7. PROPORCIONALIDAD

Elvira cumplió 13 años ayer. Recibió 100 € como regalo de su tía María y ha decidido aprovechar las rebajas para comprarse una cazadora que le gusta mucho pero costaba 130 €. Ahora tiene una rebaja del 40 %. ¿ Tendrá dinero suficiente para comprar la cazadora?

a) ¿ Qué cantidad de euros supone el 40 % de rebaja sobre el precio de la cazadora?

b) ¿ En qué precio queda la cazadora al realizar el descuento indicado?

c) ¿ Cuánto le sobra a Elvira?

Quiero celebrar mi cumpleaños y he decidido hacer una tarta de melocotón con almendras. He visto los ingredientes necesarios para elaborar una tarta para 8 personas:

- 450 grs de pasta brisée- 9 melocotones- 20 almendras sin cáscara ni hollejo- 200 grs de almendras trituradas- 150 grs de azúcar de caña- 1 cucharada y media de harina de maíz- 200 grs de mantequilla- extracto de almendras amargas

Pero tengo un pequeño problema. Entre hermanos, padres, abuelos, primos y tíos vamos a ser 12 personas.¿Cómo puedo ajustar los ingredientes de la receta a esa cantidad de personas?

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He decidido pintar mi habitación. La superficie total de las paredes es de 32 metros cuadrados. En la tienda de pinturas me han mostrado una pintura mate que me gusta mucho. Se vende en botes de 4 litros a un precio de 19,95 € el bote. Además me han indicado que el rendimiento de esa pintura es de unos 10 m2 por cada litro. Y voy a necesitar dar dos manos de pintura:

a) ¿ Cuántos botes de pintura necesito comprar?

b) ¿ Cuál va a ser el coste total de la pintura?

La escala del mapa de la imagen es 1 : 8000000

a) ¿ Qué significan esos números de la escala?

b) Queremos calcular la distancia de Madrid a París. ¿ Qué debemos hacer para realizar el cálculo usando el mapa?

c) Hemos medido la distancia entre Madrid y Hamburgo: 27,1 cm. ¿ Puedes calcular la distancia real aproximada entre esas dos ciudades?

Para poder resolver con precisión los cuatro problemas anteriores necesitamos trabajar un concepto matemático muy importante y útil: la proporcionalidad numérica.

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Pero previamente debemos definir algunos conceptos:

Llamamos magnitud a una propiedad o cualidad medible

Llamamos razón entre dos cantidades a y b, a la relación existente entre ambas, expresada en forma de cociente indicado :

Una razón entre dos cantidades compara esas dos cantidades. Por ejemplo:

Si he recorrido en coche 110 km en una hora, la razón entre los kilómetros recorridos y el tiempo que se tarda nos indica la velocidad media del coche.

Si voy a una tienda y observa que hay carteles anunciando rebajas de un 40 %, puedo

establecer la razón 100 / 40 para indicar que por cada 100 € otendré una rebaja de 40

€.

En el problema de la pintura podemos considerar la razón 10 m2 / 1 litro para indicar el rendimiento de dicha pintura.

1.- Busca la cifra de varones y mujeres en el año 2008 en Torrejón de Ardoz y calcula la razón entre ellos. Ahora repite el cálculo para el año 2007 y comprueba si se ha mantenido estable dicha razón.

2.- Expresa en forma de razón la relación existente entre el número de compañeros y compañeras que hay en tu clase.

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3.- Una urna contiene 20 bolas: 6 verdes, 8 amarillas, 2 azules y 4 rojas.

Calcula la razón entre las bolas rojas y verdes, entre las bolas azules y las amarillas, entre las bolas azules y las bolas totales.

4.- En la urna del ejercicio 2:

a) ¿ Cuántas bolas verdes hay por cada bola azul?

b) ¿ Cuántas bolas amarillas hay por cada bola roja?

5.- En el año 2011 la razón entre el número de nacimientos en Torrejón de Ardoz y el número de habitantes fue de 53 / 4000.

¿Qué significa este dato?

¿ Cuántos nacimientos caben esperar en un colectivo de 8000 personas si la razón se conservara?

6.- En un teatro, 5 de cada 30 personas son padres de familia.

a) Expresa la razón entre el número de padres de familia y el número de asistentes a la función teatral.

b) Si hay 40 padres, ¿ eres capaz de calcular cuántas personas asisten a la obra de teatro?

7.- Juan y Pedro están en el mismo equipo de fútbol. Juan ha dado 25 pases de los cuales ha fallado 4. Pedro ha dado 30 pases y de ellos ha errado 5.

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a) Expresa en forma de razón la relación entre el número de pases fallados y el número de pases realizados por Juan y Pedro.

b) Si Pedro hubiera dado 60 pases, ¿ cuántos cabría esperar que fueran fallidos?

c) Calcula el número de pases fallidos de Juan en los siguientes supuestos: 50 pases totales, 75 pases totales, 100 pases totales y 150 pases totales.

PROPORCIÓN

La efectividad en los pases de Juan y Pedro en el problema 7 se puede medir comparando la razón de cada uno.

Si dos razones son iguales, forman una proporción.

Ejemplo:

En la publicidad de un automóvil podemos leer que consume 5 l / 100 km.

Entonces en 200 km consumirá 10 litros de combustible; en 400 km consumirá 20 litros de combustible;....

Podemos establecer la relación entre los litros de combustible consumidos y los kilómetros recorridos mediante las razones:

Además podemos comprobar que las razones anteriores están en proporción pues:

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En una proporción se cumple que

A los términos a y d los llamamos extremos; a los términos b y c los llamamos medios.

1.- Sabiendo que escribe la proporción.

2.- Escribe dos proporciones con los números 4 , 9 , 12 y 27

3.- Indica cuáles de las siguientes expresiones son proporciones:

a) b) c)

4.- Los hogares de Juan y Elvira tienen 85 m2 y 95 m2.

a) Expresa la razón entre ambas medidas.

b) ¿ Cuántas veces es más grande el hogar de Elvira que el de Juan?

5.- Encuentra el término que falta en cada proporción:

a) b) c) d)

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6.- María juega al baloncesto y encesta 2 de cada 3 intentos:

a) Escribe la razón que representa sus aciertos respecto del total de lanzamientos.

b) ¿ Cuántas veces debe lanzar a canasta para encestar 15 lanzamientos?

c) ¿ Cuántos puntos hará con 24 lanzamientos, si todos son de 2 puntos?

7.- En una empresa hay trabajando 7 hombres por cada 3 mujeres.

a) Escribe la razón que expresa el número de mujeres que trabajan en esa empresa con respecto al total de empleados.

b) Escribe la razón que expresa el número de hombres que trabajan en la empresa con respecto al número de mujeres.

c) Si sabemos que la empresa tiene trabajando a 36 mujeres, ¿ cuál es el número total de empleados?

8.- Alberto y Elena han preparado dos dulces en su casa: el primer dulce está elaborado con 1 kg de harina y 0’5 kg de azúcar. El segundo dulce está hecho con 1,5 kg de harina y 600 gr de azúcar.

a) Expresa la razón entre la cantidad de azúcar y la de harina para cada dulce.

b) A partir de la interpretación de las razones anteriores, deduce cuál de los dos dulces está más azucarado, es “más dulce”.

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MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda también multiplicada o dividida por el mismo número.

La siguiente tabla nos indica las kilocalorías que contienen los macarrones, en función de su cantidad de masa ( medida en gramos):

Kcal 718 1077 ….. 1795

Gramos 200 300 ….. 500

¿ Son ambas magnitudes directamente proporcionales?¿Puedes indicar razonadamente por qué?

Para contestar ambas preguntas necesitamos el siguiente resultado, que nos permitirá caracterizar las magnitudes directamente proporcionales:

Magnitud 1 a1 a2 a3

Magnitud 2 b1 b2 c3

Las magnitudes 1 y 2 son directamente proporcionales si a1 / b1 = a2 / b2 = a3 / b3 = k, donde k es una constante que llamaremos constante de proporcionalidad.

Comprueba en la tabla de las kilocalorías de los macarrones si las dos magnitudes, kcal y masa, son directamente proporcionales. En caso afirmativo, indica cuál es la constante de proporcionalidad.

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1.- En un supermercado, hemos encontrado una oferta 3x2 en botes de tomate:

llévese tres y pague dos. Una unidad de ese bote de tomate cuesta 0’80 €. Completa la siguiente tabla:

Nº de botes 1 2 3 6 7 8

Precio bote

2.- Una ensalada tailandesa para 4 personas, necesita 100 gramos de rabanitos. Calcula cuántos gramos serán necesarios para :

a) 6 personas b) 8 personas c) 10 personas

3.- Para la pintura, los colores básicos son el rojo, el azul y el amarillo, además del blanco y el negro. A partir de combinaciones entre ellos se pueden obtener todos los demás. De forma orientativa las proporciones que se deben respetar para obtener algunos colores son:

Verde: 1 parte de azul y 1 de amarillo Naranja: 1 parte de rojo y 2 de amarilloCalcula las cantidades de cada color que necesitaremos para conseguir:

a) 1 kg de pintura verde b) 6 kg de pintura naranja

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4.- Si una compañía de telecomunicaciones cobra 10 céntimos por establecimiento de llamada y 6 céntimos por minuto hablado, completa la siguiente tabla:

Minutos 1 2 10

Coste llamada 34 100

¿Son las magnitudes “minutos” y “coste de la llamada” directamente proporcionales?¿Por qué?

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

La información nutricional que podemos encontrar en un brik de leche entera es la siguiente:

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Si para desayunar tomo 200 ml de leche, ¿ puedes calcular su valor energético?Este tipo de problemas relaciona dos variables: volumen de leche ( medido en ml) y su valor energético (medido en kcal). Estas variables son directamente proporcionales y el conocimiento de su relación nos permite calcular una de ellas a partir de la otra.Para ello vamos a utilizar dos métodos: reducción a la unidad y regla de tres.

REDUCCIÓN A LA UNIDAD

Si queremos resolver el problema anterior por este método debemos tener en cuenta que queremos calcular el valor energético de 200 ml de leche entera. Para poder calcularlo necesitamos primero saber el valor energético de 1 ml y luego multiplicarlo por los 200 ml totales:

Valor energético de 1 ml de leche entera → 63 : 100 = 0,63 kcal Valor energético de 200 ml de leche entera → 0,63 ∙ 200 = 126 kcal

REGLA DE TRES

Ahora queremos conocer la cantidad de proteínas que contienen 200 ml de leche entera. Para ello utilizaremos el método de la regla de tres. Este método equivale al planteamiento de proporciones. Para ello expresaremos la proporción entre la razón formada por dos cantidades de una de las magnitudes y la razón formada por otras dos cantidades de la otra magnitud, teniendo en cuenta que una de esas cantidades es desconocida y la llamaremos x. Luego adaptaremos esa proporción a una nueva notación y resolveremos el problema.

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Entonces:

IMPORTANTE: hemos aplicado una propiedad muy importante de las proporciones que nos dice que el producto de medios es igual al producto de extremos.

1.- Calcula los hidratos de carbono, los azúcares y las grasas saturadas que contienen 250 ml de leche entera ( información nutricional al inicio del tema)

2.- Un coche consume 39,5 litros de gasolina en 730 km. ¿Qué cantidad de gasolina consumirá en 650 km?

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3.- Un kilo de filetes de pollo está a 8,50 €. Calcula cuánto costarán 750 gramos de filetes de pollo.

4.- Hemos comprado 350 gramos de jamón de york y nos han costado 4,57 €. Calcula el precio del kilo de jamón de york.

5.- Un coche ha tardado 30 minutos en recorrer 46 km. Calcula el tiempo que tardaría en recorrer a esa velocidad 250 km.

6.- Hemos llenado un cubo de agua de 20 litros de capacidad en 45 segundos. Si mantenemos el mismo caudal del grifo, calcula cuánto tardaría en llenar un tonel de 70 litros.

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7.- En un plano a escala, la distancia entre dos ciudades es de 12 cm. Sabemos que dichas ciudades distan entre sí 75 km. ¿Qué distancia separa a dos ciudades que en el plano distan entre sí 7 cm?

8.- Dos entradas a un partido de fútbol han costado 86 €. ¿ Cuánto costarán 5 entradas?

9.- En un comedor escolar 150 alumnos han consumido 1100 kg de fruta. ¿Qué cantidad de fruta consume cada alumno? ¿Qué cantidad de fruta consumirían 70 alumnos?

10.- Hemos llenado 22 vasos de agua con 4 jarras. ¿ Cuántos vasos de agua iguales a los anteriores llenaríamos con 5 jarras?

11.- He comprado un paquete de 1000 sobres de azúcar en monodosis de 10 gramos.

Me ha costado 19’29 €. ¿ Cuál es el coste de cada sobre? Si cada sobre pesa 8 gramos, ¿cuánto pesarían 250 sobres?

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12.- Calcula los ingredientes necesarios para elaborar una tarta de cumpleaños como la del inicio del tema de proporcionalidad, para 10 personas.

13.- Resuelve el problema de los botes de pintura del inicio de tema.

14.- Una persona recorre 8 metros en 10 pasos aproximadamente. ¿ Cuántos pasos dará en 1’5 km? ¿ Cuántos kilómetros recorrerá con 100000 pasos?

15.- Un pack de 24 latas de 33 cl de un refresco cuesta 12’09 €. ¿ Cuánto nos cuesta cada lata?

PORCENTAJES

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Usualmente podemos encontrar mucha información en forma de porcentaje.

Rebajas, IPC, aumentos de salarios, aumento de costes, tasa de paro,....

Vivimos rodeados de información en forma de porcentajes

Un porcentaje en tanto por ciento ( % ) es una razón que indica las unidades porcada cien.

Quiero comprar un equipo de cine para el salón de mi casa. He ido a unos grandes almacenes y me he decidido por uno que tenía un precio de 346 €.Pero estaba rebajado un 40 %. ¿ Qué precio final debería pagar?

El problema anterior es un ejemplo típico de aplicación de tanto por ciento.

Un 40 % significa 40 por cada 100.

Podemos escribirlo en forma de razón :

Por tanto, una rebaja del 40 % nos indica que un artículo de 100 € está rebajado en 40

€ y deberíamos abonar por él : 100 - 40 = 60 €.

Pero qué sucede si el artículo no cuesta 100 €, sino por ejemplo 346 €. La respuesta es sencilla: debe guardar la misma proporción.Entonces, si aplicamos lo anterior al problema inicial del equipo de cine:

Observa que el 40 % de 346 se calcula como :

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1.- Escribe en forma de porcentaje las siguientes informaciones:

a) Tres de cada 4 accidentes de tráfico están relacionados con el exceso de velocidad.

b) De cada 10 jóvenes, seis afirman haber probado el tabaco.

c) Cuatro de cada cinco ofertas de trabajo requieren un determinado conocimiento de inglés.

d) Dos de cada seis varones afirman no ayudar suficiente en las tareas domésticas.

e) Siete de cada 10 trabajadores tienen turno de mañana.

2.- Escribe en forma de % las siguientes razones:

3.- Calcula:

a) 15 % de 90 b) 20 % de 60 c) 10 % de 75

d) 40 % de 120 e) 50 % de 98 f) 60 % de 130

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g) 30 % de 250 h) 70 % de 300 i) 75 % de 120

5.- Sombrea en cada figura el % indicado:

a) 25 % b) 20 % c) 50 %

d) 75 % e) 80 % f) 60 %

6.- El 75 % de las personas que asisten a un evento deportivo con capacidad para 45 mil personas han pagado su entrada. El resto ha asistido invitada. Calcula cuántas personas asistieron pagando y cuántas invitadas.

7.- Una familia con unos ingresos mensuales de 3500 € destina el 25 % al pago de la mensualidad de una hipoteca, el 30 % a la cesta de la compra, el 20 % a la compra de ropa y el resto a pagos varios ( luz, gas,...) y ahorro. Calcula qué gasta esta familia en cada concepto.

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8.- Este mes, Juan ha obtenido unos ingresos de 2200 €, de los cuales el 70 % corresponden a una parte fija y el resto a ingresos variables. Calcula la cantidad correspondiente a la parte variable.

9.- Si dejo 3500 € en un depósito bancario al 2 % anual, ¿ qué cantidad de dinero tendré al acabar el año?

10.- He comprado un reloj por 192 €. El precio original era de 240 €. Calcula el tanto por ciento de rebaja que me han hecho.

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11.- Un hotel tiene 80 habitaciones dobles y 30 habitaciones sencillas. Sabemos que tiene ocupadas 60 habitaciones dobles y 25 habitaciones sencillas.

a) Indica el porcentaje de habitaciones dobles sobre el total.

b) Calcula el número de clientes que tiene ahora el hotel.

12.- En un instituto hay 650 alumnos/as, de los cuales 350 son chicas. Calcula el porcentaje de alumnas que tiene dicho instituto.

113.- El actual líder en lanzamientos de tiro de 2 de la liga ACB tiene unas estadísticas de 402 tiros acertados de 705 intentos. Calcula el porcentaje de aciertos que tiene dicho equipo en tiros de 2.

14.- A una oposición del Ayuntamiento se han presentado 2000 personas. El 20 % pasa la primera parte de la oposición y sólo el 12 % aprobaron la segunda y última prueba. Calcula:

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a) ¿Cuántas personas aprobaron la primera prueba?

b) ¿Cuántas personas aprobaron la oposición?

15.- Los resultados del último examen de matemáticas de una clase de 2º ESO han sido:

a) Calcula el número total de alumnos que realizaron el examen.

b) Calcula el porcentaje de alumnos que suspendieron el examen.

c) Calcula el porcentaje de alumnos que no suspendieron el examen.

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d) Calcula el porcentaje de alumnos que sacaron más de un BIEN en el examen.

16.- En una factura figura el importe que se va a cobrar por un servicio: 120 €. Además podemos ver el porcentaje de descuento que me harán por ser un cliente asiduo, el 15 %.Por último, debe figurar el IVA que me aplican, en este caso del 21 %.Calcula:

a) La cantidad que me descuentan.

b) El importe final de la factura.

17.- El café verde pierde el 20 % de su peso al ser tostado. Calcula la cantidad de café que necesito para obtener 10 kg de café tostado.

18.- Da cada litro de leche natural de vaca podemos obtener 40 ml de mantequilla. Calcula:

a) Porcentaje de mantequilla que se obtiene de la leche de vaca.

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b) ¿ Cuánta mantequilla podemos obtener de 1000 litros de leche.

c) ¿ Cuántos litros de leche necesitamos para fabricar 100 kg de mantequilla?

19.- En el año 2001 el consumo de papel mundial superó los 323 millones de toneladas. En 2003 se necesitaron en el mundo 5.858.000 m3 de madera para fabricar papel.En España, durante el año 2002, se consumieron 170 kg de papel de escribir por habitante.En Europa, entre el 30 y 40 % de los residuos sólidos son papel y cartón.

En España, se recoge para reciclaje unos 84 kg de papel por habitante y año.

a) En España, en 2002, había 39.584.533 habitantes. Calcula el consumo total de papel.

b) ¿ Cuántos kilogramos en residuos sólidos generó el anterior consumo de papel?

c) ¿ Cuál es el porcentaje de papel que se recoge para reciclaje? ¿Qué cantidad anual se recoge de papel para reciclar?

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20.- El vellón obtenido de las ovejas de raza merina tienen un rendimiento aproximado del 80 %.El vellón de cada oveja pesa aproximadamente entre 4 y 5 kg.Calcula cuántas ovejas hay que esquilar para obtener 1 tonelada de lana de oveja merina.

21.- Un socio de un negocio posee el 20 % del total de las acciones. Si al final el año el

negocio tiene unos beneficios de 125000 €, ¿qué cantidad le corresponde?

22.- Una máquina que fabrica tornillos produce un 3% defectuosos. Hoy ha fabricado 140000 tornillos. ¿Cuántos cabe esperar que sean defectuosos?

23.- Inés pagaba el año pasado 540 € por el alquiler de su vivienda. Este año le han subido el alquiler un 5 %. ¿Cuál es la cantidad mensual que paga ahora?

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24. Una ciudad tuvo el año pasado un total de 340000 turistas. Este año ha descendido el número de visitantes a 300000. ¿Cúal es el porcentaje de bajada?

Recuperación de Matemáticas 1º ESO por Francisco Javier García, Juan José López, Alicia Marín y Olga Pereda se distribuye bajo una licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 3.0.Elaborado durante el curso 2013-2014.

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