Muestreo

Bietápico de

Conglomerados

Ejercicios Resueltos

Anny Guilarte

Los siguientes ejercicios ejemplifican el muestreo bietápico por conglomerados, tomados de Scheaffer, R.; Mendenhall, W. Y Ott, L. (1986) “Elementos de

Muestreo”. Grupo Editorial Iberoamérica, S.A. De C.V.

9.4. Una cadena de supermercados tiene tiendas en 32 ciudades. Un director de

la compañía quiere estimar la proporción de tiendas en la cadena que no

satisfacen un criterio de limpieza específico. Las tiendas dentro de cada ciudad al

parecer poseen características similares; por lo tanto el director decide

seleccionar una muestra por conglomerados en dos etapas conteniendo la mitad

de las tiendas dentro de cada una de las 4 ciudades. El muestreo por

conglomerados es conveniente en esta situación debido al costo de traslado. Los

datos recolectados se presentan en la tabla adjunta. Estime la proporción de

tiendas que no satisfacen el criterio de limpieza y establezca un límite para el error

de estimación.

Ejercicio 9.4 Aquí no se conoce M

Ciudad

No. Tiendas

en la ciudad

Mi

No. Tiendas

muestreada

s mi

No. Tiendas

que no

satisfacen

el criterio

de limpieza pi Mipi (Mipi)2

1 25 13 3 0,2308 5,7692 33,2840

2 10 5 1 0,2000 2,0000 4,0000

3 18 9 4 0,4444 8,0000 64,0000

4 16 8 2 0,2500 4,0000 16,0000

69 35 19,7692 117,2840

Mi2 Mi2pi Mi2((Mi-mi)/Mi)*piqi/(mi-1)

625,0000 144,2308 4,4379 0,286511

100,0000 20,0000 2,0000 N= 32

324,0000 144,0000 5,0000 n= 4

256,0000 64,0000 3,4286 17,25

1305,0000 372,2308 14,8664

t= 2

0,00311356 B= 0,11159858

Sr^2 3,70438809 Liminf limsup

0,05579929 0,17491201 0,39810917

p

m

1

ˆˆ11ˆˆ 2

2

2

2

i

ii

i

ii

irm

qp

M

mMM

MnNS

MnN

nNpV

p

Por tanto, la proporción de tiendas que no satisfacen el criterio de limpieza es de

0,286511. Además, con un 75% de confianza se afirma que el verdadero valor de

la proporción de tiendas se encuentra entre 0.17491201 y 0.39810917.

9.5. Repita el ejercicio 9.4 dado que la cadena contiene 450 tiendas.

0,35145299 M= 450

14,0625 0,00780635

Sb^2 6,52613412 t= 2

B= 0,17670709

N= 32 Liminf limsup

n= 4 0,109804 0,46321768

p

M pV ˆˆ

Por tanto, la proporción de tiendas que no satisfacen el criterio de limpieza es de

0,35145299. Además, con un 75% de confianza se afirma que el verdadero valor

de la proporción de tiendas se encuentra entre 0.109804 y 0.46321768.

9.8. Un guardabosque quiere estimar el número total de árboles en un condado

infestados por una enfermedad particular. En el condado hay 10 áreas bien

definidas; estas pueden ser subdivididas en lotes de aproximadamente el mismo

tamaño. Se dispone de 4 cuadrillas para realizar la encuesta, la cual debe ser

completada en un día. Por lo tanto se utiliza un muestreo por conglomerado en 2

etapas. 4 áreas (conglomerados) son seleccionadas con 6 lotes (elementos)

escogidos aleatoriamente de cada una. (Cada cuadrilla puede inspeccionar un

área por día.) Los datos se presentan en la tabla adjunta. Estime el número total

de árboles infestados en el condado y establezca un límite para el error de

estimación.

Área Numero

de lotes

(MI)

Numero de

lotes

muestreados

mi

1 12 6 15 14 21 13 9 10

2 15 6 4 6 10 9 8 5

3 14 6 10 11 14 10 9 15

4 21 6 8 3 4 1 2 5

Total= 62 24

N= 10 Mmedia 15,5 Sb^2 1723,2292

n= 4 Ur 8,2339 varianza 28354,9919

168,3894

B= 336,7788

limite inferiorLimite Superior π(est) 1276,2500

939,4712 1613,0288

Numero de arboles infestados por lote

p

Por tanto, el número total de árboles infestados en el condado es de

aproximadamente 1277. Además, con un 75% de confianza se afirma que el

verdadero valor del número total de árboles infestados en el condado se

encuentra entre 939,4712 y 1613,0288.

9.9. Una compañía está probando una nueva embotelladora. Durante un ensayo

la máquina llena 24 cajas, cada una con 12 botellas. La compañía desea estimar

el número promedio de onzas de contenido por botella. Se emplea un muestreo

por conglomerados en dos etapas usando 6 cajas (conglomerados) con 4

botellas (elementos) seleccionados aleatoriamente de cada caja. Los resultados

se presentan en la tabla adjunta. Estime el número de onzas promedio por botella

y establezca un límite para el error de estimación.

Ejercicio 9.11 Aquí no se conoce M

Caja Mi mi Yimed Si^2 MiYimed (MiYimed)2

1 12 4 7,9 0,15 94,8000 8987,0400

2 12 4 8 0,12 96,0000 9216,0000

3 12 4 7,8 0,09 93,6000 8760,9600

4 12 4 7,9 0,11 94,8000 8987,0400

5 12 4 8,1 0,1 97,2000 9447,8400

6 12 4 7,9 0,12 94,8000 8987,0400

72 24 571,2000 54385,9200

M(est) 12

Umed 7,93333333

N= 24

n= 6

Mi2 Yimed*Mi2 (Mi2((Mi-mi)/Mi)*Si 2)/(mi)

144,0000 1137,6000 3,6000 varianza 0,00187731

144,0000 1152,0000 2,8800

144,0000 1123,2000 2,1600 Sb^2 1,536

144,0000 1137,6000 2,6400 σ= 0,04332799

144,0000 1166,4000 2,4000

144,0000 1137,6000 2,8800 t= 2

864,0000 6854,4000 11,2800 B= 0,08665598

Liminf limsup

7,84667735 8,01998932

Por tanto, la el número de onzas promedio por botella es de 7,93333. Además,

con un 75% de confianza se afirma que el número de onzas promedio por botella

se encuentra entre 7,84667735 y 8,01998932.

9.10. Cierta planta industrial tiene 40 máquinas y todas producen el mismo artículo

(por ejemplo, cajas de cereal). Se desea estimar la proporción de productos

defectuosos (por ejemplo, cajas con menor contenido) un día especifico. Analice

los méritos relativos del muestreo por conglomerados en dos etapas (las máquinas

como conglomerados de cajas) y el muestreo aleatorio estratificado (las

máquinas como estratos) como diseños posibles para este estudio.

Para aplicar muestreo por conglomerado bietápico existen dos supuestos

importantes. Uno es que haya gran variabilidad entre los tamaños de los

conglomerados y el otro es que el tamaño poblacional sea demasiado grande.

En el ejemplo planteado, si el nivel de producción de cada máquina varía y si la

producción de estas es muy grande, lo que hace que el tamaño poblacional sea

muy grande, es adecuado aplicar un muestreo por conglomerados.

Sin embargo, es preferible utilizar el muestreo por conglomerados en dos etapas

cuando la proporción de artículos defectuosos varía en el tiempo para cada

máquina y todas estas se comportan de forma similar entre sí.

Por otra parte, en el ejemplo planteado sería conveniente aplicar muestreo

estratificado si la producción de las distintas máquinas es diferente y se

agruparían como estratos; recordemos que el muestreo estratificado se utiliza

cuando la población se puede dividir en diferentes grupos.

Y si la proporción de artículos defectuosos para cada máquina es

aproximadamente constante en el tiempo y las proporciones varían

significativamente entre las máquinas, lo mejor es aplicar el de muestreo aleatorio

estratificado.

9.11. Una empresa de investigación de mercados ideó un plan de muestreo para

estimar las ventas semanales de un cereal de la marca A en un área geográfica.

La empresa decidió muestrear ciudades dentro del área y luego supermercados

dentro de ciudades. La medición de interés es el número de cajas vendidas del

cereal de la marca A en una semana específica. 5 ciudades son muestreadas de

entre las 20 en el área. Usando los datos presentados en la tabla adjunta, estime

las ventas promedio de todos los supermercados en el área para la semana

específica. Establezca un límite para el error de estimación.

Ejercicio 9.11 Mi mi

Ciudad

Nº de

Supermercados

Nº de

supermercados

muestreados media varianza Mi*yi

1 45 9 102 20 4590

2 36 7 90 16 3240

3 20 4 76 22 1520

4 18 4 94 26 1692

5 28 6 120 12 3360

147 30 482,000 96,000 14402,000

97,97278912 29,4000

(Miyi)2 Mi2((Mi-mi)/Mi)*Si2/miMi 2yi Mi2

21068100 80 206550 2025

10497600 66,2857143 116640 1296 varianza 30,10689

2310400 88 30400 400

2862864 91 30456 324 σ= 5,48697

11289600 44 94080 784

48028564,000 369,286 478126,000 4829,000

t= 2

B= 10,97395

173463,3429 Liminf limsup

86,99884 108,94674

i

n

ii

r

M

yM

M

1

2

1

ˆ1 1

222

1

22

1

22

2

n

MyMyM

n

yM

S

n

i

n

i

iriir

n

i

ii

n

i

rii

r

Por tanto, las ventas promedio en todos los supermercados son de 97,97278912.

Además, con un 75% de confianza se afirma que las ventas promedio de todos los

supermercados en el área para la semana específica se encuentran entre

86,99884 y 108,94674.

9.12. En el ejercicio 9.11 ¿Se tiene suficiente información para estimar el número

total de cajas de cereal vendida en todos los supermercados del área durante la

semana? Si es así, explique cómo estimaría usted este total y establezca un límite

para el error de estimación.

Si, los cálculos apropiados están en la siguiente tabla

Ejercicio 9.12 Aquí no se conoce M

Departame

nto

N de

Secretarias Mi

N de

secretarias

muestreada

s mi Yimed Si^2 MiYimed (MiYimed)2

1 45 9 102 20 4590,0000 21068100,0000

2 36 7 90 16 3240,0000 10497600,0000

3 20 4 76 22 1520,0000 2310400,0000

4 18 4 94 26 1692,0000 2862864,0000

5 28 6 120 12 3360,0000 11289600,0000

147 30 14402,0000 48028564,0000

EstTotal 57608,000000

Umed 97,97278912 Varianza 10445338

N= 20 σ= 3231,9248

n= 5

Mi2 Yimed*Mi2 (Mi2((Mi-mi)/Mi)*Si 2)/(mi)

2025,0000 206550,0000 3600,0000

1296,0000 116640,0000 2386,2857 t= 2

400,0000 30400,0000 1760,0000 B= 6463,84954

324,0000 30456,0000 1638,0000 Liminf limsup

784,0000 94080,0000 1232,0000 51144,15046 64071,8495

4829,0000 478126,0000 9384,2857

EstTotal 57608,000000

Por tanto, el número total de cajas de cereal vendidas en todos los

supermercados del área durante la semana específica es de 57.608. Además,

con un 75% de confianza se afirma que el número total de cajas de cereal

vendidas en todos los supermercados del área durante la semana específica se

encuentra entre 51144,1505 y 6471,8495.