7 10 th Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi...Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema împărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale

Summary Divisibility. Congruence. Basic & High Level Properties/Theorems

7th -10th grade

* Curriculum for National Olympics ** Curriculum for International Olympics 1) exposed by Manuela Prajea, Ph.D.

Page 1

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi

Teorema împărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale

Fie a, b , b≠0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r , cu 0 r < b.

În plus, q şi r sunt unic determinate de a şi b.

Reciproc, dacă a, b , b≠0 si q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b, atunci q,r sunt câtul

respectiv restul împartirii lui a la b.

Teorema împărţirii cu rest în mulțimea numerelor întregi

Fie a, b , b≠0. Atunci există q și r astfel încât a=bq+r , cu 0 r < |b| .

În plus, q şi r sunt unic determinate de a şi b.

Reciproc, dacă a, b , b≠0 si q și r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < |b|, atunci q,r sunt

câtul respectiv restul împartirii lui a la b.

Definiţii Fie a, b .

Spunem că a divide b dacă există c astfel încât b=ac („a divide b” se va nota ab sau b a)

Spunem că numărul natural d este cel mai mare divizor comun al lui a și b și notăm d=(a,b)

dacă: 1) da şi db 2) dacă ca şi cb, atunci cd (c )


7th -10th grade


Page 2

Spunem că numărul natural m este cel mai mic multiplu comun al lui a și b și notăm m=[a,b]

dacă: 1) am şi bm 2) dacă ac şi b c atunci mc (c ).

Proprietăţi uzuale

Fie a,b,c .

1) aa (reflexivitatea)

ab şi ba a = b

ab şi bc ac (tranzitivitatea)

2) 1a , a1 a= 1 ; a0 , 0a a=0

3) ab şi ac a(xb±yc), () x, y

4) ab acbc ; acbc, c≠0 ab

5) ac si bd abcd

6) ab abc ; ( Gauss) abc şi (a,b)=1 ac

p|ab, p prim p|a sau p|b

7) ac și bc , (a,b)=1 abc

8) (a,b)=1, (a,c)=1 (a,bc)=1 ; (ca,cb)=c(a,b)

9) (a,b)=d () x, y astfel încât (x,y)=1 şi a=dx, b=dy;m=dxy


7th -10th grade


Page 3

[a,b]=m () x, y astfel încât (x,y)=1 şi m=ax, m=by

10) [a,b](a,b) = ab

11*) dacă a,b,c și a=bc+r, r , atunci (a,b)=(b,r)

(v. algoritmul lui Euclid de aflare a c.m.m.d.c. a două numere naturale)

12*) (a,b)=d () x, y astfel încât d=ax+by

(a,b)=1 () x, y astfel încât 1=ax+by

13*) (a+b) n

= M a+bn

(a+b) n

= M a+bn , n , n par

(a-b) n

= M a- bn , n , n impar

14*) ca-b c (a n

– b n

), n

Criterii de divizibilitate

Fie a . Atunci:

a⋮2 u(a)ϵ 0,2,4,6,8

a⋮4 numărul determinat de ultimele două cifre ale lui a este divizibil cu 4 (generalizare)

a⋮5 u(a) 0,5

a⋮25 numărul determinat de ultimele două cifre ale lui a este divizibil cu 25 (generalizare)


7th -10th grade


Page 4

a⋮10 u(a)=0

a⋮100 ultimele două cifre ale numărului a sunt 0 (generalizare)

a⋮3 suma cifrelor lui a este divizibila cu 3

a⋮9 suma cifrelor lui a este divizibila cu 9

a⋮11 diferența dintre suma cifrelor de rang par și suma cifrelor de rang impar este divizibilă

cu 11.

Teorema fundamentală a aritmeticii*

Dacă , 2n n , atunci n poate fi descompus în mod unic (până la o permutare a

factorilor) ca produs finit de numere prime, i.e.:

*

1 2, , ,..., kk p p p numere prime distincte, *

1 2, ,..., ka a a a.î.: 1 2

1 2 ... kaa a

kn p p p .

Numărul/ suma/ produsul divizorilor unui număr natural*

Dacă , 2n n și 1 2

1 2 ... kaa a

kn p p p este descompunerea în factori primi a lui n , atunci: n

i.e. numărul divizorilor lui n este dat de: 1 2( ) 1 1 ... 1kn a a a

n i.e. suma divizorilor lui n este dată de: 1 2 11 1

1 2

1 2

11 1( ) ...

1 1 1

kaa a

k

k

pp pn

p p p

n i.e. produsul divizorilor lui n este dat de: 1 22 1 1 ... 1ka a a

n n

Teorema lui Legendre*

Exponentul unui număr prim p din descompunerea în factori primi a numărului !n este egal cu:

2 3...

n n n

p p p

Congruențe în mulțimea numerelor naturale/întregi*


7th -10th grade


Page 5

Fie *n . Dacă ,a b spunem că a este conguent cu b modulo n dacă |n a b . Deci

moda b n |n a b

sau altfel spus ,a b dau același rest la împărțirea cu n .

Proprietăți uzuale

1) moda a n (reflexivitatea)

2) mod moda b n b a n (simetria)

3) mod , mod moda b n b c n a c n (tranzitivitatea)

4) mod , mod mod , moda b n c d n a c b d n ac bd n

5) mod modm ma b n a b n

6) mod , , 1 modac bc n c n a b n

Sistem complet de resturi modulo n *

Fie *n . Mulțimea de numere întregi 1 2, ,..., na a a s.n. sistem complet de resturi modulo n

dacă ia nu este congruent cu ja modulo n pentru i j .

Evident mulțimea 0,1,2,..., 1n constituie un sistem complet de resturi modulo n și orice

mulțime de n numere întregi consecutive constituie la rândul său un sistem complet de rest

modulo n .

Teoremă Fie 1 2, ,..., na a a un sistem complet de resturi modulo n și , , , 1x y x n .

Atunci 1 2, ,..., nxa y xa y xa y este un sistem complet de resturi modulo n .

Indicatorul lui Euler al unui număr natural*

Dacă n , vom nota cu n numărul de numere naturale mai mici ca n și prime cu n .

Numărul n s.n. indicatorul lui Euler al numărului n .


7th -10th grade


Page 6

Teoremă ( Proprietățile numărului n )

a) 1

1, 1 ,k kp p p pp

p număr prim, *k

b) , , *, , 1ab a b a b a b

c) 1 2

1 1 11 1 ... 1

k

n np p p

, 1 2

1 2 ... kaa a

kn p p p fiind descompunerea în factori primi a lui n .

Teorema lui Euler*

Fie *n și a astfel ca , 1a n . Atunci 1 modn

a n

.

Teorema lui Fermat*

Fie p un număr prim și a astfel ca p nu divide a . Atunci 1 1 modpa p .

Teorema lui Wilson*

Un număr natural p este prim d.n.d. 1 ! 1 modp p .

Postulatul lui Bertrand**

Pentru orice , 2n n , între n și 2n se află cel puțin un număr prim.

Teorema chinezească resturilor**

Fie *n , , , 1,i ia b i n astfel ca numerele ib să fie prime între ele două câte două.

Atunci sistemul de congruențe

1 1

2 2

mod

mod

modn n

x a b

x a b

x a b

are soluții. În plus, toate soluțiile sunt congruente între ele modulo 1 2... nbb b .

Documents

7 10 th Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi...Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema împărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale