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8. 交流回路の基本及び各種回路要素8. Fundamental of the AC Electric Circuit and Various Circuit Elements
講義内容
1. 交流回路計算の基本2. フェーザ表示と複素数表示3. 回路要素:R, L, C
複素数の復習 2
Carolus Fridericus
Gauss(1777~1855)
r iF F jF= +
RerF
ijF
ijF−
θ
r iF F jF= −
1 i
r
TanF
θF
−=
F
2 2
r iF F F= +Im
0 θ−
( 複素数 )
( 大きさ )
( 位相 )
( 共役 複素数 )
( 実部 )
( 虚部 )
横軸が実数,縦軸が虚数の平面上の1点を 複素数 という(※平面の名前:複素 平面,ガウス 平面)
複素数表示と極表示(フェーザ表示) 3
Re
ijF
ijF−
θ
F
Im
0 θ−
2 2 1 ir i r i
r
r i
Tan
cos sin
FF F jF F F F θ
F
F F θ F θ j F θ F jF
−= + = +
= = + +
Re
ijF
θ
F
Im
0rF
F位相( 位相角 )θ を電卓で
計算する場合,象限 と 符号 の関係を把握する必要がある!
※第 1 象限はそのまま!
複素数 ⇒ 極
極 ⇒ 複素数
複素数の計算 4
1 r1 i1 1 1F F jF F θ= + =
加算(+) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 r1 i1 r2 i2 r1 r2 i1 i2F F F jF F jF F F j F F+ = + + + = + + +
減算(-) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 r1 i1 r2 i2 r1 r2 i1 i2F F F jF F jF F F j F F− = + − + = − + −
2 r2 i2 2 2F F jF F θ= + = ,
乗算(×) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2F F F θ F θ F F θ θ= = +
除算(÷) ( )1 1 11
1 2
2 2 2 2
F θ FFθ θ
F F θ F
= = −
加・減算:複素数 表示乗・除算:極 表示
で計算を行う方が簡単
位相角は 和
位相角は 差
複素数計算の注意点 5
( ) ( )( ) ( )
1 2 r1 r2 i1 i2
1 2 r1 r2 i1 i2
F F F F j F F
F F F F j F F
+ = + + +
− = − + −加・減算
( )
( )
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
F F F F θ θ
F F F F θ θ
+ = + +
− = − −
右の計算式は 間違い !極表示は 加・減算 の計算はできないことに注意!
乗算 ( )( ) ( ) ( )1 2 r1 i1 r2 i2 r1 r2 i1 i2 r1 i2 i1 r2F F F jF F jF F F F F j F F F F= + + = − + +
除算( )( )
( )( )
( ) ( )r1 i1 r2 i2 r1 r2 i1 i2 i1 r2 r1 i21 r1 i1
2 2
2 r2 i2 r2 i2 r2 i2 r2 i2
r1 r2 i1 i2 i1 r2 r1 i2
2 2 2 2
r2 i2 r2 i2
F jF F jF F F F F j F F F FF F jF
F F jF F jF F jF F F
F F F F F F F Fj
F F F F
+ − + + −+= = =
+ + − +
+ −= +
+ +
複素数の除算は 有理化 をする必要があり,非常に面倒
正弦波交流 6
θ
ω
mI−
mI
0t =
0
[s]T
[A]i
t
mI
( )m sin [A]i I ωt θ= +
瞬時値
• Im [A]:最大値( 振幅)• ω = 2πf [rad/s]:角周波数• θ [rad] or [°] ([deg]) :位相角
ある時間における 瞬間 の値
1[Hz]f
T=周波数
周期
絶対平均値と実効値 7
[A]i
mI
aveI
mI
( )rmsI I
t0
正弦波の 半周期 波形
4
T
2
T
絶対平均値2
ave m m0 0
1 1 2sin
2
T T
I i dt I ωtdt IT T π
= = =
正弦波交流の 平均値 は ゼロ になるため,絶対値 を用いる
実効値 (RMS : Root Mean Square)
( )2 2 2 mrms m
0 0
1 1sin
2
T T II i dt I ωt θ dt
T T= = + =
実効値は 二乗平均平方根 とも呼ばれ,電気回路において重要なパラメータである
※ 正弦波 の 絶対平均値 と 実効値 の計算はできるようにしておくこと!
例題 8
ある電圧 v が, 141.4sin 314 [V]8
πv t
= +
のように変化する.各値を求めよ.
( )m141.4sin 314 [V] sin [V]8
πv t V ωt θ
= + = +
より,
最大値(振幅): m 141.4[V]V =
実効値: mrms
141.4100[V]
2 2
VV = =
絶対平均値: mave
2 2 141.490[V]
3.14
VV
π
= =
角周波数: 314[rad/s]ω =
周波数:314
50[Hz]2 2 3.14
ωf
π= = =
位相角:
180
[rad] 22.5[°]8 8
ππ πθ
= = =
正弦波交流のフェーザ表示 9
t0 0
VθIθ
mI
mV
ω
iv
( )( )
m V
m I
sin [V]
sin [A]
v V ωt θ
i I ωt θ
= +
= +
瞬時値 表示
フェーザ (phasor)表示
rms V V
rms I I
[V] [V]
[A] [A]
V V θ V θ
I I θ I θ
= =
= =
フェーザ 表示を用いることで,大きさ と 位相 の成分を含んだまま正弦波交流を計算することが出来る!(※最大値の代わりに 実効値 を用いていることに注意)
phase vector(位相ベクトル)⇒ phasor
正弦波交流のフェーザ表示と複素数表示 10
( )
( )
m V
m I
141.4sin 100 [V] sin [V]3
20sin 100 [V] sin [V]6
πv πt V ωt θ
πi πt I ωt θ
= + = +
= − = +
mV V
mI I
141.4100 60 [V]
32 2
2014.14 30 [A]
62 2
V πV V θ θ
I πI I θ θ
= = = =
= = = − = −
V V
I I
cos sin 100cos 100sin 50 86.6[V]3 3
cos sin 14.14cos 14.14sin 12.2 7.07[A]6 6
π πV V θ jV θ j j
π πI I θ jI θ j j
= + = + = +
= + = − + − = −
瞬時値 表示
フェーザ 表示
複素数 表示
正弦波交流のフェーザ図 11
100 60 [V]
14.14 30 [A]
V
I
=
= −
50 86.6[V]
12.2 7.07[A]
V j
I j
= +
= −
50[V]
86.6[V]j
100[
V]
V
Im
60[ ]
30[ ]−14.14[A]
I
Re
7.07[A]j−
12.2[A]
電流と電圧では単位が 異なる ため,ベクトル の 大きさ は揃える必要は無いが
位相 は揃えなければならない!
同じ単位のものに関しては ベクトル の大きさ を揃えて
フェーザ図を描く!
電圧を基準とした場合の正弦波交流のフェーザ図 12
50[V]
86.6[V]j 10
0[V
]
V
Im
60[ ]
30[ ]−14.14[A]
I
Re
7.07[A]j−
12.2[A]
V
Im
I
Re
90[ ]−
14.14[A]j−
100[V] 0[ ]
電圧か電流の一方を基準( 0° )とすると整理がしやすくなる!
電源 電圧(AC100V)を基準にすることが多い
抵抗 (Resistance) 13
0 t
v
i
R
i
v
R, i, v の関係は,v Ri= (交流回路における オーム の法則)
オーム の法則より,電流と電圧の大きさは抵抗に比例するが,位相には変化が無い ため,電流を フェーザ表示で表すと,
I
I V
I I θ
V RI θ V θ
=
=
Re
Im
I
V
よって,一般的に
[V]V RI= [A]V
IR
= 電流 と 電圧が 同位相
※フェーザ表示は実効値
インダクタンス (Inductance) 14
0 t
v
i
Re
Im
I
V
電流 が 電圧より 90°遅れ
L
i
v
L, i, v の関係は,di
v Ldt
= (ファラデーの電磁誘導 の法則)
ここで,正弦波電流
( ) ( )m I m I
m I
sin cos
sin2
dv L I ωt θ ωLI ωt θ
dt
πωLI ωt θ
= + = +
= + +
( )m Isini I ωt θ= + を微分すると,
よって,フェーザ表示は
( )I
I V90
I I θ
V ωLI θ V θ
=
= +
キャパシタンス (Capacitance) 15
0 t
v
i
Re
Im
I
V
電圧 が 電流より 90°遅れ
v C
iC, i, v の関係は,0
1 t
v idtC
= dv
i Cdt
=
i と v の関係が インダクタンス と逆 になっているので,同様に
よって,フェーザ表示は
( )V
V I90
V V θ
I ωCV θ I θ
=
= +
( ) ( )m V m V
m V
sin cos
sin2
di C V ωt θ ωCV ωt θ
dt
πωCV ωt θ
= + = +
= + +
回路要素のまとめ 16
抵抗:R インダクタンス:L キャパシタンス:C
[V]
[A]
V RI
VI
R
=
=
[V]
1[A]
V jωLI
VI j V
jωL ωL
=
= = −
1[V]
[A]
VV j V
jωC ωL
I jωCV
= = −
=
Re
Im
I
V
Re
Im
I
V
Re
Im
I
V
0 0 0