6175-Solucionario Ex-cátedra N° 3 - MAT

SOLUCIONARIO ENSAYO EX CÁTEDRA N° 3

MATEMÁTICA

1. La alternativa correcta es E

5 – {4 – [3 – (2 – 1)]} = 5 – {4 – [3 – (1)]} = 5 – {4 – [2]}

= 5 – {2} = 3

2. La alternativa correcta es B

Si k + 1 = 5, entonces k2 – 12 = 42 – 12 = 16 – 1 = 15


(-1)-1 = -1

-(-1) = 1

(-1)2 = 1

= -1 – -1 – 1

= -1 + 1 – 1

= -1

4. La alternativa correcta es A

2 + L = 9

L = 7

Entonces, 2 – L = 2 – 7 = -5

5. La alternativa correcta es D

444 + 444 + 444+ 444 + 4 = 4 · 444 + 4

= 4(444 + 1)

Curso: Matemática

2


M = 12 y 12 = 2

5 · T

T = 12

2 · 5 = 30


12 minutos x

60 minutos h

Donde x = 12h

60 =

h

5 = 0,2 h


Es (son) falsa(s)

I) Falsa, se generan 2 · (6) + 1 = 13 rombos.

II) Verdadera, se generan 2 · (10) + 1 = 21 rombos.

III) Verdadera, se generan 2 ·(4) + 1 más 2 · (5) + 1 esto es 20 rombos.


0,3 · 0,30

9 =

0,09

9 = 0,01

10. La alternativa correcta es C

Sean

Ro = Rodolfo = z

Ra = Ramón

o

a

R

R =

x

y =

a

z

R

Entonces, Ra = yz

x

Figura Nº rombos

1 3

2 5

3 . . .

7 . . .

n 2n + 1

3


3 · ( a0 + 3a) = 3 (1 + 3a)

= 3 + 3 · 3a

= 3 + 3a + 1


Entonces, el calefont instalado resulta más económico comprándolo en el supermercado

(tienda) sin instalación y la instalación del gásfiter (48.000 + 7.500 = 55.500).


3m

m + m + m = 3

3m

3m = 3

2m

3 = 3. Entonces, m2 = 9


Sea Pp : El tanto por ciento de participantes que contesta correctamente

Np: Nº de preguntas correctas

Luego Pp · Np = Constante (Definición de P. Inversa)

Así Pp · 16 = 80 · 4

Pp = 80 · 4

16 = 20%

Calefont

(sin instalación) Instalación

Calefont + instalación

Tienda 48.000 20% de 48.000

es 9.600 57.600

Ferretería 49.800 58.200

Gasfiter 7500

4


Dada la definición: AB = A + AB + B

I) n 1 = n + n + 1

II) 2 n = 2 + 2n + n

Igualando: 2n + 1 = 3n + 2

Entonces, -1 = n


2

2 1s t

3 2

=

224 2 t

s st + 9 3 4


A · B = (x + y + z)( x – y– z)

= (x + (y+z))( x – (y + z))

= x2 – (y + z)2


I) Verdadera, pagaron en efectivo: 30% de 2.500 = 750 en cheque: 45% de

2.500 = 1.125.

II) Falso, Red compra: 5% de 2500 = 125 NO es el 66,6% de 750 que es 500.

III) Verdadera, cheques: 1.125, Red compra: 125. Entonces, total 1.250.


p = 2q + 5 -p = -2q – 5 -p – 1 = -2q – 6

5


Sea L el lado triángulo de un triángulo equilátero 3L = 9

L = 3

I) Falsa, A(L) = 23

43 =

9

43 (cm2) 3A =

27

43 cm2.

II) Verdadera, P = 3 · 3 = 9 3P = 27 cm.

III) Verdadera, h = 3

23 3h =

9

23 = 4,5 3 cm.


Son verdaderas

I) Verdadera, 500 + 3 · 100 = 800 = 1600

2.

II) Verdadera, 9.600 = 6 · 1.600

III) Verdadera, 9.600 = 4 (500 + 300 + 1.600) = 4 · 2.400


Sea r radio

r2 = 5 (5r)2 = 25r2

= 25 · 5

= 125


I) -3 1

-3 + 3

=

-4

0 no es real, Falso.

II) (7 – 7)0 = 00 no está definido, Falso.

III) 3 3 = 0 = 0 es real, Verdadero.

Nº comprados Costo unitario Costo total

Carpetas 12 500 + 300 = 800 12 · 800 = 9.600

Cuadernos 1 500 500 = 500

Gomas 3 20% de 500 = 100 3 · 100 = 300

Lápices 8 500 – 300 = 200 8 · 200 = 1.600

6


12,5

T =

T

8 T2 = 12,5 · 8

T2 = 100

T = 10 Es un posible valor


y

2x =

12y(x )

=

122(10 )

= 10


Racionalizando 3

3

5

·

3 2

3 2

5

5

=

3 23 5

5


1

4 ·

1

4 = 2x

1

16 = 2x

2-4 = 2x x = -4 x + 1 = -3


I) 2( 2 2) = 2 · (0) = 0 < 1 SÍ

II) 2 + 2

2 =

2 2

2 = 2 > 1 NO

III) 3 + 2

2 3 =

(+)

( ) = (–) < 1 SÍ

7


Del gráfico se desprende que ambas funciones pasan por (0,0) y (4,2).

Luego las únicas que cumplen son f(x) = x2 – 7

2x y g(x) =

x

2.


I) 1 1 3

= = 224

39

(Es racional)

II) 0,75 = 3

4 =

3

2 (Es irracional)

III) 1 1 1

= = = 810,125 1

88

(Es irracional)


2x2 + 5x – 3 = 0

Factorizando (x + 3)(2x – 1) = 0, sus soluciones son:

x = -3 y x2 = 1

2 que pertenecen al intervalo -4 < x < 1.


A = 5 + 4n n = a 5

4

reemplazando en:

B = 9 – 2n

B = 9 – 2A 5

4

B = 23 A

2

8


Notar la restricción inicial x 0, para la ecuación: x + 3

x = 1 +

3

x

Pero x + 3

x =

x

x +

3

x = 1 +

3

x

Luego, se trata de una identidad con x 0

Conjunto solución es IR – {0}


I) Verdadera, si a = 0 f(x) = b es constante.

II) Falsa, f(x) = ax + b es creciente si a > 0.

III) Verdadera, si a < 0 f(x) = ax + b es creciente.


Dominio de f(x) : {x 2 y x > 2} = {x > 2} = ]2, +[


f(-1) = 4 · -1 + 3n = -4 + 3n

f(-2) = 4 · -2 + 3n = -8 + 3n

f(-1) + f(-2) = -12 + 6n = 12

n = 4


Como a [3, 9] y b [-2, 5[

c = a · b estará entre 9 · -2 = -18 y 9 · 5 = 45

c [-18, 45[


Usando la fórmula se tiene Cf = 9 · 105 (1 + 0,06)5

Cf = 9 · 105 (1,06)5

9


I) Falsa, m1 (negativo) y m2 (positivo).

II) Falsa, m4 (Positivo) y m3 (cero).

III) Falsa, m1 (negativo) y m4 (positivo).


Área = a · a

2 =

2a

2

Área rectángulo = 2a · b

2a

2 =

1

3 · 2ab

3a2 = 4ab

3a = 4b

a : b = 4 : 3


Dado que ABCD es un paralelogramo:

I) Verdadero, P(5,4) al hacer R(0,180º) de P queda en (-5,-4)

II) Verdadero, A(1,4) al hacer R(0,180º) de A queda en (-1,-4)

III) Falso, D(3,7) al hacer R(0,180º) de D queda en (-3,-7)


La intersección entre AC y BC es “La parte común de ambos rayos”

Luego esta “parte común” es el rayo BC.

y

C D

A

x

B

P 7

1

5 1

4

7

A B C

10


I) Falso, no tiene centro de simetría (tiene 3 ejes de simetría).

II) Verdadero, el centro de simetría corresponde al punto de intersección de las

diagonales.

III) Falso, el mismo triángulo equilátero no verifica centro de simetría.


El plano sólo se puede teselar con un polígono regular de tres, cuatro y seis lados.


De la figura y del dato se desprende que:

I) BCD – ABC = 25º

II) BCD + ABC = 80º

Entonces, 2ABC = 55º

ABC = 27,5º


En el rectángulo ABCD

DEA = 60º y AEC = 120º

Como ACE = 30º, entonces EAC = 30º

ACE es isósceles con AE = EC = 10

También el DAE es un (30º - 60º - 90º)

Como AE = 10 10

DE = 2

= 5

C

A

D

B

D E C

A B

11


Como CDA = 90º y FDA = 60º FDC = 30º

Además CDE = 60º ( interior equilátero)

Luego EDF = CDE + FDC = 30º + 60º = 90º

DFE es rectángulo isósceles en D cuyos catetos miden 4.

Área de DFE = 4 · 4

2 = 8


II) Al trazar las diagonales en un rectángulo ABCD. Se forman 4 triángulos

rectángulos congruentes: ABC DCB DCA BAD


Como AD : DE : EB = 2 : 3 : 1

Los EBC, ADC, DEC, ABC, DBC tienen la misma altura, entonces la razón entre sus

áreas es la misma que la razón entre sus bases. Luego

I) k : 2k = 1 : 2

II) 3k : 6k = 1 : 2

III) 2k : 4k = 1 : 2

E

D

A

C

B

F

C

A 2k D 3k E k B

12


I) Verdadera, EBC FCD (LAL)

II) Falso

III) Falso


Trazando el segmento CB , el ABC es rectángulo en C.

Usando Euclides.

I) 2

AC = AD · AB = 4k · 5k = 20k2

II) 2

CD = AD · DB

82 = 4k · k

64 = 4k2

k2 = 16

De I) y II) AC 2 = 20 · 16 AC = 8 5


Usando Teorema de Thales AF : FD = BE : EC

a : b = 8 : EC

Donde 8b

EC = a

D C

A E B

F

G

D

F

C

E

A

B

D

C

B A

13

A B

D E

6

4 3

C


EDC BAC

EC 3 1 Perímetro EDC = = =

6 2 Perímetro ABCBC


ROP = 80º RQP = 40º (Inscrito)

Como OP // QR Entonces

RQP = QPO = 40º (Alternos internos entre paralelas)


Sea D: Diámetro de la circunferencia

D = 20

D = 20

Como OM PQ y ON es el radio entonces PM = MQ = 8

Sea NM = x, entonces MR = 20 – x

Usando teorema de las cuerdas: x(20 – x) = 8 · 8 = 64

x2 – 20x + 64 = 0

(x – 16)(x – 4) = 0

MN = 4

OM = 10 – 4 = 6

R

Q

P

O

P

M

Q

O

N

14


sen ( – ) = cos 30 = 3

2 = sen 60º

– = 60º


log (n3 – n) = log n (n2 – 1) = log n (n + 1)(n – 1)

= log n + log (n + 1) + log (n – 1)


Al rotar un trapecio isósceles entorno a su eje de simetría se obtiene el sólido de

revolución mostrado.


A(2,2,0) B(2,0,4) C(0,0,4)

Volumen paralelepípedo = Área (basal) · Altura

Área basal (en plano xy) = 2 · 2 = 4

Altura (cota z) = 4

Volumen = 4 · 4 = 16


Si P(x) es la probabilidad que de un suceso x.

Entonces, 0 P(x) 1

Z

B

A

y

C

x

15


Dado que se sacó A y ocupó el casillero 1, entonces sean

Probabilidad de sacar B en la 2° extracción = P(B) = 1

3.

Probabilidad de sacar C en la 3° extracción = P(C) = 1

2.

Probabilidad de sacar D en la 3° extracción = P(D) = 1

1 = 1

P ( B y C y D) = 1 1

· 3 2

· 1 = 1

6


Primos= {2, 3, 5}, pares = {2, 4, 6}

P(primo) = 3 1

= 6 2

= P(par)


P(Reprobado ambas) = 1 2

R

A + A + R =

18

120 = 0,15 = 15%


Edades promedios menores a 19 años = {18,4; 18,3; 18,8; 18,5} = A

P(A) = 4

10 = 0,4


I) Verdadero, M0 = Me = 2

II) Verdadero, Me = 2 235

95x =

III) Falso, en 30 lanzamientos se obtienen 2 caras

Nº caras Frecuencia

0 5

1 15

2 30

3 25

4 15

5 5

16


Sea p par {p, p + 2, p + 4, p + 6, p + 8, p + 10, p + 12, p + 14}

Mediana es p + 6 + p + 8 2p + 14

= = p + 72 2

Como p + 7 = 11

p = 4


La desviación estándar es una medida de dispersión que indica cuánto tienden a alejarse

los datos de la media aritmética.

Claramente en el conjunto {12, 15, 18} con x = 15 los datos tienden a alejarse más

que en los otros casos.


I) Verdadero, 400 + 300 + 500 + 200 + 300 + 300 + 200 + 400 = 2.600

II) Verdadero, 400 + 500 = 75% de (300 + 200 + 300 + 400)

III) Verdadero, aumentaron de 400 a 500, es decir varió en 100 (100 de 400 es

25%).


Longitud de u es: 32 + 42 = x2

9 + 16 = x2

25 = x2

5 = x


64

6! 6 5 4 3 2!A = =

2!

2! = 6 · 5 · 4 · 3 = 360


P(A) + P(AC) = 1

m + P(AC) = 1

P(AC) = 1 – m

17


Casos totales: CCC SCS

CCS SCC

CSC SSC

SSS CSS

Luego I, II y III son verdaderas.


P = 41

93

3

1

82

1 =

6


(1) Insuficiente, sólo se conoce un punto de L1.

(2) Insuficiente, sólo se conoce la abscisa de Q que está en L2.

(1) y (2) Insuficiente, (necesito conocer dos puntos de L1).


(1) Suficiente, toda paralela a la base de un determina un semejante al primero.

(2) Suficiente, AD DC y BE EC DE es mediana, es paralela a AB .


Sean Co: Precio original de la camisa, Cr: Precio con rebaja. (1) Suficiente, 2.000 = 25% de Co Cr = Co – 2000 = 8.000 – 2.000

(2) Suficiente, 8.000 – 25% de 8.000 = 8.000 – 2.000 = Cr

18


(1) Insuficiente, sólo se conoce AB .

(2) Insuficiente, sólo se conoce OB : BP : OC pero ningún valor de algún segmento

aludido.

(1) y (2) Suficiente, por (2) AB = 6k y se conoce AB por (1). Luego se puede

determinar k (constante de la proporcionalidad).

Usando teorema de la tangente y secante queda determinada (dado que se conoce k).

2PC = PB · PA

2PC = 4k · 6k


(1) Insuficiente, se desconoce la medida de la altura.

(2) Insuficiente, se desconoce la medida de la base AB .

(1) y (2) Insuficientes, aún cuando se conoce el punto medio de la base que es (4, 4) y

la medida de la altura 4 + 4 = 8.

La ubicación de C podría ser C(4, 4 + 8) o C’ (4, 4 – 8), es decir, C(4, 12) o C’ (4, -4).


Sea R: radio y h: altura del cilindro

(1) Insuficiente, sólo se conoce el valor de 2 R · h

(2) Insuficiente, sólo se conoce el valor de 2 R R conocido

(1) y (2) Suficientes, R y h conocidos V = R2 · h conocido


(1) Suficiente, si su puntaje se ubica en P87, entonces fue superior al 87% de los

puntajes.

(2) Insuficiente, supera al 75% de los puntajes pero esto no implica que supera al 85%

de los puntajes.

P

C

A O

B

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