Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Сравнение бесконечно малыхЗадачи, приводящие к понятию производной
Скорость прямолинейного движенияКасательная к кривой
Определение производной. Механический игеометрический смысл. Уравнение касатель-ной и нормали к кривой
7 — Лекция 7
7.1 Сравнение бесконечно малыхПусть одновременно несколько бесконечно малых величин α,β ,γ,δ , . . . являютсяфункциями одного и того же аргумента x и стремятся к нулю при стремлении x кнекоторому пределу a или к бесконечности. Будем характеризовать стремление этихпеременных к нулю, рассматривая их отношения.
Определение 7.1 Если отношениеβ
αимеет конечный и отличный от нуля предел,
т.е. если
limx→a
β
α= A 6= 0,или lim
x→a
α
β=
1A6= 0, (7.1)
то бесконечно малые β и α называются бесконечно малыми одного порядка.
Примеры.
Пример 7.1 Пусть α = x, β = sin2x и x→ 0. Бесконечно малые α и β одного порядка,так как
limx→0
sin2xx
= 2.
�
Пример 7.2 При x→ 0 бесконечно малые x, sin3x, tg8x, 2ln(1+x) являются бесконечномалыми одного и того же порядка. Доказательство проводится аналогично тому,как это сделано в предыдущем примере. �
Определение 7.2 Если отношение двух бесконечно малыхβ
αстремится к нулю,
46 Лекция 7
т.е. если
limx→a
β
α= 0,или lim
x→a
α
β= ∞, (7.2)
то бесконечно малая β называется бесконечно малой величиной высшего порядка,чем бесконечно малая α, а бесконечно малая α называется бесконечно малойнизшего порядка, чем бесконечно малая β .
Пример 7.3 Пусть α = x, β = xn, n > 1, x→ 0. Бесконечно малая β есть бесконечномалая высшего порядка, чем бесконечно малая α , так как
limx→0
xn
x= lim
x→0xn−1 = 0.
При этом бесконечно малая α есть бесконечно малая низшего порядка, чем беско-нечно малая β . �
Определение 7.3 Если отношение двух бесконечно малыхβ
αстремится к единице,
т.е. если
limx→a
β
α= 1, (7.3)
то бесконечно малые β и α называют эквивалентными бесконечно малыми (илиравносильными бесконечно малыми). Это записывается как α ≈ β .
Примеры.
Пример 7.4 Пусть α = x и β = sinx, где x→ 0. Бесконечно малые α и β эквивалентны,так как
limx→0
=sinx
x= 1.
�
Пример 7.5 Пусть α = x, β = ln(1+ x), где x→ 0. Бесконечно малые α и β эквива-лентны, так как
limx→0
=ln(1+ x)
x= 1.
�
Теорема 7.1 Если α и β - эквивалентные бесконечно малые, то их разность α−β
есть бесконечно малая высшего порядка, чем α и чем β .
Доказательство.
limx→0
α−β
α= lim
x→0
(1− β
α
)= 1− lim
x→0
β
α= 1−1 = 0 (7.4)
7.2 Задачи, приводящие к понятию производной 47
�
Теорема 7.2 Если разность двух бесконечно малых α − β бесконечно малаявысшего порядка, чем α и чем β , то α и β - эквивалентные бесконечно малые.
Доказательство.
limx→0
α−β
α= 0 =⇒ lim
x→0
(1− β
α
)= 0 =⇒
limx→0
(β
α
)= 1 =⇒ α ≈ β (7.5)
�
Примеры.
Пример 7.6 Пусть α = x, β = x+x3, где x→ 0. Бесконечно малые α и β эквивалентны,так как их разность β −α = x3 есть бесконечно малая высшего порядка, чем α ичем β :
limx→0
β −α
α= lim
x→0
x3
x= lim
x→0x2 = 0,
limx→0
β −α
β= lim
x→0
x3
x+ x3 = limx→0
x2
1+ x2 = 0,
�
Пример 7.7 При x→∞ бесконечно малые α =x+1
x2 и β =1xэквивалентные бесконеч-
но малые, так как их разность α−β =1x3 есть бесконечно малая высшего порядка,
чем α и чем β . Предел отношения α и β равен 1:
limx→0
α
β= lim
x→∞
x+1x2
1x
= limx→∞
x+1x
= 1.
�
I Если отношение двух бесконечно малыхβ
αне имеет предела и не стремится к
бесконечности, то β и α не сравнимы между собой в указанном выше смысле.
7.2 Задачи, приводящие к понятию производной
Понятие производной является одним из основных математических понятий. Произ-водная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики,других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.
48 Лекция 7
7.2.1 Скорость прямолинейного движенияПусть материальная точка (некоторое тело) M движется неравномерно по некоторойпрямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние OM = Sдо некоторой фиксированной точки O. Это расстояние зависит от времени t, т. е.S = S(t).
Это равенство называется законом движения точки. Требуется найти скоростьдвижения точки.
Если в некоторый момент времени t точка занимает положение M, то в моментвремени t +∆t (∆t - приращение времени) точка займет положение M1, где OM1 =S+∆S (∆S - приращение расстояния) (см. рис.).
Таким образом, перемещение точки M за время ∆t будет
∆S = S(t +∆t)−S(t).
Отношение∆S∆t
выражает среднюю скорость движения точки за время ∆t:
Vср. =∆S∆t
. (7.6)
Средняя скорость зависит от значения ∆t: чем меньше ∆t, тем точнее средняяскорость выражает скорость движения точки в данный момент времени t.
Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка вре-мени ∆t называется скоростью движения точки в данный момент времени (илимгновенной скоростью). Обозначив эту скорость через V , получим
V = lim∆t→0
∆S∆t
= lim∆t→0
S(t +∆t)−S(t)∆t
. (7.7)
7.2.2 Касательная к кривойРассмотрим определение касательной к кривой.
Возьмем на непрерывной кривой L две точки M и M1 (см. рис.)
Прямая MM1, проходящую через эти точки, называется секущей. Пусть точка M1,двигаясь вдоль кривой L, неограниченно приближается к точке M. Тогда секущая,
7.2 Задачи, приводящие к понятию производной 49
поворачиваясь около точки M, стремится к некоторому предельному положениюMT .
Определение 7.4 Касательной к данной кривой в данной точке M называетсяпредельное положение MT секущей MM1, проходящей через точку M, когдавторая точка пересечения M1 неограниченно приближается по кривой к точке M1.
Рассмотрим теперь график непрерывной кривой y= f (x), имеющий в точке M(x,y)невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент k = tgα , где α - уголкасательной с осью Ox. Для этого проведем через точку M и точку M1 графика сабсциссой x+∆x секущую. Обозначим через ϕ - угол между секущей MM1 и осьюOx. На рисунке
видно, что угловой коэффициент секущей равен
kсек. = tgϕ =∆y∆x
=f (x+∆x)− f (x)
∆x. (7.8)
При ∆x→ 0 в силу непрерывности функции приращение ∆y тоже стремится к нулю:поэтому точка M1 неограниченно приближается по кривой к точке M, а секущаяMM1, поворачиваясь около точки M, переходит в касательную. Угол ϕ → α, т. е.lim
∆x→0ϕ = α , или lim
∆x→0tgϕ = tgα и угловой коэффициент касательной равен
k = tgα = lim∆x→0
tgϕ = lim∆x→0
∆y∆x
= lim∆x→0
f (x+∆x)− f (x)∆x
. (7.9)
I К нахождению пределов такого вида приводят решения и множества другихзадач:• Если Q=Q(t) - количество электричества, проходящего через поперечное
сечение проводника за время t, то сила тока в момент времени t равна
I = lim∆t→0
∆Q∆t
= lim∆t→0
Q(t +∆t)−Q(t)∆t
. (7.10)
• Если N = N(t) - количество вещества, вступающего в химическую реак-цию за время t, то скорость химической реакции в момент времени tравна
V = lim∆t→0
∆N∆t
= lim∆t→0
N(t +∆t)−N(t)∆t
. (7.11)
• Если m = m(x) - масса неоднородного стержня между точками O(0,0) и(x,0), то линейная плотность стержня в точке x есть
S = lim∆x→0
∆m∆x
= lim∆x→0
m(x+∆x)−m(x)∆x
. (7.12)
50 Лекция 7
Все эти пределы имеют одинаковый вид:везде требуется найти предел отношения приращения функции к приращениюаргумента.
Этот предел называется производной.
7.3 Определение производной. Механический и геометрический смысл. Уравне-ние касательной и нормали к кривойПусть функция y = f (x) определена на некотором интервале (a,b).Проделаем следующие операции:− аргументу x ∈ (a,b) дадим приращение ∆x: x+∆x;− найдем соответствующее приращение функции: ∆y = f (x+∆x)− f (x);
− составим отношение приращения функции к приращению аргумента:∆y∆x
;
− найдем предел этого отношения при ∆x→ 0: lim∆x→0
∆y∆x
.
Если
этот предел существует, то его называют производной функции f (x) и обозначаютодним из символов
f ′(x), f ′x(x), y′, y′x,dydx
. (7.13)
Определение 7.5 Производной функции y = f (x) в точке x0 называется пределотношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращениеаргумента стремится к нулю:
y′ = lim∆x→0
f (x0 +∆x)− f (x0)
∆xили f ′(x0) = lim
∆x→0
f (x)− f (x0)
x− x0
Определение 7.6 Функция y = f (x), имеющая производную в каждой точке ин-тервала (a,b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахож-дения производной функции называется дифференцированием.
I В задаче про скорость прямолинейного движения было получено V = lim∆t→0
∆S∆t
.
Это равенство перепишем в видеV = S′t , т. е. скорость прямолинейного движенияматериальной точки в момент времени t - это производная от пути S по времениt. В этом заключается механический смысл производной.
I Обобщая, можно сказать, что если функция y = f (x) описывает какой - ли-бо физический процесс, то производная y′ - это скорость протекания этогопроцесса. В этом состоит физический смысл производной.
I В задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффициент каса-
тельной k = tgα = lim∆x→0
∆y∆x
. Это равенство перепишем в виде f ′(x) = tgα = k, т.е.
производная f ′(x) в точке x равна угловому коэффициенту касательной к гра-фику функции y = f (x) в точке, абсцисса которой равна x. В этом заключаетсягеометрический смысл производной.
Уравнение касательнойЕсли точка касания M имеет координаты M(x0,y0), то угловой коэффициент каса-тельной есть k = f ′(x0). Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную
7.3 Определение производной. Механический и геометрический смысл. Уравнениекасательной и нормали к кривой 51точку в заданном направлении (y− y0 = f ′(x0)(x− x0)), можно записать уравнениекасательной:
y-y0 = f ′(x0)(x− x0) (7.14)
Уравнение нормалиПрямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормальюкривой. Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициент
kнорм. =−1
kкас.=− 1
f ′(x0). (7.15)
Поэтому уравнение нормали имеет вид:
y-y0 =−1
f ′(x0)(x− x0) (7.16)
52 Лекция 7