Upload
perathorn-pooksombat
View
548
Download
20
Embed Size (px)
Citation preview
SHORTLIST TMO 7th . ������
�����������
1. (�����) � ������ ���������� n ���� np ���� �������������� n �!�
nr ���
�"#������� 2n �$�% 8 ���"#�������2
20101
1
np
n
n
r−
=∑ �$�% 17
2. (���)�!��) ��*���+ 2 3 100( , ,..., )a a a ��, � 13
na n n= −
3. (����.) .$� n > 1 �01�� �������� �2�3��4�� ( )
1
|n
n
i
n iφ
=
/∑ (COOL!)
4. (����*����,�) :�$ p �01�� ��������� �!� ���� !n
pa n
n= + � �������!�
n =1,2,..,p-1 �+�2�3��4�� p ��� 1 2 1 ...
pa a a
p p p
− + + +
!+���
5. (0@�����) :�$ m �01�� ���������� �2�3��4����� ���������� n �01������4 BC +
2553 | (2010 543 )m n n+
�������
1. (�����) :�$ ABC �01������!� %���$��� ��� �� AB =AC F�%�� D,E �%3���$�� AB,AC
���! ���� BC +� �:�$ CDE ABC=� � �� D !� DF ���� BC ��� AC �� F �!��� E !�
EG ���� BC ��� AB �� G �2�3��4�� 2 ( )( )DE BG EF=
2. (�)�!��KL���) :�$ ABC �01������!� %��� �� D �01��)����$�� BC �� � �:�$ 1
2BD CD=
�2�3��4�� 2 2 2 21 22
3 3AD c b a
= + −
(EASY)
3. (����.) :�$ ABC �01������!� %��)���!��� �� CD �01�����3+ E,F �01��)��� AD,BC
���! ���� F�% 15ECA BAF= = �� � :�$ AF ��� CE, CD �� G,H ���! ���� F�% AEH �!�
GFC �01������!� %���$��� ��� ���)�%���� E,G ���! ���� ��*� [ ]
[ ]
EDH
BCD
4. (��2�!�2�%��)��P4) :�$ ABCD �01��� ��!� %��� ��$���%+�)���Q+���� F�% AB > BC �!�
90B D= = �� � :�$�+!� O ���:��� ��!� %� ABCD F�% M,N ���T�� AB,BC ���! ���� �!�
:�$ C �01��)�"3�%4!�+�+!��� �� AB,AD �01���$����T�� ��$�+�30�� ��!� %� ' ' 'AB C D :�$
*!$�%�� ABCD F�%���+!� C ���:��� ��!� %� ' ' 'AB C D �!� 'N �01��)����T���$��
' 'B C .$� 'MN ������ 'AC ��*� ABBC
5. (����.) :�$ ABC �01������!� %��)���!��� �� AB > AC �!� D �01��)��� BC �� ��+��
C BC + AC= AD :�$ H �01� orthocenter ��+�����!� %� ABC , ', 'AA BB �01�����3+
��+�����!� %� ABC , DH ��� AC �!� ' 'A B �� E,F ���! ���� �!� G �01��)������+ AF
�� BH �2�3��4�� CE= DT ��, � T *,��)������+ GE �� AD (COOL!)
Combinatorics ( ��,�-��./��/0-�1�23 !)
1. (�!�%!�#P4) ��K���+2� 200 ��� �$�+����+�+2���, �:K$��%:� 4 ��� F�%����� 1 �!� 2 �$�+
��%����� 100 ������� F�%��:K$�+2���!���� �$�+��%�01�� ����������� �!�]�
� ��01��$�+��%�)��� .$��+2���!,�����:K$��%��Q+ 4 ��� �$�+� ��+2�]0^�L��*�� ��
� �����2L���+�+2���+��K����+, ��]���+!��
2. (�K�%+:��) lattice point :� 2 �2�2 *,�*3�������� �����K2�01�� �������� .$��)� lattice ��
��+���� 5 �)� �2�3��4���� 2 �)� BC +���)�C +!�+�01� lattice ( EASY)
3. (��2�!�2�%��)��P4) :�$ {( , , , , ) | , , , , , 12}S a b c d e a b c d e abcde a b c d e= ∈ ≤ + + + + ≤�
��� �������K2��+ S
4. (�K�%+:��) ��� ����T!��!%�� �01�� ������������+���� 2
1 2 3 1 2( )( ) 252x x x y y+ + + =
5. (0@�����) :���+�����!�Q%+0!���%+�� ��!30!� 6 K�2� 0!���!�K�2���]�� ��� 50 ���
��%:���+�%�+�2��� .$���0!��CQ����$�%��2+ ��, �:�.)+��% F�%��!�.)+]��2� 15 ���
F�%������!�*��Q+ �$�+��0!���!�K�2��2��%3:���2+�)�!� ��!�K�2�]��2� 3��� ��
� �����2L���0!��CQ���:�$]�$� ����0!��01�� ���������
6. (0@�����) ����:�$ {2010,2011,.., 2553}A = ��� �������K2:� A �� ����$�%� ����
������� �$�%�� 10 !+���
7. (���)�!��) ���� ISBN � �!�+ *,� �����!�d�� 7 :��30���1 2 3 1 2 3 x x x x x x � ����� i=
1,2,3 �$�+���*!$�+�� 1 2 36 (mod7)x x x+ ≡ ��� �������� ISBN � �!�+��Q+�����
���*!$�+���+, ��]���+!��
8. (�����) ���� {( , , , ) | , , , {1, 2,..,53} ,b-a 1,c-b 2, -c 3}S a b c d a b c d d= ∈ ≥ ≥ ≥ ��
� �������K2��+ S
9. (�����) ����
2 2 2
53 53 53(1 ) (2 ) ... 53
1 2 53
53 53 53(1) (2) ... 53
1 2 53
A
B
= + + +
= + + +
.$� 2nA B k− = ⋅ ��� ������� �����
10. ("2!0��) ��� ����f@+4K��]�!��!��� �.C+ 1 2 100:{ , ,.. } {0,1,5,10,20}f a a a →
(nondecreasing + onto) F�% 100
1
( ) 100i
i
f a=
=∑
11. (���:�k) :�$ p �01�� ���������*� �� k �$�%�)��� ��, ��)��!,�� �������� k ��� ���� 2
� ����BC +��T!����,�T!��+����$�% p !+�������
Algebra/ Functional equation/ Inequalities
1. (���)�!��) .$� , ,α β γ �01������� 3 23 2556 2553 0x x x− + − = ��*���+5 5 5( 1) ( 1) ( 1)
( 1)( 1)( 1)
α β γα β γ− + − + −
− − −
2. (���)�!��) ��� ���������� n �!�� ������2+ r ��Q+����� � �:�$ ( 1)nx r+ − ����$�%22 2 1x x+ + !+���
3. ("2!0��) ����:�$���)����+���� 17 1619 ... 35 0x x− + − = �01�� �������� ��
����Q+�����+����
4. (����.) ����� ������2+ a �!� 3{ | 2553 sin 0}aS x R x x a= ∈ − − =
:�$ :f →� � ���2
, { , , }&( )
, { }
a
a
pr S p q r p q rf a
r S r
= ≤ ≤=
=
��*��$�%�)���+����4��+ f
5. (���"��) ����:�$ c �01�� �������%� �2�3��4������ 3 23 3 0x cx x c− − + =
�������%��%�+�� 1 ���
6. (���"��) ����� ������2+ 1 2 ... na a a≥ ≥ ≥ �!� 1 2 ... nb b b≥ ≥ ≥ F�%�� 1 2( , ,..., )nc c c �01�
�����%+����0!� %���+ 1 2( , ,..., )nb b b �2�3��4�� 2 2
1 1
( ) ( )n n
i i i i
i i
a b a c= =
− ≤ −∑ ∑
7. (���:�k) :�$ x,y,z > 0 F�% x+y+z = 1 �2�3��4 4 1
( 2 )( 2 ) 27cyc
x
x y y x≥
+ +∑
8. (0@�����) :�$ a, b, c > 0 �2�3��4 3 3
5cyc
a ba b c
c≥ + +∑
9. (��2�!�2�%��)��P4) :�$ a, b, c > 0 �2�3��4 4
6 3 31
5 4cyc
b
c a b c≥
+∑
10. (����.) :�$ n �01�� ���������� �!� 1 2, ,..., 1nx x x > �2�3��4��1 1 2
1
1 ... 1
n
ni i n
n
x x x x=
≥− −∑
11. (0@�����) ��f@+4K�� :f →� � ��Q+���BC + ( 1) ( ) ( ) ( ) 2f xy f y f x f x y+ = − − + �)
� ������2+ x,y
12. (��2�!�2�%��)��P4) ����:�$ {0,1}A Q= − �!� :f A→ � �01�f@+4K���� ���*!$�+��1
( ) (1 ) logf x f xx
+ − = �) x A∈ ��*� f (2010)