Embed Size (px)
DESCRIPTION
7. Элементы логических схем ( логические элементы ). Электрическую схему, обрабатывающую двоичные коды называют дигитальной схемой. Составляющими частями каждой дигитальной схемы являются логические элементы , которые выполняют простейшие логические действия с логическими константами 0 и 1. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
7. Элементы логических схем (логические элементы)
Электрическую схему, обрабатывающую двоичные коды называют дигитальной схемой.
Составляющими частями каждой дигитальной схемы являются логические элементы, которые выполняют простейшие логические действия с логическими константами 0 и 1.
Логическая схема получается соединением логических элементов.
Каждое дигитальное устройство состоит из логических схем и обрабатывает последовательности из нулей и единиц.
Логические функции = математические модели логических схем.
Логические схемы = физические модели логических функций.
7.1 Обозначения логических элементов
1. Инвертор или НЕ-элемент (NOT)
X X
вход выход
2. Конъюнкция или И-элемент (AND)
X1
X2
X1 & X2&
3. Дизъюнкция или ИЛИ-элемент (OR)
вход выход
X1
X2
вход
1 X1 X2
выход
X1
X2
(X1 & X2)&
5. Инверсия дизъюнкции или ИЛИ-НЕ-элемент (NOR)
вход выход
X1
X2
вход
1 (X1 X2)
выход
4. Инверсия конъюнкции или И-НЕ-элемент (NAND)
Пример.
Логической функции 3-х переменныхf (X1 , X2 , X3 ) = (X1 & ( X2 X3))
соответствует логическая схема:
X3
X21
X1
& f (X1 , X2 , X3 )
7.2 Минимизация логических схем
Алгоритм:
1. шаг: найти логическую функцию, соответствующую данной схеме
2. шаг: найти МДНФ или МКНФ этой функции
3. шаг: найти схему, соответсвующую минимальной форме
Пример. Дана логическая схема, реализующая логическую функцию f на ИЛИ-НЕ элементах. Является ли данная схема минимальной? Найти МДНФ функции и соответствующую ей схему.
X3
X2 1
X1
1 f (X1 , X2 , X3 , X4 )
X1
X4
X2
X2
X3
X4
1
1
Решение: функция, соответствующая логической схеме
f (X1, X2, X3, Х4 ) =
= ((X1 X2 X3 X4 ) ( X2 X3 X4) ( X1 X2))
Найдем МДНФ:
f (X1, X2, X3, Х4 ) = ((X1 X2 X3 X4 ) ( X2 X3 X4)
( X1 X2)) = (X1 X2 X3 X4 ) & ( X2 X3 X4) & ( X1 X2) = ( X2 X3 X4) & ( X1 X2)
7.b) 11.а )
Карта Карно:
X3 X4
X1 X2 00 01 11 10
000
0
0
1
0
3
0
2
011
4
1
5
1
7
1
6
111
12
1
13
1
15
1
14
100
8
1
9
1
11
1
10
МДНФ:
X2 X1& X4 X1& X3.
МДНФ:
X2 X1& X4 X1& X3.
Соответствующая логическая схема:
X4
X1& 1 f (X1 , X2 , X3 , X4 )
X1
X3
&
X2
8. Разложение логических функций в ряд Шеннона
Разложение Шеннона
дизъюнктивное конъюнктивное
частичное полное частичное полное
Частичное разложение = разложение по одной или нескольким переменным Xi.
Полное разложение = разложение по всем переменным Xi.
8.1 Дизъюнктивное разложение Шеннона
Дизъюнктивное разложение по одной переменной Xi :
f (X1,...,Xi ,..., Xn) = Xi & f (X1,..., Xi-1 ,0, Xi+1,..., Xn) Xi & f (X1,..., Xi-1 ,1, Xi+1 ,..., Xn),
где f (X1,...,0 ,..., Xn) - остаточная функция для Xi = 0 иf (X1,...,1 ,..., Xn) - остаточная функция для Xi = 1.
Пример. Найти дизъюнктивное разложение Шеннона по переменной X2 для логической функции
f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = X1 & X2 & X3 X3 & X4
Пример. Найти дизъюнктивное разложение Шеннона по переменной X2 для логической функции
f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = X1 & X2 & X3 X3 & X4 Решение:
f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = X2 & f (X1 , 0, X3 , X4 ) X2 & f (X1 , 1, X3 , X4 ) =
= X2 & (X1 & 1 &X3 X3 & X4 ) X2 & (X1 & 0 &X3 X3 & X4 ) =
= X2 & (X1 & X3 X3 & X4 ) X2 & (X3 & X4 )
Дизъюнктивное разложение по двум переменным Xi и Xk :
f (X1,...,Xi , Xk ..., Xn) = Xi & Xk & f (X1,...,0 , 0,..., Xn) Xi & Xk & f (X1,..., 0, 1 ,..., Xn) Xi & Xk & f (X1,..., 1, 0 ,..., Xn) Xi & Xk & f (X1,..., 1, 1 ,..., Xn)
Пример. Найти дизъюнктивное разложение Шеннона по переменным X2 и X3 для логической функции
f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = X1 & X2 & X3 X3 & X4
f (X1 , X2 , X3 , X4 )= X2 &X3 & f (X1 , 0, 0 , X4 ) X2 & X3 & f (X1 , 0, 1, X4 )
X2 &X3 & f (X1 , 1, 0 , X4 ) X2 & X3 & f (X1 , 1, 1, X4 ) =
= X2 & X3 & (X1 & 1 & 1 0 & X4 ) X2 & X3 & (X1 & 1 & 0 1 & X4 )
X2 & X3 & (X1 & 0 & 1 0 & X4 ) X2 & X3 & (X1 & 0 & 0 1 & X4 ) =
= X2 & X3 & (X1 ) X2 & X3 & (X4 ) X2 & X3 & (0) X2 & X3 & (X4 )
Пример. Найти дизъюнктивное разложение Шеннона по переменным X2 и X3 для логической функции
f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = X1 & X2 & X3 X3 & X4 Решение:
Полное дизъюнктивное разложение:
f (X1, X2 , ..., Xn-1, Xn) = X1 &X2 &...&Xn-1 &Xn & f (0,0 ,... 0,0) X1 &X2 &...&Xn-1 & Xn & f (0,0 ,... 0,1) X1 &X2 &...& Xn-1 & Xn & f (0,0 ,... 1,0) ... X1 & X2 &...& Xn-1 & Xn & f (1,1 ,... 1,0) X1 & X2 &...& Xn-1 & Xn & f (1,1 ,... 1,1).
Полное дизъюнктивное разложение = СДНФ
Пример. Найти полное дизъюнктивное разложение Шеннона для логической функции
f (X1 , X2 , X3 ) = (X1 & X2 X2 & X3) Решение:
f (X1 , X2 , X3 , X4 )= X1 &X2 &X3 & f (0, 0, 0 ) X1 &X2 & X3 & f (0, 0, 1)
X1 &X2 & X3 & f (0, 1, 0) X1 &X2 & X3 & f (0, 1, 1)
X1 &X2 & X3 & f (1, 0, 0) X1 &X2 & X3 & f (1, 0, 1)
X1 & X2 & X3 & f (1, 1, 0) X1 &X2 & X3 & f (1, 1, 1) =
= X1 &X2 &X3 & (1 ) X1 &X2 & X3 & (1) X1 &X2 & X3 & (1)
X1 &X2 & X3 & (0) X1 &X2 & X3 & (0) X1 &X2 & X3 & (0)
X1 & X2 & X3 & (1) X1 &X2 & X3 &(0)
8.2 Конъюнктивное разложение Шеннона
f (X1,...,Xi ,..., Xn) = (Xi f (X1,...,0 ,..., Xn)) &
& (Xi f (X1,...,1 ,..., Xn)),
Конъюнктивное разложение по одной переменной Xi :
где f (X1,...,0 ,..., Xn) - остаточная функция для Xi = 0 иf (X1,...,1 ,..., Xn) - остаточная функция для Xi = 1.
Пример. Найти конъюнктивное разложение Шеннона по переменной X2 для логической функции
f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = X1 & X2 & X3 X3 & X4 Решение:
f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = (X2 f (X1 , 0, X3 , X4 )) & (X2 f (X1 , 1, X3 , X4 )) =
= (X2 (X1 & 1 &X3 X3 & X4 )) & (X2 (X1 & 0 &X3 X3 & X4 )) =
= (X2 (X1 & X3 X3 & X4 )) & (X2 (X3 & X4 ))
f (X1,...,Xi , Xk ..., Xn) = (Xi Xk f (X1,...,0 , 0,..., Xn)) & & (Xi Xk f (X1,..., 0, 1 ,..., Xn))& & ( Xi Xk f (X1,..., 1, 0 ,..., Xn)) & & ( Xi Xk f (X1,..., 1, 1 ,..., Xn))
Конъюнктивное разложение по двум переменным Xi и Xk :
Пример. Найти конъюнктивное разложение Шеннона по переменным X2 и X3 для логической функции
f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = X1 & X2 & X3 X3 & X4
f (X1 , X2 , X3 , X4 )= (X2 X3 f (X1 , 0, 0 , X4 )) & (X2 X3 f (X1 , 0, 1, X4 )) &
& (X2 X3 f (X1 , 1, 0 , X4 )) & (X2 X3 f (X1 , 1, 1, X4 )) =
= (X2 X3 (X1 & 1 & 1 0 & X4 )) & (X2 X3 (X1 & 1 & 0 1 & X4 )) &
& (X2 X3 (X1 & 0 & 1 0 & X4 )) & (X2 X3 (X1 & 0 & 0 1 & X4 )) =
= (X2 X3 (X1 )) & (X2 X3 (X4 )) & (X2 X3 (0)) & (X2 X3 (X4 ))
Пример. Найти конъюнктивное разложение Шеннона по переменным X2 и X3 для логической функции
f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = X1 & X2 & X3 X3 & X4 Решение:
f (X1, X2 , ..., Xn-1, Xn) = (X1 X2 ... Xn-1 Xn f (0,0 ,... 0,0)) & & (X1 X2 ... Xn-1 Xn f (0,0 ,... 0,1)) & & (X1 X2 ... Xn-1 Xn f (0,0 ,... 1,0)) & ... & ( X1 X2 ... Xn-1 Xn f (1,1 ,... 1,0)) & & ( X1 X2 ... Xn-1 Xn f (1,1 ,... 1,1)).
Полное конъюнктивное разложение:
Полное конъюнктивное разложение = СКНФ
Пример. Найти полное конъюнктивное разложение Шеннона для логической функции
f (X1 , X2 , X3 ) = (X1 & X2 X2 & X3)
Решение:
f (X1 , X2 , X3 , X4 )= (X1 X2 X3 f (0, 0, 0 )) & (X1 X2 X3 f (0, 0, 1)) &
& (X1 X2 X3 f (0, 1, 0)) & (X1 X2 X3 f (0, 1, 1)) &
& (X1 X2 X3 f (1, 0, 0)) & (X1 X2 X3 f (1, 0, 1)) &
& (X1 X2 X3 f (1, 1, 0)) & (X1 X2 X3 f (1, 1, 1)) =
= (X1 X2 X3 (1 )) & (X1 X2 X3 (1)) & (X1 X2 X3 (1)) &
& (X1 X2 X3 (0)) & (X1 X2 X3 (0)) & (X1 X2 X3 (0)) &
& (X1 X2 X3 (1)) & (X1 X2 X3 (0))
