62stabilnost Konstrukcija 6_11

8/19/2019 62stabilnost Konstrukcija 6_11

1/12

6. STABILNOST KONSTRUKCIJA

V čas

v. prof. Dr Mira Petronijević

Prof. Stanko Brčić

6.6 Vektor ekvivalentnog opterećenja

Komponente vektora ekvivalentnog

opterećenja su jednake negativnimvrednostima reakcija oslonaca štapa sanepomerljivim osloncima usled zadatihuticaja p(x) i t duž ose štapa

Reakcije štapa se određuju polinearizovanoj Teoriji II reda


2/12

Vektor ekvivalentnog opterećenja

Diferencijalna jednačina ravnoteže zaslučaj aksijalnog opterećenja je ista kao ipo Teoriji I reda

Komponente vektora ekvivalentnogopterećenja usled aksijalnog opterećenjapx(x) i temperaturne promene u osi štapa

to su iste kao i odgovarajuće komponentepo Teoriji I reda


Za transverzalno opterećenje p y(x) i

temperaturnu razliku t vektorekvivalentnog opterećenja se dobija poTeoriji II reda primenom Metodepočetnih parametara


3/12


6.6.1 Vektor ekvivalentnogopterećenja od p y (x)

)()()()(

)()(cossin)()(

)()(sin

cos)(

)()()()()(

10

22000

33000

44030200

x I V xvS xv EI xV

x I xF V kx M kx EIk xv EI x M

x I xF V S

kxk M kx x

x I xF V xF M xF v xv

(A)

py(x)S

Q3

Q4 k

S

y

x

t

Q1

Q2 i


4/12

gde su I j(x) j=1,2,3,4 partikularniintegrali, koji za proizvoljno opterećenje

p(x) imaju vrednosti:

1 1 2 2

0 0

3 3 4 4

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x x

x x

I x F x p d I x F x p d

I x F x p d I x F x p d

x

l

pri čemu su F i j=1,2,3,4 funkcije:

Za zadato opterećenje i konturne uslove, iz

jednačina (A) se određuju reakcije oslonaca,odn. vektor ekvivalentnog opterećenja.

1 2

3 4

sin( ) 1 ( )

1 cos sin( ) ( )

kxF x F x

k

kx kx kxF x F x

S k S


5/12

6.6.2 Vektor ekvivalentnog opterećenja odopterećenja koncentrisanim silama

(B)

Rešenje Metodom početnih parametara zaopterećenje koncentrisanim silama:

0 0 2 0 3 0 4 3 4

0 0 0 3 3

0 0 0 2 2

0

( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) ( )

sin sin ( )( ) cos ( ) | ( )

( ) sin cos ( ) | cos ( ) ( )

( ) |

x a

x a

x a

x a

v x v F x M F x V F x MF x a PF x a

k kx k k x a x kx M V F x M PF x a

S S

M x EIk kx M kx V F x M k x a PF x a

V x V P


6/12

Granični uslovi na kraju x = l:

0 3 0 4 3 4

0 0 3 3

( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0

sin sin( ) 0 ( ) ( ) 0

:

v l M F l V F l MF a PF a

k k kal M V F l M PF a

S S

gde je a l a

Iz graničnih uslova u x=l se dobijaju početni

parametri M o i V o Iz opšteg rešenja se zatim određuju M(l) i V(l)

Elementi vektora ekvivalentnog opterećenja su:

Q1 = -V 0 Q2 = M 0Q3 = V(l) Q4 = - M(l)


7/12

6.6.3 Vektor ekvivalentnog opterećenja za jednakopodeljeno opterećenje

Za jednakopodeljeno opterećenje, sa

graničnim uslovima v0 = 0 i 0=0, dobija se:

Iz graničnog uslova v(l) = 0

)2

1(cossin

2

cos1)(

22

20

xk kx

S k

p

kS

kxkx pl

S

kx M xv

02

)1(cossin2

cos1)(

2

20 S pl

S k p

kS pl

S M lv


8/12

dobija se:

Momenat M(x) :

2

0 2

12( sin 2cos 2),

12 22 (1 cos ) 0

pl pl M V

)1(cossincos)(200

kxk

p

k

kxV kx M x M

Za x=l sile u presecima su:

odakle se dobija

2

2

12( sin 2cos 2)( )

12 2 (1 cos )

( )2

pl M l

plV l


9/12

21

21

3

4

2

2

12

2

12

p

p

pl

Q pl

Q

Q pl

Q

pl

gde je:

vektor ekvivalentnog opterećenja:

2

2

12 sin1 , za S < 0

2(1 cos )

1.0 za S = 1

12 sh1 , za S > 0

2(1 ch )

p

p

p

6.6.4 Vektor ekvivalentnog opterećenja usledtemperaturne razlike t=tu-to

Za EI=const, diferencijalna jednačinaravnoteže je:

odakle se integracijom se dobija:

0)( 22

2

2

2

h

t vk

dx

vd

dx

d t

212

2

2

C xC ht vk

dxvd t


10/12

Za pritisnut štap se dobija rešenje:

Za proizvoljne konturne uslove na kraju x = 0:

kxC kxC h

t C xC

k xv t cossin)(

1)( 43212

00

00

)0(,)0(

)0(,)0(

V V M M

vv

dobijaju se integracione konstante:

hk

t

S

M C

S k

V

k C

S

M vk C

EI

V C

t 20

400

3

00

22

01 )(


11/12

Partikularni integrali, odn. funkcije I i(x)za uticaj temperaturne razlike su:

)cos1()(sin)(

)cos1()(0)(

243

21

kx

hk

t x I kx

kh

t x I

kxh

t EI x I x I

t t

t

Smenom dobijenih rešenja za C i u izraze za v(x),

(x), M(x) i V(x), iz graničnih uslova na krajuštapa se dobijaju rešenja za M(0), V(0), M(l), V(l)

Elementi vektora ekvivalentnog opterećenja su:

Q1 = -V o, Q2 = M o,

Q3 = V(l), Q4 = - M(l)


12/12

1

21

3

4

0

0

t

t

t

Q t EI

Q h

Q

Q t

EI h

Vektor ekvivalentnog opterećenja za t=t u-t o je istikao po teoriji I reda:

Documents

62stabilnost Konstrukcija 6_11