63100 Vektorgeometrie ganz einfach 2 CC - mathe-cd.de · Jetzt muss man wissen, dass ein Vektor eine Menge aus unendlich vielen Pfeilen ist, die alle parallelgleich sind. Daher ist

Vektorgeometrie ganz einfach

Teil 2

Das Wichtigste ûber Geraden

Ganz einfache Erklärung der Grundlagen:

Die wichtigsten Aufgabenstellungen und Methoden-

Datei Nr. 63100

Stand:

25. Februar 2016

Friedrich Buckel

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63100 Vektorgeometrie ganz einfach 2 Geraden 2

Friedrich Buckel www.mathe-cd.de

Vorwort

Dieser Text mit dem Zusatztitel „ganz einfach“ ist ein praktisch ausgerichteter Text zur Einführung

mit Musterbeispielen und Aufgaben. Die Methoden werden ausführlich beschrieben und vorgeführt.

Schüler, die wiederholen und auf eine Klausur oder eine Prüfung lernen, finden hier eine ausführliche

Übersicht und können sich rasch nochmals über alles informieren.

Die Beispiele und Trainingsaufgaben des vorliegenden Textes sind auch zu einer

Aufgabensammlung unter der Nummer 63101 zusammengestellt.

Eine weitere Aufgabensammlung zum Thema Geraden findet man im Text Nr. 63102

Inhalt

1 Vektorielle Geradengleichung 4

1.1 Wie kann man Punkte berechnen, die auf einer Geraden liegen? 4

Grundaufgabe 1: Geradengleichung aufstellen 7

Grundaufgabe 2: Gerade durch zwei Punkte 7

1.2 Das vektorielle Zugmodell für die Geradengleichung 8

1.3 Grundaufgabe 3: Liegt P auf g? 10

Lösung mit der Punktprobenmethode 10

Lösung mit der Vektorvergleichsmethode 10

1.4 Trainingsaufgaben 1 bis 4 12

2 Lage zweier Geraden 13

2.1 Parallele Geraden 13

Grundaufgabe 4: Sind g und h parallel oder sogar identisch? 13

Grundaufgabe 5: Gleichung einer Parallelen zu g durch B 14

Grundaufgabe 6: Für welchen Wert von t sind g und ht parallel? 14

2.2 Grundaufgabe 7: Liegen g und h in einer Ebene oder sind sie

windschief? 15

2.3 Viele Beispiele: Untersuche die Lage der Geraden g und h 17

Methodenübersicht 20

2.4 Trainingsaufgaben 5 bis 8 zur Lage zweier Geraden 21

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3 Grundaufgabe 8: Spezielle Lagen von Geraden im Raum? 22

3.1 Ursprungsgerade 22

3.2 Geraden in einer Koordinatenebene 22

3.3 Gerade parallel zu einer Koordinatenebene 23

3.4 Parallelen zu einer Koordinatenachse 24

Trainingsaufgabe 9 24

4 Grundaufgabe 9: Spurpunkte von Geraden 25


5 Geraden im R2 27

Umrechnungen: Lineare Gleichung . Vektorgleichung 27

Grundaufgabe 10: Berechne eine lineare Geradengleichung 28

Grundaufgabe 11: Berechne eine Parametergleichung 29


Lösungen der Aufgaben 30 - 53

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1. Geradengleichungen

1.1 Wie kann man Punkte berechnen, die auf einer Geraden liegen?

Voraussetzung: Der Leser muss hier wissen, dass man nicht mit Punkten rechnen kann.

Daher hat man sogenannte Ortsvektoren eingeführt.

Ein Ortsvektor ist ein Pfeil der im Ursprung beginnt und beim betreffenden Punkt endet.

Jetzt muss man wissen, dass ein Vektor eine Menge aus unendlich vielen Pfeilen ist, die alle

parallelgleich sind. Daher ist ein „Ortsvektor“ kein Vektor sondern nur ein Pfeil eines Vektors.

a OA

ist also der Ortsvektor des Punktes A, aber nur ein fixierter Pfeil und nicht wirklich ein

Vektor. Mit diesen Ortsvektoren kann man wichtige Dinge anstellen. Beispielsweise kann man den

Vektor AB

durch die Ortsvektoren der Punkte A und B berechnen: AB b a

(siehe Abb.).

Hinweis: Diese Grundlagen (Pfeil-Vektoren, deren Addition und vor allem Subtraktion,

ihre Anwendung auf Punkte usw.) kann man im Text 63005 nachlesen.

Für unser Thema „Geraden“ stellen wir uns jetzt diese Aufgabe:

Wie kann man die Ortsvektoren der Punkte berechnen, die auf einer Geraden liegen?

Um eine Gerade zeichnen zu können, benötigt

man einen Punkt A von g und ihre Richtung.

Wir benötigen den Ortsvektor a OA

von A

und einen Vektor u

, der die Richtung von g

angibt (Richtungsvektor von g).

Wichtiges Musterbeispiel

Wir benötigen einen „Startpunkt“ auf g, von dem aus wir andere Geradenpunkte ansteuern.

Man nennt diesen Punkt den Aufpunkt A 3 | 2 | 1 der Geraden g.

Seinen Ortsvektor 3

a 21

nennt man den Stützvektor der Geraden:

Die Richtung der Geraden wird durch diesen Richtungsvektor 4

u 62

gegeben.

In Abb. 1 erkennt man, wie man dann sofort den Ortsvektor eines Punktes B berechnen kann:

Man addiert einfach die Vektoren a

und u

: b OB a u

Mit Zahlen: 3 4 1

b 2 6 81 2 1

d. h. B 1| 8 |1 .

O

A BP

a b

x

u

Abb.1

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Als nächstes gehen wir vom Punkt A aus um 2u

weiter und kommen zu einem Punkt C.

Sein Ortsvektor wird dann so berechnet:

OC c a u2

3 4 5

c 2 2 6 141 2 3

d. h. C 5 |14 | 3 .

Dies zeigt Abb. 2:

In Abb. 2 ist auch ein Punkt D dargestellt. Hier die Berechnung seines Ortsvektors:

D d uaO 1,5

3 4 3 6 9

d 2 1,5 6 2 9 71 2 1 3 4

d. h. D 9 | 7 | 4 .

Hier erkennt man auch, warum die Idee mit den Ortsvektoren so toll ist: Wir können durch eine

Addition zweier Vektoren den Ortsvektor eines Punktes berechnen, ja und der Punkt selbst hat

die gleichen Koordinaten, also haben wir indirekt die Punktkoordinaten vektoriell berechnet.

Erkenntnis:

Man kann aus dem Aufpunkt A und dem Richtungsvektor u

weitere Geradenpunkte

berechnen, indem man zum Ortsvektor a

von A beliebige Vielfache des Richtungsvektors u

addiert. Also so: ax r u

.

Dies ist also eine Berechnungsformel für die Ortsvektoren der Geradenpunkte.

Man nennt sie die Parametergleichung der Geraden g.

Kleine Aufgabe für sofort:

Gegeben ist der Punkt A 4 2 1½ ½ von g und der Richtungsvektor 1

u 12

Stelle die Gleichung von g mit dem Parameter r auf.

Berechne damit die Koordinaten der Geradenpunkte zu den Parametern

r = 1, r = 2, r= 3 und r = -2.

Die Lösung zeige ich auf der nächsten Seite.

Abb.2

u

d

D -1,5 u

O

A B C

a

b

c

2u

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Lösung:

Gleichung von g: 4 1

x 2 r 11 2

.

Berechnung einiger Geradenpunkte:

Nach Vorgabe des Parameters kann man ihn einsetzen und die Koordinaten des Ortsvektors und

damit des Punktes berechnen:

Parameter Ortsvektor des Punktes Punkt

r = 1 1

4 1 5x 2 1 1

1 21

1

P 5 1 1 ½ ½

r = 2 2

4 1 6x 2 1 0

1 22

3

B 6 0 3½ ½

r = 3 3

4 1 7x 2 1 1

1 23

5

C 7 1 5½ ½

r = -2 2

4 1 2x 2 1 4

1 52

2

Q 2 4 5½ ½

WICHTIG:

Den Buchstaben r, der das Wievielfache von u

angibt, nennt man Parameter.

Er stellt im Grunde eine Art Koordinate innerhalb von g dar.

Und weil eine Gerade ein eindimensionales Objekt ist, reicht innerhalb von g

auch nur eine Parameter-Koordinate: Zu P gehört r = 1, zu B r = 2 usw.

Wir haben also auf der Geraden eine r-Achse, d.h. ein eindimensionales Koordinatensystem.

Innerhalb der Geraden reicht es daher, den r-Wert (die r-Koordinate) zu kennen, in der x-y-Ebene

sind es 2 Koordinaten. im Raum benötigt man jedoch 3 Koordinaten, die man mit vorgegebenem r aus

der Geradengleichung berechnen kann.

P B CQ gA

O

u

a

u 1 2 3 412 0

r

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Grundaufgabe 1: Eine Geradengleichung aufstellen (1)

Gegeben ist ein Punkt A 1| 4 | 4 und ein Richtungsvektor 3

u 25

.

a) Gib eine Gleichung der Geraden g an, die durch A geht und in Richtung u

zeigt.

b) Berechne zwei weitere Punkte der Geraden.

Lösung

a) g: x a r u

, d. h. 1 3

x 4 r 24 5

ist die gesuchte Geradengleichung.

b) Parameter wählen Ortsvektor berechnen Punkt

Für r = 3 erhält man: 1 3 1 9 10

b 4 3 2 4 6 24 5 4 15 11

. B 10 | 2 |11 .

Für r 1 erhält man: 1 3 2

c 4 2 64 5 9

C 2| 6| 9

Grundaufgabe 2: Eine Geradengleichung aufstellen (2)

Gegeben sind zwei Punkte A 2| 0 | 2 und B 1| 4 | 3 .

Gib eine Gleichung der Geraden g = (AB) durch A und B an.

Lösung

Man verwendet AB b a

als Richtungsvektor für g.

Berechnung des Richtungsvektors: 1 2 1

u b a 4 0 43 2 5

Gerade (AB): x a r AB

: 2 1

x 0 r 42 5

.

Für z. B. r = 2 erhält man 2 1 0

c 0 2 4 82 5 8

, also den Punkt C 0 | 8 | 8 .

ACHTUNG: Man kann statt A auch B als Aufpunkt wählen:

x b t AB

: 1 1

x 4 t 43 5

Um damit C zu berechnen, benötigt man t = 1. Bei einem anderen Aufpunkt benötigt man für die

Punkte andere Parameterwerte. Daher sollte man auch einen anderen Buchstaben verwenden.

Also jetzt z. B. t statt r.

a

b

u

O

AB

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1.2 Das vektorielle Zugmodell für die Geradengleichung

Der Tatbestand, dass man völlig verschieden aussehende Gleichungen für dieselbe Gerade

aufstellen kann, ist für den Anfänger verwirrend, weil er es gewohnt ist, immer irgendwie eindeutige

Ergebnisse in der Mathematik zu bekommen. Man sollte aber daran denken, dass die

Geradengleichung ja nur ein Hilfsmittel zur Berechnung der Ortsvektoren ist, und somit noch nicht das

Ergebnis.

Es gibt einen schönen Vergleich mit der Eisenbahn.

Nehmen wir an, Sie wollen mit der Bahn nach C-Stadt fahren. Dann brauchen Sie zuerst ein Taxi,

das Sie von O zum nächsten Bahnhof in A-Hausen bringt. Dieses entspricht dem Stützvektor a

, der ja

nichts anderes bewirkt, als Sie vom Ursprung (Ihrem Wohnhaus) aus zuerst einmal auf die Gerade

(Schienen) zu bringen.

Nun haben Sie die Auswahl: Mit dem „Vektorzug“ u

benötigen Sie 8 Zeiteinheiten bis zum Punkt C:

OC a 8u

. Mit dem doppelt so langen Vektor v 2u

benötigen Sie für diesen nur vier

Zeiteinheiten: OC a 4v

. v

stellt also einen doppelt so schnell fahrenden Zug dar.

Wenn Sie jedoch zeitlich zu spät dran sind, sollten Sie mit dem Taxi nicht nach A fahren, sondern

versuchen, den Zug in B zu erreichen. Dann ist B Ihr Aufpunkt für den Zug (die Gerade), und Sie

kommen dann von O über B nach C.

Wenn Sie aus Versehen in A den Zug besteigen, der den Gegenvektor verwendet, dann fahren Sie in

die falsche Richtung und kommen nicht in C an. Von A aus würde man C nur mit einem negativen

Parameterwert erreichen, etwa AC 8 AD

, also OC a 8 AD

. Dieser negative Wert für r

lässt sich als Zeit auch so deuten: Vor 8 Stunden war dieser Zug in C-Stadt!

Dieses Modell hilft bei der Vorstellung und veranschaulicht vor allem auf nette Weise die Bedeutung

der Ortsvektoren zur Erreichung der Zielpunkte von O aus.

AC

O

u

v

A C

O

u

v

Bu

D

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Dazu ein ausführliches Beispiel (jetzt einmal nur zweidimensional):

Gegeben ist die Gerade g durch den Aufpunkt A 1| 4 und den Richtungsvektor 2u3

Gleichung von g: 1 2x r4 3

(G1)

Damit kann man jetzt Punkte berechnen.

Für r = 1: 1 2 3b 14 3 7

Ergebnis: B 3 | 7

Für r = -1,5: 1 2 2d 1,54 3 0,5

D 2 | 0,5

Für r = 8: 1 2 17z 84 3 28

Z 17 | 28 .

Z ist also das Ziel unserer Reise, das wir nach 8 Zeiteinheiten von A aus erreichen.

Wenn wir spät dran sind, fahren wir mit dem Taxi gleich nach B und besteigen dort den Zug nach Z.

Dann hat der Zug (die Gerade) die Gleichung:

37

2x s3

(G2)

Ich muss jetzt einen anderen Parameter verwenden, weil wir jetzt andere Zeitspannen brauchen:

Von B nach Z fährt man jetzt nicht mehr 8 Zeiteinheiten, sondern nur noch 7:

2 17z 73 2

37 8

.

Glücklicherweise gibt es auch noch den Schnellzug (dargestellt durch 4v 2 u6

.

Seine Gleichung sieht so aus (und damit stellen wir immer noch dieselbe Gerade g dar:

1x t4

46

(G3)

Wenn wir jetzt von A nach Z fahren, brauchen wir wegen der doppelten Geschwindigkeit nur halb so

viele Zeiteinheiten: 1 17z4 2

48

46

Wenn wir erst in B den Schnellzug besteigen, dann verwenden wir diese Geradengleichung:

x w3 47 6

(G4)

Jetzt erreichen wir Z von B aus in 3,5 Zeiteinheiten (Ist klar, warum?)

3 4 177 6

x 3,28

5

Fazit: Wir haben hier vier verschiedene Parametergleichungen für dieselbe Gerade.

Man kann verschiedene Aufpunkte wählen, und man kann auch andere Richtungs-

verktoren verwenden, die allerdings natürlich Vielfache voneinander sein müssen

(was man kollinear nennt). Es muss jedoch klar sein, dass dann die Punkte durch

andere Parameterwerte gekennzeichnet sind.

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1.3 Grundaufgabe 3: Liegt ein Punkt auf einer Geraden? - 2 Methoden!

Beispiel a) Gegeben sind P 6| 4 | 5 und g: 6 3

x 4 r 23 2

. Liegt P auf g?

1. Die Punktprobenmethode

Man setzt den Ortsvektor p

des Punktes P für x

ein. Dies führt zu einem System aus drei

Gleichungen für r. Erhält man eine eindeutige Lösung, liegt P auf g.

Lösung: 6 34 r 23 2

64

5

bedeutet 12 3

8 r 28 2

d. h. 12 3r r 48 2r r 48 2r r 4

Da es ein eindeutiges Ergebnis gibt, nämlich r = 4, liegt P auf g.

2. Die Vektor-Vergleichs-Methode (wird dringend empfohlen!)

Überlegung: Wenn P auf g liegt, dann ist AP

ein Vielfaches des Richtungsvektors u

von g.

Wir benötigen die Umkehrung:

Wenn AP

ein Vielfaches des Richtungsvektors u

ist, dann liegt P auf g.

Rechnung dazu:

Gegeben sind P 6| 4| 5 und A 6 | 4 | 3 (Aufpunkt von g).

6 6 12

AP p a 4 4 85 3 8

wird verglichen mit

3u 2

2

:

Ergebnis: Weil AP 4 u

ist, liegt P auf g.

Die Erfahrung zeigt, dass die 2. Methode oft kürzer ist.

AP

gA u

P

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Beispiel b) Gegeben sind Q 9 | 6 | 1 und g: 6 3

x 4 r 23 2

.

Zeige, dass Q nicht auf g liegt.

1. Die Punktprobenmethode

Der Ortsvektor 9

q 61

von Q wird in g eingesetzt:

6 34

9r 2

3 261

bedeutet 3 32 r 22 2

d. h. 3r 3 r 12r 2 r 12r 2 r 1

Es gibt keine (eindeutige) Lösung für r, also liegt Q nicht auf g.

2. Die Vektor-Vergleichs-Methode

Zuerst beachten wir:

Wenn Q nicht auf g liegt, dann hat AQ

eine andere Richtung als der Richtungsvektor u

von g,

ist also kein Vielfaches von u

.

Wir benötigen von dieser Folgerung die Umkehrung:

Wenn AQ

kein Vielfaches des Richtungsvektors u

ist, dann liegt Q nicht auf g.

Rechnung dazu:

Gegeben sind Q 9 | 6 | 1 und A 6 | 4 | 3 (Aufpunkt von g).

9 6 3

AQ q a 6 4 21 3 2

wird verglichen mit

3u 2

2

:

Ergebnis: Weil AQ k u

, liegt Q nicht auf g.

AQ

g

A

u

Q

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1.4 Trainingsaufgaben

TA 1

Gegeben sind drei Punkte A 4|1| 1 , B 2 | 3 |1 , C 3 | 8 | 3 .

Überprüfe, ob A, B und C ein Dreieck bilden oder auf einer Geraden liegen.

(Anleitung: Stelle zuerst die Gleichung der Geraden (AB) auf.)

TA 2

Gegeben sind drei Punkte A 2| 1| 4 , B 2|1| 2 , C 8 | 4 |13 .

Zeige, dass A, B und C auf einer Geraden liegen.

TA 3

Gegeben ist die Gerade g durch 2 3

x 3 r 11 2

sowie 1P 4 |1| 5 , 2P 11| 6 | 7 .

Überprüfe, ob diese Punkte auf g liegen.

TA 4

Für welche Werte von t bilden A, B und C ein Dreieck bzw. liegen auf einer Geraden?

a) tA 2 | 4 | 3 , B 4 | 8 | 1 und C t 2 | 4 2t | 5

b) 2t tA 4 | 0 | 5 , B 8 | t | 3 und C 4 2t | 4 | 3

c) 2t tA 4 | 7 | 4t , B 1| 2 | t und C 3 | 4 | 3

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