske visine definirane su kao linearna udaljenost od plohe ge-

oida do toke na fizikoj povrini Zemlje, du vertikale kroz tu toku (slika 4). Zbog toga imaju nejednak geometrijski i fizikalni znaaj. Geopotencijal-na kota toke B (slika 4) je dana kao:

0 (8) B BC W W=

gdje je HB njena ortometrijska visina i predstavlja duinu vertikale izmeu toaka B i B0.

Vrijednost ortometrijske visine je dana kao:

(9) BBC

Hg

=

gdje je g srednja vrijednost ubrzanja sile tee du vertikale izmeu toke B0 na geoidu i toke B na fizikoj povrini Zemlje.

Ortometrijska visina ovisi o srednjoj vrijednosti ubrzanja sile tee g koja se ne moe direktno mjeriti, ve se moe izraunati samo ukoliko je poznat raspored masa (gustoe) izmeu geoida i fizike povrine Zemlje. Stoga je ortometrijske visine mogue izraunati samo uz hipoteze o raspo-redu gustoe (Bai, 2008).

redukcijaubrzanjasileteepoPoincar-PreymetodiDa bi rezultate niveliranja pretvorili u ortometrijske visine potrebna je

vrijednost ubrzanja sile tee g' unutar Zemlje. Budui da se g' ne moe mje-riti, izraunava se redukcijom mjerenih vrijednosti sile tee na Zemljinoj povrini po metodi Poincar-Prey:

' ' (10)0.0848( ) B B B Bg g H H= +

gdje je g u (10-5 ms-2), a H u kilometrima.

metodeodreivanjasrednjevrijednostiubrzanjasileteeKako bi dobili vrijednost ortometrijske visine neke toke potrebno je

poznavati srednju vrijednost ubrzanja sile tee g . S obzirom na nain odreivanja srednje vrijednosti ubrzanja sile tee danas postoji vie meto-da od kojih su najpoznatije Helmertova, Niethammerova i Maderova me-toda. Helmertova metoda se zasniva na pojednostavljenoj Poincar-Prey redukciji ubrzanja sile tee (ibid):

5 2( 10 , ) (11)0.0424 = + g u ms H u kmg g H

gdje g oznaava ubrzanje sile tee mjereno na Zemljinoj povrini. Faktor 0.0424 odnosi se na normalnu gustou = 2.67 gcm-3. Konani izraz za tzv. Helmertove visine glasi (Wellenhof i Moritz, 2005):

(12) 0.0424C

Hg H

=+

gdje je C u g.p.u., g u 10-5 ms-2, a H u kilometrima. Ova aproksimacija zamje-njuje reljef beskonanom Bouguerovom ploom konstantne visine i gustoe.

U planinskim podrujima i za postizanje najvie tonosti Helmertova metoda ponekad ne daje zadovoljavajue rezultate, te je potrebno primi-jeniti strou Prey-evu redukciju u tri koraka. Praktinu primjenu predloio je Niethammer, uzimajui u obzir utjecaj topografije, uz pretpostavku nor-malnog gradijenta slobodnog zraka /, te da je od geoida do Zemljine povrine gustoa konstantna.

Maderova metoda zasniva se na pretpostavci o linearnoj promjeni ubr-zanja sile tee g du vertikale. Pri tome je dovoljno izraunati g kao aritme-tiku sredinu iz ubrzanja sile tee g mjerenog na Zemljinoj povrini i ubrzanja sile tee g0 izraunatog po metodi Prey-a u odgovarajuoj toki na geoidu P0.

normalnevisineKod normalnih visina realno polje sile tee Zemlje se zamjenjuje nor-

malnim poljem te vrijedi W = U, g = i T = 0. Uz ovu pretpostavku normal-ne visine HN se raunaju prema izrazu:

(13) NC

H

=

Normalne visine uvodi M. S. Molodenski, koristei normalno polje sile tee Zemlje umjesto realnog, budui da se bez hipoteza o rasporedu masa u Zemljinoj unutranjosti ne mogu odrediti ortometrijske visine, gdje je

normalno srednje ubrzanje sile tee (Torge, 1989).

elipsoidnevisineElipsoidne visine moemo definirati kao udaljenost od referentne plohe

(elipsoida) do toke promatranja, mjereno du normale na elipsoid u toj toki. Sustav elipsoidnih visina je geometrijski definiran i potpuno je neovi-san o Zemljinom polju sile tee. Znaaj ovih visina je to se odreuju sate-litskim metodama mjerenja, odnosno pomou GNSS-a. Kao to je poznato, GNSS-om se dobivaju globalne pravokutne koordinate koje se jednostavno mogu transformirati u sustav elipsoidnih geodetskih koordinata , , h.Slika 4. Ortometrijske visine

Markovinovi D., podnjak T., Bjelotomi O. (2011): Utjecaj sile tee u geometrijskom nivelmanuEkscentar, br. 14, pp. 61-65 Znanost i struka

64 List studenata Geodetskog fakulteta Sveuilita u Zagrebu

3. ODreiVanjeViSinaiUbrzanjaSileteenateSt-pODrUjUeStine

Odabrana lokacija za test-izmjeru nivelmanskog i gravimetrijskog vlaka se nalazi u estinama (zagrebaka podsljemenska zona). Nivelmanski vlak se protee od repera R8 koji se nalazi na proelju kue estinski kraljevec br., du estinske ceste do repera B, koji se nalazi u blizini crkve Sv. Mirka (slika 5). Podruje obuhvata u jednom smjeru je u duljini od cca 620 m i karakterizira ga postupan rast terena.

U svrhu odreivanja ortometrijskih visina u test-nivelmanskom vlaku i vrijednosti ubrzanja sile tee u gravimetrijskom vlaku, postavljeno je ukupno deset stajalita na kojima su obavljena nivelmanska i gravimetrijska mjerenja. Mjerenja su obavljena 13.05. i 14. 05. 2010. godine po sunanom i toplom vremenu. Tijekom izmjere se na cesti odvijao gust promet.

3.1 nivelmanskaizmjeraZa odreivanje visinskih razlika se koristio di-

gitalni nivelir Leica DNA03 (slika 6). Nivelir Leica DNA03 (URL-1), koji je u vlasnitvu Katedre za dr-avnu izmjeru Zavoda za geomatiku Geodetskog fakulteta Sveuilita u Zagrebu i dolazi u komple-tu s kodnom teleskopskom letvom. Slika kodnog dijela letve preslikava se u instrumentu i predstav-lja referentni signal. Za vrijeme mjerenja vidljivi dio letve se snimi linijskim dekoderom, to pred-stavlja mjerni signal. Taj mjerni signal se uspore-uje s referentnim, te se dobivaju podaci o visini i horizontalnoj udaljenosti. Za potrebe mjerenja je koritena i nivelmanska papua. Za poetnu i zavrnu toku nivelmanskog vlaka uzet je reper R8, ija normalna ortometrijska visina u novom visinskom datumu HRVS71 iznosi 255,2560 m.

Izmjera nivelmanske figure je obavljena me-todom preciznog nivelmana u zatvorenom ni-velmanskom vlaku. U nivelmanskom vlaku je po-trebno zadovoljiti uvjet da je zbroj visinskih razlika jednak nuli. Ovaj uvjet prilikom izmjere na terenu ujedno slui kao kontrola u svrhu uoavanja even-tualnih grubih pogreaka. U nivelmanskom vlaku duljine 1220,08 m suma visinskih razlika nesugla-

sica zatvaranja figure iznosila 1,7 mm. Vano je napomenuti da je visinska razlika od repera R8 do toke B iznosila 35,01 m na duljini od 610,04 m.

Izjednaenje ukupno 24 visinske razlike se obavilo po metodi najmanjih kvadrata (Feil, 1989). Definitivne vrijednosti visina toaka nivelmanskog vlaka i pripadajua ocjena tonosti, prikazane u tablici 1.

3.2 GravimetrijskaizmjeraZa odreivanje razlika ubrzanja sile tee u terenskoj izmjeri se koristio re-

lativni gravimetar AutoGrav Scintrex CG-5 u vlasnitvu Katedre za dravnu izmjeru Zavoda za geomatiku Geodetskog fakulteta Sveuilita u Zagrebu.

Mjerni sustav se zasniva na kvarcnom sustavu izvrsnih elastinih svojstava, ime je omogueno njegovo koritenje bez istezanja i pojave naglih okova. Na ispitnu masu djeluje sila tea, koja je uravnoteena pomou opruge i relativno male elektrostatike sile koja vraa test masu u poet-no stanje. Nulti poloaj test mase se nalazi 8,9 cm od donjeg ruba instrumenta, a odreuje se pomou kapacitativnog mjernog pretvaraa koji se mijenja uslijed promjene iznosa ubrzanja sile tee. Mjera relativne vrijednosti ubrzanja sile tee na stajalitu je povratni napon, koji se konvertira u digitalni signal i kao takav odlazi na obradu u sustav za prikupljanje podataka, prikaz na ekranu i pohranu u memoriju. Vie o relativnom gravi-metru Scintrex CG-5 vidi u (Markovinovi, 2008; Markovinovi, 2009; Scintrex Ltd, 2010).

Mjerni signal zasniva se na jedno-sekundnim vremenskim intervalima, to znai da se jednom svake sekunde analogni signali prikupljaju, a na ekranu se osvjeavaju podaci za vrijednost ubr-zanja sile tee i pripadajue statistike vrijed-nosti. Tijekom mjerenja upravljaki i kontrolni mehanizmi relativnog gravimetra CG-5 primje-njuju korekcije i obrauju signal mjerenja iz sen-zora, pohranjuju podatke i primjenjuju kontrol-ne funkcije.

Geometrijskim nivelmanom su odreene vi-sine toaka unutar nivelmanskog vlaka na test podruju estina. Kako bi dobili ortometrijske visine istih toaka, potrebno je poznavati vrijed-nosti ubrzanja sile tee na tim tokama. Ubrza-

Slika 5. Put nivelmanskih i gravimetrijskih mjerenja Slika 6. Nivelmanska izmjera

Toka g [10-5 ms-2] st. dev. [10-5 ms-2]

R8 980658,853 0,021

1 980658,970 0,029

2 980658,739 0,036

3 980657,948 0,046

4 980656,953 0,058

5 980656,035 0,050

6 980655,256 0,054

7 980654,447 0,058

8 980653,570 0,062

9 980652,777 0,065

10 980651,786 0,068

B 980650,924 0,071

Tablica 2. Raunanje geopotencijalnih kota i ortometrijskih visina

Tablica 1. Izjednaene visine toaka i pripadajua ocjena tonosti

Toka H [m] st.dev. [mm]

1 255,525 0,003

2 257,622 0,004

3 260,738 0,005

4 264,579 0,006

5 268,250 0,007

6 271,879 0,008

7 275,671 0,008

8 279,471 0,009

9 282,932 0,009

10 286,757 0,009

B 290,268 0,010

Markovinovi D., podnjak T., Bjelotomi O. (2011): Utjecaj sile tee u geometrijskom nivelmanuEkscentar, br. 14, pp. 61-65Znanost i struka

65List studenata Geodetskog fakulteta Sveuilita u Zagrebu

nje sile tee na tokama nivelmanske figure odre-eno je relativnom gravimetrijskom metodom, tj. mjerenjem razlika ubrzanja sile tee izmeu pojedinih toaka, paralelno sa izvedbom geome-trijskog nivelmana.

Prije terenskih mjerenja postavljeni su para-metri mjerenja. Parametri mjerenja se odnose na identifikator mjerenja, ime korisnika, ime mjernika, koordinate i oznaku toke. Samo mje-renje se obavljalo u 5 ponavljanja po 60 sekundi. U postavkama mjerenja nije koriten seizmiki filter. Pri gravimetrijskoj izmjeri se vodio zapi-snik s podacima visine instrumenta, tlaka zraka (hPa) i temperature (C). Mjerenja su izvedena metodom profila. Poetna toka gravimetrijskog vlaka je bila toka iz Gravimetrijske mree Gra-da Zagreba TM26 na Mirogoju, ija vrijednost ubrzanja sile tee iznosi 980650,858 x 10-5 ms-2 (Markovinovi, 2009).

Tijekom mjerenja ubrzanja sile tee, mjerni sustav i interni softver au-tomatski obrauju sljedee korekcije: korekciju nagiba, temperaturnu kompenzaciju i korekciju zbog utjecaja Zemljinih plimnih valova (Marko-vinovi, 2008). Naknadnom obradom provedene su korekcije zbog visine instrumenta, promjene atmosferskog tlaka, promjene poloaja pola Zemlje i hoda gravimetra. U naem sluaju hod gravimetra modeliran je meto-dom linearne regresije, na temelju ponovljenih mjerenja na gravimetrijskoj toki TM26 na Mirogoju.

U gravimetrijskom vlaku su izmjerene 24 razlike ubrzanja sile tee, koje su izjednaenje po metodi najmanjih kvadrata u programskom paketu Columbus (URL-2). Definitivne vrijednosti ubrzanja sile tee na tokama gravimetrijskog vlaka i pripadajua ocjena tonosti, prikazane su u tablici 2.

3.3 UsPoredbavisinaNakon to su izjednaenjem odreene vrijednosti ubrzanja sile tee za sva-

ku toku unutar nivelmanske figure, te njihove normalne ortometrijske visine, obavljena su raunanja geopotencijalnih kota i ortometrijskih visina opaanih toaka. U tablici 3. prikazane su vrijednosti geopotencijalnih kota toaka, te srednja vrijednost ubrzanja sile tee, te izraunate ortometrijske visine.

Iz tablice se vidi da je minimalna razlika od 2,8 mm u toki 1, a maksi-malna od 3,6 mm u toki B, koja se nalazila u blizini crkve. Navedene vrijed-nosti nisu zanemarive kod preciznih geodetskih zadataka, te se obavezno kod zahtjevnijih geodetskih podruja (velike visinske razlike, veliki nagib terena) du nivelmana treba odrediti vrijednosti ubrzanja sile tee u svrhu definiranja i raunanja ortometrijskih visina.

4. zaKljUaK

U geodetskoj upotrebi postoji vie visinskih sustava. Navedeni sustavi visina se meusobno razlikuju s obzirom na nain na koji se uzima u obzir ubrzanje sile tee prilikom njihova definiranja, odnosno s obzirom na oda-bir referentne plohe.

Visine i visinske razlike izmeu toaka na fizikoj povrini Zemlje naje-e se u geodetskoj praksi odreuju metodom geometrijskog nivelmana. Ukoliko se nivelira po zatvorenoj nivelmanskoj figuri, suma niveliranih vi-sinakih razlika nee biti jednaka nuli unato uklanjanju svih sistematskih i sluajnih pogreaka, te uz apsolutnu tonost mjerenja. Razlog tome je neparalelnost nivoploha, zbog ega je nivelirana visina H ovisna o putu. Kako bi dobili jednoznana mjerenja, neovisna o putu niveliranja, potrebno je uzeti u obzir utjecaj ubrzanja sile tee u nivelmanskim mjerenjima.

U praktinom dijelu rada geometrijskim nivelmanom odreene su pre-cizne visine toaka unutar nivelmanske figure u estinama, prilikom ega je nezatvaranje figure iznosilo 1,7 mm. S ciljem uklanjanja utjecaja neparalel-nosti nivoploha na nivelirane visinske razlike, te raunanja ortometrijskih visina, paralelno s nivelmanom izvedena su i relativna gravimetrijska mje-renja razlika ubrzanja sile tee izmeu toaka unutar figure. Prilikom obra-

de podataka gravimetrijska oitanja su korigirana za redukciju zbog visine instrumenta. promjene tlaka zraka i zbog gibanja pola Zemlje. te za hod gravimetra modeliran metodom linearne regresije. Konane vrijednosti ubr-zanja sile tee u tokama nivelmanske figure odreene su izjednaenjem po metodi najmanjih kvadrata. Prije nego se pristupilo raunanju ortometrij-skih visina. odreene su geopotencijalne kote toaka. kao direktan rezultat nivelmana kombiniranog s mjerenjem ubrzanja sile tee. Srednja vrijednost ubrzanja sile tee u pojedinoj toki izraunata je po Helmertovoj metodi primjenom pojednostavljene Poincar-Prey redukcije ubrzanja sile tee. Na temelju izraunatih geopotencijalnih kota i srednje vrijednosti ubrzanja sile tee odreene su ortometrijske visine toaka unutar nivelmanske figure.

Usporedbom izraunatih ortometrijskih i niveliranih visina uoava se da je minimalna razlika izmeu niveliranih i ortometrijskih visina na poetku nivelmanskog vlaka, u toki 1 iznosa 2,8 mm, maksimalna u toki 3,6 mm. Dobivene razlike u visinama toaka su znaajne za visokoprecizne geodet-ske radove i pokazuju da se ubrzanje sile tee obavezno mora uzeti u obzir pri svim ozbiljnijim radovima u geodetskoj praksi. To se posebno odnosi na brdsko-planinska podruja, gdje su vee visinske razlike i promjene ubr-zanja sile tee, te na dulje nivelmanske vlakove u takvim podrujima gdje efekt neparalelnosti nivoploha moe dosei centimetarsku vrijednost i vie.

literatUra

Bai, T. (2008): Predavanja iz kolegija Dravna izmjera, Geodetski fakultet Sveuilita u Zagrebu, Zagreb.

Bai, T. (2009): Predavanja iz kolegija Fizikalna Geodezija, Geodetski fakultet Sveuilita u Zagrebu, Zagreb.

Feil, L. (1989): Teorija pogreaka i raun izjednaenja, Geodetski fakultet Sveuilita u Zagrebu, Zagreb.

Heiskanen, W. A; Moritz. H. (1967): Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco.

Wellenhof, B.H.; Moritz, H.(2005): Physical geodesy, Springer WienNewYork.

Kapovi, . (2008): Predavanja iz kolegija Inenjerska geodezija u graditeljstvu, Geodetski fakultet Sveuilita u Zagrebu, Zagreb.

Markovinovi, D. (2008): Signal ubrzanja sile tee mjeren relativnim gravimetrom Scintrex CG-5 u Gravimetrijskoj mrei grada Zagreba. Zbornik radova I. simpozija ovlatenih inenjera geodezije Hrvatska geodezija - izazovi struke u 21. stoljeu, Zagreb

Markovinovi, D. (2009): Gravimetrijski referentni sustav Republike Hrvatske, doktorska disertacija, Geodetski fakultet Sveuilita u Zagrebu.

Scintrex Limited (2010): Operation manual Scintrex Autograv CG-5, Scintrex Limited, Concord, Ontario, Canada.

Torge. W. (1989): Gravimetry, Walter de Gruyter, Berlin, New York. URL-1: http://www.leica-geosystems.com, (10.05.2010.). URL-2: http://www.bestfit.com, (17.12.2010.).

Toka H [m] C [g.p.u.] [10-5 m/s2] Horto [m] (Horto-H) [m]

1 255,526 250,586 980658,993 255,529 0,0028

2 257,625 252,645 980658,753 257,627 0,0029

3 260,736 255,696 980657,962 260,739 0,0029

4 264,477 259,364 980656,967 264,480 0,0030

5 268,249 263,063 980656,050 268,252 0,0031

6 271,880 266,624 980655,278 271,884 0,0032

7 275,670 270,340 980654,468 275,674 0,0033

8 279,474 274,070 980653,591 279,477 0,0034

9 282,931 277,461 980652,805 282,935 0,0035

10 286,759 281,214 980651,814 286,762 0,0036

B 290,270 284,657 980650,948 290,274 0,0036

min 0,0028

maks 0,0036

stdev 0,0003

sredina 0,0032

Tablica 3. Raunanje geopotencijalnih kota i ortometrijskih visina

E

Markovinovi D., podnjak T., Bjelotomi O. (2011): Utjecaj sile tee u geometrijskom nivelmanuEkscentar, br. 14, pp. 61-65 Znanost i struka