6.7Stabilnost

pravog štapa sa const. poprečnim

presekom

i aksijalnomsilom

6.7.1 Pritisnut štap�

Kritičnoopterećenje

je najmanje

opterećenje pri kojem hom

ogen problem

po linearizovanoj teoriji II reda im

a netrivijalno rešenje.2

2(

()

)(

()

)0

c

Sx

vk

fx

vk

EI

ψ′′

′′′

′⋅

+⋅

==

�Hom

ogeni granični uslovi:�

Slobodan oslonac –

v = 0

, M =

0

�Uklještenje

–v =

0, v’

= 0

�Slobodan kraj

–M

= 0

, V =

0

2

00

0(

)0

Mv

Vv

kf

vψ

′′=

⇒=

′′′

′=

⇒⋅

+⋅

=

Imam

o homogenu

diferencijalnujednačinu i

homogene

graničneuslove. Tražim

o vrednost

parametra opterećenja k

za koje postoji rešenje. �⇒

Problem svojstvenih vrednosti

diferencijalne jednačine�⇒

Svojstvene funkcije problema (oblici

izvijanja) i svojstveni brojevi (kritične sile)

6.7.2 Ortogonalnost

svojstvenih funkcija

�Svojstvene vrednosti: k

1 ,k2 ,...k

m,...

�Svojstvene funkcije: v

1 ,v2 ,...v

m,...

∫⋅

= ′′

⋅+ ′

′′′

⋅

= ′′

⋅+ ′

′′′

⋅

kin

nn

nn

n

mm

mm

m

dx

v

vf

kv

kx

v

vf

kv

kx

v

/)1

(

)2(

0)

()

(:

)),

((

)1(

0)

()

(:

)),

((

2

2

…

…

ψ ψ

�Dobija se:

�Parcijalnom

integracijom se dobija: )

(0

)(

)(

2a

dx

vv

fk

dx

vv

kin

mm

kin

m�

∫∫

=⋅ ′

′+

⋅ ′′′′

ψ

∫

∫

′′⋅

′′

+′′

′− ′

′′=

⋅ ′′′′

kin

m

kim

nm

n

kin

m

dx

vv

vv

vv

dx

vv

ψ

ψψ

ψ)]

()

([

)(

�kao i

�Sa ovim

jednačina (a) postaje:

∫∫

′⋅

′−

′=

⋅ ′′

kin

mki

mn

kin

mdx

vv

fv

fv

dx

vv

f]

[)

(

0

|)}

()]

()

[({

2 2

=′

⋅′

⋅−

′′⋅

′′

+′′

′−

′+ ′

′′⋅

∫∫

kin

mm

kin

m

kim

nm

mm

n

dx

vv

fk

dx

vv

vv

vf

kv

vψ

ψψ

�Konturni članovi su nula zbog graničnih uslova, tako da se dobija:

�Analogno se, za jedn. (2) dobija:

)(

02

bdx

vv

fk

dx

vv

kin

mm

kin

m�

=′

⋅′

⋅−

′′⋅

′′∫

∫ ψ

)(

0)

2(2

cdx

vv

fk

dx

vv

dx

vki

mn

n

kim

nm

�=

′⋅

′⋅

−′′

⋅′′

⇒⋅

∫∫

∫ψ

�Oduzim

anjem (b) -

(c) se dobija:

�Kako je k

m≠

kn , to se dobija:

�Takođe je i

0)

(2

2=

′⋅

′⋅

−∫ ki

nm

nm

dx

vv

fk

k

)(

0A

dx

vv

fki

nm

�=

′⋅

′∫

)(

0B

dx

vv

kin

m�

=′′

⋅′′

∫ ψ

6.7.3 Ojlerovislučajevi izvijanja

�Konstantan poprečni presek: EI =

const�

Sila pritiska na krajevima štapa

(px =

py =

0)�

Diferencijalna jednačina je data sa:

EI S

kv

kv

== ′

′+ ′

′′′2

20

�Opšte rešenje je dato sa:

)(

)(

sinco

ssin

)(

cos

1sin

cos

)(

sinco

s1

sin)

(

20

00

0

20

00

30

20

00

EI S

kV

xV

k

kxV

kxM

kxk

EI

xM

EI

k

kxV

EI

k

kxM

kxx

EI

k

kxkx

VE

Ik

kxM

k

kxv

xv

==

++

=

−−

−=

−−

−−

+=

ϕ ϕϕ

ϕ

6.7.3.1 PrviOjlerov

slučaj

�Konzola G

ranični uslovi:x

= 0

: v0 =

0, ϕ

0 =0

x=

l: M(l)=

0,V

(l)=0

�Iz uslova ravnoteže vertikalnih sila ⇒

V0 =

0

l

SE

I

kxM

xM

cos

)(

0⋅

=⇒

�Granični uslov na slobodnom

kraju x =

l:

�Trivijalno rešenje: M

0=

0

�Netrivijalno rešenje: c

os(k

l) = 0

�⇒

k l =

(2n

-1) π

/2, n

= 1

,2,3

,...

(svojstvene vrednosti)

0)

cos(

0)

(:

0=

⋅⇒

==

klM

lM

lx

�Kako je

�Svojstvene funkcije (M

0 ≠0):

2

22

n2

Sk

EI

Kriticn

asila

EI

S(2

n1

)n

1,2

,3,

(2l)

π

=⇒

=−

⋅=

…

),

3,2,

1(

)co

s1(

)(

…=

−⋅

=n

xk

Cx

vn

n

2

23

2

22

2

21

)2(

25

)2(

9)

2(l EI

Sl EI

Sl EI

S⋅

=⋅

=⋅

=π

ππ

PrviOjlerov

slučaj

6.7.3.2 DrugiO

jlerovslučaj

�Prosta greda G

ranični uslovi:x=

0: v0

=0

, M0

=0

x=

l: v(l)=

0, M

(l)=0

�Iz

uslova ravnoteže vertikalnih sila ⇒V

0 =0

�Dobija

se ugib u obliku:k kx

xv

)sin

()

(0

⋅=

ϕ

S

l

�Iz graničnog uslova v

(l) = 0

se dobija:

�Takođe

je:

0)

sin(

0

0)

sin(

0)

(0

0

=⇒

≠

=⋅

⇒=

kl

k

kl

lvϕ

ϕ

0)

()

sin(

)(

0=

⇒⋅

⋅=

lM

kx

kE

Ix

Mϕ

�Svojstvene

vrednosti:

�Kritične

sile izvijanja:

…,

3,2,

1,

0)

sin(

==

⇒=

nn

lk

kl

π

2

23

2

22

2

21

2

22

94

,3,

2,1

l EI

Sl E

IS

l EI

S

nl E

In

Sl n

kn

n

ππ

π

ππ

==

=

==

⇒=

…

DrugiO

jlerovslučaj

6.7.3.3 TrećiOjlerov slučaj

�Uklješten-slobodno oslonjen štap

�Granični uslovi

x =

0: v

0=

0, ϕ

0=

0

x=

l: v(l) = 0

, M(l) =

0

S

l

�Granični uslovi na kraju x

= l:

�Hom

ogen sistem linearnih algebarskih

jednačina po M0 i V

0 .

0)

sin(

)co

s(0

)(

0)

sin(

)co

s(1

0)

(

00

00

=⋅

+⋅

⇒=

=−

⋅−

−⋅

−⇒

=

k

kl

Vkl

Ml

M

Sk

kl

kl

VS

kl

Ml

v

�Uslov da postoji netrivijalno

rešenje:

�Karakteristična jednačina:

�Svojstvene

vrednosti:

kl

kl

kl

k

kl

kl

Sk

kl

kl

S

kl

cos

sin0

sinco

s

sinco

s1

⋅=

⇒=

−−

1(

)4.4

934,(

)(2

1)2,3

,4,

2n

klkl

nn

π≈

≈+

⋅=

…

()

tgkl

kl=

�Kritične sile izvijanja:

�Svojstveni oblici izvijanja:

2

12

22

25

4.4

93

4,

4

EI

EI

SS

ll

=⋅

=⋅

)sin

()

cos

1()

(2

1x

kx

kC

xk

Cx

vn

nn

n−

⋅+

−⋅

=

6.7.3.4 ČetvrtiOjlerov slučaj

�Obostrano uklještena greda

�Graničniuslovi:

x=

0: v

0=

0, ϕ

0=

0

x=

l: v(l) =

0, ϕ

(l) =0

S

l

�Granični uslovi na kraju x

= l:

�Hom

ogensistem

linearnih algebarskih jednačina po M

0 i V0 .

0)

cos(

1)

sin(

0)

(

0)

sin(

)co

s(1

0)

(

00

00

=−

⋅−

⋅−

⇒=

=−

⋅−

−⋅

−⇒

=

S

kl

VS

kl

kM

l

Sk

kl

kl

VS

kl

Ml

vϕ

�Uslov da postoji netrivijalno

rešenje:

1co

ssin

0sin

1co

s

2sin

()

[2sin

()

cos(

)]0

22

2

klkl

kl

Sk

S

kkl

kl

SS

klkl

klkl

−−

=⇒

−

⋅−

⋅=

�Karakteristična jednačina i svojstvenevrednosti

2

11

2

2

22

22

prv

a jednačin

a:

2(

)sin

04

22

dru

ga jed

način

a:

()

4.4

934

44

.4934

22

2

439.4

78,

44.4

934

80.7

63

klkl

EI

Ik

Sl

l

klkl

klE

III

tgS

l

ππ

π

π

=⇒

==

⇒=

=⇒

=⇒

=×

≈×

≈

6.7.4 Efektivnadužina izvijanja

�Efektivna dužina

izvijanja je dužina fiktivnog štapa, zglobno oslonjenog na oba kraja, čija je kritična sila ista kao i za posm

atrani (realan) štap, sa datim

graničnim uslovim

a

�Stvarna dužina posm

atranog štapa ... l�

Koeficijent efektivne dužine izvijanja ... β�

Efektivna dužina izvijanja ... li = l

β

kr

kr

i

kr

S EI

l

l

EI

Sodn

l EI

S

⋅=

⇒

==

πβ

βπ

π2

2

2

2

)(

.

Efektivnedužine

izvijanja za

Ojlerove slučajeve

2

2

2

2

2

2

2

2

(1)

2

.0(2

)

(2)

1.0

(3)

.

4

.49

34

0.7

0

(4)

.

0.5

0(0

.5)

krkr

kr

kr

EI

Kon

zola

Sl

EI

Pro

stagred

aS

l

EI

Uklj

Slo

bS

l

EI

Uklj

Uklj

Sl

πβ

πββ

πβ

=⇒

=

=⇒

=

−=

⇒≈

−=

⇒=

⋅