748.электродинамика и распространение радиоволн учебное пособие

Л.А. Потапов

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ

РАДИОВОЛН

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Брянск

ИЗДАТЕЛЬСТВО БГТУ

2009

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Брянский государственный технический университет

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ББК 31.21

Потапов, Л.А. Электродинамика и распространение

радиоволн: учеб. пособие/ Л.А.Потапов. – Брянск: БГТУ,

2009. – 200 с.

ISBN-5-89838-459-6

Излагаются теоретические сведения по электродинамике и рас-

пространению радиоволн. Рассматриваются конструкции, основные

уравнения и способы возбуждения волноводов, резонаторов, излуча-

телей. Приводятся особенности распространения радиоволн различ-

ных частот в земных условиях, тропосфере и ионосфере.

Учебное пособие предназначено для студентов очной формы

обучения специальности 210304 «Радиоэлектронные системы», а

также может быть использовано студентами других электротехниче-

ских специальностей.

Ил. 99. Табл 2. Библиогр.– 8 назв.

Научный редактор Н.А. Кривоногов

Рецензенты: кафедра «Энергетика и автоматизация производст-

венных процессов» Брянской государственной

инженерно-технологической академии;

кандидат технических наук Н. И.Ушев

Редактор издательства Л.Н. Мажугина

Компьютерный набор Н.А. Синицына

Темплан 2009г., п.67

Подписано в печать 25.11.09 Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Офсетная

печать. Усл. печ.л. 11,62. Уч.-изд.л. 11,62. Тираж 140 экз. Заказ

Издательство Брянского государственного технического университета

241035, г. Брянск, бульвар им. 50-летия Октября, 7, тел. 58-82-49

Лаборатория оперативной полиграфии БГТУ, ул. Институтская, 16

ISBN-5-89838-459-6 © Брянский государственный

технический университет, 2009


ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие предназначено для изучения теоретической

части дисциплины «Электродинамика и распространение радиоволн»

и соответствует требованиям Государственного образовательного

стандарта специальности 210304 «Радиоэлектронные системы».

В учебном пособии рассмотрены основные уравнения электро-

динамики, особенности возбуждения и распространения радиоволн,

модели и методы расчета радиотрасс.

Для лучшего усвоения понятий и терминов, характеризующих

электромагнитное поле, общие сведения о макроскопической элек-

тродинамике, электростатическом, магнитном и электрическом поле

постоянных токов вынесены в отдельные главы, приведены примеры,

в конце каждой главы даны вопросы для самопроверки.

Для переменного электромагнитного поля получены уравнения

Максвелла и Гельмгольца в комплексной форме, рассмотрены осо-

бенности распространения, отражения и преломления плоских волн,

образования Е-, Н-, Т-волн в направляющих системах, возбуждения и

распространения радиоволн. При этом более подробно рассмотрено

распространение радиоволн в свободном пространстве, вблизи по-

верхности Земли, тропосфере и ионосфере.

В учебном пособии больше внимания уделено физической ин-

терпретации явлений электромагнетизма. С целью уменьшения объе-

ма учебного пособия исключены подробные выводы отдельных урав-

нений. Эти выводы студент при необходимости может найти в лите-

ратуре, перечень которой приведен в конце пособия.

В приложении приведены уравнения векторного анализа в сфе-

рической и цилиндрической системе координат и рассмотрены осо-

бенности электромагнитных волн в анизотропных средах. Эта тема

рекомендуется студентам для самостоятельного изучения.

Учебное пособие предназначено для студентов очной формы

обучения специальности 210304 «Радиоэлектронные системы», а

также может быть использовано студентами других электротехниче-

ских специальностей.


4

ГЛАВА1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ

ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

Электродинамика расширяет физические представления о мно-

гих явлениях, известных из курса физики, способствует более глубо-

кому пониманию процессов, происходящих в электротехнических

установках. В отличие от теории электрических цепей, где использу-

ются интегральные величины (ток, напряжение, поток и др.), в ней

используются величины, характеризующие поле в каждой точке про-

странства (плотность тока, напряженность и индукция поля и др.).

1.1. Векторы электромагнитного поля

Под электромагнитным полем понимается особая форма суще-

ствования материи, характеризующаяся способностью распростра-

няться в вакууме со скоростью 3∙108 м/с и оказывающая силовое воз-

действие на заряженные частицы.

Электромагнитное поле представляет собой совокупность полей

– электрического (векторы DE, ) и магнитного (векторы BH , ),

находящихся во взаимной зависимости.

Для обнаружения электромагнитного поля используются много-

численные электромагнитные явления, в основе которых лежат раз-

личные превращения энергии поля. Лишь в некоторых специальных

случаях (например, видимый свет) электромагнитное поле непосред-

ственно воздействует на органы чувств человека.

Напряженность электрического поля E измеряется силой, дей-

ствующей в статическом поле на неподвижный единичный точечный

заряд, т.е. на достаточно малое тело, заряд которого в используемой

системе единиц равен +1.

.lim0 м

В

q

FE

q

Под действием электрического поля происходит поляризация

вещества, т.е. ориентация диполей относительно векторов поля. По-

ляризация – это сумма всех дипольных моментов вещества, отнесен-

ная к единице объема:

.; iiii

i lqppP


5

Поляризация показывает, насколько вектор электрического

смещения индукции в данной среде отличается от вектора электриче-

ского смещения в вакууме.

Если среда состоит из заряженных частиц

(диполей), выстраивающихся по направлению

приложенного электрического поля, то поляриза-

ция называется ориентационной (рис.1.1). Если

среда состоит из нейтральных (в электрическом

отношении) частиц, то происходит электронная

поляризация, т.е. вытягивается электронная оболочка атомов. В лю-

бом случае

,0 EP э

где ε0 = 1/36π∙10-9

Ф/м = 8,85 пФ/м – электрическая постоянная;

χэ – электрическая восприимчивость;

D – вектор электрического смещения,

,10000 EEEPED ээ

где(1+ χэ) = εr

εr – относительная электрическая проницаемость;

ε = ε0 εr – абсолютная электрическая проницаемость;

ED – материальное уравнение для векторов электрического поля.

Вектор магнитной индукции В можно определить, исходя из

силы Лоренца:

,,BvqF если ,Bv то численно qv

FB ,

где F – сила Лоренца;

v – скорость движения заряда.

Таким образом, магнитная индукция – это сила, действующая на

единичный электрический заряд, движущийся с единичной скоро-

стью перпендикулярно силовым линиям магнитного поля, Тл:

qv

FB .

С вектором магнитной индукции напряженность магнитного по-

ля Н связана соотношением

HHMHB M 100 ,

где μ = μ0 μr – абсолютная магнитная проницаемость,

μ0 = 4π∙10-7

Гн/м – магнитная постоянная,

μr = (1 + χM) -– относительная магнитная проницаемость,

E

+ + +

+ +

– – –

– –

Рис.1.1.Поляри-

зация вещества

+ +

+ + +

– –

– – –


6

M – намагниченность, равная сумме магнитных моментов атомов в

единице объема вещества:

i

iМ .

Намагниченность пропорциональна напряженности приложен-

ного поля:

,0 HM M

где χМ – магнитная восприимчивость,.

Плотность тока J и ток I определяются уравнениями

S

SSdJI

S

IiJ ,,lim

00

где S –сечение (площадь), через которое проходит ток.

Введем понятие плотности полного тока:

стперсмпрполн JJJJJ ,

где стперсмпр JJJJ ,,, – соответственно плотности токов проводимо-

сти, смещения, переноса и стороннего.

Ток проводимости – это направленное движение электрических

зарядов, происходящее в условиях проводящей среды, например в

металле. Плотность тока проводимости пропорциональна напряжен-

ности электрического поля:

EJпр ,

где σ – удельная проводимость среды.

Плотность тока смещения определяется по формуле

.t

DJсм

Ток смещения представляет собой изменяющееся во времени

электрическое поле, не сопровождающееся перемещением заряжен-

ных частиц.

Понятие о токе смещения впервые было введено Максвеллом.

Это, например, ток в конденсаторе, заполненным идеальным диэлек-

триком.

Плотность тока переноса дается соотношением

,перJ

где ρ – объемная плотность заряда;

– скорость движения частиц.


7

В отличие от тока проводимости ток переноса возникает под

действием электрического поля в условиях пространственного заря-

да, например, ток между катодом и анодом в электронной лампе.

Сторонний ток (его плотность стJ ) имеет не электрическое

происхождение и является первичным источником поля. Он может

иметь механическое (генератор), тепловое (термопара), химическое

(батарея) происхождение.

Величины ε, μ, σ называются макроскопическими параметрами

среды.

Классификация сред проводится в зависимости от поведения

макроскопических параметров.

По зависимости ε, μ, σ от координаты среды делятся на одно-

родные и неоднородные.

Если макроскопические параметры среды не зависят от коорди-

наты, то среда однородная.

Макроскопические параметры ε, μ, σ в большинстве случаев

можно считать не зависящими от значений векторов поля. Матери-

альные уравнения оказываются при этом линейными. Соответствен-

но этому употребляется выражение «линейные среды». Однако име-

ются среды, отличающиеся существенной зависимостью макроско-

пических параметров от векторов поля. Их называют «нелинейны-

ми». В электротехнике, как известно, распространены ферромагнети-

ки – вещества, магнитная проницаемость которых значительно и

сложным образом зависит от магнитного поля. Им аналогичны сегне-

тоэлектрики, обладающие сходной зависимостью диэлектрической

проницаемости от электрического поля. Нелинейность ряда сред про-

является в сильных полях.

До сих пор говорилось лишь о так называемых изотропных сре-

дах, свойства которых одинаковы для полей любых направлений. Од-

нако имеются среды, проявляющие разные свойства в зависимости от

направления поля, они называются анизотропными.

Некоторые анизотропные среды в последние годы применяют в

радиотехнике сверхвысоких частот.

Среды, в которых проявляется зависимость диэлектрической

проницаемости от частоты, называются дисперсионными.

Кроме вакуума, с увеличением частоты электромагнитного поля

временную дисперсию в той или иной степени проявляют все среды.


8

Разделим также среды на проводники и диэлектрики. Для такого

разделения сред необходимо ввести определенный критерий.

Идеальным проводником назовем среду, в которой существует

только ток проводимости, а в идеальном диэлектрике существует

только ток смещения. Для реальных сред эти условия отображаются

следующими неравенствами:

если ,1

см

пр

J

J то среда – проводник, если 1

см

пр

J

J – диэлектрик.

Пусть в среде действует переменное поле Е. При Е = Е0cosωt

плотности тока проводимости

Jпр = σЕ0cosωt;

а тока смещения

Jсм = –ωεЕ0sinωt.

Отношение максимальных значений токов tg.

.

maxсм

maxпр

J

J

определяет тангенс угла диэлектрических потерь. Значит, если

tg ∆>>1, то среда – проводник, если tg ∆<<1 – диэлектрик.

Таким образом, если в среде преобладает ток проводимости

(значит tg ∆>>1), эта среда реальный проводник. Если же преоблада-

ет ток смещения, это реальный диэлектрик. Разумеется, огромное ко-

личество сред нельзя отнести ни к тем, ни к другим.

1.2. Уравнения Максвелла

В курсе физики рассмотрены основные уравнения, характери-

зующие электромагнитное поле. Обычно они даются в интегральной

форме:

;ildH (1.1)

;

tldE

(1.2)

;a

qSdE (1.3)

,0SdB (1.4)

где EH , – напряженности магнитного и электрического полей;


9

SdBΦB , – индукция и поток магнитного поля;

q – заряд внутри объема, охваченного поверхностью интегриро-

вания S;

i – ток через сечение, охватываемое контуром интегрирования l;

a – абсолютная диэлектрическая проницаемость.

Эти уравнения имеют специальные названия: закон полного

тока, закон электромагнитной индукции, закон Гаусса, принцип

непрерывности магнитного поля.

Если разделить обе части уравнений (1.1) и (1.2) на площадь S,

охваченную контуром интегрирования, и устремить ее к нулю, то по-

лучим уравнения Максвелла

)6.1(.

)5.1(;

t

BErot

JHrot

Если разделить обе части уравнений (1.3) и (1.4) на объем V,

охватывающий поверхность интегрирования, и устремить его к нулю,

то получим уравнение Гаусса и принцип непрерывности магнит-

ного поля в дифференциальной форме

)8.1(.0

)7.1(,

Bdiv

Ediva

В этих уравнениях V

q

V

0lim – объемная плотность заряда,

S

iJ

S

0lim – плотность тока.

Максвелл считал, что уравнение (1.7) следует писать в более

общем виде: Ddiv . Это так называемый постулат Максвелла.

Позже он был подтвержден экспериментально.

Рассмотрим уравнения Максвелла (1.5) и (1.6). Из первого урав-

нения (1.5) следует, что всюду, где имеется электрический ток, созда-

ется вихревое магнитное поле, так как rot (ротор) – это функция, ха-

рактеризующая поле в рассматриваемой точке в отношении способ-

ности к образованию вихрей. Плотность тока может иметь в общем

случае четыре составляющие:


10

сторсторсмперпр Jt

DvEJJJJJ

. (1.9)

Плотность тока смещения t

D

– одно из значимых понятий тео-

рии электромагнитного поля. Во-первых, существенно, что по отно-

шению к магнитному полю ток смещения как бы копирует роль

обычного тока проводимости. Это видно из первого уравнения Макс-

велла, в котором ток проводимости и ток смещения (или их плотно-

сти) выступают равноправно. Во-вторых, следует учитывать, что фи-

зическая сущность тока смещения в вакууме никак не связана с дви-

жением зарядов.

Правая часть первого уравнения Максвелла в интегральной

форме (1.1) представляет собой полный ток IСМ + I, а величина

JtD / в (1.5) – плотность полного тока. В отсутствии магнитного

поля ( 0H ) равен нулю и полный ток. Если полный ток существует,

то обязательно присутствует магнитное поле.

Если определить дивергенцию от правой и левой частей урав-

нения (1.5), то получим 0Jdiv , так как по определению

0Hdivrot . Отсюда следует, что плотность полного тока не имеет

источников или стоков. Его векторные линии замкнуты, не имеют ни

начала, ни конца.

Если правую часть уравнения (1.9) записать в виде t

DJ

, то

0)(

t

DJdiv ,

tt

DdivJdiv

, так как Ddiv .

Это, так называемый, закон сохранения заряда.

Второе уравнение Максвелла (1.6) показывает, что всюду, где

есть изменение магнитного поля, создается вихревое электрическое

поле.

При анализе третьего уравнения (1.7) следует иметь в виду, что

дивергенция (расхождение) вектора характеризует возникновение и

исчезновение его в соответствующей точке пространства (см.прил.).

Если дивергенция положительна, там исток, если отрицательна – там

сток. Таким образом, напряженность электрического поля возникает

на положительных зарядах и исчезает на отрицательных, т.е. имеет

начало и конец. В области, где нет зарядов divE = 0, поле соленои-

дально.


11

Четвертое уравнение (1.8) показывает, что магнитное поле

непрерывно, т.е. не имеет ни истоков, ни стоков.

1.3. Энергия электромагнитного поля

Известно, что при наличии тока в реальной среде выделяется

тепло. Зная плотность J и напряженность поля E нетрудно опреде-

лить энергию, теряемую электромагнитным процессом за единицу

времени, т.е. мощность тепловых потерь Р. Оказывается, в объеме V

расходуется мощность

V

dVEJP . (1.10)

Чтобы убедиться в справедливости записан-

ного выражения, обратимся к простому варианту,

который показан на рис. 1.2. Пусть в пределах

выделенного цилиндра поле однородно.

В этом случае применение формулы (1.10)

дает

.IUlESJSlEJVEJP

Полученное равенство эквивалентно закону

Джоуля-Ленца, известному из курса общей физи-

ки. По смыслу равенства(1.10) подынтегральное выражение

EJp (1.11)

есть не что иное, как плотность мощности, т.е. мощность, отнесенная

к единице объема:

.lim0 V

Pp

V

(1.12)

В зависимости от направления движения зарядов величина p

может быть как положительной, так и отрицательной. Заряды могут

ускоряться полем. При этом J и E параллельны, p > 0 и энергия у

поля отбирается. Очевидно, что p < 0, если J и E антипараллельны.

Это будет, например, когда движение зарядов против поля создается

каким-то неэлектромагнитным, «сторонним» процессом, который от-

дает свою энергию полю, тормозящему заряды.

Описание неэлектромагнитных факторов сторонних сил в боль-

шинстве случаев сводится к изменению вида материального уравне-

ния. Используется одна из следующих формализаций:

V

l

J v0

Рис. 1.2. Опреде-

ление мощности

тепловых потерь


12

., СТСТ JEJEEJ (1.13)

Введенные здесь функции CT

E и CT

J при решении электродина-

мических задач являются заранее заданными. Величина CT

E называ-

ется напряженностью сторонних сил (или просто сторонней напря-

женностью), а CT

J – плотностью стороннего тока.

Теперь можно детализировать выражение плотности мощности

(1.11). Используя уравнение (1.13), имеем

.. 221 EJEpEJJp СТСТ

Следовательно, можно написать

,СТП ppp (1.14)

где .,221 EJEJpEJp СТСТСТП (1.15)

Первый член П

p характеризует поглощение, потери электромаг-

нитного процесса, а второй – CT

p – действие сторонних сил. Сторон-

ние силы обычно локализованы. Если, например, они сосредоточены

в некоторой области

V , то согласно первому равенству (1.13)

СТEJ в V и EJ вне V .

Для составления баланса энергии электромагнитного поля ис-

пользуем уравнения Максвелла (1.5), (1.6). Все члены второго из них

умножим на H , а все члены первого – на E :

dt

BdHErotH ,

Ejdt

DdEErotE .

Вычтем левую и правую части второй строчки из соответству-

ющих частей первой, тогда слева получим выражение

HrotEErotH , которое мы свернем, так как оно равно HEdiv , . В

результате будем иметь

Ejdt

DdE

dt

BdHHEdiv , . (1.16)

Равенству нетрудно придать интегральную форму. С этой целью

проинтегрируем все его члены по некоторому объему V, ограничен-

ному поверхностью S, а затем левую часть преобразуем на основании

теоремы Остроградского-Гауса:

SV

SdHEdVHEdiv ,, .


13

Следовательно,

VS V

dVEJdVdt

DdE

dt

BdHSdHE , . (1.17)

Это равенство (1.17 ) есть уравнение баланса энергии поля в

объеме V.

Последний член справа в равенстве (1.17) – это мощность P, ха-

рактеризующая преобразование энергии электромагнитного поля в

тепло.

Другое слагаемое в этом уравнении представляет собой времен-

ную производную запаса энергии в изолированной системе:

dt

dwdV

dt

dBH

dt

dDE

.

Поверхностный интеграл

SS

dsПdSHEP ,

характеризует мощность поступающую извне в объем, ограниченный

поверхностью S.

Величина P есть поток вектора Пойнтинга

HE ,

через границу S области V.

Поток P вектора Пойнтинга показывает, насколько внутрен-

ние процессы неуравновешенны. Если, например, 0P , то это озна-

чает потери энергии в области V из-за ее перехода во внешнее про-

странство. Если же 0P , то энергия поступает в объем извне. В

обоих случаях абсолютная величина P есть энергия, проходящая че-

рез граничную поверхность S за единицу времени. Поэтому P назы-

вают потоком энергии через S. Положительный поток энергии равен,

таким образом, мощности излучения во внешнее пространство, а от-

рицательный – мощности поглощаемого внешнего излучения.

Если допустить, что поток вектора Пойнтинга P через любую, а

не только замкнутую поверхность (как в 1.17) представляет собой по-

ток энергии через эту поверхность, то следует истолковывать как

плотность потока энергии:

.lim 00 S

PП

S


14

В этой формуле 0 – единичный вектор, указывающий направ-

ление движения энергии, ∆S – ортогонально ориентированная пло-

щадка, P – количество энергии, проходящей за единицу времени

через ∆S.

Вернемся к равенству (1.17), переписав его в виде

Pt

wПdiv

. (1.18)

Равенство (1.18 )есть уравнение баланса энергии в дифференци-

альной форме. Оно характеризует локальный баланс энергии. Если в

исчезающе малой окрестности некоторой точки баланс активен, то

dw/dt+P < 0 и 0Пdiv . При пассивном балансе dw/dt+P > 0 и

0Пdiv , а при нейтральном dw/dt+P = 0 и 0Пdiv . Вспоминая

смысл оператора дивергенции, мы видим, что при активном балансе

рассматриваемая точка является источником вектора Пойнтинга, при

пассивном балансе – стоком, а при нейтральном – лежит на некото-

рой линии вектора Пойнтинга.

Вопросы для самопроверки

1. Правильно ли понимать под электрическим током только

движение заряженных частиц или тел?

2. Каково значение величины rot Н в однородном магнитном по-

ле?

3. Во всех точках некоторой области выполнено уравнение

rotН=0. Может ли в этой области существовать магнитное поле?

4. Является ли функция div D векторной?

5. Может ли соленоидальное поле быть вихревым?

6. При каких условиях справедливо выражение divH= 0?

7. Имеют ли смысл выражения div div A , rot grad φ, grad rot A ,

rot rot A , grad div A , grad grad φ , div rot A , rot div A ? Какие из них

тождественно равны нулю?


15

ГЛАВА 2. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

Электростатическое поле представляет собой частный вид элек-

тромагнитного поля. Оно создается совокупностью электрических за-

рядов неподвижных в пространстве по отношению к наблюдателю и

неизменных во времени.

Электростатическому полю присуща способность воздейство-

вать на помещенный в него электрический заряд с механической си-

лой, прямо пропорциональной величине этого заряда.

2.1.Основные определения

Два точечных заряда q1 и q2 в вакууме взаимодействуют друг с

другом с силой ,F прямо пропорциональной произведению зарядов

q1 и q2 и обратно пропорциональной квадрату расстояния R между

ними. Эта сила направлена по линии, соединяющей центры точечных

зарядов. Если заряды имеют одинаковые знаки, то они стремятся от-

толкнуться друг от друга; заряды противоположных знаков стремят-

ся сблизиться: ,4

020

21 RR

qqF

(2.1)

где R0 – единичный вектор, направленный по линии центров.

Всякое поле характеризуется некоторыми основными величина-

ми. В электростатике основными величинами, характеризующими

электрическое поле, являются напряженность E и потенциал .

Напряженность электрического поля есть величина векторная,

определяемая в каждой точке значением и направлением, потенциал

является величиной скалярной. Значение потенциала определяется в

каждой точке поля некоторым числом.

Электрическое поле можно считать определенным, если изве-

стен закон изменения E или во всех точках этого поля.

Если в электрическое поле поместить настолько малый (непо-

движный) положительный заряд, что он своим присутствием не вы-

зовет сколько-нибудь заметного перераспределения зарядов на телах,

создающих поле, то отношение силы, действующей на заряд, к значе-

нию заряда q и определяет напряженность поля в данной точке:

.q

FЕ


16

Напряженность электрического поля численно равна силе,

действующей на единичный заряд.

Под разностью потенциалов 1 – 2 принято понимать работу,

затрачиваемую силами поля при переносе единичного заряда из

начальной точки 1 в конечную точку 2: 2

1

21 ldE . (2.2)

Потенциал произвольной точки поля 1 может быть опреде-

лен как работа, совершенная силами поля по переносу единично-

го заряда из данной точки поля в точку поля, потенциал которой

равен нулю. За точку, имеющую нулевой потенциал, может быть

принята любая точка поля. Если такая точка выбрана, то потенциалы

всех точек поля определяются совершенно однозначно.

Часто принимают, что точка с нулевым потенциалом находится

в бесконечности. Поэтому, особенно в курсе физики, распространено

определение потенциала как работы, совершаемой силами поля при

переносе единичного заряда из данной точки поля в бесконечность:

.

1

1 dlE

(2.2, а)

Электрическое поле можно наглядно характеризовать совокуп-

ностью силовых и эквипотенциальных линий. Силовая линия – это

мысленно проведенная в поле линия, начинающаяся на отрицательно

заряженном теле. Проводится она таким образом, что касательная к

ней в любой точке ее дает направление напряженности поля E в этой

точке. Вдоль силовой линии передвигался бы очень малый положи-

тельный заряд, если бы он имел возможность свободно перемещаться

в поле и не обладал инерцией.

В электрическом поле могут быть проведены эквипотенциаль-

ные (равнопотенциальные) поверхности. Под эквипотенциальной по-

верхностью понимают совокупность точек поля, имеющих один и тот

же потенциал. Если мысленно рассечь электростатическое поле ка-

кой-либо секущей плоскостью, то в полученном сечении будут видны

следы пересечения плоскости с эквипотенциальными поверхностями.

Их называют эквипотенциальными линиями (или эквипотенциалями).

Эквипотенциальные и силовые линии в любой точке поля пересека-

ются под прямым углом. На рис. 2.1 для примера изображены два за-

ряженных тела и проведено несколько силовых и эквипотенциальных

линий.


17

В противоположность силовым линиям эквипотенциальные ли-

нии электростатического поля являются замкнутыми сами на себя

линиями. Как отмечалось,

напряженность электриче-

ского поля E и потенциал

связаны друг с другом свя-

зью интегрального вида

(2.2,а). Кроме нее между E

и существует и связь

дифференциального вида.

В курсе математики

пользуются понятием гра-

диента скалярной функ-

ции. Под градиентом ска-

лярной функции понимают скорость изменения скалярной функции,

взятой в направлении ее наибольшего возрастания. Тогда

.gradE (2.3)

Соотношение (2.3) может быть истолковано следующим обра-

зом: напряженность в какой-либо точке поля равна скорости измене-

ния потенциала в этой точке поля, взятой с обратным знаком. При

этом в декартовой системе координат

.z

ky

jx

igrad

(2.4)

Для сокращения записей различных операций над скалярными и

векторными величинами употребляется дифференциальный оператор

Гамильтона (оператор набла) .z

ky

jx

i

Таким образом, запись эквивалентна записи grad, а «при-

писывание» слева к какой-либо скалярной функции (в нашем случае к

) оператора означает взятие градиента от этой скалярной функ-

ции.

Установим связь потенциала с плотностью зарядов , исполь-

зуя уравнение (2.3) и теорему Гаусса:

.

свбEdiv (2.5)

Эквипотенциаль

Силовая линия

Рис. 2.1. Силовые и эквипотенциальные

линии


18

Подставим в уравнение (2.5) E из уравнения (2.3). По-

лучим .)(

свбgraddivEdiv

Вынесем минус за знак дивергенции: .

свбdivgrad

Вместо того чтобы писать grad, запишем его эквивалент .

Вместо div напишем . Тогда

свб )( , или .2

свб (2.6)

Уравнение (2.6) называется уравнением Пуассона. Частный вид

уравнения Пуассона, когда свб = 0, называется уравнением Лапласа.

Уравнение Лапласа запишется так: 2 = 0, (2.7)

Оператор 2 = div grad называют оператором Лапласа или

лапласианом и иногда обозначают еще символом ∆. Поэтому можно

встретить иногда и такую форму записи уравнения Пуассона:

∆φ = – ρ/ε.

Раскроем 2 в декартовой системе координат. Произведем

почленное умножение и получим .2

2

2

2

2

22

zyx

Таким об-

разом, уравнение Пуассона в декартовой системе координат запишет-

ся так:

.2

2

2

2

2

2

свб

zyx

(2.8)

Для решения дифференциальных уравнений с частными произ-

водными необходимо знать граничные условия.

2.2. Граничные условия

Под граничными условиями понимают условия, которым

подчиняется поле на границах раздела сред с различными элек-

трическими свойствами.

А. Поле внутри проводящего тела в условиях электростатики.

Если тело не заряжено, то, естественно, суммарный заряд тела

равен нулю. Так как тело помещено в поле, то вследствие явления

электростатической индукции в нем произойдет разделение зарядов.

В результате этого разделения на поверхности тела, обращенной в


19

сторону более высокого потенциала (рис. 2.2), выступят отрицатель-

ные заряды и на противоположной стороне – положительные заряды.

Хотя сумма зарядов тела и будет равна нулю, но заряды, выступив-

шие на поверхности тела, окажут существен-

ное влияние на поле вне проводящего тела и на

поле внутри проводящего тела. В области вне

тела, особенно вблизи него, поле может суще-

ственно исказиться по сравнению с тем полем,

которое было, если бы проводящее тело в поле

отсутствовало.

Все точки проводящего тела в условиях

электростатики имеют один и тот же потенци-

ал. В этом можно убедиться исходя из против-

ного. Если допустить, что в условиях электростатики между двумя

точками проводящего тела может быть разность потенциалов, то то-

гда под действием этой разности потенциалов электроны в теле нача-

ли бы перемещаться. Упорядоченное движение зарядов в теле проти-

воречило бы самому определению электростатического поля как по-

ля, созданного неподвижными зарядами (в макроскопическом смысле

слова).

Так как все точки проводящего тела имеют один и тот же потен-

циал, то между двумя любыми бесконечно близко расположенными

друг к другу точками приращение потенциала равно нулю, следова-

тельно, и nn

E

тоже равно нулю. Физически напряженность

поля внутри проводящего тела равна нулю (в макроскопическом

смысле слова) потому, что напряженность от внешнего поля компен-

сируется равной ей по значению и противоположной по знаку напря-

женностью от зарядов, расположившихся на поверхности тела.

Если тело будет заряжено, то все принесенные извне на тело за-

ряды и заряды, разделившиеся в теле вследствие явления электроста-

тической индукции, также расположатся на поверхности тела таким

образом, что потенциал всех точек будет один и тот же, а напряжен-

ность внутри тела будет равна нулю.

Б. Условия на границе раздела проводящего тела и диэлектри-

ка. На границе проводящее тело – диэлектрик всегда выполняются

два условия:

+

- Проводящее

тело

- - -

+ + + + +

Е

Е

Рис. 2.2. Проводник в

электростатическом

поле


20

1) отсутствует тангенциальная (касательная к поверхности)

составляющая напряженности поля: Et = 0; (2.9)

2) вектор электрического смещения D в любой точке диэлек-

трика, непосредственно примыкающей к поверхности проводящего

тела, численно равен плотности заряда на поверхности проводяще-

го тела в этой точке, т.е. D = . (2.10)

Рассмотрим первое условие. Все точки поверхности проводяще-

го тела имеют один и тот же потенциал. Следовательно, между двумя

любыми очень близко расположенны-

ми друг к другу точками поверхности

приращение потенциала d = 0, но

d = Et dl, следовательно, Et dl = 0.

Так как элемент пути dl между

точками на поверхности не равен нулю,

то равны нулю Et.

Для доказательства второго условия мысленно выделим беско-

нечно малый параллелепипед (рис. 2.3). Верхняя грань его парал-

лельна поверхности проводящего тела и расположена в диэлектрике.

Нижняя грань находится в проводящем теле. Высоту параллелепипе-

да возьмем очень малой (сплющим его). Применим к параллелепипе-

ду теорему Гаусса. Из-за малости линейных размеров можно принять,

что плотность заряда на поверхности ds проводящего тела, попав-

шей внутрь параллелепипеда, одна и та же. Полный заряд внутри рас-

сматриваемого объема равен ds.

Поток вектора D через верхнюю грань объема равен .DdssdD

Поток вектора D через боковые грани объема из-за малости послед-

него и из-за того, что вектор D скользит по ним, нет. Через «дно»

объема поток также отсутствует, так как внутри проводящего тела

E = 0 и D = 0 ( проводящего тела есть величина конечная). Таким

образом, поток вектора D из объема

D ds = ds или D = .

В. Условия на грани раздела двух диэлектриков с различными

электрическими проницаемостями. На грани раздела двух диэлек-

триков выполняются два следующих условия:

1) равны тангенциальные составляющие напряженности поля

E1t = E2t; (2.11)

2) равны нормальные составляющие электрической индукции

D1n = D2n. (2.12)

D

ds

Рис. 2.3. Граничные условия

Диэлектрик

Проводящее тело,

в нем Е=0

sd

sd


21

Индекс 1 относится к первому диэлектрику, индекс 2 – ко вто-

рому.

Первое условие вытекает из того,

что в потенциальном поле 0ldE по

любому замкнутому контуру. Второе

условие представляет собой следствие

теоремы Гаусса. Покажем справедли-

вость первого условия. С этой целью

выделим плоский замкнутый контур

mnpqm (рис. 2.4) и составим вдоль него

циркуляцию вектора напряженности электрического поля. Верхняя

сторона контура расположена в диэлектрике с электрической прони-

цаемостью 2, нижняя – в диэлектрике с 1. Длину стороны mn, рав-

ную длине стороны pq, обозначим dl. Контур возьмем так, что разме-

ры np и qm бесконечно малы по сравнению с dl. Поэтому составляю-

щими интеграла ldE вдоль вертикальных сторон из-за их малости

пренебрежем.

Составляющая ldE на пути mn равна ,222 dlEldE t на пути pq

.111 dlEldE t

Знак минус появляется как следствие того, что элемент длины

на пути pq и касательная составляющая век-

тора 1E направлены в противоположные сто-

роны (cos 180 = – 1).

Таким образом, 012 dlEdlEldE tt

или E1t = E2t.

Убедимся в справедливости второго

условия. С этой целью на границе раздела

двух сред выделим параллелепипед очень ма-

лых размеров (рис. 2.5.). Внутри выделенного объема есть связанные

заряды и нет свободных (случай наличия свободных зарядов на гра-

нице раздела рассмотрим отдельно), поэтому

0 sdD .

Поток вектора D через верхнюю грань площадью ds равен

;222 dsDsdD n Поток вектора через нижнюю грань

;111 dsDsdD n .21 dssdsd

Е2

Е1

Е1t=E2t

m

q

2

1

2ld

1ld

Рис. 2.4. Плоский замкнутый

контур mnpqm

n n

p

D1n=D2n 2D 1D

2Sd

1Sd

2

1

dS

Рис. 2.5. Малый

параллелепипед на

границе двух сред


22

Следовательно, 021 dsDdsDsdD nn или D1n = D2n.

При наличии на грани раздела двух сред свободных зарядов с плот-

ностью (это встречается очень редко) ,12 dsdsDdsDsdD nn

т.е. при этом D2n – D1n = . (2.13)

Таким образом, при наличии на границе раздела двух сред сво-

бодных зарядов нормальная составляющая вектора D скачком изме-

няется на величину плотности этих зарядов.

Потенциал есть функция непрерывная, поэтому на границе раз-

дела двух сред потенциал не претерпевает скачков.

2.3. Теорема единственности решения

Электростатическое поле описывается уравнением Лапласа (или

Пуассона) в частных производных. Уравнения в частных производ-

ных, в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, до-

пускают в общем случае бесчисленное множество линейно независи-

мых друг от друга решений. Естественно, что в любой конкретной

практической задаче есть одна единственная картина поля, т.е. одно

единственное решение. Из множества линейно независимых реше-

ний, допускаемых уравнением Пуассона, выбор одного единственно-

го, удовлетворяющего конкретной задаче, производится с помощью

граничных условий.

Если есть некоторая функция, удовлетворяющая уравнению

Лапласа или Пуассона и граничным условиям в данном поле, то эта

функция и представляет собой единственное решение. В этом состоит

смысл важного положения, которое принято называть теоремой

единственности решения.

2.4. Графический метод построения картины

плоскопараллельного поля

Во многих практических случаях форма сечений заряженных

проводников и их взаимное расположение настолько сложны, что

точный аналитический расчет поля оказывается невозможным. В свя-

зи с этим большое практическое значение имеет графический метод

построения картины поля, который разработан для плоскопараллель-

ных полей и полей, окружающих заряженные тела вращения.


23

Наиболее просто построение осуществляется при плоскопарал-

лельном поле. При этом необходимо выполнение следующих усло-

вий:

1) линии напряженности поля и линии равного потенциала

должны пересекаться всюду под прямым углом;

2) линии напряженности поля должны быть перпендикулярны к

контурам, ограничивающим сечения проводников;

3) ячейки сетки, образованной линиями напряженности поля и

линиями равного потенциал, при достаточной густоте сетки должны

быть приблизительно подобны друг другу.

Третье условие соответствует требованию: приращение потен-

циала φ при переходе от любой линии равного потенциала к сосед-

ней должен быть постоянным и поле должно быть подразделено на

трубки равного потока, т. е. чтобы

V = const. Откуда следует, что при

достаточно густой сетке ее ячейки

должны представлять собой прибли-

зительно подобные прямоугольники,

если форма ячейки не слишком иска-

жена кривизной линий. Но даже при

значительном искажении ячеек, когда

трудно говорить об их подобии, по-

следнее соотношение очень помогает

правильно построить картину поля.

Обычно картину поля рисуют на глаз,

стремясь удовлетворить первому и второму условиям, а затем уже

постепенно вносят исправления так, чтобы удовлетворилось и третье

условие. Рекомендуется для облегчения построения выбирать b=a.

На рис.2.6 в виде примера построено поле между двумя прямолиней-

ными проводами прямоугольного сечения, имеющими одинаковые

заряды разных знаков.

Если φ1 = +60 В, а φ2 = – 60 В, то на линии, проходящей посере-

дине между электродами φ = 0, а эквипотенциали справа от нее име-

ют значения –20В и–40 В соответственно. Аналогично эквипотенци-

али слева от нее имеют значение +20 В и +40 В.

По картине поля можно в любой точке определить потенциал и

напряженность электрического поля. Так, если исследуемая точка х

находится посередине между эквипотенциалями φ1 = +20 В и

а

V=const

+

1

=const

–

2

Рис 2.6. Графический метод

построения картины поля

b

Е


24

φ2 = +40 В, то ее потенциал равен φх = +30 В. Для определения напря-

женности используем уравнение (2.3)

.gradE = –φ/l,

где l – расстояние между эквипотенциалями вблизи точки х. При

этом направление вектора Е задаем примерно посередине между си-

ловыми линиями (см. рис. 2.6 ).

По картине поля можно также определять емкость между заря-

женными телами. Обозначим число криволинейных квадратов в си-

ловой трубке n, а число трубок m ( на рис.2.6 n=18, m=6). Разность

потенциалов

φ1 – φ2=U=∫Edl=E1 a1 +E2 a2 +…=∑Ek ak.

Поток вектора Е в одной трубке V =E1 b1 l = E2 b2 l =…,

где l – размер тел в направлении, перпендикулярном чертежу.

По теореме Гаусса заряд определяется по формуле

q = ε∫Eds=εmV,

где ε – диэлектрическая проницаемость среды между телами.

Тогда емкость определяют по формуле

C=q/U=εml/(a1/ b1+ a2 /b2+…)=εmlb/na.

При равенстве a=b формула упрощается C=εml/n

2.5. Метод зеркальных изображений

Для расчета электростатических полей, ограниченных какой-

либо проводящей поверхностью правильной формы применяют ис-

кусственный прием, в котором кроме заданных зарядов вводят ещё

дополнительные, располагая их так, чтобы выполнялись граничные

условия (обычно в местах, где находятся зеркальные отображения за-

данных зарядов).

Расчет поля заряженных проводников, расположенных вблизи

плоских поверхностей, ограничивающих проводящую среду, сводит-

ся с помощью метода зеркальных изображений [2] к расчету поля не-

скольких проводников при отсутствии проводящей среды.

Рассмотрим поле прямолинейного провода, расположенного на

расстоянии h над поверхностью земли. Все линии напряженности по-

ля, начинающиеся на положительно заряженном проводе, заканчива-

ются у поверхности проводящей среды, где появляется индуктиро-

ванный отрицательный заряд. Поле определяется как зарядом прово-

да, так и всем зарядом, распределенным по поверхности проводящей


25

среды. Распределение индуктированного заряда не известно и также

подлежит определению.

Расчет поля в такой системе производится с помощью метода

зеркальных изображений. Устраним мысленно проводящую среду и

заменим ее проводом, являющимся зеркальным изображением реаль-

ного провода в поверхности раздела и имеющим заряд той же вели-

чины, что и заряд реального провода, но противоположного знака

(см. рис. 2.7). Действительный провод и его

зеркальное изображение составляют двух-

проводную линию, поле которой изобра-

жено на рис. 2.7, из которого видно, что

плоскость, расположенная посередине

между действительным проводом и его

зеркальным изображением, является по-

верхностью равного потенциала. В дей-

ствительных условиях поверхность прово-

дящей среды как раз совпадает с этой

плоскостью, а также является поверхностью равного потенциала.

Можно показать, что напряженность поля от двух зарядов в любой

точке границы раздела имеет только нормальную к границе состав-

ляющую и не имеет тангенсальной составляющей. Отсюда следует,

что если заменить проводящую среду зеркальным изображением

провода с изменением знака заряда, то в области над проводящей

средой поле останется таким же, как и в действительных услови-

ях. В этом и заключается метод зеркальных изображений.

2.6. Определение потенциала по заданному

распределению заряда. Принцип суперпозиции

Определим потенциал системы точечных зарядов, используя

принцип суперпозиции. Для этого вначале определим потенциал то-

чечного заряда q. Воспользуемся уравнением (2.2,а)

qsdD

S

.

Исследуемое поле имеет точечную симметрию, поэтому целесо-

образно в качестве поверхности интегрирования выбрать поверхность

сферы. На одинаковом расстоянии от заряда поле не изменяется.

h

h x

m

i

-i

Рис.2.7. Метод зеркальных

изображений

U=const


26

Кроме того, учтем, что направление вектора D совпадает с направле-

нием радиуса:

.4

020 rr

qr

S

qD

Воспользуемся материальным уравнением

.4

;

;4 2

0

r

q

ldE

r

rqE

Легко определить потенциал в произвольной точке М, создавае-

мый двумя положительными зарядами (рис.2.9):

.4

1

2

2

1

1

r

q

r

qM

Обобщим полученный результат для системы

точечных зарядов:

i i

i

r

q

4

1 – потенциал системы точечных за-

рядов.

Для объемного распределения суммирование

заменяется интегрированием:

.;4

1dVdqdV

rv

(2.14)

Аналогичным образом можно записать потенциал:

для поверхностного распределения заряда σ

dSdqdSr

S

;

4

1; (2.15)

линейного распределение зарядов

.;4

1dldqdl

rl

(2.16)

Рис.2.8. Опреде-

ление потенциала

точечного заряда

r

q S

М

q1

r1

r2

q2

Рис.2.9. Опреде-

ление потенциа-

ла двух зарядов


27

2.7. Потенциал и напряженность электрического поля диполя

Рассмотрим систему из двух разноименных, но равных по абсо-

лютной значению точечных зарядов, находящихся на расстоянии l. Ее

электрическим момен-

том является вектор

,lqp (2.17)

где q – абсолютное

значение каждого заря-

да,

l – вектор с абсолют-

ным значением l,

направленный от по-

ложительного заряда к

отрицательному.

Поле этой системы будем исследовать на расстояниях r, значи-

тельно превышающих ее размер:

r >> l. (2.18)

При соблюдении условия (2.18) система называется диполем.

Если неограниченно уменьшать l, сохраняя момент p , то в пределе

получится «дипольная точка», характеризуемая вектором p – идеаль-

ный диполь; условие (2.18) выполнено при любых r.

Потенциал диполя в произвольной точке М

.4

lim1221

r

l

r

lq

constprr

Предположим, что в соответствии с рис. 2.10,

r1r2→r2 и r2 – r1 → l∙cos(θ),

и определим

.44

cos2

02 r

rp

r

ql

(2.19)

Теперь по формуле gradE можно определить поле диполя

E . Это проще всего сделать, пользуясь сферической системой коор-

динат:

,sin

000

r

l

r

l

rrgradE

–q1

М

r1

r2

+q

Рис.2.10. Определение потенциала (а) и напря-

женности (б) электрического поля диполя

р=ql

б)

Е0

Еr

E

p

а)

θ


28

получаем

sincos24

003 r

r

qE . (2.20)

Как и следовало ожидать, поле диполя симметрично относительно

его оси. Силовые линии поля в меридиональной плоскости изображе-

ны на рис. 2.10,б.

2.8. Энергия электростатического поля

Выразим энергию электростатического поля через потенциал и

заряд:

VV

э

VV

э

dVDdivdVDdivW

gradDDdivDdiv

dVgradDdVDEW

.2

1

2

1

;

;2

1

2

1

Рассмотрим второй интеграл в последнем выражении. Приме-

ним к нему теорему Остроградского- Гаусса:

. V S

SdDdVDdiv

Для учета всей энергии, создаваемой системой электрических

зарядов, распространим интегрирование на все пространство, т. е.

окружим область, в которой имеются заряды, условной сферической

поверхностью и устремим ее радиус в бесконечность. Так как произ-

ведение D убывает быстрее, чем r-2

, а площадь сферы увеличивает-

ся как r2, исследуемый интеграл обращается в ноль. Следовательно,

формула для энергии электростатического поля имеет вид

.2

1

V

э dVW

П р и м е р 2.1. Определить потенциал точки М, расположенной

между двумя заряженными осями, и положение эквипотенциалей.


29

Р е ш е н и е. Пусть одна ось на единицу длины имеет заряд +τ,

другая – заряд – τ.

Возьмем в поле неко-

торую произвольную

точку М (рис.2.11). Ре-

зультирующая напря-

женность поля в ней

МЕ равна

геометрической сумме

напряженностей от

обоих зарядов. Рассто-

яние точки М до поло-

жительно заряженной оси обозначим через а, до отрицательно заря-

женной оси – через b. Потенциал есть функция скалярная. Потенциал

точки М равен сумме потенциалов от каждой оси:

Cba аа

М

1

ln2

1ln

2

.

Потенциал определяется с точностью до постоянной С. Зададим φ = 0

при a = b. Для этого проведем ось х декартовой системы координат

через заряженные оси, а ось y посредине между заряженными осями.

Тогда при расположении точки М на оси у (при х = 0) всегда а = b и

φМ = С = 0. В остальных случаях .ln2 a

b

аМ

Эквипотенциаль представляет собой совокупность точек, отно-

шение расстояний которых до двух заданных точек есть величина по-

стоянная, т.е. b/a = const = k . Поскольку

22

0 yxxb и ,22

0 yxxa то

22

0

22

02

yxx

yxxk

,

или

2

2

02

2

02

2

1

2

1

1

k

kxyx

k

kx .

Последнее уравнение определяет окружность радиуса 2

0

1

2

k

kxR

,

у которой центр смещен относительно начала координат на расстоя-

ние 02

2

11

1x

k

kx

. Между величинами x1, R, x0 выполняется равен-

ство x12 = x0

2+R

2 .

R

τ -τ

а в

x x0 x0

x1

Рис.2.11. К примеру 2.1

y

М(x,y)

ME


30

Таким образом, уравнение эквипотенциали для двух заряженных

осей есть окружность, смещенная относительно начала координат.

Для построения картины поля необходимо, чтобы приращение по-

тенциала при переходе от любой линии равного потенциала к сосед-

ней оставалось постоянным, т.е.

constk

kkk

v

v

a

vv

a

vv

111 ln

2lnln

2

.

или при увеличении порядкового номера эквипотенциали числа k

должны изменяться по геометрической прогрессии ck

k

v

v 1 .

П р и м е р 2.2. Коаксиальный кабель

имеет радиусы внутренней жилы a = 2 мм и

внешней оболочки b = 5 мм. Определить ем-

кость кабеля на единицу длины.

Р е ш е н и е. Проведем вокруг внутрен-

ней жилы коаксиального кабеля цилиндриче-

скую поверхность радиусом r и длиной l.

По теореме Гаусса

a

qSdE

.

Из условий симметрии определяем, что напряженность электри-

ческого поля Е направлена по радиусу и на торцевых поверхностях

0SdE .

Тогда уравнение Гаусса можно записать в виде Е·2πrl = q/εa.

Откуда E = q/2πεarl = ra

2,

где τ – линейная плотность заряда.

По определению потенциал в любой точке

constr

nEdr

a

1

l

2

.

Принимая потенциал равным нулю на поверхности коаксиаль-

ного кабеля при r = b, определяем произвольную постоянную

const = ba

ln2 .

Тогда потенциал в любой точке равен rb

n

a

l2

.

Рис. 2.12. К примеру 2.2

l

b r

a


31

Потенциал внутренней жилы коаксиального кабеля (при r = a)

определим по уравнению ab

Ua

aln

2 .

Это позволяет выразить линейную плотность заряда через

напряжение

ab

Ua

ln

2 и определить емкость кабеля на единицу дли-

ны

abUUl

qC a

ln

2

0

.

Напряженность электрического поля в любой точке

a

br

U

rE

a ln2

.

Из этого уравнения можно определить допустимую величину напря-

жения U, если известно значение напряженности электрического поля

Eдоп, при котором происходит пробой диэлектрика.


1. Является ли электростатическое поле непрерывным?

2. Напишите уравнение, показывающее, что электрическое поле

возникает в области, где расположен заряд.

3. Как изменяется напряженность электростатического поля при

переходе из одной среды в другую?

4. Как по картине поля определить напряженность электрического

поля?

5. Какие поля называют потенциальными?

6. Могут ли быть замкнутыми силовые линии в электростатиче-

ском поле?

7. Каким свойством обладает силовая трубка?

8. Изложите основные принципы графического построения карти-

ны поля.

9. Дайте физическое толкование понятий «градиент» и «диверген-

ция».

10. Какой физический смысл придается E

и φ? Какая интегральная

и дифференциальная связь существует между ними?


32

ГЛАВА 3. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ И МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ

Постоянный ток может протекать только в замкнутой проводя-

щей цепи. Если электрическое сопротивление цепи отлично от нуля,

то прохождение тока в ней вызывает падение напряжения. При этом в

проводнике и в окружающем его диэлектрике создаются стационар-

ные магнитное и электрическое поля, не зависящие от времени. По-

этому из второго уравнения Максвелла rot E = B / t следует, что

rotE = 0.

3.1. Электрическое поле постоянных токов

Уравнение электромагнитного поля для постоянных токов в не-

подвижной проводящей среде вне источников ЭДС (т.е вне области,

где сторонние источники неэлектрического характера создают элек-

тродвижущую силу) приобретают вид rotE = 0; J = E.

Условие rotE = 0 свидетельствует, что вне источника ЭДС элек-

трическое поле постоянных токов является так же, как и электроста-

тическое поле, безвихревым. Такое поле является потенциальным,

т.е. для характеристики может быть введена функция координат φ (x,

y, z), называемая электрическим потенциалом, причем E = – grad .

Электрическое поле в диэлектрике, окружающем проводники с

постоянными токами имеет вид rotE = 0, т.е. E = – grad; D = E;

divD = 0. Если среда однородна( = const), то divE = 0 или div grad

=0, т.е. потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. Следователь-

но, в самом диэлектрике такое поле ничем не отличается от электро-

статического. Однако граничные условия на поверхности проводни-

ков не соответствуют тем, которые были в электростатическом поле.

В электростатическом поле поверхность каждого проводника являет-

ся поверхностью равного потенциала. При прохождении по провод-

нику электрического тока в проводнике возникает падение потенциа-

ла, и, следовательно, поверхность проводника уже не будет равнопо-

тенциальной. Линии напряженности электрического поля в диэлек-

трике подходят к поверхности проводника не под прямым углом, так

как на поверхности проводника появляется касательная составляю-

щая напряженности поля в направлении линии тока. На рис. 3.1 по-

казано распределение линий напряженности электрического поля


33

около проводов линии передачи. С принципиальной точки зрения,

указанное обстоятельство существенно осложняет расчет поля, одна-

ко практически во многих случаях его можно не учитывать, так как

обычно падение напряжения вдоль проводни-

ков на длине, сравнимой с расстоянием между

проводниками, ничтожно мало по сравнению с

разностью потенциалов проводников. Поэтому

при рассмотрении электрического поля в ди-

электрике, окружающем проводники с постоян-

ными токами, можно использовать решения,

полученные при рассмотрении соответствую-

щих электростатических задач.

Внутри проводников, по которым проходит электрический ток,

также существует электрическое поле. Напряженность этого поля в

изотропной по отношению к проводимости среде связана с плот-

ностью тока соотношением J = E, которое представляет собой вы-

ражение закона Ома в дифференциальной форме. В изотропной среде

направление линий электрического тока всюду совпадает с направле-

нием линий напряженности электрического поля.

Таким образом, электрическое поле и поле вектора плотности

тока в проводящей среде вне источников ЭДС характеризуются си-

стемой уравнений rotE = 0; J = E; divJ = 0. Причем уравне-

ние divJ = 0 является следствием уравнения rotH = J, так как

div rotH =0.

3.2. Аналогия электрического поля в проводящей среде

с электростатическим полем

Между соотношениями, характеризующими стационарное элек-

трическое поле постоянных токов в проводящей среде, и соотноше-

ниями, характеризующими электрическое поле в диэлектрике, можно

провести формальную аналогию.

Для электрического поля токов в проводящей среде

rotE = 0; ;BA

B

A

UUEdI J =E;

divJ = 0;

s

iJds .

En Et

E Et

i

En

+

–

i E

Рис.3.1.Электрическое

поле в диэлектрике


34

Они формально совпадают с соотношениями для электростати-

ческого поля в диэлектрике rotE = 0; ,BA

B

A

UUEdI D = E,

divD = 0,

s

qDds .

Аналогами являются следующие величины:

-электрическое смещение D – плотность тока J;

-электрический заряд q – ток i ;

-диэлектрическая проницаемость – удельная проводимость .

При этом будут аналогичными и граничные условия на поверх-

ности раздела двух проводящих сред, т.е.

E1 sin1 = E2 sin2 и J1cos1 = J2cos2.

Таким образом, если условия для вектора J = E на границе дан-

ной проводящей среды с удельной проводимостью совпадают с

условиями для вектора ED на границе диэлектрика такой же

формы с абсолютной диэлектрической проницаемостью , то элек-

трические поля в проводящей среде и в диэлектрике должны быть

аналогичны друг другу.

На этом основан так называемый метод электростатической

аналогии, позволяющий в ряде случаев при расчете токов в прово-

дящей среде воспользоваться готовыми решениями соответствующих

задач электростатики. Метод электростатической аналогии дает воз-

можность также заменить исследование электростатического поля

экспериментальным исследованием поля тока в проводящей среде.

В частности, формулы для электрической проводимости G = i/U

для сред, в которых протекает ток, могут быть получены из соответ-

ствующих формул для емкости тел C = q/U . В аналогичных задачах

ток i заменяется зарядом q. Электрическая емкость тела или емкость

между телами определяется геометрическими параметрами тел и аб-

солютными диэлектрическими проницаемостями сред, окружающих

тела. Чтобы получить формулу для G, достаточно заменить в соответ-

ствующей формуле для C абсолютные диэлектрические проницаемо-

сти диэлектриков удельными проводимостями проводящих

сред. Если проводящая среда и диэлектрик однородны, то в формулу

для проводимости G удельная проводимость входит множителем

и, следовательно, в формулу для емкости C абсолютная диэлектри-

ческая проницаемость также входит множителем. В таком случае


35

для аналогичных задач имеем .

C

G Так, формулу для проводимо-

сти G коаксиального кабеля (или устройства аналогичной конфигу-

рации) можно было написать сразу, пользуясь методом электростати-

ческой аналогии. Для этого достаточно в формуле для емкости кабеля

заменить на т. е.

1

2ln

2

r

r

lG

.

На принципе отмеченной аналогии базируется также моделиро-

вание электростатических полей на электропроводящей бумаге или в

электролитической ванне. Для экспериментального исследования

электростатического поля системы проводящих тел последние поме-

щают в ванну и, создав требуемые потенциалы, измеряют плотность

тока в различных участках электролита (рис. 3.2,а). Определенное та-

ким путем поле тока в электролите представляет собой модель элек-

тростатического поля системы. Гарантией этому служит значитель-

ное различие удельных проводимостей электролита и элементов си-

стемы (обычно металлических). Это различие позволяет предполо-

жить, что вектор плотности тока нормален к поверхностям системы.

Моделирование с помощью электролитической ванны имеет

известные недостатки – электролит загрязняется пылью из воздуха,

испаряется, ванна может дать течь и т. п. Поэтому для моделирования

более предпочтительны твердые модели, которые лишены этих не-

достатков. Твердая модель для моделирования двухмерных по-

лей представляет собой лист электропроводной бумаги (в обычную

бумагу при ее изготовлении добавлена сажа или графит), на кото-

рую ставят металлические электроды и к ним подводят постоянное

или синусоидальное напряжение. Ток проходит по бумаге от одного

электрода к другому.

Семейство эквипотенциалей получают так же, как и в ванне.

Бумага характеризуется своей удельной поверхностной проводимо-

стью на единицу длины и ширины, которая много меньше удельной

проводимости металлических электродов.

На практике используют твердые модели двух типов, один из

них назовем исходным (в нем расположение электродов соответ-

ствует расположению электродов в исследуемом электростатиче-

ском поле) и другой – дуальным, или обращенным (в нем электро-

ды располагают по граничным силовым линиям исходной модели).


36

Силовые и эквипотенциальные линии в исходной и дуальной

моделях меняются местами.

В качестве примера на рис. 3.2, б показана картина поля в ис-

ходной твердой модели. Электроды показаны утолщенными ли-

ниями. На рис. 3.2, в – картина поля для дуальной модели, В верх-

ней части дуальной модели на рис. 3.2, в помещена узкая металличе-

ская полоска, выполняющая роль эквипотенциальной линии. Если в

поле имеется симметрия, то она должна быть обеспечена и в дуаль-

ной модели.

3.3. Магнитное поле постоянных токов

Магнитное поле характеризуется индукцией В , намагниченно-

стью M , напряженностью магнитного поля H . При этом

HMHB r 00 ,

где μ0 =1,256·10-7

Гн/м – магнитная постоянная.

Уравнение магнитного поля постоянных токов, как это следует

из системы приведенных уравнений, имеют вид

rot JH ; HВ ; div В = 0.

Первое уравнение свидетельствует о том, что магнитное поле

токов является вихревым. Следовательно, там, где J 0, нельзя ука-

зать такую скалярную функцию координат м (x, y, z), градиент кото-

рой пропорционален вектору H , так как из-за тождества

–

Рис. 3.2. Моделирование электростатических полей полями постоянных

токов: а – схема установки; б – исходная модель; в – дуальная модель

Электроды

Зонд

Ванна

Электроды

Электроды

а) б) в) +

+ –

И

Р


37

rot gradм = 0 всюду оказалось бы rot H = 0. Таким образом, вихре-

вое поле не является потенциальным.

В той части пространства, где плотность тока равна нулю, имеем

rot H = 0 и, следовательно, в этой части пространства можно пред-

ставить напряженность магнитного поля в виде H = –gradм,

где φм – скалярный магнитный потенциал.

Таким образом, пользоваться понятием скалярного магнитного

потенциала можно только в той области пространства, где J = 0. Од-

нако и в этой области пространства м является

многозначной функцией. Линейный интеграл

напряженности магнитного поля, взятый по лю-

бому замкнутому контуру, не охватывающему

контура с током, равен нулю: 0 ldH . Если

выбрать такой замкнутый путь интегрирования,

который охватывает контур тока i, например

путь AlBmA на рис. 3.3, то линейный интеграл

напряженности магнитного поля по такому пути

уже не равен нулю:

,0 iHdlHdlHdl

AmBAlBAlBmA

откуда .iiHdlHdl мВмА

AmBAlB

Путь ArBmA охватывает 2 раза контур с током i. Для такого пу-

ти имеем ArBmA

iHdl 2 и, следовательно,

,22 iiHdlHdl мВ

ArB AmB

мА и вообще интеграл по не-

которому пути AxB может отличаться от интеграла по пути AmB на ki,

где k – целое число, если все пути проходят вне области простран-

ства, занятой самими проводниками с током: .kiHdl мА

AxB

Таким образом, скалярный магнитный потенциал оказывается

величиной многозначной. В соответствии с четвертым уравнением

Максвелла divH = 0 и уравнением H= –gradφм скалярный магнитный

потенциал подчиняется уравнению Лапласа

02 M . (3.1)

l r

n m

i

B

A

Рис. 3.3. Скалярный

магнитный потен-

циал в контуре тока


38

3.4. Векторный потенциал магнитного поля

Вектор магнитной индукции можно представить в виде вихря

некоторого вспомогательного вектора A :

ArotB ,

причем вектор A при заданном распределении в пространстве элек-

трических токов является функцией координат.

Вектор A называется векторным потенциалом магнитного

поля. Определим его так, чтобы уравнения магнитного поля

0,, BdivHBJHrot

выполнялись во всем пространстве – и там, где отсутствуют токи, и

там, где они есть , т.е. J 0.

Подчиним вектор A условию div A = 0, т.е. будем считать, что

поле вектора A не имеет источников.

Установим связь между магнитным потоком сквозь некото-

рую поверхность s и векторным потенциалом А магнитного поля.

Имеем

s s

sdArotsdB .

Согласно теореме Стокса, s

ldAsdArot . Следовательно,

.ldA

Таким образом, магнитный поток сквозь поверхность s равен

линейному интегралу векторного потенциала по замкнутому

контуру, ограничивающему эту поверхность.

Для установления связи между векторным магнитным потенци-

алом и вызывающим его током получим из первого уравнения Макс-

велла

JArotrot , (3.2)

Преобразуем это уравнение, воспользовавшись формулой векторного

анализа: JAAgraddiv 2 . (3.3)

Наложим на A дополнительное условие, называемое «кулонов-

ской калибровкой»: 0Adiv . Тогда (3.3) принимает вид

JA 2. (3.4)

Это векторное уравнение соответствует трем скалярным:

zzyyxx JAJAJA 222 ,,


39

Сравним результат с уравнением Пуассона для электростатиче-

ского потенциала. Запишем его еще раз:

2 . Решение этого

уравнения имеет вид dVrV

4

1.

Отсюда запишем проекции вектора A

dVr

JAdV

r

JAdV

r

JA

V

zz

V

y

y

V

xx

4;

4;

4.

Зная проекции, определим вектор

dVr

JA

V

4.

Для нахождения магнитного поля

линейного тока рассмотрим рис.3.4.

Пусть известна плотность линейного то-

ка J. Тогда

5.3.4

;44

l

S lV

r

ldIA

ldSdr

JdV

r

JA

Так как ток S

SdJI , то

.4

1l

r

ldrot

IArotH

(3.6)

Определим подынтегральное выражение. Пусть

rlda

1, ,

тогда

;,,, agradarotaaarot

Соответственно

;,11

4

L L

ldr

gradlrotdr

IH

Так как dl не зависит от положения точки М, в которой опреде-

лим ротор, то ,0lrotd а .1

20

r

r

rgrad

r

S

I M ld

Рис.3.4. Определение век-

тора магнитного потенци-

ала для линейного тока


40

Подставив полученные результаты в уравнение (3.6), получаем

.,

4 2

0L r

rldIH

Это интегральная формулировка так называемого закона Био и

Савара, непосредственно связывающего напряженность магнитного

поля с линейным распределением тока.

В дифференциальной форме этот закон имеет вид

d .,4

02rld

r

IH

3.5. Граничные условия на поверхности раздела двух сред

с различными магнитными проницаемостями

Если линии магнитной индукции пересекают поверхность раз-

дела двух участков магнитной цепи, имеющих различные магнитные

проницаемости, под некоторым углом к нормали к этой поверхности,

то на поверхности раздела линии магнитной индукции изменяют свое

направление. Установим общие условия, которым подчиняются со-

ставляющие векторов магнитной индукции и напряженности поля на

границе двух сред с различными абсолютными магнитными проница-

емостями 1 и 2.

Примем, что обе среды являются однородными и изотропными.

Пусть 1 и 2 – углы между направлением линии магнитной индукции

и направлением нормали к поверхности раздела в первой и во второй

среде (рис. 4.3, а). Составим линейный интеграл вектора Н по конту-

ру abcda, стороны которого ab и cd лежат в разных средах бесконечно

близко к поверхности раздела. Имеем

,0sinsin 211 cdHabHHdl

abcda

так как сквозь поверхность, ограниченную контуром интегрирования,

не проходит электрический ток. Принимая во внимание, что ab = cd,

получаем H1sin1 = H2sin2, т.е. на поверхности раздела равны ка-

сательные составляющие вектора H.

Представим себе замкнутую поверхность, образованную двумя

плоскими поверхностями s1 и s2, следы которых в плоскости рисунка


41

суть линии ab и cd, и цилиндрической поверхностью, пересекающей-

ся с плоскостью рисунка по линиям bc и ad. Магнитный поток сквозь

эту поверхность равен нулю. Следовательно,

,0coscos 222111

1 2

sBsBBdsBds

s s

приняв во внимание, что s1 = s2 определяем 2211 coscos BB т.е. на

поверхности раздела двух сред равны нормальные составляющие

вектора В.

Из условий на поверхности раздела для векторов Н и В имеем

22

22

11

11

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B , или .

tg

tg

2

1

2

1

Рассмотрим распределение магнитного поля в воздухе около по-

верхности стальных частей

машин, трансформаторов,

электромагнитов и других

электротехнических

устройств. Магнитные про-

ницаемости ферромагнит-

ной среды и воздуха значи-

тельно разнятся между со-

бой. Для воздуха практиче-

ски 2= 0. Пусть для фер-

ромагнитной среды 1 =

10000. В этом случае имеем tg1 = 1000 tg2. Если линии магнитной

индукции внутри ферромагнитной среды (рис. 3.5, б) составляют с

нормалью угол 1 = 89, то соответствующий угол в воздухе оказыва-

ется равным 2 320

’. Поэтому во всех случаях, когда магнитное по-

ле создается токами, протекающими по проводникам, расположен-

ным в воздухе, практически можно принять 2 = 0, т.е. считать, что

линии магнитной индукции в воздухе нормальны к поверхностям тел

из ферромагнитных материалов.

Пусть около бесконечной плоскости, ограничивающей ферро-

магнитную среду, для которой примем = , расположен в воздухе

параллельно плоскости провод с током i (рис. 3.6). Поверхность фер-

ромагнитной среды является поверхностью равного магнитного по-

N

N

N

B2

B1

N

N

N d

N

N

d

N

N

b

N

N

c

N

N

S1

N

N

S2

N

N

0

Рис. 3.5. Граничные условия: а – разные

среды, б – граница железо – воздух

1

Железо Воздух

б)

2

2 1

а)

1

2

1


42

тенциала, так как линии напряженности поля в воздухе к ней перпен-

дикулярны.

Удалим мысленно ферромагнитную среду, заменив ее током i,

являющимся зеркальным изображением в поверхности раздела дей-

ствительного тока i. Ток i примем равным току i и имеющим то же

направление.

Средняя плоскость между дей-

ствительным током и его зеркальным

изображением, совпадающая с поверх-

ностью раздела в действительной зада-

че, является плоскостью равного маг-

нитного потенциала. Это вытекает хотя

бы из того, что линии магнитной ин-

дукции, охватывающие оба тока, долж-

ны расположиться симметрично отно-

сительно этой плоскости. А это воз-

можно, если они пересекают ее под

прямым углом. Итак, после замены

ферромагнитной среды током i условия

на граничной плоскости не изменились. Остался без изменения и ток

i в области действительного поля, поэтому мы можем сделать следу-

ющий вывод: поле прямолинейного поля i, проходящего в воздухе

параллельно плоской поверхности массивного тела из ферромагнит-

ного материала, совпадает в воздухе с полем, которое образуется

двумя токами: действительным током i и его зеркальным изображе-

нием i = i у поверхности тела при удаленной ферромагнитной среде.

3.6. Поле прямого провода (прямолинейного тока)

Пусть ток направлен вдоль оси z цилиндрической системы коор-

динат. Определим векторный магнитный потенциал внутри и снару-

жи провода. Из уравнения (3.4) следует: JA 2. В цилиндриче-

ской системе координат вектор A имеет только z-составляющую.

1. Внутри провода радиусом а, т. е. при r < a

22

1

a

I

dr

dAr

dr

d

или 212

2

ln4

CrCa

IrA

.

r2

φ2

ii

i

φ1 r1

M

Um=const μ0

μ=

Рис. 3.6.Метод зеркальных

изображений


43

Магнитная индукция ArotBвн тоже будет иметь одну

α-составляющую

r

C

a

Ir

dr

dABвн

122

.

2. Снаружи проводника т.е. при r>a

02 A , Aсн=C3lnr+C4 и r

CBсн

3 .

Для определения постоянных интегрирования используем сле-

дующие условия. Так как ln 0 не имеет смысла, то при r = 0 С1 = 0.

Поскольку индукция В и векторный магнитный потенциал А на

границе непрерывны, то приравняем их значения внутри и вне прово-

да, т.е. при r=a a

C

a

I 3

2

, отсюда

23

IC и

42 ln24

CrI

CI

.

Принимая С4 = 0, получим )5,0(ln2

2 аI

C

.

Таким образом, внутри провода

)5,0(ln24 2

2

аI

a

IrAвн

, ;

2 2a

IrBвн

снаружи провода rI

Aсн ln2

,

r

IBсн

2.

Для магнитного поля снаружи провода можно определить ска-

лярный магнитный потенциал, полагая Нсн= – gradφM..

В цилиндрической системе координат

r

IBH

rgrad cн

снM

М

2и

1

0

.

Тогда

2и

1

2

I

rr

IM

M

,

т.е. плоскости равного скалярного потенциала проходят через радиус

и ось проводника.

П р и м е р 3.1. Вдоль двухпроводной линии протекает постоян-

ный ток I = 36 A. Расстояние между проводами 1 м. Определить раз-

ность скалярных магнитных потенциалов между точками M и N, ко-

ординаты которых xM = 0,5 м, yM = 0,5 м, xN = 0, yN = 0,5 м.


44

Р е ш е н и е.Магнитное напряжение между точками M и N по

пути MLN, обусловленное током левого

провода (рис.3.7):

2

1

IM ,

а по пути MКN

2

2

IM , где β = 45

о .

Так как tg γ = 0,5 и γ = 26,5о, то

α = 45о – 26,5

о =18,5

о.

Магнитное напряжение между точками M и N

φМ = φМ1+ φМ2 =36/360о(–45

о+18,5

о) = –2,65 А.

П р и м е р 3.2. Определить индуктивность двухпроводной ли-

нии, выполненной из цилиндрических проводников радиусом а и

расположенных на расстоянии d друг от друга (рис.3.7 ).

Р е ш е н и е. Индуктивность линии L = 2(Lвн+ Lсн).

Для определения индуктивности проводника определим ток че-

рез сечение радиусом r

2

2

2

2

a

Ir

a

rII

и по закону полного тока напряженность магнитного поля

222 a

Ir

r

IHвн

.

Тогда потокосцепление

8204

3

02

2 Ildr

a

lIrldrH

a

ra

вн

a

вн

и индуктивность проводника

8

l

IL вн

вн .

Определим потокосцепление между проводниками

a

adIldR

R

IlldRH

ad

а

сн

ad

а

cн

ln22

000

.

Тогда a

adl

IL сн

сн

ln

2

0

.

Таким образом, индуктивность двухпроводной линии

)ln4(4

ln4

2 00

a

adl

a

adllLLL rснвн

.

K

Рис. 3.7. К примеру 3.2

I I

N

L

M

α

γ

β

X


45

3.7. Графический метод построения картины поля

В сложных случаях аналитический расчет поля оказывается не-

возможным и приходится прибегать к приближенным графическим

методам построения картины поля, в частности такой метод исполь-

зуют при построении картины поля около стальных полюсов элек-

трических машин и аппаратов. Линии магнитной индукции в воздухе

около полюсов нормальны к их поверхностям, и, следовательно, по-

верхности полюсов можно считать поверхностями равного магнитно-

го потенциала. Такое условие верно, если поле создается токами,

проходящими по проводникам и обмоткам, расположенным в возду-

хе. Установим сначала метод построения картины поля в области, не

занятой проводниками с токами, создающими исследуемое поле, т.е.

около тех частей полюсов, которые выступают за пределы обмоток с

током, наложенных на сердечники полюсов. Кроме того, если в дан-

ной области пространства поле приближенно можно считать плоско-

параллельным, то, очевидно, следует руководствоваться правилами,

аналогичными тем, которые были установлены ранее для построения

электрического поля, а именно:

1) линии напряженности поля и линии равного магнитного по-

тенциала должны пересекаться всюду под прямым углом;

2) поверхности ферромагнитных сред следует считать поверх-

ностями равного магнитного потенциала и линии напряженности по-

ля в воздухе следует проводить перпендикулярно к ним;

3) ячейки сетки, образованной линиями напряженности поля и

линиями равного потенциала, при достаточной густоте сетки должны

быть приблизительно подобны друг другу.

Обозначим средние размеры ячейки сетки в направлении линии

напряженности поля через n и в направлении линии равного маг-

нитного потенциала через a. Тогда последнее правило можно выра-

зить в форме .constka

n

.

Путем ряда последовательных приближений удается нарисовать

картину поля, удовлетворяющую всем указанным требованиям. На

рис. 3.8 построена таким способом картина поля около полюсов элек-

трической машины.


46

Если построена картина поля, то

из нее может быть определено магнит-

ное сопротивление Rм или магнитная

проводимость FR

Gм

м

1

воздушно-

го промежутка между полюсом и яко-

рем, причем – магнитный поток в

рассматриваемом промежутке и F – МДС на длине промежутка. Если

m1 – число трубок магнитной индукции, то = m1 = m1l0Ha,

где – поток в одной трубке и l – длина в направлении оси z (пер-

пендикулярной плоскости рисунка). Если m2 – число интервалов

между соседними линиями равного потенциала, то F = m2Uм =

m2Hn, где Uм – изменение потенциала на протяжении одного ин-

тервала.

Таким образом, .2

10

l

m

m

n

alGm

Величина представляет собой магнитную проводимость на

единицу длины в направлении оси z. Она зависит исключительно от

конфигурации рассматриваемого участка магнитной цепи.

Приведенные правила построения картины поля справедливы

только в области, не занятой электрическим током. В области, в кото-

рой расположены проводники или катушки с током, эти правила не-

применимы, так как здесь теряется смысл понятия скалярного маг-

нитного потенциала.

3.8. Магнитное экранирование

Для защиты электроизмерительных

приборов от влияния посторонних маг-

нитных полей их системы помещают в

массивные замкнутые или почти замкну-

тые оболочки из ферромагнитного мате-

риала. Такие оболочки называют магнит-

ными экранами. Поле внутри экрана ока-

зывается ослабленным по сравнению с

внешним полем.

B µ0

R2

R1

µ

Рис. 3.9.Магнитное

экранирование

0

µ0

µ0 B

µ

z

B0

Δn

N S

Δa

Рис. 3.8. Картина магнитного

поля

∆n

∆a


47

Если экран выполнен в форме полого шара с радиусами R1 и R2

(рис. 3.9) и материал экрана имеет абсолютную магнитную проница-

емость , то индукция внутри экрана

.

219

21

1

0

032

31

0

R

RBB

где В0–индукция внешнего поля.

Так, если R1 = 0,9R2 и = 5000, то В = =0,031В0, т.е. напряженность

поля внутри экрана составляет 3 % от напряженности внешнего поля.

Экранирующее действие определяется тем, что линии магнитной ин-

дукции внешнего поля, стремясь пройти по пути с наименьшим маг-

нитным сопротивлением, сгущаются внутри стенок экрана, почти не

проникая в его полость. Нередко применяют многоступенчатые экра-

ны в виде нескольких полых ферромагнитных тел, расположенных

один внутри другого.

3.9. Магнитная энергия постоянного тока

Известно, что с магнитным полем связана энергия, распределен-

ная в пространстве с плотностью

22

2 HBHwM

, так как В = μН.

В некоторой области V она определяется интегралом

VV

M dVArotHdVHBW2

1

2

1, так как ArotB .

Используя равенство ,, HrotAArotHHAdiv получим

VV

M dVHAdivdVHrotAW .,2

1

2

1

Преобразуем второе слагаемое по теореме Остроградского-

Гаусса:

SV

SdHAdVHAdiv .,,

При учете всей энергии поля подынтегральное выражение в по-

следней формуле устремляется к нулю, так как векторный потенциал

и напряжение магнитного поля убывают быстрее, чем r –2

, а площадь


48

увеличивается пропорционально r2. Таким образом, с учетом

HrotJ получаем

V

M dVJAW2

1.

Это уравнение позволяет определить магнитную энергию в тех обла-

стях, где имеется определяемая плотность тока J.


1. Электрический ток является векторной или скалярной вели-

чиной?

2. Как определить емкость двухпроводной линии путем модели-

рования ее полем постоянных токов ?

3. Что такое «шаговое» напряжение, как его рассчитать?

4. Как определяют векторный магнитный потенциал?

5.Везде ли можно определить скалярный магнитный потенциал?

6. Как изменяется напряженность магнитного поля при переходе

из одной среды в другую?

7. В чем заключается различие картин электрического поля за-

ряженного проводника и магнитного поля проводника с постоянным

током в нем?


49

ГЛАВА 4. ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Под переменным электромагнитным полем понимают совокуп-

ность изменяющихся во времени и взаимно связанных друг с другом

электрического и магнитного полей.

При исследовании процессов в переменном электромагнитном

поле пользуются уравнениями, которые принято называть уравнени-

ями Максвелла. Ниже получены уравнения электромагнитного поля,

изменяющегося по гармоническому закону.

4.1. Уравнения Максвелла в комплексной форме

Используя метод комплексных амплитуд, заменим в первых

двух уравнениях Максвелла, записанных в дифференциальной форме,

векторы поля комплексными амплитудами tj

mtj

m eHeE и .

Тогда после сокращения левой и правой части уравнения на 2 еjωt

перейдем к уравнениям с комплексами E и H :

.

.

HjErot

EjEHrot

В общем случае, когда плотности токов проводимости и смеще-

ния сопоставимы, целесообразно ввести понятие комплексной ди-

электрической проницаемости:

,,,,,

jjjj

тогда

tg

– тангенс угла диэлектрических потерь.

Мнимая часть комплексной диэлектрической проницаемости

характеризует ток проводимости и электрические потери в веществе.

Если 0 , то потери отсутствуют. Аналогично вводится комплекс-

ная магнитная проницаемость ; j

аналогично M

tg

– тангенс угла потерь на перемагничивание.

Уравнения Максвелла для комплексных векторов будут иметь

вид


50

2.4.

1.4.

HjErot

EjHrot

Эти уравнения для переменного электрического поля дополня-

ются еще двумя:

.0,0 HdivEdiv

Вид второго уравнения не вызывает сомнения, так как оно получено

из уравнения 0Bdiv . А вот первое уравнение требует доказатель-

ства. Приведем его:

;1

;; Jdivj

jJdivt

Jdiv

так как J = σE, то ;Edivj

но EdivDdiv ,

тогда ;0 Edivj

Ediv

.00

EdivEdiv

j

Для расчета энергии электромагнитного поля используют вектор

Пойнтинга, который в комплексной форме имеет вид

HE .

Тогда уравнение энергетического баланса можно записать в инте-

гральной форме в следующем виде:

VVV

dVEHjdVEdVÏdiv 222 .

Учитывая то, что V

dVE2 – активная мощность,

QdVEH

V

222

22 – реактивная мощность и по теореме Остро-

градского-Гаусса V

dSdVdiv , можно записать

– jQPSd .

В таком виде это уравнение используют для определения активного и

индуктивного сопротивлений:

jXRI

jQ

I

P

I

Sd

222

.


51

4.2. Волновые уравнения

Из уравнений Максвелла получим отдельно уравнения для E и

для H , т.е. решим систему относительно векторов поля. Из уравне-

ния (4.2) выразим H и подставим в (4.1):

.числоволновое;

;;1

2222

2

kEEEdivgrad

EErotrotErotj

H

Так как div E = 0, то .022 EkE

Проведем аналогичные действия относительно вектора H :

.022 HkH

Это уравнения Гельмгольца.

Для комплексных амплитуд они выглядят следующим образом:

,022 mm EkE (4.3)

.022 mm HkH (4.4)

Электромагнитное поле, возникшее в некоторой области про-

странства, не заполняет его мгновенно, а распространяется с конеч-

ной скоростью, зависящей от свойств среды. При этом происходит

запаздывание его по фазе, следствием чего является волновой ха-

рактер распространения, описываемый уравнениями Гельмгольца.

Различают следующие виды волн:

плоские волны (Т-волны), у которых векторы поля ориентирова-

ны перпендикулярно направлению распространения,

Е – волны, у которых вектор напряженности электрического по-

ля Е имеет одну из проекций, ориентированную в направлении рас-

пространения поля,

H – волны, у которых вектор напряженности магнитного поля H

имеет одну из проекций, ориентированную в направлении распро-

странения поля.

Кроме того, волны могут иметь различную поляризацию.

Плоскостью поляризации называют плоскость, проходящую

через направление распространения волны и направление векто-

ра напряженности электрического поля Е.

Рассмотрим виды поляризации в режиме гармонических

колебаний.


52

Если существуют одновременно две волны одной частоты

и векторы напряженности электрического поля у них взаимно

перпендикулярны, то общее поле определяется суперпозицией

заданных полей:

.cos;cos 020010 kztEyEkztExE yx

В плоскости Z = 0 kz = 0 и

;cos010 tExEx (4.5)

).cos(020 tEyEy (4.6)

Освободимся от временной зависимости.

Для этого из уравнения (4.5) получим

tE

Ex cos01

. (4.7)

Из уравнения (4.6)

;sinsincoscoscos02

tttE

Ey (4.8)

и из уравнения (4.8) .sin

cos

sin 0102

E

E

E

E

t

xy

(4.9)

Возведем уравнения (4.7) и (4.9) в квадрат и сложим.

.sincos2

;sincos2cossin

2

0201

2

02

2

01

2

0201

2

2

01

2

02

2

2

01

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

yxyx

yxxyx

Получили каноническое уравнение эллипса (рис. 4.1). Тра-

екторией конца вектора E в плоскости z =const является эллипс.

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1. yxyx E

E

EE

E

E

E

E

02

01

0201

0 –линейная поляризация

(рис. 4.2, a).

2. yx EE

EE

02

01 – линейная поляризация (рис. 4.2, б).

3. φ = π/2, E01 = E02;

Y

Рис. 4.1.Эллиптическая

поляризация

2E01

2E02

X


53

.sin)2cos(

;cos;

01022

0112

0122

tEtEE

tEEEEE yx

Со временем вектор напряженности электрического поля пе-

ремещается по часовой стрелке. Это правая эллиптическая поляри-

зация (рис. 4.2, в).

4. φ = – π/2. Этот случай соответствует волне с левой эллиптиче-

ской поляризацией.

Чтобы получить волну с круговой поляризацией, исходные вол-

ны должны быть ортогонально линейно поляризованы, иметь одина-

ковые амплитуды и фазовый сдвиг, равный ± π/2. Волна с круговой

поляризацией может быть записана в виде

.sincos 000 tytxEE

В комплексной форме можно записать

.000kztjeyjxEE

Легко показать, что две волны с круговой поляризацией могут в

сумме образовывать волну с линейной поляризацией.

4.3. Лемма Лоренца. Теорема (принцип) взаимности

Лемма Лоренца устанавливает зависимость между электромаг-

нитными полями двух сторонних источников (ñòñò JJ 21 , ) для изо-

тропных и линейных сред.

Пусть в линейной изотропной среде с параметрами ε, μ и σ

имеется два сторонних источника с плотностью тока ñòJ1 и

ñòJ2 .

Сторонний источник ñòJ1 создает в каждой точке пространства по-

ля 1E , 1H , а источник ñòJ2 – поле 2E , 2H . Пусть круговые частоты

электромагнитных колебаний источников одинаковы.

ω1 = ω2 = ω.

а)

x

y 0

б)

x

y 0

в)

x

y 0

Рис. 4.2. Виды поляризации: а,б – линейная; в – эллиптическая

Е


54

Запишем системы уравнений Максвелла для каждого поля в

комплексной форме

.

;

11

1ñò11

HjErot

EjJHrot k

(4.10)

.

;

22

2ñò22

HjErot

EjJHrot k

(4.11)

Умножив скалярно уравнения (4.10) – (4.11) на векторы 2E , 2H ,

1E , и 1H соответственно получаем

21ñò1212 EEjJEHrotE k

; (4.12)

2112 HHjErotH ; (4.13)

21ñò2121 EEjJEHrotE k

; (4.14)

2121 HHjErotH k . (4.15)

Вычтем из (4.12) уравнение (4.15), а из (4.14) уравнение (4.13).

2121ñò122112 HHjEEjJEErotHHrotE k

, (4.16)

2121ñò211221 HHjEEjJEErotHHrotE k

, (4.17)

или

)( 21212ñò112 HHEEjEJHEdiv k

; (4.18)

)( 21211ñò221 HHEEjEJHEdiv k

; (4.19)

Вычтем из (4.18) уравнение (4.19).

1ñò22

ñò11221 EJEJHEdivHEdiv . (4.20)

Выражение (4.20) устанавливает связь между сторонними тока-

ми и полями в двух различных точках пространства и представляет

собой лемму Лоренца в дифференциальной форме.

При наличии точек разрыва (например, имеется граница раздела

двух сред) удобнее использовать лемму Лоренца в интегральной фор-

ме. Для получения ее умножим уравнение (4.20) на dV и проинтегри-

руем по объему V, при этом используем теорему Остроградского -

Гаусса. В результате получим

S V

dVEJEJdSHEHE 1ñò22

ñò11221

. (4.21)

Выражение (4.21) есть лемма Лоренца в интегральной форме.


55

Теорема взаимности. Пусть сторонние источники локализованы

в ограниченных объемах V1 и V2 (рис. 4.3).

Распространим в (4.21) интегрирование на бесконечно расширя-

ющийся объем V, тогда

S

dSHEHE 01221 , так как из-за потерь

(среда имеет проводимость σ ≠ 0) элек-

тромагнитные поля в бесконечности рав-

ны нулю (иначе поток энергии через по-

верхность S бесконечно расширяющегося

объема будет стремиться к нулю в беско-

нечности). Предполагается, что источни-

ки поля находятся на конечном расстоя-

нии от начала координат.

Следовательно, интеграл в правой

части (4.21) разбивается на два независи-

мых интеграла по объемам V1и V2, в ко-

торых источники ñò1J ≠ 0 и ñò

2J ≠ 0 соответственно

21

1ñò22

ñò1

VV

dVEJdVEJ . (4.22)

Уравнение (4.22) есть теорема (принцип) взаимности, опреде-

ляющая взаимную связь между электромагнитными полями двух ис-

точников (излучателей).

Физический смысл тео-

ремы взаимности можно

наглядно представить на при-

мере системы из двух элемен-

тарных излучателей (антенн).

К элементарным излуча-

телям относятся отрезки ци-

линдрических проводников,

длина l которых много мень-

ше длины волны (рис. 4.4), а

поперечные размеры значи-

тельно меньше продольных

(l1<<λ; l2 <<λ; 2a1<< l1; 2a2<< l2).

Предполагается, что комплексные амплитуды плотностей сто-

ронних токов ñò1mJ и

ñò2mJ неизменны по длинам l1 и l2 соответственно.

Рис.4.3. Локализованные

сторонние источники

S

V

V1

V2

ε,μ,

11, HE

22 , HE

ст2J

ст1J

Рис.4.4. Цилиндрические элементарные

излучатели

ΔS1

2a2

ΔV1

2a1

ст2J

l2

l1

ст1J

ΔV2

ΔS2


56

При этом теорему взаимности для элементарных излучателей

можно записать в следующих формах:

111

121ñò112

ñò1

lSV

ldESdJdVEJ

; (4.23)

222

212ñò221

ñò2

lSV

ldESdJdVEJ

, (4.24)

где ñò11

ñò1

1

ISdJ

S

– сторонний ток в первом излучателе;

ñò22

ñò2

2

ISdJ

S

– сторонний ток во втором излучателе; 1212

1

ÝldE

l

–

ЭДС (напряжение), наведенная полем 2E второго излучателя на пер-

вом излучателе; 2121

2

ÝldE

l

– ЭДС (напряжение), наведенная по-

лем 1E , первого излучателя на втором излучателе. Таким образом,

теорема взаимности записывается в следующей форме:

21ñò212

ñò1 ÝIÝI . (4.25)

Здесь в записи 12Ý и 21Ý первый индекс указывает номер из-

лучателя, в котором

наводится ЭДС, а вто-

рой индекс – номер воз-

действующего излуча-

теля.

Разделим правую и

левую части (4.25) на

величину ñò2

ñò1 , II :

âçñò1

21ñò2

12 ZI

Ý

I

Ý

. (4.26)

В (4.26) величина

Zвз имеет размерность сопротивления, ее можно рассматривать как вза-

имное сопротивление между двумя элементарными излучателями.

Понятие о взаимном сопротивлении дает возможность предста-

вить пространство между двумя излучателями (антеннами) в виде не-

которого пассивного четырехполюсника (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Взаимное сопротивление излучателей

первой формы

1

1

1

1

2

2

2

2

ст1I

ст2I 12Э

21Эст1

21вз

I

ЭZ

ст2

12вз

I

ЭZ


57

Очевидно, что ЭДС (напряжения), наводимые в излучателях,

пропорциональны сторонним токам и не зависят от длины элементар-

ных излучателей, их взаимного расположения и свойств изотропной

линейной среды. При ñò2

ñò1 II будут равны ЭДС 2112 ÝÝ

Теорема взаимности может быть записана в следующей форме:

21ñò212

ñò1 IÝIÝ , или âç

12

ñò2

21

ñò1 Z

I

Ý

I

Ý

.

Так как размеры объемов ∆V1 и ∆V2 малы по сравнению с дли-

ной волны, то в теореме взаимности (4.22) можно векторы 1E и

2E вынести за знак интегралов:

21

2ñò211

ñò12

VV

VdJEVdJE

(4.27)

В уравнении (4.27) обозначим

22ñò211

ñò1

21

; pVdJpVdJ

VV

.

Векторы 1p и 2p называются электрическими моментами

элементарных излучателей (диполей). Тогда

1221 EpEp . (4.28)

Уравнение (4.28) есть третья форма записи теоремы взаимности.

Смысл этой формулы состоит в том, что если в некоторой точке 1 рас-

положен элементарный излучатель с моментом 1p и он возбуждает в

точке 2 поле 1E , то, убрав в точке 1 этот излучатель и поместив в точ-

ке 2 второй излучатель с моментом 2p , получим в точке 1 от него по-

ле 2E

Таким образом, в изотропной и линейной среде взаимное сопро-

тивление между излучателями не зависит от направления передачи

энергии, т.е. от того, какой излучатель является передающим, а какой

– приемным.


58

4.4. Принцип перестановочной двойственности

Этот принцип часто используется при решении электродинами-

ческих задач. Предположим, что получено общее решение основных

уравнений для поля при = О, стJ = 0.

.

;

t

HErot

t

EHrot

Заменим в этом решении HE , . Новые выражения для

E и H , очевидно, будут являться решениями уравнений, которые

получаются из системы посредством той же перестановки. Произведя

эту перестановку в нашей системе, получим те же самые уравнения

поля.

Таким образом, перестановка указанного вида в общем решении

основных уравнений поля дает также общее решение системы основ-

ных уравнений поля. Величины E и H , полученные в результате пе-

рестановки, также являются решениями уравнений Максвелла.

В самом общем виде принцип перестановочной двойственно-

сти формулируется так: если известно общее решение задачи об

определении поля от источника (диполя) одного класса HE , , то

общее решение для поля от источника другого класса (типа) HE ,

получается с помощью указанной замены HE , EH ,

.

Определенное таким способом поле затем необходимо подчи-

нить соответствующим граничным условиям.

4.5. Основные методы решения задач электродинамики

Большинство задач антенной техники, техники сверхвысоких

частот и распространения радиоволн можно свести к нескольким аб-

страктным электродинамическим задачам. Их можно классифициро-

вать как задачи анализа и задачи синтеза.

Задачи анализа предполагают исследование полей в пространстве,

при известном распределении источников.

Задачи синтеза предполагают создание определенного распреде-

ления источников, обеспечивающих заданное распределение полей в


59

пространстве. Задачи синтеза являются значительно более сложными,

зачастую реализация их решения технически невозможна.

4.5.1. Формулировка задач электродинамики

Задачи анализа можно разделить на внутренние и внешние.

Внутренняя задача формулируется следующим образом: необхо-

димо отыскать решение уравнений Максвелла или соответствующих им

волновых уравнений в области V, ограниченной поверхностью S. При-

чем это решение должно удовлетворять на этой поверхности гранич-

ным условиям. При решении внутренних задач различают два решения

– отыскание собственных функций, что соответствует решению одно-

родных волновых уравнений, и отыскание полей заданных источников,

соответствующих решению неоднородных волновых уравнений. При-

мером подобных задач является задача отыскания полей в объемном

резонаторе. Решение однородного волнового уравнения позволяет

найти свободные колебания резонатора, а решение неоднородного

уравнения – вынужденные колебания. Доказано, что решение обеих за-

дач существует и при выполнении граничных и начальных условий яв-

ляется единственным.

Среди внешних задач наиболее простой является задача излуче-

ния заданной системы источников в однородном безграничном про-

странстве. Она формулируется следующим образом: в свободном без-

граничном пространстве необходимо найти решение неоднородного

волнового уравнения, удовлетворяющее условию излучения на беско-

нечности (эквивалент граничных условий для внутренних задач). До-

казано, что решение задачи существует и является единственным.

Другим, несколько более сложным, примером внешней задачи

электродинамики является задача излучения заданной системы источни-

ков в безграничное, неоднородное пространство. Задача формулируется

также как и предыдущая, только предполагается дополнительно,

что функция, описывающая распределение параметров среды, является

непрерывной и имеет непрерывные первые производные.

4.5.2. Точные методы решения

Все методы решения задач электродинамики можно разделить

на точные и приближенные. Если результат решения задачи любым из


60

точных методов является одинаковым, то результаты решения при-

ближенными методами, различаются, и степень их точности зависит

от характера использованных приближений.

К числу точных методов решения задач электродинамики относят:

-метод разделения переменных (метод Фурье);

-метод запаздывающих потенциалов;

-метод скалярного и векторного интеграла Кирхгофа.

Метод разделения переменных применим в любой ортого-

нальной системе координат, выбранной таким образом, чтобы гра-

ничные поверхности тела (либо области пространства) совпадали

или были параллельными координатным поверхностям. Решение

однородного волнового уравнения в диэлектрической среде

(уравнения Даламбера) методом разделения переменных в пря-

моугольной системе координат представляется в виде

С = С1 exp(–j (kхх +kуу +kzz)) + C2exp(j (kхх +kуу +kzz)), (4.29)

где С – любая из проекций любого вектора электромагнитного поля

на координатные оси; C1,C2– постоянные интегрирования; kх,kуkz–

проекции волнового числа (постоянной распространения) на коор-

динатные оси.

В уравнении (4.29) первое слагаемое описывает уходящую

волну, а второе – приходящую. Исходя из физической специфики

задачи, одно из них (чаще второе) отбрасывается.

Более подробно данный метод решения на конкретном приме-

ре плоской волны рассматривается в следующих главах.

Решение волнового уравнения методом запаздывающих

потенциалов основано на том физическом представлении, что

электромагнитное возмущение, созданное источниками, сосредо-

точенными в некоторой области пространства, достигает точки

наблюдения не мгновенно, а с некоторым запаздыванием, величина

которого определяется скоростью распространения возмущения v и

расстоянием до точки наблюдения r. Это означает, что интересу-

ющая нас характеристика электромагнитного поля в точке

наблюдения в настоящий момент времени t обязана своим суще-

ствованием вариациям источника поля в предшествующий (более

ранний) момент времени – (t – v

r). Кроме того, амплитуда рас-

сматриваемой характеристики поля, в соответствии с условиями

излучения, физический смысл которых состоит в том, что на бес-


61

конечном удалении от источника амплитуда поля должна стре-

миться к нулю, убывает пропорционально первой степени расстоя-

ния. Таким образом, решение волнового уравнения методом запаз-

дывающих потенциалов будет иметь вид:

– для векторного потенциала, когда источники распределены в

объеме V,

dV

r

jkrJA

V

ñòýa

exp

4

,

– для скалярного потенциала при тех же условиях

dVr

v

rt

V

ñò

a

4

1,

где r – расстояние от каждой точки рассматриваемого объема (по-

верхности, кривой), где распределены источники, до точки наблю-

дения; ñòýJ ,ρ

ст – функции координат, описывающие распределение

источников (токов, зарядов) внутри рассматриваемого объема (на

поверхности, по линии).

Аналогичным образом могут быть записаны решения вол-

новых уравнений и для других характеристик электромагнит-

ного поля. Если источники электромагнитного поля распределены

не в объеме, а на поверхности или линейно, интегрирование рас-

пространяется на соответствующие поверхности или линии при со-

хранении общего вида решения.

4.5.3. Приближенные методы решения

В зависимости от соотношения геометрического размера и

длины электромагнитной волны λ принято рассматривать три обла-

сти пространства L:

–квазистационарную (ближнюю) ;1/ L

–резонансную ;1/ L

–квазиоптическую (дальнюю) 1/ L .

В ближней области решение задач базируется на методах

электро- и магнитостатики, в резонансной – на точных мето-

дах. В квазиоптической области используются приближенные ме-

тоды К числу приближенных методов решения задач электродина-


62

мики относят методы геометрической оптики, волновой (физиче-

ской) оптики, краевых волн, геометрической теории дифракции. В

перечисленной последовательности приближенные методы поз-

воляют получить более точное решение.

Метод геометрической оптики является предельным при

решении волновой задачи, когда длина волны λ стремится к нулю.

Это означает, что здесь не учитывается волновой характер поля.

Этот метод применим при определении электромагнитного поля

(чаще всего при решении задач на отражение электромагнитных

волн) когда размеры отражающего тела и минимальный радиус

кривизны его поверхности велики по сравнению с длиной волны.

Кроме того, необходимо, чтобы источник поля находился на доста-

точно большом расстоянии от поверхности тела.

Основные положения метода геометрической оптики состоят в

том, что электромагнитная энергия распространяется внутри луче-

вых трубок; поток энергии внутри каждой лучевой трубки постоя-

нен; амплитуды векторов поля в каждой точке пространства опре-

деляются из постоянства потока энергии внутри лучевой трубки;

фазы электромагнитных колебаний в каждой точке пространства

определяются длиной пути от источника до точки наблюдения и

изменяются вдоль луча линейно; если через точку наблюдения

проходит несколько лучевых трубок, то результирующее поле

определяется как геометрическая сумма полей всех составляющих.

Следует иметь в виду, что понятие лучевой трубки примени-

мо, когда амплитуды векторов поля и параметры среды мало изме-

няются на расстоянии длины волны, что в однородной среде лучи

являются прямыми линиями, а в неоднородной – плавными кривы-

ми, что перераспределение энергии между соседними лучевыми

трубками отсутствует и векторы E и H перпендикулярны лучу.

В геометрической оптике предполагается, что поле в точке

наблюдения определяется значениями его векторов в тех точках от-

ражающей поверхности или волнового фронта поля источника, из

которых лучи приходят в данную точку. Таким образом, метод

геометрической оптики дает решение только в «освещенной» обла-

сти пространства. В тени он «не работает».

Метод волновой оптики (физической оптики), в отличие

от предыдущего, учитывает волновой характер электромагнит-


63

ного поля и базируется в соответствии с принципом Гюйгенса на

представлении поля точечного источника в виде волновой функции re vrtj

m // ,

где Ψ– любая составляющая вектора поля; ω – круговая частота; r –

расстояние до точки наблюдения; v – скорость волнового процесса.

Этот метод применим при тех же ограничениях, что и ме-

тод геометрической оптики, т.е. для больших, гладких тел, когда

точка наблюдения находится на достаточном расстоянии от источ-

ника. Однако метод волновой оптики позволяет определять

электромагнитное поле и в области геометрической тени (при

использовании этого метода области тени за объектом не существу-

ет, что реально и наблюдается при эффекте дифракции).

Амплитуда напряженности электромагнитного поля в точке

наблюдения определяется как геометрическая сумма колебаний.

Математическая формулировка метода волновой оптики с точно-

стью до постоянного фазового множителя exp(jπ/2) совпадает с

формулой скалярного интеграла Кирхгофа. В то же время метод

волновой оптики совпадает с методом геометрической оптики в

том отношении, что значения волновой функции реально могут

быть заданы точно только в пределах освещенного (полем ис-

точника) участка волнового фронта, а в теневой области полага-

ются равными нулю. Это же обстоятельство не позволяет в инте-

грале Кирхгофа задать точно значения всех подынтегральных

функций и использовать этот интеграл в качестве точного решения

задач электродинамики.

Метод краевых волн является развитием метода волновой

оптики применительно к телам, поверхность которых имеет изло-

мы, ребра и т.д. Он используется при тех же ограничениях, что и

предыдущий метод, только позволяет несколько ослабить требо-

вания по соотношению размеров тела, радиуса кривизны его по-

верхности и расстояния до точки наблюдения и длины электромаг-

нитной волны.

Суть метода краевых волн состоит в том, что в отличие от

предыдущих методов, где на теневой части тела, либо волнового

фронта источника поле принималось равным нулю, поле источника

на теневой поверхности вблизи краев тела (ребер, изломов) отлич-

но от нуля. Это отличие связано с появлением вблизи границ те-


64

ла дополнительной (возмущенной) составляющей поверхност-

ного тока, вызванной влиянием края тела.

Таким образом, более точное задание волновой функции

на фронте волны источника, либо более точное задание подынте-

гральных функций в интеграле Кирхгофа позволяет получить более

точное решение электродинамической задачи.

Метод геометрической теории дифракции представляет со-

бой развитие метода геометрической оптики применительно к ре-

шению задач дифракции электромагнитных волн на больших (по

отношению к длине волны) телах сложной геометрической формы.

Он также базируется на предположении, что энергия распространя-

ется внутри лучевых трубок с теми же особенностями, что и в ме-

тоде геометрической оптики, однако в отличие от метода гео-

метрической оптики кроме падающих, отраженных и преломлен-

ных лучей вводятся в рассмотрение дифрагированные лучи. Метод

геометрической теории дифракции позволяет получить резуль-

таты при решении задач дифракции на телах сложной конфигура-

ции, которые хорошо согласуются с результатами точного решения

и результатами экспериментальных исследований. Однако при-

менение этого метода достаточно затруднительно, когда необхо-

димо определить поле в области каустики (область, куда приходит

очень большое число лучей – например фокальная область). В этих

случаях применяются специальные методы, которые здесь не рас-

сматриваются


1. Какова размерность вектора Пойнтинга?

2. В каких случаях в электромагнитном поле может отсутство-

вать вихревая или потенциальная составляющие?

3. Чем отличаются плоские волны от H-волн?

4. В чем заключается отличие линейной и эллиптической поля-

ризации?

5. Чему равно волновое число?


65

ГЛАВА 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ

Плоская волна – это волна, фронт которой представляет собой

плоскость. Напомним, что фронт – это эквифазная поверхность, т.е.

поверхность равных фаз.

Принимаем, что в точке О (рис. 5.1)

находится точечный источник, плоскость Р

перпендикулярна оси Z, точки M1 и M2 ле-

жат в плоскости Р. Принимаем также,

что источник О так далеко от плоскости Р,

что ОМ1 || ОМ2. Это означает, что все точки

в плоскости Р, являющейся фронтом волны,

равноправны, т.е. при перемещении в

плоскости Р не происходит изменения состояния процесса:

0

y

E

x

E

y

H

x

H.

Разрешим уравнения Гельмгольца

022 EkE ; 0

22 HkH

относительно векторов поля и исследуем полученные решения.

В этом случае из шести уравнений остаются только два уравнения:

.0;02

2

22

2

2

Hkdz

HdEk

dz

Ed

(5.1)

5.1. Плоские волны в вакууме

Решение дифференциальных уравнений (5.1)имеет вид

jkzjkzm

jkzjkzm DeCeyHBeAexE

00 ,

где корни характеристического уравнения

002

2,1 jjkkp .

Переходя от комплексных векторов к их мгновенным значени-

ям, получим

.coscosRe

;coscosRe

0

0

kztDkztCyHH

kztBkztAxEE

m

m

(5.2)

Первое слагаемое представляет собой прямую волну, а второе –

обратную волну. Рассмотрим первое слагаемое уравнения (5.2). На

О Z

Р

М1

М2 Y

X

Рис.5.1. Плоская элек-

тромагнитная волна


66

рис. 5.2 в соответствии с этим уравнением показано распределение

напряженности электрического поля в момент времени t и ∆t. Точки 1

и 2 соответствуют максимумам напряженности электрического поля.

Положение максимума сместилось за время ∆t на расстояние ∆z.

zkkzttAkztA coscos .

Равенство значений функций

обеспечивается равенством аргумен-

тов: ω∆t = k∆z. При этом получаем

уравнение для фазовой скорости

фvkt

z

.

Для вакуума

0000

1

фv = 3∙10

8 м/с.

Это означает, что в вакууме ско-

рость распространения электромаг-

нитной волны равна скорости света.

Рассмотрим второе слагаемое уравнения (5.2)

.cos0 kztBxE Оно дает .k

vф

Это соответствует волне, распространяющейся к источнику.

Определим расстояние λ между точками поля с фазами, отли-

чающимися на 360о. Это расстояние называется длиной волны. Так

как cos(ωt–kz) = cos[ωt–k(z+λ)+2π],

где k – волновое число (постоянная распространения), то

.22

f

v

k

ф

Длина волны в вакууме λ0 = с/f; где с – скорость света.

Фазовая скорость и длина волны в остальных средах соответствен-

но ,rr

ф

cv

.0

rr

Как следует из формулы для фазовой скорости, она не зависит

от частоты электромагнитного поля, значит, среда без потерь не-

дисперсионная.

Установим связь между направлениями векторов электриче-

ского и магнитного полей. Начнем с уравнений Максвелла

Рис. 5.2. График изменения

напряженности электриче-

ского поля

∆z

z

z

z

z1

t

E 1

2

t + ∆t


67

.; HjErotEjHrot

Заменяем векторные уравнения скалярными, т. е. приравнива-

ем проекции векторов в последних уравнениях

.;

;;

;;

zxy

zxy

yzx

yzx

xyz

xyz

Hjy

E

x

EEj

y

H

x

H

Hjx

E

z

EEj

x

H

z

H

Hjz

E

y

EEj

z

H

y

H

(5.3)

Учтем, что в системе (5.3)

jkzyx

,0 , тогда получим

.0;0

;;

;;

zz

yxyx

xyxy

HE

HEkEHk

HEkEHk

(5.4)

Из условия (5.4) видно, что у плоских волн нет продольных со-

ставляющих, так как Ez = 0, Hz = 0. Составим скалярное произве-

дение ( HE , ), выразив Ex и Eу из (5.4):

.0,

;;

yxyxyyxx

xyyx

HHk

HHk

HEHEHE

Hk

EHk

E

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, векторы

E и H в плоской волне перпендикулярны друг другу. Поскольку у

них нет продольных составляющих, то E и H перпендикулярны

направлению распространения. Определим отношение амплитуд век-

торов электрического и магнитного полей.

Принимаем, что вектор E направлен вдоль х, соответственно

Еy = 0, Hx = 0.

Из уравнения (5.4) .; xyyx Ek

HHk

E

Отсюда Zk

H

E

y

x

,


68

где Z – волновое сопротивление среды с макроскопическими пара-

метрами ε и μ .

,Îì377Ô/ì1085,8

Ãí/ì104;

12

7

0

00

0

0

ZZ

r

r

Z0 – волновое сопротивление вакуума. С большой степенью точнос-

ти эту величину можно считать волновым сопротивлением сухого

воздуха.

Запишем выражения для мгновенных значений Н и Е падающей

волны, используя уравнение (5.2). В результате получим

z

vtCH

sin ;

аналогично

z

vtZCE

sin .

По мере продвижения падающей волны вдоль оси z амплитуды

E и H остаются неизменными, т. е. затухания волны не происходит,

так как в диэлектрике нет токов проводимости и выделения энергии

в виде теплоты.

На рис. 5.3, а изображены пространственные кривые, представ-

ляющие собой графики мгновенных значений H и E. Эти графики

построены по полученным уравнениям для момента времени ω t = 0.

Для более позднего момента времени, например для ωt + ψп = /2,

аналогичные кривые изображены на рис. 5.3, б.

Как видно из рис. 5.3, а и б, вектор E при движении волны оста-

ется направленным вдоль оси х, а вектор H – вдоль оси у, сдвига по

фазе между Н и Е нет.

Рис. 5.3. Картина электромагнитного поля: а – при ωt= 0;

б – при ωt= π/2

Огибающая H(z)

Огибающая E(z)

Огибающая E(z)

Огибающая H(z) а) б)


69

Вектор Пойнтинга падающей волны направлен вдоль оси z. Его

модуль изменяется по закону

z

vtZC

22 sin

. Так как

sin2α= (l–cos2 α)/2, то

z

vt

ZC

22cos1

2

2

,

т. е. вектор Пойнтинга имеет постоянную составляющую 2/2ZC и

переменную, изменяющуюся во времени с двойной угловой часто-

той.

На основе анализа решения волновых уравнений можно сделать

следующие выводы:

1.В вакууме плоские волны распространяются со скоростью

света, в остальных средах скорость меньше в rr раз.

2. Векторы электрического и магнитного полей не имеют про-

дольных составляющих и перпендикулярны друг другу.

3.Отношение амплитуд электрического и магнитного полей

равно волновому сопротивлению среды, в которой происходит рас-

пространение электромагнитных волн.

5.2. Плоские волны в проводящей среде

Для проводящей среды ε = ε0 μ = μr μ0, σ >>ω εa , поэтому

k2 = jω μ σ. Уравнение (5.1) при этом будет иметь вид

HjdZ

Hd

2

2

. (5.5)

Уравнение (5.5) представляет собой линейное дифференциаль-

ное уравнение второго порядка. Его решение запишется следующим

образом:

H =pzpz eCeC 21

, (5.6)

где 1C , 2C – постоянные интегрирования, это комплексы, они

определяются из граничных условий и для каждой конкрет-

ной задачи свои, jp – корни характеристического уравне-

ния.


70

Так как 2/14590 jeej jj

, то р можно предста-

вить еще и так p = k (1+j) , где 2/k .

Напряженность электрического поля определим из уравне-

ний Максвелла, при этом HrotE

1 .

Найдем

zyx HHH

zyx

kji

Hrot

В рассматриваемой задаче x

H

= 0 и

y

H

= 0 ,

поэтому выражение rot H в значительной мере упрощается:

rot H =

z

Hi

.


.1

z

HiE

(5.7)

Производная z

H

= p(Ċ1e

pz– Ċ2e

-pz), (5.8)

тогда Ė=p/σ ((Ċ2e-pz

– Ċ1epz

).

Выражение (5.7) показывает, что напряженность электрическо-

го поля в плоской волне при выбранном расположении осей ко-

ординат направлена вдоль оси х, об этом свидетельствует присут-

ствие единичного орта оси х (орта i ). Таким образом, в плоской

электромагнитной волне между векторами E и H есть простран-

ственный сдвиг в 90° ( E направлено по оси х, а H по оси у).

Частное от деления р на σ принято называть волновым сопро-

тивлением и обозначать Zc= p/σ = √ωμ/σ ∙ ej45

. (5.9)

Волновое сопротивление измеряется в омах. Оно зависит от

свойств среды (от σ и μ) и от угловой частоты ω.

В соответствии с уравнением (5.8) проекция E на ось х рав-

на Ė=Ėпад+Eотр, где Ėпад=Zc Ċ2e-pz

и Ėотр= –Zc Ċ1epz

.

Проекция H на ось у


71

H = H пад.+ H отр., H пад= Ċ2e-pz

и H отр= Ċ1epz

.

Составляющие падающей волны Ėпад и H пад дают вектор

Пойнтинга падП ( рис. 5.4, а). Он направлен вдоль положительно-

го направления оси z. Следова-

тельно, движение энергии с

падающей волной происходит

вдоль положительного направ-

ления оси z.

Составляющие отраженной

волны Ėотр и H отр дают вектор

Пойнтинга Пoтр (рис. 5.4, б).

Последний направлен вдоль

отрицательного направления

оси z.

Это означает, что отра-

женная волна несет с собой энергию, и движение энергии происходит

вдоль отрицательного

направления оси z.

Волновое сопротивле-

ние cZ можно трактовать

как отношение Ėпад/ H пад.

Так как волновое со-

противление является чис-

лом комплексным, то сдвиг

во времени между Ėпад и

H пад для одной и той же

точки поля равен 45о.

Рассмотрим распростра-

нение плоской электромаг-

нитной волны в однородной проводящей среде, простирающейся теоре-

тически в бесконечность (рис. 5.5).

Электромагнитная волна проникает из диэлектрика в проводя-

щую среду и распространяется в последней. Так как среда прости-

рается теоретически в бесконечность и падающая волна в толще

проводящей среды не встречает границы, которая «возмутила» бы ее

распространение, то отраженной волны в данном случае не воз-

никает.

При наличии только одной падающей волны

x

y

z

отрH

отрП отрE

б) a)

Рис. 5.4. Определение направления

вектора Пойтинга: а– падающая волна,

б– отраженная волна

падE

y

x

z падП

падH

H

µ

y

x

z

E 2

1

z

Огибающая На е-kz

Рис. 5.5. Схема для

анализа распростра-

нения электромаг-

нитной волны в про-

водящей среде

Рис. 5.6. График на-

пряженности магнит-

ного поля вдоль коор-

динаты Z


72

H = Ċ2e-pz

и Ė= ZcĊ2e-pz

.

Постоянную интегрирования 2C определим из граничных

условий. Если обозначить напряженность магнитного поля на по-

верхности проводящей среды через aH = aj

aeH

, то при z = 0 Ċ2

= aH .

Поэтому с учетом величины p получим

H = ajzjza eeeH

. (5.10)

В свою очередь, Ė=45eeeeH ajzjz

a

. (5.11)

Можно записать выражения для мгновенных значений Н и

Е. Для этого правые части уравнений (5.10) и (5.11) необходимо

умножить на еjωt

√2 и взять мнимые части от получивших-

ся произведений. Получим

H=√2Hae-κz

sin(ωt–kz+ψa) и E=√2Ha√ωμ/σ·e-κz

sin(ωt–kz+ψa+45о).

Проведем анализ полученных выражений. Амплитуда H

равна √2Hae-κz

. Амплитуда E равна √2Ha√ωμ/σ·e-κz

. По мере увели-

чения z уменьшается множитель e-κz

. Следовательно, по мере про-

никновения электромагнитной волны в проводящую среду ам-

плитуды Е и Н уменьшаются по показательному закону. На

рис. 5.6 изображена огибающие амплитуд Н, построенные по

уравнению На e-κz

. Мгновенное значение Н и Е определяется ар-

гументом синуса. Аргумент синуса в последних выражениях за-

висит от z и от ωt. Если принять ωt=const и рассмотреть график

мгновенных значений Н в функции от z, то будет получена кри-

вая 1 (рис. 5.6) при ωt+ ψa=90º.

Для того чтобы охарактеризовать, насколько быстро

уменьшается амплитуда падающей волны по мере проникно-

вения волны в проводящую среду, вводят понятие «глубина

проникновения».

Под глубиной проникновения ∆ понимают расстояние вдоль

направления распространения волны (вдоль оси z), на котором ам-

плитуда падающей волны Е (или Н) уменьшается в е =2,7183 раз.

Уравнением для определения глубины проникновения является

выражение е-κΔ=е

-1. Отсюда следует, что kΔ=1 или Δ =1/k .

Глубина проникновения зависит от свойств проводящей среды

(σ и μ) и от частоты ω. Так, если электромагнитная волна имеет ча-


73

стоту f=5000 Гц и проникает в проводящую среду, у которой

σ=107 См/м и μr=10

3, то

k=√ωσμ/2=√2π·5000·103·1,256·10

-6·10

7/2=14100 1/м.

Глубина проникновения Δ =1/k 0,007 см, т.е. на ничтожном

расстоянии (0,007 см) амплитуды Н и Е уменьшились в 2,7183 раза.

Под длиной волны в проводящей среде понимают расстояние

вдоль направления распространения волны (вдоль оси z) , на котором

фаза колебания изменится на 2π. Длина волны определится из урав-

нения k=2π, отсюда =2π/ k.

Для рассмотренного числового примера

=2π/141 0,0445 см.

Иногда пользуются понятием «фазовая скорость» распростране-

ния электромагнитной волны в проводящей среде.

Под фазовой скоростью понимают скорость, с которой необ-

ходимо было бы перемещаться вдоль оси z, чтобы колебание име-

ло одну и ту же фазу. Фаза колебания определяется выражением

(ωt–κz+ψa). Производная от постоянной величины есть нуль, поэто-

му

d ( ωt–kz+ψa)/dt =0, или ω–k dz/dt=0; dz/dt= vфаз , vфаз =ω/k.

Для рассмотренного числового примера

vфаз =2π·5000/14100 2,25 м/с.

Таким образом, электромагнитная волна проникает в глубь

проводящей среды с малой скоростью и на очень малую глубину.

5.3. Плоские электромагнитные волны

в изотропных поглощающих средах

Для морской воды, почвы, ионосферы плотности токов прово-

димости и смещения в некоторой области частот оказываются соиз-

меримыми. Тогда в первом уравнении Максвелла будут присутство-

вать два слагаемых: EEjEHrot

Для их учета вводят понятие «комплексная электрическая про-

ницаемость» .

jj

Такие среды иногда называют полупроводящими.

Аналогично для ферромагнитных сред вводят понятие «ком-

плексная магнитная проницаемость» .


74

Запишем уравнения Максвелла для электромагнитных волн,

распространяющихся в поглощающей среде:

HjErot

EjHrot

; (5.12)

В уравнении (5.12) диэлектрическая и магнитные проницаемости –

величины комплексные, следовательно, волновое число также ком-

плексная величина:

.kjkk (5.13)

или ,cos

,1 2

j

w eZjtgkjkk

где ∆ – угол потерь для неферромагнитных сред μ =μ0, который опре-

деляется из соотношения tg∆=

При этом ,tg112

1,tg11

2

1 20

20 kkkk

k' = 2π/λ – постоянная распространения (фазовая постоянная);

к" – постоянная затухания,

rrc

k

0 – постоянная распространения в данной среде,

если бы потери в ней отсутствовали.

Наличие мнимой части волнового сопротивления в средах с по-

терями означает, что векторы Е и Н сдвинуты по фазе по отношению

друг к другу на угол ∆/2 (меньше /4).

Так как имеется квадратный корень, у k' и k" могут быть различ-

ные знаки. В дальнейшем покажем, что выбранные нами знаки соот-

ветствуют принципу физической реализуемости. ,00

zkzkjtjkztj eeeEeEE

Плюс перед k' в уравнении (5.13)

соответствует волне, распространяю-

щейся от источника, минус перед к"

приводит к затуханию волны при уве-

личении расстояния от источника.

Мгновенное значение напряженности

электрического поля запишется в сле-

дующем виде (рис. 5.7):

Рис.5.7. График затухающей

волны

E

Z


75

.cosRe 0 zkteEEE zk

Затухание на расстоянии, равном длине волны, легко опреде-

лить. Разделим модуль напряженности поля в точке А на его значе-

ние в точке В. Расстояние между этими точками равно λ.

.)()(

k

zkzkjtj

zkzkjtj

B

A eeee

eee

E

E

Если брать не мгновенное значение напряженности поля, а его

среднее значение, то вместо длины волны можно задавать любую

длину l. Затухание L в неперах (Нп) определяется по формуле

lkE

EL

cpB

cpAH ln .

Чаще затухание дается в децибелах (дБ):

lkE

EL

cpB

cpAд 69,8lg20 , 1Нп = 8,69 дБ.

Среднее за период колебаний значение плотности потока мощно-

сти (вектора Пойнтинга) определяется через комплексные амплитуды

векторов Е и Н соотношением

mmcp HE Re2

1 (5.14)

и определяет среднюю за период мощность, переносимую волной че-

рез поверхность площадью 1 м2, перпендикулярную направлению рас-

пространения волны.

Если использовать связь векторов Е и Н через волновое сопро-

тивление, то формуле (5.14) можно придать вид

.Re2

11Re

2

2

2

BB

cp ZHZ

E

(5.15)

Средние по времени плотности энергии определяются формула-

ми 4

2m

E

EW

cp

и

4

2m

H

EW

cp

.

Распространение электромагнитных волн в плохо проводя-

щей среде приводит:

– к тому, что затухание частотно зависимо;

– среда является дисперсионной, так как в ней фазовая скорость за-

висит от частоты:


76

.2

0

k

vA

При изучении распространения радиосигналов в среде с потеря-

ми используется понятие групповой скорости. Так как радиосигнал

образован совокупностью волн, имеющих разные частоты, а β и v1, за-

висят от ω, то огибающая импульса при его движении в среде с поте-

рями непрерывно деформируется.

Групповой скоростью называют скорость перемещения макси-

мума огибающей сигнала (импульса). Скорость перемещения этого

максимума характеризует скорость перемещения энергии группы

волн.

Выведем приближенную формулу для групповой скорости vгр

распространения волны в полупроводящей среде. Примем, что вдоль

оси z распространяются два колебания: Аsin ωt и Asin(ω + ∆ω)t.

Для частоты ω p= β + jα (α = ω/ v1), для частоты ω + ∆ω

p=(β +∆β) + j(α+ ∆ α). Сумма колебаний вдоль оси z

zteAeztAe zzz ]sin[sin .

Принимая ∆βz <<1 и e-∆βz

≈ 1 и используя формулу

2sin

2cos2sinsin

pvpvpv

,

получаем

ztztAe z

22sin

22cos2

.

Скорость перемещения огибающей результирующего колебания

вдоль оси z определим, взяв производную по времени от аргумента

zt22

(принимая его постоянным):

1

d

dvcp .

При величине e-∆βz

, заметно отличающейся от 1, форма сигнала

распространяющегося вдоль оси z, настолько деформируется, что ис-

чезает информация, заключенная в сигнале. В этом случае понятие

групповой скорости vгр теряет смысл.

Как видно, реальные проводники и диэлектрики резко различа-

ются по характеру распространения электромагнитных волн.


77

5.4. Экранирование и высокочастотный нагрев

металлических деталей и несовершенных диэлектриков

Явление затухания электромагнитной волны в поверхностном

слое металла используется для экранирования в переменном элек-

тромагнитном поле.

Электромагнитные экраны представляют собой полые цилин-

дрические, сферические или прямоугольные оболочки, внутрь кото-

рых помещается экранируемое устройство (например, катушка ин-

дуктивности, измерительный прибор и т.п.).

Экран выполняет две функции. Во-первых, он защищает

устройство, заключенное в экран, от влияния внешнего по отноше-

нию к экрану электромагнитного поля. Во-вторых, он защищает

внешнее по отношению к экрану пространство от электромагнитного

поля, создаваемого устройством, заключенным в экран.

Поскольку на расстоянии, равном длине волны в металле, элек-

тромагнитная волна почти полностью затухает, то для хорошей экра-

нировки толщина стенки экрана должна быть примерно равна длине

волны в металле. Практически приходится учитывать и другие фак-

торы (механическую прочность экрана, его стоимость и т.д.).

Сравним принципы экранирования в электростатическом, маг-

нитном и электромагнитном полях.

Электростатическое экранирование основано на компенсации

внешнего поля полем зарядов, выявившихся на стенках экрана

вследствие электростатической индукции.

Толщина стенок экрана при электростатическом экранировании,

в отличие от экранирования в магнитном и электромагнитном полях,

может быть сколь угодно малой.

Экранирование в магнитном поле постоянного тока основано на

том, что силовые линии магнитного поля преимущественно проходят

по участкам с меньшим магнитным сопротивлением (по стенкам

экрана).

Экранирование в электромагнитном поле основано на том, что

электромагнитная волна, проникающая в стенки экрана, быстро зату-

хает, расходуя энергию на покрытие потерь, обусловленных вихре-

выми токами в стенках экрана.

Нагрев металлических деталей перед ковкой и штамповкой,

сушку древесины, наплавка и реставрация инструментов часто произ-


78

водится путем помещения этих предметов (деталей) в электромаг-

нитное поле сравнительно невысокой частоты (1…20 КГц). Стальные

изделия (например, валы, шестеренки) часто подвергают поверхност-

ной закалке путем помещения их в электромагнитное поле более вы-

сокой частоты (10…500 КГц).

Как известно, электромагнитная волна, проникая в толщу ме-

талла, быстро затухает. Поэтому теплота выделяется практически

лишь в относительно тонком поверхностном слое стального изделия.

Под действием тепла, выделившегося в поверхностном слое, послед-

ний быстро разогревается до температуры, необходимой для поверх-

ностной закалки.

Область еще более высоких частот (1…20 МГц) используется

для высокочастотного нагрева пластмасс перед штамповкой, терми-

ческой обработки пищевых продуктов, вулканизации резины и дру-

гих целей.


1. Какова скорость распространения электромагнитной волны в

диэлектрике?

2. Какова скорость распространения электромагнитной волны в

проводящей среде?

3. От чего зависит волновое сопротивление в диэлектрике?

4. Сравните принципы экранирования в электростатическом и

электромагнитном полях.

5. Какой угол в пространстве составляют векторы E и H падаю-

щей волны и на какой угол смещены во времени их мгновенные зна-

чения?

7. Во сколько раз модуль вектора П падающей волны на поверхно-

сти больше, чем модуль вектора П на глубине проникновения?


79

ГЛАВА 6. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ

ПЛОСКИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

Плоская электромагнитная волна, «падая» на плоскую границу

раздела сред, частично проходит через нее, продолжая распространяться

в измененном направлении – преломляется, частично же отражается от

границы, которая при этом служит как бы источником обратной волны.

Схематически этот процесс поясняется на рис. 6.1, а.

Падение электромагнитной волны на тело ограниченных разме-

ров представляет собой принципиально аналогичное, однако значи-

тельно более сложное явление, называемое дифракцией. Ни отражен-

ная, ни преломленная волны здесь уже не могут быть плоскими

(рис. 6.1, б).

6.1. Переход плоской линейно поляризованной волны из одной среды

в другую при нормальном падении

Рассмотрим условия перехода плоской

синусоидально изменяющейся электромагнит-

ной волны из первой среды с волновым сопро-

тивлением ZBl во вторую среду с волновым со-

противлением ZB2. Примем, что волна падает

перпендикулярно границе раздела сред (рис.

6.2). Волна частично пройдет во вторую среду,

частично отразится.

В первой среде будут присутствовать па-

дающая (индекс п) и отраженная (индекс о)

волны, во второй – только падающая (поэтому

индекс п у нее не будем ставить). Волну, рас-

пространяющуюся во второй среде, называют также преломленной.

І

ІI

HE ,

0, HE

a)

Рис.6.1. Отражение электромагнитных волн: а – от плоской поверх-

ности; б – от поверхности сложной формы

HE ,

0, HE

HE ,

A

б)

Рис. 6.2. Нормальное

падение плоской волны

на границу двух сред

Вторая

среда

Первая среда ZB2

2H

ZB1

2П

10Е2Е nЕ1

nH1

10H

nП1

10П


80

Для удобства восприятия рис. 6.2 векторы, характеризующие пада-

ющую и отраженную волны в первой среде, смещены по вертикали и не-

сколько отодвинуты от границы раздела сред. На границе раздела сред

должны быть равны тангенциальные составляющие напряженности элек-

трического поля и тангенциальные составляющие напряженности маг-

нитного поля:

.

;

211

211

HHH

EEE

oп

oп

Эти уравнения полностью тождественны уравнениям, которыми

связаны напряжения и токи падающей, отраженной и преломленной вол-

ны при переходе волны с одной линии с распределенными параметрами

на другую.

Комплекс напряженности электрического поля пE1 равен комплексу

напряженности магнитного поля пH1 , умноженному на ZBl:

.111 Bпп ZHE

Для отраженной волны .111 Boo ZHE Для преломленной волны

.222 BZHE С учетом этого получаем

.

;2

;

1

21

211

1

21

12

1

21

121

n

BB

BBo

n

BB

B

n

BB

BBo

HZZ

ZZH

HZZ

ZH

EZZ

ZZE

Проанализируем полученные результаты. Значения oE1 , oH1

и 2E

зависят от соотношения между волновыми сопротивлениями обеих сред.

Если ZBl> ZB2, то направления 10E и 10H соответствует рис. 6.2, при

ZBl< ZB2 направления векторов 10E и 10H изменятся на противополож-

ные. Наибольший практический интерес представляет случай, когда вол-

на падает из воздуха на поверхность металла. При этом первой средой яв-

ляется воздух, а второй – металл. Так как волновое сопротивление прово-

дящей среды зависит не только от ее проводимости и магнитной прони-

цаемости, но и от частоты, то для определенности примем, что проводя-

щей средой является медь, а частота f = 108 Гц. Сопоставим значения вол-

новых сопротивлений для диэлектрика и для металла (см. формулы для


81

ZB). Для воздуха ZBl = 377 Ом. Для меди (γ = 5,6∙107

Ом–1∙м

–1) при

f = 108 Гц, ZB2 =0,00357 е

j45° Ом. Если подставить значения ZBl и ZB2 в по-

следние уравнения, то получим no EE 11 ; no HH 11

, т.е. от поверхности

металла электромагнитная волна почти полностью отражается с пере-

меной знака у напряженности электрического поля и удвоением

напряженности магнитного поля на поверхности металла Н2 =2Н1n.

При этом возникает поверхностный ток плотностью J =2Н1n, ориен-

тированный по направлению Е1n. Та часть волны, которая все же

проникает в металл, быстро в нем затухает. Если бы проводящая

среда имела γ, стремящуюся к бесконечности, то тогда она являлась

бы идеальным зеркалом для электромагнитной волны.

Явление отражения электромагнитных волн от проводящих

сред лежит в основе радиолокации.

6.2. Наклонное падение плоской линейно поляризованной

волны на границу раздела двух диэлектриков

Принимаем, что волна распространяется из первой среды во

вторую (рис. 6.3). Плоскость, проходящая через направление па-

дения волны и перпендикуляр к поверхности раздела сред, назы-

вается плоскостью падения волны. В первой среде 111 / aaBZ ,

во второй 222 / aaBZ ; 111 aajp и 222 aajp . Век-

торы Пойнтинга падающей, отраженной и преломленной волн 1п,

1о, 2 находятся в одной плоскости. Их углы с вертикалью к гра-

нице раздела сред на рис. 6.3 обозначены α, β, v. Принимаем

μа1=μа2=μо.

Рис. 6.3. Наклонное падение волны: а –при перпендикулярной,

б –при параллельной поляризации

a)

б)

v

v v

v

α α

α

α

90o–α

90o–α

β=α

β=α

Плоскость падения

Плоскость падения

Первая

среда

Первая

среда

Плоскости

раздела

сред

nH1

10H

2H 2H

10H nH1

2E

10E

10E

nE1

nE1

nÏ 1 nÏ 1

10Ï 10Ï

2Ï 2Ï


82

При наклонном падении выполняются два закона Снеллиуса:

1. Угол падения α равен углу отражения β.

2. Угол преломления v и угол падения α находятся в следую-

щей зависимости от коэффициентов преломления сред п1 и п2:

12

2

1

sin

sinn

n

nv

11 rn ; 22 rn (6.1)

Плоская линейно поляризованная волна может быть двух типов:

1. Волна перпендикулярной поляризацией, у которой вектор

пE1 перпендикулярен плоскости падения, а вектор пH1 находится в

плоскости падения (рис. 6.3, а); в этом случае напряженность элек-

трического поля отраженной волны nEo ERE 11 , а напряженность

поля преломленной волны nE ETE 12 .

2. Волна параллельной поляризацией, у которой вектор пE1

находится в плоскости падения, а вектор пH1 перпендикулярен

плоскости падения (рис. 6.3, б); в этом случае nEo ERE 1||

1 , а

nEETE 1||

2 .

Определим коэффициенты R и Т для этих случаев, исходя из

непрерывности тангенциальных составляющих векторов E и H на

границе раздела сред.

На рис. 6.3, а и б кружки с точкой или крестиком означают

векторы, направленные соответственно к читателю или от него.

Из условия равенства тангенциальных составляющих векто-

ров E и соответственно H на границе в первой и второй средах

для перпендикулярной поляризации (рис. 6.3, а) имеем

.coscos; 211211 vHHHEEE onon

Учитываем, что

111 Bпп ZHE ; 111 Boo ZHE ; 222 BZHE ,

получаем

.coscos

cos2

;coscos

coscos

1

12

212

1

12

1211

n

BB

BnE

n

BB

BBnEo

EvZZ

ZETE

EvZZ

vZZERE

(6.2)

При параллельной поляризации (рис. 6.3, б) имеем

;;coscos 211211 HHHvEEE onon


83

111 Bпп ZHE ; 111 Boo ZHE ; 222 BZHE .


.coscos

cos2

;coscos

coscos

1

12

21

||2

1

12

211

||1

n

BB

BnE

n

BB

BBnEo

EvZZ

ZETE

EvZZ

vZZERE

(6.3)

Эти формулы (6.3) и (6.3) называют формулами Френеля.

При наклонном падении плоской волны из первой среды во

вторую при определенных условиях могут возникать два физиче-

ских явления, рассмотренных ниже.

6.3. Полное преломление (отсутствие отраженной волны)

и полное отражение (отсутствие преломленной волны)

Связь между углом падения α и углом отражения v определяет

второй закон Снеллиуса –.уравнение (6.1). Если α + v = 90o, то cosv =

=sinα, a tgα = ZBl/ZB2. В этом случае угол α обозначают αБ и называют

углом Брюстера:

2

1arctgB

BБ

Z

Z .

При μ1 = μ2= μ0 12 /arctg rrБ .

Если параллельно поляризованная волна падает из первой

среды во вторую под углом αБ, то она, преломляясь на границе раз-

дела сред, полностью проходит во вторую среду (отраженной волны

не будет). Убедимся в этом. С этой целью запишем числитель пер-

вой формулы (6.3) (ZBl cos α –ZB2 cosv). Заменим в нем cosv на sinα,

sinα на 21/tg tg , а cos α на 21/1 tg . Получим ноль:

011 2

2

2

1

tg

tgZ

tg

Z BB .

Однако при любом угле падения α перпендикулярно поляризо-

ванной волны на границу раздела сред (в том числе и при α = αБ)

полного преломления не возникает. (Если допустить, что ER = 0, то

при μ1 = μ2 и учете формулы (6.2) получим, что sin2α = ∞. Но такого

угла не существует.)


84

Рассмотрим теперь при каком угле падения волны возникает

полное внутреннее отражение от границы раздела сред. Полное от-

ражение возникает при переходе из оптически более плотной среды

(с большей εr1) в среду оптически менее плотную (с меньшей εr2),

например из стекла в воздух. Из формулы (6.1) следует, что sinv =

= 21 / rr sin α. Предельному значению угла преломления vпр=90o

соответствует sin vпр=1 и предельное значение угла

αпр=arcsin 21 / rr

Угол αпр называют углом полного внутреннего отражения.

При α ≥ αпр вместо нормального волнового процесса на границе воз-

никает поверхностная волна, распространяющаяся в первой среде

вдоль границы раздела сред, практически не заходя во вторую среду

Модули коэффициентов отражения при углах падения α ≥ αпр

равны 1. Поле во второй (менее плотной) среде представляет собой не-

однородную плоскую, поверхностную волну, распространяющуюся

вдоль границы раздела с фазовой скоростью

sin

1

10

фv

и убывающую по амплитуде при удалении от границы по закону е-βz

,

где .,1sin 2022

2

12

kk

При отражении от «оптически плотной» среды, т.е. при выпол-

нении условия

|k2| >> |k2|

угол преломления ψ согласно закону Снеллиуса стремится к нулю, и

преломленная волна распространяется практически перпендикулярно

поверхности, а векторы E пр и H пр становятся почти ей параллельны-

ми. При этом на поверхности такой «плотной» среды выполняются

приближенные граничные условия Леонтовича, которые могут

быть записаны в векторной и скалярной формах

21

10121 B

t

ttBt Z

H

EилиnHZE

(6.4)

где 11, tt HE – тангенциальные составляющие полей Е и Н в первой

среде, 0n– нормаль к поверхности, направленная во вторую среду.

Значение приближенных граничных условий Леонтовича состоит

в том, что они связывают тангенциальные составляющие полей Е и Н в


85

первой среде непосредственно с волновым сопротивлением второй

среды. Конечно, «строгие» граничные условия при этом также оста-

ются справедливыми и, в частности, выполняется

Еt1 = Еt2 ≈ Е2 и Нt1 = Нt2 ≈ H2.

Граничные условия Леонтовича широко применяются для опре-

деления потерь мощности на нагрев проводников. При этом удобно

использовать понятие «поверхностное сопротивление проводника»

,

t

S

EZ (6.5)

где E t – тангенциальная составляющая вектора E на поверхности

проводника, – плотность поверхностного тока. Можно показать, что

поверхностное сопротивление металлов равно их волновому сопротив-

лению:

SSBS jXRZZ 2 ,

где 0

1

2 dXR SS

. (6.6)

Активная часть поверхностного сопротивления RS оказывается

равной активному сопротивлению проводника на постоянном токе, но

имеющем толщину, равную глубине проникновения d0.

Полное внутреннее отражение используют

с различными целями, в частности для канали-

зации колебаний сверхвысокой частоты (воз-

буждаемых лазерами) в диэлектрических вол-

новодах. Плоский диэлектрический волновод

иллюстрирует рис. 6.4. Волновод выполнен в

виде диэлектрической пленки толщиной сотые

доли миллиметра с коэффициентом преломле-

ния 11 rn . Сверху и снизу от этой пленки

находятся оптически менее плотные пленки, у них п2< п1 и п3< п1.

Толщина средней пленки α лишь немного больше длины волны ла-

зера. Волна движется зигзагообразно, отражаясь от верхней и ниж-

ней пленок, не заходя в них. Фазовая скорость вдоль оси z vф1 =vc

/(n1 sin α ) немного меньше скорости света vc, поэтому волну назы-

вают медленной, а так как она движется вдоль поверхности, то ее

называют поверхностной.

П р и м е р 6.1. Плоская электромагнитная волна параллельной

поляризации из немагнитной среды 1 с εr1 = 2 падает на границу

Рис. 6.4. Плоский

диэлектрический

волновод

n1

n2

n3

a

x

y

z


86

раздела с немагнитной средой 2 с εr2 = 4. Угол падения α = 30°.

пE1 =10 В/м. Определить 2101210 ,,,, HHHEE n

, модули векторов

Пойнтинга на границе раздела сред и мгновенное значение 2E на

границе раздела. Выяснить, при каком угле падения отраженная

волна будет отсутствовать.

Р е ш е н и е. По закону Снеллиуса (6.1) определим угол пре-

ломления

5419sinarcsin1

1

o

r

rv

.

Вычислим волновые сопротивления первой и второй сред

2613771

11

r

rBZ

Ом; 4,188377

2

22

r

rBZ

Ом.

Определим коэффициенты ||ER и ||

ET и по ним – 10E и 2E :

;910,0coscos

cos2

;1165,0coscos

coscos

12

2||

12

21||

vZZ

ZT

vZZ

vZZR

BB

BE

BB

BBE

nEo ERE 1||

1 =1,16 В/м; nEETE 1

||2

= 9,1 В/м.

1

11

B

oo

Z

EH

= 0,0045 А/м;

2

22

BZ

EH

= 0,0349 А/м.

Модули векторов Пойнтинга на границе раздела сред

1

21

1

B

nn

Z

E = 0,383 Вт/м

2;

1

21

1

B

oo

Z

E =0,0516 Вт/м

2;

2

22

2

BZ

E = 0,439 Вт/м

2.

Мгновенное значение Е2 на границе раздела сред 9,1 2 sinωt В/м.

Отраженной волны не будет при угле α = αБ = =2

1

B

B

Z

Zarctg = 54°40'.

6.4. Дифракция электромагнитных волн

Дифракцией называют явление отражения и преломления

электромагнитных волн от проводящего или диэлектрического тела,

а также изменение структуры и направления волн при прохождении


87

их через отверстие (щель) в каком-либо теле, например в пластинке,

когда размеры тела или щели соизмеримы с длиной электромагнит-

ной волны.

Установим, как влияет на поле плос-

кой волны помещенный в это поле длин-

ный цилиндр радиусом а, принимая, что

ось цилиндра расположена перпендику-

лярно вектору Пойнтинга падающей вол-

ны, а ее вектор E параллелен оси ци-

линдра.

Рассмотрим три характерных случая.

1. Если длина волны λ<<a, то дей-

ствуют законы геометрической оптики

и за цилиндром будет область тени (рис. 6.5, а).

2. Если вне и внутри цилиндра λ>>а, то можно пренебречь'

запаздыванием, и тогда поля E и H внутри и вне цилиндра опре-

деляются в условиях, близких к статическим.

3.Если λ ≈ а , а это случай наиболее типичный для ди-

фракционных задач, то в области за цилиндром, где на рис. 6.5, а

была тень, появляется интенсивное поле. На рис. 6.5, б изображе-

на эпюра для напряженности H рассеянного поля, когда проводи-

мость γ цилиндра стремится к бесконечности. Физически интен-

сивное поле вместо тени получается вследствие того, что наводимые

в верхней части проводящего цилиндра токи затекают в нижнюю

его часть и там служат излучателем (вторичным источником поля).

Наличие мелких углублений на диаграмме объясняется интерферен-

цией волн.

Рис. 6.5, в иллюстрирует дифракцию плоской однородной

электромагнитной волны (длина волны λ) при нормальном падении

на квадратное отверстие со стороной а в большом хорошо прово-

дящем экране. Отверстие вырезает участок фронта волны и само

становится излучателем – элементом Гюйгенса. На рисунке показа-

на полярная диаграмма вектора Е (или H). Приближенно она может

быть описана функцией

m

msin,

где т = va

sin

. Размер а соизмерим с длиной волны λ.

Рис.6.5.Дифракция электро-

магнитных волн: а – λ<<a;

б – λ<<a; в – λ a

а) б) в)

Цилиндр

Тень v


88

6.5. Устранение отражения электромагнитных волн

Прием, который используют для устранения отражения элек-

тромагнитных волн от границы раздела двух диэлектриков и от гра-

ницы диэлектрик – поверхность хорошо проводящего тела, сходен с

тем, который применяют в линиях с распределенными параметрами

(четвертьволновый трансформатор).

1. Устранение отражения от границы раздела двух диэлек-

триков. Пусть плоская электромагнитная (ЭМ) волна распространя-

ется из диэлектрика с εr1 , μr1 и волновым сопротивлением ZBl=

= 11 / rr (например, воздуха) в диэлектрик с εr2 , μr2 и волновым со-

противлением ZB2 = 22 / rr . Для устранения отражения от границы

раздела между первым и вторым диэлектриками помещают слой тре-

тьего диэлектрика (рис. 6.6, а) с параметрами εr3 , μr3, толщиной в

четверть длины волны 3344/ rrf и волновым сопротивле-

нием ZB3, равным среднему геометрическому из ZBi и ZB2 т. е.

4

2

2

1

13

a

a

a

aBZ

.

/4

б)

ZВ1 ZВ3

ZВ2

Zвх= ZВ1

a)

εr1; μr1

εr3;μr3 εr2;μr2

ZB1

ZB3 ZB2

/4 Направление

распространения

ЭМ волны

Направление

распространения

ЭМ волны

Проводящее

тело d /4

ZВПТ0

Пластина Воздух

/4

г)

ZВВ ZВВ

Рис. 6.6. Устранение отражения электромагнитных волн: а – от диэлек-

трика; в – от металла; б,г – линии с распределенными параметрами, в

которых процессы аналогичны процессам в а и в

Zвх=

ZВП

ZВПТ0

E H

в)


89

Цепной аналог изображен на рис. 6.6, б. Входное сопротивление

четвертьволновой линии равно ZB1, поэтому от границы между сре-

дами 1 и 3 волна не отражается. Стоячие волны имеются в среде 3.

2. Устранение отражения от границы диэлектрик – прово-

дящая среда. Плоскую поверхность хорошо проводящего тела

(γ→∞, ZBПТ → 0), от которой необходимо устранить отражение (рис.

6.6, в), отделяют слоем воздуха или какого-либо другого диэлектри-

ка толщиной λ/4 (волновое сопротивление воздуха ZBB =377 Ом) от

проводящей пластины толщиной d и удельным сопротивлением ρ.

Сопротивление единицы длины и единицы ширины этой пластины

ZBn в направлении вектора E волныdds

l

1

1 берут равным вол-

новому сопротивлению среды (воздуха), откуда поступает электро-

магнитная волна. Таким образом,

ZBB=ZBn=ρ/d = 377 Oм.

Цепным аналогом полученного устройства является схема

рис. 6.6, г. Входное сопротивление четвертьволновой линии, коротко-

замкнутой на конце, Zвх = jZBB tg90о=∞. В воздухе, откуда поступает

электромагнитная волна, отраженная волна отсутствует, так как линия

с волновым сопротивлением ZBB согласована с линией, имеющей

волновое сопротивление ZBn.


1. Дайте определение плоской электромагнитной волны с парал-

лельной (перпендикулярной) поляризацией.

2. Сформулируйте законы Снеллиуса и запишите формулы Френе-

ля.

3. Поясните, каким образом можно устранить отражение элек-

тромагнитной волны при нормальном падении ее на границу раздела:

а) диэлектрик – диэлектрик и 6) диэлектрик – проводящая среда.

4. Каковы особенности распространения электромагнитной волны

в полупроводящей среде?

5. Что понимают под групповой скоростью волны в полупрово-

дящей среде?

6. При каких условиях отсутствует отраженная волна?

7. При каких условиях возникает полное внутреннее отражение?


90

ГЛАВА 7. НАПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ

Для передачи энергии от генератора к нагрузке используются раз-

личные направляющие системы: волноводы, коаксиальные кабели,

двухпроводные и полосковые линии, а также специальные замедляю-

щие системы.

7. 1. Волноводы

В волноводах (рис. 7.1, 7.2) с идеально проводящими стенками и

однородным заполнением могут распростра-

няться волны электрического типа Е, у которых

0zH , a 0zE (направление оси z совпадает

c продольной осью волновода), и волны маг-

нитного типа Н, у которых 0zE , а 0zH .

Анализ волн в волноводах производят

посредством решения

уравнения Гельмгольца

для составляющих zE или zH при равенстве

нулю тангенциальной составляющей вектора

электрического поля на стенках волновода.

Примем, что волновод заполнен диэлек-

триком с относительной диэлектрической

проницаемостью ε и магнитной проницаемостью μ = 1. Каждый кон-

кретный тип волны в волноводе может распространяться, если

kp /0 , (7.1)

где λ0 – длина волны генератора; λkр – критическая длина волны, ко-

торая определяется размерами и формой поперечного сечения вол-

новода.

Для волн типа Emn и Нmn в прямоугольном вoлновoде

.2

22

b

n

a

mкр

где а, b – размеры поперечного сечения волновода (см. pис. 7.1) Для

волн типа Emn в круглом волноводе

λkp =2πa/vmn,

z

r

Рис. 7.2. Цилин-

дрический волно-

вод

z y

b

0

Рис. 7.1. Прямоуголь-

ный волновод

x a


91

где а – радиус волновода; vmn –n-й корень уравнения Jm (х) = 0. Для

волн типа Hmn в круглом волноводе

λkp = 2πа/μтп,,

где μтп – n-й корень уравнения xJm = 0.

Значения корней vmn и μтп приведены в прил. I.

Фазовая скорость волны в волноводе определяется продольным

волновым числом 22 k , (7.2)

где k = 2π/λ0; = 2π/λкр – поперечное волновое число.

Если выполняется условие (7.1), то k2ε> 2

, значение β действи-

тельное и данный тип волны распространяется. Для определения фа-

зовой скорости и длины волны в волноводе можно воспользоваться

соотношением

β = 2π/λв =ω/vф,

где λв – длина волны в волноводе.

Из формулы (7.2) получаем расчетные формулы для фазовой

скорости, длины волны и групповой скорости.

Фазовая скорость

2

011

/

кр

ф

cv

.

Длина волны в волноводе

2

0

0

11

/

кр

в

.

Групповая скорость

2

011

кргр

cv

,

где с – скорость света в свободном пространстве.

Решая уравнения Гельмгольца, можно получить следующие выра-

жения для составляющих векторов напряженностей электрического и

магнитного полей волн типа Еmn в прямоугольном волноводе:


92

,sincos

,cossin

,sinsin

,cossin

,sincos

02

02

0

02

02

zjay

zjax

zjz

zjy

zjx

eb

ny

a

mxE

a

mjH

eb

ny

a

mxE

b

njH

eb

ny

a

mxEE

eb

ny

a

mxE

b

njE

eb

ny

a

mxE

a

mjE

0zH .

Низшей из волн электрического типа является волна Е11. Карти-

на силовых линий поля волны Е11

изображена на рис. 7.3.

Выражения для составляющих

векторов напряженностей полей волн

типа Hmn в прямоугольном волноводе

записываются в виде

,sincos

,cossin

,0

,cossin

,sincos

02

02

02

02

zjy

zjx

z

zjay

zjax

eb

ny

a

mxH

b

njH

eb

ny

a

mxH

b

mjH

E

eb

ny

a

mxH

a

njE

eb

ny

a

mxH

b

mjE

.coscos0zj

z eb

ny

a

mxHH

Основным типом волны в прямоугольном волноводе при а > b яв-

ляется волна H10, для которой λкр = 2а, наиболее близкими высшими

Рис. 7.3. Картина силовых линий

поля волны Е11


93

типами – волны Н20, Н01, Н11. Картина силовых линий поля про-

стейших волн магнитного типа изображена на рис 7.4.

Составляющие векторов поля волны типа Н10 описываются выра-

жениями

.cos

,sin

,sin

,0,0,0

0

0

0

zj

az

zj

ax

zjy

yzx

ea

xE

ajH

ea

xEH

ea

xEE

HEE

В соответствии с этими уравнениями на рис. 7.5 и 7.6 представ-

лены для электромагнитной волны типа H10 более подробные графики

распределения напряженностей электрического и магнитного полей в

некоторый момент времени t1. На разных проекциях с помощью стре-

лок показаны направления силовых линий.

Составляющие векторов поля волны типа Еmn в круглом волново-

де имеют вид

,sin

,cos

,sin

,cos

02

0

02

0

zjm

ar

zjmz

zjm

zjmr

emrJmEr

jH

emrJEE

emrJEr

mjE

emrJEjE

.0

,cos0

z

zjm

a

H

emrJEjH

Е

Н10 Н11 Н20

Н

Н Н

Е Е

Рис. 7.4. Картина силовых линий простейших волн


94

Ey

A A

A-A Б

Б

x

Ey

a

z

Рис. 7.5 Электрическое поле волны Н10:

а, б, в – направление силовых линий,

г, д – распределение величины Ey при t = t1

a)

Б-Б

0,5λ

б)

в)

г)

д)

A

Нх

A

Нz

z

Рис. 7.6 Магнитное поле волны Н10:

а, б, в – направление силовых линий,

г, е – распределение величины Нх ,

д, ж – распределение величины Нz

a)

Б-Б

0,5λ

б) A-A

в)

x a г)

е)

Б

Б

Г-Г

Г Г

В В

В-В

д)

x a

Нz

Нy

Б-Б

плоскость y0z

x = 0, t =t1

z

ж)


95

Наиболее низкой среди волн электрического типа в круглом волно-

воде является волна Е01, для которой λкр = 2,613а, наиболее близким

высшим типом– волна Е11. Картина силовых линий поля волн типов

Е01 и Е11 изображена на рис. 7.7, а.

Выражения для составляющих векторов поля волн типа Нmn в

круглом волноводе имеют вид

.cos

,sin

,cos

,0

,cos

,sin

0

02

0

0

02

zjmz

zjm

zjmr

z

zjm

a

zjm

ar

emrJHH

emrJmHr

jH

emrJHjH

E

emrJHjE

emrJmHr

jE

Основным типом волны в круглом волноводе, имеющим наиболь-

шую критическую длину, является волна H11, для которой λкр=3,413а.

Из других волн магнитного типа в круглом волноводе часто исполь-

зуют волну Н01, для которой λкр = 1,640а. Картина силовых линий поля

волн типов Н11 и Н01 изображена на рис. 7.7,б.

Характеристическим сопротивлением. Zc волновода называ-

ется отношение поперечных составляющих векторов E и H . Для волн

электрического типа

20 /1 крcЕ ZZ ,

а)

E01 E11 H11 H01

б)

Рис. 7.7. Картина силовых линий в волноводе:

а – волны типа Е01и Е11; б – волны – H11 и H01


96

Для волн магнитного типа

2

0 1/

крcН ZZ

,

где Z0 – характеристическое сопротивление плоской волны в свобод-

ном пространстве.

Мощность, переносимую волной любого типа в волноводе, опреде-

ляют интегрированием вектора Пойнтинга по поперечному сечению вол-

новода:

dSHEP

S

zcp

1Re

2

1. (7.3)

Подставляя выражения для составляющих векторов поля в

формулу (7.3), получим формулу для расчета мощности. переносимой

волной типа Н10 в прямоугольном волноводе:

20

0

20

4

21E

Z

aabP

,

где E0 – максимальная амплитуда напряженности электрического

поля в волноводе.

Аналогично выводится формула для расчета мощности, перено-

симой волной типа Н11 в круглом волноводе:

2

0

0

20

2

128,4

kpZ

EaP

.

Максимальная переносимая мощность в волноводе определяется

максимально допустимой (пробивной) напряженностью электрического

поля в волноводе. Для сухого воздуха при атмосферном давлении

Emах = 30 кВ/см.

Затухание волн в волноводах зависит от потерь в металлических

стенках и в материале, заполняющем волновод. Результирующий коэф-

фициент ослабления волны в волноводе равен сумме коэффициентов

ослабления, вызванных потерями в металлических стенках и в диэлек-

трике: αобщ = αм + αд

Коэффициент ослабления вследствие потерь в металлических стен-

ках для любой волны в волноводе произвольного сечения


97

S

L

s

м

dSHE

dlHR

Re2

1

2

. (7.4)

где RS =

2

a – поверхностное сопротивление металла;

H –составляющая магнитного поля, тангенциальная к поверхности

металла.

Интеграл в числителе выражения (7.4) берут по контуру сечения

волновода, интеграл в знаменателе – по его поперечному сечению.

Подставляя соотношения для составляющих векторов поля в об-

щее выражение (7.4), получим расчетные формулы для коэффициен-

тов ослабления конкретных типов волн в волноводах, в частности

для волн типа Н10 в прямоугольном волноводе

20

0

20

21

2

21

abZ

a

b

aRS

м

.

7.2. Линии передачи с волнами типа Т

Электромагнитные волны, векторы напряженности электрического

и магнитного полей которых лежат в плоскости, перпендикулярной

направлению распространения, называют поперечными электромаг-

нитными волнами, или волнами типа Т.

Волна типа Т, в отличие от волн типов Н и Е, распространяется в

линии при любой частоте (ωкр т = 0).

Для волн типа Т поперечное волновое число = 0, поэтому

продольное волновое число β оказывается таким же, как и для одно-

родной плоской волны. Для линии без потерь

aak ,

Откуда aa

фv

1 , λв = λ.


98

Здесь λ – длина однородной плоской волны в заполняющем диэлек-

трике с параметрами εa, μa.

Характеристическое сопротивление волны типа Т в линии без

потерь, обозначаемое Zcт равно отношению поперечной составляю-

щей напряженности электрического поля и поперечной составляю-

щей напряженности магнитного поля бегущей волны. Оно совпада-

ет с аналогичной величиной, вычисленной для однородной плоской

волны в неограниченном пространстве Zc:

ZcT = Zc= aa / ,

Комплексные амплитуды полей волны типа Т в поперечной

плоскости удовлетворяют векторным уравнениям Лапласа

0,0 02

02 HE .

Распределение электрического и магнитного полей вдоль про-

дольной оси z можно записать в виде бегущей волны: zjzj eHHeEE 00 ,

где γ = β – jα – коэффициент распространения.

Электрические и магнитные поля волны типа Т в плоскости

поперечного сечения линии передачи по структуре будут такими

же, как и постоянные во времени электрические и магнитные поля,

существующие в системе при тех же граничных условиях. Это

означает, что распространение волны типа Т возможно лишь в ли-

ниях, которые могут быть использованы для передачи, постоянного

тока (двухпроводные, коаксиальные, полосковые и др.).

Статический характер поперечного распре-

деления электрического поля позволяет опреде-

лить разность потенциалов между проводниками

линии (рис. 7.8), не зависящую от выбора пути инте-

грирования l в поперечной плоскости.

QPl

ldEU

,

.

Ток вдоль проводников

l

эdlI

определяют интегрированием вектора ηэ плотности

поверхностного электрического тока по контуру сечения проводника l.

Линии передачи с волной типа Т характеризуются волновым со-

противлением ZB, равным отношению комплексных амплитуд напряже-

Рис. 7.8. Опре-

деление разно-

сти потенциалов

между провод-

никами линии

P

Q

L


99

ния и тока в режиме бегущих волн и выражающимся через погонные

индуктивность L0 и емкость С0 линии следующим образом:

00в CLZ .

Фазовая скорость в линии передачи c волной типа Т

00

1

CLvф .

Мощность, переносимая волной по линии передачи:

dSHEP

S

Re

2

1,

или

dSЕP

Sа

а

2

2

1

.

где интегрирование ведется по поперечному сечению линии.

Коэффициент ослабления α волны в линии передачи складывается

из коэффициента αд, учитывающего потери в диэлектрике, и коэффициен-

та αм, описывающего потери в металле:

α = αд + αм, м-1

. (7.5)

Здесь

эаа tg2

1д ,

S

l

S

dSHE

dlHR

Re2

1

2

м

,

где RS – поверхностное сопротивление металла.

Интегрирование в числителе ведется по контуру сечения линии, в

знаменателе – по поперечному сечению линии.

Коаксиальные линии передачи

Коаксиальная линия передачи представляет собой систему из

двух соосных металлических цилиндров с диаметрами d и D, разде-

ленных слоем диэлектрика с проницаемостями εа и μa (рис. 7.9).


100

Комплексная амплитуда вектора E бегущей волны в коак-

сиальной линии передачи без потерь

rzje

rdD

UE 1

1

/ln

,

где U – комплексная амплитуда напряжения (разности потенциалов)

между внутренним и внешним проводника-

ми в сечении z = 0.

Для линии без потерь

120сТ ааZ .

Погонные параметры коаксиальной

линии передачи

L0 = μa/2π ln (D/d),

dDС a

/ln

20

.

Волновое сопротивление коаксиальной


d

D

d

DZ lg138ln60в

.

Переносимая мощность

d

D

U

Z

UP

ln

1

1202

2

в

2

. (7.6)

Поскольку

dDEU /ln2

1max ,

выражение (7.6) можно представить в виде

d

DdEP ln

480

22max

.

Коэффициент ослабления волны типа Т в коаксиальной линии

передачи, учитывающий потери в диэлектрике, определяется фор-

мулой (7.5). Коэффициент ослабления, обусловленный потерями в

металле

Рис .7.9. Поперечное

сечение коаксиальной


D


101

dD

DRdR SS

/ln120

//21

м

,

где 1SR и

2SR – поверхностные сопротивления металла внутреннего и

внешнего цилиндров соответственно.

В коаксиальной линии передачи волны электрического и маг-

нитного типов являются высшими типами волн. Обычно они не ис-

пользуются для передачи, но могут возникать как паразитные. Для

подавления волн высших типов достаточно, чтобы частота колебаний

удовлетворяла неравенству

Ddaa

4.

Полосковые линии передачи

В технике СВЧ широко применяют направляющие системы,

называемые полосковыми линиями передачи, которые особенно

удобны в печатных и интегральных схемах СВЧ. На рис. 7.10, а и б

изображены полосковые линии

передачи несимметричного и

симметричного типов. Эти ли-

нии либо заполнены воздухом,

либо имеют основание из

твердого диэлектрика.

Теория полосковых линий

довольно сложна. Так называемая квази-Т-волна в этих линиях

может существовать, если ширина токонесущего проводника и

расстояние между ним и заземленной пластиной меньше половины

длины волны в линии передачи. При этом электрическое и маг-

нитное поля в основном сосредоточены в пространстве между

проводником и заземленной пластиной. Электрическое поле в по-

перечной плоскости может быть описано уравнением Лапласа.

В полосковых линиях передачи с диэлектрическим основанием

волны типа Т не могут распространяться в чистом виде из-за неод-

нородности диэлектрика. Однако теория и опыт показывают, что по-

ля и поток мощности в основном сосредоточиваются в диэлектрике

между токонесущим проводником и заземленной пластиной. Поэтому

Рис. 7.10. Полосковые линии: а –

несимметричная; б – симметричная

а) б)

2d+

t

b b

d

t

t


102

можно принять допущение об однородности диэлектрика, заполня-

ющего линию передачи.

Картины силовых линий электромагнитного поля в полосковых лини-

ях передачи приведены на рис. 7.11, а и б

Волновые сопротивления с учетом толщины токонесущего про-

водника l рассчитывают по формулам:

для несимметричной линии передачи

2//1/1

314в

dbdt

dbZ

,

2/

/1

11

1314в

db

dtd

bZ

,

для симметричной линии передачи

2//1

/1216в

db

db

dtZ

,

2/

/1

11

1216в

db

dtd

bZ

,

Волновые сопротивления без учета толщины проводника опреде-

ляются соотношениями:

для несимметричной линии передачи

dbZ

/1

314в

,

для симметричной линии передачи

dbZ

/1

216в

.

Передаваемая мощность в несимметричной полосковой линии пере-

дачи

Рис. 7.11. Картина силовых линий электромагнитного поля в

полосковых линиях: а – несимметричных; б – симметричных

Е

Н

а) б)

Е

Н


103

A

B

r

rdEР ln1044,8 22

04

, (7.7)

где Е0 – амплитуда напряженности поля в центре линии, В/м.

Значения коэффициентов rA и rB в зависимости от отношения b/d

определяют по таблицам, приведенным в прил. 4.

При b/d ≥1 в формуле (7.7) можно принять, что

BA

B rr

rln ,

в результате чего она упрощается:

BrdEР 220

41044,8

.

Предельная мощность в полосковых линиях передачи ограничива-

ется условиями пробоя и допустимым нагревом диэлектрика. Если про-

бой диэлектрика определяет предел мощности в импульсе, то нагрев огра-

ничивает передаваемую мощность в режиме непрерывной работы или

среднюю мощность в импульсном режиме.

Предельная мощность полоcковых линий передачи, обусловленная

условиями электрического пробоя, ограничивается максимально допу-

стимым напряжением электрического поля у края проводника, так как

поле внутри линии неравномерно:

Emax = 2E0/kн.

7.3. Аналогия между волноводом и линией

с распределенными параметрами

Между волноводом и линией с распределенными параметрами

наблюдается формальная аналогия. Действительно для х и у компо-

нентов волн E и H , распространяющихся вдоль оси волновода z,

справедливы уравнения d2

E /dz2 =кр

2E и HkdzHd p

222 / . Анало-

гичного вида уравнения справедливы для волн напряжения U и тока

I в однородной линии с распределенными параметрами:

UdzUd 222 / и IdzId 222 / .

Сходными величинами и соотношениями в линии и в волно-

воде являются соответственно:


104

U , I , BZIU , L0, C0, 00CLZB , E , H , BBZHE , μa, εa,

22/1// aZ caaBB (последнее для волны 10H ).

Аналогию используют с различными целями, например для вы-

яснения влияния неоднородностей в волноводах (перегородок, реше-

ток, диафрагм, клиньев, открытого конца) на распространение волн

на некотором удалении от неоднородностей; на работу источника

питания и для других целей. Для выяснения влияния неоднородно-

стей составляют схему замещения, в которой волновод замещен ли-

нией с распределенными параметрами, а неоднородность или

нагрузка волновода представлена в виде отрезка новой линии или в

виде нагрузки на конце линии.

Измерение комплексного сопротивления нагрузки волновода

осуществляют с помощью схем рис. 7.12, а и б. В них 1 – генератор, 2

– аттенюатор (ослабитель), 3 – измерительная линия с волновым со-

противлением ZBB, вдоль широкой стенки которой сделана узкая про-

резь для измерения Е. На рис. 7.12, а на конце измерительной линии

поставлена заглушка 4'. На рис. 7.12, б 4'' – несогласованная нагрузка,

которую необходимо измерить, 5 – согласованная с ZBB нагрузка. По-

следняя необходима для того, чтобы от нагрузки 4'' в измерительной

линии 3 в схеме рис. 7.12, б не было отраженных волн. Сначала гра-

дуируют установку по схеме рис. 7.12, а в режиме короткого замыка-

ния. В волноводе 3 возникает стоячая волна Е. С помощью аттенюа-

тора устанавливают максимальное показание измерительного прибора

6 в точке, где Е = Еmax. Затем определяют координату z = z0 (около се-

Е

1 2 3 4

1 2 3 4 5

Е

z Δz

г)

а)

б)

в) z

Рис. 7.12. Схемы измерения сопротивления нагрузки: а – при

наличии заглушки; б – при наличии нагрузки; в, г – графики

напряженности поля в стоячей и смешанной волнах

Е


105

редины линии 3), в которой Е=Еmin (рис. 7.12, в) и длину B /2 между

двумя минимумами. После этого заглушку 4' снимают и переходят к

схеме рис. 7.12, б. При этом в измерительной линии возникает сме-

шанная волна (рис. 7.12, г). Для нее определяют коэффициент стоячей

волны kCB = Еmax / Еmin и расстояние Δz, на которое сместится Еmin по

сравнению с координатой z0 в предыдущем опыте; Δz > 0, если Еmin

сместится в сторону генератора, и Δz < 0, если от генератора.

Комплексное сопротивление нагрузки 4'' ZН = RН+j XН опреде-

ляют по следующим формулам:

.

2;

tg

tg)1(;

tg

tg122

2

22

2

BCB

CBBBH

CB

CBBBH

zk

zkZX

zk

zkZR

Исходными формулами для вывода этих выражений являются

формулы для входного сопротивления линии с распределенными па-

раметрами без потерь – один раз при коротком замыкании, а другой –

с нагрузкой Z = RН+j XН. Расчет сопротивления нагрузки можно вы-

полнить также с помощью круговой диаграммы полных сопротивле-

ний (диаграммы Вольперта).

7.4. Замедляющие структуры

Поверхностными называют волны, распространяющиеся вдоль так

называемых замедляющих структур (линий передачи поверхностных

волн). Фазовая скорость этих волн меньше скорости света. Существует

большое число разнообразных видов линий передачи поверхностных

волн; наиболее распространена диэлектрическая пластина, Н-образная

металлодиэлектрическая линия передачи, диэлектрический стержень,

гребенчатая структура, диафрагмированный волновод и спираль.

Гребенчатая структура

Гребенчатая замедляющая

структура, или гребенка, представ-

лена на рис. 7.13. Рассмотрим рас-

пространение поверхностных элек-

тромагнитных волн вдоль такой

структуры в направлении координаты z. Строгий анализ волн в гребенке

достаточно сложен; ограничимся приближенным решением, принимая,

Рис. 7.13. Гребенчатая замед-

ляющая система


106

что шаг а гребенки мал по сравнению с длиной волны, а толщина зуба

d значительно меньше шага.

Поле поверхностной волны над гребенкой имеет экспоненциально

убывающий характер:

.0

,

,

,

2

0

zyx

zjxz

zjxy

zjxx

HEH

eAeE

eAejH

epAejE

Пазы гребенки можно рассматривать как закороченные на конце

отрезки плоского волновода длиной l. Поле в пазах имеет две состав-

ляющие:

.cos

,sin

0

lxkZ

BjH

lxkBE

y

z

При выводе характеристического уравнения обычно пользуются

понятием «поверхностный импеданс»

yz HEZ .

Приравнивая импеданс поля над гребенкой и поля в пазах в плос-

кости х = 0, получим характеристическое уравнение вида

=k tgkl.

Для существования поверхностной волны необходимо, чтобы вы-

полнялось условие > 0. Это возможно, например, при kl < π/2 или

l<λ0/4. При этом коэффициент замедления равен vф /с = cos kl.

Металлическая спираль

Спираль представляет собой проводник, навитый на круглый

цилиндр радиусом а с постоянным шагом d

(рис. 7.14). Если диаметр провода мал по

сравнению с диаметром спирали, то ее можно

приближенно рассматривать как анизотроп-

ный цилиндр, проводимость которого беско-

нечна в направлении витков спирали и равна

нулю в перпендикулярном направлении. Для симметричных волн,

когда поле не зависит от угла φ, продольные составляющие Еz и Hz

Рис. 7.14. Спиральная

замедляющая система


107

изменяются пропорционально цилиндрическим функциям I0( r)

внутри спирали и K0( r) вне спирали. Поперечные составляющие

поля описываются производными rI 0 и rK 0 .

При подстановке составляющих векторов поля в граничные усло-

вия получается характеристическое уравнение

aIaK

aIaK

tg

k

00

11 , (7.8)

где tgα = d/2πa – тангенс угла наклона витков спирали.

При а >> 1, что соответствует малым углам намотки спирали,

подкоренное выражение в уравнении (7.8) близко к единице и харак-

теристическое уравнение значительно упрощается:

≈ k ctgα. (7.9)

Таким образом,

vф /с ≈ sinα.

Чтобы найти более точное решение характеристического уравнения

(7.8), значение , вычисленное по формуле (7.9), следует подставить

в правую часть уравнения. Полученное при этом уточненное значе-

ние можно снова подставить в уравнение и т. д. до тех пор, пока

результаты не будут различаться на достаточно малую величину.

7.5. Объемные резонаторы

Объемный резонатор представляет собой замкнутую полость,

ограниченную ме-

таллическими

стенками, внутри

которой суще-

ствуют электро-

магнитные коле-

бания.

Конфигура-

ция объемного ре-

зонатора может быть любой, однако практически наиболее примени-

мы прямоугольный (рис. 7.15, а), цилиндрический (рис. 7.15, б), ко-

аксиальный (рис. 7.16, а) и квазистационарный торовидный (рис.

7.16, б) объемные резонаторы. Все они, кроме последнего, являются по

б)

l

0 а)

x

y

z

a

b

l

a

z

Рис .7.15. Объемные резонаторы: а – прямоугольный;

б – цилиндрический


108

существу закороченными на концах отрезками волноводов, В таких ре-

зонаторах могут

наблюдаться коле-

бания типа Е, у ко-

торых Нz = 0, и ко-

лебания типа H, у

которых Еz = 0.

Анализ полей в ре-

зонаторах произво-

дят посредством

решения уравнения

Гельмгольца для составляющих Еz и Нz при равенстве нулю тангенциаль-

ной составляющей электрического поля на стенках резонатора.

В результате получаются выражения для резонансной частоты и

для составляющих векторов поля в резонаторе.

Прямоугольный объемный резонатор. Резонансная частота ко-

лебаний типа Нmnр или Emnp

2221

l

p

b

n

a

m

aap

,

где a, b, l – геометрические размеры резонатора (см. рис. 7.15,а).

Составляющие векторов поля для колебаний типа Hmnp

,cossincos

,coscossin

,0

,sincossin

,sinsincos

l

pz

b

ny

a

mx

l

p

b

nCH

l

pz

b

ny

a

mx

l

p

a

mCH

E

l

pz

b

ny

a

mx

a

mCjE

l

pz

b

ny

a

mx

b

nCjE

y

x

z

ay

ax

.sincoscos

22

l

pz

b

ny

a

mxC

b

n

a

mH z

где С – произвольный амплитудный множитель.

Составляющие векторов поля для колебаний, типа Emnp

а)

L

б)

Рис. 7.16. Объемные резонаторы: а – коаксиальный;

б – торовидный


109

.sincoscos

,cossincos

,coscossin

,0

,sincossin

,sinsincos

22

l

pz

b

ny

a

mxC

b

n

a

mH

l

pz

b

ny

a

mx

l

p

b

nCH

l

pz

b

ny

a

mx

l

p

a

mCH

E

l

pz

b

ny

a

mx

a

mCjE

l

pz

b

ny

a

mx

b

nCjE

z

y

x

z

ay

ax

Индексы m, n, p означают число вариаций поля в резонаторе по

осям х, у, и z соответственно.

Основным типом колебаний в прямо-

угольном резонаторе, имеющим мини-

мальную резонансную частоту, в зависи-

мости от соотношения размеров а, b, и l

могут быть Н101, Н011 или Е110. Так, при b <

а и b < l основным типом колебаний явля-

ется Н101, картина силовых линий поля ко-

торого изображена на риc. 7.17, а состав-

ляющие векторов поля описываются выражениями

,0

,sinsin

,0

z

ay

x

E

l

z

a

x

aCjE

E

.sincos

,0

,cossin

2

2

l

z

a

xC

aH

H

l

z

a

x

alCH

z

y

x

H

E

y

x

z

Рис .7.17. Картина силовых

линий поля Н101


110

Картина силовых линий поля колебаний Н011 и Е110 отличается

лишь ориентацией векторов.Так, вектор Е у колебания Н011 ориентиро-

ван в направлении оси у, а у колебания Е110 – в направлении оси z. В

резонаторе кубической формы резонансные частоты этих трех типов

колебаний совпадают (явление вырождения).

Цилиндрический объемный резонатор. Резонансная частота

колебаний типа Нmnp

221

l

p

a

mn

aap

,

где εа, μa – абсолютные диэлектрические проницаемости вещества, за-

полняющего резонатор; μтп – n-й корень уравнения 0 xJm .

Индекс р, определяющий число вариаций поля вдоль оси z, прини-

мает целочисленные значения, не равные нулю.

Составляющие векторов поля колебания типа Н в цилиндрическом

резонаторе

.sincos

,cossin1

,coscos

,0

,sincos

,sinsin

2

l

pzm

a

rCJ

aH

l

pzm

a

rCJ

l

pm

rH

l

pzm

a

rJC

l

p

aH

E

l

pzm

a

rJC

ajE

l

pzm

a

rmCJ

r

jE

mnm

mnz

mnm

mnm

mnr

z

mnm

mna

mnm

ar

Основным колебанием типа Н в цилин-

дрическом резонаторе является Н111, картина

силовых линий поля которого изображена на

рис. 7.18.

Резонансная частота колебаний типа Emnp

221

l

p

a

vmn

aap

,

Рис. 7.18.Картина си-

ловых линий поля Н111

в цилиндрическом

резонаторе

E

H


111

где vmn – п-й корень функции Бесселя Jm(x).

Составляющие векторов поля колебаний типа Е в цилиндрическом

резонаторе описываются выражениями

.coscos

,sinsin1

,sincos

,0

,coscos

,cossin

2

l

pzm

a

rCJ

a

vE

l

pzm

a

rvCJ

l

pm

rE

l

pzm

a

rvJC

l

p

a

vE

H

l

pzm

a

rvJC

a

vjH

l

pzm

a

rvmCJ

r

jH

vmnm

mnz

mnm

mnm

mnr

z

mnm

mna

mnm

ar

В отличие от колебаний типа Н индекс р здесь может принимать

нулевое значение.

Основным колебанием типа Е в цилин-

дрическом резонаторе является Е010, картина

силовых линий поля которого изображена

на рис. 7.19. Особенностью этого колебания

является то, что его резонансная частота

aaap

4048,21

не зависит от длины резо-

натора.

В общем случае, когда резонатор представляет собой закороченный

с обоих концов отрезок произвольного волновода, резонансную длину

волны определяют из условия

2

вpl

, (7.10)

где р – целое число (продольный индекс); λв – длина волны в волно-

воде (линии передачи).

Из выражения (7.10) получается формула для резонансной ча-

стоты

Рис. 7.19. Картина си-

ловых линий поля Е010


112

l

pvфp

,

где vф – фазовая скорость волны в линии передачи, на базе которой

выполнен резонатор. В частности, для основного колебания типа Т1 объ-

емного резонатора, представляющего собой закороченный с обоих концов

отрезок коаксиальной линии передачи (см. рис. 7.15,а):

laap

.

Энергия, запасенная в объемном резонаторе любого типа:

dVH

dVE

W

V

a

V

a 22

22

.

где Е и Н – амплитудные значения напряженности электрического и

магнитного полей; интегрирование ведется по объему резонатора. В част-

ности, для колебаний типов Н101, Н011, Е110 в прямоугольном объемном ре-

зонаторе

ablEW a2max

8

1 ,

где Еmax – максимальная амплитуда напряженности электрического поля

в резонаторе.

В цилиндрическом объемном резонаторе энергию, запасённую

колебаниями различных типов, вычисляют по следующим форму-

лам:

колебание типа Е010

laEW a22

max423,0 ,


2max2

01

201

2

2

4E

a

v

a

v

llaW a

,

колебание типа Н101

laEW a22

max316,0 ,

колебание типа Н111,

laEW a22

max749,0 ,


113

Добротность объемного резонатора определяют как отноше-

ние энергии электромагнитного поля, запасенной в резонаторе, к

энергии, теряемой за период собственных колебаний:

S

S

V

ap

dSHR

dVH

Q2

2

. (7.11)

Для колебаний типа Н101 в прямоугольном резонаторе

balbla

laabl

RQ

S

ap

222 33

22

. (7.12)

Добротность важнейших типов колебаний в цилиндрическом

резонаторе рассчитывают по формулам:


la

a

RQ

S

ap

2

, (7.13)

колебание типа Е011,

la

al

RQ

S

ap

22

, (7.14)


2

222

0

22

2

l

a

a

l

la

RQ

aap

S

ap

, (7.15)


2

11

2211

232

211

2

11

212

11

2

l

a

l

a

l

a

l

a

RQ

p

S

ap. (7.16)

В формулах (7.11) – (7.16) учитываются лишь потери в металли-

ческих стенках резонаторов. Если резонатор заполнен диэлектриком с

потерями, то результирующая добротность

эQQ

tg1

1

м ,


114

где Qм – добротность резонатора, обладающего лишь потерями в ме-

таллических стенках; tgδэ – тангенс угла потерь вещества, заполняю-

щего резонатор.


1. Почему энергию СВЧ практически невозможно передавать по

обыкновенным открытым линиям и коаксиальному кабелю?

2. Охарактеризуйте достоинства и недостатки известных Вам

направляющих систем СВЧ.

3. Начиная примерно с каких частот энергию передают по вол-

новодам?

4. Как связана собственная частота объемного резонатора с его

размерами?

5. Каким соотношением связана постоянная распространения kр

с геометрическими размерами а и b волновода и с числами п и m? Что

определяют собой числа п и m ?

6. Чем руководствуются при выборе размеров сторон а и b в

прямоугольном волноводе, чтобы в нем вдали от излучателя распро-

странялась волна типа H10, а волны высших типов – отсутствовали?

7. На конце волновода установлена сплошная металлическая пе-

регородка. Начертите картину напряженности электрического поля

вдоль оси волновода для волны H10.

8. В прямоугольном волноводе а = 2b. Определить критические

длины волн типов H10, H01, H20, H11 (Ответ: 2а, 2b, а, 2а /5.)

9. Определите диапазон частот, при котором в круглом волново-

де диаметром 5 см может распространяться только основной вид волн

H11 и E01. (Ответ: 3,52...4,59 ГГц.)

10. Определить резонансную частоту основного типа колебаний

в кубическом резонаторе со сторонами 2 см. (Ответ: 2,12 ГГц.)

11. Поясните картину поля полосковой линии и укажите поло-

жительные качества этой линии.


115

ГЛАВА 8. ВОЗБУЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ

ВОЛН

С математической точки зрения задачи о возбуждении электромаг-

нитных волн заданными источниками сводятся к решению системы

неоднородных уравнений Максвелла. Область существования сторон-

него тока выступает как источник излучения.

8.1. Уравнения Максвелла для области, содержащей источники.

Неоднородные волновые уравнения

Уравнения Максвелла в комплексной форме имеют вид

..cmJEjHrot (8.1)

.HjErot (8.2)

Из закона сохранения заряда следует

... cmcm jJdiv (8.3)

Определим дивергенцию уравнения (8.1):

.0.. cmcm jEdivjdivJEdivjHrotdiv (8.4)

Из уравнения (8.4) получим

..

cmEdiv (8.5)

Выразим из уравнения (8.2)

Erotj

H

1

и подставим в уравнение (8.1):

.

;

22

.2

cm

cm

JjEdivgradEkE

JjEkErotrot

Заменив Ediv из уравнения (8.5), окончательно получаем

(8.6)

Теперь из уравнения (8.1) выразим

.11

.cmJj

Hrotj

E

...22

cmcm JjgradEkE


116

Подставим в уравнение (8.2)

..2

cmJrotHkHrotrot

Учитывая, что 0Hdiv , получим

(8.7)

Уравнения (8,6) и (8.7) называются векторными уравнениями

Даламбера. На основании уравнений Даламбера основная задача

электродинамики для области, содержащей источники, сводится к

отысканию напряженностей E и H по заданному распределению

сторонних токов .cmJ и зарядов .cm

8.2. Электродинамические потенциалы

Как и в теории стационарных полей, в электродинамике исполь-

зуются различные скалярные и векторные функции. Рассмотрим

применение известных потенциалов A и φ. Только зададим их в ком-

плексной форме, принимая , A – комплексные электродинамиче-

ские потенциалы. Тогда ,1

ArotH

(8.8)

Подставим уравнение (8.8) в уравнение (8.2):

.0

;

AjErot

ArotjErot

Далее на основании тождества rot grad φ ≡ 0 запишем

9.8.

;

AjgradE

gradAjE

Уравнения (8.8) и (8.9) дают возможность определить комплекс-

ные векторы поля исходя из электродинамических потенциалов. Выве-

дем уравнения второго порядка для электродинамических потенциалов.

Подставим выражения для E и H (8.8, 8.9) в первое уравнение Макс-

велла (8.1):

.21

cmJAgradjArotrot

Проведем преобразования:

..022

cmJAkgradjAAdivgrad

..22

cmJrotHkH


117

Получим

.)(22 jAdivgradAkAAdivgrad

Наложим дополнительное условие

. jAdiv (8.10)

Данную калибровку называют лоренцовой. В результате получим

.22стJAkA (8.11)

Установим связь между векторным и скалярным потенциалами.

Подставим φ из уравнения (8.10) Adivj

1

в уравнение (8.9)

.; 22

AkAdivgradk

jEAj

j

AdivgradE

(8.12)

Видно, что E и H определяются через A посредством (8.8) и

(8.12).

Теперь получим уравнение второго порядка для φ.

Выражаем из уравнения (8.8) A и подставляем в калибровку

уравнения (8.10). Получаем

.22 cmk (8.13)

Если решается статическая задача, т.е.

k = 0, ω = 0, то уравнения (8.11) и (8.13) упрощаются:

стJA

22 , .

Когда мы пренебрегаем временем распространения, т.е.

v ,ф то стJ 2 .

Таким образом динамические задачи сводятся к стационарным.

Уравнения Даламбера превращаются в уравнения Пуассона, а лорен-

цева калибровка – в кулоновскую. Это утверждение эквивалентно

условию l <<λ – расстояние между объектами или их длина гораздо

меньше длины волны.

8.3. Запаздывающие электродинамические потенциалы

Пусть в объеме V действуют сторонние токи .cmJ и сторонние

источники .cm (рис. 8.1).


118

Чтобы установить связь поля с источником излучения, необхо-

димо найти решения уравнений (8.14) и (8.16).

Рассмотрим вначале статический случай, т.е.

.0

t

Тогда в некоторой точке М существует поле,

потенциалы которого определены по форму-

лам

;4

1 .dVr

V

cm

.4

.dVr

JA

V

cm

Чтобы учесть конечное время распространения сигнала, примем,

что поле в точке М в момент времени t определяется значением токов

и зарядов в предыдущий момент (t – t′ ), где ;фv

rt

t′ – время запаздывания.

;4

1 . dVr

ttt

V

cm

.4

. dVr

ttJtA

V

cm

Это формулы для так называемых запаздывающих потенциалов.

Пусть эти потенциалы описывают гармонические процессы.

.cos

;cos

..

..

tJJ

t

cmòcm

cmòcm

В момент времени (t – t′)

).cos()cos(

);cos()cos(

..

..

krtJttJJ

krttt

cmòcmòcm

cmòcmòcm

Перейдем к показательной или комплексной форме

;4

1 ... dV

r

e

V

jkrcm

cmò

(8.14)

M

Рис.8.1. Определение

электродинамических

потенциалов

ст

V r

0

стj


119

.4

.. dV

r

eJA

V

jkrcm

cmò

(8.15)

Это не что иное, как частные решения уравнений (8.11) и (8.13),

соответствующие расходящимся от источника электромагнитным вол-

нам.

Так, рассмотрим поле, создаваемое одним лишь колеблющимся

зарядом

qст = ρm∆V cos ωt = qm.сm cos ωt,

расположенным в окрестности точки О' (рис. 8.2). Согласно (8.14),

комплексная амплитуда потенциала этого поля есть

,44

.

r

eq

r

eV jkrcmm

jkrm

m

(8.16)

Перейдем от комплексной формы к мгновенным значениям

.cos4

. krtr

q cmm

Поле имеет характер сферической волны,

расходящейся из точки O′: фронт ее –шаровая по-

верхность (рис. 8.3), радиус которой увеличивает-

ся со скоростью v.

Проверим, что выражение (8.16) действи-

тельно является решением уравнения (8.13). За-

пишем это уравнение в сферических координатах

(прил. 2), приняв д/дθ = 0, д/дα = 0, так как по-

тенциал от угловых координат не зависит, а так-

же ρст = 0 (поле определяется вне источника):

022

m

m kr

rrr

l

.

Подставив сюда выражение (8.16), убеждаемся, что уравнение

после дифференцирования выполняется:

.0222

r

ek

r

e

rr

rr

l jkrjkr

Нетрудно проверить, что решением (8.13) будет также ком-

плексная амплитуда

.4

.

r

eq jkrcmm

m

Рис. 8.2. Определе-

ние потенциалов ко-

леблющегося заряда

r

V

О′ ∆r

M


120

Однако такое решение соответствует также волне, сходящейся к

источнику (распространяющейся из бесконечности, рис. 8.4); но это

решение в данном случае лишено физического содержания.

Рассмотренный пример, конечно, еще не позволяет составить

представление о поле излучения. Если, как это показано на рис. 8.2,

источники распределены в области V, то для определения электро-

магнитного поля следует учесть действие всех точек этой области,

т.е. произвести интегрирование в соответствии с формулами (8.14),

(8.15). При этом достаточно вычислять только векторный потенциал,

так как скалярный исключается с помощью соотношения калибровки.

Это значит, что для определения поля излучения достаточно знать

сторонний ток. Однако исследование поля при произвольном распре-

делении тока является очень сложной задачей. В дальнейшем мы

ограничимся изучением так называемых элементарных источников.

8.4. Элементарный электрический излучатель

Рассмотрим отрезок l, вдоль которого течет сторонний ток

iст = Im,ст cosωt.

Чтобы удиться реальности такого изолированного элемента пе-

ременного тока, используем закон сохранения заряда в форме (8.3).

Поместив элемент тока на оси z декартовой системы координат

(рис.8.6,а), запишим уравнение (8.3) в виде

,0 cmcm jJzdiv

или

.cmcm j

dz

Jd

M

Рис. 8.3. Картина

расходящейся сфе-

рической волны

r

0

Рис. 8.4. Картина

сходящейся сфе-

рической волны

r

0


121

Приписывая отрезку l, некоторую толщину, т.е. фактически за-

меняя его проводящим стержнем поперечного сечения S, имеем

,è cmcmcmcm qzSISJ

Умножив обе части предыдущего выражения на S∆z, получаем

,cmcm qjI или

...

cmm

cmm

jIq

Таким образом, комплексная амплитуда диполя имеет вид

.0. z

lIjp cmm

m

Первый искусственный излучатель, осуществленный Герцем,

представлял собой именно подобие колеблющего-

ся диполя. Два металлических шара (рис. 8.5) пе-

резаряжались с высокой частотой во время им-

пульса индукционной катушки. Антенны, сравни-

мые по свойствам с излучателем Герца, применя-

ются и в настоящее время. Изображенный на

рис. 8.5 элемент тока – колеблющийся диполь –

обычно рассматривается в качестве элементарного

излучателя и называется диполем Герца.

Перейдем к анализу диполя Герца. На основании уравнения

(8.15) комплeкc векторного потенциала элемента тока выражается

интегралом

.44

0 dlr

e

S

IzdV

r

eJA

l

jkrcm

V

jkr

cm

(8.17)

Ограничиваясь расстояниями, значительно превышающими

размер элемента r >> l можем считать множитель 1/r под знаком

интеграла постоянной величиной. Примем также, что элемент мал в

сравнении с длиной волны:

r << λ.

Поэтому величину kr = 2πr/λ можно считать одинаковой для всех то-

чек излучателя. С учетом сказанного перепишем выражение (8.17) в

виде

,44

00jkrcm

jkrcm e

r

lIzV

r

e

S

IzA

где V = Sl – объем, занимаемый током.

Определим z0 в сферической системе координат (рис. 8.6):

~

Рис.8.5. Диполь

Герца


122

.sincos 000 rz

.sincos4

00jkr

cm err

lIA

Начнем с отыскания напряженности маг-

нитного поля

.1

ArotH

Запись ротора вектора напряженности маг-

нитного поля в сферических координатах имеет

вид

0sincos

sinsin

4

00

2

0

jkrjkr

cm

er

rer

r

rrr

r

lIH

.sin1

4

sinsin

4

.0

0.

jkrcm

jkrjkrcm

ejkr

lI

er

ejkr

lIH

(8.18)

Величину E теперь проще всего определить из первого урав-

нения Максвелла

;1

; Hrotj

EEjHrot

.sin2

11cos

12

4

2

2020. jkrcm ek

kj

rrjk

rrr

lIjE

(8.19)

Переходя в формулах (8.18), (8.19) от комплексов к векторам,

записываем

r

z

α 0

M

0

Рис.8.6. Определе-

ние векторного по-

тенциала диполя


123

.sincos1

sin11

4

20.8;coscossin1

4

;sinsincos1

4

22

2.

2.

.

krtkr

krtrk

kr

lItH

krtkrtkr

kr

lItH

krtkrtr

kr

lItH

a

cmm

a

cmmr

cmm

Итак, поле элементарного электрического излучателя имеет ха-

рактер сферической волны довольно сложного строения. Впрочем,

слагаемые выражений (8.20), заключенные в квадратные скобки, не-

равноценны для полей на разных расстояниях от диполя. Это обстоя-

тельство упрощает дальнейшее исследование

8.5. Исследование поля электрического диполя

Поле в ближней зоне

Рассмотрим вначале поле в так называемой ближней зоне излу-

чателя – на расстояниях, значительно меньших длины волны. На это

указывают неравенства

r << λ, kr << 1.

Отбросив малые члены в квадратных скобках выражений (8.20)

и (8.19) (порядка 1 и 1 /kr), а также пренебрегая фазовым сдвигом kr,

получаем

.sinsin4

;cossin2

;cossin4

3.

3.

2.

tr

lIE

tr

lIE

tr

klIH

cmm

cmmr

cmm

(8.21)

Поле в ближней зоне по своей конфигурации совпадает со ста-

ционарными электрическими и магнитными полями, причем векторы

E и H сдвинуты по фазе на 90°, поле имеет чисто реактивный ха-

рактер, передача энергии в ближней зоне не происходит. Электро-

магнитное поле в ближней зоне квазистационарно (изменяется во

времени, но переноса энергии нет).


124

Все это объясняется тем, что поле в ближней зоне связано с ис-

точником. Происходит колебательное движение энергии вблизи ис-

точника. Становится ясным, что формулы (8.21) получены в прене-

брежении излучением, т.е. поле излучения в ближней зоне незначи-

тельно в сравнении с квазистационарным полем.

Поле в дальней зоне

Теперь будем ориентироваться на другие неравенства:

r >>λ kr>>l.

В уравнении (8.20) можно пренебречь членами порядка 1/k2r

2 и

1/kr:

.sincos4

sinsin4

,0

;sincos4

sinsin4

2

22.

.

krtr

kPkrtk

r

lIE

E

krtr

kPkrtk

r

lIH

ýcmm

r

ýcmm

(8.22)

Это и есть поле излучения. Оно представляет собой сферическую

волну, причем векторы Е и Н, как и в плоской волне, лежат перпен-

дикулярно к направлению распространения, взаимно перпендикуляр-

ны и находятся в одной фазе. Комплексный вектор Пойнтинга

направлен радиально и не имеет мнимой части. Таким образом, сред-

няя плотность потока энергии, переносимой волною, равна

..sin

322Re 2

22

022.

00 r

ZklIr

HErПП cmmmm (8.23)

Излучение максимально в экваториальной плоскости ( = 90°) и

отсутствует в осевом направлении ( = 0). Полное представление о

характере излучения дает так называемая «диаграмма направленно-

0

б)

90

E = 0

E = Emax

Z

Рис.8.7. Диаграмма направленности диполя: а – в сечении;

б – пространственная

а)

Z


125

сти», которую строят, откладывая в произвольной меридиональной

плоскости ряд отрезков, пропорциональных амплитуде Е (или Н) в

данном направлении для фиксированного

расстояния r. Концы этих отрезков лежат на

двух соприкасающихся окружностях

(рис.8.7,а). Аналогичное построение в про-

странстве приводит к объемной фигуре в

виде тора (рис. 8.7, б).

Нетрудно вычислить полную мощ-

ность, излучаемую диполем Герца. Состав-

ляя поток комплексного вектора Пойнтинга

через окружающую его сферическую по-

верхность (рис. 8.8), на основании (8.23)

имеем

0

3022

.

0

2

0

3222

022

. .sin16

sin32

dZklI

ddrr

ZklIP cmmcmm

cp

В результате интегрирования получаем следующее выражение

излучаемой мощности:

.1

3

2

02

.

ZIP cmmcp (8.24)

Оно показывает, что излучение резко увеличивается при уменьшении

длины волны.

Величина 20 1

3

2

ZRÈ

называется сопротивлением излучения диполя Герца, ибо она в соот-

ветствии с формулировкой закона Джоуля – Ленца

Ècmmcp RIP2

.2

1

характеризует мощность, рассеиваемую током Icm в виде излучения.

Можно построить упрощенную картину поля элементарного из-

лучателя для разных моментов времени и таким способом проследить

за его формированием в процессе излучения электромагнитной энер-

гии.

На рис. 8.9 схематически показано строение электрического по-

ля излучателя, исследованное этим путем. Как видно, в момент мак-

Рис. 8.8. Определение

мощности излучения

∆α

r

I

H

E

r


126

симального тока (заряды диполя при этом равны нулю) образуются

«электрические вихри» (семейство замкнутых электрических сило-

вых линий), распространяющиеся затем от источника.

В дальней зоне любая достаточно малая область поля элемен-

тарного излучателя имеет все признаки плоской волны. Векторы поля

перпендикулярны к направлению ее распространения, и отношение

их амплитуд равно Z.

В заключение отметим, что короткие в сравнении с длиной вол-

ны проволочные (стержневые) антенны (рис. 8.10 а,б) очень близки

по характеру излучения к элементарному излучателю и обычно отож-

дествляются с ним. Однако для увеличения эффективности размеры

антенн стараются увеличить, тогда ток антенны нельзя уже считать

везде одинаковым по амплитуде. Его распределение становится по-

чти синусоидальным с периодичностью волны в собственном про-

странстве. В качестве примера на рис. 8.10,в показано распределение

тока симметричного полуволнового вибратора. Поле такой антенны

вычисляется как суперпозиция полей, создаваемых отдельными ее

элементами, принимаемыми за диполи Герца.

Рис. 8.9. Схема образования электромагнитной волны

t=0

0

i q

t

T 1/4T 1/2T 3/4T

~ ≈

Рис.8.10. Стержневая антенна: а – схема; б – эквивалентная замена;

в – распределение тока

а) б) в)

Im

λ/2


127

8.6. Элементарный магнитный излучатель

Замкнутый виток с током I на расстоянии, значительно превы-

шающем размеры витка, создает такое же поле, как если бы на его

месте находился диполь с магнитным моментом mm (рис. 8.11).

..0 SJzm cтm

Такой виток называют элементарным магнитным излучателем или

магнитным диполем Герца. Его поле

можно исследовать, определив по фор-

муле (8.15) векторный потенциал за-

мкнутого тока, а затем использовав

формулу (8.12). Однако можно упро-

стить, используя представление о маг-

нитных зарядах, которые будут рассмат-

риваться не как реальные величины а (в

качестве удобной абстракции).

Запишем магнитный момент диполя в комплексной форме

..0 SIzm cm

Заменяем виток эквивалентным магнитным диполем, и по анало-

гии с уравнением (8.3) запишем

,mm jJdiv

где ρm – плотность магнитного заряда и mJ – плотность магнитного

тока, появляющегося в результате движения магнитных зарядов.

Четвертое уравнение Максвелла теперь примет вид

,/ mHdiv

а второе уравнение

,mjHjErot

Дальнейшее решение задачи исследования магнитного диполя

Герца будем проводить путем сравнения с задачей исследования элек-

трического диполя (табл. 8.1).

Таблица 8.1 Источник из-

лучения Задача1 Задача2

Электрический момент ρ Магнитный момент m

Вид уравнений

Максвелла .

;

HjErot

jEjHrot m

(*)

.

;

EjHrot

jHjErot m

(**)

m

z +q

m

S

r

l

Рис.8.11. Магнитный диполь


128

Как видно, первое и второе уравнения Максвелла в задачах

«поменялись ролями». При этом уравнения задачи 2 при замене

E на H и H на E ,

ε на –μ и μ на – ε, (8.25)

а также .cmJ на .mJ .

А это значит, что достаточно в решении уравнений (*) при элек-

трическом источнике сделать замену (8.25), как будет получено ре-

шение уравнений (**) при аналогичном магнитном источнике m .

Итак, для определения поля элементарного магнитного излуча-

теля произвести указанную замену в формулах (8.18) и (8.19). При

этом необходимо учесть, что величина .cmJ входит в это решение

только в форме электрического момента p , который следует заменить

магнитным моментом –m , т. е. вместо /ljIp mm написать:

–m = –ImμS

После такой операции формулы (8.18) и (8.19) принимают вид

;sin1

40

krtjm ejk

rr

SIjE

.sin11

sin12

4

2

2020krtjm ek

r

kj

rrjk

rrr

SIH

Таким образом, получено решение уравнений Максвелла для маг-

нитного диполя Герца в комплексной форме. Отсюда вытекает следу-

ющая запись проекции электромагнитного поля:

0

;sinsin1

cos11

4

;cossincos1

4

;sincossin1

4

22

2

02

HEE

krtkr

krtrkr

SkIH

krtkrtkrr

kSIH

krtkrtkrr

SWkIE

r

m

mr

m

(8.26)

Использованный нами способ получения уравнений магнитного

диполя, основан на перестановочной двойственности уравнений Макс-

велла. Общий метод расчета полей, основанный на этом, был впервые

сформулирован А.А. Пистолькорсом, а также отражен в работах МА.


129

Леонтовича и Я.Н. Фельда, и получил распространение под названи-

ем принципа двойственности.

Из уравнений (8.26) получаем проекции поля в ближней зоне

tr

mH

tr

mH

tr

SIE

m

mr

m

coscos2

,coscos2

,sinsin4

3

3

2

(8.27)

и в дальней зоне (поле излучения)

).cos(sin4

,0

),cos(sin4

2

02

krtr

SkIH

H

krtr

SZkIE

m

r

m

(8.28)

Итак, в дальней зоне элементарный магнитный излучатель со-

здает волновое поле, отличающееся от поля элементарного электри-

ческого излучателя только ориентацией. Диаграмма направленности

излучения по-прежнему имеет вид, показанный на рис. 8,7. а сопро-

тивление излучения выражается формулой

.3

8

40

3

S

ZRИ

вывод, который аналогичен предыдущему .

В сущности любая цепь переменного тока теряет какую-то не-

большую долю энергии на излучение. Зная ток и площадь цепи, а

следовательно, и момент эквивалентного магнитного диполя, можно

оценить излучаемую мощность.

На основании формул (8.27) можно заключить, что электромаг-

нитное поле такой цепи должно резко уменьшаться уже на расстоя-

ниях, значительно меньших длины волны. Это значит, что ее энергия

сконцентрирована в квазистационарной области, а волновой характер

поля несущественен.


130

8.7. Элемент Гюйгенса

По принципу Гюйгенса каждая точка волнового фронта рас-

сматривается как источник сферической вол-

ны (рис. 8.12).

Суперпозиция этих сферических волн

указывает положение фронта в следующий

момент времени. Определим характер излу-

чения очень малого участка фронта плоской

волны – элемента Гюйгенса.

Взяв этот элемент в виде прямоугольни-

ка, ориентированного, как показано на рис.

8.13,a отмечаем, что его поле эквивалентно

электрическому и магнитному поверхност-

ным токам (рис. 8.13, б):

.è 0 ÝSÝSMMS lHWlEIlHI

Это дает основание заменить элемент Гюйгенса совокупностью

электрического и магнитного диполей Герца

(рис. 8.13, в) с моментами, по модулю равными

MЭSm

Эm

m

llHlIp и

МЭSm

MMm

m

llHZlIm

0

. (8.29)

Расположив элемент Гюйгенса в сфериче-

ской системе координат (рис. 8.14), можно

установить, что его электрическое поле в даль-

ней зоне, обязанное своим происхождением

α

Рис.8.14. Элемент

Гюйгенса в сфе-

рической системе

координат

0

Рис. 8.12. Распро-

странение волн по

принципу Гюйгенса

S2 S1

H

Эl

Ml

E

Рис.8.13. Элемент Гюйгенса: а – схема; б – направление токов;

в – совокупность электрического и магнитного диполей

б)

I

IM

+q –q

–qM

+qM

a) в)


131

электрическому диполю Герца (8.22), имеет компоненты

.sincos

,sinsin

krtсosEE

krtEE

m

m

(8.30)

где в соответствии с выражениями (8.22) и (8.29)

.44

00

r

ZHlkl

r

IZklE

Sm

MЭm

Э

m

Точно так же из уравнения (8.28) определяются компоненты по-

ля Е", создаваемого действием магнитного поля:

.sin

,sinsincos

krtсosEE

krtEE

m

m

(8.31)

Здесь, согласно уравнениям (8.28) и (8.29),

.44

002

r

ZHlkl

r

ZkSIE

Sm

MЭm

m

Складывая уравнения (8.30) и (8.31),

получаем электрическое поле излучения

элемента Гюйгенса

.sincos14

,sinsincos14

0

0

krtсosr

ZHlklE

krtr

ZHlklE

Sm

MЭ

Sm

MЭ

Диаграмма направленности элемента Гюйгенса в главных плоскостях

(φ=0, φ= π/2) (рис. 8.15) определяется выражением

2

cos10,2/,

FF .

8.8. Способы возбуждения полей в волноводах

Знание структуры поля волны позволяет наметить способы ее

эффективного возбуждения и извлечения переносимой ею электро-

магнитной энергии. С этой целью волновод связывается с источником

и приемником энергии. В качестве элементов связи используются по-

Рис. 8.15. Диаграмма

направленности элемента

Гюйгенса

0

30

60 90

120

150

180

210

240 270

300

330

0 0,2 0,4

0,6 0,8


132

гружаемые в волновод штырь (прямолинейный проводник), петля

(плоская рамка), а также прорезанные в стенке волновода узкая щель

или отверстие.

Каждый из этих элементов связи способен эффективно возбуж-

дать поле заданной волны, если при существующей волне он спосо-

бен столь же эффективно выводить ее энергию из волновода. Это

утверждение является следствием теоремы взаимности. Поэтому

удобно рассматривать взаимодействие элементов связи с существу-

ющей волной. Конечно, элементы связи

нарушают однородность волновода. Од-

нако, приняв, что размеры элементов свя-

зи малы по сравнению с длиной волны,

можно считать, что они практически не

возмущают поле заданной волны при лю-

бом их расположении.

Конструктивно штырь и петля

обычно выполняются как продолжение

внутреннего проводника коаксиальной линии (кабеля). При этом

наружный проводник кабеля присоединяется к стенке волновода

(рис. 8.16, 8.17).

Наводимая на штыре ЭДС вычисля-

ется по формуле

l

ldEЭ ,

где E – вектор напряженности поля

вблизи штыря; ld – элемент его длины.

Как следует из этой формулы, в шты-

ре будет наводиться ЭДС, если он нахо-

дится в месте, где E ≠ 0 , и если он не перпендикулярен силовым ли-

ниям вектора E (скалярное произведение ldE ≠ 0).

Наводимая в петле ЭДС вычисляется по формуле

S

SdBdt

dЭ .

Как видно, в петле будет наводиться ЭДС, если она расположена

в месте, где H ≠ 0, и если ее плоскость не параллельна силовым ли-

ниям вектора H (скалярное произведение SdH ≠ 0).

Узкая щель, прорезанная в стенке волновода, в зависимости от

ее расположения, может быть излучающей и неизлучающей. В пер-

Рис. 8.17. Подключение

петлевого элемента воз-

буждения к волноводу

Рис. 8.16. Подключение

штыревого элемента воз-

буждения к волноводу


133

вом случае щель должна пересекать (прерывать) линии поверхностно-

го тока волны. Тогда на краях щели возникают быстропеременные во

времени заряды, а внутри щели – электрическое (поперек щели) и

магнитное (вдоль щели) поля. В каждой точке внутри щели вектор

Пойнтинга П перпендикулярен поверхности щели и направлен во

внешнюю область. Его величина щщHEП .

Исходя из перечисленных способов отбора энергии, можно

сформулировать следующие правила возбуждения волн в волноводе.

1. Для эффективного возбуждения заданного поля штырем его

следует располагать вблизи пучности электрического поля возбужда-

емой волны параллельно электрическим силовым линиям

(рис. 8.18, а).

2. Для возбуждения заданной волны петлей ее следует распола-

гать вблизи пучности магнитного поля возбуждаемой волны, а

плоскость петли ориентировать перпендикулярно магнитным сило-

вым линиям (рис. 8.18, б).

3.Для возбуждения заданной волны щелью, прорезанной в боко-

вой поверхности и облучаемой внешним полем, щель следует распо-

лагать в пучности поверхностных токов и ориентировать перпенди-

кулярно линиям токов (рис. 8.18, в), а внешнее поле ориентировать

так, чтобы его электрическое поле было перпендикулярно оси щели.

8.9. Интерференция и дифракция электромагнитных волн

Многие задачи технической электродинамики связаны с определе-

нием поля, возбуждаемого некоторой системой излучателей. Сложение

волн, приходящих из нескольких источников, с учетом фазовых соотно-

шений между ними называется интерференцией.

Часто возможна такая постановка задачи:

Рис. 8.18. Правила возбуждения волн в волноводе:

а – штырем; б – петлей; в – щелью

а) б) в)

Н

δпов

Е


134

1) каждый источник является элементарным электрическим или

магнитным излучателем;

2) точка наблюдения находится в дальней зоне любого излучателя

системы.

Волна возбуждаемая каждым отдельным излучателем, является сфе-

рической. Вводя в точке размещения k-го источника локальную сфери-

ческую систему координат (rk, k, φk), полярная ось которой совпадает

с направлением элемента тока, на основании принципа суперпозиции

можно записать выражение для напряженности электрического поля в

точке наблюдения Р

k

RiN

kkkkk

R

eFIPE

k

1

, ,

где kI – ток в k-м излучателе; Fk ( k, φk) – векторная функция, опре-

деляющая направленность и поляризационную характеристику излуча-

теля; Rk – длина отрезка, соединяющего точку Р с k-м излучателем.

В антенной технике часто рассматриваются задачи, когда излучате-

ли в системе одинаковы, а точка наблюдения значительно удалена от

них, поэтому всю излучающую систему, например передающую ан-

тенную решетку, можно считать единым точечным источником. Сле-

довательно, лучи, соединяющие точку наблюдения с точками разме-

щения излучателей, можно считать параллельными. Тогда резуль-

тирующее поле

R

efFPE

Ri

,, .

Здесь F ( , φ)–функция, описывающая направленные свойства оди-

ночного элемента; f( , φ)– комплексная функция двух угловых коор-

динат, называемая множителем направленности системы.

Если электромагнитная волна определенного вида (плоская,

цилиндрическая, сферическая) падает на объект, отличающийся по

своим электродинамическим свойствам от окружающей среды, то

наблюдается явление дифракции волны на объекте.

Для решения задач дифракции необходимо определить рас-

пределение токов на препятствиях, вызванных падающей, волной, а

затем просуммировать переизлученные поля по принципу суперпо-

зиции, т. е. между интерференцией и дифракцией есть много общего.


135


1. Как связан исток вектора А с потенциалом ?

2. Почему в формуле gradtAE / первое слагаемое пра-

вой части называют вихревой, а второе потенциальной составляю-

щей?

3. Почему потенциалы А и называют запаздывающими по-

тенциалами? Зависит ли запаздывание по фазе (измеряемое в радиа-

нах) от частоты?

4. От каких факторов зависит излученная мощность электриче-

ским и магнитным диполями?

5. Правильно ли записан критерий дальней зоны R >> v/?

6. С какого расстояния начинается дальняя зона у излучателя,

работающего на частоте 300 МГц?

7. Что такое дифракция?

8. В чем заключается отличие дифракции от интерференции?

9. В чем заключается отличие дифракции от дисперсии?

10. Всегда ли 0Adiv ?

11. Где следует располагать и как ориентировать петлю для воз-

буждения заданной волны в волноводе?

12. Где следует располагать и как ориентировать щель в боковой

стенке волновода для возбуждения заданной волны при облучении

внешним полем?


136

ГЛАВА 9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН

Радиоволнами называют электромагнитные волны в диапазоне

частот 3·10-3

…15·1016

Гц, т.е. от единиц миллигерц до десятков тысяч

терагерц. Для передачи сигналов от радиопередающей антенны (из-

лучателя) к радиоприемной антенне в качестве линий передачи

энергии часто используют естественную среду. Линию передачи при

этом называют естественной радиотрассой, или радиолинией.

9.1. Краткая характеристика радиотрасс

При расчете радиолиний принято измерять и рассчитывать

напряженность электрического поля, которая значительно зависит от

свойств среды.

Параметры почвы, воды, льда, снега в приповерхностных сло-

ях Земли или атмосферы зависят от многих факторов, в то числе фи-

зических процессов, протекающих в них. Математическая модель,

учитывающая влияние всех физических процессов на параметры ра-

диотрассы, а последних – на характеристики электромагнитного по-

ля, оказывается очень сложной. Поэтому ее строят для каждой кон-

кретной радиотрассы с учетом основных факторов, оказывающих

воздействие на распространяющееся электромагнитное поле.

Диапазон радиоволн ограничен и представляет собой ресурс, ко-

торый, как и другие природные ресурсы, требует рационального ис-

пользования.

В математической модели первого приближения влияние атмо-

сферы и Земли не учитываются, при этом вводится понятие «свобод-

ное пространство». Только математическая модель второго прибли-

жения учитывает влияние Земли. Затем в математическую модель

вводится фактор, учитывающий параметры атмосферы.

В зависимости от частоты распространяющихся радиоволн вли-

яние одной и той же среды проявляется в большей или меньшей сте-

пени. Резко выраженная зависимость законов распространения ра-

диоволн от их частоты приводит к необходимости разделить радио-

волны на диапазоны, в пределах которых условия распространения

радиоволн примерно одинаковы. Сведения об этих диапазонах при-

ведены в табл. 9.1.


137

Таблица 9.1

Распределение электромагнитных волн по диапазонам

Диапазон

Длина волны в свобод-

ном пространстве, м

Частота, МГц

Сверхдлинные волны (СДВ)

100 000…10 000 3·10-3

…3·10-2

Длинные волны (ДВ)

10 000…1000 3·10-2

…3·10-1

Средние волны (СВ)

1000…100 3·10-1

…3

Короткие волны (КВ)

100…10 3…3·10

Ультракороткие волны (УКВ):

метровые

дециметровые

сантиметровые

миллиметровые

10…0,001

10…1

1…0,1

0,1…0.01

0,01…0,001

3·10…3·105

3·10…3·102

3·102…3·10

3

3·103…3·10

4

3·104…3·10

5

Волны оптического диапазона:

инфракрасные

видимые и световые

ультрафиолетовые

1·10-3

…7,5·10-7

7,5·10-7

…4·10-7

4·10-7

…20·10-10

3·105…4·10

8

4·108…7,5·10

8

7,5·108…15·10

10

В атмосфере Земли нейтросфера и ионосфера отличаются друг

от друга электрическими свойствами, поэтому они по-разному влия-

ют на распространяющееся электромагнитное поле. Нейтросфера со-

стоит из нейтральных молекул газов. Это нижний слой атмосферы

толщиной около 60 км. Ее делят на тропосферу и стратосферу. Тро-

посфера – это приземный слой, имеющий толщину около 10…15 км,

неоднородный в вертикальном и горизонтальном направлениях. Ко-

эффициент преломления тропосферы неоднороден, поэтому возмож-

на рефракция электромагнитного поля. На неоднородностях воз-

можно рассеяние электромагнитного поля. Эти явления обуслов-

ливают распространение тропосферных волн.

Так как плотность газов уменьшается с высотой, то в страто-

сфере ε близка к 1 и мало зависит от каких-либо факторов, поэтому

стратосфера меньше, чем тропосфера, влияет на распространение ра-

диоволн.

Ионосферой называют слой атмосферы от высоты, равной

60 км, до 20·103 км над поверхностью Земли. Газ малой плотности


138

в ней частично или полностью ионизирован. Свойства плазмы

определяются числом свободных электронов в единице объема Ne .

В ионосфере образовавшаяся плазма с Nе = 103…10

6 эл/см

3 находит-

ся в постоянном магнитном поле Земли. Число свободных электро-

нов в единице объема плазмы Nе зависит от высоты, поэтому воз-

можны явления рефракции и отражения электромагнитного поля в

ионосфере. Ионосфера статистически – неоднородная среда, коэф-

фициент преломления ее меняется в вертикальном и горизонтальном

направлениях. Поэтому возможно явление рассеяния электромаг-

нитного поля, что обусловливает возможность его распространения

на большие расстояния. Радиоволны, распространяющиеся посред-

ством отражения и рассеяния в ионосфере, называют ионосферны-

ми. На характеристики последних свойства тропосферы и припо-

верхностных слоев Земли мало влияют.

На высотах, равных 3–4 радиусам Земли, атмосфера переходит

в межпланетную плазму, в которой газ полностью ионизирован,

N = 10…100 эл/см3.

Таким образом, возможно построение математических моделей,

изучающих раздельно влияние на распространяющееся электромаг-

нитное поле: 1) приповерхностного слоя Земли, 2) тропосферы,

3) ионосферы, 4) межпланетной плазмы.

В соответствии с этим различают волны земные, тропосферные,

ионосферные.

9.2. Излучение электромагнитных волн

в свободное пространство

Простейшей математической моделью является модель свобод-

ного пространства. Под свободным пространством понимается од-

нородная, изотропная, непоглощающая среда, относительные ди-

электрическая и магнитная проницаемости которой равны 1.

Известно, что в такой среде волны распространяются прямолинейно и

с постоянной скоростью.

Выражения, описывающие распределение поля радиоволн в

свободном пространстве, являются фундаментальными. В реальных

случаях ими пользуются, внося в них множители, учитывающие вли-

яние конкретных условий распространения радиоволн.


139

Рассмотрим поле излучателя, находящегося в свободном про-

странстве. Пусть в свободном пространстве расположена ненаправ-

ленная антенна, т.е. антенна, излучающая равномерно во всех направ-

лениях. Если антенна излучает мощность Р, Вт/м2, то на расстоянии r

от нее средняя за период плотность потока мощности (величина сред-

него за период значения вектора Пойнтинга) окажется равной

24 r

, (9.1)

где 4 πr2 – площадь сферы.

Мощность антенны излучается равномерно во все стороны. С

другой стороны, известно, что численное значение вектора Пойнтин-

га, Вт/м2, выражается формулой

00HE , (9.2)

где Е0 и Н0 – амплитуды векторов напряженности электрического и

магнитного полей в свободном пространстве. На расстоянии r >> λ

от передающей антенны величины Еo и Но связаны соотношением

120

0

0

0

00

H

EZ , (9.3)

где величина Z0, Ом, – волновое сопротивление свободного простран-

ства.

С учетом соотношения (9.3), выражение для величины векто-

ра Пойнтинга (9.2) примет вид

120

20E

(9.4)

Приравнивая выражения (9.2) и (9.4), определим амплитуду

напряженности электрического поля, В/м, на расстоянии r от излуча-

теля, расположенного в свободном пространстве:

r

PE

300 . (9.5)

Реальные антенны излучают неравномерно во всех направлени-

ях. Обычно излучаемая мощность концентрируется в некотором

направлении. Степень концентрации излученной антенной мощности

называют коэффициентом направленного действия (КНД) и обозна-

чают буквой D.

Направленная антенна, излучающая мощность Р, создает в

направлении максимального излучения на данном расстоянии такую


140

же напряженность поля, как и ненаправленная антенна, излучающая

мощность PD.

Амплитуда вектора напряженности электрического поля, созда-

ваемого реальной антенной в направлении её максимального излуче-

ния, равна

r

PDE

600 . (9.6)

Использование направленных антенн позволяет уменьшить мощ-

ность передатчика в D раз или получить в D раз большую напря-

женность поля на заданном расстоянии при той же мощности пере-

датчика. Напряженность поля, создаваемая антенной в других

направлениях (отличных от направления её максимального излуче-

ния), характеризуется диаграммой направленности антенны F(ξ,χ):

.10,0

,,

0

0 E

EF

(9.7)

Здесь углы ξ и χ отсчитывают от направления максимального излуче-

ния антенны в плоскости векторов E и H соответственно.

Амплитуда напряженности электрического поля, создаваемая

направленной антенной в произвольном направлении, будет

r

PDFE

60,,0 . (9.8)

Очевидно, что мгновенное значение напряженности электриче-

ского поля определится формулой

krt

r

FPDE

cos

,600 , (9.9)

где /2/ ck – волновое число.

Часто удобно использовать символическую запись

krtjeFr

PDE ,

60 . (9.10)

Такая запись часто упрощает промежуточные выкладки. Здесь необ-

ходимо учитывать, что фактически наблюдаемое поле является ве-

щественной частью выражения (9.10).

Формулы (9.7) – (9.10) справедливы для антенн любого типа,

если в них подставить соответствующее значение коэффициента

направленного действия.

В некоторых случаях определяют не напряженность поля, а

мощность Р2 в приемной антенне. Мощность P2 равна произведению


141

плотности потока мощности П вблизи антенны на эффективную пло-

щадь Аэфф антенны (т.е. площадь фронта проходящей электромагнит-

ной волны, из которой согласованная с нагрузкой антенна поглощает

мощность).

Р2=П Аэфф. (9.11)

Известно, что эффективная площадь антенны связана с коэффи-

циентом направленного действия приемной антенны D2 соотношением

.4

22

DAýôô (9.12)

Плотность потока мощности вблизи приемной антенны, равна

,4 2

11

r

DP

(9.13)

где r – расстояние между передающей и приемной антеннами.

Из трех последних формул определим выражение для мощности,

создаваемой в приемной антенне при распространении радиоволн в

свободном пространстве:

.)4( 2

221

12r

DDPP

(9.14)

Последняя формула часто применяется для расчета УКВ линий

радиосвязи и в радиолокации.

Основные потери в радиолинии характеризуют отношением

мощности сигнала на входе приёмника Р2 к мощности в передаю-

щей антенне Р1 при ненаправленных передающей и приёмной ан-

теннах: 2

2

1

4

fr

c

P

P

. (9.15)

Это отношение измеряют в децибелах:

fr

c

P

PÃ lglg

4lg20lg10

1

20

. (9.16)

Если измерять r в километрах, а f – в мегагерцах, то получим удобное

для расчетов выражение

Г0= –[33 + 20(lgr + lgf)]. (9.17)

Измерение потерь в радиолинии в децибелах удобно, так как аб-

солютное значение потерь может изменяться в больших пределах.

Применение направленных антенн эквивалентно увеличению мощно-

сти передатчика в DD2 раз.


142

Область пространства, существенная при распространении

радиоволн

При распространении радиоволн в свободном пространстве раз-

личные области пространства не одинаково влияют на формирование

поля на некотором расстоянии от излучателя.

Областью пространства, существенной при распространении

радиоволн, называют область, в которой распространяется основ-

ная часть передаваемой мощности. Очевидно, что эта область охватывает пространство вблизи пря-

мой, соединяющей точки расположения излучателя и приёмной ан-

тенны. Размеры и конфигурацию области, существенной при распро-

странении радиоволн, определяют исходя из принципа Гюйгенса-

Френеля.

Со-

гласно

прин-

ципу

Гюй-

генса,

каждая

точка

фронта

распро

про-

страняющейся волны является источником новой вторичной сфериче-

ской волны. Полное поле определяется путем суммирования элемен-

тарных полей, созданных вторичными источниками, которые находят-

ся на некоторой поверхности, окружающей первичный источник. По-

строение, предложенное Френелем, позволяет наглядно истолковать

этот принцип и определить размеры и конфигурацию области, суще-

ственной для распространения радиоволн.

Пусть в точке А помещен источник, а в точке В – приемная ан-

тенна. Причем расстояние АВ много больше длины волны. Пусть на

некотором расстоянии от точки А помещена бесконечная плоскость,

перпендикулярная к линии АВ (рис. 9.1). Эту плоскость выберем в ка-

честве поверхности, на которой рассматриваются вторичные источни-

AB>>λ

ρ1 A B

Рис.9.1.Построение зон Френкеля на плоскости

ρ2

ρ3 r3

r2

r1

r0 ρ0

R2 R1


143

ки. Разобьем плоскость S на зоны Френеля. Зоны Френеля опреде-

ляются равенствами

1 + r1 – (0 + r0) = λ/2,

2 + r2 – (0 + r0) = 2·λ/2,

..………………………… , (9.18)

n + rn – (0 + r0) = n·λ/2.

В плоскости S система уравнений

(9.18) описывает концентрические

окружности, называемые зонами Фре-

неля (рис.9.2).

Определим размеры зон Френеля.

Радиус первой зоны обозначим R1. Из

рис. 9.2 определяем

.22

110

21

020

21

020

21

01201

RRRR

(9.19)

Мы использовали условие R1 /0 << 1. Аналогично

.2 0

21

01r

Rrr (9.20)

Подставляя (9.19) и (9.20) в первое уравнение системы (9.18),

получим .222

00

0

21

0

0

21

0

r

r

Rr

R (9.21)

Отсюда радиус первой зоны Френеля равен

.00

001

r

rR (9.22)

Аналогично, внешний радиус зоны любого номера будет

.00

00

r

rnRn (9.23)

Площадь первой зоны равна

.00

00211

r

rRS

Площадь n-й зоны равна

.100

00

00

00

00

001

r

rn

r

rn

r

rSS nn (9.24)

Рис.9.2. Зоны Френеля в

плоскости S

R3

R2

R1

1-я зона 2-я зона 3-я зона


144

Таким образом, площади всех зон Френеля одинаковы и равны

.00

00

r

rSô

Построим границы зон Френеля в плоскости распространения

волны. Для построения границ зон

Френеля в плоскости распростране-

ния волны переместим плоскость S

вдоль линии АВ (рис. 9.3).

Если плоскость S перемещать

вдоль линии АВ, то для любого по-

ложения этой плоскости будут спра-

ведливы равенства, описывающие

границу данной зоны Френеля:

1+r1=1´+r1´ = АВ+λ/2 = const. (9.25)

Равенства (9.25) описывают эллипсы с полюсами в точках А и В, где

расположены излучатель и приёмник. Следовательно, в пространстве

первая зона Френеля представляет собой эллипсоид вращения, зоны

высших номеров – часть пространства между соседними эллипсоида-

ми вращения. Таким образом, если ограничиться конечным числом

зон, конфигурация области, существенной при распространении ра-

диоволн, – это эллипсоид вращения с полюсами в точках расположе-

ния излучателя и приёмника.

Посмотрим теперь, все ли зоны Френеля необходимо учитывать

в результирующем поле. Вернемся к системе уравнений (9.18). Со-

гласно этим равенствам, вторичные источники, расположенные на

границах двух соседних зон, излучают волны, приходящие в точку

наблюдения в противофазе. Определим суммарное поле, обусловлен-

ное всеми зонами Френеля.

В практике распространения радиоволн расстояние между излу-

чателем и точкой наблюдения всегда велико по сравнению с длиной

волны, т.е. всегда интересуются полем в дальней зоне. Следовательно,

всегда выполняется условие 0 + r0 >>λ. Будем считать, что также вы-

полняется условие 0 >> λ; r0 >>λ.

При этих условиях, при переходе от одной зоны к другой, ампли-

туда колебаний каждого элемента площади Sn меняется незначитель-

но. Ещё меньше меняется амплитуда колебаний при перемещениях в

пределах одной зоны. Разделим каждую зону Френеля на некоторое

S1

S

Рис.9.3. Пространственные зоны

Френеля

A B

1 r1/

1/

r1


145

число равных по площади колец. При этом волны, создаваемые каж-

дым кольцом, почти не будут отличаться по амплитуде друг от друга,

но будут отличаться по фазе. Так, при де-

лении первой зоны на десять колец фазы

колебаний источников двух соседних колец

будут отличаться на 18°. Суммирование

векторов напряженностей поля в пределах

первой зоны для этого случая можно изоб-

разить так, как они изображены на рис.9.4.

Результирующий вектор волны от вто-

ричных источников второй зоны 2E будет

направлен противоположно вектору 1E . Он будет короче, вслед-

ствие увеличения расстояния и r. Результирующий вектор 3E будет

меньше по длине 2E и направлен противоположно последнему. Таким

образом, результирующую напряженность поля, создаваемого всеми

зонами Френеля, можно представить в виде знакопеременного ряда

EΣ = Е1 – Е2 + E3 – E4 +…(–1)n–1

·En+... (9.26)

Поскольку соседние члены ряда мало отличаются друг от друга,

каждый член ряда можно считать равным среднему арифметическому

из двух соседних:

.222

...22222

125

433

211 nn

nn EE

EEE

EEE

EEE

E

Ряд сходящийся. При п → ∞ величины в каждой из скобок близки к

нулю, и результирующая напряженность поля стремится к половине

значения напряженности поля, создаваемого первой зоной:

.2

1EE

Такой результат обусловлен тем, что поля, создаваемые зонами

высших номеров взаимно компенсируются.

Таким образом, получаем важный вывод: результирующее поле

в точке наблюдения, в основном, создаётся волнами вторичных излу-

чателей, расположенных в пределах первых нескольких зон Френеля.

Влияние остальных зон Френеля вследствие быстрой сходимости ряда

пренебрежимо мало. Так, если в качестве существенной области возь-

мем 8 первых зон, ошибка в определении поля составит всего 16 %.

Рис. 9.4. Суммирование

векторов напряженности

электрического поля.

E1

E2

E3


146

Из проведенного анализа можно сделать важный вывод: имеется

область пространства, существенно участвующая в распространении

радиоволн. Эта область ограничена эллипсоидом вращения, соответ-

ствующим внешней границе пространственной зоны Френеля с не-

большим номером.

Эллипсоид существенной области тем больше вытянут, чем

меньше длина радиоволны λ. При λ → 0 эллипсоид превращается в ли-

нию, соединяющую источник и точку наблюдения.

Применим полученные результаты к рассмотрению вопроса о

дифракции радиоволн. Рассмотрим два вида препятствий: непрозрач-

ный экран с круглым отверстием и непрозрачную полуплоскость.

Пусть на

пути радио-

волны распо-

ложен экран с

отверстием,

центр которо-

го совпадает с

линией АВ

(рис. 9.5,а).

Если ра-

диус отвер-

стия плавно

увеличивать

от R=0, то напряженность поля за экраном в точке В будет увеличи-

ваться и достигнет максимума при R=R1, т. е. при R, равном радиусу

первой зоны Френеля. В дальнейшем изменение напряженности поля

имеет осциллирующий характер: увеличивается при R, равном радиу-

су нечетной зоны Френеля и уменьшатся при R, равном радиусу чет-

ной зоны. Причем с увеличением номера зоны амплитуда осцилляции

уменьшается (рис. 9.5,б), и значение напряженности поля стремится к

значению напряженности поля в свободном пространстве. Если за-

крыть все четные зоны специальным экраном и оставить открытыми

только нечетные зоны, получим зонную пластинку. Она будет дей-

ствовать как собирающая линза, поскольку волны от вторичных ис-

точников приходят в фазе в точку наблюдения.

Пусть на пути распространения радиоволн помещена непрозрач-

ная бесконечная полуплоскость, например металлический полубес-

A

Рис.9.5.Дифракция радиоволн на круглом отверстии в не-

прозрачном экране: а – схема опыта; б – график измене-

ния напряженности поля

B

R

R E/E0

(R/R1)2 0

1

1

2

2 3 4

a) б)


147

конечный лист (рис. 9.6). Когда экран пересекает линию А В и закры-

вает точку В, поле за экраном практически отсутствует. При d = 0

напряженность поля за экраном равна половине напряженности поля

в свободном про-

странстве (так как по-

ловина области, су-

щественной при рас-

пространении радио-

волн, перекрыта экра-

ном). При переходе

экрана за линию АВ

напряженность поля

имеет осциллирую-

щий характер. Это

связано с тем, что

вклад вторичных ис-

точников пропорцио-

нален площади открытой части каждой зоны. Глубина осцилляции

здесь не так велика, как при круглом отверстии, так как основная

площадь зон Френеля уже открыта.

Функция ослабления

Влияние близости Земли и окружающей её атмосферы на про-

цессы распространения радиоволн приводит к тому, что поле на при-

ёмном конце радиолинии, находящейся в земных условиях, отличает-

ся от поля в свободном пространстве. Для учета этих факторов вво-

дится функция или коэффициент ослабления V(r). Напряженность по-

ля в реальных условиях Ет при распространении волны в свободном

пространстве определяется как произведение напряженности поля в

данной точке на функцию ослабления:

,30

rVr

PDrVEE ñâ

где Есв, – амплитуда напряженности электрического поля в свободном

пространстве; D – коэффициент направленного действия; Р – мощ-

ность, излучаемая антенной.

Эта формула показывает, что с точки зрения распространения

радиоволн основной задачей расчета линии связи является опреде-

E/E0

A

Рис.9.6.Дифракция радиоволн на краю экра-

на: а, б – схема опыта; в – график изменения

напряженности поля

B -d

–√2d/R1 0 1

0,4

1,0

2 3 4

a) б)

B

+d

A

в)

1 2 3 4

0,2

0,6

0,8

+√2d/R1


148

ление функции ослабления в различных условиях распространения

земных, тропосферных, ионосферных волн.

9.3. Распространение электромагнитных волн

вблизи поверхности Земли

При расчете напряженности поля земной радиоволны в матема-

тических моделях первого приближения атмосферу считают однород-

ной непоглощающей

средой при ε = 1, σ = 0,

поверхность земли –

гладкой и однородной.

Пусть передающая ан-

тенна расположена в

точке q на высоте h1 >λ

над поверхностью Зем-

ли, а приемная – в точке

р на высоте h2 >λ (рис.

9.7,а,б). Расстояние

между точками q и р

равно Rqp = R. Область

пространства, суще-

ственная для распро-

странения радиоволн, в

зависимости от соотно-

шения между R, h1, h2 и

λ может не включать

часть поверхности Земли (рис. 9.7,а), а может включать (рис. 9.7,б).

Если область пространства, существенная для распространения ра-

диоволн, перекрывается земной поверхностью (рис. 9.7,б), то сфе-

ричность Земли с высотой сегмента ∆ является «препятствием» для

электромагнитной волны, и последняя может распространяться в точ-

ку р только благодаря дифракционным явлениям (если не учитывает-

ся влияние атмосферы) подобно тому, как это происходит в области

полутени и тени в случае полуплоскости. Для уменьшения влияния

Земли на электромагнитные волны в точке р необходимо, чтобы вы-

сота сегмента ∆ была равна нулю и поверхность Земли не охватыва-

лась первой зоной Френеля (рис. 9.7,а)

б)

в)

Рис. 9.7. Области пространства, существенные

для распространения радиоволн: а – не вклю-

чающая поверхность Земли; б – включающая;

в – учитывающая отражение

R

h1

h2

h2

h2

h1

h1

h1

aф

q q

q

q1

p

p

p

a a

θ

bф

∆

1

а)


149

Для построения математических моделей применяют понятие

«расстояние прямой видимости» – расстояние R0 между точками

q и р, при котором прямая линия, проведенная через эти точки, каса-

ется земной поверхности: R0=[(a + hl)2–a

2]

1/2+[(a + h2)

2–а

2]

1/2. По-

скольку радиус Земли а = 6370 км >> hl,2, то R0 ≈ 212 hha .

Используют три модели радиотрасс: а) радиотрассы малых протяжен-

ностей, при которых R < 0,2R0 (при этом сферичность Земли мало

влияет на электромагнитном поле в точке р; Землю считают локаль-

но плоской); б) радиотрассы средней протяженности, при кото-

рых 0,2R0 <R<0,8R0 (первая зона Френеля при этом не перекрывается

сегментом ∆, но сферичность Земли необходимо учитывать);

в) радиотрассы, у которых R > 0,8R0 (при этом определяется поле ди-

фракции на земном шаре; область трассы, лежащая на расстояниях

0,8R0 <R<1,2R0, называется областью полутени; при R>1,2R0 точка р

находится в тени).

При первой математической модели (R < 0,2R0) отраженное от

земли электромагнитное поле можно вычислить с помощью метода

зеркальных изображений. Фиктивный (зеркальный, мнимый) источ-

ник тогда находится в точке ql (рис. 9.7,в). Область пространства,

существенная для распространения отраженного поля, ограничена

эллипсоидом с фокусами в точках q1 и p. Пересечение эллипсоида с

поверхностью Земли происходит по участку поверхности Земли, су-

щественному при отражении электромагнитной волны. Он ограничен

эллипсом, большая ось которого вытянута в направлении распро-

странения поля.

Математические

модели радиотрасс

применяются при глад-

кой в пределах суще-

ственного участка по-

верхности Земли. Од-

нако в оригинале это

условие не выполняет-

ся. Величину допусти-

мых отклонений от

гладкости определим с

помощью рис. 9.8, а. Пусть ζ, есть глубина неровности в плоской

поверхности. Если плоское электромагнитного поля падает на плос-

а) б)

Рис. 9.8. Влияния неровностей на электромаг-

нитное поле: а – определения критерия Релея;

б – диаграмма рассеяния

а

а' b'

b

q

Q

θ ψ

m' n' n

m l

M M'

ξ ψ

n

П f, дб

1 2

–10

–30

v


150

кую поверхность раздела сред под углом θ, то отраженные под тем же

углом θ лучи называют зеркальными. Плоский фронт падающего

электромагнитного поля находится на плоскости aа', а плоский

фронт отраженного электромагнитного поля – на плоскости bb'. Если

луч qmM зеркально отразится от неровности, то он дополни-

тельно проходит путь 2 ζ cos θ = nm + mn', его разность хода по

сравнению с лучом Qm'M', который мог бы отразиться от плоскости

в отсутствие неровности, равна 2 ζ cos θ . Вследствие этого появляет-

ся разность фаз ∆Ф = 2β ζ cos θ.

Допустимая разность фаз ∆Фg зависит от назначения приемно-

го устройства. Обычно задают ∆Фg = π/4, тогда отраженную волну

можно считать плоской и влиянием неровностей на отражение мож-

но пренебречь. При этом ∆Фg= π/4 = 2βζgcosθ. Поэтому допустимая

глубина неровностей ζдоп =λ/16cos θ. Это соотношение называют

критерием Релея. Если неровности покрывают весь существенный

участок (или значительную его часть), то требования к величине ζg

ужесточаются.

При расчетах часто используют не угол падения θ, а угол

скольжения (возвышения) ψ = π/2– θ (рис. 9.8). Тогда ζдоп<λ/16sinψ,

т.е. размеры неровности для зеркального отражения существенно за-

висят от угла скольжения ψ. Чем меньше угол скольжения, тем

больше допустимые размеры неровностей. Так, при ψ = 20° имеем

ζдоп = 0,35λ, а при ψ = 1° – ζдоп = 7λ.

Если неровности не удовлетворяют критерию Релея, то отра-

женное электромагнитное поле является полурассеянным. При рас-

сеянном, или диффузном, отражении поля (оптический термин)

плотность потока мощности отраженного электромагнитного поля

зависит от угла наблюдения φ по «закону косинуса» (закону Лам-

берта): П = По cos φ при любом угле падения θ, где По – значение

плотности П при φ = 0. Диаграмма рассеяния (1) изображена на рис.

9.8,б. Она не зависит от θ. Но в природе нет поверхностей, которые

полностью диффузно рассеивают электромагнитного поля. Отражен-

ное подстилающей поверхностью поле является полудиффузным,

или полурассеянным. Его диаграмма рассеяния (2) изображена пунк-

тиром на рис. 9.8,б. Полурассеянное отражение поля объясняется

наличием в пределах существенного участка поверхности Земли рас-

положенных по случайному закону неровностей. Чем меньше λ, тем


151

легче выполнение условий, при которых отраженное поле близко к

диффузному. Это относится, в первую очередь, к диапазону СВЧ.

В диапазоне СВЧ при расчетах обычно используют эксперимен-

тальные графики зависимости коэффициента отражения ||,R , так

как теоретические графики, рассчитанные для ровной поверхности и

неровной поверхности могут существенно отличаться. Это отличие

особенно проявляется для взволнованной поверхности моря при го-

ризонтальной поляризации падающего электромагнитного поля.

Так, при λ = 3 см, ψ = 5° и при высотах морских волн, сравнимых с

λ, коэффициент отражения R меньше расчетного значения в 10

раз. При вертикальной поляризации растительный покров на почве

может существенно изменять R||.

9.3.1. Поле излучателя, поднятого над плоской поверхностью

(первая модель)

Пусть протяженность радиолинии удовлетворяет условию Rqp=

= R < 0,2R0, h1,2 << R . Ho h1,2 > λ. Тогда применима модель плос-

кой Земли (рис. 9.9).

Обозначим через r горизонтальное расстояние между точками q

и р (рис.9.9,а). В точке q расположен излучатель, имеющий в свобод-

ном пространстве характеристику направленности F(θ) в верти-

кальной плоскости. Он возбуждает в точке р первичное поле, име-

ющее вектор 1E . На существенный однородный участок поверхности

раздела сред падает электромагнитная волна и отражается от него.

Напряженность отраженного электрического поля в точке р можно

Рис. 9.9. Первая модель: а –модель плоской земли;

б –определение разности хода лучей

а) б)

m

θ θ

θ

θ1

h1

h1 h1

h1

h2 h2

IR

IQ EB

EB

En E

n

p

p

r

υ

Q

Q ∆R

q


152

определить методом зеркальных изображений. Фиктивный источник

расположен в точке Q. Так как

Rqp=[r2 +( h2–h1)

2]

1/2, RQp=[r

2 +( h1+h2)

2]

1/2,

то разность хода лучей Qp и qp(рис. 9.9,б) равна

∆R = RQp–Rqp≡2hlh2/r– hlh2 (hl2+h2

2)/r

3 = 2h1cosθ.

Это приведет к изменению фазы отраженного сигнала

cos2

11hj

Q eREE ,

где R|| и R – коэффициенты отражения по электрическому полю при

вертикальной и горизонтальной поляризациях поля. Тогда для пол-

ного поля получаем

VEeREEEEhj

Qp 1cos2

1111

, (9.27)

где Vр = 1 + pEpE nB / – множитель влияния среды, в данном

случае множитель влияния плоской земли.

Выражение (9.27) называют интерференционной форму-

лой.

Если r/ меняется, то аргумент косинуса меняется. При коси-

нусе, равном единице, |V(θ)| принимает максимальные значения

|V(θ)|макс=1+ ||,R , а при косинусе, равном минус единице,

|V(θ)|мин=1– ||,R . Зависимость |V(r/)| при фиксированных h1/,

h2/, ε1 изображена на рис. 9.10,а,б. Вследствие изменения разности

хода лучей qp и Qp при изменении r/ возникают интерференцион-

ные явления: разность фаз векторов 1E и QE на фазовой плоскости

меняется, появляются лепестки в множителе влияния среды.

Можно показать, что для направлений, близких к направлению,

определяемому углом θ = 90°, модуль множителя влияния среды для

вертикальной поляризации поля больше, чем для горизонтальной, т.е.

a)

|V |

2

1

0 r3/ r2/ r1/ r/

|V |

1

0 θo

30 60

R1

R1

б)

Рис. 9.10.Зависимость множителя влияния среды |V |:

а – от расстояния; б – от угла θ


153

при вертикально поляризованном поле в горизонтальном

направлении возбуждается электромагнитное поле большей ин-

тенсивности, чем при горизонтально поляризованном. Это обсто-

ятельство используется при выборе вертикальной поляризации в

радиолинии, существенный участок которой имеет большое значе-

ние параметра 601.Так, при навигационной радиолокационной си-

стеме, которая должна облучать цели, расположенные на море, выби-

рается вертикальная поляризация.

Рассмотрим формулу Б. А. Введенского, часто применяемую

при приближенных вычислениях напряженности поля. При θ = 90°

имеем 0,1 ||,||, R , 2/121 /2cos12 rhhV .

Поскольку rhhrhh /sin2/2cos1 212

21 , то можно заменить его

аргументом. Таким образом,

r

hhVVEE

210

4где, . (9.28)

Это соотношение называют формулой Б.А.Введенского. При

этом напряженность электрического поля изменяется обратнопро-

порционально квадрату расстояния (1/r2). Это можно объяснить тем,

что в горизонтальном направлении поле истинного источника вслед-

ствие интерференционных явлений компенсируется полем зеркально-

го изображения, ток в котором по амплитуде почти равен току истин-

ного источника, а по фазе сдвинут почти на 180°. Формулу Введен-

ского применяют, если 2 β h1cos θ </9.

Отметим, что характеристика направленности излучателя в

плоскости, параллельной поверхности Земли, такая же, как в свобод-

ном пространстве. В плоскостях распространения электромагнитного

поля, перпендикулярных поверхности Земли, в которых имеются и

вертикально поляризованная составляющая nЕ|| и горизонтально

поляризованная составляющая nЕ| , поле в точке р оказывается

эллиптически поляризованным.

Поднять передающую и приемную антенны на высоту не-

скольких длин волн (h1>, h2>, ) можно только при < 10 м (диа-

пазоны УВЧ-ГВЧ). Только при h1,h2> можно считать приближенно,

что на существенный участок поверхности падает однородная ло-

кально плоская волна и применимо понятие «коэффициент отраже-

ния поля от однородной плоской поверхности.


154

9.3.2. Поле излучателя, поднятого над сферической поверхностью

(вторая модель)

Пусть протяженность радиолинии удовлетворяет условию

0,2R0<R<0,8R0, h1,2<<R, но hl,2>λ. Тогда следует учитывать сферич-

ность Земли. Выпуклость земной поверхно-

сти изменяет длину пути отраженной волны.

Поэтому меняется разность хода лучей ∆R

прямой и отраженной волн. Ее учитывают,

заменяя геометрические высоты hl и h2 при-

веденными высотами h'l, h'2 (рис. 9.11). При

этом h'l,2 = h1,2 – ∆ h1,2 , где ∆ h1,2 можно

определить, зная длину радиолинии R ≈ r и

положение «точки отражения т». В точке т

плоскость GG' касается поверхности Земли.

Пользуясь малостью угла γ, можно показать,

что ∆ h1,2 =[ h1,2 /( h1+ h2)]2 · r

2/2a.

Сферичность Земли приводит к изменению угла падения (по

сравнению с плоской моделью). Поэтому изменяются коэффициенты

отражения. Угол падения определяется выражением

ctgθ = (h'l + h'2 )/r.

Сферичность Земли приводит и к появлению коэффициента

расходимости лучей v =[l + 2 h'l h'2 r2 /a(h'l + h'2 )

3]

1/2. Уменьшение

напряженности поля вследствие расхождения лучей оценивается с

помощью коэффициентов отражения. Последние над сферической

поверхностью равны ||,||, vRRc

При расчетах этой модели в интерференционной формуле и

формуле Введенского используют значения h'l, h'2 и ||,cR Матема-

тическая модель справедлива, если cos θ>> 0,7(λ/πа)1/3

.

П р и м е р. Определить напряженность поля в точке р, распо-

ложенной на высоте 12 м над поверхностью Земли на расстоянии 20

км от излучателя. Мощность излучения равна 10 Вт, коэффициент

направленного действия излучателя равен 3, максимум излучения

направлен на точку р. Поляризация поля вертикальная. Радиолиния

работает на частоте 2500 МГц, излучатель находится на высоте 15 м.

Существенный участок расположен на влажной глине (влажность

10%).

Рис. 9.11. Парамет-

ры модели, учиты-

вающие сферич-

ность Земли

G

q θ r

p

a

m

γ h1

h2

h'1

h'2

∆h'2

∆h'1

G'


155

Определить мощность на входе радиоприемного устройства, ес-

ли коэффициент направленного действия приемной антенны равен 2.

При решении задачи учтем, что приемную и передающую ан-

тенны можно считать слабонаправленными. Определим математиче-

скую модель. Расстояние прямой видимости

R0 = (2а)1/2

(hl 1/2

+ h21/2

) = 26,2 км.

При этом R/R0= 0,76 , что соответствует возможности примене-

ния 2-й модели. Определяем приведенные высоты антенн. Так как,

∆ h1=9,69 м, ∆ h2 =6,2 м, то h'l =5,31 м, h'2 =5,8 м.

Условие β h'l h'2(h'l 2+ h'2

2) /r

3 <<π (r≈R) выполняется, по-

этому применима интерференционная формула. Определяем θ: ctgθ

= (h'l + h'2)/r. = 0,266 ·10–3

, поэтому θ = 89°43'.

Из справочника находим для глины при f = 2500 МГц ε1= 10,

σ1 =0,5 ·10–2

См/м. Параметр 60λσ1, =3,6 ·10–2

. Условие применимо-

сти формулы Введенского (β h'l h'2 /r<π/9) выполняется, поэтому

применяем формулу Введенского |V| = 4π h'l h'2 /λr = 0,161.

Напряженность поля в точке р вычисляем по формуле (9.28):

E = 342 мкВ/м.

Мощность на входе радиоприемного устройства определяем по

формуле (9.14): Рпр=3,55 ·10–13

Вт.

9.3.3. Поле вертикального электрического вибратора,

расположенного вблизи земной поверхности

В диапазонах ОНЧ-СЧ и частично в ВЧ-диапазоне, где длины

волн равны от десятков километров до десятков метров, расположить

антенны на больших по сравнению с λ высотах невозможно. Условие

hl, h2>λ нереализуемо. Антенны, обычно в виде вертикальных мачт

или башен (1), располагаются непосредственно у земной поверхности

(рис. 9.12,а). Падающую на земную поверхность электромагнитную

волну при этом нельзя считать плоскопараллельной. Вторичное поле

нельзя вычислить с помощью коэффициентов отражения. Для опреде-

ления поля применяются точные методы. При небольшой протяжен-

ности радиотрасс применяют модель плоской Земли. Параметры поч-

вы сначала считают однородными. Влияние атмосферы на электро-

магнитное поле не учитывается.

Если проводимость нижней среды считать σ1 →∞, то воздей-

ствие нижней среды на электромагнитное поле в верхнем полупро-


156

странстве можно заменить зеркальным изображением вибратора. Ток

в зеркальном изображении равен по амплитуде и фазе току в истин-

ном источнике. Так как вибратор расположен у земной поверхности,

то общая действующая длина (излучатель плюс зеркальное изобра-

жение) удваивается (рис. 9.12,а). Поэтому при вычислении верти-

кальной составляющей множитель влияния среды v = 2, а при вы-

числении мощности излучения необходимо учесть, что коэффици-

ент направленного действия увеличивается в 4 раза. При этом гори-

зонтальная составляющая zr EE 0 на поверхности раздела сред (у =

0) при σ1→∞ отсутствует.

Математическая модель, соответствующая σ1 →∞, непримени-

ма при расчетах земной волны, но полезна при оценке значения yE .

Если учитывать электропроводность Земли, то фронт распро-

страняющейся волны у поверхности раздела сред так же, как при

фронте волны над проводом конечной проводимости, искривляется.

Кроме вертикальной составляющей BE на фронте у поверхности

раздела сред имеется горизонтальная продольная составляющая

zГ EE . Последняя определяет составляющую y вектора Пойн-

тинга, направленную в почву и характеризующую потери на нагре-

вание последней.

Амплитуда горизонтальной составляющей вектора E у земной

поверхности в раз меньше амплитуды вертикальной составляю-

щей. В диапазонах НЧ и СЧ это отличие составляет десятки раз. По-

этому в точке р вблизи земной поверхности применяют приемные

антенны вертикальной поляризации.

Поскольку BE и rE сдвинуты по фазе на угол 0,5argε, то резуль-

тирующее электромагнитное поле имеет эллиптическую поляри-

Рис. 9.12. Поле вертикального вибратора: а – расчетная

схема; б – эллиптическая поляризация

а) б)

Ï

y

x

z

θ

ε0

ε1

y

z

E

2Lд

1

2 0

p

p

ψ

E

rE

E

E

rE

H


157

зацию (рис. 9.12,б). Так как ГB EE для обычных почв, то эл-

липс поляризации вытянут в вертикальном направлении.

Распространяющееся над почвой электромагнитное поле затуха-

ет, фаза его тоже зависит от параметров почвы. Точное решение зада-

чи возбуждения электромагнитного поля вертикальным диполем

при однородном значении ε в интегральной форме дано в 1909 г.

А.Зоммерфельдом. Вид, пригодный для инженерных расчетов, это-

му решению придали М.В. Шулейкин и Ван дер Поль. Для неодно-

родных трасс решение задачи получено Е.Л.Фейнбергом.

Влияние почвы на электромагнитное поле в инженерных расче-

тах учитывается с помощью множителя влияния среды, который при

заданном токе в вибраторе определяется как V(p) = 2w(p), где р = ζr –

расстояние, pipwpwi exp,2/12

11 – функция

(множитель) ослабления (по сравнению с полем над идеально прово-

дящей плоскостью) поля. Тогда над почвой

pwpEpE BB ,0 , (9.29)

Для функции w(p) получено интегральное уравнение, решение

которого численным методом позволило построить графики зависи-

мости |w(p)| и η(р) при различных значениях параметра ε1/60λσ1.

Для всех видов почв, кроме песка, |ε1|>>1, поэтому р ≈–iβr/2ε1.

Графики функции ослабления с достаточной для практики точно-

стью аппроксимируются выражением

|w(p)| ≈ (2 + 0,3|р|)/(2 + |р| + 0,6|р|2). (9.30)

Выражение (9.29) называют формулой Шулейкина-Ван дер

Поля. Из (9.30) следует, что при |р| →0, когда σ1 →∞ или r → 0,

|w(p)| → 1, т.е. волна по (9.29) распространяется без затухания.

Если |p| велико, то |w(p)| ≈ 1/2|р|, и BE убывает с увеличением

|р| как 1/|р|2, т.е. не по экспоненциальному закону, как в среде с теп-

ловыми потерями, а гораздо медленнее (так же как по формуле Вве-

денского).

При неоднородной трассе, когда комплексная диэлектриче-

ская проницаемость почвы имеет скачки на существенном участке,

функция ослабления представляется в более сложном виде. Если на

участке имеется один скачок и r1 – длина первого участка-1 трассы

ε1, а r2 – длина участка-2 трассы с ε2 (r = r1 + r2), то обозначив через

р1 = ζ1r1, р2 = ζ2r2 – численные расстояния первого и второго участ-

ков, при |р1 |>>1, |р2 |>>1 имеем


158

|w(p)| ≈ 1/2( ζ1 ζ2)1/2

r,

т.е. w(p) симметрично относительно параметров ζ1 и ζ2. Это указыва-

ет на то, что существенные участки, примыкающие к излучателю и

приемной антенне, одинаково значимы.

Если на участке-1 |ζ1| < |ζ2|, то при переходе на участок-2 дол-

жен появиться скачок |w(p)| вниз. Этот эффект наиболее четко прояв-

ляется на берегу моря, реализующего скачок диэлектрической прони-

цаемости от ε1 до ε2, если точка q находится на море, а точка р –

на суше.

Пусть на существенном участке имеются два скачка параметров

почвы на расстояниях r1. Функция ослабления при этом

|w(p)| ≈ 1/2[( ζ1 ζ2)1/2

·r],

т.е. определяется свойствами участков, примыкающих к излучателю и

приемной антенне, и не зависит от свойств среднего участка. Это по-

казывает, что передающая и приемная антенны должны располагать-

ся на почвах с малыми значениями параметров ζ1 и ζ3, т.е. σ1 и ε1,

σ3 и ε3 должны быть большими. Эти соображения подтверждаются

расчетами функции ослабления для случая, когда на трассе имеется

два скачка параметров: для переходов типа море-суша-море и для

переходов типа суша-море-суша. Считалось, что морская вода –

идеальный проводник, а суша такова, что при 2а / r = 1 численное

расстояние равно 100. Графики показывают, что хорошо проводящие

участки, примыкающие к передающей и приемной антеннам, суще-

ственно увеличивают амплитуду напряженности электрического по-

ля. Так, амплитуда поля в точке р при q и р, расположенных на море,

увеличивается на 30 дБ по сравнению со случаем, когда q и р распо-

ложены на суше, а участок между ними занимает море. Хорошо или

плохо проводящий средний участок мало влияет на амплитуду поля.

При переходе границы раздела участков 1 и 2 фазовая скорость

волны изменяется, поверхность равных фаз возмущается. Если линия,

разделяющая участки 1 и 2, не перпендикулярна линии qp, то фронт

волны, пересекающий линию разделения, искажается, направление

распространения волны изменяется. Эти искажения могут привести к

ошибкам в радионавигации, в радиопеленгаторах, использующих фа-

зовые методы. Особое значение эти ошибки имеют для морской

навигации, когда излучатель расположен на море, а точка р находит-

ся на суше вблизи береговой черты. Явление изменения направления


159

распространения волны при прохождении береговой черты называют

береговой рефракцией.

9.3.4. Поле в зоне тени (третья модель)

При расчете напряженности поля в области тени (R>1,2R0) (тре-

тья модель) используются результаты решения задачи дифракции

поля на шаре, полученные В.А.Фоком и др.

При этом множитель ослабления определяется произведением

трех функций

V=U(x)∙F1(y1)∙ F2(y2),

где U(x) – функция, зависящая от расстояния и электрических пара-

метров почвы;

F1(y1), F2(y2) – функции, зависящие от высоты подъема приемной

и передающей антенн.

Параметры х, у1 и у2 определяются следующим образом:

.2

;2

;

3

1

2

20

22

3

1

2

20

11

3

120

R

hy

R

hy

R

rx

Параметр х является нормированной длинной трассы, парамет-

ры y1 и у2 – нормированные высоты расположения антенны, Ro – ради-

ус Земли.

Для определения функций U и F по рассчитанным параметрам х,

у1 и у2 имеются графики. Расчет по ним проводится, в основном, для

УКВ диапазона, где применяются антенны, высоко поднятые над по-

верхностью Земли. Если антенны расположены на Земле, то расчет

напряженности поля упрощается, так как V(y1) и V(y2) = l. На Земле

обычно располагают антенны диапазона средних и длинных волн, вы-

полненные в виде вертикальных мачт.

Поле в области тени оказывается очень

малым даже при больших мощностях излу-

чения. Для увеличения напряженности поля

может использоваться явление «усиления

препятствием». Оно состоит в том, что

pE1 в присутствии препятствия на трассе

Рис. 9.13. «Уси-

ливающие» пре-

пятствия

q

n

p

m m1


160

может оказаться больше pE , но при отсутствии препятствия на

той же трассе. Обусловлено это сложением прямой и обратной волн,

а также явлением дифракции в точке n (рис.9.13).

Поле в точке р зависит от h2/h1 и от rH /0 и имеет колеба-

тельный характер при изменении h1 /Н0 или h2 /Н0. «Коэффициент

усиления» g препятствием определяется как

pEpE /1 .

Он может достигать больших величин (g = 60 – 80 дБ), но

между точками q и п и п и р должна существовать прямая види-

мость.

Расчет электромагнитного поля в условиях города имеет боль-

шое практическое значение. Город в моделях часто рассматривают

как пересеченную местность. Точно рассчитать E в этих условиях

не удается. Из опыта следует, что E в городе в ОВЧ-СВЧ-

диапазонах меньше в 3–5 раз, чем на открытой местности. При

прямой видимости между точками q и р оценка E проводится по

формуле Введенского, в которой высоты антенн отсчитываются от

среднего уровня крыш. Разработан ряд компьютерных программ

для приближенного расчета электромагнитного поля в разных

условиях города.

9.4. Тропосферные волны

Чтобы учесть влияние тропосферы на распространение земной

волны и определить напряженность поля тропосферной волны, необ-

ходимо определить электродинамические параметры и построить ма-

тематическую модель тропосферы.

9.4.1. Диэлектрическая проницаемость

и показатель преломления тропосферы

Деление атмосферы на нейтросферу, состоящую из тропосферы

и стратосферы, и на ионосферу показано на рис. 9.14, а, где h – высо-

та над уровнем моря. Границы между ними по высоте выражены не

резко и зависят от времени года, времени суток, географического

положения точки р.


161

Газ в нейтросфере по объему состоит из примерно 78 % азота,

21 % молекулярного кислорода, 0,93 % аргона и очень малого коли-

чества неона, гелия, криптона, ксенона, водорода, метана, углекис-

лого газа, озона, закиси азота. В тропосфере имеется пыль и водя-

ной пар. Содержание последнего (по объему (0 – 4) %) убывает с уве-

личением высоты А и зависит от метеорологических условий.

Плотность атмосферы NM равна числу молекул в 1 см3 на дан-

ной высоте h (рис. 9.14,а) и связана с давлением р (в паскалях) и аб-

солютной температурой Т' законом NM = p /kБ T'. В однородной атмо-

сфере давление зависит от высоты по барометрической формуле

р' = p0eхp(–Mgh/тТ'),

где р0 – давление при h = 0, М – масса грамм-молекулы газа, g –

ускорение силы тяжести, m = 8,32 Дж/град·моль – универсальная га-

зовая постоянная. Температура воздуха меняется с высотой (рис.

9.14,а). В тропосфере воздух нагревается от поверхности Земли и

обычно температура убывает с увеличением h на (5...6) К на км. На

небольших интервалах высот может возникнуть местное увеличение

температуры – температурная инверсия. Увеличение температуры на

высотах около 60 км объясняется поглощением озоном ультрафио-

летового излучения Солнца.

Начиная с высот около 80 км, температура увеличивается из-за

поглощения солнечного излучения и достигает [(2 – 3) · 103] К при

h>500 км.

Абсолютной влажностью тропосферы называется парциальное

давление водяных паров рп ; относительная влажность s' выража-

ется в процентах s' = pn∙l00/es, где es – давление водяных паров,

а)

h, км

б)

Рис. 9.14. Изменение параметров атмосферы с высотой:

а – плотности атмосферы NM и температуры Т; б – при-

веденного коэффициента преломления NT

107 0

10

102

103

1011

1015

1019

NM

NM

T,K

T

0 200 400 600

h, км

NT 0

2

4

6

8

200 100 300


162

насыщающих пространство при заданной температуре, определяется

по специальным таблицам. Давление, температура, влажность тропо-

сферы зависят от метеорологических условий.

При построении математических моделей радиолиний использу-

ется понятие «нормальная (стандартная) тропосфера». Параметры

последней соответствуют среднему состоянию тропосферы со следу-

ющими свойствами: при h = 0 давление p0= 0,1013 МПа, T '= 288 К,

s' = 60% ; с увеличением h на 1 км давление уменьшается на 1,2

кПа, температура – на 5,5 К. Верхней границей нормальной тропо-

сферы считают высоту h = 11 км.

В тропосфере непрерывно происходят случайные изменения,

вызываемые воздушными потоками в вертикальном и горизонталь-

ном направлениях. Движение воздуха имеет вихревой турбулентный

характер. При этом скорости перемещения воздуха в локальных об-

ластях отличаются от средней. Поэтому и плотности воздуха в этих

областях отличаются от средней, причем они флуктуируют.

В стратосфере плотность газа значительно меньше, чем в тропо-

сфере, поэтому стратосфера мало влияет на распространение радио-

волн.

Относительные магнитная и диэлектрическая проницаемости тро-

посферы μ = 1, ε = 1 + kэ, kэ=kГ+kП, где kГ,kП – диэлектрические вос-

приимчивости газа и пара.

Считается, что показатель преломления п = не зависит от

частоты для λ > 1 см. Значение n мало отличается от 1, поэтому при

расчетах используют величину NT = (п — 1) · 106 – приведенный ко-

эффициент преломления тропосферы. Численные его значения

называют N – единицами. У поверхности Земли NT = No= (260…460)

N – единиц.

При расчете радиолинии, протяженность которой незначитель-

но превышает расстояние прямой видимости (для расчета земной

волны) применяется упрощенная модель тропосферы, в которой учи-

тывается только средний профиль изменения NT(h) (график (2)

на рис. 9.14,б). Средний профиль изменения NT(h) для модели нор-

мальной тропосферы аппроксимируется экспоненциальным за-

коном NT = Noexp(–b0h), где b0 =(0,1…0,14) км–1

. При 0≤h<3 км

NT ≈ N0 + Гh , где Г = dNT / dh при h = 0. Для нормальной тропосфе-

ры Г = – 40 км–1

; при h = 10 км NT = 93 и постоянно в течение года.


163

9.4.2. Рефракция электромагнитного поля в тропосфере

Рассмотрим модель тропосферы, у которой показатель прелом-

ления зависит только от высоты п = n(h). Тепловые потери не учи-

тываем. Тогда в тропосфере как неоднородной среде происходит ре-

фракция распространяющегося электромагнитного поля.

Среда имеет центральную симметрию. Используем приближе-

ние геометрической оптики. Все лучи являются плоскими кривыми,

лежащими в плоскости падения. Радиус кривизны луча в тропосфере

определяется следующим образом.

Учтем, что R = a + h. Тогда dn/dR = dn/dh. Так как NT = (n –1)·106,

то n = 1 + NT ∙ 10–6

. Если средний показатель преломления тропо-

сферы аппроксимируется линейным законом, то n = 1 + N0·10–6

+

+(Г·h) ·10–6

. При этом dn/dh = Г·10–6

, п–1

∙dn/dh ≈ Г·10–6

. Тогда ради-

ус кривизны луча равен

1

1

6

0sin

10 Г

, (9.31)

где 1 – угол падения волны на нижнюю границу тропосферы

(рис. 9.15, а).

Для земной

волны, распростра-

няющейся в тропо-

сфере, обычно вы-

бирают угол

2/1 (пологие

лучи). Тогда при

линейном n(h)

имеем 0≈106Г

–1.

В нормальной

тропосфере 0 ≈

25·103 км.

Чтобы пояс-

нить явление ре-

фракции, разделим тропосферу на G сферических слоев толщиной

∆hg (g = 1,2,3,...,G) каждый (рис. 9.15,а). Слой номер g имеет по-

казатель преломления ng = ng(a + hg), a + hg = Rg . Источник поля

находится в точке q. Границы, разделяющие слои, имеют радиусы

а) б)

Рис.9.15. Траектории лучей в тропосфере:

а – схема рефракции; б – расчет радиуса кривизны

q a

p

a n

R

R1 Rg

m1

m2

m3

1

2

3

mg–1 mg mg+1

n1

n2

n3

ng

hg–1

∆hg

θ1

θ2

θ1пр

θ2пр

θg пр

θg

n+∆n

1

2

3 θ+∆θ

∆θ

θ C

B

∆γ

∆ψ

O O


164

кривизны Rg >>λо, поэтому их можно считать локально плоскими в

точках mg падения поля и применить законы Снеллиуса.

Пусть плоская волна под углом 1 падает (точка т1) на границу

раздела слоев, где происходит ее преломление (и отражение).

На границе первого слоя sin 1 пр = (n1 sin 1 ) / n2. Пусть в первом

случае n2 = n1 + ∆ n1. Если ∆ n1 положительно, то 1 пр < 1 , т.е. угол

преломления меньше угла падения. Дальше все повторяется

(рис.9.15,а).

При инженерном методе учета влияния тропосферы на распро-

странение земной волны искривленную траекторию спрямляют, ис

пользуя понятие «эквивалентный радиус Земли». Искривленную

траекторию в неоднородной тропосфере над землей (рис. 9.16,а) за-

меняют прямолинейной траекторией луча в однородной среде над

Земным шаром с эквивалентным радиусом аэ (рис. 9.16,б). Эту мо-

дель используют при линейном законе изменения n(h) = n0+bh.

Эквивалентный радиус Земного шара

16110/11

dhadNaabaaý . (9.32)

В этой модели прямолинейный луч проходит над Землей экви-

валентного радиуса на той же высоте, что и криволинейный луч над

реальной Землей. Для нормальной тропосферы аэ =4/3а, при этом

рефракция называется нормальной тропосферной рефракцией.

Влияние тропосферы на поле земной волны необходимо учиты-

вать для второй и третьей моделей, особенно в области тени и полу-

тени, где значительно влияние кривизны Земли. Поскольку над экви-

валентным шаром волна распространяется по прямолинейной

а) б)

Рис.9.16. Различные виды тропосферной рефракции: а – реаль-

ная траектория луча в тропосфере; б – расчетная траектория;

в – виды рефракции: 1 – нормальная; 2 –критическая; 3 –

сверхрефракция; 4 – отрицательная

в)

q q q

p p

p a aэ

ρэ→∞ ρ

О1 О'

1

2

3

4


165

траектории, то справедливы все расчетные выражения, получен-

ные на основе интерференционной формулы. В расчетных выра-

жениях а заменяется на аэ. При нормальной рефракции это приводит к

увеличению на 15 % расстояния прямой видимости, приведенные

высоты h'1,2 увеличиваются, следовательно, pEm увеличивается; в

зоне тени и полутени это тоже приводит к увеличению pEm .

Различают положительную и отрицательную тропосферные

рефракции. При положительной рефракции b < 0, п убывает с уве-

личением h и траектория луча обращена выпуклостью вверх (р > 0).

При этом выделяют три частных случая: а) нормальная рефракция,

при которой b = –4·10–5

км–1

, = 25·103

км, аэ=4а/3 (1 на рис.

9.16,в); вследствие влияния тропосферы pEm увеличивается;

б) критическая рефракция, при которой b = –1/а = 1,57·10–6

км–1

,

р = a, аэ → ∞; при этом эквивалентная земная поверхность становится

плоской и луч-2 параллелен этой поверхности; в) сверхрефракция, при

которой b<–а–1

и <а, aэ < 0; происходит полное внутреннее отра-

жение волны в тропосфере, луч-3 возвращается к земной поверхности.

При отрицательной рефракции b>0 и условно можно считать,

что < 0, аэ < а (луч-4). При этом вследствие влияния тропосфе-

ры pEm уменьшается.

Поскольку в формуле (9.32) dN/dh зависит от метеорологиче-

ских условий, то радиус аэ зависит от этих условий и изменяется с

их изменением. Таким образом, pEm зависит от метеорологиче-

ских условий. Кроме того, угол прихода волны тоже зависит от

метеорологических условий.

Явление сверхрефракции обязано резкому уменьшению n(h)

при увеличении h. Последнее может происходить при температурной

инверсии, появляющейся как вблизи земной поверхности, так и на

высотах h = (2 – 3) км. Температурная инверсия может возникать над

сушей после захода Солнца, когда воздух вблизи почвы быстро

охлаждается, а над морем – при движении с берега теплого сухого

воздуха. Температурные инверсии – нерегулярные метеорологические

явления. В условиях сверхрефракции земная волна распространяется

между земной поверхностью и тропосферой аналогично распростра-

нению волны в волноводе, образованном стенкой диэлектрического

волновода (сверху) и полупроводящей поверхностью Земли (снизу).


166

Для тропосферного волновода существует, как и в диэлектрическом

волноводе, критическая длина волны λкр = 8·10–4

hв3/2

. Высота hв, на

которой происходит изгиб траектории луча и он направляется в сто-

рону поверхности Земли, обычно достигает нескольких десятков

метров. Поэтому в условиях тропосферного волновода могут распро-

страняться только поля сантиметрового и дециметрового диапазонов.

Точки q и р должны при этом находиться в тропосферном волноводе.

Основывать работу радиолиний большой протяженности на явлении

тропосферного волновода трудно из-за нерегулярности явления. Од-

нако это явление может быть причиной значительных помех ра-

диолиниям, удаленным на большие расстояния и имеющим близкие

частоты. Кроме того, явление тропосферного волновода может огра-

ничить работу радиолокационных станций обнаружения летательных

аппаратов, так как при высоте последних, большей hв, они не могут

быть обнаружены.

9.4.3. Дальнее тропосферное распространение радиоволн

Модуль множителя влияния среды |V(p)| земной волны в обла-

сти тени мал, хотя из-за нормальной рефракции он и увеличивается

на 15…20 %. Однако опыт показал, что на расстояниях, превышаю-

щих расстояние прямой видимости, в диапазонах метровых и более

коротких волн амплитуда напряженности поля на десятки и даже

сотни децибел

больше расчет-

ного значения.

Высокие по

сравнению с

дифракционной

теорией уровни

E объясняются,

главным обра-

зом, рассеянием

электромагнитной волны. Это рассеяние обусловлено, во-первых, ста-

бильными слоистыми неоднородностями тропосферы и, во-вторых,

мелкомасштабными неоднородностями турбулентного происхожде-

ния. В результате появляется поле рассеяния неоднородностей тро-

а)

Рис.9.17. Поля рассеяния при ДТР: а – схема;

б –диаграммы направленности антенн

B

б)

q q q p

p r

γ

aэ

1ξ

1ξ

En

1n

∆En

jэ.n

Q

D

A V

Г ∆V

2θ0 2θ'0

hmin


167

посферы – тропосферная волна. Явление называют дальним тро-

посферным распространением радиоволн (ДТР).

Пусть точка р находится в области тени (рис. 9.17,а). В элемен-

те объема ∆V , выделенном вокруг точки Q, относительная диэлек-

трическая проницаемость отличается от среднего значения на вели-

чину ∆ε. Вследствие турбулентного движения воздуха ∆ε имеет поря-

док 10–6

.

Среда в элементе объема ∆V под действием падающего поля по-

ляризуется, в ней появляется вторичный ток электрической поляри-

зации, который возбуждает вторичное (рассеянное) поле.

Рассматривая элемент объема ∆V с плотностью тока ïýJ . как «элек-

трический момент» ïýJ . ∆V элементарного вибратора, можно опре-

делить напряженность электрического поля в дальней зоне на рас-

стоянии R2 = RQp в точке р.

Пусть 2θ0, 2φ0 и 2θ'0,2φ'0 – ширины диаграмм направленности

излучателя и приемной антенны в главных плоскостях (рис. 9.17,б).

Тогда первичное поле воздействует только на часть тропосферы, по-

падающую в телесный угол 2θ0 × 2φ0. Приемная антенна принимает

рассеянное поле только из телесного угла 2θ'0 × 2φ'0. Таким образом,

в создании поля на входе приемной антенны участвует только рассеи-

вающий объем V, ограниченный линиями qA, qB и Вр, Dp. Вы-

сота расположения объема обычно составляет (0,6…5) км

(hмин ≈ r2/8аэ) при r = 200…600 км. Объем V вытянут вдоль трассы,

угол γ = (91,3…94)°.

В радиолиниях, использующих дальнее тропосферное распро-

странение радиоволн, применяются передатчики большой мощно-

сти (PΣ =10…100 кВт) и антенны, имеющие большие эффектив-

ные площади, такие, что DΣ, Dnp равны (50…60) дБ (до 40 м в диа-

метре). На входе приемников устанавливают малошумящие парамет-

рические усилители, линии работают на частотах 300…5000 МГц. Ра-

диолинии дальнего тропосферного распространения радиоволн ис-

пользуют там, где нельзя или невыгодно устанавливать радиорелей-

ные линии: в оборонных объектах, на малонаселенных территориях,

через проливы и др.

Поскольку неоднородности ∆ε(Q) меняются в пространстве и во

времени случайным образом, то появляются, так называемые замира-

ния сигнала.


168

Для борьбы с замираниями применяют разнесенный прием на

2 или 4 антенны, отстоящие на (70…100)λ друг от друга по фронту

волны; принятые сигналы детектируют, а затем суммируют.

Случайные изменения метеорологических условий приводят к

медленным замираниям.

Характерным для радиолиний дальнего тропосферного рас-

пространения радиоволн является амплитудные искажения сигнала.

Множитель влияния среды |V| зависит в радиолиниях даль-

него тропосферного распространения радиоволн от длины волны,

времени года (уровень сигнала зимой значительно ниже, чем летом),

от метеорологических условий, географического положения и др.

факторов.

9.4.4. Затухание радиоволн в тропосфере

Различают нерезонансное и резонансное (селективное) зату-

хание радиоволн в тропосфере. Нерезонансное затухание обусловле-

но тепловыми потерями энергии распространяющегося электромаг-

нитного поля. Резонансное затухание связано с тем, что каждая моле-

кула вещества может поглощать и излучать электромагнитное поле

только своих собственных наборов частот – спектров поглощения.

Поглощение энергии распространяющегося электромагнитного поля

молекулами происходит при совпадении его частоты с одной из дис-

кретных частот внутримолекулярных переходов. Молекула при этом

переходит в более высокое энергетическое состояние.

Переход молекулы с более высокого энергетического уровня на

более низкий сопровождается излучением электромагнитного поля на

собственной резонансной частоте. Это поле является одним из полей

шумов в радиодиапазоне.

Затухание волны учитывается множителем влияния среды. Если

коэффициент затухания меняется по длине трассы, то

r

rdrrV0

exp . (9.33)

Рассмотрим нерезонансное затухание радиоволны. Распростра-

няющееся электромагнитное поле затрачивает часть энергии на нагре-

вание капель (частиц) дождя, тумана, льдинок, града, снега (гидроме-

теоров), пыли. Кроме того, происходит рассеяние электромагнитного

поля на частицах (гидрометеорах, пыли) и напряженность поля в точ-


169

ке р зависит от значения эффективной площади рассеяния каждой ча-

стицы и их совокупности. При нерезонансном затухании α зависит от

количества частиц в единице объема, их размеров, формы и электри-

ческих параметров, длины волны. Значения α в сухом снеге и граде

составляет единицы процентов от α дождя той же интенсивности.

Значение α в тумане и облаках также мало, но при их больших про-

тяженностях и длительности существования затухание в них прихо-

дится учитывать.

В радиодиапазоне расположены спектры поглощения только

кислорода и паров воды. Множитель влияния среды вследствие резо-

нансного затухания рассчитывается по формуле (9.33). Поскольку

по длине трассы α может меняться, то интеграл в формуле (9.33) вы-

числяется приближенно. Коэффициенты затухания αв и αк (дБ/км) в

парах воды и в кислороде определяются по графикам, рассчитанным

для нулевой высоты в тропосфере при давлении 760 мм рт.ст., тем-

пературе 20° С и плотности паров воды 7,5 г/м3. Пары воды имеют

полосы поглощения вблизи длин волн 0,164 и 1,36 см, а кислород –

вблизи длин волн 0,25 и 0,5 см. Частоты, на которых происходит ре-

зонансное поглощение электромагнитного поля, неприменимы для

передачи сигналов в тропосфере. Так, для 0,1см< λ <1 см «окна

прозрачности» атмосферы имеются вблизи длин волн, равных 0,4 и

0,8 см. Эти длины волн рекомендуются для работы в диапазоне КВЧ.

9.5. Ионосферная волна

Ионосфера представляет собой плазму, квазинейтральную в

пределах макрообъема, т.е. число положительных зарядов в ней рав-

но числу отрицательных. Свободные заряды появляются в ионосфере

в процессе ионизации, при котором один или несколько электронов

с наружных оболочек атомов и молекул отрываются при воздей-

ствии внешних источников энергии. Основным источником иониза-

ции газов атмосферы является солнечная радиация. Солнце излуча-

ет электромагнитные колебания широкого спектра и выбрасывает

движущиеся с большой скоростью потоки заряженных частиц (кор-

пускул – электронов, протонов). Эти потоки называют солнечным

ветром. Ионизацию (фотоионизацию) способно производить элек-

тромагнитное поле с λ<0,134 мкм. Ударная ионизация возникает

при столкновении корпускул с атомами и молекулами. Роль удар-


170

ной ионизации проявляется главным образом в полярных районах,

куда под действием магнитного поля Земли стекается солнечный

ветер. Источником фотоионизации является и радиация звезд. Но

роль этого источника мала. Также мала роль еще одного источника

ударной ионизации – метеоров, вторгающихся в земную атмосферу

со скоростями 11…73 км/с и создающих местную ионизацию в стол-

бах газа, столбы существуют от одной до нескольких секунд на вы-

сотах от 80 до 120 км.

Процесс рекомбинации обратен процессу ионизации. При теп-

ловом движении частицы с зарядами противоположных знаков ока-

зываются на малых расстояниях друг от друга. Под действием куло-

новской силы они соединяются, превращаясь в молекулы и атомы.

Часть электронов присоединяется к нейтральным молекулам, образуя

отрицательно заряженные ионы.

Изменение плотности N(t) электронов во времени на высоте h

подчиняется дифференциальному уравнению баланса ионизации. С

заходом Солнца (источника ионизации) электронная плотность N

уменьшается тем быстрее, чем больше плотность атмосферы.

9.5.1. Строение ионосферы

Сведения о строении ионосферы получены экспериментальным

путем. На высотах от 250 до 400 км имеется основной максимум

ионизации, называемый слоем F2. Области ионосферы, находящие-

ся выше и ниже основного максимума ионизации, называют внеш-

ней и внутренней ионосферой. Части ионосферы, содержащие от-

носительные максимумы плотности электронов N, называют

слоями. Во внутренней ионосфере имеются четыре регулярных слоя

D, E, F1 и F2 (рис. 14.1). Каждый слой характеризуется электронной

плотностью Nм(hм) в максимумах hм ионизации, высотой h0 нижней

границы слоя, числом v соударений электрона с тяжелыми частица-

ми.

Параметры ионосферных слоев определяются регулярными су-

точными и сезонными изменениями излучения Солнца. С наступле-

нием темноты из-за рекомбинации исчезает слой D , но слой Е со-

храняется, ночью его значение NM уменьшается. Слой F1 в средних

широтах наблюдается только в летние дни. В остальное время он сли-

вается со слоем F2, образуя область F.


171

Аномальные значительные отклонения значений N(h) от сред-

них значений и нарушения самой структуры ионосферы, длящиеся

более 1 ч, называют ионосферными возмущениями и бурями.

Больше воздействуют на работу радиолиний возмущения корпуску-

лярной природы. При этом Земля попадает в корпускулярные пото-

ки, испускаемые активным Солнцем. Заряженные частицы, двигаясь

вокруг силовых линий магнитного поля Земли по траекториям, по-

добным спирали, направляются к полярным областям. Они вызыва-

ют не только ионосферные, но и магнитные бури. Возмущения за-

висят от широты точки р. В полярных широтах возмущается вся

ионосфера, увеличиваются величины N и v слоя D, повышается

значение σ и, значит, увеличивается α. В слое F2 уменьшается NM

в освещенной части Земли и увеличивается в затененной – при по-

явлении спорадических образований. У полюса в любое время суток

появляется спорадический слой Es . В средних широтах в основном

возмущается область F, только при сильных ионосферных бурях

возмущаются и нижние слои ионосферы.

При вспышках рентгеновского излучения на Солнце в ионосфере

появляются возмущения волнового происхождения, длящиеся от не-

скольких минут до 1–2 ч в освещенной части земного шара. При этом

быстро увеличиваются величины N и α слоя D.

9.5.2. Электрические параметры ионосферы

Наличие в верхних слоях атмосферы электронов и ионов опреде-

ляет электрические параметры ионосферы. Предположим, что ионо-

сфера представляет собой квазинейтральный ионизированный газ, со-

держащий нейтральные молекулы, положительные ионы и свободные

электроны. Рассмотрим распространение плоской монохроматической

волны в таком ионизированном газе.

При прохождении радиоволны через ионосферу положительные

ионы и свободные электроны начинают двигаться упорядоченно в такт

с изменением поля волны. Движущиеся в ионосфере заряды можно

рассматривать как некоторый конвекционный ток. Поскольку масса

положительных ионов много больше массы электронов можно прене-

бречь ионным током и рассматривать только конвекционный ток

электронов, обозначив его плотность элJ . Плотность конвекционного


172

тока электронов определяется концентрацией электронов в газе N и

скоростью их движения V :

VeNJэл .

Под действием электрического поля радиоволны происходит и

поляризация ионизированного газа. Электроны в атоме или молекуле

смещаются относительно равновесного положения в направлении, об-

ратном направлению вектора напряженности электрического поля. Та-

ким образом, наряду с конвекционным электронным током, существу-

ет и ток смещения смJ , плотность которого будет

.0dt

EdJсм

Плотность полного тока в ионизированном газе складывается

из суммы конвекционного электронного тока и тока смещения:

.0dt

EdVeNJJJ смэл

С другой стороны, плотность воздуха настолько велика, что рас-

стояние между частицами в ионосфере много меньше длины радио-

волн. В этом случае ионосферу можно рассматривать как сплошную

среду с диэлектрическими проницаемостью ε и проводимостью σ.

Плотность тока в ней можно записать так:

.Edt

EdJср

Если считать процессы в реальной ионосфере и воображаемой

сплошной среде эквивалентными, то

.срJJ

Учитывая, что векторы E и V коллинеарные, получим скаляр-

ное уравнение для гармонических режимов в комплексной форме

jωε0E + eNV = jωεE + σЕ.

В этом уравнении нам неизвестна скорость движения электронов

V. Определим ее, используя уравнение движения

,EeVmvdt

Vdm (9.34)

где m – масса электрона; v – число столкновений электронов с

ионами и молекулами в единицу времени.

Величина mvV характеризует изменение количества движения

электронов при соударениях за единицу времени и аналогична силе

трения.


173

Решение уравнения (9.34) определяем в виде

V = Aejωt

. (9.35)

После подстановки выражения (9.35) в уравнение (9.34) полу-

чим

.

12

0

jvjm

Nej (9.36)

Сопоставляя мнимые и действительные члены в уравнении

(9.36), получим выражения для диэлектрической проницаемости ε и

проводимости σ:

.,

22

2

22

2

0vm

Nve

vm

Ne

Для большинства диапазонов радиоволн выполняется усло-

вие ω2 >v

2, поэтому выражения для относительной диэлектрической

проницаемости εr и проводимости σ примут вид

.,1

12

2

20

2

0

m

Nve

m

Ner

Из последних соотношений видно, что εr и σ зависят от частоты. Сле-

довательно, ионосфера является средой диспергирующей. Кроме того,

поскольку концентрация электронов N в ионосфере меняется от точ-

ки к точке – ионосфера является средой неоднородной.

Величина

0

2

2

m

Nefnn

имеет размерность частоты и называется собственной частотой иони-

зированного газа или (плазменной частотой Ленгмюра). Определим

плазменную частоту fn, используя известные значения для массы, за-

ряда электрона и диэлектрической проницаемости вакуума:

NN

m

Nefn 98,80

2 02

2

. (9.37)

Здесь N – число электронов в кубическом метре, fn – плазменная ча-

стота в герцах.

Используя выражение для плазменной частоты, запишем выра-

жение для относительной диэлектрической проницаемости ионизиро-

ванного газа в виде


174

.112

2

2

2

f

fnnr

(9.38)

Основные особенности распространения радиоволн в ионосфере

можно объяснить, принимая в первом приближении, что концентрация

электронов в ионосфере а, следовательно, и ее диэлектрическая про-

ницаемость εr зависят только от высоты над поверхностью Земли.

Изменения диэлектрической проницаемости в ионосфере значи-

тельно отличаются от изменений этого параметра в тропосфере. Ди-

электрическая проницаемость в тропосфере меняется с высотой незна-

чительно и близка к единице. В ионосфере, как видно из выражения

(9.38), при частотах радиоволны, больших собственной частоты иони-

зированного газа, относительная диэлектрическая проницаемость εr

оказывается меньше нуля. Это означает, что коэффициент преломле-

ния является мнимой величиной:

jn ,

и при f<fn электромагнитные колебания в ионосфере не распространя-

ются. Чтобы выяснить физический смысл мнимого коэффициента

преломления, подставим его значение в выражение для плоской вол-

ны:

.0

tjrk

meEE

Отсюда следует, что при f<fn , электромагнитные колебания в

ионосфере не распространяются и затухают по экспоненциальному за-

кону.

9.5.3. Условия распространения волн в ионосфере

Плазма ионосферы находится в магнитном поле Земли. Его

напряженность у поверхности Земли увеличивается от 28 А/м у эква-

тора до 40 А/м в средних геомагнитных широтах и затем до 56 А/м у

магнитных полюсов. Тензор диэлектрической проницаемости под-

магниченной плазмы зависит от величин N и v, изменяющихся в

пространстве. Поэтому ионосфера – анизотропная диспергирую-

щая неоднородная среда.

Можно считать, что условие ω2>> v

2 выполняется на часто-

тах f > 3 МГц, т.е. в диапазонах декаметровых и более коротких

длин волн. При этом неподмагниченная плазма имеет ε ≈ 1–ω02/ω

2,

σ ≈ ε0 v ω02/ω

2, где ω0 = 2πf0 ≈ 2π ∙9∙ N – собственная частота плазмы.


175

На частотах, где ε < 0, α имеет большую величину; при ω ≈ v наблю-

дается резонансное поглощение электромагнитного поля. Величины

ε, и σ зависят от произведения N∙v. Величина N∙v имеет максимум

на высотах расположений слоя D и нижней части слоя Е, поэтому σ и

α имеют максимумы на этих же высотах. Поскольку слой D суще-

ствует только в дневное время, то из этого следует, что затухание ра-

диоволн в дневное время значительно больше, чем в ночное.

Как отмечалось, при ω2>>v

2 с увеличением f уменьшается σ и

при f > 100 МГц коэффициент затухания α в ионосфере мал. С уве-

личением частоты ε→1, σ→0 и параметры ионосферы приближаются к

параметрам свободного пространства. Основное влияние на распро-

странение радиоволн ионосфера оказывает на частотах f < 100 МГц.

9.5.4. Траектории радиоволн в ионосфере без учета влияния

магнитного поля Земли

Коэффициенты затухания и преломления ионосферы в магнит-

ном поле Земли зависят от значений ± м. При >> м они совпа-

дают с коэффициентами затухания и преломления неподмагниченной

плазмы, поэтому в ряде случаев можно пренебречь влиянием магнит-

ного поля Земли и рассматривать упрощенную модель ионосферы.

Считаем, что магнитным полем Земли и потерями в ионосфере можно

пренебречь.

Электронная плотность N согласно графика рис. 9.14,а, во внут-

ренней ионосфере увеличивается с высотой по сложному закону,

достигая максимума на высоте 300…400 км. Относительная диэлек-

трическая проницаемость плазмы ε = 1–f02/f

2, где f0 = 9(N)

1/2, кГц

– плазменная частота. С увеличением высоты во внутренней ионо-

сфере ε немонотонно уменьшается, имеет максимумы на высотах, где

имеются максимумы электронной плотности слоев, достигает абсо-

лютного минимума на высоте слоя F2, а затем при увеличении высо-

ты увеличивается до единицы во внешней ионосфере. Ионосфера,

таким образом, неоднородная среда. Если ее параметры изменяют-

ся мало на протяженности длины волны, то определить траектории

волны в ней можно методами геометрической оптики. Принимаем,

что в горизонтальном направлении параметры ионосферы не изменя-

ются и выполняются условия применимости геометрической оптики.

Условно разделим ионосферу на тонкие слои, как представлено на


176

рис 9.15, в пределах каждого g-го слоя, находящегося на высоте hg ,

считаем ε(hg) постоянной.

При уменьшении толщины слоев Δhg траектория волны обраща-

ется в кривую. Так как n(hg) уменьшается с увеличением высоты h ,

то угол падения θg волны на следующий слой увеличивается. На не-

которой высоте могут создаться условия для полного внутреннего

отражения волны. Траектория при этом направлена по касательной к

сферической границе раздела слоев. Даже при малой неоднородности

траектория может отклониться вниз, и тогда волна возвратится на

Землю. Это явление называют отражением волны от ионосферы.

Таким образом, отражение волны от ионосферы происходит в той ее

области, где ε убывает с высотой (N увеличивается с высотой). По-

этому волна может отражаться только во внутренней ионосфере

ниже максимума электронной плотности.

В результате рефракции угол θ должен достигнуть значения

π/2 на высоте hj. На границе нижнего слоя п0 ≈ 1. Поэтому условием

отражения является sin θ0 = n(hj )(а + hj) /(а + h0 ). Учтем здесь, что

п = (1– f02 /f

2)1/2

. Обозначим hj = h0 + z0, где z0 – высота над нижней

границей ионосферы, на которой происходит отражение волны. То-

гда sinθ0 = (1– f02 /f

2)1/2

[1 + z0/(a + h0)]. Из этого выражения следует,

что электромагнитное поле на частоте f отразится от ионосферы при

данной электронной плотности N(z0) только, если sinθ0 не меньше

правой части этого выражения. Поэтому, чем больше N, тем при

меньших значениях угла θ0 возможно отражение поля. Угол θ0,кр,

при котором в данных условиях еще возможно отражение поля,

называют критическим углом. Выражение позволяет определить

частоты полей, которые могут отражаться ионосферой на данной

высоте z0 при заданном угле θ0:

f ≤ f0{1–sin2 θ0/ [1 + z0/(a + h0)]

2}

–1/2.

Так как z0 ≈200…300 км, a = 6370 км, h0 =100…300 км, то и

этим слагаемым можно пренебречь. Тогда получаем приближение

плоской Земли f < f0 secθ0, называемое законом секанса. Из этих

выражений видно, что, чем больше частота электромагнитного

поля, тем необходима большая электронная плотность в ионо-

сфере для его отражения. С увеличением угла θ0 необходимая кон-

центрация электронов N уменьшается. Однако электронная плот-

ность ограничена значением Nм. Угол падения θо тоже ограничен зна-

чением θ0 M из-за сферичности Земли и границы ионосферы. Если


177

направление падения волны на ионосферу касательно поверхности

Земли, то sin θо,м = а /(а + h0), т.е. 0 ≤ θо ≤ θо,м . Поэтому максимально

высокая частота fм электромагнитного поля, которое отражается

ионосферой

fм = 9(Nм)1/2

{1–sin2 θ0/ [1 + z0/(a + h0)]

2}

–1/2;

fм = 9 N secθ0,м.

Из этих выражений следует, что условия отражения электро-

магнитного поля регулярно выполняются только для диапазонов ВЧ-ОНЧ. Максимальные частоты поля, отражающегося от ионосфе-

ры при наклонном падении, не превышают 30…40 МГц.

При вертикальном падении волны на слой, т.е. при вертикаль-

ном падении волны на ионосферу, отражение ее происходит на той

высоте, где частота поля равна собственной fв = f0 т.е. там, где ε = 0.

Сравнение выражения fв = f0 с законом секанса показывает, что при

одной и той же электронной плотности ионосферы электромагнитное

поле, падающее на слой наклонно, может отразиться при частоте fθ,

превышающей в sec θ0 раз частоту fв поля, отражающегося при

вертикальном падении волны на слой. Частоты fв и f0 Электро-

магнитных полей, отражающихся от одного и того же уровня

электронной плотности слоя, называют эквивалентными.

Обычно антенна в точке q имеет такую диаграмму направлен-

ности (1), что на нижнюю границу ионосферы (2) падает пучок лучей

под разными углами θо (рис. 9.18). Чем меньше угол θ0, тем глуб-

же проникает в слой поле частоты f.

Радиусы кривизны лучей в точках

перегиба их неодинаковы. В нижней

части слоя |dn/dh| велико, поэтому

радиус кривизны мал. Если z0 при-

ближается к области, где N имеет

максимум, |dn/dh| уменьшается и ра-

диус кривизны траектории увеличи-

вается. Траектория луча относитель-

но точек q и р при расчетах радиолиний считается симметричной.

Наименьшее расстояние rзм по поверхности Земли, на котором воз-

можен прием ионосферной волны, называют предельным расстоя-

нием зоны молчания для частоты f. В точке р, расположенной в

зоне молчания, при rqp<rзм, ионосферная волна отсутствует, элек-

Рис.9.18. Траектории

ионосферных волн

rзм 1

2 Z0

NM

h0

θ02 rс1

p

rс2

rс3


178

тромагнитное поле может существовать только за счет земной

волны.

Наибольшие дальности распространения ионосферной волны

имеют значения rм =2∙103 км для слоя Е и rм =(2,5…4) ∙10

3 км для

слоя F2 и соответствуют углу падения θ0 м при отражении на высоте,

где N близко к NM. Если rqp > rм, то ионосферная волна в точку р

может попадать путем нескольких отражений от ионосферы и по-

верхности Земли.

9.5.5. Влияние магнитного поля Земли

на распространение радиоволн в ионосфере

Постоянное магнитное поле изменяет условия движения элек-

тронов ионосферы. Это приводит к изменению электрических пара-

метров ионосферы. Ионосфера под действием магнитного поля Земли

приобретает анизотропные свойства. В общем случае анализ условий

распространения радиоволн в анизотропной среде (прил.1) очень гро-

моздок и приводит к сложным формулам. В то же время наиболее

практически значимые случаи могут быть сведены к двум частным

случаям: распространение радиоволны в направлении магнитного по-

ля Земли; распространение радиоволны поперечно магнитному полю

Земли. Рассмотрим оба случая ка-

чественно, не касаясь количе-

ственных соотношений.

Для анализа процессов, про-

исходящих при распространении

радиоволны в направлении маг-

нитного поля Земли, удобно ли-

нейно поляризованную волну

представить в виде двух волн кру-

говой поляризации с противопо-

ложным направлением вращения векторов Е (рис. 9.19).

Под влиянием анизотропных свойств ионосферы составляющие

поля Е1 и Е2 будут распространяться с различными фазовыми

скоростями и испытывать неодинаковое затухание. В итоге на неко-

тором расстоянии r векторы 1E и 2E будут иметь различные ампли-

туды и фазы.

z

x x1

y y1

z1 0 0

r

θ

00HÏ

EE

1E

1E 2E

2E 00HÏ

Рис. 9.19 Влияние магнитного

поля Земли на радиоволны


179

Результирующий вектор напряженности электрического поля E

окажется наклоненным к оси х на некоторый угол θ. Таким образом,

при распространении радиоволны в направлении постоянного маг-

нитного поля Земли происходит поворот плоскости поляризации,

наблюдается эффект Фарадея. Результирующее поле в общем случае

будет эллиптически поляризованным.

При распространении радиоволны поперечно магнитному полю

Земли вектор напряженности электрического поля E можно разло-

жить на две составляющие, одна из которых Еу совпадает с направ-

лением магнитного поля Земли, а вторая Ех – перпендикулярна ему

(рис. 9.20). На составляющую поля Еу магнитное поле Земли влияния

не оказывает, и волна с такой ориентацией вектора напряженности

электрического поля распространяется как в ионосфере без постоян-

ного магнитного поля. Такую волну называют обыкновенной.

На волну с ориентацией век-

тора напряженности электриче-

ского поля Ех магнитное поле

Земли оказывает значительное

влияние. Для такой волны диэлек-

трическая проницаемость ионо-

сферы меньше, а фазовая скорость

больше, чем для обыкновенной

волны. Такую волну называют не-

обыкновенной. В результате

обыкновенная волна и необыкно-

венная волна (волна с ориентаци-

ей вектора Ех перпендикулярно

вектору Н0) отражаются от обла-

стей ионосферы с неодинаковыми

значениями электронной концен-

трации. Высота точки отражения

обыкновенной волны выше, чем

необыкновенной (рис. 9.21).

Таким образом, при распространении радиоволны ионосфере

поперечно магнитному полю Земли происходит двойное лучепрелом-

ление, расщепление волны на два луча, которые после отражения при-

ходят в различные точки земной поверхности. Критические частоты

Рис. 9.20.Образование обыкно-

венной и необыкновенной волн

Рис. 9.21. Отражение от ионосферы

обыкновенной и необыкновенной

волн

Обыкновенная

волна Небыкновенная

волна

Ï

x

y

z 0

E

xE

yE

0H


180

обыкновенной волны и необыкновенной отличаются друг от друга на

половину гиромагнитной частоты (f/2 = 0,7 МГц).

9.6. Особенности распространения радиоволн

различных диапазонов

Рассмотрим, как сказывается влияние частоты на характер построения

радиолинии.

9.6.1. Распространения волн ОВЧ–ГВЧ-диапазонов

В этих диапазонах не выполняется условие отражения волн от

ионосферы, антенны имеют узкие диаграммы направленности, их

обычно располагают на больших высотах над поверхностью Земли.

Поверхность Земли нельзя считать ровной. Тропосфера оказывает

влияние на распространение волн. В зависимости от расстояний меж-

ду излучающей и приемной антеннами рассматриваются несколько

вариантов: а) rqp < 0,2R0 (первая модель – модель плоской Земли, при

этом rqp до 5…6 км); б) 0,2 R0 < rqp < 0,8 R0 (rqp до 80…100 км), при-

меняются интерференционные формулы и понятия приведенной вы-

соты и эквивалентного радиуса Земли; в) 0,2 R0 < rqp < 0,8 R0, но на

пути распространения волны имеются значительные препятствия

(большой город, гористая местность); г) rqp до 200…1000 км, распро-

странение волны – путем рассеяния на неоднородностях тропосферы;

д) rqp > 1000 км, распространение волны – путем отражения от

ионосферы и рассеяния на ее неоднородностях.

Нерегулярное сверхдальнее распространение поля диапазона

ОВЧ связано с увеличением электронной плотности в слое F в годы

максимума солнечной активности или с появлением спорадическо-

го слоя Es. Радиус зоны молчания при отражении поля от слоя

F (λ = 6…10 м) не менее 2000 км, путем двух последовательных от-

ражений от слоя F и почвы временами поле распространяется на

расстояния до (2…7)∙103 км.

Спорадический слой Es, имеющий концентрацию электронов

N, достаточную для отражения поля УКВ-диапазона, может появ-

ляться днем в летнее время в южных широтах. Закономерность появ-

ления слоя Es не установлена. Высота слоя составляет 100…120 км,

поэтому максимальная дальность распространения ионосферной вол-


181

ны (2…2,5) ∙103 км, радиус зоны молчания (1…2,5) ∙10

3 км. С появле-

нием слоя Es возникают взаимные помехи в работе радиолиний, ис-

пользующих ионосферное рассеяние радиоволн.

Регулярное ионосферное распространение при рассеянии ра-

диоволны на неоднородностях ионосферы происходит так же, как

при рассеянии на неоднородностях тропосферы. Используются от-

клонения электронной плотности от среднего значения, при этом

∆ε= –еэ2∆N /тэε0ω

2, т.е. неоднородность ε убывает с увеличением

частоты как 1/ ω2, поэтому напряженность поля в точке р резко

уменьшается с увеличением частоты, увеличиваются искажения сиг-

нала, накладываются ограничения на полосу частот радиолинии.

Применяются частоты 30 … 60 МГц. Возникают глубокие замирания,

для борьбы с ними применяют прием на разнесенные антенны. Это

рассеянное поле устойчиво к нарушениям, возникающим для ионо-

сферной волны в диапазоне ВЧ; радиолиния работает круглосуточно

на одной частоте (не меняются антенны), уровень помех определяется

только космическими шумами и шумами Солнца. Однако необходимо

иметь РΣ ≥ 10 кВт и антенны с коэффициентами направленного дей-

ствия (около 20…З0 дБ). Длина радиолиний составляет до 2300 км,

минимальная длина – около 900 км.

В радиолинии, принимающей в точке р поле рассеяния на сле-

дах метеоров, рассеивающий объем расположен на высоте около

100 км над поверхностью Земли. Метеорные следы существуют ко-

роткое время, поэтому радиолиния работает так, что передача инфор-

мации происходит только во время появления интенсивных метеор-

ных следов. Применяются частоты 40…80 МГц, протяженность ра-

диолинии до 1600…1800 км, антенны имеют коэффициенты

направленного действия 6…18 дБ. Радиолинии не имеют наруше-

ний, связанных с ионосферно-магнитными бурями.

9.6.2. Особенности распространения волн ВЧ-диапазона

Земная волна в ВЧ-диапазоне быстро затухает, так как почва в

этом диапазоне частот является полупроводником. Вследствие этого

коэффициент затухания велик. Напряженность поля рассчитывают

по формулам интерференционной или Шулейкина-Ван дер Поля.

При обычных мощностях излучения протяженность радиолинии не

превышает нескольких десятков километров.


182

Ионосферная волна в ВЧ-диапазоне распространяется на многие

тысячи километров путем последовательного отражения от ионосфе-

ры и земной поверхности. Этот способ распространения электромаг-

нитного поля называют скачковым. Он характеризуется расстояни-

ями скачков rс1,rс2,.–, числом скачков А, углами выхода θ01 и прихода

θ01, максимальной применимой частотой (МПЧ) и наименьшей при-

менимой частотой (НПЧ). Расстояния скачков определяются высотой

отражающего слоя, частотой падающего электромагнитного поля

(рабочей частотой), шириной диаграммы направленности передаю-

щей антенны (в вертикальной плоскости). Максимальное расстояние

скачка в среднем при отражении от слоя F2 принимают равным 4000

км, от слоя F1 – 3000 км, от слоя Е – 2000 км.

Если ионосфера однородна в горизонтальном направлении, то

θ01 = θ02. Минимальное расстояние скачка при θ0 = Фо кр определяет

зону молчания. Углам выхода луча θ0 > θ0,кр соответствует ряд тра-

екторий луча, оптимальным является условие, при котором угол при-

хода волны в точку р соответствует направлению максимального из-

лучения антенны.

Чтобы электромагнитное поле было принято в точке р, должно

выполняться условие отражения его от ионосферы и должна быть ре-

ализована заданная устойчивость работы радиолинии.

Для отражения электромагнитного поля необходимо, чтобы ра-

бочая частота не превышала максимального значения частоты для

заданного угла θ, определяющего верхнюю границу рабочих частот

для данного расстояния. Второе условие определяет нижнюю границу

рабочих частот – НПЧ, поскольку в ВЧ-диапазоне, чем ниже f, тем

больше затухание в ионосфере.

Поскольку параметры ионосферы изменяются в течение суток и

года, то изменяются МПЧ и НПЧ, и, следовательно, изменяется по-

лоса частот, в которой может работать радиолиния. Это значительно

усложняет и удорожает радиолинию.

Во время ионосферно-магнитных бурь разрушается слой F и ра-

бота радиолинии нарушается, прежде всего на наиболее высоких ча-

стотах, а восстанавливается раньше на более низких частотах.

Внезапные вспышки поглощения в ионосфере появляются на

освещенной стороне Земли. Они приводят к нарушению работы ра-

диолиний на наиболее низких частотах. Продолжительность их – от

нескольких минут до нескольких часов.


183

9.6.3. Особенности распространения волн

СЧ-, НЧ- и ОНЧ-диапазонов

Напряженность поля земной волны при rqp< 500…700 км

определяют по формуле Шулейкина-Ван дер Поля, а при больших

rqp – по строгим дифракционным формулам. Земная волна в этом диа-

пазоне испытывает значительное затухание в полупроводящей среде

под поверхностью Земли.

На большие расстояния электромагнитное поле в СЧ-диапазоне

ночью распространяется ионосферной волной путем отражения от

слоя Е . Днем в неотражающем слое D ионосферная волна практиче-

ски полностью затухает, поэтому днем поле распространяется только

земной волной на небольшие расстояния. Слой Е мало подвержен

ионосферным возмущениям, поэтому последние мало влияют на рас-

пространение электромагнитного поля СЧ-диапазона.

Ночью в точку р возможен приход земной и ионосферной

волн. Флуктуации электронной плотности приводят к изменениям

фазы ионосферной волны. Интерференция ионосферной и земной

волн приводит к ближним замираниям поля. При больших rqp элек-

тромагнитное поле в точке р может быть результатом интерферен-

ции двух полей – поля, отразившегося один раз от слоя Е, и поля, от-

разившегося два раза от слоя Е (два скачка). Флуктуации разности

фаз этих полей приводят к дальним замираниям. С замираниями бо-

рются, применяя передающие антенны, у которых направление мак-

симума излучения поля «прижато» к земной поверхности. При этом

зона ближних замираний удаляется от точки q, электромагнитное по-

ле, претерпевшее два скачка, оказывается ослабленным.

В диапазонах НЧ и ОНЧ все виды почвы являются проводника-

ми, коэффициент затухания вследствие потерь в почве мал, поэтому

земная волна затухает мало. Электромагнитное поле диапазонов НЧ

и ОНЧ хорошо дифрагируют на Земном шаре. Этим объясняется рас-

пространение поля земной волной на расстояния до 3000 км.

Слои D и Е ионосферы в этих диапазонах оказываются полу-

проводниками. По этой причине электромагнитного поля от слоев D

и Е отражается как от границы раздела воздух – полупроводник и

тепловые потери малы. Нижние границы слоев D и Е расположены на

высотах 60…100 км, т.е. расстояние между этими границами и по-

верхностью Земли имеет порядок длины волны. Вследствие этого


184

условия распространения поля соответствуют условию в диэлектри-

ческом (ионосферном) волноводе, полупроводящими стенками кото-

рого являются поверхность Земли и нижняя граница ионосферы. Су-

ществуют частоты, при которых электромагнитное поле может

распространяться с минимальным затуханием (f = 8,6…12 кГц,

т.е. λ≈25…35 км), и критические частоты (около 3 кГц, т.е. λ ≈

100 км). Фазовая скорость электромагнитного поля в таком волноводе

нестабильна утром и вечером, когда изменяются значения величин

N и v. Это необходимо учитывать при работе радионавигационных

систем.

В диапазонах НЧ и ОНЧ поле изменяется мало в течение суток и

в течение года, нет его случайных изменений. Но полоса частот в

этих диапазонах мала.

В диапазонах НЧ и ОНЧ осуществляется телеграфная связь на

дальние расстояния, работают системы радионавигации.

9.6.4. Помехи радиоприему. Уравнение связи

Приемная антенна в точке р находится под воздействием элек-

тромагнитного поля полезного сигнала и внешних электромагнитных

полей мешающих сигналов (помех) искусственного происхождения,

возбуждаемых различными радиоэлектронными системами (взаим-

ные помехи), промышленными и бытовыми электрическими уста-

новками (индустриальные помехи). К помехам искусственного

происхождения относятся и организованные помехи, ухудшающие

условия работы радиоэлектронных средств противника. Помимо это-

го на антенну воздействуют электромагнитные излучения (шумы)

естественного происхождения: шумы вследствие тепловых потерь в

антенно-фидерном тракте и его элементах, тепловые шумы Земли и

ее атмосферы, шумы Галактики, Солнца, Луны, планет Солнечной

системы, «радиозвезд», шумы вследствие атмосферных помех.

Сама радиоприемная система имеет тепловые потери мощно-

сти. Вследствие этого появляется мощность шумов на выходе этой

системы.

Известно, что если R – «шумящее» сопротивление, то хаотиче-

ское тепловое движение свободных электронов приводит к появле-

нию ЭДС теплового шума. ЭДС, обусловленная тепловыми флукту-


185

ациями в «шумящем» сопротивлении R в полосе частот ∆f, вычис-

ляется по формуле Найквиста

Э2 = 4кБТ∆f,

где кБ = 1,38∙10–23

Дж/град – постоянная Больцмана, Т, К – температу-

ра сопротивления (в градусах Кельвина). Мощность шума, выделяе-

мая в согласованную с цепью нагрузку в полосе частот ∆f, равна

Р = kBT∆f .

Для оценки результата воздействия шумов на радиоприемную

систему используют параметры – коэффициент шума и эффек-

тивную шумовую температуру. Коэффициент шума показывает

во сколько раз отношение мощностей сигнала и шума на выходе че-

тырехполюсника меньше этого же отношения на его входе при про-

хождении через четырехполюсник сигнала от стандартного источни-

ка, т.е.

F = (Pc,вх / Pш,вх)/( Pc,вых/ Pш,вых).

Стандартным для оценки интенсивности шумов активного со-

противления называют источник, интенсивность Nш 0 шумов которого

при температуру То = 290 К постоянна и равна

Nш,о= kBTо=4 ∙10–21

Вт/Гц.

Основные источники атмосферных помех – грозовые разряды,

при которых импульсы тока возбуждают электромагнитное поле с

непрерывным спектром частот. Так как длительность импульсов то-

ка τ = 0,1 … 0,3 мс, то наибольшего значения амплитуда вектора aE

этого поля достигает в полосе частот от 300 до 104 Гц. Местные гро-

зы возбуждают электромагнитное поле, у которого fEa уменьша-

ется как f–l

при увеличении частоты.

Для характеристики атмосферных помех предложен параметр –

эффективный коэффициент помех. Он определяется отношением

ga = Pa/ kБT0∆f , где Ра – мощность помехи. Ее представляют в виде

Ра = kБTа∆f, где Та – шумовая температура атмосферных помех. Это

представление является приближенным, так как атмосферные помехи

узкополосны. Но в пределах эквивалентной полосы приемника спек-

тральную плотность помехи считают равномерной, поэтому ga=Ta/T0.

При работе электрические, электронные и радиотехнические

устройства различного назначения создают индустриальные радио-

помехи (ИРП), которые воздействуют на радиоприемные устройства,

телевизионные приемники, звукозаписывающую аппаратуру, элек-

тронно-вычислительные машины, медицинскую диагностическую


186

аппаратуру и другие чувствительные к электромагнитным полям

устройства.

ИРП делят на две группы: излучаемые и распространяющиеся

по проводам питания, заземления, коммутации. Параметрами первой

группы являются напряженность электрического или магнитного по-

ля, плотность потока мощности, полоса частот, а второй – напряжение

или ток, мощность, полоса частот.

На частотах f до 1 ГГц, как правило, ИРП характеризуются

напряженностью векторов электромагнитного поля, на частотах f ,

больших 1 ГГц – плотностью потока мощности.

Экранирующее влияние зданий на электромагнитное поле ИРП

зависит от материала и толщины стен зданий, площади окон. Счита-

ется, что здания уменьшают интенсивность ИРП приблизительно на

10 дБ.

Электромагнитное поле, создаваемое системами зажигания ав-

томобиля на расстоянии 10 м от него, имеет максимальное значение

на частоте 30 МГц. Среднее значение напряженности электрического

поля от автомобилей в группе составляет 10 дБ мкВ/м. ИРП по про-

водам распространяются на значительные расстояния.

ИРП подавляются техническими и организационными меропри-

ятиями. Подавление может быть осуществлено в источнике ИРП, на

пути распространения ИРП и в радиоприемном устройстве поме-

хоподавляющими устройствами или их элементами. К последним

относят дроссели, фильтры, конденсаторы. Основными методами по-

давления ИРП являются экранирование и фильтрация.

При энергетическом расчете радиолинии необходимо выбрать

мощность передатчика, тип поляризации электромагнитного поля,

параметры передающей и приемной антенн, параметры приемника и

длину волны такими, чтобы в условиях реальной радиотрассы обеспе-

чить необходимое качество связи. Для этого необходимо, чтобы Рс вх

≥ γ2 Рш вх где γ – коэффициент различимости. Задаваемое значение

последнего зависит от типа радиолинии. В телеграфии коэффициент

различимости может быть задан равным 1, а в телевизионной ра-

диолинии – γ ≥ 100.

Учитывая, что Рш,вх = kБ ∆fTmΣ , выразим значение Рс,вх для ре-

альной радиолинии. Учтем, что РΣ = PП ηΣ где РП – мощность, посту-

пающая на вход передающей антенны, ηΣ – КПД передающей антен-

ны.


187

Мощность сигнала, поступающего на вход приемника,

Рс,вх = Р0 пр ηА ηФ , тогда

mÁm

qpmïðmÏâõñ TfkpV

RÐÐ 22

2

., ,4

,

где εтΣ = ηΣ DΣ, εпр.т = ηA Dпр – коэффициенты усиления антенн при

заданном типе поляризации Электромагнитного поля. Тогда получаем

уравнение связи, которое имеет вид

22

.

2 4

m

qp

ômïðm

mÁÏ V

RfTkÐ

.

Таким образом, величина Рп , необходимая для качественного

приема информации, зависит от вида передаваемой информации (от

∆f, γ), от типа поляризации электромагнитного поля, шумовой тем-

пературы TmΣ, параметров антенн, длины волны и расстояния Rqp,

множителя влияния среды. Поскольку TmΣ, εтΣ, εпр.т и |Vm| зависят от

λ, то уравнение связи можно использовать для выбора оптимальной

длины волны или для решения других оптимизационных задач,

например для выбора типа поляризации.

9.6.5. Понятие об электромагнитной совместимости

радиоэлектронных средств

Радиочастотный спектр (РЧС) ограничен частотами электро-

магнитных колебаний от 3 кГц до 300 ГГц. Наиболее загруженными

его участками являются те, для которых освоена производством эле-

ментная база. Для работы каждого радиоэлектронного средства (РЭС)

необходима определенная полоса частот. В результате увеличения

числа РЭС проявился недостаток в организации их работы практиче-

ски во всей освоенной части радиочастотного спектра. Неравномер-

ность загрузки последнего обусловлена и особенностями распростра-

нения радиоволн. Наиболее перегруженными оказались ОВЧ-, ВЧ-

и частично СЧ-диапазоны.

Часто пространственная плотность размещения РЭС велика. В

районах крупных административных центров число РЭС может до-

стигать (50…60)∙103 , на самолетах – 25…30, на надводных кораблях


188

– 40 и более. Перегруженность и неравномерная загрузка освоенной

части радиочастотного спектра вынуждает использовать в РЭС близ-

кие рабочие частоты. Это повышает вероятность работы РЭС на сов-

падающих или близких частотах излучения и приема электромагнит-

ного поля. В результате порождаются взаимные непреднамеренные

помехи в работе РЭС. Изложенное является одной из основных

причин нарушения электромагнитной совместимости РЭС.

Под электромагнитной совместимостью (ЭМС) РЭС понимают

способность РЭС работать с требуемым качеством при воздействии

непреднамеренных помех и не создавать недопустимых помех дру-

гим РЭС. Оценка ЭМС РЭС требует системного подхода.

Различают задачи стратегические и локальные. Задачи стратеги-

ческого характера решают вопросы распределения полос радиочастот

между всеми радиослужбами. При этом устанавливаются границы

полос частот, распределяемых каждой радиослужбе, статус распреде-

ления, условия совместимости, в том числе основные нормы на пара-

метры радиоизлучений РЭС по радиослужбам.

Распределение полос радиочастот между радиослужбами в меж-

дународном масштабе происходит на компромиссной основе на все-

мирных административных радиоконференциях по пересмотру Ре-

гламента радиосвязи. Таблица распределения частот между радио-

службами является одним из важнейших компонентов международ-

ного регламента радиосвязи. Полосы частот внутри стран распреде-

ляются с учетом или в полном соответствии с таблицей.

Задачи локального характера объединяют широкий круг кон-

кретных задач ЭМС: разработка и серийный выпуск РЭС, при этом

системные требования к РЭС определены при решении стратегиче-

ских задач, разработчик определяет «внутренние» параметры РЭС,

обеспечивающие выполнение системных требований к ЭМС; проек-

тирование и организация работы линий и сетей радиосвязи (приме-

няются технические и организационные методы); организация груп-

пы РЭС, размещаемых на одном объекте (воздушном или морском

судне, на радиоцентре и др.). Размещение в непосредственной близо-

сти друг от друга многих РЭС приводит к их взаимодействию через

общие цепи электропитания, через антенны, корпус РЭС и т.п. При

этом проявляются помехи радиоприему вследствие индустриальных

помех, побочных каналов приема, шумовых излучений и т.д.


189


1. Запишите и поясните формулу идеальной передачи для ра-

диолинии.

2. Что такое зоны Френеля и как они образуются?

3. Сформулируйте понятие области, существенным образом вли-

яющей на распространение радиоволн.

4. Запишите и поясните выражение для расчета мощности сигна-

ла на входе радиоприемного устройства.

5. Сформулируйте и поясните физический смысл критерия

Релея.

6. Поясните явление усиления препятствием.

7. Дайте определение понятия «ионосфера». Как она образуется?

8. Запишите и поясните закон секанса.

9. Поясните, каким образом магнитное поле Земли влияет на рас-

пространение радиоволн в ионосфере.

10. Когда используется интерференциальная формула?

11. При каких условиях возникает сверхрефракция?

12. Может ли быть рефракция отрицательной?


190

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ

И РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Петров, Б.М. Электродинамика и распространение радиоволн:

учебник для вузов / Б.М. Петров. –2-е изд.–М: Горячая линия – Теле-

ком, 2007. – 558 с.

2. Неганов, В.А. Электродинамика и распространение радио-

волн: учеб. пособие для вузов / В.А. Неганов, О.В. Осипов, С.В. Раев-

ский, Г.П. Яровой; под ред. В.А Неганова., С.В.Раевского. – М.: Ра-

дио и связь, 2007.–743 с.

3. Морозов, А.В. Электродинамика и распространение радио-

волн: учебник для вузов / А.В.Морозов, А.Н. Нырцов, Н.П. Шмаков. –

М.: Радиотехника, 2007. – 408 с.

4. Кугушев, А.М. Основы радиоэлектроники. Электродинамика

и распространение радиоволн: учеб. пособие для вузов/ А.М Кугу-

шев, Н.С. Голубева, В.Н. Митрохин.– М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Ба-

умана, 2001.– 367 с.

5. Баскаков, С.И. Электродинамика и распространение радио-

волн: учеб. пособие для вузов /С.И. Баскаков. – М.: Высш. шк.,1992.–

415 с.

6. Бессонов, Л.А. Теоретические основы электротехники. Элек-

тромагнитное поле: учеб. для вузов/ Л.А.Бессонов. – М.: Гардарики,

2003. – 316 с.

7. Баскаков, С.И. Сборник задач по курсу «Электродинамика и

распространение радиоволн»/С.И. Баскаков, В.Г. Карташев, Г.Д. Ло-

бов. – М.: Высш. шк.,1981.–208 с.

8. Потапов, Л.А. Электродинамика и распространение радио-

волн: сборник задач / Л.А.Потапов. – Брянск: БГТУ, 2009. – 196 с.


191

ПРИЛОЖЕНИЯ


192

Приложение 1

Распространение радиоволн в анизотропной среде

Некоторые материальные среды обладают анизотропией элек-

тромагнитных свойств, вследствие этого материальные уравнения

таких сред в самом общем виде имеют вид

,~,~ HBED aa

где a~ и a

~ – тензоры абсолютной диэлектрической и абсолютной

магнитной проницаемостей соответственно. В частных случаях мо-

жет проявляться только электрическая или только магнитная анизо-

тропия. Одним их таких анизотропных материалов является намаг-

ниченный феррит, применяющийся при конструировании волновод-

ных СВЧ-устройств.

Рассмотрим случай, когда в однородной бесконечно протяжен-

ной ферритовой среде помимо постоянного магнитного поля с векто-

ром напряженности 0H существует высокочастотное магнитное по-

ле 1H , гармонически изменяющееся во времени с частотой ω. При-

няв, что вектор 0H ориентирован вдоль оси z, запишем суммарное

магнитное поле 10 HiHH z .

Если феррит находится в режиме насыщения, то соответствую-

щий вектор намагниченности будет иметь вид 1MiMM zs , где

1M – переменная составляющая вектора намагниченности, обуслов-

ленная высокочастотной составляющей магнитного поля.

Связь между векторами 1H и 1M можно получить на основе

уравнения движения вектора намагниченности

00 HMdt

Md .

В комплексной форме это уравнение эквивалентно двум уравнениям:

ysypx HMMj 111 , xsxpy HMMj 111

, где

ωр=μоγНо – частота ферромагнитного резонанса (частота свободной

прецессии вектора намагниченности феррита); ωs=μоγMs – вспомога-

тельный расчетный параметр.

Если проекции переменного магнитного вектора xH1 и yH1

тем

или иным образом заданы, то решение этой системы имеет следую-

щий вид:


193

y

p

sx

p

spx HjHM 1221221

,

y

p

spx

p

sy HH

jM 1221221

.

Безразмерные коэффициенты в правых частях этих равенств

по своему физическому смыслу соответствуют магнитной восприим-

чивости. Используя обозначения

,;2222p

sM

p

spM kk

запишем полную систему уравнений, связывающих между собой

проекции высокочастотного магнитного поля 1H и высокочастотной

намагниченности 1M возбуждаемой этим полем:

zyMxMx HHkjHkM 1111 0 ,

zyMxMy HHkHkjM 1111 0 ,

zyxz HHHM 1111 000 .

Эта система уравнений дает возможность образовать таблицу

из девяти чисел (отличными от нуля оказываются лишь четыре)

000

0

0~

MM

MM

M kkj

kjk

k ,

которую называют тензором магнитной восприимчивости намагни-

ченного феррита. С математической точки зрения таблица представ-

ляет собой матрицу: закон образования декартовых проекций векто-

ра 1M соответствует обычным правилам умножения матрицы Mk~

на

вектор-столбец 1H

Воспользовавшись введенным определением намагниченности,

можно выразить вектор высокочастотной магнитной индукции 1B че-

рез напряженность магнитного поля 1H и намагниченность 1M :

1101 MHB .


194

Учитывая, что комплексные амплитуды 1M и 1H связаны между

собой тензором магнитной восприимчивости Mk

, можно записать в

тензорном виде

101~ HB ,

где ~ – тензор относительной магнитной проницаемости намагничен-

ного феррита, представляемый следующей матрицей:

100

0

0

~

j

j

.

Связь между компонентами обоих тензоров такова:

μ = 1– kM; μ' = k'M.

Материальные среды с тензором магнитной проницаемости

данного вида называют гиротропными средами. Данный термин

подчеркивает связь механизма возникновения анизотропии магнит-

ных свойств с прецессией вектора намагниченности. В литературе

тензор этого вида часто называют тензором Полдера.

Коэффициент фазы данной волны

2

0

a

определяется числовыми значениями компонентов тензора Полдера.

Такая волна помимо поперечной составляющей магнитного вектора с

проекцией yH имеет продольную составляющую с проекцией xH , по-

этому является волной Н-типа. Ее принято называть необыкновенной

волной.

Фазовые скорости обыкновенной и необыкновенной волн в об-

щем случае различны, что приводит к различным волновым процес-

сам в гиротропной среде. Примем, что на слой намагниченного фер-

рита толщиной l из вакуума падает плоская электромагнитная волна в

направлении, перпендикулярном направлению подмагничивающего

поля. Если плоскость поляризации волны ориентирована произволь-

ным образом, то в общем случае вектор E падающей волны имеет

составляющую 1E , перпендикулярную подмагничивающему полю и

составляющую 2E , направленную вдоль вектора 0H . Cоставляющая

1E возбуждает в феррите обыкновенную, а составляющая 2E – не-

обыкновенную волну. Фазовые скорости этих двух пространственно-


195

ортогональных волн различны, поэтому в полупространстве за пла-

стиной обыкновенная и необыкновенная волны оказываются сдвину-

тыми по фазе. Складываясь, эти две волны образуют однородную

плоскую волну с вращающейся эллиптической поляризацией. В част-

ном случае, когда фазовый сдвиг составляет 90°, а амплитуды обеих

волн равны, поляризация прошедшей волны будет круговой.

Описанное явление преобразования поляризационных характе-

ристик плоской волны в слое гиротропной среды при поперечном

распространении получило название эффекта Коттон – Мутона.

При продольном распространении волн в намагниченном фер-

рите существуют две независимые моды:

1) поляризованная по кругу волна с левым направлением вра-

щения, у которой 00 xy HjH и коэффициент фазы

фл ;

2) аналогичная волна с правым направлением вращения, у ко-

торой 00 xy HjH и коэффициенты фазы

фпр .

При суммировании этих волн получается линейно поляризо-

ванная волна, у которой плоскость поляризации поворачивается по

мере прохождению по ферриту на угол 2

ll лпр ,

где l – расстояние вдоль распространения волны.

Явление поворота плоскости поляризации электромагнитной

волны в гиротропнои среде при ее распространении вдоль постоянно-

го подмагничивающего поля называют эффектом Фарадея.

Особенностью процесса продольного распространения элек-

тромагнитных волн в намагниченном феррите является невзаим-

ный характер поворота плоскости поляризации. Дело в том, что

знак угла φ(l)будет одним и тем же для волн, распространяющихся

в противоположных направлениях, поскольку правополяризованная

прямая волна полностью эквивалентна левополяризованной обрат-

ной и наоборот. Таким образом, если, например, вектор E при рас-

пространении вдоль подмагничивающего поля поворачивается про-

тив движения стрелки часов, то при обратном распространении этот

вектор будет поворачиваться в таком же самом направлении.


196

Приложение 2

Уравнения векторного анализа в сферической

и цилиндрической системе координат

В сферической системе координат

.sin

1sin

sin

11

;11

;1

sin

1

;sinsin

1

;sin

1sin

sin

11

;sin

;cos,sinsin,cossin

2

2

222

2

2

2

2

rrrr

rr

A

rr

rA

rArot

r

rA

r

A

rArot

AA

rArot

A

rA

rAr

rrAdiv

r

e

r

e

regrad

rzryrx

r

r

r

r

r

В цилиндрической системе координат

.11

;11

;

;1

;11

;

;,sin,cos

2

2

2

2

2 zrrr

rr

A

rrA

rrArot

r

A

z

AArot

z

AA

rArot

z

AA

rrA

rrAdiv

ze

r

e

regrad

zzryrx

rz

zr

zr

zr

zr


197

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ

ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ…......................................................................4

1.1. Векторы электромагнитного поля……………………………4

1.2. Уравнения Максвелла…………………………………………8

1.3. Энергия электромагнитного поля………………………...…11

Вопросы для самопроверки………………………………………14

ГЛАВА 2. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ…...………………..15

2.1.Основные определения………………...…………………..…15

2.2. Граничные условия………………..…………………………18

2.3. Теорема единственности решения………..……………..….22

2.4. Графический метод построения картины

плоскопараллельного поля………………………………………….….22

2.5. Метод зеркальных изображений………..………….………..24

2.6. Определение потенциала по заданному распределению

заряда. Принцип суперпозиции…………………….…………………25

2.7. Потенциал и напряженность электрического поля

диполя……………………………………………………………………27

2.8. Энергия электростатического поля…………………...….....28


ГЛАВА 3. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ И МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ……………………………………………..32

3.1 Электрическое поле постоянных токов……………………...32

3.2. Аналогия электрического поля в проводящей среде

с электростатическим полем………………………………..…............33

3.3. Магнитное поле постоянных токов…………………...….....36

3.4. Векторный потенциал магнитного поля ………………..….38

3.5. Граничные условия на поверхности раздела двух сред

с различными магнитными проницаемостями ……...………............40

3.6. Поле прямого провода (прямолинейного тока) …………....42

3.7. Графический метод построения картины поля …………....45

3.8. Магнитное экранирование …………………………………..46

3.9. Магнитная энергия постоянного тока …………………...…47


ГЛАВА 4. ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ…...49

4.1. Уравнения Максвелла в комплексной форме………………49

4.2. Волновые уравнения…………………………..……………..51


198

4.3. Лемма Лоренца. Теорема (принцип) взаимности…………..53

4.4. Принцип перестановочной двойственности………………..58

4.5. Основные методы решения задач электродинамики………58

4.5.1 Формулировка задач электродинамики……………..59

4.5.2 Точные методы решения………………………………..59

4.5.3 Приближенные методы решения…………………...61


ГЛАВА 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ…...........65

5.1. Плоские волны в вакууме……………………………………65

5.2. Плоские волны в проводящей среде………………………...69

5.3. Плоские электромагнитные волны в изотропных

поглощающих средах…………………………………………………...73

5.4. Экранирование и высокочастотный нагрев

металлических деталей и несовершенных диэлектриков……………77


ГЛАВА 6. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН…………………………………..79

6.1. Переход плоской линейно поляризованной волны из

одной среды в другую при нормальном падении………………………...79

6.2. Наклонное падение плоской линейно поляризованной

волны на границу раздела двух диэлектриков……………………...81

6.3. Полное преломление (отсутствие отраженной волны)

и полное отражение (отсутствие преломленной волны) …………...83

6.4. Дифракция электромагнитных волн………………………..86

6.5. Устранение отражения электромагнитных волн ………..88


ГЛАВА 7. НАПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ………………………..90

7. 1 Волноводы……………………………………………………..90

7.2. Линии передачи с волнами типа Т………………………97

7.3. Аналогия между волноводом и линией

с распределенными параметрами…………………………………..103

7.4. Замедляющие структуры………………………………….105

7.5. Объемные резонаторы…………………………………………107

Вопросы для самопроверки……………………………………..114

ГЛАВА 8. ВОЗБУЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН..115

8.1 Уравнения Максвелла для области, содержащей источники.

Неоднородные волновые уравнения…………………………………115

8.2 Электродинамические потенциалы………………………...116


199

8.3 Запаздывающие электродинамические потенциалы………117

8.4 Элементарный электрический излучатель…………………120

8.5 Исследование поля электрического диполя………………..123

8.6 Элементарный магнитный излучатель……………………..127

8.7 Элемент Гюйгенса…………………………………………...130

8.8. Способы возбуждения полей в волноводах……………….131

8.9. Интерференция и дифракция электромагнитных волн…...133

Вопросы для самопроверки……………………………………..135

ГЛАВА 9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН………………..136

9.1. Краткая характеристика радиотрасс……………………….136

9.2. Излучение электромагнитных волн в свободное

пространство…………………………………………………………..138

9.3. Распространение электромагнитных волн вблизи

поверхности Земли…………………………………………………….148

9.3.1. Поле излучателя, поднятого над плоской

поверхностью (первая модель)……………………...……151

9.3.2. Поле излучателя, поднятого над сферической

поверхностью (вторая модель)…………………………….154

9.3.3. Поле вертикального электрического вибратора,

расположенного вблизи земной поверхности……………155

9.3.4. Поле в зоне тени (третья модель)………………….159

9.4. Тропосферные волны……………………………………….160

9.4.1. Диэлектрическая проницаемость и показатель

преломления тропосферы………………………………...160

9.4.2. Рефракция электромагнитного поля в

тропосфере………………………………………………….163

9.4.3. Дальнее тропосферное распространение радиоволн166

9.4.4. Затухание радиоволн в тропосфере………………..168

9.5. Ионосферная волна…………………………………………..169

9.5.1. Строение ионосферы………………………………..170

9.5.2. Электрические параметры ионосферы……………..171

9.5.3. Условия распространения волн в ионосфере……..174

9.5.4. Траектории радиоволн в ионосфере без учета

влияния магнитного поля Земли…………………………175

9.5.5. Влияние магнитного поля Земли на

распространение радиоволн в ионосфере………………...178

9.6. Особенности распространения радиоволн различных

диапазонов……………………………………………………………..180


200

9.6.1. Распространения волн ОВЧ–ГВЧ-диапазонов…….179

9.6.2. Особенности распространения волн ВЧ-диапазона 181

9.6.3. Особенности распространения волн СЧ-, НЧ- и

ОНЧ-диапазонов……………………………………………183

9.6.4. Помехи радиоприему. Уравнение связи…………...184

9.6.5. Понятие об электромагнитной совместимости

радиоэлектронных средств………………………………..187

Вопросы для самопроверки…………………………………….189

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ И РЕКОМЕНДУЕМОЙ

ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………….....190

ПРИЛОЖЕНИЯ……………………………………………………...191


Documents

748.электродинамика и распространение радиоволн учебное пособие