7 Condotte (Parte 2)

Appunti di Meccanica dei Fluidi: 21 November 1999 1

Prof. Alberto Guadagnini Dipartimento di Ingegneria Idraulica, Ambientale e del Rilevamento (DIIAR) Politecnico di Milano, Piazza Leonardo da Vinci, 32, 20133 Milano- Italy

CCOONNDDOOTTTTEE IINN PPRREESSSSIIOONNEE

Note del Corso di Meccanica dei Fluidi Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica - Facolt di Milano Bovisa

A.A. 1999 / 2000


2

CORRENTI IN PRESSIONE -MOTO UNIFORME

condotto cilindrico

J = f ( grandezze della corrente )

grandezze geometriche : ( area forma scabrezza ) grandezze cinematiche : Q , V grandezze fisiche : m , r , (e ) Hp: condotto cilindrico circolare moto uniforme sulla traiett. media V = cost J = cost lungo le traiettorie ( unica cadente ) t lineare lungo il raggio (da dimostrare)

v cost t, p = cost in sezioni trasversali diverse

p = idrost. (traiett. rettilinee)

comprimibilit


3

Come dimostrazione precedente

JR = gt

rr

CA

R

==

pp

2

2

rJr

=2

gt

00 r

r= tt

MOTO LAMINARE ( = REGOLARE = VISCOSO ) Distribuzione della velocit Traiettorie nel moto laminare traiettoria moto medio Eq. globale per cilindretto ( sopra )

0IMMdAnv

G 21A

*0i =+-+

m-+p++p

dAnvdA

nvdA

nvTR

AAA i

-=-

-=-=

000

mmm ,

essendo 00

=

dAnv

iA

poich 0=nv

(moto uniforme)

A0 = sup. laterale del cilindretto Ai0 = sup. di base (ingresso e uscita)

__ P0*

__ P1

__ M1

__ P2

__ M2 _

R _ G

r r0 _

n

Variazione lineare di t

TR -=


4

+=0A

dAnu

T m MODULO DI T

simmetriapertru

nu

cos=

-=

0AA

AdrdudA

drdudA

r)r(uT

00

m-=m-=

m-=

===

-=

JLrJALJWT

Lrdrdu

T

t2

2

pggg

pm

Jrdrdu

-=m

g2

fluido perfetto : m = 0 , J = 0 , .det00

indrdu

== ipotesi inaccettabile qualsiasi u=u(r) andrebbe bene !

_ R

_ T

_ v

_ n

L At

A0

cos ridotta leq. di Navier nel caso di moto laminare


5

Jrdrdu

-=m

g2

trJ

drrJur

cos42

2

0

+

-=

-= mg

mg

=

==

020

u

Drr

tDJ

cos44

02

+

-=m

g

-

= 22

44r

DJu

mg

44

2DJuMAX

=

mg

drrrDJ

drrudAuQ

DD

Atrasv

-

=== 2

0

222

0 422

mgp

p

( 2rA = p drrdA = p2 )

V

umax


6

4

128D

JQ

=

mgp

FORMULA DI POISEUILLE (ottenuta sperimentalmente) Valida se valida lHp. di Newton: u = 0 alla parete

MAXuDJ

AQ

V =

==21

321 2

mg

4D

cA

R ==

2

21

RJ

V =m

g

MOTO PIANO

analogamente 2

31

RJ

V =m

g

PER SEZIONE DI FORMA QUALUNQUE

2RJ

V

=m

ga

h y (v/r) = 0 t = 0

(potrebbe essere una sup. libera) L b

coeff. di forma


7

MOTO TURBOLENTO

di trasporto moto di agitazione (turbolenza) metodo Euleriano ( punto fisso )

@=T

m pertdtvTv

0

cos1

Tt >

secondo oreT

( )tzyxfvm ,,,=

'vvv m +=

( ) 011'00

' =-=-== mT

mm

T

m vvdtvvTdtv

Tv analogamente nF , p , r

_ v _

v _ vm

Componente dagitazione

P


8

per FUNZIONI :

F=A

n dAp nmnn ', F+F=F

( ) =F+F=PT A

nmnm dAdtT

'1

,

( ) =F+F= dtTdA Tnmn

A

'1

,

F=F+F=T A

mnn

AA

mn dAdtT

dAdA ,, '1

dAA

mnm F=P , Sostituire ad una ( )gF la media ( )mm gFF = vale solo se lespressione lineare NON per M

( ) ( ) =++== T T A

nmnmA

nm dAvvvvdtTdAvvdt

TM ',

'11 rr

{ } +++=A T T

nT

mnT

nmmnm dtvvdtvvdtvvdtvvTdA ',

'

, ''1

r

( ) +=A

mnA

mnmm dAvvdAvvM''

, rr

essendo campo fisso =

= 0 = 0

0

incompr.

= 0


9

essendo

( ) =T

nmn dtvvTvv '''

1'

Eq. di Navier ( fluido incompr. ) :

+r+

m-+A

m,nmA

m

Am dAvvdAn

vdAnpG

( ) =

-+W

m

Amn dWt

vdAvv 0'' rr

='M scambio di quantit di moto per turbolenza

m m

masse uguali ma v

quindi scambi di qt di moto appiattimento diagr. v


10

Sforzi tangenziali viscosi e turbolenti

Per lunif. (media ) : ( ) tvv mn cos'' = in succ.

sezioni trasversali 021 =- mm MM (comprendono anche 'M )

( ) =A

mn dAvvM''' r solo su Alat.

per simmetria ( ) tvv mn cos'' = su Alat

( )'n''' vv,uv -= Eq. di Navier

+r+

m-+

Am,nm

A

m

Am dAvvdAn

vdAnpG

( ) 0'' =

-+ dWt

vdAvv

W

m

Amn rr

=.

,laterA

mmn dAvvr

vn,m = 0 per moto permanente nullo su sup. laterale ma non sulle sez. trasversali (dove per vn,m sono uguali e contrari)

moto perman.

Moto uniforme

11 P+M 22 P+- M

'v0P

r x

u

v = -vn

M1 -M2


11

( ) 12sen zzL -= a

( ) 0'', =++

-+ A

mnA A

mnmm

Am dAvvdAvvdAn

vdAnpG rrm

( )

( ) 02

2

''

21

2122

=-

++-+-

-

m

m

vuLr

Lrdrdu

pprL

zzLr

rp

pmppg

( )mm vuLrLrdrdu

JLr ''2 22 r

--= ppmpg

( )

+-= mm vudr

duLrT ''2 rmp

( )mm vudrdu '' +-= rmt

Jr 2

g

L

z1

z2

z = 0

a


12

Moto laminare t (m) Moto puramente turbolento t(r) + scabrezza Moto turbolento di transizione t(m,r) + scabrezza aderente alla parete c : SUBSTRATO LIMITE VISCOSO

r (u v)m -m (dum/dr)

t

v = 0 ; tturb = 0

t turb , tvisc = 0 per simmetria


13

( )mm vudrdu

Jr ''2

+-== rmgt

( ) tdrvudrrJdrrd

ud rm

rrm cos''

2 000++-= m

rm

g

( ) tdrvurJur

mm cos''4 02 ++-= m

rm

g

=

=

2

0D

r

um ( ) -

-

=2

''22

44

D

rmm drvur

DJu

mr

mg

come moto laminare

= 0 per r = D/2 per r 0 , cresce

r

um ( ) drvuuD

rm

2/

''r

APPIATTITO confermato sperimentalmente


14

RICERCHE

( ) ( )mm vuoppurevu '''' r

1. Sperimentali 2. Teoriche

Prandtl: come per teoria cinetica dei gas percorso di mescolamento turbolento Hp.

Altre ipotesi di altri AA conducono a risultati anchessi soddisfacenti

conserva: la sua individualit la sua q.ta di moto


15

Analisi dimensionale A) Moto uniforme

( )rmt ,,,,0 VSDf=

( )rmat ,,,,,0 VSRf= forma Moto unif. laminare

( )

=

.,,10 speriment

controlloVDf mt

S coperto da pellicola aderente parete r non vi sono scambi di quantit di moto

D , V , m grandezze fondamentali

gba mt = VDk0

[ ] [ ] [ ] [ ]2120 --- LTFTLVLDLF mt

gggbba --- = 22 LTFTLLLF

FTL

==+-

-=-+

1

022

ggb

gba

11

1

==

-=

gb

a

condotto circolare

condotto di forma qualunque


16

DVk = mt 0

20 44 DV

kJJD

==gm

gt

( )832 2 == kteoricoDV

Jgm

DV

=m

t 80 BASTA 1 PROVA : noti m , V , D , J k B) Moto unif. puramente turbolento Hp. 0= soppureDs

( )rt ,,20 VDf=

gba rlt = VD10

[ ] [ ] [ ] [ ]2241 --- LFTLFTLVLD tr

gggbba --- = 242 TLFTLLLF

==-

-=-+

102

24

gbg

gba

===

120

gba


17

210 V= rlt

- basterebbe 1 sola prova per l1

- se c S

=

DS

11ll : basta 1 serie di prove

JD

=40

gt

DV

gDVJ

21

21 44 =

= l

grl

20

1 V=

rt

l - n indice di resistenza

- resistenza ridotta DARCY WEISBACH

lesperimentaformulaDg

VDg

VJ

=

=

28

2

2

1

2

ll

[ ]18 ll =


18

Numero di Reynolds

mr

m

rlt

t DVt

DV

k

V

LAM

PURTURB =

= cos

21

.0

..0

n puro n puro

mr DV

=Re indice del grado di turbolenza

2000Re @$ C valore critico ( stato critico )

122

01 Re64Re

648888 -==

=

==

DV

VVm

rrt

ll

TURBOLENTO LAMINARE

64/Re

log l

log Re Rec = 2000


19

TUBI LISCI ( moto uniforme in zona di transizione )

S = 0 ( )t r m0 3= f D V, , ,

mr

= V DRe

( )t r0 4= f D V, , , Re

( ) 210 Re V= rlt occorre 1 serie di esperienze Blasius (Re Rec < 10

5 e oltre )

l = -0 316 0 25, Re .

JVg D g V D

VD

tVD

=

=

= l mr

2 0 25

0 25 0 25 0 25

2 175

125203162.

cos.

. . .

.

.

Prandtl V.Karman

12

2 51l l

= -

log.

Re

dipende dal fluido


20

" tipo di moto

J k VD

m nm

n= + = 3

Hp. se ( )iamonb omRe -= al

JVg D

tVD

b

b= =

-

+l2 2

12cos

312 =++-=+ bbnm c.v.d.

64/Re

log l

log Re

0,316 Re-0,25

2000 4000


21

Lespressione di Prandtl-V.Karman

12

2 51l l

= -

log.

Re

deriva da : - Hp. percorso di mescolamento turbolento (Prandtl) - Hp. similitudine dei diagrammi di velocit in tubi lisci Si introduce

8

2

10* lrrl

rt

=

== VV

u

d

l=

115 8.Re

D

velocit di attrito

um

y

d

substrato limite viscoso


22

Moto uniforme TUBI SCABRI per definire S non basta una lunghezza Nikuradse (1930) l = cost MOTO PURAMENTE TURBOLENTO Prandtl-V.Krmn per tubi scabri

-=

Dd

71.31

log21l

d

log Re

log l Re *70 = (u*d)/n di attrito

d/D

d per Re


23

Moto unif. TUBI SCABRI REALI ABACO DI MOODY Le asperit escono gradualmente dallo strato limite viscoso COLEBROOK e WHITE

+

-=

De

ll 71.31

Re51.2

log21

va bene nella zona turb. di transizione perch si raccorda con tubi lisci ( [e /(3,71 D)]

trascurabile rispetto a [2,51/(Re l)]), ma vale anche per il moto puramente

turbolento ([2,51/(Re l )] trascurabile rispetto a [e /(3,71 D)] )

MA l implicito

log l Re *=70

log Re

turb. di transiz.

e/d

puram. turbol. laminare


24

VERIFICA 1. Dati : Q , D , e ? J Re Moody l J MOODY 2. Dati : J , D , e ? V , Q

JDgD

VJDg

=

= 22

ReRem

rl

COLEBR. l l

JDgV

=

2 Q

PROGETTO Dati : Q , J , e ? D

2

25

2

42

2

=

=p

llJg

QD

JgV

D

MOODY :

52

2'

2'

11

1 216

Re,p

lle

=Jg

QD

DD

noto

ecc.


25

Formule esplicite ( Colebrook ) 1. Cozzo

( )2

091.0

91.02

71.31.5

log8

021.0-

+-=DQ

Dg enpl

l < 4 % ma normalmente + piccoli 2. Citrini

=

+@

+=

-

2

2

71.3log41

Re

81

Re

41

el

el

ell

D

DD


26

FORMULE PRATICHE (Empiriche) 1. Pi antica COUPLET (Versailles)

tV

JD cos2

= e assoluta ?! 2. PRONY

Vba

VJD +=

2

3. DARCY

Db

aV

JD+=

2

- moto puramente turbolento

- scabrezza relativa

DDb e

- tubi in ghisa - a e b doppi dopo esercizio

5

2

DQ

J = b

mmDDb

a 5001 +=b

Moto pur. turbolento

Moto turb. di transizione


27

4. CHEZY

RCV

J

= 22

scabrezzadiecofficientg

Cl

=8

C non n puro Per un assegnato tubo si ha che : C = cost () l = cost moto

pur. turb. C ( l) non dipende dal fluido

- Bazin

R

Cg

+=

1

87 indice di scabrezza

- Kutter

Rm

C+

=1

100

- Strickler = e,61

cRcC

34

2

2

Rc

VJ

=

- Manning c

n1

=


28

5. CONTESSINI

condotte in acciaio ab DQ

J2

= b = 0.0012 a = 5.26 tubi nuovi b = 0.0020 a = 5.44 tubi usati

UTILE PER DIMENSIONAMENTO 6. MONOMIE

275.1 = bDQ

aJ cb

valgono solo per il fluido sperimentato


29

PERDITE DI CARICO LOCALIZZATE - linee carichi totali e piezometriche sono solo "linee di raccordo"

- Come moto puram. turbol. g

VnH

=D2

2

n = cost [ n = n(Re) solo per ( V basse ) Re bassi ]

D

gm

V12/2g

V22/2g

D'H DH Y'

Y'' d

gH VV

2

2

2

2

1-

+=D d

ggg

d-

D= m

'''' YYHH --D=D

convenzionalmente continue


30

Brusco allargamento Hp. 1. Resistenza delle pareti trascurabile: v variabile come verso, tronco breve 2. Arbitraria: p idrostatica sulla corona circolare Proiezione delleq. globale nella direzione del moto :

( )

=

+=+-+

22

222112111

VAQ

VQApVQAApAp rr

( ) ( )2122122 VVVAppA -=- r > 0 perch V2 < V1 piezometrica aumenta

V12/2g V2

2/2g

p1/g p2/g

V1 V2

DH


31

Se condotta inclinata :

+>

+ 1

12

2 zp

zp

gg

( )

-=-

@@=

++-

++=D

21212

21

21

22

22

2

21

11

1

1

22

VVVpp

zz

gVp

zg

VpzH

r

aa

ag

ag

( )21222221 2221 VVVVV

gH -+-

=D

( )g

H VV2

2

21-

=D

Hp.1 significa : t = 0 fluido perfetto

La perdita DH perdita di energia meccanica (cinetica)

UTILE: g

V

2

2

a .Va in agitazione che si dissipa solo con

lintervento di m

formula di BORDA

altezza cinetica della velocit perduta


32

Perdita di sbocco

( ) ( ) ( )a

=-=

-=D

gV

gV

gVVH

220

2

21

21

221

divergentenelperditag

VH +

=D2

22a

DH = a V2/2g

V

V1 V2

DH D1H = a V22/2g perdita piccola

D1H


33

Perdita di imbocco

Esperienza : CC = 0.61 Cv = 0.98

HHH 21 D+D=D ( ) tvCt VCVanatorricelliV =

CCCCCCC C

VVVACVAVA ===

( ) =@-

=

-

=

-

=D

11

21

1222 2

22

2

222

1v

vC

v

CCt

CC

gV

CgV

gV

gV

H

( ) =-=2

2

12 v

C Cg

V

gV

CC

gV

c

v

@-

=

21.01

2

2

2

22

( ) ( )

gV

Cg

V

VCV

gBORDA

gVV

H

C

C

C

@

-

=

=

-

=

-

=D

24.01

12

21

2

222

22

2

gV

gV

gV

H

=

+

=D2

5.02

4.02

1.0222

2,8 V2/2g

pc/g

Vc2/2g

V Vc

D1H D2H


34

21 HHH D+D=D

gV

H

=D2

5.02

Piezometrica (da linea CT)

ggCgVVV

c

c

27.2

21

2

22

2

2

== Piezometrica (da pelo libero)

g

V

gVH C

=

+D

28.2

2

22

1

Se da calcolo g

*apX >

g

*apX = e CC sez. di controllo

( )HtrascurophgV aC 1*

max 2 D

+=

g

( )OHpermpa 2*

33.10=g

h

X C

C


35

H2O ( )33.102max += hgACQ C

in realt mpp va 20.033.10

**

-@-g

( )13.102max +@ hgACQ C Altra perdita dimbocco

5.0min @=CC

gV

CC

gV

HC

v

=

-

=D

216.0

12

2

2

22

1

gV

CgV

HC

=

-

=D

21

12

222

2

gVH

=D2

16.12

DH

V2/2g


36

Perdita per brusco restringimento

Se g

VH

DD

=D2

5.022

2

2

1

Se gV

HDD

AA

=D

==

23.022

22

2

1

2

1

gV

nH

=D2

22

Convergenti

V1 V2 D1 D2

NO

flesso


37

DIVERGENTI Gibson

( ) ( )gVV

mH

-=D

2

221a

m = MIN per a = 6 m = MAX = 1.2 per a = 65 Escande : creando depressioni elimina il distacco di vena e diminuisce DH.

V1 V2 MEGLIO V1 V2

a

dipende dalle perdite continue


38

STROZZAMENTI Cambiamenti di direzione

( ) 2221

122

-

=

-

=DC

C

CmgV

gVV

H

AAm 1=

gV

HJLJLY

+D++=2

2

21

+

-

+

= 11

12

22

CCmDL

gV

Y l

A

A1 Ac

Regola la portata

aperta

m V

L1 L2

L

Y JmL

Vm2/2g

DH


39

ESEMPIO

D?

n, d, l

d D1 L1

D3 L3

gm


40

CONDOTTE IN DEPRESSIONE

YLJg

V=+

2

2

RDgJ VV

cl

2

22

2==

Y

pa*/g

pa*/g

V2/2g

LCT

LPz

LCT A LPz A


41

NO !

V2/2g

LCT A LPz A

pa*/g

pa*/g

Depressione assoluta


42

FLUIDO PERFETTO

Caso 1 Se in tutti i punti della condotta verificata la relazione:

gg

*

app

il moto REGOLARE e la situazione quella rappresentata in figura.

A V2/2g

pA/g


43

Caso 2 Se in almeno un punto della condotta risulta:

gg

*

app >

le condizioni di funzionamento cambiano

MOTO A CANALETTA

- da valle depressione max = - pa*/g

- poi parallela al tubo

- fra A e B V2/2g sezione

A B

pa*/g

VA2/2g

VA2/2g

V2/2g

DH


44

=+

++=+R

VJLJ

gVp

Zp

Z MMa

A 2

2max'

2max

**

2 cgg

*2

2max

2max*

2Z

RV

Lg

VZZ A

+

+=c

= 0

Pa*/g

Pa*/g

Pa*/g JL

V2/2g

Vx2/2g

DH

V2/2g ZA

ZM

ZB

Z*

M

LCT A

LPz A

moto a canaletta


45

Depressione

( ) ( )mpZZg

VLJ

P aMA

M 872

*2

--

+=gg

P JL

V2/2g pM/g

ZA

M

ZA-ZM

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7 Condotte (Parte 2)