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7/25/2019 6587-Probabilidad Y Aplicaciones Estadisticas-Paul Meyer.pdf-www.leeydescarga.com
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,// PROBABILIDAD
Y
APLICACIONES
ESTADSTICAS
dicin revisada
Paul
L.
=er
Wushington Stute University
Versin en espaol
Carlos Prado Campos
Universidud Cutlica de Chile
Con la colaboracin de
I
Germn Ardila Cullar
Universidud Nucional de Colombiu
Edicin revisada y corregida por
Sergio Octavio Esparza
Instit uto Politcnico Nacional Mxico
Y
Ral Montes de Oca M.
Universidad
Autnoma
Metropolitana
Unidud
Iztupcdapa
Mxico
vv
ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA
Argentina Brasil Chile Colombia Ecuador Espana
Estados Unidos
Mexico
Per Puerto Rico 1 Venezuela
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Versin en espaol de la segunda edicin
de
la
obra
IntroductoT P1-obability
awl Statistical A~ l lications de Paul
L.
Rleyer, publicada originahnente en in-
ql6s po r Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Reading, hlassachusetts,
E.U.A. 01970 .
Esta edici6n en espaol s la nica autorizada
6
i
1
, < I
Diseo de portada:Arrnando Jimnez
@ 1973 por
Fondo Educativo Interamericano
@
198G,
1992
por
ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA
S.
A.
Wilmington, Delaware,
E.U.A.
Impreso en os Estados Unidos. Printed n the U . S . A .
ISBN
0-201-5
1877 5
5 6 7 8 9
lO-CRs-9796S594
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Prlogo
a
la
edicin
en espaol
El creciente empleo de la estadstica en diversas reas del conocimiento
hace cada vez m& imperiosa
a
necesidad de contarcon textos adecua-
dos para iniciarel estudio de sta disciplina. En consecuencia, creoque
la traduccin d e esta
obra
del profesor Paul Meyer vendr
a
satisfacer
dicha demanda entre los estudiantes de habla hispana. Mi experiencia
pedaggica en escuelas de ingeniera y de matemticas con estudiantes
que por primera vez toman un curso deestadstica me indica que este
testo, que contiene una gran variedade prciblemas aplicados d e actua-
lidad, muchos ejemplos desarrollados comentarios tiles acerca de los
aspectos tericos de
la
materia, es fundamental para
a
comprensin de
un curso d e esta naturaleza.
Suntiugo
de Chile
CARLOSRADO AMPOS
1973
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Prlogo a la edicin revisada
La calurosa acogida que recibi la edicin en espaliol de estaobra
nos impulsamejorarlaendiversosaspectos.
Nos
dimospuesa la
tarea de revisar el texto nuevamente corregir las erratas de
a
edici6n
previa. Durante esta labor contamos conel apoyo incondicional del Dr.
Sergio Octavio Esparza, del Instituto Politcnico Nacional, Mxico, y
del
M e n C.
Ral Montes de Oca M., d e la Universidad Autnoma
Metropolitana, unidad Iztapalapa, Mxico, a quienes agradecemos s u
valiosa colaboraci6n.
Deseamos manifestar tambin quea presente edicin es un hom ena-
j e pstumo a nuestro autor, el
DI-.
Pau l L.
eyer.
Mxico
992
ADDISON W E S L E Y
I BEROAMER ICANA
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Prefacio a la primera edicin
Este texto
est
destinado para u n curso de un scmestreo para
dos
cur-
sos trimestrales de introduccin aa teora
dlc
la probabilidad y algunas
de
sus
aplicaciones. El prerrequisito
es
un
mo
dc clculo diferencial e
integral. N o se supone conocimiento prcvio de probabilidad estadsti-
ca.
E n
la Mhshington StateUniversity,
cl
cuIso paracl cual
se
desarroll6
este texto ha sido impartido durantevarios
aios,
principalmente a es-
tudiantcs que
se
especializarn cn ingcnierao
en
ciencias naturales. La
mayora d e ellos slo pucdcn dcdicarun semcstrc a l estudio de esta ma-
teria. Sin enlbargo, comoya
cst in
hniliarizados con cl clculo, pueden
empczar dicho cstudio
m i s
allh clcl nivel estrictamente elemental.
Muchos tcmas matcmriticos pucden prcsentarse en diversos grados
de
dificultad, y esto
es
cspecialmente en probabilidad. En este texto
sc pretende aprovechar la ventaja que suponcn los conocimientos ma-
temticos
del lector, sin sobrepasarlos. En
51 sc usa un
lenguaje mate-
mlico prcciso, pero se tiene cuidadode no prorundizar demasiado en
dctallcs matemticos innecesarios.
es t e
no
es
ciertamente
un
libro de
cocina. Aunque se prescntan
y
exponcn varios conccptos de manera
informal, las dcfinicioncs y los teoremas
sc
enuncian con cuidado. Si
no es posible
o
deseable la dcmostracin detallada de un teorema, al
menos se da bosquejo de
las
ideas
m h s
importantes. Una de las ca-
ractersticas distintivasde este texto
son las
Observaciones
que
siguen
a
la ma)-ora de los teoremas y definiciones;
en cllas el
resultado par-
ticular
o
el conccpto prcsentado
se
esamin;an desde un punto de vista
intuitivo.
Dcbido a a restriccin autoimpuestade escribir un testo relativamen-
te
b r e w
sobrc
una matcria
qu c
abarca una extensa rea,
l h o
necesidad
de hacer una sclcccin para incluir o excluir cicrtos temas. Parece scr
que
no hay manera obvia d e resolver estc problcma. Ciertamente, no
sostengo que para algunos de los temas excluidos no se podra haber
encontrado sitio, ni prctendo que no h a y a alguna parte que se pudiera
haber omitido. Sin embargo, en gran parte e ha hccho hincapik en las
nociones Tkdamenta les, pres entirdolas con
detalle
considerable. S610
el captulo 11 sobre confiabilidad, puede considerarse artculo de lu-
jo; pero, aun aqu creo que las nociones asociadas con problemas d e
confiabilidad
son
d e inters
para
muchas personas.
Ademhs los
con-
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vi Prefacio a la primera edicwn
ccptos de confiabiliclad
son u
medio excelente para ilustrar muchas e
las ideas prescntadas antes q1le ellos en el libro.
Arln
si se
picnsa qllc
l a
cxtcnsiGn ha sido limitada por el tiempo dis-
ponible, se ha logrado ulla sclccci6n amplia
y
razonable de temas. Una
ojeada
al nclicc general muestra de anera evidente que unas tres cuar-
tas
partes
del
texto
trata de temas probabilsticos, mientras la cuarta
parte restante est5 dedicada
a
una esposicin de inferencia estadsti-
ca.
Aunque
no
hay nada
de
extraordinario en esta divisin particular
dcl knfasis entre probabilidad
y
estadstica, creo que un conocimiento
profundo de los principios lh ico s de a probabilidad es imperativo pa-
ra una comprensi6n adccuada de
os
nlbtodos estadsticos. Idealmente,
a un curso en probalilidad debera seguir otro en teora estadstica
y
metodologa; sin embargo, como se indic antes, la mayora de los es-
tudiantes que toman este curso no tienen tiempo para dos semestrese
esposicin de estas materias y por tanto, me sent obligado a expo ner
a l menos algunos de
los
aspectos ms importantes en el rea general d e
la inferencia estadstica.
El xito potencial dc una presentacin particular dea materia no de-
bera juzgarse solamente enf u n c i h d e
as
ideas especficas aprendidas
y
de las
tkcnicas especificas atlquiritlas;
el
juicio final tambin debe tener
en cuenta
si
cl cstudiante est5 bien preparado para cont inuar estud ian-
do
el tema ya
sea
por
s
mismo
o
por medio de un curso formal adicional.
Si
se
considera que este criterio
s
importante , se hace evidente que de-
biera insistirse en los conceptos bhicos y en
las
tcnicas fundamentales,
rclcgando al mismo tiempo los mtodos
y
temas muy especializados a
un papel secundario. Esto tan1bii.n result ser un factor importante en
l
decisin sobre los temas
por
incluir.
Es
dificil exagerar la importancia de la teora d e
la
probabilidad.
El
modelo matemtico apropiadoa r a el estudio de un gran mero de fe-
nBmenos observables
es
probabilstico en
vez
de determinista.AdemLis,
el tema completo de la inferencia estadstica
est
basado en considera-
ciones probal)ilsticas.
Las
tcnicas estadsticas
se
cuentan entre algunas
de las herramientas
ms
importantes de cientficos e ingenieros. Para
poder utilizar esas tbcnicas inteligentemente se requiere una profunda
comprensicin de los conceptos probabilisticos.
Se espera que, adenls de Gmiliarizarse con muchos mtodos
y
con-
ceptos especficos el lector desarrolle cierto criterio: pensar probabilsti-
canlente sustituyendo preguntas tales como: (Durante cunto tiempo
funcionar5 este mecanismo? por (Cules la probabilidad de que este
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refacio a
primera
edicin
vii
mecanismo funcione durante ms de cien horas?. En muchas situa-
ciones, la segunda pregunta puede no slo ser la ms atinada sino, d e
hecho, la nica pertinente.
Como es ya tradicional, muchos de los conceptos mportantes de
la probabilidad se han lustradocon la ayudadevarios tjuegos d e
azar: lanzar monedas
o
dados, sacar cartas de una baraja, hacer girar
una ruleta, etc. Aunque no he evitado por completo referirme a tales
juegos, porque sirven para ilustrar bien nociones sicas, he intentado
poner en contacto l estudiante con ilustraciones ms pertinentes e las
aplicaciones de la probabilidad: la emisin de partculas (Y de una fuente
radiactiva, muestre0 de lote, la duracin de instrumentos electrnicos
y
los problemas asociados d e mecanismos y confiabilidad del sistema,
etctera.
Estoy reacio a mencionar una d e las caractersticas ms obvias en
cualquier exto d e matemticas: los problemas; y, sinembargo, es
posible que valga la pena sealar que rabajar con problemas debe
considerarse parte integrante del curso. lo mediante el acto personal
de plantear y resolver los ejercicios, es colno el estudiante tendr la
posibilidad d e desarrollar una comprensin y apreciacin de las ideas,
as como familiarizarse conas tcnicas pertinentes. Es por eso que en l
libro se incluyen ms de 330 problemas y, al final del texto, figuran las
respuestas a ms de la mitad d e ellos. Adems de los problemas para cl
lector, hay muchos ejemplos resueltos en diferentes partes a
o
largo del
libro.
Este libro se ha escriton forma bastante consecutiva:a comprensin
d e la mayora d e los captulos requiere familiaridad con los anteriores;
sin embargo, es posible tratar superficialmente
os
captulos 10 y 11 si s e
est interesado, en particular, en dedicar ms tiempo a las aplicaciones
estadsticas examinadas en los captulos 13 a
15
Como debe suceder a quienquiera que escribe un texto, debo estar
agradecido a muchas personas: amis colegas, por muchas conversacio-
nes estimulantes
y
tiles; a mis propios profesores, por el conocimiento
del tema
y
su inters en I; a los revisores d e las primeras versiones
del manuscrito, por
us
muchas sugerenciasy crticas iltiles; a Addison-
Wesley Publishing Company, por su gran ayuda
y
cooperacin desde
las primeras etapas de este proyecto hasta sufinalizacin; a la sefiorita
Carol Sloan, por ser una mecangrafa muy eficiente activa; a D. Van
Nostrand, Inc., The Free Press, Inc. y Macnnillan Publishing Company,
por su autorizacin para reproduciras tablas 3,
6 y 1
del apndice,res-
pectivamente; a McGraw-I Iill Book Company, Inc., Oxford University
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viii Prefacio a l primera edicin
Press, Inc., Pergamon Press, Ltd.
y
Prentice-Hall, Inc., por su autoriza-
cin para incluir ciertos ejemplos en el texto;finalmente, ani esposa,
no slo por la paciencia que mostr durante miabor, sino tambin por
dejarme
y
llevarse a nuestros
dos
hijos
a visitar a
s u s
abuelos duran-
te dos cruciales meses de verano, en los cuales pude convertir nuestro
hogar en un aller desordenado pero tranquilo, del cual emergi mila-
grosamente, al fin, la ltima versin de este libro.
Pullmnun
Washington
Abril 965
PAUL
M E Y E R
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Prefacio a l a segunda edicin
En vista del considerab le nmero
e
comentarios favorables que
e
re-
cibido durante los ltimos alios tanto de estudiantes como d e profeso-
res que han utilizado la primera edicin d e este libro, se han hecho en
I
relativamente pocos cambios. Con el uso repetido del testo he en-
contrado que su organizacin bsica y el nivel general de presentacin
(como la mezcla de argumentos matemticos rigurosos con presentacio-
nes
y
ejemplos ms informales) son los ms apropiados para el tipo de
estudiante que toma este curso.
Sin embargo, se han hecho varios cambios y adiciones. En primer
lugar se hizo un esfuerzo para eliminar varias erratas d e imp ren ta
y
otros errores que aparecieron n
l
primera edicin. El autor est muy
agradecido a
los
numerosos lectores que no
slo
descubrieron algunos
de ellos, sino que se interesaron
lo
suficiente como para indicrmelos.
En segundo lugar se intent hacer ms claras las relaciones en tre
variasdistribuciones de probabilidades,demodoque el estudiante
pueda comprender mejor cmo usararios modelos probabilsticos para
aproximarlos entre
.
Finalmente,sehanaiiadidonuevosproblemasa la ya larga lista
incluida en la primera edicin.
El autor desea agradecer nuevamente addison-Wesley su coopera-
cin en todos
los
aspectos que con dujero n a sta nueva edicin.
Pullman ashington
Diciembre
969
P. L . M.
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ndice General
Captulo 1 Introduccin a la probabilidad
1 1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
Modelos matemticos
Introduccin a
los
conjuntos
Ejemplos de experimentosno deterministas
El espacio muestral
Eventos
Frecuencia relativa
Nociones bsicas de probatbilidad
Varias observaciones
Problemas
Captulo Espacios muestrales finitos
2.1
El
espacio muestral finito .........................
2.2 Resultados gualmenteprobables
. . . . . . . . . . . . . . . .
2.3Mtodos deenumeracin
Problemas
Captulo 5 Probabilidad condicional e
independencia
3.1Probabilidadcondicional
3 . 2 Teorema de Bayes
3 . 3 Eventos independientes
3.4Consideracionessquemiiticas;
probabilidad condicional e independencia
Problemas
. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. .
1
5
10
13
15
17
21
23
27
27
25
31
40
4
43
51
5
I
63
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Captulo 4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4 . S
Captulo 5
5.1
5.2
5.3
5.4
Captulo
6
6.1
6.2
6 . 3
6.4
6.5
6.6
Variables aleatorias
unidimensionales 69
Nocin general de una variable aleatoria . . . . . . . . 69
Variables aleatoriasdiscretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
I d a
distribucinbinomial
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Variables alealoriascontinuas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Funcin de distribucinacumulativa . . . . . . . . . . . . 9 0
Dist ribucioncsmixtas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
Variables aleatorias distribuidas
unllormemcntc
Una observac~on
97
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funciones de variables
aleatorias
105
U n
eJenlplo
105
Eventosequivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Variables aleatol-ias discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
\'n~-iablesalcatorins continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 1
I'roblernas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variables aleatorias
bidimensionales
y
de mayor
dimensin
121
\'ariaI)lcs aleatorias bidimensionalcs
. . . . . . . . . . . . .
121
Distribuciones d e probabilidades
nlarginalcs
y
condicionales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Variables aleatorias independientes . . . . . . . . . . . . . . 134
Funcioncs d c 1 1 m varinblc aleatoria . . . . . . . . . . . . . 137
Distribuci6n tiel
producto
y
del
cocicntc
d e
Variablcs alcatorias n.-dinlensionales . . . . . . . . . . . . 14 5
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
variables aleatorias independientes
. . . . . . . . . . . . . .
142
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h d i c e general
xiii
Captulo
7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11
Captulo
8
S
.
1
8.2
s.3
s.4
8.5
S.6
s.7
8.8
Otras caractersticas de las
variablesleatorias
153
El valor esperado de una variable aleatoria
. . . . .
153
Esperanza de una funcin de
una variable aleatoria
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
Variables aleatorias bidimensionales
. . . . . . . . . . . . .
166
Propiedades del valor esperado
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
La varianza de unavariable aleatoria
. . . . . . . . . . .
175
Propiedades de la varianxa de
una variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Expresiones aproximadas para a
esperanza y la varianza
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
El coeficiente de correlacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Esperanza condicional
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194
Desigualdad d e Chebyshev
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
Regresin del promedio
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
La variable aleatoria de Poisson
y otras variables alleatorias
discretas
La
distribucin de Poisson
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
La distribuc ih
de
Poisson corno una
aproximacin a la distribucin binomial
. . .
El proceso d e Poisson
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La distribucin geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . .
La distribucin de Pascal ....................
Relacin ent re las distribuciones
binomial
y
de Pascal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La
distribucin hipergeomtrica . . . . . . . . . . .
La distribucin multinomial
. . . . . . . . . . . . . . . .
Problemas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
209
...
209
. . .
211
. . . 215
. . .
224
. . .
225
. . .
230
. . .
231
. .
233
. . . 234
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xiv ttdice getreral
Captulo 9 Algunas variables aleatorias
continuas importantes 239
9
I
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.S
9.9
9.10
9.11
9.12
Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
La
distribuci6n normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Propiedades de la distribucicjn normal . . . . . . . . . . 240
Tabulaci6n de la distribucibn normal
. . . . . . . . . . .
244
La distribucih exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Propiedades d e la distribucidn esponencial
. . . . .
250
La distribucin gama
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
254
Propiedades de la distribucidn gama
. . . . . . . . . . . .
255
La distribucin x-cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Comparacin entre varias distribucioncs . . . . . . . 260
La distribucin normal bivariada
. . . . . . . . . . . . . . . .
261
Distribuciones truncadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Captulo10 La funcin generadora de
momentos 275
10.1
Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
275
10.2 La funcingeneradorademomentos . . . . . . . . . . . 276
10.3Ejemplos de funcionesgeneradoras
d e momentos
215
10.4 Propiedades d e la funcin generadora
d e momentos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251
10.5 Propiedades eproductivas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
256
10.6
Sucesiones d e variablesaleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . 291
10.7 Nota final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
292
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Captulo11 Aplicaciones a la teora de la
confiabilidad 297
11.1Conceptos bsicos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
297
11.3 La ley exponencia1 de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
11.2 La ley normal de falla
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 0 1
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11.4 La ley exponencial de falla y la
distribucin de Poisson
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
307
11.5
La
ley de fallas de \Veibull
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
309
11.6Confiabilidad de los sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Problemas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
316
Captulo
12
Sumas de variables leatorias 23
12.1ntroduccin
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
12.2 La ley de los grandes nilmcros
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
324
12.3Al~roximacinnormal de la
distribucin binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
12.4 El teorema de lmite centr.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
12.5Otrasdistribucionesaproximadas por la
distribuci6n normal: de Poisson, de Pascal
y p n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
12.6 La
distribuci6n
de
la suma de
L I ~
nilmero finito dc variables alcxorias
. . . . . . . . . . . .
339
Proble~nas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
346
Cap tulo13 M uestras
y
distribuciones
muestrales 3 49
13.1ntroduccin
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
349
13.2Muestras leatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
13.3Estadsticos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
354
13.4 Algunosestadsticos importantes
. . . . . . . . . . . . . . . . .
355
13.5
La
transformaci6n ntegral
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
363
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3g5
Captulo14st imacin de parimetros 373
14.2Criteriosparaestimados
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
375
14.3 Algunosejemplos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
14.1ntroduccin
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
373
14.4 Estimados de mximaverosimilitud
. . . . . . . . . . . . . 354
14.5
El
mtodo de los mnimos cuadrados . . . . . . . . . . . . 395
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14.6
14.7
14.8
14.9
El
coeficiente de correlacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
Intervalos de confianza
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
401
la
distribucin
t
de Student
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
403
MAS sobre los intervalos de confianza . . . . . . . . . . . . 406
Problemas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
411
Captulo15
15.1
15.2
15.3
15.4
Referencias
. . .
Apndice . . . . . .
xvi h d i c e general
. .
. .
Pruebas de hiptesis
417
Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
Formulacin gencral: distribucin normal
con varianza conocida
............................
424
Ejemplosadicionales
.............................
429
Prueba
para
la bondad de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . 434
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . ..
451
Respuestas a problemas seleccionados
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
ndice de materias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
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1.1 Modelos matemticos
En este captulo se tratar el tipo de fenmeno del queos ocuparemos
en este libro. Adems, formularemos un modelo matem5tico que nos
servir para investigar este fenmeno en forma bastante precisa.
Al principio es muy importante distinguir entre el fenmeno ob-
servable en
s
mismo y el modelo matemtico para dicho fenmeno.
Evidentemente, no influimos de manera alguna sobre lo que observa-
rnos; sin embargo, al elegir un modelo,
si
podemos aplicar nuestro jui-
cio crtico. Esto ha sido muy bien expresado por el profesor. Neyman,
quien escribi:*
Cada
vez que utilizamos las matematicas con el objeto de estudiar fe-
nmenos observables es indispensable empezar por consLruir un modelo
maten1,itico (determinism o probabilstico)
para
estos fenmenos. Necesa-
riamente, este modelo debe simplificar Ins cosas y permitir la omisi6n de
* University of Califomia Publ icat ions in Statistics, 7?01. I , University of California
Press, 1954.
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2 Introdzcccwn larobabi l idad 1.1
ciertos deulles.El xito delmodelo dep end e de i los detalles que se omitie-
ron tienen
o
no importancia en el desarro llo de
os
fenmenos estudiados.
La
solucirin del problema matemtico puede ser correcta an as estar en
desacuerdo con os datos observados, debido sencillamente aque no estaba
probada la validez de las suposiciones bsicas que se hicieron. Normalmente
es bastante dificil afirmar con certezai un modelo matemritico es adecuado
o
no, antes de obtener algunos datos, mediantea obsenracibn. Para verificar
la validez del modelo, debemosdeducir un cierto nmero deconsecuencias
del mismo y luego comparar on las observaciones esos resultados~redichos.
Debemos tener presentes las ideas anteriores al considerar algunos
fenmenos obtenidos en la observacin
y
los modelos apropiados para
su descripcin. Examinemos primero lo que podra llamarse adecua-
damente un modeelo
detenninista. A s
designamos al modelo que estipula
que las Condiciones en las que se verifica un exper imento dcterminan
el resultado del mismo. Por ejemplo, si colocamos una batera en un
circuito simple, el modelo matcrntico que posiblemente describira el
flujo observable de corriente sera I = E / R , que es la ley de Ohm. El
modelo predice el valor de
I
tan pronto se dan E y R. En otras pa-
labras,
s i
sc repitiese el experimento anterior cierto nmero de veces,
empleando cada vez el mismo circuito (esto es, manteniendo fijas E
y
R) , posiblemente hubiEramos esperado observar el mismo valor de I.
Cualquier desviacin que pudiese ocurrir sera tan pequea quea ma-
yor parte de los objetivos de la descripcin anterior (que es el modelo)
se cumpliran.
La
realidad es que la batera, el alambre y el amperme-
tro utilizados para generar y medir la corriente y nuestra destreza para
usar los instrumentos de medicin dctcrminan el resultado de cada re-
peticin. (Hay cicrtos factores que muy bien pueden scr distintos de
repeticin
CII
repeticin
y
que,
sin cmbargo, no afectarn cl resultado
de mancra notable. Por ejemplo, se puede considerar con razn que
la temperatura y la humcdad en el laboratorio, o bien la altura de la
persona quc lee el ampermetro, no tienen influencia en el resultado.)
IIay muchos cjcmplos de experimentos en la naturaleza para los
cuales los modelosdeterministas onapropiados.Porejemplo, las
leyes gravitacionales describen con precisin lo que sucede
a
un cuerpo
que cac cn ciertascondiciones. Las leyes deKepler nos ndicanel
comporramicnto de
los
planetas. En cada caso, cl modelo sefiala que las
condiciones en las cuales se verifican ciertos fenmenos determinan cl
valor de ciertas variables observables: la nzcgnitud de
la
velocidad, elrea
recorrida durante cierto periodo de tiempo, etc. Estas cifras aparecen
,
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1.1 Modelosatemticos 3
en muchas de las frmulas con las cuales estamos familiarizados. Por
ejemplo,sabemosqueenciertascondiciones, la distancia ecorrida
(verticalmente sobre el suelo) por n objeto est dada por:
= - 1 G t 2
+
vat,
donde
vo
es la velocidad inicial y
t
es
el
tiempo empleado. Lo que
queremos destacar nos la forma particulard e la ecuacin anterior (que
es cuadrtica), sino el hecho de que hay una relacin definida entre y
S que determina unvocamente la cantidad del primer miembro d e l a
ecuacin, si sedan las del segundo miembro.
En muchoscasos el modelo matematico determinista antes descrito es
suficiente.
Sin
embargo, hay tambin muchos fenmenosque necesitan
un modelo matem5tico distinto para su investigacin.
Esos
son los que
llamaremos modelos noeterministas o probabikticos. (Otro trmino muy
usado
es
modelo
estochistico.)
Ms adelante, en
este
capitulo considera-
remos en forma muy precisa cmo se pueden describir tales modelos
probabi.lsticos. De momento consideraremos unos cuantos ejemplos.
Supongamos que tenemos un pedazo de material radiactivo que emi-
te partculas
a .
Con la ayuda de un dispositivo para medir podramos
registrar el n me ro de artculas emitidas d,uranteun determinado n-
tervalo de tiempo.
Es
evidente que no podemos predecir exactamente
cl nmero de partculas emitidas, aunque sepamos la forma exacta, la
dimensin, la composicin qumica y la masa del objeto
que
se consi-
dera. As no parece haber un modelo determinista razonable que nos
ind ique el nmero de partculas emitidas, digamos n , como una fun-
cin d e varias caractersticas propias de la fuente de radiactividad. En
s u
lugar, debemos considerar un modelo probabilstico.
A manera de otro ejemplo, consideraremosa siguiente situacin me-
teorolgica. Deseamos determinar cuantaluvia caer debido a una tor-
menta que pasa por una zona especfica.
Los
instrumentos para regis-
tra r la cantidad de lluvia estn listos. Las observaciones meteorolgi-
cas pueden darnos informacin considerable sobre la tormenta que se
aproxima: la presin baromtrica en diversos puntos,
los
cambios de
presin, la velocidad del viento, el origeny la direccin de la tormenta,
as como otros datos tomados a gran altura. Pero como esta informa-
cin tan valiosa es para predecir de modo muy general a forma de la
precipitacin (dbil, regular, intensa), sencillamente no permite saber
con mucha exactitud
cunta
lluvia caer&. De nuevo, estamos conside-
rando un fenmeno que por s mismo no se presta a un tratamiento
determinista. Un modeloprobabilstico describe la situacin con mayor
exactitud.
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4
Introduccwn 1.2
En principio podramos indicar cunta lluvia cay, si a teora se
hubieradesarrollado (lo queno sehizo). Por
lo
tanto,usamos un
modelo probabilstico. En el ejemplo relacionado con
a
desintegracin
radiactiva, debemos usarun modelo probabilstico aun enprincipio.
A
riesgo de adelantarnos
a
discutir un concepto que se definir
ms
tarde, indiquemos simplemente que en un modelo determinista se supo-
ne que el resultado real
sea
numrico o de ot ra especie) est definido
po r las condiciones en las cuales se efecta el experimento o procedi-
miento. En un modelo no determinista, sin embargo, las condiciones
experimentales
slo
determinan el comportamiento probabilstico (ms
especficamente, la distribucin probabilstica) d e
los
resultados obser-
vables.
En
otras palabras, en un modelo determinista,tilizamos considera-
ciones especficas para predecir el resultado, mientras que en un mo-
delo probabilstico usamos la misma clase de consideraciones que para
especificar una distribucin de probabilidades.
1.2 Introduccin a los conjuntos
Con el in de discutir los conceptos bsicos del modclo probabilstico que
deseamos desarrollar, ser muy conveniente tener presentes algunas
ideas y conceptos de
la
teora matemtica d e conjuntos. Este tema es
muy extensoy se h a escrito mucho acerca e l. Sin embargo, aqu lo
necesitaremos algunas nocionesbsicas.
Un conjunto es una coleccin d e objetos. Comnmente los conjuntos
se designan con letras maysculas A , B , etc. Para describir qu objetos
estn contenidos en l conjunto A, se dispone dc res mtodos.
a )
Podemos anotar los elementos de
A.
Por ejemplo,
A
=
{
1 , 2 , 3 , 4 }
indica el conjunto que contiene
os
enteros positivos 1, 2,
3 y
4.
6) Podemosdescribiralconjunto
A
con palabras.Porejemplo,
podramos decir que est formado por todosos nmeros reales entre
O y
1, inclusive.
c) Para escribir el conjunto nterior,implemente scribimos
A = {x 1 O 5 x
6
1); es decir, -4 es el conjunto d e todas las x, don-
d e x es un nmero real comprendido entre y
1,
inclusive.
Los objetos que forman a coleccin del conjunto
A
se llaman miembros
o
elementos
d e
A .
Cuando
a
es
u n
elemento de
A
escribimos
a
E
A
y
cuando
a
110 es un elemento de il scribimos
a A .
IIay dos co~~ju ntosspeciales que a menudo son de inters. En la
mayor parte de los problemas estamos interesados en el estudio de un
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1.2 Introduccin
a
los conjuntos
5
conjunto defin ido de objetos, y no de otros; por ejemplo, en todos los
nmeros reales, en todos los artculos que salen de una nea de produc-
cin durante un periodo de
4
horas, etc. Definimos el
conjunto universal
como el conjunto de todosos objetos que se consideran. Normalmente
este conjunto se designa con
U .
Otro conjunto que se debe destacar de maaneraespecial puede apa-
recer como sigue. Supongamos que se describe el conjunto A como
el conjunto de todos
los
nmeros reales x que satisfacen la ecuacin
x 2
+
1
= O .
Evidentemente sabemos que no pueden existir tales nme-
ros. El conjunto A no contiene ningn elemento Esta situacin ocurre
tan a menudo queustifica la introduccin de un nombre special para
tal conjunto. Por lo tanto, definimos el con-junto nulo
o
vacio como el
conjunto que no contiene elementos. En general, este conjunto se de-
signa con 0 .
Puede suceder que cuando se consideran dos conjuntos
A
y B, ser
miembro de
A
implica ser un elemento de
j9.
En tal caso se dice que
A es un subconjunto de B y se escribe A c B. Se da una interpretacin
semejante a B c A . Decimos que dos conjuntos son el mismoA
=
B, si
y slo
si
A c
B y
B c
A . Esto es, dos conjuntos son
iguales
si y
s610
si
contienen los mismos elementos.
Las dos propiedades siguientes del conjunto nulo
y
del conjunto
a ) Para cualquier conjunto A , se tiene
0
c A .
b ) Una vez que se ha acordado el conjuntlo universal, entonces para
universal son inmediatas.
cualquier conjunto A considerado que est5 en
U ,
tenemos A c
U .
EJEMPLO
1.1.
Supongaque
U
=
todos los nilmeros eales,
A
=
{ x
I
x2
+
2 x - 3
= O},
B = {x
I
(x - 2 ) ( x 2 + 2 2 -
3)
=
O}
y
C =
{ x I
x = -3,1,2}. Entonces
A
c B y B
:=
C .
Ahora consideremos la importante idea de ombinar conjuntos dados
con el fin de formar un nuevo conjunto. Se consideranos operaciones
bsicas. stas son paralelas, en ciertos aspectos, a las operaciones de
suma
y
multiplicacin de nmeros. Supongamos que A y B son dos
conjuntos. Definamos
C
como la
unidn
de
A
y
B
(algunas veces llamada
la suma deA y de B ) de la manera siguiente:
C
= { x
I
x E A
o
x E B
( o ambos)}.
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6
Introduccwn a la probabilidad
1.2
Esto lo escribimos as: C
=
A
U
B. A s , C est formada por todos os
Definimos
D
como la
interseccidn
de
A
y
B
(algunas veces designado
elementos que estn enA, o en B, o en ambos.
como el producto de y B ) como sigue:
Escribamos esto como D = A
n
B.
Es
as como
D
posee todos los
elementos que estn enA y en B.
Finalmente presentamos la idea del complemento de un conjunto A
como sigue: el conjunto designado por A, formado por todos los ele-
mentos que
no
e s t h en
A
(sino en el conjunto universal
U )
se llama el
complemento de
A .
Esto es, AC
= {x
1 x $ A } .
Se puede usar con mucha ventaja un recurso grfico conocido como
diugramu de
Vnn cuando se combinan conjuntos de
l a
manera antes
indicada. En cada uno de los diagramas de la figura
1.1,
la regin
sombreadu
representa el conjunto considerado.
A u B A n B
F I G U R A
.1
EJEMPLO
.2. Supngaseque
U =
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
=
{1,2,3,il},B={3,4,5,6}.I-IallamosqueAC={5,G,7,8,9,10),AUB=
{
1,2,3,4,5,6}
An B
=
{ 3 , 4 } . Ntese que al describir un conjunto (tal
como
A U I ? )
anotamos cada elemento exactamente unavez.
Las
operaciones anteriores de unin e interseccin definidas justa-
mente para dos conjuntos pueden extenderse de una manerabvia pa-
ra cualquier nmero finito de conjuntos.
s
definimos
A
U B
U
C
como
A U
( B
U C ) o ( A U B ) U C, que es el mismo, como fcilmente se puede
verificar. De igual manera, definimos A n B n C como A n ( B n
C)
o
(AnB)nC que tambin puedeerificarse que son guales. Y es evidente
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1.2 Zntroduccidn a
los
conjuntos
7
que podemos continuar esas construcciones de conjuntos nuevos para
cualquier nmero finito de conjuntos dados.
Afirmbamos que ciertos conjuntos eran
l o
mismo, por ejemplo
A
n
( B
n C ) y ( An B ) n C . Resulta que hay varios conjuntos equivalentes,
algunos de los cuales se indican ms ade1ant:e. Si recordamos que dos
conjuntos son iguales siempre que contengan os mismos elementos, es
fcil verificar que los enunciados establecidos son verdaderos. El lector
debe convencerse por mismo con ayudade los diagramas de Venn.
U )
A U B = B U A , b) A n B = B n A ,
C) A u ( B u C ) = (Au B)u C, d ) A n ( B n C )
=
(AnB)nC.
(1.1)
No s referimos a
a)
y b ) como las propiedades conmutativas,
y a
c)
y
d )
como las propiedades
asociutivas.
Hay otrosconjuntos idnticos que contienen unin, interseccin com-
plementacin. Los ms importantes se indican a continuacin. En cada
caso, su validez puede verificarse con ayuda de un diagrama deenn.
e )
A u ( B n C ) = ( A u B ) n ( A u C ) ,
J
A n ( B u C ) = ( A n B ) u ( A n C ) ,
g)
A n 8 = 0 ,
h ) A U 8 = A ,
j )
( A n
B)' =
AC
U
BC,
(1.2)
i) (A u B)'
=
ACn BC,
K )
= A.
Observamos que )y
h )
indican que se comporta entre os conjuntos
(respecto a las operaciones U e n) como lo lhace el nmero cero entre
nmeros (respecto a as operaciones de sumfay multiplicacin).
Para lo que sigue se necesita una construccin adicional de un con-
junto, dados dos
(o
ms) conjuntos.
Definicin.
Sean
A y
B dos conjuntos. Indicaremos comoelproducto
cartesiano de A y B, escrito como
A
x B, al conjunto
{(a,
) ,
a
E
A , b E B } ,esto es, el conjunto de todos
os
pares ordenados, donde
el primer elemento se toma de y el segundo deB.
EJEMPLO .3. Sea A = {1,2,3}; B = {1,:2,3,4}.
Entonces,
A
x
B
=
{(1,1),(1.2),
. . .
( 1 , 4 ) , ( ' 2 ,
1),
. .
(2,4),(3,1),
. . . ,(37.2)).
Obseruacin:
En general, A x B f B x A .
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8 Introduccwn la probabi l idad 1.3
La nocin anterior puede extenderse como sigue: i
A l ,
. . . ,
A ,
son
conjuntos, entonces A ,
x A: x
. . .
x
A,
= { ( a l ,u: ,
. .
,u n ) ,a; E
A;}esto
es, el conjunto d e todas las n-tuplas ordenadas.
IJn caso especialmente importante aparece cuando tomamos el pro-
ductocartesiano deunconjunto consigomismo,esto es,
A
x A
o
A x A x
n. Ejemplos as aparecen cuando nos relacionamos conl plano
euclidiano, R x R, donde R es el conjunto de todos los nmeros reales
y
el espacio euclidiano tridimensional
se
representa como
R x R x R.
El n me ro de elementos en un conjunto nos serde mucha utilidad.Si
hay un nmero inito de elementos enA , digamos
a l , a: ,
.
.
,
n
decimos
que
A
esfinito. Si hay un nmero nfinito de elementos en que pueden
ponerse en una
corresfiondencia uno-a-uno
con
los
enteros positivos,
de-
cimos que A es infin ito contable o infinito numerable. (Se puede demostrar,
por ejemplo, quel conjunto de todos
os
nmeros racionales es infinito
contable.) Finalmente debemos considerar el caso de un conjunto nfi-
nito no numerable. Tales conjuntos contienen un nmero infinito d e
elementos que no pueden ser enumerados. Se puede demostrar, por
ejemplo, que para dos nmeros reales cualesquiera
b > a , el
conjunto
A
= { z I
a
5 2 5 b } tiene un nilmero no numerable de elementos.
Puesto que debemos asociar con cada nmero real un punto sobre la
recta de los nmeros reales, lo anterior expresa que cualquier intervalo
(no
degenerado) contiene ms de un ntmero contable de puntos.
Los conceptos antes mencionados, aunque representan
lo
un breve
bosquejo d e la teora de conjuntos, sonuficientes para nuestro propsi-
to: describir con rigor y precisi6n considerables las ideas bsicas d e la
teora de
l a
probabilidad.
1.3 Ejemplos de experimentos
no
deterministas
Estamos ahora listos para discutir
lo
que entendemos por experimento
aleatorio
o
no determinista. (Ms precisamente, daremos ejemplos
de fenmenos para los cuales los modelos no deterministas son apro-
piados. Esta es una distincin que el lector deber mantener presente.
As
nos referiremos fi-ecuentemente
a
experimentos no deterministas
o
aleatorios, cuando de hechoestamos hablando de un modelo no deter-
minista para un experimento.) N o pretenderemos dar una definicin
precisa d e diccionario para este concepto. En su lugar, daremos nume-
rosos ejemplos que a ilustran.
E1
: Se lanza un dadoy
se
observa el nmero que aparece ena cara
supcrior.
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1.3
Ejemplos de experimentos
no
deterministas 9
Sc l a n z a una moncda cuatro vcccs
y
se cuenta el nimero total
de caras obtenidas.
Se lanza
u n a
monctln cuatro veces
y
se
observa
la
sucesin de
Sc h1)rican artculos cn una lnea de produccin y se cuenta el
nQ mcro de artculos dcfcctuosos producidos en un periodo
de
24
horns.
E l
ala dc 1111 acroplano se armacon un gran nnm-o
de
rerna-
chcs. Sc cuenta el nillncrodc rcmachcs
defectuosos.
S e fabrica una bonlbilla. Luego se prueba s u duracin conec-
t h d o l a e nun portakn1paras y se anota
cl
tiempo transcurrido
(en horas) hasta quc
se
qucnm.
En un lote de 1
O
artculos hay3 dcfectuosos. Se elige un artculo
despus de otro (sin sustituir el artjiculo clegido) hasta que se
obtiene cl illtinlo artculo dcfcctuoso. Sc cuenta el nmero total
de
artculos sacados
dcl
lotc.
Se
fabricanartculoshastaproducir 10 no dcfectuosos.
S e
cuenta el nmero total
de
artculos manufk turados .
Se lanza un proyectil. Dcsp1Ii.s
de un
tiempo dcterminado t , se
anotan
los
tres componentes dc a velocidad
' uz ,
vUy v2.
caras y scllos obtenidos.
E l o : S e observa un proyectil recin lanzadoen ticmpos, t l , z , . . .
,
n .
En
cada opor t~~nidad
e
anota la a'ltura del proyectil sobre
el
suclo.
El
1:
hfcdir
la
resistencia a
la
tensin de m a barra de acero.
El2: De u n a urna que conticne slo esferas negras, se escoge una
esfcl-a
y
se anota
su
color.
E13: Un tc1-lngraro marca la temperaturacontinuamenteenun
periodo de 24 horas. En un sitio
y
en una fecha
senlados,
"leer"
dicho tcrmcigrafo.
E l 4 : En la situacin descrita cn E13 se anmotanas temperaturas mini-
ma
y
mxima, 2 y y del periodo de24 lloras considcrado.
?Qui.
ticncn cn comn los expcrilncntos anteriores? Los siguientes
aspectos son importantes para nucstra descripcin
dc
un
exl):l,pri?nento
aleatorio.
a ) Es posiiblc rcpctir cada cspcl-imcnto en forma indefinida in cam-
biar
esencialmente
Ins
condicioncs.
b ) Aunque cn gcncral
n o
podcmos illdi,car cuA
ser&
un resultado
f m d c u k a r , podemos dcscribir
el
conjunto de todos los resultados
posibles
del expcrinlcnto.
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10
Introduccin
a
la
probabil idad 1.4
c)
A medida queel experimento se repite,os resultados individuales
parecen ocurrir en forma caprichosa. Sin embargo, como el experi-
mento
se
repite un
gran
nmero deveces, aparece un patrn definido
o regularidad. Esta regularidad hace posible la construccin de un mo-
delo matemtico preciso con el cual analizamos el experimento.
Ms
adelante abundaremos sobre a naturaleza e importancia de esta regu-
laridad. Por el momento,el lector
slo
necesita pensar en lanzamientos
rcpetidos de una moneda regular. Aunque las caras
y
sellos aparece-
rn sucesivamente de manera asi arbitraria, es bien conocido el hecho
emprico d e que, despus de un gran nmero de lanzamientos,a pro-
porcin d e caras
y
sellos ser aproximadamente igual.
Debe notarse que todos
los
experimentos antes descritos satisfacen
estascaractersticasgenerales.(Porsupuesto, altimacaracterstica
mencionada solamente se puede verificar por experimentacin; deja-
remos a la intuicin del lector creer que
si
el experimento se repitiese
un g ran nmero de veces, la regularidad mencionada sera evidente.
Por ejemplo, si se probase un nmero deombillas del mismo fabrican-
te, posiblemente el nmero debombillas quemadas, digamos en ms e
100 horas, podra ser predicha con bastante exactitud.) Ntese que el
experimento
E12
tiene la peculiaridad de
que
slo es posibleun resul-
tado. En general, tales experimentos no sern de inters, por l hecho
de que no sabemos qu resultado particular ocurrir cuando e realice
un experimento
y
que lo hace interesante para nosotros.
Obseruacin: Al describir los diversos experimentos, hemos especificado no
slo el procedimiento que se realiza, sino tambin lo que estamos interesados
en observar (ver, por ejemplo, la diferencia ent re E2 y E3. ste es un punto
muy importante al cual nos referiremos ms adelante cuando estudiemos las
variables aleatorias. Por
el
momento, observemos simplemente
que,
como una
consecuencia d e u n solo procedimiento experimental o la ocurrencia de un
solo fcnmeno,
se
pudieron calcular
varios
valores numricos diferentes. Por
ejemplo, si se elige una persona entre un gran grupoy la eleccin propiamente
dicha se hace seglin el procedimiento experimental antes indicado), podramos
estar interesados en la altura, peso, ingreso anual, nilmero de
hijos,
etc., de
la
persona. Naturalmente, en n mayora d e los casos sabemos, antes de comenzar
nuestro
experimento, l a s caractersticas numkricas q u e nos interesan.
1.4
El espacio muestra1
Definicin.
Con cadaexperimento E del ipoqueconsidcramos,
definimos el espucio m u e s t d como el conjuntod e todos los resulta-
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