Neprekidna sluajna promenljiva

NORMALNA GAUSOVA RASPODELA

Ova raspodela zauzima centralno mesto u teoriji verovatnoe i njenim primenama.

Nosi naziv po nemakom nauniku Karlu Friederichu Gausssu (1777-1855).

Normalnu raspodelu prvi je prouavao francuski matematiar i svetenik Abraham de Moivre (1667-1754).

Osnovna Gausova zasluga je otkrie da se sluajne greke raznih merenja mogu predstaviti normalnom raspodelom.

Pri ponavljanju merenja jednog istog objekta, istim aparatom sa istom preciznou ne dobijaju se uvek isti tezultati, jer na rezultate merenja utiu

sluajni faktori koji se ne mogu kontrolisati i koji variraju od jednog merenja do drugog.

Sluajne promenljive, koje se pojavljuju u vezi sa merenjima i eksperimentima imaju normalnu raspodelu.

Ako neka sluajna promenljiva nema normalnu raspodelu moe se transformisati na normalnu sluajnu promenljivu relativno jednostavnim transformacijama.

Neke sloene raspodele mogu se aproksimirati normalnom raspodelom.

Normalna ili Gausova raspodela

Neka je X sluajna promenljiva, i ako je funkcija gustine

odnosno funkcija raspodele

onda sluajna promenljiva ima normalnu ili Gausovu raspodelu

( )( )

( )2

221 , , ; ,2

x

f x e x R

= +

( )( )

( )2

221 , ,2

xx

x e dx x

= +

( )2,X N

Moe se dokazati da je

Znai Gausova raspodela je raspodela sa centrom u E(x) i standardnim odstupanjem koren iz D(x) .

( )( )

( ) ( )( )

2

2

2

2

2

2 22

12

12

x

x

E X x e dx

D X x e dx

+

+

= =

= =

1.Funkcija f(x) je definisana za sve realne brojeve

2.

3.Krive gustine su simetrine u odnosu na pravu

4.

5. U taki dobijamo

( ) 0f x

x =

( ) ( )lim lim 0x x

f x f x+

= =

( )max12

f

=

x =

+

x

( )f x

Ukoliko je manje standardno odstupanje , utoliko je veakoncentracija verovatnoa oko oekivane vrednosti sluajne promenljive X.

2 =

12

=

1 =

Definicija: Ako je E(X)=0, a D(X)=1 , tada se normalna raspodela zove

standardna raspodela. Funkcija gustine postaje

Oznaka za standardnu raspodelu je N(0,1), a sluajna promenljiva sa ovom raspodelom obino se obeleava sa Z, Z~N(0,1)

.

( ) ( )2

21 , ,2

x

f x e x

= +

( )2

212

x t

x e dt

=

Funkcija raspodele ima sledee osobine:

1.

2.

3.

4.

( ) ( )1, 0 + = =

( ) ( )1x x =

( ) ( ) ( )P a X b b a< < =

( )0 0,5 =

( )x

0.5

1

Funkcija gustine: Nema primitivnu funkciju u skupu elementarnih funkcija. Definisana je nesvojstvenim integralom, ije vrednosti mogu da se

odrede samo numerikom inregracijom. Za praktina izraunavanja vrednosti funkcije raspodele standardne

raspodele iskljuivo se koristi tablica priblinih vrednosti funkcije.

Ako sluajna promenljiva X ima normalnu raspodelu , onda sluajna promenljiva Z ima standardnu normalnu raspodelu

( ) ( )2: , : 0,1 , XX N Z N Z

=

Normalna raspodela

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .5359

0.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .5754

0.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 6026 .6064 .6103 .6141

0.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 6480 .6517

0.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .6879

0.5 .6915 .6950 .6985 .7019 7054 .7088 .7123 .7157 .7190 7224

0.6 .7258 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7518 7549

0.7 .7580 .7612 .7642 .7673 .7704 .7734 .7764 .7794 .7823 .7852

0.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7996 .8023 .8051 .8078 .8106 .8133

0.9 .8159 8186 .8212 .8238 .8264 .8289 .8315 .8340 .8365 8389

1.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .8621

1.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .8830

1.2 .8849 .8869 .8888 .8907 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .9015

1.3 .9032 .9049 9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .9177

1.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9279 .9292 9306 .9319

1.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .9441

1.6 9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .9545

1.7 .9554 .9564 9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .9633

1.8 .9641 .9649 9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .9706

1.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .9767

2.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .9817

2.1 .9821 .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 9846 9850 .9854 .9857

z tablica za standardnu normalnu raspodelu nalazimo da je

Ovo znai da moemo oekivati da e veliki broj vrednosti sluajne promenljive X biti raspodeljen na sledei nain:

Oko68% svih vrednosti nai e u intervalu Oko 95% svih vrednosti nai e u intervalu Oko 99% svih vrednosti nai e u intervalu Poslednji rezultat znai da e se skoro sve vrednosti sluajne promenljive nai u

treem intervalu . Ova osobina normalne raspodele poznata je pod nazivom 3 sigme. Ovo znai da e se u ovom intervalu skoncentrisati skoro sva masa verovatnoa. Tako na primeru, ako na pakovanju nekog proizvoda pie da je teina 1kg+-10g, to

znai da je teina proizvoda normalna sluajna promenljiva sa

Pravilo tri sigme omoguava da se otkriju grube greke merenja. Podaci koji nisu u treem opsegu su najverovatnije pogreni.

( )( )( )

0,68

2 2 0,955

3 3 0,997

X

X

X

< < + =

< < + =

< < + =

, +

2 , 2 +3 , 3 +

2 3 3 +2 + +

x

( )f x

68%

95%99%

1013

kg i g = =

Primer: Izraunati ako je N(0,1) ( )3,23P X

Primer:

Izraunati ako je N(0,1) ( )3,23P X

( ) ( )3,23 3,23 0,999381P X = =

3,230 x

( )f x

Primer: Izraunati ako je N(0,1)( )2 9P X

Primer: Izraunati ako je N(0,1)( )2 9P X

( ) ( ) ( )( ) ( )2 9 9 2

1 2 1 0,9772 0,0228

P X = =

= =

20 9 x

( )f x

Primer: Izraunati P(X

Primer: Izraunati P(X

Predpostavimo da telesne teine 800 studenata imaju normalnu raspodelu, sasrednjom teinom

Nai broj studenata ija je teinaa)izmeu 65 i 75 kg,

66 5kg i kg = =

( ) ( )~ 65,25 , ~ 0,1X N Z N

Predpostavimo da telesne teine 800 studenata imaju normalnu raspodelu, sasrednjom teinom

Nai broj studenata ija je teinaa)izmeu 65 i 75 kg,

66 5kg i kg = =

( ) ( )~ 65,25 , ~ 0,1X N Z N

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

65 66 75 6665 75 0,2 0,85 5

0,8 0,2 0,8 1 0,2 0,3674

800 0,3674 294

P X P X P X

n

< < = < < = < < =

= =

= =

b) vea od 72kg.

( ) ( )72 6672 1,2 0,11515

800 0,1151 92

P X P X P X

n

> = > = > =

= =

APROKSIMACIJE BINOMNE RASPODELE

Ako sluajna promenljiva X ima binomnu raspodelu sa parametrima n i p, kod koje je np>=10 , bez velike greke aproksimacija se vri normalnom raspodelom i to:

( ) ( )1 , X npP X k Z Znpq npq

= =

( ) a np b npP a X b P Znpq npq

Primer:Nai verovatnou dobijanja izmeu 30 i 60 glava u 100 bacanja novia.

Kako je np=50>10, vrimo aproksimaciju binomnom rapodelom

( ) ( )( )

( )60

40

30

100, 0,5, 0,5

: 100;0,5

10030 60 0,5 0,5k k

k

n p P A q P A

X B

P Xk

=

= = = = =

=

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

30 50 60 5030 60 4 2100 0,5 0,5 100 0,5 0,5

2 4 2 1 4 0,97725 1 1 0,97725

X npP X P P Znpq

= = =

= + = + =

RASPODELA

Neka su X1,X2,,Xn neprekidne sluajne promenljive sa N(0,1) ------ standardnom normalnom raspodelom .

Zbir njihovih kvadrata definie sluajnu promenljivu koja ima raspodelu sa k=n-1 stepena slobode.

Funkcija gustine kod raspodele zavisi samo od stepena slobode i ona je Ojerova gama funkcija, (X) , to prevazilazi elementarna znanja ovog kursa.

2

2 2 2 21 2 nX X X = + + +

2

Grafik funkcije gustine za tri vrednosti stepena slobode k=2,6,10Funkcija gustine ima sledee osobine:

Asimetrina Sa poveanjem broja k transformoe se u Posonovu raspodelu Kada je k dovoljno veliki broj raspodela se asimptotski pribliava

normalnoj. Matematiko oekivanje jeE(X)=k, Disperzija

x

( )f x2k =

6k = 10k =

( )2 2X k =

Za izraunavanje vrednosti ove raspodele koriste se tablice koje za dati stepen slobode, obino 1,2,....30 i dati broj , obino 0,01; 0,05, itamo vrednosti , takve da je

Grafik predstavlja funkciju gustine, a osenena povrina verovatnou koja predstavlja osenenu povrinu sa slike.

Ova raspodela se koristi za odreivanje intervala poverenja disperzije, za testiranje saglasnosti varijansi i sl.

( )2 2, 1kP < =

x

( )f x

2,p k

STUDENTOVA RASPODELA

Neka su X1,X2,....,X3, neprekidne sluajne promenljive sa standardnom normalnom raspodelom N(0,1) , ali ija funkcija gustine sadri parametar k koji se naziva broj stepena slobode.

U ovom sluaju se definie sluajna promenljiva

procena nepoznate disperzije .

2,X Zt s

n k

= =

1

1 ,n

kk

X Xn =

= ( )2

1

11

n

kk

s X Xn =

=

Za odreeni stepen slobode v i verovatnou p na osnovu tablica se izraunava pozitivna vrednost , tako da je

Grafik predstavlja funkciju gustine, a osenena povrina verovatnou p za koju vai da je jednostrai interval ili , ako je u pitanju dvostrani interval

pt ( )pP t t p< =

pt

x

( )f x

( )pP t t p< =

( )pP t t p< =

( )pP t t p< =

Za veliko n, odnosno za n>30, t -raspodela se aproksimira sa normalnom.

Studentova raspodela se koristi u testiranju srednjih vrednosti, definisanju intervala poverenja ocene srednih vrednosti, oceni grubih greaka u uzorku i sl.

Napomena: Ovu raspodelu otkrio je poetkom dvadesetog veka Vilijam Goset koji je radio u pivari, pa je svoje radove izdavao pod pseudonimo student.

( )0,1N

x

( )f x

5,10,15v =

Neprekidna sluajna promenljivaNORMALNA GAUSOVA RASPODELASlide Number 2Slide Number 3Normalna ili Gausova raspodelaSlide Number 5Slide Number 6Slide Number 7Slide Number 8Slide Number 9Slide Number 10Slide Number 11Slide Number 12Slide Number 13Slide Number 14Slide Number 15Slide Number 16Slide Number 17Slide Number 18Slide Number 19Slide Number 20Slide Number 21APROKSIMACIJE BINOMNE RASPODELESlide Number 23 RASPODELA Slide Number 25Slide Number 26STUDENTOVA RASPODELA Slide Number 28Slide Number 29