7.4.1 Leslie-W urfel ****** 1 Motivation 2 Experiment · 2018-11-13 · V070401 Leslie-W urfel Man stellt mit Erstaunen fest, dass die mattierte Alumininium- und auch die weisse Ober

V070401 Leslie-Wurfel

7.4.1 Leslie-Wurfel ******

1 Motivation

Dieses Experiment verdeutlicht das Kirchhoffsche Gesetz auf ausserst anschauliche Weise. Eswird die Warmestrahlung eines mit kochend heissem Wasser gefullten Wurfels gemessen, dervier unterschiedliche senkrechte Oberflachen aufweist.

2 Experiment

Abbildung 1: Versuchsanordnung”Leslie-Wurfel“

Ein Hohlwurfel mit vier unterschiedlichen Seitenflachen wird mit kochend heissem Wasser gefullt(siehe Abb. 1). Die Warmestrahlung wird mit einer hochempfindlichen Thermosaule gemessen,die auf einer aktiven Flache von 2×2 mm2 100 Thermoelemente enthalt, welche bei Erwarmungeine elektrische Spannung erzeugen, die auf einem PC angezeigt wird. Man misst einige Sekundenlang die Abstrahlung und dreht dann den Wurfel 90 um seine senkrechte Symmetrieachse zurnachste Oberflache.

Es gilt:

A+R = 1 (1)

Physikdepartement ETH Zurich

1


Abbildung 2: Gemessener Absorptionsgrad A verschiedener Oberflachen.

Dabei bedeuten A den Absorptionsgrad1 und R den Reflexionsgrad; beide Grossen sind dimen-sionslos.

Das Kirchhoffsche Gesetz lautet (siehe auch Gl. (32):

Etots (T ) = AσT 4 , (2)

wobei Etots die uber alle Wellenlange integrierte und bei der Temperatur T abgestrahlte Leistung

und σ die Stefan-Boltzmann-Konstante bedeuten. Fur einen Schwarzen Strahler gilt

A = 1 und R = 0 (3)

Tabelle 1: Oberflachen des Wurfels

Nr. Art A R Nr. Art A R

1 schwarz ≈ 1 ≈ 0 3 weiss ≈ 1 ≈ 0

2 Al, matt ≈ 1 ≈ 0 4 Cr, poliert ≈ 0 ≈ 1

Physikdepartement ETH Zurich1wird auch mit ε bezeichnet

2


Man stellt mit Erstaunen fest, dass die mattierte Alumininium- und auch die weisse Oberflacheim Warmestrahlungsbereich sich beinahe wie ein schwarzer Korper verhalten!

3 Theorie

3.1 Warmestrahlung

Die meisten Korper sind fur uns sichtbar, weil an ihnen das Licht reflektiert wird. Wir bemerken:

Bei genugend hohen Temperaturen leuchten Korper von selbst: sie gluhen. Man spricht dabei

von Warmestrahlung.

Bei kurzem Aufenthalt in der Nahe von gluhenden Korpern bemerkt man, dass auch ein nichtgeringer Anteil der Strahlung als infrarote Strahlung emittiert wird.

Jeder Korper emittiert nicht nur Warmestrahlung, sondern er absorbiert sie auch aus seiner

Umgebung.

Wenn der Korper warmer als seine Umgebung ist, so emittiert er mehr Strahlung als er absor-biert. Deshalb kuhlt er sich ab.

Wenn der Korper kalter als seine Umgebung ist, so absorbiert er mehr Strahlung als er emittiert.Deshalb erwarmt er sich.

Die Temperatur des Korpers andert sich, bis er mit seiner Umgebung ein thermisches Gleich-gewicht erreicht. Darunter versteht man den Zustand, bei dem die Absorption und die Emissionder Warmestrahlung gleich gross sind.

3.2 Eigenschaften der Warmestrahlung

Das Spektrum der Warmestrahlung eines Festkorpers ist kontinuierlich und hangt stark von

der Temperatur des Korpers ab.

Die Strahlungsintensitat (Energie pro Flache und Zeit) hangt auch vom Material, von der Formund im allgemeinen von den Eigenschaften seiner Oberflache ab.

3.3 Gesetze der Warmestrahlung

3.3.1 Emissions- und Absorptionsvermogen

Bei der Warmestrahlung handelt es sich um elektromagnetische Wellen, die sich im Vakuumund in (mehr oder weniger) transparenten Medien fortpflanzen. Zwischen Wellenlange λ undFrequenz ν gilt damit die folgende Beziehung2:

λν = c (4)

Fur die Beschreibung der Warmestrahlung verwendet man Energiedichten, man bezieht alsodie emittierte Energie auf andere physikalische Grossen, die fur die Emission wichtig sind:


2Meist konnen wir die Tatsache, dass der Brechungsindex n nicht exakt gleich 1 ist, vernachlassigen.

3


• Das spektrale Emissionsvermogen EM,ν(ν, T ) (Einheit W/(m2 Hz)) ist eine 4-fachdifferentielle Grosse. Sie gibt die von der Flache dA (2 Freiheitsgrade!) eines beliebigenKorpers (Material M) in der Zeit dt im Frequenzbereich dν in den Halbraum (also inden Raumwinkel Ω = 2π sr) ausgestrahlte Energie d4W an3:

EM,ν(ν, T ) ≡ d4W

dAdtdν(5)

⇒ d4W = EM,ν(ν, T ) · dAdt dν (6)

• Das totale Emissionsvermogen EtotM (T ) ist eine 3-fach differentielle Grosse (Einheit

W/m2), die man aus dem spektralen Emissionsvermogen durch Integration uber alle Fre-quenzen erhalt:

EtotM (T ) ≡ d3W

dAdt=

∞∫0

EM,ν(ν, T ) dν (7)

• Das (dimensionslose) spektrale Absorptionsvermogen AM(ν, T ) gibt das Verhaltnisvon absorbierter zu eingestrahlter Energie eines Korpers aus dem Material M bei derFrequenz ν und der Oberflachentemperatur T wieder. Aus dieser Definition folgt

0 ≤ AM(ν, T ) ≤ 1 (8)

Offensichtlich erhalt man die gesamte von einem Korper mit der Oberflache A im Zeitintervall∆t abgestrahlte Energie durch die Integration uber die Oberflache des Korpers und uber dieZeit:

W =

∆t∫0

∫A

d3W

dAdtdAdt (9)

Ein Korper wird in der Physik als schwarz bezeichnet, falls fur alle Frequenzen ν gilt:

AM(ν, T ) = 1 (10)

Uber das Gesetz von Kirchhoff (siehe Gl. 31) hangt auch das Spektrum der emittierten Warme-strahlung nur von der Temperatur des Strahlers ab. Dieser ideale Strahler kann im Labor nahe-rungsweise durch einen Hohlraum mit einem kleinen Loch verwirklicht werden. Die Wandedes Hohlraums werden auf gleicher Temperatur gehalten (Siehe Abb. 3).

(In guter Naherung ist auch die Sonne ein schwarzer Korper: Jeder einfallende Lichtstrahl wirdabsorbiert.)


3Zur besseren Unterscheidung vom Emissionsvermogen werden wir in diesem Abschnitt die Energie mit Wbezeichnen.

4

V070401 Leslie-WurfelPhysik II, Prof. W. Fetscher, FS 2008 1

Hohlraum derTemperatur T

Warmestrahlung

Abbildung 6.1: Hohlraumstrahlung.Abbildung 3: Hohlraumstrahlung.

3.3.2 Strahlungsgesetz von Rayleigh-Jeans

Historisch war das Spektrum der Warmestrahlung ein Ratsel der Physik. Ende des 19. Jahrhun-derts suchte man eine Herleitung aus Grundprinzipien, die die experimentelle Spektralverteilungder Warmestrahlung erklart.

Eine”klassische“ Herleitung, die ursprungllich auf Lord Rayleigh4 zuruckging und spater durch

Jeans5 modifiziert wurde, lieferte das sogenannte Strahlungsgesetz von Rayleigh-Jeans:

Es,λ(λ, T ) =2πc

λ4kT Rayleigh-Jeans , (11)

wobei k eine neue Konstante, die Boltzmannkonstante ist. T ist die Temperatur. Wir bemer-ken, dass die Einheit der Boltzmannkonstante gleich

[k] =

[λ4 · Es,λ(λ, T )

2πcT

]=

m4 · J

s ·m3

m

s·K

=J

K(12)

ist. D.h., die Einheit der Konstante ist eine Energie geteilt durch eine Temperatur. Mit Hil-fe dieser Konstanten kann daher eine Temperatur T in eine Grosse mit der Einheit Energieumgewandelt werden.

Die Rayleigh-Jeans-Formel enthielt ein grosses Problem, das als Ultraviolett-Katastrophebezeichnet wird. Tatsachlich hangt die vorausgesagte spektrale Ausstrahlung vom Inversen dervierten Potenz der Wellenlange ab. Obwohl die Formel in guter Ubereinstimmung ist mit den

Physikdepartement ETH Zurich4John William Strutt Lord Rayleigh (1842-1919)5Sir James Hopwood Jeans (1877-1946)

5


λ/µm

Es,λ MWm2 µm

100

80

60

40

20

00 1 2 3 4 5

Rayleigh-Jeans

Planck

T = 6000 K

Abbildung 6.1: Spektrales Emissionsvermogen des Schwarzen Korpers nachRayleigh-Jeans und nach Planck.

Abbildung 4: Spektrales Emissionsvermogen des Schwarzen Korpers nach Rayleigh-Jeans undnach Planck.

experimentellen Resultaten bei Wellenlangen, die grosser als ungefahr 3 000 nm sind, geht dievorausgesagte Austrahlung nach Unendlich fur abnehmende Wellenlangen, d.h., fur die hohenFrequenzen. Deshalb wird das Problem als Ultraviolett-Katastrophe bezeichnet. Siehe Abb. 4.

3.3.3 Plancksche Strahlungsformel

Max Planck6 (siehe Abb. 5) konnte zunachst empirisch die richtige Formel fur die Strahlung desSchwarzen Korpers finden. Nur wenig spater fand er auch mithilfe der statistischen Mechanikvon Ludwig Boltzmann die theoretische Herleitung fur sein Strahlungsgesetz.

Plancksche Strahlungsformel: Das spektrale Emissionsvermogen eines schwarzen Korpersbetragt:

Es,ν(ν, T ) =2π h

c2

ν3

ehνkT − 1

Planck (13)

Wie lautet nun dieses Gesetz, wenn wir statt nach Es,ν(ν, T ) nach der Verteilung Es,λ(λ, T )bezuglich der Wellenlange λ fragen? Bei einer Dichteverteilung genugt es nicht, einfach jedesin der Formel auftretende ν durch c/λ zu ersetzen, wovon man sich schon durch eine einfacheDimensionsuberlegung uberzeugen kann: Die Einheit von Eλs (λ, T ) ist namlich

[Es,λ(λ, T )] =W

m3(14)

statt W/(m2 Hz).


6Max Planck (1858 - 1947)

6


Abbildung 6.1: Max Planck.Abbildung 5: Max Planck.

Wir erhalten die richtige Beziehung durch Erweiterung der Gl. 13:

Es,λ(λ, T ) ≡ d4W

dAdtdλ

=d4W

dAdtdν·∣∣∣∣dνdλ

∣∣∣∣ ≡ Eνs (ν, T ) ·∣∣∣∣dνdλ

∣∣∣∣ (15)

Da die abgestrahlte Energie stets positiv oder null ist, muss man hier den Absolutbetrag der Ab-leitung dν/dλ verwenden. Aus der folgenden Gleichung ersieht man namlich, dass eine Zunahmeder Frequenz einer Abnahme der Wellenlange entspricht, was ohne das Betragszeichen in Gl. 15bei einer Abstrahlung in der Frequenzdarstellung zu einer Zustrahlung in der Wellenlangendar-stellung fuhren wurde!

Ausdν

dλ= − c

λ2(16)

folgt

Es,λ(λ, T ) =2π hc2

λ5

1

ehcλkT − 1

(17)

Siehe Abbn. 4 und 6.

Mit dem Planckschen Strahlungsgesetz beginnt die moderne Physik. Es tritt eine neue Konstan-te, das Plancksche Wirkungsquantum auf:

h = 6,6262 · 10−34 J · s

~ :=h

2π= 1,0546 · 10−34 J · s = 6,5822 · 10−16 eV · s

(18)


7


λ/µm

Es,λ MWm2 µm

100

80

60

40

20

00 1 2 3 4 5

6000

5000

4000

3000

T/K =

Abbildung 6.1: Spektrales Emissionsvermogen des Schwarzen Korpers und nachPlanck fur verschiedene Temperaturen T .

Abbildung 6: Spektrales Emissionsvermogen des Schwarzen Korpers nach Planck fur verschie-dene Temperaturen T .

Das Plancksche Strahlungsgesetz kann nicht aus der klassischen Physik abgeleitet werden; manbenotigt dazu die Tatsache, dass das Licht und die Warmestrahlung, uberhaupt alle elektro-magnetischen Wellen auch Teilchencharakter haben. Diese Lichtquanten oder Photonen sinddurch die folgenden Grossen charakterisiert:

• Ihre Masse ist verschwindend klein7.mγ = 0 (19)

• Energie Wγ , Frequenz ν und Wellenlange λ sind wie folgt verknupft:

Wγ = pγ c = h ν = ~ω =hc

λ(20)

• Die Photonen sind stabil (im Vakuum), tragen keine elektrische Ladung(qγ < 2 · 10−32 e), haben aber einen Eigendrehimpuls oder Spin von (1 · ~).

3.3.4 Das Wiensche Verschiebungsgesetz

Man beobachtet experimentell, dass die Wellenlange λmax, fur die die Spektralverteilungsfunk-tion ein Maximum hat, mit steigender Temperatur abnimmt. Wien8 zeigte, dass das Produktλmax T eine Konstante ist. Man misst:

λmax T = 2 898 µm ·K (21)

Physikdepartement ETH Zurich7Die heute bekannte Grenze betragt: mγ c

2 < 6 · 10−17 eV.8Wilhelm Wien (1864-1928)

8


Tabelle 2: Oberflachentemperatur und Wellenlange im Maximum der Strahlungsemission fureinige Sterne

Stern λmax/nm Farbe T/K

Sonne: 500 (Gelb) 5 800

Sirius: 240 (Blauweiss) 12 000

Beteigeuze: 850 (Rot) 3 400

Diese Beziehung wird als Wiensches Verschiebungsgesetz bezeichnet. Es sagt voraus, dassdie Wellenlange des Maximums zum Inversen der Temperatur proportional ist. Dieses Maximumder Ausstrahlung folgt aus der Forderung

dEs,λ(λ, T )

dλ:= 0 (22)

⇒ λmax =2 896µm ·K

T(23)

Beispiel: Welche Temperatur besitzen die Oberflachen von Sternen?

Der grosste Teil der Strahlung, die ein Stern emittiert, ist in einem ungefahren thermischenGleichgewicht mit den heissen Gasen aus den ausseren Schichten des Sterns. Daher kann dieWarmestrahlung (d.h., das Sternenlicht) als Hohlraumstrahlung betrachtet werden. Man misstexperimentell die Wellenlangen, fur die die Spektralverteilungsfunktion ein Maximum annimmt(siehe Tabelle 2).

Die Sterne erscheinen nicht so farbig, weil die Farbempfindlichkeit unserer Augen in der Damme-rung nur gering ist (

”Nachts sind alle Katzen grau“).

Die Temperaturen haben wir mithilfe des Wienschen Verschiebungsgesetz erhalten, z. B.:

T =2 898µm ·K

500 · 10−3 µm≈ 5 800 K (24)

Mit 5800 K besitzt die Sonnenoberflache ungefahr die Temperatur, fur die der grosste Teilder Warmestrahlung im sichtbaren Bereich liegt. Dies lasst vermuten, dass sich unsere Augenwahrend der Evolution mit ihrer Empfindlichkeit den Wellenlangen angepasst hat, die in derSonnenstrahlung mit der hochsten Intensitat emittiert werden.

3.3.5 Gesetz von Stefan-Boltzmann

Gesetz von Stefan9-Boltzmann10: Die Gesamtabstrahlung eines schwarzen Korpers erhal-ten wir durch Integration des spektralen Emissionsvermogens uber alle Frequenzen (oder Wel-lenlangen):

Etots (T ) =

∞∫0

Es,ν(ν, T ) dν = σ T 4 (25)

Physikdepartement ETH Zurich9Josef Stefan (1835-1893)

10Ludwig Boltzmann (1844-1906)

9


mit

σ =π2 k4

60~3c2= 5,671 · 10−8 W m−2 K−4 (26)

Beispiel: Wir berechnen die von einem nackten Menschen in einen Raum mit einer Tempera-tur von 20 C abgestrahlte Warmeleistung. Die Haut wird als ein (idealer) schwarzer Strahlerbetrachtet, hat eine Flache von 1,4 m2 und eine Temperatur von 33 C (sie ist etwas niedrigerals die Korpertemperatur):

T = 306 K und T0 = 293 K (27)

Damit ist

Snetto = σ(T 4 − T 4

0

)= 1 ·

(5,7 · 10−8 W

m2 ·K4

)(306 K)4 − (293 K)4

≈ 80 W/m2 (28)

Fur die gesamte von der Oberflache abgestrahlte Leistung P erhalten wir demnach:

Pnetto = 1,4 m2 · 80W

m2≈ 110 W (29)

Diese Leistung entspricht einer abgestrahlten Energie pro Tag von:

E = 110J

s· 86 400 s ≈ 9,6 MJ (30)

oder 2300 kcal pro Tag. Das ist eine recht grosse Energieabgabe. In der Praxis vermindern wirdiesen grossen Energieverlust mit unserer Kleidung!

3.3.5 Gesetz von Kirchhoff

Das Kirchhoffsche Gesetz verknupft das Emissionsvermogen und das Absorptionsvermogeneines beliebigen Korpers mit der Ausstrahlung des Schwarzen Korpers:

EM,ν(ν, T )

AM,ν(ν, T )= Es(ν, T ) (31)

Die Warmestrahlung”realer Korper“ ist stets kleiner als die des Hohlraumstrahlers (d.h., des

schwarzen Korpers) und wird empirisch so ausgedruckt:

Etots (T ) := S(T ) = εσT 4 , (32)

wobei ε eine dimensionslose Konstante ist, die als der Emissionsgrad des Korpers bezeichnetwird. Fur den idealisierten Fall ist ε = 1 (Strahlung schwarzer Korper), und fur die realenKorper ist er immer kleiner als eins und oft temperaturabhangig. Der Emissionsgrad kann nichtberechnet werden, sondern wird fur vorgegebene Korper gemessen. Die Nettowarmestrahlungeines Korpers mit der Temperatur T ist bei der Umgebungstemperatur T0 gleich


10


Snetto = Semittiert − Sabsorbiert = εσT 4 − εσT 40

= εσ(T 4 − T 4

0

) (33)

Abbildung 7 zeigt noch eine Ubersicht uber das gesamte Spektrum der elektromagnetischenWellen.

Bemerkung: Der Emissionsgrad hangt vom Material ab.

Reale Materialen emittieren und absorbieren weniger als der idealisierte Hohlraum. Diese Eigen-schaft wird mit Hilfe des Emissionsgrads parametrisiert. Man kann z.B. den Schnee erwahnen.Der Schnee besitzt einen kleinen Emissionsgrad. Damit schmilzt der Schnee in den Bergen lang-sam, obwohl die Sonne sehr hell sein kann. Er reflektiert die Strahlung sehr gut. Dies erklart,warum man in den Bergen leicht braunt: Der Schnee wirkt als ein Spiegel und reflektiert dasLicht in alle Richtungen.


11

V070401 Leslie-Wurfel338 Physik, FS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zurich)

1ZHz

1021

1EHz

1018

1PHz

1015

1THz

1012

1GHz

109

1MHz

106

1kHz

103

1fm

10−15

1pm

10−12

1nm

10−9

1µm

10−6

1mm

10−3

1m 100

1km

103

1Mm

106

1GeV

109

1MeV

106

1keV

103

1eV 10

0

1meV

10−3

1µeV

10−6

1neV

10−9

1peV

10−12

λ/m

ν/H

z

E/eV

Abbildung 10.41: Das elektromagnetische Spektrum in Funktion der Wel-lenlange λ, der Frequenz ν und der Energie E.

Abbildung 7: Das elektromagnetische Spektrum.


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