7 线性离散控制系统

7 7 线性离散控制系统线性离散控制系统 7.1 引言 7.2 采样过程的数学描述

7.3 信号恢复 7.4 Z变换理论

7.5 采样系统的数学模型

7.6 离散控制系统分析

7.7 数字控制器的设计

7.8 Matlab在离散系统中应用

77 ．． 1 1 引言引言 7.1.1 直接数字控制系统（ DDC—Direct Digital Control）

DigitalCompute

Digital-to-analog converter

Actuator process

Analog-to-digital converter

Measurement sensor

input

digital

图 7-1 直接数字控制系统（ DDC）

7.1.2 计算机监督控制系统（ SCC—Surveillance Computer Control System）

Computer

Digital-to-analog

Output

Analog-to-digital

Input

Analogueregulator

sensor process actuator

…………

图 7-2 计算机监督控制系统（ SCC）

7.1.3 集散控制系统（ TDC—Total and Distributed Control）

MIS

SCC SCC SCC

DDC DDCDDC DDC

process process

MIS

MIS

SCC

集中调度控制中心

子调度控制中心

……………………….

………

图 7-3 集散控制系统（ TDC）

7.7.2 2 采样过程的数学描述采样过程的数学描述

7.2.1 采样过程及其数学描述

7.2.2 采样定理

7.2.3 采样周期的选择

7.2.1 7.2.1 采样过程及其数学描述采样过程及其数学描述在采样控制系统中将连续信号变为断续信号的过程称为采样过程。实现这个采样过程的装置称为采样装置，如图 7-4 所示。

载波器

脉冲调制器e*（ t）

e*（ t）

e（ t）

e（ t）

k

kTtt

图 7-4 采样开关

将断续信号用如下数学式子表示

对离散信号 e*（ t ）取拉氏变换，可得e*(t)=

k

kTtte )()(

E*(s)=L[e*(t)]= L

0

)()(k

kTtkTe

0

)(k

kTsekte=

图 7-6 连续信号 e（ t ）与断续信号 e*（ t）

(7-2)

(7-5)

例 7.1 设 e（ t） =1（ t），试求 e*（ t ）的拉氏变换。

解：由式（ 7-5 ）有

E*(s)=

=1 + e-TS + e-2TS + ……

=

0

)(k

kTsekte

TSe 1

11 TSe

观察分析式（ 7-2 ），我们可以看出 )

是周期函数，因此，可将其展开成富里哀级数

0

(k

ktt

k k

tjkk

seCkTt )( (7-6)

式中称为系统的采样频率。 Ts

2

2

2

)(1 T

Ttjk

Tset

T

0

0

1)(

1

Tdtt

T= (7-7)

Ck=

将上述式子代入式（ 7-2 ），有

k

tjk seteT

te )(1

)(* (7-8)

对上式取拉氏变换，运用拉氏变换的复位移定理，我们得到 E*（ s）

E*(s)=

k

sjksET

)(1 (7-9)

式（ 7-9 ）在描述采样过程的复频域特征是极其重要的。假定连续信号 e（ t ）的频谱是单一的连续频谱，如图 7-7 所示。

max

max

max-

max-

E(j )

0

0

2s

2s- ss-

)(* jET

1

(a) 连续信号 e（ t ）的频谱

(b) 离散信号 e*（ t ）的频谱（＞ 2 ）

s max

7.2.2 7.2.2 采样定理采样定理为了能不失真的从离散信号中恢复原有的连续信号，采样频率必须大于等于原连续信号所含最高频率的两倍，即

max2 s

max2

2

或 T

(7-10)

(7-11)

理想滤波器的滤波特性为

)( jG1

0

2/s

2/s (7-12)

其频率特性如图 7-8 )( jG

2s

2s-

图 7-8 理想滤波器的频率特性

7.2.3 7.2.3 采样周期的选择采样周期的选择工程实践表明，根据表 7-1 给出的参考数据选择采样周期 T ，可以取得满意的控制效果。

采样周期 T （秒） 1

5

5

20

20

控制过程流量压力液位温度成分

表 7-1 工业过程 T 的选择

从时域性能指标来看，随动系统的采样角频率可近似取为

c 10s (7-13)

由于 T＝ 2 ，所以采样周期可按下式选取：

s

c

T

1

5 (7-14)

采样周期 T 可通过单位接跃响应的上升时间tr 或调节时间 ts 按下列经验公式选取：

rtT10

1

或者

stT40

1

(7-15)

(7-16)

7.7.3 3 信号恢复信号恢复

7.3.1 零阶保持器

7.3.2 一阶保持器

无畸变地重现原连续信号的理想滤波器应该具有频率特性（如图 7-8 所示）

)( jG1

0

2/s

2/s

经过采样——理想滤波后，脉冲序列的频谱为

)(1

)()(1

)(* jXT

jXjGT

jX (7-18)

7.3.1 7.3.1 零阶保持器零阶保持器零阶保持器是最常用的一种保持器，它把采样时刻的采样值恒定不变地保持（或外推）到下一采样时刻。如图 7-11 所示，零阶保持器的输出为阶梯信号。

Xh(t)

Gh（ s）x*(t)x(t)

K

a)

采样开关保持器

由于，（ k=0,1,2,… ）所以保持器的输出与连续输入信号之间的关系式为

)()( kTxkTxh )(txh )(tx

0

)(1)(1)()(k

h TkTtkTtkTxtx (7-19)

的拉式变换则为

0

1)()(

k

TskTs

h s

eekTxsX (7-20)

上式与式（ 7-5 ）比较后，知道零阶保持器的传递函数为

s

esG

Ts

h

1)( (7-21)

b)

图 7-11 应用零阶保持器恢复信号

零阶保持器的频率特性为

222

2

2

2sin

22

1)(

Tj

Tj

TjT

jTj

h eT

T

Tj

eee

TT

j

ejG

(7-22)

其幅频特性和相频特性如图 7-12 所示。 )( jGh

32S S S-

-2-3

)( jG h

图 7-12 零阶保持器的频率特性

7.3.2 7.3.2 一阶保持器一阶保持器一阶保持器以两个采样时刻的值为基础实行外推，它的外推输出式中 t`为 kT 到（ k＋1） T 之间的时间变量。如图 7-13 所示。

'' ])1[()()()( t

T

TkxkTxkTxtkTx

(7-23)

)(txh

)(tx)(tx

0 t 2t 3t …..

图 7-13 应用一阶保持器恢复信号

一阶保持器的脉冲响应函数应该如图 7-14所示的那样。

h(t)

tT-T

1

0

-1

① 单位阶跃

② 单位斜坡

③2× 单位阶跃 ④2× 单位阶跃

⑤ 单位阶跃

⑥ 单位斜坡

a ）一阶保持器的脉冲响应函数 b ）脉冲响应函数的分解图 7-14

按图 7-14b ，根据一阶保持器脉冲响应函数的分解，可得保持器的传递函数

TSTsTsTsh e

Tses

eTs

esTss

sG 22

222

112211)(

(7-24)

或 2)1

)(1()(Ts

eTTsG

Ts

sh

(7-25)

一阶保持器的频率特性为

)(222 )

2

2sin

()(1)1

)(1()( TjTj

h eT

T

TTTj

eTjTjG

(7-26)

式中＝ tg-1 T (7-27)

图 7-15 就是按上式画得的幅频特性。虚线为零阶保持器的频率特性。

)( jGh

S S2 S3--2

)( jG h 图 7-15 一阶保持器的频率特性（虚线为零阶保持器的频率特性）

7. 4 7. 4 ZZ 变换理论变换理论

7.4.1 Z变换

7.4.2 Z变换的性质

7.4.3 Z反变换

7.4.1 7.4.1 ZZ 变换变换由式（ 7-5 ）可知，断续函数 x*（ t ）的拉氏变换为

X*（ S） = X(kT)e-kTS

0k

(7-28)

若令 eTS = Z (7-29)

则将在 S 域分析的问题变成 Z 域的分析问题。

X ( Z ) = X(kT)Z-k

0k(7-30)

X（ Z ）称为 X*（ t ）的 z 变换，记为 z )(* tX

z = X(Z) = X(kT)Z-k )(* tX

0k(7-31)

在 Z 变换中， X（ Z ）为采样脉冲序列的 Z变换，即只考虑采样时刻的信号值。由于在采样时刻， X（ t ）的值就是 X（ kT） ,所以从这个意义上说， X （ Z ）既是X*（ t ）的 Z 变换，也可以写为 X(t)的 Z变换，即

Z = z =X(Z)= X(kT)Z-k )(* tX )(tX

0k (7-32)

例：已知函数 x1( t )=1( t ),x2( t )= δ(t-kT),

求它们的 Z 变换表达式。

0k

解： X1（ Z） = 1（ kT） Z-k

0k

= 1 + Z-1 + Z-2 + …

= = 11

1 Z 1Z

Z

X2（ Z） = δ（ t-kT） Z-k =

0k

0k 1ZZ

对于较复杂的函数求 Z 变换表达式时，可以用如下公式法

已知 G(s),若 si为 G(s) 的极点，则

i

isTs

ez

sGszG ,

1

)(Re)(

1a

azG

)(=

式中 )(lim)(lim zGssGazs

例：已知 G( s )= , 求 G(Z)。 )(

)1(

ass

ea TS

解： = Resi

aseZass

eaiST

TS

,0,)1)((

)1(1

aT

aT

eZ

e11

1=

slim

Zlim )(ZG

=

)(ZG

G( s ) - = 0 － (eaT－ 1) = 1－ eaT

G(Z) = + = )(ZG aT

aT

eZ

e

1

7.4.2 7.4.2 ZZ 变换的性质变换的性质(1)线性定理

式中 a1,a2,··· 为常数。

(2) 实平移定理

z = a1X1(Z) +a2X2(Z) + ··· )()( 2211 txatxa

(7-33)

z = Zm )( mTtx

1

0

)()(m

k

kZkTxZX (7-34)

z = Z-m X(Z) )( mTtx (7-35)

证明： z = )( mTtx

0

)(k

kZmTkTx

= Zm

= Zm

0

)()(k

mkZTmkX

1

0

)()(m

k

kZkTxZX

又 z = = )( mTtx

0

)(k

kZmTkTx

= Z-m

0

)()(k

mkZTmkX

前面假定 k<0 时 X(kT)=0 。

z = Z-m X(Z) )( mTtx

例：已知 x( t )= t2 , 求 X(Z)。

解： x( t )= t2 , x(0)=0 。

设 x(t+T)= （ t+T） 2 = t2 + 2Tt + T2

x(t+T)－ x(T) = T (2t + T)

对上式两边取 Z 变换

Z = z

= T2Z

)()( txTtx 22 TTt

由实位移定理有

Z （ z-1） x(z) )()( txTtx

3

2

)1(

)1()(

Z

ZZTzx

(3) 复平移定理

z )()( zextxe Tt (7-36)

例已知 , 求 X（ Z）

解 z

z

tetx t sin)(

1cos2

sinsin

2

TZZ

TZt

1cos2

sinsin

22

Tzeze

Tzete

TT

Tt

(4) 复域微分定理

dZ

zdXTZttx

)()( Z (7-37)

例已知 x(t)=t3 , 求 X(Z)

解 zt2=

zt3=-TZ

3

2

)1(

)1(

z

ZZT

4

23

3

2

)1(

)14(

)1(

)1(

z

ZZZT

z

ZZT

dZ

d

(5)初值定理)(lim)0( ZXx

z (7-38)

证明：由 Z 变换的定义有

......)1()0()()( 1

0

ZxxZkxZXk

k

)(lim)0( Zxxz

(6) 终值定理

)()1(lim)(1

ZXZxz

(7-39)

证明 : 由 Z 变换的定义有

0

)()(k

kZkTXZX


Z Z[x(Z)-x(0)] )( TkTx

上二式相减有 k

k

ZkTxTkTxZxZxZ

0

)()()0()()1(

)0()()1(lim1

ZXZXZZ

)0()( xx =

)()1(lim)(1

ZXZxz

例已知求的 Z 变换 1)( kkakx

解 z


z

由微分定理有

z =

0k

kkk

az

zzaa

aZa k

11

1kka 2)(

1

az

z

azdz

dz

7.4.3 7.4.3 ZZ 反变换反变换 (1)幂级数法

通常 Z 变换表达式有如下形式：

011

1

011

1

......

......)(

azazaza

bzbzbzbZX

nn

nn

mm

mm

(7-40)

实际的物理系统满足 n, 则用综合除法有

X(Z)=

0

110 ......

k

kn zczcc (7-41)

由 Z 变换的定义式可知

则nCkTx )(

0

)()(*k

n kTtctx

即为 x(z) 的原函数

例求 )()( kXaz

zzX 的原函数

解 X(z)= ......1 33221

zazaazaz

z

0

)(k

kk za=

kakX )()(

（ 2 ）部分分式法部分分式法又称查表法。它的基本思想是将X（ Z） /Z 展开成部分分式，

n

i iZZ

Ai

Z

ZX

1

)((7-42)

然后，查 Z 变换表，即可求取 X（ Z ）的原函数 x(kT)

例已知求 X(kT) 解：

))(1(

)1()(

aT

aT

eZZ

ZeZX

Z

ZX )(

))(1(

1aT

aT

eZZ

e

=

1

1

Z= -aTeZ

1

X(Z)= －1Z

ZaTeZ

Z

查 Z 变换表有 x(kT)=1－ e-akT

x*( t )= (1－ e-akT)δ(t-kT)

0k

（ 3 ）留数法

由 Z 变换的定义式有

X(Z)= X(kT)Z-k

= x(0) + x(T)Z-1 + x(2T)Z-2 + …

0k

(7-43)

上式两端乘以 Zk-1 有

X(Z)Zk-1 = x(0)Zk-1 +x(T)Zk-2

+ … + x(kT)Z-1 + …

(7-44)

上式为罗朗级数， x（ kT ）是 Z-1 项的系数，根据复变函数中求罗朗级数系数的公式，得

x(kT) = j2

1 dzZZX k 1)(

在此，积分路径包围 X（ Z） Zk-1 的所有极点。根据留数定理，则上式可写成：

x(kT) = Res 1)( kZZX

(7-45)

(7-46)

式中 Res[·] 表示函数的留数。

7.5 7.5 采样系统的数学模型采样系统的数学模型

7.5.1 描述离散控制系统的线性差分方程

7.5.2 脉冲传递函数

7.5.1 7.5.1 描述离散控制系统的线描述离散控制系统的线性差分方程性差分方程

线性定常离散系统可以用后向差分方程来描述

y(k) + a1y(k-1) + …… + any(k-n) =

b0r(k) + b1r(k-1) + …… + r(k-m) (7-47)

也可用前向差分方程来描述线性定常离散控制系统

y(k+n) + a1y(k+n-1) + …… + an-1y(k+1) +

any(k)

= b0r(k+m) + b1r(k+m-1) + …… + bm-1r(k+1)

+ bmr(k) (7-48)

求解差分方程常用的有迭代法和 Z 变换法。

（ 1 ）迭代法

若已知线性定常离散控制系统的差分方程式（ 7-47 ）或式（ 7-48 ），并且给定输出

序列初值，则可以利用递推关系，在计算机上一步一步计算出输出序列。

（ 2） Z 变换法

若已知线性定常离散控制系统的差分方程描述，则根据 Z 变换的实位移定理，对差分方程两边取 Z 变换，再根据初始条件及给定输入控制信号的 Z 变换表达式，可求取离散控制系统输出的 Z 变换表达式，再求输出 Z 变换的 Z反变换表达式，即可求取离散控制系统输出的实域表达式 Y(K)。

例：已知离散系统的差分方程为

KTKTYTKY 5)(2)1(

Y(0) = -1, 求差分方程的解。

解：对差分方程取 Z 变换，得

2)1(

5)(2)0()(

Z

TZZYYZYZ

)2()1(

5)(

2

ZZ

TZZY

2ZZ

-

又 )1(9

1

)1(3

1

)2(9

1

)1)(2(

122

ZZZZZ

21)1(

3

29

5)(

2

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

ZTZY

查 Z 变换表，有

KK KT

KTY )2(13)2(9

5)(

)(13)2)(5

91(

9

5)(*

0

kTtkT

Tty

k

k

7.5.2 7.5.2 脉冲传递函数脉冲传递函数

1. 开环脉冲传递函数

一离散开环控制系统如图 7-17 所示。

G(s)r*( t ) r ( t )

y*( t )

y ( t )

图 7-17 开环离散控制系统

脉冲传递函数定义为在零初始条件下，输出Y*(t)的 Z 变换 Y(Z) 与输入 r*(t)的 Z 变换R(Z) 之比。脉冲传递函数用 G(Z) 表示，则

)(

)()(

ZR

ZYZG (7-49)

假定动态环节的单位脉冲过渡函数为 h(t) 。该环节的输入为 r*(t)

0

)()()(*n

nTtnTrtr (7-50)

利用线性环节满足叠加原理，无穷多个脉冲作用在线性环节 G(s) 上，其输出 Y(t) 为

y(t)=r(0)h(t) + r(T)h(t –T) +….+r(nT)h(t –nT) +…

(7-51)

将输出信号离散化，得到

y(kT)=r(0)h(kT)+r(T)h[(k-1)T]+…+r(nT)h[(k-n)T] + …

= r(nT)h[(k-n)T] (7-52)

上式两边用乘以 e － KTS ，并求和，得到

KTS

K

K

KTS

k

KTS

eTnKhnTr

eKThreKTY

0

00

)()(

)()0()(

(7-53)

考虑到前面的给定，当 t ＜ 0 时， h ( t )=0 ，于是有

0

0

)()(

)()()0()(

)0()()()()1()(

K

KTSTS

KTSTSTS

TSKTS

k

eKTheTr

eKTheThheTr

ehTrThTreTKhTr

(7-54)

同理有：

00

)()()()(K

KTSnTSKTS

K

eKThenTreTnKhnTr

(7-55)

所以

00

)()()0()(K

KTSnTSKTS

K

eKThenTrreKTY (7-56)

采样周期与所用时间变量文字描述无关，则上式可改写为

000

)()()(K

KTS

K

KTS

K

KTS eKTheKTreKTY

(7-57)

即 )(*)(*)(* sGsRsY (7-58)

0

)()(*K

KTSeKThsG式中 (7-59)

若令式中 Z = eTS , 则可知)()()( ZGZRZY

又因 G ( s ) = ℒh ( t )

(7-60)

G (Z) = zG ( s ) (7-61)

例已知开环离散控制系统如图

)10(

10

ss

r*( t ) r ( t )

y*( t )

y ( t )

图 7-18 开环离散控制系统求脉冲传递函数。

解由式（ 7-61 ）可知

)(ZG

)10(

10

ss

10

11

ssz =z

2.串联环节的脉冲传递函数

1 ）两个串联环节间没有采样开关的连接

G1(s) G2(s)

r*(t) r ( t )

Y*(t)

Y(t)

图 7-19 串连环节间没有采样开关

))(1(

)1(

1 10

10

10 T

T

T eZZ

Ze

eZ

Z

Z

Z

=

等价于下图

G1(s)G2(s)

r*(t) r ( t )

Y*(t)

Y(t)

图 7-20 等价开环离散系统有

)(

)()(

ZR

ZYZG )()( 21 sGsGz (7-62)

将 z 记为 G1G2(Z) )()( 21 sGsG

)(21 ZGG )()( 21 sGsGz (7-63)

2. 串连环节间有采样开关连接，且采样开关都是同步采样，如图

G1(s) G2(s) r*(t)

r ( t )

Y*(t)

Y(t)

Y1*(t)

图 7-21 串连环节间有采样开关

)(

)()( 1

1 ZR

ZYZG )(1 SGz

)(

)()(

12 ZY

ZYZG )(2 SGz

所以

)()()(

)()( 21 ZGZG

ZR

ZYZG (7-64)

3. 带零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数

G1(s)s

e TS1 r*(t)

r ( t )

Y*(t)

Y(t)

图 7-22 带零阶保持器开环离散系统

由脉冲传递函数的定义有

G(Z) =z

)(1

1 sGs

e TS

= z

)()(1

11 sGs

esG

s

TS

(7-66)

)()1()( 11 ZGZZG

即(7-69)

4. 闭环离散控制系统的脉冲传递函数

G1(s) G2(s)

H(s)

r(t) e(t) e*(t)

d(t)

b(t)

Y*(t)

Y(t)-

++

图 7-23 带干扰的闭环线性离散控制系统

假定 d(t)=0, 得到如图 7-24 所示的结构图

G1(s) G2(s)

H(s)

r(t) e*(t) Y*(t)

Y(t)

图 7-24 线性闭环离散控制系统

根据脉冲传递函数的定义可知

)()()( 21 ZEZGGZY (7-70)

)()()( ZBZRZE (7-71)

)()()( 21 ZEZHGGZB (7-72)

将（ 7-72 ）代入（ 7-71 ），有

)()()()( 21 ZEZHGGZRZE (7-73)

)()(1

1)(

21

ZRZHGG

ZE

于是得到：

(7-74)

定义误差脉冲传递函数 Ge(Z) 为

)(1

1

)(

)()(

21 ZHGGZR

ZEZGe

(7-75)

将式（ 7-75 ）代入式（ 7-70 ），有

)()(1

)()(

21

21 ZRZHGG

ZGGZY

(7-76)

于是得到闭环系统的脉冲传递函数 GB(Z) 为

)(1

)(

)(

)()(

21

21

ZHGG

ZGG

ZR

ZYZGB

(7-77)

假定输入 r(t)=0, 得到按扰动输入的等价的离散控制系统的结构图，如图 7-25 。

G2(s)

G1(s) H(s)

r(t)=0 e*(t)

Y*(t)

-

Y(t) d(t) +

+

图 7-25 扰动输入的离散控制系统

)()()()()( 212 ZEZGGZDZGZY (7-78)

)()()()()( 212 ZEZHGGZDZHGZE

所以，有

(7-79)

)()(1

)()(

21

2 ZDZHGG

ZHGZE

(7-80)

将式（ 7-80 ）代入式（ 7-78 ） , 有

)()(1

)()()()()(

21

2212 ZD

ZHGG

ZHGZGGZDzGZY

(7-81)

)(1

)()()(

)(

)()(

21

2212 ZHGG

ZHGZGGZG

ZD

ZYZGD

(7-82)

例已知采样系统结构如图 7-26 所示：

G(s)

H(s)

r(t)

b*(t)

Y*(t)

Y(t)－

图 7-26 离散控制系统

由脉冲传递函数定义及串连环节的连接方式，可列写出如下式子

)()()()( ZBZGZGRZY )()()()( ZBZGHZGHRZB

所以， )(1

)()(

ZGH

ZGHRZB

将 B(Z) 代入 Y(Z) 中，有

)(1

)()()()(

ZGH

ZGHRZGZGRZY

7.6 7.6 离散控制系统分析离散控制系统分析

7.6.1 线性离散控制系统的稳定性分析

7.6.2 离散控制系统的瞬态响应

7.6.3 离散控制系统的稳态误差

7.6.1 7.6.1 线性离散控制系统的稳线性离散控制系统的稳定性分析定性分析

线性离散控制系统的闭环脉冲传递函数，如图 7-30 所示，

G （ s）

r(t)

y* (t)

y (t)_

图 7-30 线性离散控制系统

可求得为：

GB（ Z）=

)(1

)(

ZG

ZG

(7-83)

则线性离散控制系统的特征方程为

1+G(Z)=0 (7-84)

考察下式 Z = eTs (7-85)

假定在 s平面上任有一点

s=δ+jω (7-86)

则通过 Z 变换，映射到 Z平面为

Z= eδT .ej ωT (7-87)

当 δ=0 ，即 s平面的虚轴，对应 Z平面的单位圆。

当 δ<0， . 即左半 s平面对应 Z平面的单位圆

内部区域，即 s平面的稳定域映射到 Z平面单位圆内的区域为稳定区域。

当 δ>0， . 即右半 s平面对应 Z平面的单位圆外部区域，也即 s平面不稳定域映射到 Z平面单位圆外的部分为不稳定域。上面映射关系如图 7-31 所示。

线性离散控制系统稳定的充分必要条件是：线性离散闭环控制系统特征方程（ 7-84）的根的模小于 1 ，则线性离散控制系统是稳定的。

Re Re

Im Im

图 7-31 s平面到 Z平面映射

例已知离散控制系统结构如下图所示，采样周期 T=1 秒，分析系统的稳定性。

)1(

10

ss r (t)

y* (t)

y (t)

图 7-32 离散控制系统

解：G (Z) =Z [ ] =

)1(

10

ss )368.0)(1(

32.6

zz

z

闭环特征方程

1+G(Z)=0

Z2+4.952Z+0.368=0

Z1=-0.076 Z2=-4.876

系统特征方程的根有一个在单位圆外，因此，该离散系统不稳定。

在离散系统中，引进双线性映射。

令 Z= 1

1

w

w(7-88)

或 W= 1

1

z

z(7-89)

其中 Z和W 可写为

Z=x+jy

W=u+jv

(7-90)

(7-91)

将式（ 7-90 ）代入式（ 7-89 ），有

W= u+jv = = 1

1

jyx

jyx

1

1

jyx

jyx

= - j 22

22

)1(

1)(

yx

yx

22)1(

2

yx

y

(7-92)

于是，当 x2 +y2=1 即对应 Z平面上的单位圆

u=0 即W平面上的虚轴

当 x2 +y2<1 即 Z平面上单位圆内的部分，也即稳定域

u<0 即左半W平面为稳定域

当 x2 +y2>1 即 Z平面上单位圆内外的部分，也即不稳定域

u>0 即右半W平面对应不稳定域。上面映射关系如图 7-33 所示。

Re Re

Im Im

图 7-33 Z平面到 W平面的映射

7.6.2 7.6.2 离散控制系统的瞬态响离散控制系统的瞬态响应应

1. 闭环零极点与瞬态响应的关系

通常离散控制系统的闭环脉冲传递函数可表示为如下形式

GB(Z)=K =K )(

)(

zQ

zP

n

kk

i

m

i

Pz

zz

1

1

)(

)((7-93)

当系统输入为单位阶跃时，其系统输出Y（ Z ）为

Y(Z)=K .

n

kk

i

m

i

Pz

zz

1

1

)(

)(

1zz (7-94)

展开成部分分式，有

Y(Z)=K . + )1(

)1(

Q

P

1zz

n

k k

k

Pz

zC

1(7-95)

(7-96)

式中Ck= K

)()1(

)(.

kk

k

pQP

PP

闭环极点对系统瞬态响应的影响 1) Pk 为正实根，对应的瞬态分量

Yk(nt)= Z –1[ ]=CkPkn

k

k

Pz

zC

令 Pk=e aT , a= lnPk 则T

1

yk(nT) = Cke anT (7-97)

若 Pk=1 ，即闭环极点位于右半 Z平面上圆周上，闭环系统瞬态响应 Yk （ nT ）为等幅脉冲，对应图 7-39中 a点对应波形。

若 Pk<1 , 则闭环极点位于单位圆内，此时 a <0, 则输出响应 Yk（ nT ）呈指数衰减状，如图 7-39中 b点对应波形。

若 Pk>1 ，闭环极点位于单位圆外，此时a >0, 则输出响应 Yk（ nT ）呈指数 z增加状，如图 7-39中 c点对应波形。

图 7-39 闭环实极点分布与相应瞬态响应

Im

Re

[Z]

f

f

d

d

a

a

c

c b

b

e

e

2) 当 Pk 为负实根，则对应的瞬态分量为

yk(nT) = CkPkn (7-98)

若 Pk= -1, 输出响应分量 Yk（ nT ）对应图 7-39中 d点波形，呈等幅跳跃输出。

若 |Pk|<1 , 输出响应分量 Yk（ nT ）对应图7-39中e点波形。

若 |Pk|>1 ，输出响应分量 Yk （ nT ）对应图 7-39中d点波形，呈发散跳跃变化。

3) 当 Pk,Pk+1 为一对共轭复根时 , 为

Pk= Pk+1= kjk eP kj

k eP (7-99)

此时 ,Ck,Ck+1也为一对共轭复数 ,

Ck= Ck+1= kjk eP kj

k eP (7-100)

则它们对应的瞬态分量 Yk,k+1（ nT ）为

yk,k+1(nT)= +

= 2

)( kknjn

kk ePC

)( kknjn

kk ePC

)cos( kk

n

kk nPC

(7-101)

若 |Pk|<1 ，则对应的瞬态响应分量为振幅衰减的正弦振荡，对应图 7-40中 a点对应的波形。

若 |Pk|>1 ，则对应的瞬态响应分量为发散正弦振荡，对应图 7-40中 b点对应的波形。

Im

Re

xb

xb’

xa

xa’

图 7-39 闭环实极点分布与相应瞬态响应

令式（ 7-101 ）中 θk 为

θk=ωT (7-102)

所以 k

T

为系统对应瞬态分量的震荡频率，其振荡周期

kd

TT

22

(7-103)

(7-104)

设一个震荡周期中所包含的脉冲个数为 n ，采样周期为 T ，则

nT=Td= k

T

2

(7-105)

所以n=

k2

(7-106)

2. 有限时间响应系统当闭环脉冲传递函数所有极点都分布在原点时，此时的系统具有一个很特别的响应，即在有限时间结束过渡过程，达到稳态，此时的闭环脉冲传递函数具有如下形式

Gb(Z) = n

za

bzbzbzb

n

nn

nn 01

11 ...

(7-107)

= + +…+n

n

a

b 11 za

b

n

n n

n

za

b 0

其单位脉冲响应

h*(t)= + +…+ )(ta

b

n

n )(ta

b

n

n -1 )(0 nTta

b

n

(7-108)

即在单位脉冲作用下，该系统的瞬态响应能在 nT内结束，即 n拍可结束过渡过程 , 这个特点是连续系统所不具备的。

7.6.3 7.6.3 离散控制系统的稳态误离散控制系统的稳态误差差

对于如图 7-42 所示的单位反馈的闭环离散系统的误差脉冲传递函数 Ge（ Z ）为

G （ s）

r(t) y (t)e*(t)

-

Ge(Z )= )(1

1

zG(7-109)

所以 E(Z )= R(Z) )(1

1

zG

由终值定理，有

)(1

)()1(lim)(

1 zG

zRze

z

(7-110)

(7-111)

与连续系统类似，根据系统开环脉冲传递函数在 Z=1 的极点的个数而分为 0型、 1型、2型……系统。

1) 单位阶跃输入时

)1(1

1

1.

)(1

)()1(lim)(

1 Gz

z

zG

zRze

z

(7-112)

定义 Kp=1+G(1)

0型系统 pK

e1

)( (7-113)

1 型以上系统

pK 0)( e (7-114)

2) 单位斜坡输入

21 )1(.

)(1

1)1(lim)(

z

Tz

zGze

z

(7-115)])](1)[1(

1[lim

1 zGzT

z

定义速度误差系数 Kv 为

)()1(lim1

1ZGz

TK

zv

(7-116)

0型系统： Kv=0 )(e (7-117)

1型系统：令 1

)()( 1

z

zGZG

式中 G1（ Z ）没有 Z=1 的极点，所以

Kv= )1(1

1GT vKe

1)( (7-118)

2型以上系统 vK 0)( e (7-119)

3) 抛物线输入

r(t) = 2

2t

此时稳态误差

3

2

1 )1(2

)1(

)(1

1)1(lim)(

z

zzT

zGze

z

)()1(

1lim

21

2

zGzT

z =

(7-120)

(7-121)

定义加速度误差系数 Ka 为

)()1(lim1 2

12ZGz

TK

za

0型、 1型系统 Ka= 0 )(e

2型系统：令 G(Z)= 2

1

)1(

)(

zZG

vKe

1)(

(7-122)

(7-123)

(7-124)

(7-125)

式中 G1（ Z ）没有 Z=1 的极点，则

Ka= )1(1

12G

T aKe

1)(

3型以上系统 Ka= 0)( e

(7-126)

(7-127)

例已知离散系统的结构如图 7-43 所示，采样周期 T=0.1 秒，求系统单位阶跃和单位斜坡输入时的稳态误差。

)11.0(

2

ss r (t) y (t)-

图 7-43 离散系统的稳态误差

解 : G(Z)= Z [ ] )11.0(

2

ss )368.0)(1(

264.1

zz

z

由于该系统开环脉冲传递函数在 Z=1处有一个极点，因此为 1型系统，当系统输入为单位阶跃时，其稳态误差为零。

当系统输入为单位斜坡时，可求出 Kv

Kv= )1(1

1GT 0632.0

264.1

)368.0(

264.1

1.0

1

1

zz

z

所以，系统的稳态误差为)(e

=0.05vK

e1

)(

7.7 7.7 数字控制器的设计数字控制器的设计

7.7.1 无稳态误差最少拍系统的

7.7.2 G(z) 具有单位圆上和单位圆外零极点的情况，数字控制器的设计

7.7.3 无纹波无稳态误差最少拍系统的设计

D(z) G(z)

7.7.1 7.7.1 无稳态误差最少拍系统无稳态误差最少拍系统的设计的设计

R(t) Y(t)

-

图 7-44 数字控制系统结构

对于如图 7-44 所示的系统、闭环脉冲传递函数可求得为

G B(z) = )()(1

)()(

zGzD

zGzD

(7-128)

D(z)= )](1)[(

)(

zGzG

zG

B

B

(7-129)

设计出的数字控制器 D(z) ，还必须满足物理可实现条件：数字控制器 D(z) 分子多项式的阶次不得大于分母多项式的阶次；D(z)没有单位圆上（除有一个 z=1 的极点外）和单位圆外的极点。

设给定系统输入为 r(t)= t p (7-130)

则其 z 变换表达式为

R(t)= rz

zA

)1(

)(1

1

(7-131)

式中 r=p+1 ，且 A(z -1)为 z -1 的多项式，没有 z=1 的零点。系统误差脉冲传递函数 Ge(z) 与闭环脉冲传递函数 GB(z)存在以下关系 :

Ge(z)=1 - GB(z) (7-132)

E(z)=[1 - GB(z) ]R(z) (7-133)

根据终值定理

e (∞)= (1-z –1) [1 - GB(z) ] 1

limz

rz

zA

)1(

)(1

1

(7-134)

为使系统的稳态误差为零，可令

1 - GB(z) =(1-z –1)r F(z –1) (7-135)

式中 F(z –1)在 z=1处无零点

GB(z) =1 - (1-z –1)r F(z –1)

= = r

rr

z

zFzz )()1( 1r

B

z

zP )((7-136)

1 ）阶跃输入此时 p=0 ， r=1 为保证系统为无稳态误差的最少拍系统，可令

GB(z) = z –1 (7-137)

则 Ge(z)=1 - GB(z) =1- z –1

于是，可求数字控制器 D(z)

(7-138)

D(z)= )()1(

1

zGz (7-139)

按上式选择 D(z) ，可使系统为无稳态误差的最少拍响应系统，在一拍内可结束过渡过程，达到稳态。

2 ）斜坡输入

此时， p=1 ， r=2 为使系统为无稳态误差的最少拍系统，可选取

Ge(z) =(1- z –1 )2 (7-140)

则GB(z) =2z –1 - z –2 =

2

12

z

z

于是，可求得数字控制器

21

21

)1)((

2)(

zzG

zzzD

(7-141)

(7-142)

3 ）抛物线输入此时 p=2， r=3 为保证系统为无稳态误差的最少拍系统，可造

Ge(z)= (1- z –1 )3

则GB(z)= 3z –1 -3 z –2+z –3

于是，可求 D(Z)

D(z)= 31

321

)1)((

33

zzG

zzz

(7-143)

(7-144)

(7-145)

图 7-45绘制的曲线分别是单位阶跃、单位斜坡、抛物线输入时，其输出响应为无稳态误差的最少拍系统。

y*(t)

T 2T 3T

t

y*(t) y*(t)

t t

T 2T 3T T 2T 3T

a 单位阶跃输入 b 斜坡输入 c 抛物线输入

图 7-45 无稳态误差最少拍响应

11

1 z

1z )1)(( 1

1

zzG

z

2 1

1

) 1(

zTz 212 zz 22

11

)1)((

)2(

zzG

zz

31

112

)1(

)1(

z

zzT

3 2 13 3

z z z

31

321

)1)((

33

zzG

zzz

典型输入闭环脉冲传递函数

数字控制器 D(z) 最少拍（ T）

1(t)

1T

t

2T

t2

3T

表 7 无稳态误差最少拍系统设计结果

例已知离散控制系统结构如图 7-46 所示。采样周期 T=1 秒。设计一数字控制器 D(Z)使系统对单位斜坡输入为无稳态误差的最少拍响应系统。并绘制r(t) 、、、 x(t) 、

)(*1 te )(*

2 te )(* ty

)(zDs

e Ts1)1(

10

ssr(t)

)(*1 te )(*

2 te x(t) y*(t)

y(t)

图 7-46 最少拍响应系统

解：求开环脉冲传递函数 G(Z)

G(z)=

=

])1(

10[

12

ss

Zz

z

)368.01)(1(

)718.01(68.311

11

zz

zz

选取 GB(z) ： GB(z) =2z –1 - z –2

则： Ge(z) =(1- z –1 )2

于是，可求数字控制器 D(z)

D(z)= =)](1)[(

)(

zGzG

zG

B

B

)718.01)(1(

)368.01)(5.01(543.011

11

zz

zz

此时，系统输出 Y(z)= GB(z) R(z)=2z –2 +3 z –3 +…

)3(3)2(2)(* tttY

而 121

121

1 )1()1()()()(

z

z

zzzRzGzE e

)1()(*1 tte

又 )()()( 12 zEzDzE

)718.01)(1(

)368.01)(5.01(543.011

11

zz

zz 1z

=0.543z –1 –0.319 z –2 +0.39z –3 –0.119 z –4 +0.246 z –5

+…

0.543

0.246

)(*2 te )4(119.0)3(39.0)2(319.0)1( tttt

)5( t

根据上述所求各式，可绘制它们的波形如图7-47 所示：

r(t)

)(*1 te

) (*2t e

X(t)

Y*(t)

t

t

t

t

t

1

图 7-47各点波形图

当 r(t)=1(t) 时，其输出

Y(z)=GB(z)R(z)

=2z-1 + z-2 +z-3+…

当 r(t)= 时，系统输出

Y(z)=z-2 +3.5z-3 +

7z-4 + 11.5z-5+…

下图绘制系统输入为单位阶跃、斜坡、抛物线时，其输出波形图

y*(t) y*(t) y*(t)

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

斜坡输入阶跃输入抛物线输入

图 7-48 系统输入为单位阶跃、斜坡、抛物线时，其输出波形图

7.7.2G(z)7.7.2G(z) 具有单位圆上和单位具有单位圆上和单位圆外零极点的情况，数字控制圆外零极点的情况，数字控制

器的设计器的设计

(7-147)

当开环脉冲传递函数 G(z) 有单位圆上或单位圆外零点时，由式

D(z)= )()(

)(

zGzG

zG

e

B

可知，它必将成为数字控制器的极点， D(Z)将不稳定，其物理实现不可能。

为此，令 GB(z)包含 z –1 因子

GB(z)包含开环脉冲传递函数 G(z) 在单位圆上和单位圆外的零点。

Ge(z)包含开环脉冲传递函数 G(z) 在单位圆上和单位圆外的极点。

由关系式 GB(z)=1- Ge(z) ，求解有关待定系数，最后选定 GB(z)和 Ge(z)。

例已知离散系统结构如图 7-49 所示，采样周期 T=0.2 秒，求 D(z) ，使系统对单位阶跃响应为最少拍响应系统

)(zDs

e Ts1)105.0)(11.0(

10

sss

r(t) y(t)

—

图 7-49 最少拍响应系统

解：求开环脉冲传递函数 G(z)

G(z) = Z[ ]

=

z

z 1)05.01)(1.01(

102 sss

)0185.01)(135.01)(1(

)065.11)(05.01(76.111

111

zzz

zzzo

开环脉冲传递函数有一单位圆外的零点 =-1.0650z

为此，令 GB(z)= 1b )065.11( 11 zz

Ge(z) )1)(1( 11

1 zaz

由关系式 GB(z)=1- Ge(z)

11

21

11

21 )1(065.1 zazazbzb

11 065.1 ba

111 ba 516.01 a 484.01 b

所以 GB(z)= )065.11(484.0 11 zz

Ge(z)= )516.01)(1( 11 zz

于是，求得的数字控制器 D(Z) 为

D(z)= )()(

)(

zGzG

zG

e

B

)516.01)(05.01(

)135.01)(0185.01(636.011

11

zz

zz=

系统的单位阶跃响应输出为

Y(z)= = … 1

11

1

)065.11(484.0

z

zz 21484.0 zz

7.7.3 7.7.3 无纹波无稳态误差最少无纹波无稳态误差最少拍系统的设计拍系统的设计

波纹即系统输出在采样时刻已达到稳态，而在两个采样时刻间输出在变化，如图 7-50所示

0 T 2T 3T 4T t

y(t)

如：系统结构为图 7-51 所示

)(zDs

e Ts1)1(

10

ss

E1(z) E2(z)

r(t) y(t)

图 7-51 一个实际的数字控制系统

G(z)= )368.01)(1(

)718.01(68.311

11

zz

zz(7-148)

D(z)= )718.01)(1(

)368.01)(5.01(543.011

11

zz

zz

(7-149)

由于数字控制器 D(z) 的输出不是含 z -1 的有限多项式，因此

)()()( 12 zEzDzE

)718.01)(1(

)368.01)(5.01(653.011

11

zz

zz= 1z

...119.039.0319.0543.0 4321 zzzz=

为了使输出波纹消除，希望 E2(z) 为含 z -1

的有限多项式。

(7-150)

由式 )()(1

)(

)(

)()( 2

2 zGzD

zD

zR

zEzGe

(7-151)

)(

)()(

)(

)(

zPz

zQzP

zG

zGr

BB =

式中 P(z)和 Q(z) 分别为 G(z) 的分子多项式和分母多项式。若令

)()()( 1 zPzPzP BB (7-152)

则 r

Be z

zQzPzG

)()()( 1

2 (7-153)

E2(z) 必为含的有限多项式，因为的极点都分布在 z平面的原点。

例已知离散控制系统结构如图 7-52 所示，采样周期 T=1 ，求数字控制器 D(z) ，使系统对斜坡输入为无纹波无稳态误差的最少拍系统

)(zDs

e Ts1)1(

10

ssr(t)

y(t)

图 7-52 无纹波无稳态误差的最少拍系统

解开环脉冲传递函数 G(z)

)368.01)(1(

)718.01(68.3)(

11

11

zz

zzzG

选取为 = )(zGB ))(718.01( 1

1011 zzz

)(zGB

选取为)(1 zGe

= )(1 zGe )1()1( 11

21 zz

由关系式

)(1 zGe =1- )(zGB

得到3

12

101

0 718.0)718.0(1 zzz 3

12

11

1 )12()2(1 zzz =

11 718.0

101 718.012

012

593.01 407.10 825.01

于是)586.01)(718.01(407.1)( 111 zzzzGB

1211 593.01()1()( zzzGe ）

所以)()(

)()(

1 zGzG

zGzD

e

B

)593.01)(1(

)368.01)(586.01(383.011

11

zz

zz=

此时

)368.01)(586.01)(1(383.0)(

)()( 111

2 zzz

zG

zGzG B

e

于是，可求

)1(

)586.01)(368.01(383.0)()()(

1

111

22

z

zzzzRzGzE e

...09.001.0383.0 321 zzz=

7.8 7.8 MatlabMatlab 在离散系统中应用在离散系统中应用连续系统离散化，在 Matlab 中应用CZDM 函数。它的一般格式为CZDM （ num , den , T , ‘zoh’）

零阶保持采样周期

连续传函分母多项式系数表连续传函分子多项式系数表

例已知开环离散控制系统结构如图，求开环脉冲传递函数。采样周期 T=1 秒。

s

e Ts1)1(

1

ss

y (t)

图 7-53 开环离散控制系统

解先用解析求 G（ Z）

G(Z) = Z [ ]=z

z 1)1(

12 ss 368.0368.1

264.0368.02

zz

z

用Matlab 可以很方便求得上述结果

%This script converts the transfer function

%G(S)=1/s(s+1) to a discrete-time system

%with a sampling period of T=1 sec

%

num=[1];den=[1,1,0];

T=1

[numZ,denZ]=c2dm(num,den,T,'Zoh');

printsys(numZ,denZ,'Z')

368.0368.1^

264.0368.02

zz

z打印结果

假定离散系统如图 7-54 所示。输入为单位阶跃，可用 dstep 函数求输出响应。

Dstep ( num , den , n )

用户指定的采样点数

离散系统脉冲传函分母多项式系数离散系统脉冲传函分子多项式系数

den

numZG )(

1)(

z

zZR y (Z)

图 7-54 开环离散系统

例已知离散系统结构如图所示，采样系统的输入为单位阶跃，采样周期 T=1 秒，求输出响应。

s

e Ts1)1(

1

ss

图 7-55闭環离散控制系统

解：由 GB(Z)= =)(1

)(

ZG

ZG

632.0

264.0368.02

zz

z

y(Z)=GB(Z)R(Z)= )632.0)(1(

)264.0368.0(2 zzz

zz

= 0.368z -1+z –2 +1.4z -3+1.4z -4+1.14z -5 +…

可绘制输出响应如图

1 2 3 4 5

0.4

1

1.4

图 7-56闭環离散控制系统单位阶跃响应

如果用 Matlab 的 dstep 函数，可很快得到离散输出 y*(t) 和连续输出结果 y(t)

%This script gene rather the unit step response ,y(kt),

%for the sampled data system given in example

%

num=[0 0.368 0.264]; den=[1 -1 0.632];

dstep(num,den)

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4From: U(1)

To: Y

(1)

This script computes the continuous-time unit

%step response for the system in example

%

numg=[1];deng=[1 1 0];

[nd,dd]=pade(1,2)

numd=dd-nd;

dend=conv([1 0],dd);

[numdm,dendm]=minreal(numd,dend);

%

[n1,d1]=series(numdm,dendm,numg,deng);

[num,den]=cloop(n1,d1);

t=[0:0.1:20];

step(num,den,t)

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5From: U(1)

To: Y

(1)

图 7-58 连续输出

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7 线性离散控制系统