Teorema 7.6

La sucesión de vectores (x (R )) converge a Rn respecto a ‖∙‖, si y sólo si limk→∞

xk , x i para cada

i=1 ,2. . . .n.

Demostración. Suponiendo que (x (R )) converge en x respecto a ‖ ‖. Dado cualquier ∙ ∈>0 ,existe un entero N (∈ ) tal que para toda k>N (∈ ) ,

maxi=1 ,2 .. .. n

|xk−x|=‖xk−x‖<∈

Este resultado implica que ‖xk−x‖<∈, para cada i=1 ,2. . . .n , de modo que para cada

i , limk→∞

x ik=x

Por el contrario, suponga que limk→∞

x ik=x i para cada i=1 ,2. . . .n. Para cualquier valor ∈>0 , sea

N i (e ) , para cada i, la representación de un entero con la propiedad de

‖xk−x‖<∈iEsto implica que xk converge a x con respecto a ‖∙‖.

Definiendo N (∈ )= maxi=1 ,2 .. ..n

N i (e ) , si k>N (∈ ) , entonces

max¿1 , 2. .. .n

|xik−xi|=‖xk−x‖<∈ ,

Lo que implica que (x (R )) converge a x con respecto a ‖∙‖

Teorema 7.7

Para todo x ϵ R ' ' .

‖x‖∞≤‖x‖2≤√n‖x‖∞'

Demostración. Sea xs la coordenada tal que ‖x‖∞=max❑

‖xk‖=‖xs‖. Entonces

‖x‖2=|xs|2=xs

2≤∑s−1

n

xs2=‖x‖2

2 ,

por tanto

‖x‖∞≤‖x‖2,

y

‖x‖22∑s−1

n

xs2≤∑

s−1

n

xs2=n xs

2=nx∞'2

por tanto ‖x‖2≤√n‖x‖∞ ,

Definición 7.8

Una norma matricial sobre el conjunto de todas las matrices de n x n es una función de valor real, ‖ ‖, definida en ese conjunto y que satisface para todas las matrices A y B de n X n y todos los ∙números reales α:

(i) ‖A‖≥0(ii) ‖A‖=0,(iii) ‖αA‖=‖α‖‖A‖(iv) ‖A+B‖≤‖A‖+‖B‖(v) ‖AB‖≤‖A‖‖B‖

La distancia entre las matrices A y B de n x n respecto a esta norma matricial es ‖A−B‖.