22
8 How Protein Motors Convert Chemical Energy into Mechanical Work George Oster and Hongyun Wang `Biologists observe things that cannot be explained. Theorists explain things that cannot be observed'. Aharon Katchalsky 8.1 Introduction Imagine living in a world where a Richter 9 earthquake raged continuously. In such an environment, engines would be unnecessary. You would not need to even pedal your bicycle: you would simply attach a ratchet to the wheel preventing it from going backwards and shake yourself forwards! At the scale of proteins, Brownian motion is even more furious, and proteins evolved to take advantage of this enormous supply of energy. Feynman showed that the familiar mechanical ratchet could not work in an isothermal environment, lest it violate the Second Law of Thermodynamics (Feynman et al., 1963), and so motor proteins must employ a different strategy to convert random thermal fluctuations into a directed force: they use chemical energy via intermolecular forces to capture `favorable' configurations. The way in which proteins do this is dictated by three factors: their size, the strength and range of intermolecular bonds at physiological conditions and the magnitude of the Brownian fluctuations that constitute their thermal environment. These determine the energy, length and time scales on which protein motors can operate. Roughly speaking, motor proteins trap thermal fluctuations in two ways: by bias- ing diffusion of small, angstrom-sized, steps (`small ratchets'), and by rectifying nanometer-sized or larger, diffusional displacements (`big ratchets'). For reasons that will become clear, biasing a sequence of small Brownian fluctuations is gen- erally called a power stroke, while rectifying a large thermal displacement is called a Brownian ratchet. Said another way, Brownian ratchets move down free energy landscapes in steps much larger than k B T, while power strokes move in steps com- parable to or smaller than k B T. 1) The distinction is imprecise, but useful, since it 1) The quantity k B T measures the thermal energy of Brownian motion; its value is 1k B T Z 4.1 pN nm 4.1 q 10-21 J at 298 K (25 hC).

8 How Protein Motors Convert Chemical Energy into Mechanical Work

  • Upload
    others

  • View
    1

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

��� ����� ������ ������ ��� ��� ����� ��

���� ��� ����

������ ����� � ��� � ��

����������� ���� � ���� � �� ������ �������� � ������ ������ � ���� � �� ������ �������

� ���� ���� �����

���

�������� �

����� ����� � ����� ����� ������� � �������� ���� ��������� � ����� ��������� ����� ����� �� ������� � ��� ����� �� ��� ����� ��� ��� ��� ���! �� ����� ��� � ���� ������ �� ��� ����� ��������� "��� ���� ������� � ���� ������" "������# $� ��� ���� �" �������%���� ����� �� ��� ���� "������� � ������ ������� �� ��� ������" ���� ������� �� � �" ���� � &� � ������ ��� ��� "����� ������������� ����� �� ���� � ��������� ��������� ���� �� ������ ��� '���� (��" )������ ���� *&� � �� ��� +�,-.� � �� ����� ������ ���� �� �� ��""���� ������ �� ������ ���� ������ "��������� ��� �������� "����! ��� ��� ������� ���� �� ������������ "����� �� � ���� /"������0 ��"���������)�� � � ����� ������ �� ���� �� ������� � ����� "�����! ����� ��1�� ���������� � ��� �" ������������ ���� � � ��������� �������� � ���������� �" ��� %���� "��������� ��� ��������� ����� ������ ���������)���� �������� ��� ���� � ����� � ���� ����� � ����� ����� ������ �� ����������� � ����� ����� ������ �� ������ "��������� � ��� � �! � ���2

�� ��""���� �" ����� ������2��1��� ��� � */���� �������0.� � � �����" ��������2��1�� �� ������ ��""����� ��� ������� */��� �������0.� &�� �������� ���� ������ ����� ����� ������� �" ���� %���� "��������� �� ��2���� ����� ���� ������ ����� �����" �� ���� ������ ��� ������ �� ����� �������� ���� �� '�� ����� � � %���� ������� ���� ��� "��� ���� ���� �� � ��� � ���� ����� �� �%)� ����� ���� ������� ���� � ��� � ���2 ���� �� �� ������ �� �%)�

�� )�� ��������� �� �� ������� ��� ���"��� ���� ��

�� )�� ����� �%)������� ��� ������ ���� �" %���� �����3 ��� ���� ��

+ �%) � 4�+ 5 � � 4�+ � +627+ 8 � 7�9 :*7; �<.�

�������� ��� �=������ � ��� ����� ������� � ����� ������ ��� ������2������ �������� �� ������ ������� ���� ��� ������� �������

)���� �� �� "�� ������ ��� � �� ������� � ���� ��� ���� ������������ �� ��� �������3 ���� ����� ������ �� �� �������� �" ��� ������������� �������� ����� /�������������0 �� ���� ����������� �" ��� ���� ����� "��� �������� �� ������� �� ����� ��� >��� ���� ������ � ���� ������������ ��� �� �������� ������! &6&+ $)?��� �� $)? � ����� ��� �������� ��"������ ��� "��� ��� ����� � ����� ����� ������� �� ������� ���� ����� � ��� ���� �=� ���'��� ���� ������ �� ���� ������ � ����������� ��� ��������� ���� �� �����

��������� � ���������� �������� �� �� �� ���� �� ����1� ��� ��� �= ���� ������ �� ��� �� �� ����� � �=������ ���������� ������� ���� �� ���� ����� ��� ��� /@������ � @������0 ������ � �= ������� ��! ����2���� ������� ������� �� ��� � � ����� )�� �� ����� ��������� ���2���� ��� ��"����� ������ � ��� ��������

���

!� �" #���� $� � �" %� &����� &��������

� ����� �� ������� ��� ������� �" ��� &6 � &+ ������ �� ���� ����" ����� �"����� ���������� ����� �� ������1�� � &��� 9�+� $ ���� ��� ���� ����� �� ����� <� ��� ; � 5�>� � ���� ������� $)? � ���� ��� ����� ��� ���� ���������� � � ������� ��� � ����� � ������ ��""���� � ���� ��������)�� &6 ����� �� ������ � ��� ������2���� ����� � �� �� � � ��� �2��� ������ ��������� ������������� "����� )�� &+ ����� �� ������ � ���������� ����� � �� ����� � ��� � ���� ��� �" $)?�)�� &+ ����� �� ���������� �" ������2���� ��"� *��� �2������. ��������� �

��=��� ��� ���� �" ������� � � � �������� 5��������� ����� ����� ������ ��� ���"� ������ �������3 �������� �� ����� �" ��� ����� �� ��� ����� �2����� ��� ����� ����� ���� ��� �� �� � ���� 1�� $)?� )�� ��� ��� ����� �� ��2���� ����� � ��� �2������� ���� "�� � ��� ������ � �������� ����������� ��� � ������� )�� ��� ��� ����� � ���� 1� ��������� � ����� ��� �������" ��� �2��"�� @����� ������ ��� ����� �" ��� ��=��� � ��� ������ �"��� �2��"� � �� �������� "��� ��� ���� ���� � *����� � ��� 76663�� � ������ +��9.�)�� &6 ����� �� ��� ���� �" ��� ������� %����� +6 � +4 �2������� *��2

���� � ��� � ����� �A�� ��������. �� �������� ��� � ����� �������� ��� �2��"� � �2������� �� ����"��� ���� ����� ��������� ������ �������� �" ��� � � �������� % �������� ��� �2�2� �������� �� �������� /�����0� � ��� ������� �" ��� ����� *��� �-�- ��=��� � ��� �2�72 ���2 ��=. ��� ����� ��� /�����0� ������� ��� ������ � ��� � ����� ���������

�'� ��� � ���� ����� ���� � ��� �������� ���������

�� �� ��� ������� ����� $ ���= ���� ���2��� ��� �� �=� ��� ��� ��������� ��� ��""��2

��� ������ / ���� ������0 � /%���� ������0�

��(

%� )� �����* ����� &�����

)�� ���� �" ����� $)?��� �� ��� �� "�� ������1���� ��� ��� �� ����2��� ��� ������� � ����� ����� �������� ������ ������ ��� ���� �������� ��� ��������� �2 ��� ��� ��� ��� �������� ������� "�����

� $� � ��������� ��������� ��� "��� ���� �" � ���� ��� �" �� $)? ��� 76�74 �%)3 �" ����� ���� 9�� �%) �� ���� ��� ��� ���� ���� ���� ���

� $����� �� ��������� ����� ����� �� ������ � ��� ���"� ������ ����� ���2����� )�� ��������� �� ��� �� � ��� � ����� "��� ����� �2������

� � � ������� ��� "����2������� ��� �� �������� ���� ��� ����� �" �2�������� �� ��� ��� ��� ������ ������ � �� � �� �� ��� �� ��� ����� ������ � �2������� "�� ��� &+ ����� ���� �� ��� �� � �� �������� �� �" ��� ����������� ������� ���������� ���� ��� ���� ������� �""����� �

� $"��� ��� "���� �� ��� ������� � $)? ������ $)? �� ������ ���� ���� ��� ��� ����� )�� ���� �" � ���� ��� �� �� ���� ��� ������ ���� $)? ������ ������� � ���� ��� ����� �� ��� ������� � �� ������� � ���"����2������� � ��� � �� �� �����

� ��� &+ ������ ��� $)? ����� ���� ���� � ��������� � ��� ���"� ������ ��� �� � �������� ��� �>���� �" ��� ��� ��� ����� ������� � ��� � ������� )�� ���� ������ �� ���� ������ � ���� ����� ����� ��� ����� ��� �� �"��� � ������ ��� ������ ��� ������ ������ )�� ����� ����� �" ��� � ���2��� � �� ������� � ��� ����� �" ������� % � < ��� ���� "��� ��� �

�'+� ��� ������� ������ ������� �������� ���� � ���� ���������� !��"

H+

α3β3

γε

δ

b2

a

c10-14

F1

Fo Membrane

γ

ε

δ

b2

a c10-14 Membrane

α β αβ

cytoplasm

periplasm

) ���� ���� ��� ��������� ��� � ������� �������� � ��� ��� ���� � ������� ����� ���� ��� ��������� ��� ���� ����������������� �� ���� ������ ��� ����� ���� ����� ����� ����������� ��������� ����������� ����

�������� ������ ��� ������!� ������ ��� "�

��� "# ���� ��� ��� �������� �� �������� ��� � �� ������� ��������� $�������������� ��� ������� ��������������

����� �" ��� ��� ��� ����� � ���� � ��� ����� ����� � &��� 9�7� )�� ������" ��� � ������ � ���� -6� ������ ��� ����� � ��"� � ����� � ��� �""2=��������� ���� ���� ����� �����"� *&��� 9�7�.�)�� ���� "�� ��� ���� ������ ������� "��� ��� ��������� � ���� ��� � ����

����� ������� �" "��� �>�� ��� �!

<' B $)?��%����

��+

<' � $)? ��� ���� ���

��7

<' � $C? � ?�

��?� ������

��-

<' � $C? B ?���$C? ������

��4

<' B $C?

*9�+.

)�� ��������� ����� ��� + �� ��� "����2������� ��� � ������ ���� �� 2��� �� �= ������ � ������� �" ����� ��� �!

<' B $)?���� <' � $)?���� � � � ��������������������������������������������

%���� )������

<' � $)? *9�7.

���� ��� ��������� "��� ��� �� ����� ����� �� � �����1�� � ��� ���������1� �" ��� ����� � ���� ������� ��� ���������� ���� �" +;�76 � ���2�� ���� *� ���� � ��� ����� ��������� � ��� ���� ��.� )�� ������������� ��� ���� ����� ����� �" ��� � �� ���������� ���������� � &��� 9�-���������� "��� �� ��""���� ��� � � � ����� ��� ��� ����� ��� $)? �� ������ ���� � )�� ��� ��� ���� �� � ���� ��� $)? � "����� ���� ���� �����

��' ��# ��� $% �����& � ����� ����"�

) ���� ���� ��� "# ���� ������ ��� ���� ������� � ��� ����� ������� ����� ���������� ����� ��� ���!�� � ��� ������� ���� ����� ��� ������ ��� %����� ��� ����� ������������ ��� �� ���� � ������ ���� &�� � ���� ��� ���� ����� ���� ������ ����� ���

����� ������� ������� ' ��� (� ��� ��� ������������ ���� ���� � ������� ������ ���� �)�� ������ ��� � ����� ��� ������ ��� � ���� �� ���!�� � ��� ��������� ������������ ����� ��� ����� � �������� �*������� +���� ����� +��� ��� *����� #,,-��

������� ��� ��� ��� ���� � ���� ��� ��� �� �� �" � ����� ��� ������ ���)�� ���� ������ ��� $)? � ��� ��� ��� ���� �� "����� ���� �� ���� �����2���� � ��� "������ �" ��� ��� ������ ���� �� ���� ��� � ����� "������� � ��� ������ ���� "����� �" ��� ���� ����� ����� *%�����7667� ����� � ��� 76663 '� �� ��� 7667.� ��� �� ��� ���� ��� ���"������ ��� $)? �� ������ ���� � ��� ��� ��� ����� )�� ������ ������ "������ �� ����� ����� �� ����� ��� /����� �������0� C���� ��� ����� ����2���� ��� $)? ����� "��� ���� �� �����1�� �""������ �� ������ ����� ��2��� ���� ��� ����� ������ ���� ��� ���� ����� �� ��� �2������)�� ����� ������� �� ��� �� ���� "������ *����� � ��� 7666���

'� �� ��� 7667.!

� )�� ����� "��� ���� �������� *��� ����� ������� �������. ��� ���2������ � ������� ����� ��� ����� �������� )��� ������ ��� ���� ���2�� ����� �" ��� � ������ � ��������� ��� � ��"� ������ � ��� � ���2� ��� � ���� � ��� ������� � ������ � ���� ��� ������ �" ��� � ������ �� ����2� � ��� � ��"� ������ � ��� � ����� ��������� ������ � ��� &6 ��������� ��� �� �" ��� � ������ �� "����� � � � "��� ��� ������ ��������� ����� "��� ���� ������� *��� ����� ������� �����.� )��� ������2����� ������� ��� ��������� "��� ��� ��� ��� �����

���� ��� ������� ������ ������� �������� ���� � ���� ���������� !��"

Nucleotide

β-sheetSpring

Brownianmotion

) ���� ��(� ��� ��� ������� ���� ����� �� ���� � ����� ��������� ��� ����� ��� ���� ������ ��� ����� � ���� � ����� ���� ����.������� /�����0�� �� ������� �� �������� ��� ����� ��� ���� ����� ����� ����� ��� �� ���� ��� �

������� ����� ��� ���� ����� 1����� �� � ��� ������� ��� ����� ����!����� � � ���� ����� ��������� � ������� ���� %����� ������� ����� ��� ��� ������������ �� ����� �� ��� ������� �� ������ ��� � ������ ����� �������� � ������� ���� ����� �� �� ������ ������ ��� ��������� � ��� � ��� ������ ������� ��� �� ���� ��� ������� � ��� ��� ������

� % ��� �� �" ��� ����� �������� ��=����� ,�+6 �%) �" ������ ���� �������� � ��� �2����� ����� ��� � ��� ��� ���������� 5��� ��� ��� ��� ��� ���������� �� "��=���� ��� �� ������� ���� �� ����� �� ��� ���� �" ��� ����� "������� � ������ �������

)� ������1�� ��� ���� ������ �� ����� � ���������� � ����� �" �������� ���� %���� ������ ��� �� ��� ��������� ��� ��� ��� ��� ����� ?������������ �� ���� ������ � ���� ��� "��� ���� �" � ���� ��� �� ���� ��� ���2��� ����� �� ��� ������ "��������� � ���� ���� ��� �" ��� ��� ��� �����)��� %���� ����� ������ ���� ��� ���� � �=���� ��������

��,

%� )' �����* !��� � -�����

)�� &6 ����� �� ����� � ��� ��2������ "����� ��� ����� ������� �� �������2���� ��� ������� )�� ��2������ "���� ������� �" �� ��������� ��2���� � ��������� ������ ��""������ � ���� �������� ��� �� �� ������������� ���� �"������ �� ��� ����� "��� ������ ������ ����� &6 ������� � ������ �� ������ "����� � ������ ���� ��� ��������� ������� ������ ��""����� � ���������� �� ���� � !

���B D 7�-���

� ����+6 �

B� �� E ���+6 �B� ��

� ����������������������������������������������

��!

B �� F " G *9�-.

����� �� ��� ��������� ������ F�G ��� �� *������ �� ����. ��������� �"��� ��� ��� �= ������ � ������ F�G� ��� �� ��������� �" ��� � �� ��� ��� �� ��� ��������� ������ ��""����� ����� ��� ������� H����� 9�- �� ������� ��� ��������� ��� �� ���� ��� ��������� ��""����� �� �����2��� �� ��������� ������ � ������������ '��� ������ � ���� ��� �" ������2������ ���� ���� ��� �� �� �� ���� � ������ �������� H�� 9�- ���� ��� ������ "�� ������� "�� ���"����� ���� ���� �� � ��������� ��������� ������� ����� )�� ���� ���� �� ��� ���� ������ ���� � �� ����������� ��� /�� 0 ����� ���� �� &��� 9�4�

-�2�#

���� !��� � -�����

&����� ������� ��� ���� ���� �� �" ������ ������ *�� �� C5$ ����� ����.��� � "���� ��""��� ������� � ��� ����� ��� �������� � ������ ����� � &��� 9�4� �" ������� ��� �� �� ���� ����� ��� ������� ������ ��� ���� �� �� ����� �� ��� ��"� � � ��"��� ���� ���� ��� "�����&(� )��� � �� ��������� � ��� ��� ���� ������� )�� ����� �" ��� ���� �� ������ � ���� ����� � ������ ������� � ������ �� ��� ��"� �&��� 9�4� )�� ��� � �" ��� ������ ������ ����� ��� ����� "���� ������ ��� ���

��� ��' ��� $( �����& � �������� )������

�� ��� ��"�! &@ � 2 �A�=� )�� ��� ���� ���� ��� ��� ����� "���� ����� ��� ���"����! &@ � &(� %����� ��� ��� �� ��� ����� ��� ����� �� ��������� *������� �&��� 9�4 � ��� ����� "���� ������ �%).� � "��� ��� �� ���"� �" ��� ��� ����� � ��� ������ �� ��� � ������ � ��� ���� �����! � ���� ��� ��� �� �� �� ��� ���� ����� �� ���� �� ��� ��"� �� �� ��� ������ � ��� �� ����� �" ����������� ������� �� ������ ������ �" ������� ����� �� ��� �� ���"�������� � '� ��� �� ������� ��� ��� ������ ������ � �� �� ��������

��(� ��� ������� ������ ������� �������� ���� � ���� ���������� !��"

(a)

∆ψ

FL

FL

(b)

(c)

∆ψ

FL

φ

φ

kBT

kBT

kBT

Dy

) ���� ��,� ��������� ��� "�

���� ��� � ���� ���� ������� �� ������!� ����������������� ������ ������ � ����������������� ��� ������������� �� ���������� ����������� ������ ����� ��� ��� ����� ���!�� ��� ���� �������� ��� ���� ��� � ���� '�������������� ��� ������� �� ������������ � � ������� ��� ����� ��� ������ ��� �� ����� ����������� ������ �� ������� �3� � 4� � �������� ��� ���� � ��� ������!������ ��� ��������/� ���� ����� ��� ��� ���� ������ ������� � ����� �����!� �� ���� ��� ��� ����� ��������/����� �������� ��������� ����� ����������� ������ ��� � ��� ��� ������� ���� ������� ������� ��������� ���� �� 5����� ������� � ������� ���� ���� ����� �� ����� ������� ��� ��������!� ���� �� ����� ��� �� ������ ��� ����5���� ��!��� �������� ��� �� ��� ��0� ������� +� �������� � '������ �������� ��� ������� ����� ��� ������� ��� ��������� ����� �� 6 ������.�����0� �� �5���� ������������ ������ ������ �� ����� !�� � ���� ������� �� ���� ������ � ��� ����� �� ���!��� ��� �� ��� ����� ��� ������� � ���� ��� ��������� ����� ��� ��������� +������� ������� ��� ��� ��� ������� ����� ��� ������� �� �������

� ������ � ���������� ���� � ��� �� )��� �� ���������� � �=� �� - � ���$ ���=�

-�2��

���� ����� &�����

5�=�� ������� ��� ������� � &��� 9�4� ����� ��� ��� ���� ������� � ��� ��2��� ���� @�������� ����� �� ��""����� � ��� ��������� �" ������� ������2�� *�� �� ������ �� �����. ������ ��� ��� ����� �" ��� ������� )�� ������2�� � ��� �� � ������1� ��� ������ ������ *����� �����. � ��� ���� $��""����� � ��� ��������� �" ����� �� *�� �� �������.� ����� ������ �� ��� ����� � ��� ���� ������1�� ��� ������ ������� $ ��� ��������� �� ������� ������ � ��� ���� ��� ��� � ��� ����� ���� "�� �������� ���� ������� ��� � ����� ����� � ���������� �������� ������� %������" ��� ���� ��������� � ��� ����� ����� ��� ����� ����� ���� �� ����� �����2�1�� � �� ��� ��� � ��""��� "���� �� ��� ��"� ������� ��� ���� �������� ��� ������1�� ���� �� ������� "��� ��� ��� �� ��� ��"�� ��� ���� ������� ��������� ������ ��������� � ���� ��� ����� ���� ����� ���� %����� �" ��� ������������ � ��� ��"� ����� ��� ����� ���� �� ����� �� ���� ����� ��������� ������ �� "��� ����� ��� ��� ��� ���� )��� ��""���� �� ��� ����� �������"��� � ��� �� ��������� ��""������ � ��� ��� ����� ����������� ����� ��"�� ����� � ��� %���� ������� )�� ������ ������� � � ���� �������� ���� �������� ��� ��� ��������� � ��� ��"� �� ���� ����� ����� � ��� ������ ��� ��� �" ��� ������� ������ �� ���� ����� �� �%)� ����� ������� ��� � �� ������ � )��� �� ���������� � �=� �� 4 � ��� $ ���=�)�� ��� "����� &(� � ���� ��� ����� �� ��� �""��� �" /������0 ��� ������ ���2��� �� ��� ��� ��� ���� ��""��� � ����� ���� ��� ��� "�����)�� ��� ������ "����� � �� ������� � ���� � &��� 9�4�� ���� ��� ���2

��� �� ����1��� � �� ��� ����� ���� �� ������� � "�=�� /�����0 ����2�� � )�� ����� ��� �� � ��� ����� ���� ��� �=�� ����� &����� ����� �� ���� ���2��� ���� ��� ������ ��� ��� "��� ��� ���� ��������� ��������� �� �������� ����� ������ '����� ����� �� ��� ���� ������� ��� ������ ������ ��� ��� ��������� ���������� '��� ��� ������ ���� �� ��� ������ ������� ���� ��������� ���������� ���� ������� ������� ��� ��������� ������ ��� "��� ������� �� ����1���� � ���� � ��� ������ ������� ��� �� ��������� ��""����� �� � ���� �� ���� ��� ��� �� ��� ��"����� "����� ������ ���� ������ � ��� ����� ������ %���� �������)�� ���� &6 ����� ����� ������� ��""����� "��� ��� �����1�� ������ �

&��� 9�4�� &��� 9�+ ����� ��� ���� ����"������ ��� �� �������� �� ��� ���������� �������� ��� ������ ����� &6 ����� �" ��� �������� �� ����� *C������ �� ��� +���� ����� �� ��� 7666.� )�� ���� �� �" ������ ����� ������� "���� �� �� ���� � ����� )��� � ����� ������� �" +6�+4 �2��������

��, ��' ��� $( �����& � �������� )������

�� )�� ���� ���� �" ����� ������ �������� ��� ��� �� ��=����� �# � 4; �%)*����������� � 5���� +�II.�

�� ���� � ��� ������� �A�� ��������� '����� /������� �����0 *�7-7.�� ����� � ��� ����� ��� ������ ����� �" ��� ������ ��� ��� ������������� ����� ����� �� ��� �� ������ � ���������� � )�� ������ �" ���� ������������ ����� ��� ������ �" ��� ������ �" ��� ����� ���� ��� ��� �� ��� ����� ���2������ � &��� 9�+� ����� ��� ������ �= ������� � �� ����� ���� �" ���&6 ������ )�� ������ �" ��� ������� ����� ������ ������������ ���������� ��� ������ ��� ����� ����� ���� � ��� � �� ��""���� ��� ��� ��� �������� �� �� � ��� ����� ��� ����� �� ��� � %���� "��������� �� ��� ���������� ��� ������ ������ ����� ��� � � ������� ��� ��"� ���� �" ��������������� ���� �� ��� ��� ����� ����� �� ���� ���� ����� �� ��� � �� �����"� �� �� ��� ������ ��� �� ��� �� ��� ��� ������ � �� ����� �� �� ������ ������1�� � ��� ������� ��� �� ��� �� � ���� "���� ����� ��� � ��� ������������ 5��� ��� ��� ������ ������ �� ����� ��� %���� "��������� ����� ��"�� ��� ���� �� ����� ����� ���� ������ � � &��� 9�4�� ����� � ��� &6 ����� ����"��� � %���� ������ ���� �� �����"��� ����

������ "��������� *�� ��� ��""�����.� )�� ���� "�� �����"����� ������� "������ �� ��������� ������ �� ��� ����� ��� ��������� ������ ��� �

��.� ��� ������� ������ ������� �������� ���� � ���� ���������� !��"

Periplasm

Cytoplasm

Rotor

Stator Stator charge

RotorCharges

Membrane∆ψ

R227

∆µ

DielectricBarrier

Periplasm

Cytoplasm

-2.3kBT

e∆pNa+

InputChannel

) ���� ��.� *������� ��� "� ��� �%�� ��� �� ���� #,,,�� ��� $�������� ������ �������� ���!�� "� ��� ������ ��� ���� ��� ������ ��� ������ ���� �� ��� ���� �� ��������� �� �� "��� -�2�� ��� ���� ��� ���������� ������� ����� � � ������ ���� �� ��� ������ �� ��� ����� ��� �������� ���� �� ����� � ��� ������ 1� �������� � .�������������0 ��� ���� ����� � ��� ����� � ���!������ ������� ������ �� ��� ���� �������� ��� �����!�� ����������� � ��� �� ����� ������ �����!�� �� �������� ��� "��� ����� ������� �� ��� ���� �� �� ������ ��������� ��������� ��������� $��� # � �� ��� ��������� � ��� ���� �������� ��� ���� ����� ��!�� �������� ���� ��� ��� ��������!� ���� ��� �����!� ����� ������� � � &� ��� ��� ����

�� ��������� ��� �������� �������� ������ ���������� ������ ��� ���� � ��� ��� �� ���������� �������� ��� ������� ��� ��� ������ & � 2���� ���� 5����� ����� �� �� �� �� ��� ������������ ��������/��� ��� ���� 2 � 7� �� � ������ ���� ����� ����� ����������� ������� ������� ������ ��� ���������� �������� 1 ��� ��� ���� ���� ������ � ��� ������ ��� �� 5����� ���������� ���� ��� ��� ����� ������� �� ����������� ��� ����� ������� 7 � 8� ��� �) ����� ��� ����� ��� ���� 5����� ���� ��� ��� ������� ��������� ���� ����� ��!��� ��� ��������� ��������� ��� ��� �� ���������� ��������� ��� � ��� ��������� ��� ��� ����� ��� � ���� � �� ����� �5��� � ��� ������ ���!� ����

��� ����� ����� *����� � ������.� �� ��� ���� ��� ������ ������ ����� ������ "��������� ��� ������ ��� ����� ���� "��� ��� ������� �" ��� ������������ �����! �� ���� ���� ���� �� �� ��� �� ��� ��"� �� �� ��� ������ )�������� �� ������� �" � ���� ���� ������� �� �� ��� ��� ��� �����"�������� ���� ������ � ������ �� ����� ������� �" ��"������$ ��������� ���� �" ������ ������ �� ����� ��� ��� ��� ���� �� �" �� ��

%���� "��������� ����� ����� ������ �� ��"��� /+2����0 ����� ���� H=2� ��� ������ ��� ������� �" $� ���� � � ���� ��� � ������ �" "��������*@���� � @������� 7666.� � ��� �� ����1�� �" ��� ��� �� ��� �2����� ���� �������� � ����� ���������� ������� ���� � $������ � % �&���� *@������ � ������ +��,��.�$ �� ���� ������� �" ��� ������ ���� ��� � �� ��� �������� �����2

������� �������� ������ "��� ����� ������� �� ��� ���� ������ "����������� �� � ���� � "��� ���� ����� ����� �"" ��� �������� ��������� �" ��������� ���� � &��� 9�4� �� ��� ��� �� ���� ���� ���������� ��� "�������� ��� ������ �� ����������! ��� �� ������� "��� ��������� "���� �� �2����� ��� ������ ���� �" ��� �=���� ��� ��� �=���� ��� ��� "����� % ��2����� �" ��� ����� ���� � &��� 9�4 �� ��� ��� �� ���� ���� ������� ���� ������ ������ �� �=��������! ���� "��� ��� ��������� ������ ���� �� ������ ������"� ������� �" ��� ���� ����� � ��� �� �������� �� ��� � ������� "������� )������������ �� ������ ���� �������� ��� �� ���� ��� ����� �� ������ �" ��2������ ������� &�� �=� ��� �� �� ������� "�� ��� ����� �� ��"��� ���� ���� � ������� ��� �� ��� "��� ���� �� ������� "��� ������ � ���# )���� �������2������� �� ������ �� ��������� � ���� ����� � ��� ��"������ *����� � ���7666�� �� � ������ 766+.�

��.

���$� � �� ����� �� � �" ������

@��� $)?�� ������ ��� ���� �� �� ��� ��� ����� C���� ��� ����� � ��2���� ��� ��� ��� ���� � ���� 1�� $)? � ���������� �� "���� ��������)���� ��� ��� ����� ������ �� �� � ���� ��� ����� � ��� �� � ���������� ����� ��� ��� ������ )�� ���� �" ����� ����� �� ��������� ������� ����� �� ������ ����������� ����� � �� ����� ���������� � $)?� ���� �� ����� ��� ��� ������ $$$ ������ �� ��=���� �" $)?���� ����2����� ����� �" ��� ��=����� )�� �� ���� ����� �� ������ �� �" �� �2����� ����� ��� ���� ���� ��� ��� ����� � ��� ���� ����� � ��� �� ���������� ��� �" +7 $)?���� ������ � ��� ��� ��� ����� ���� �� � ������������� "���� ��������� � � � &+� �� � � ������ ����������� � ��� ���� ���������� ������ ��� ����� )��� ��������� �� ������ "�� ��� �� �� � ��2��� �" ��� ������� ��� ��� �� �� ���� ������J� �� ����� ����� $)?�� ��� ��� ����� �� ��� "� �� �� ��������� �

����� � �� �� ������ ���� ������� ��� �������� ����� ���������� $�2������ ��� ������ �" ���� ��������� ��""��� ���� � �� "��� � ��� ������2

��/ ��* ��� ��� ��+ ����+������� � ������

��� ������ ��� $C? ������ � �� ��� ��� ���� � ��� $)? ����� � ������� &+� ��� ����2������ ������ �" $C? ����� "��� ��� ������� �������� &����� ���� ��"� �� � �������� �� ��� � ���� ������� ������ �� ����� ��� ��� ������� ��""����� � '����� ��� ������� � ����� �" ��� ����� ��������� �������� ��� ��� ���� �� ����� ���� ��""����� �� ��� ��� ������� ������ )�� ��� �������� �� ������ � ��� ���"� ������ �>��� � � � �������� ���� ��� �>���� �"��� ����� �������� � ��� � ������ *@�1 �� ��� 766+� '���� �� ��� 7666.� )���� ����� ����� $)? ����� � �� ��� ��� ���� �� �� ��� ��"����������� �� ��� � ����� �" �=� ��� ��� ���� � ��� �������� �" ����� ������� ��� �� ���� ��""���� ��"������� ���� �� ��� � ����� �" ��� ������� ��2� ��� ����� )���� �� ��� ��� ���� � ""��� ��� ������� � ��� ��������� ��2� ��� ����� ��""����� � )�� ��"������� ���� �������� �� ��� � ����� �" ����=� ��� ��� ���� � ����� ��� "��� ���� ������ "�� $C? ����������� ��� ���� "�� ��� �=� � ���� ��� � ���� ����� ���� � �� ��� ���� ��������� "�������������� ��� �������� �" �������%����� �" ��� ����� � ����� ������ ��� &6 � &+ ������� ������ ��� ���

� � ������� ����� )�� &+ ����� �� ����� ��� ��� ����� � ������ � ������>�� +76� ��� �� ��� ���� ����" ��� � �6 �� � ��� ����� ��� ��� &6 ������� ������� � ����� ��� ����� ������ +6 � +4� �� ���� � ��� �������)����"���� ����� �� � ����� /������������ 0 ������ ��� ��� ������� �������)��� � ����� ������� �� �� ������ "�� ��� ������ ���� ��� �2��"� ������ ��� ���� �� �������� "��=����� � � ������� ���� ����� ��� ���������&6 ����� �� ������� ������ ������ �� &+� ����� �����1�� ����� ��� � ������������ �� �1� �� "��� ��� ��� ��� ���� *8��� �� ��� 766+3 ����� ���� 7666.� )��� ������ ��� ��� ������ ������� �" ����� ����� ���������� ��� "�� ���� ��������� ��� ��� ��� � ���� � ��""���� ��� ��� ����%���� ������ �" ��� ��������� ����� ������ ��� ���������� �" ����������� �� ��� � � �������

��������� "������ �" ��� ���� ��� ������ �� ���� � ������� ��� ��� ������� �� ������� �������� ��� ������� �� ���� ��� ������ ���� ��� ����� ��� ����� �����! ��������� � ����� �� �� ��� �� ��� ���� �� ��2����� � ����� �" ��� "����� ��� �� ��� ����� �������� ������ �" ������ "������ ��� *K���� �� ��� 7667.� $��� ���� �� ��� �� �� ��� ��� ��� �� ��� ��2����� ��������� �� ����� ��� ���� ������ "�� ������� ��� � ��� ������� ��� *"�� �=� ��� � ���� ���� �� ������ ������.� )��� ������� ������ ��� �� ���� �������� ��� ������ �" ��� ��� "��� ��� ���� *����� � ������+���.� )���� ����� �� � ������ "��� ��� ���� �� ��������� ���� ��� ������� ������� �" ��� ����� )�� ������� ���� �" ��� ��� � ���� ��� � ���� ����������������� ����� *?���� � ������ +��;.�

��0� ��� ������� ������ ������� �������� ���� � ���� ���������� !��"

��/

�������� �" �"" � ���

�� ��� ��������� ��� �������� ���� ��� � ����� ����� ������ ������������� ��� ���� ��� ������� ����� �������� ����� ��� ����� ���� ���� �� ��� ��� "�� �� ������� ��� ������� �������� �� ����� �������� )����2"���� �� �� "������� ���"�� �� �������� ��� �""����� �" ����� �� ������ ������ �� ��� ��������)�� ���� ����� ������� ��������� ��"����� � ����� ������ �� ��

�� ��� ��� *��� "���� �������� ��� �����. � ������ ��� � ���� � ��������� ���� �" ��� �= ������� �� ������ ��� � ����� ������ � ����� �� �����2��� ����� ����������� �������� � �� � �� ��� �� ���� �� ������ ��������0� ������� ���� ���� �� �� ��� ������ �� ��� �" ����� "���� �����2��� �� � ���� ��� ��� ����� �� ������ ���� ���������� "���� *�� �� ��������"��� ������ ���� "�����. ��� �� ��� �� � ��� ������� �� �" ��������� � � E�A�.� $ ������ � ������ ���� �= �������� �������������� �� �� �� ��� ������� �������� �" ��� "���� �������� �" ��� ������)��� �� ���������� "���� ��� �� ��� � ��� ����� �������� )�� �"����������� "��� ��� ��� ���� �" ���������� ���� ��""���� �"������ *������ ��� 7666� �� � ������ 7667��.�)�� � � ����� �� ��������� �)C� �� ������ ��"��� � ��� ���� �" ��� ����

��� � ��� ����� �� ��� ���� � ��!

��' D� � � �E �#

*9�4.

����� �# �� ��� "��� ���� ��� � �� ������ � ��� *�� �� "��� � ���� 1�� ��$)?� �� ���� �� ���� ������� ��� �����.� � ���� �� ��� ���������� ���� ���� ��� ����� ���� ��� ���������� ��� "����� �� � �� ������ � ���� ���� �� ����� ����� ������ ������� �� ������ � ���� ��������� ����� ��� /��� ��1�0� ������ ��� ���� ��� �� "��� �������� ������ �� ���� �� ������� ��� ������ ���� �" ��� �=���� ��� ��� �=���� ��� ���������� "����� )���� ��� ������� ����""����� �� ��� ���� �" ���� ��� �� �� ���� � �� � �� ������� ��� ���� �������� �""����� ��� ��� ����� �� � ����� ��������� � �� �� /�"����� ����� 0�&�� ����� ������ ���� ����� "���� *�� �� ���� �� "���� ��� .� H��

9�4 � �� ������1�� �� ��� ���� ���� *����� � ��� 7666� �� � ������7667�. � ��"��� �""����� !

��� � � �

E �# � � � *9�;.

���� �� �� ��� ����� ������ ��� *�� �� � ���� ��� � ���� �� ����� �� ����� ���� "��=. � �� �� ��� ����� ������� � '������ � ����� H�� 9�; �� �� ����2��� ��� ����� ���� ��� ���� ���� ��� �� �� ��� ����������� �����5������������ �� �� ����2��"��� ����� ��� �� ���� �� ��� �

��� ��, �������� � ��������

� ������ ��� ����� ��� ��1�� �� �� ��� � ��� ��� "����� �� ��� �� ���������� �" �� �� � ��� ����� �� ��� ��� ������� � ��� ���� ��� ������� ��� ��� � ������ ��� ��� �� "�=�� ��� ������ *�� ����� ��� . ����������" ��� ��� "����� $ ������ ��� ��� ����� �� ��� �� ������!

� ��� ��� ����� �� ������ ��� ������� ������ �� ��� ��� ���� ������� ��� ��� �� �� ��� ���� "���� ������ ��� ����� � ��� � ����� �����2��� � ��� �������� ��� ������� �������

&�� ������ ��� ��� ������ �� � ���� ��� ��� ���� "���� �� ���� � ����� � 2��A��� $� ����� ��� ������� ��� �""����� �� +66L� ��� ��� ����� �� � ���������� �� ����� ��� ������� ��� �""����� ������ +66L� ��������� �" �������� �������� (�������) � �� � � ����� �� �������� ������� ���� � ��� ���� ����� ��� � � ���� ������� �� ��� ��� ������ *�� � ������ 7667.�H����� 9�; ���� �� �� ��� ������� ����� ��� ����� �� ������ ����

����� ���� &�� ������� �� ������� ����� �� �� ���� � ��� �""��� �" %���2� "��������� �� ���������� )����"���� ��� ��� �� ���� � ������ ������������ *� ���� � ����� ���� �����.� � �� ��� "������ "���� � ��� ����� �� 2 ��=����� ������ � ���� ���� ��� "������ "���� � �� ������ �""������� � ���������� "���� � ��� �""����� ���� � H�� 9�; �� ���� ��"���� )���� "�� ������� �� ������ �� ������ �� �� ��� �� ���� ������� �� �� ���������� ���������� "���� �� "������ "����� )�� ��� "�� ������� �� ���������� ���� ������ ����� ������� � ���� ������� ��� � ������������� ��� � � ��� ��� ����� ����� � ��� ��� ��=����� ��� ��� �""���� ��� ������ *�� � ������ ����) � ��������� �� ��� �������� %����� ����� ��2���� �� ��� ����� ��� �""��� �" ����� �� ��������� � ��� ����� �� ����� ����� � ��� ���� %���� "����� )�� �������� ������� ����� �������� ��� � ��� � ��� ������� ���� �� ������ ������ �" ������� ����� �� ��� ������������ � <�������� � ��� ��� "���� � ��� ����� �� ��������� � ��� �������� � ���������� "����� )�� �""��� �" ���������� ��� "���� � �������� �� ��""���� "��� ��� �" ������� ��� "���� ��� ��� � � ���� �������� ����� � �������� � ����� ������� ������� ���� ��� ������� ���

� ����) ��� ������ �����) �� �� ������� �� ���������� � ��� � � � ���� ������� ��� � ���������� ���� ��� � ��� � � � ���� �� ����� ��� � ������� �������� ����� ����� ����� ���� ������� ���� ��� ������� ��� �""�2

���� ��"��� ���� ���� �� � � $ ������ �� �� �� ������ �" �""����� � ���� ��� �� ��� %���� ��������) ��"��� � �� ���� � � H�� 9�; ���� ��� ������������ ��� "����� �C � ���� ���� � � �%)AC �� ��� ��� ���""����� � C �� �����""���� ���""������ ����� � �� ��� ���� �� ������� ��� ����� *��� ������ 7667.!

��+� ��� ������� ������ ������� �������� ���� � ���� ���������� !��"

�� $ ���������� ��� "���� ���� �� ����� �������� ������� *� ����� �� ��� ������������ ��������. � ��� ������� �� ���2 ���� �" ��� ������� � $ ������� ��� ��� � �� � ��� ����� ������� � ����� ��� %����"���� �A�� ��� ������� ������ �=���� ���

������� � �" ��� ������� ������ �� ������ ���������� ��� ���� ���= ��� ����� �� ����������������� ���� ��� ��������� "����� �������� ���������� "���� ���� ����� ��� ����� ���� � ����� ���������

�%���� D� � � � �E �#

� �� �%���� D� � �7

E �# � � � *9�,.

$������� ���7 �� ��� ������� �" ���� �� ��� ����� ���7 �� ��� � ��� �� � ���� ��� � � ���� ����� �� � ����� ��� ��� ������ �� �� �� ���� ��� �2��� �� ��� ���� ���7 �������� �������� ���� ���7 ������� ���� ��� �������� ���7 ���� ������ ���� � ��� �" ��� �����0� ������� ��"������'� ��� '����� �""����� �� ��� ���� �" ���� /������� ��"�����0 ���= �� ������� �� � � �" ������� "�� H�� 9�, �� �� ���� ������ �" �""����� � �� �� ������" �'����� � +66L� )��� �� ����� ��� ��� ���" �� �� ������� �� � ������� +,� -�. ����� �� ���� � ���� �� � �� �������� � �������� ���� *������ ��� 7666� �� � ������ 7667��.� ���� ��� "��� ���� �� � E �#���� �=���� ����� ������� �� ������� �" E �# �� �����1�� �� ������ ������ ����� ������ "���� *��� ���� �" ����� ������.� ��� ��� ������ "���� �������� ��� '����� �""����� �� +66L� ��� ��� '����� �""����� �� ����� ��+66L� ��� ������ "���� �� ����� �� ����� "���� *�� � ������ 7667.� $���� '����� �""����� "�� ��� &+ ����� �� �� �" ��� "����� ��� �� ��������� ���������� ����� �" $)? � ��� "����2������� ������� "�� �� � ����"���� ����� ����� ������ �� ������� *����� � ��� 7666.�)� ������1�� �" ��� ������� ��� �""����� � �)C� �� ����� �� +� ���� ���

��� ��� ����� ����� �� ��� ��� ������ �� ��� ������� ������� �������� ������ '����� �""����� � �'� ����� �� ����� �� +� ���� ��� ��� ��� ����� �� ��������� ��� �������� ����� '��� ��� '����� � ������� ��� �""�������� ��������""���� �� ������ �" ��� ������ �� �� ���������� �� ������ ���� �""�������� �=2 �������� �

��0

# ����� �

)�� ���� ���� �� ����� �� "���� ������� � �������� ������ ����� � "�������� ���� ��� ��! ������ ��� ����� ��� �������� ������������ "����� ����� ���� ������ "��������� �� �� �����" ����� ��""������ )�� "����� �� ���/ ���� �������0� ��� ����� /%���� �������0� %�� ��� ������ �� �� �� ������ ��� �� ��������� �������� $� ���� ����� �" �������� ��� � ����� �" ��2������ ����� � �� ������ � ��� ����� �" ��� ����� ��� ���������2���� "��� ���� ���"�� *%������ �� ��� 766+� ����� � ��� 7666� ���� ��� +��9.� ������ � ������ ����� "��� ���� ���� ��� � �� � ��������� ��� ��� �" � ���� � � ���� ��� ����� �� ������ �" ��� ���"�������� ���"�� "��� ��� ���� ��� �" ����� � ������ � ���� ����� �" �������� ������� �� �� �����" �� �� ���������� ��� ���� ���� ��������� ����������

��' ��- ���������

�� ���7 ������ �� �� ��"���� ���� ��7�� % ������� ������ ������� �" ��������� ����2���� ��7� ����� ��%) ��+ � ������������

����� � �� ��� ����� ���� ��7� �� ������������ �" ������� ����� �� ���7�

�� �� ��� ������ ����� ������� ��� ����� � � ����� �" �����2���� ������ )��� ������� ����� ���� ��� ������ �" ����� ����������)�� ���� �" �������� ������� ���� �� ���� ����� ��� � ������ � ���� �

�������� �" "������ %���������� ��������� ��� ������� �" ��� ���� �� � ��������� � ������� ���� ���������� �������� � ��� �������� ����2����� @����� ������� ������ ��� �� "������ ��� ���� � ������� ��2�������� ������ ������� ��� ������������ ������� ��������� &��� � �����2��� � M2� �� ������� � ������� ��� ��� ,�� ��� ����������� "�� �� �� ��� �� ������� �� ������ ��� ����� ����� ������� ����� ��� �� ����� ������������� �� �" ����� ������� ������� ��� ������ ��������� ����� �"��� ����� ������ ����3 ���� �������� ��� ��" �� ���� �" ��������� ���2����� &�� ���� ��� � ����� �" ����� � �� "�������� � ������� � ���������� �������� ��� � ����� ��������� � ������� ���� ������ �� ������������ ��� � � �� � ��� ��� ��� ��� �" �������� � � ���� � � ���� ��� �� ��� ��� ���������� ���� �= ��������

$$�� 1

�1��$�� ������ �� ���������� �� # ""����� 2�����

-������ �� ����� &������

���� �� ������� "��� ����� �=� ��� �� ��������� ��� ���� �" %���� "�����2���� � ��� �����"����� �" ���� ������� � %���� �������� &�� ��� ����� ��� ������� ��� ��2�������� ����� �" ��>����

���

�1��$�� �* $���� ������ � ���� !��� � "������� ��

'� ��� ��� ��>��� �� ��� ����������� ����� "����� "�=�� ��� ������� �=� ����� ����� �� *�� �� 6�6+ � � + ��.� )�� ��>����� �" ��� ��>��� �� ���� �&��� $+� )�� ��>��� ����� "����� ��"���� ���� ������� �" *�=.A*��.�)��� ����� �=� �� �� ��� ���� ������ ������� %���� "���������� �� ��

����� ������ "�� ������� �� ������� %����� �" ��� ���� ������ ������� �������� ��� �� ���� � ������ ����� ������� � ��� �""��� �" %���� "���2������ �� ���������� &�� ����� ������� ������ �" ��� ���� ��1�� � ���� ���2 ������ ��� ����� �� ������� � %���� "���������� �� � ���� ������� �� � �������� �=� �� �" ���� ������ ����� ����� � 1��� ��� �������

����% �.�� �� ��+��� �� /��������� ��� ������� 0������ )������� ��+ ����� ����"��

'��� ����� ������ � �� "����� � ����� ��� ������ ��� � � ���2�� "���� ������� ���� ����� �� �� ���� ������ "�� ����� ������� � �� ������ ����" �� �� ���� ���� %���� "����������

���

�1��$�� �* $���� ������ � � !��� � "������� ��

'� ���� � ������ �� ��� ������������ ��� "����� ��� ������ �� ��� ������ ��� ��� ���� ��� ��>��� ���� � +6 �������� ����� ������ H�� �2��� ���� �� �� ��� ��� ������ ������ "����� �� ������ ���� ���� ���2

��� �%�� �.�� �� �& � ���� ����"� ���� �������� �����������

0 100 200 300 400

0

100

200

300

400

t

x

0 100 200 300 400

0

100

200

300

400

t

x

0 100 200 300 400

0

100

200

300

400

t

x

0 1000 2000 3000 4000

0

100

200

300

400

t

x

a b

c d

) ���� �� ��� ���9���� ��� �9��� ����� #� ��� �9��� �!�� ����� ������ ���� �� �!����� !����� !� � �):�� � �):#���� ���9���� ��� �9��� � ���� �� ����9��� �� ���!�� � � ������� ��� ��� �����9��� � '������ ����������� ��� �!�����!����� ��� �9��� �� !� � �):��� ��� ��� 9���� ��� �9��� � ���� &� ��� �9��� ���!�� � '������ ����������� ��� ��� ������� ���� �� ������� ����������� ����!����� !����� ��� �9��� �� !� � ��,���):��� ��� ��� ����� ��������� ��� ���� ������

�� ��� ���� �� ���� �� ;)����� �� ;)������ ���� & ��!� ������� ����������� ����!���� ��� ��� �� �)����������� ������� � ����������� �� ����� ����� ��� ���9���� ��� �9��� ����� 2� ��� �9��� �� �!�� � '����������������� ��� ��� ��� ���� ���� �� ��� �� ��� ����� ����������� ��� ��� ����� �� ������� ��� ���� ������ �� ��� ���� �� ���� ��;)������ � ��� & ��� ��� �!����� !����� ����9��� �� !� � ��# �):��� ����������� �������� ���� ;)������ � ��� &�

����� � *�� �� "�� �� "�� ���! � 6�;.� )��� ���� ����� �� ���� �� ����2��� %���� "���������� )�� ��>����� �" ��� ��>��� �� ���� � &��� $+�� )������� ������� �" ��� ��>��� �� �� � �=A��� ��� ��� ����� �� ���������� �" �� ������� ��� ������ � ��� ��� ���� � ��� /�������� ������� 0 "�� ��� �������� ��� � ������������ ������� �� �� ����� � �� � ����� �������� )������ ����� ��� ������ �" ��� ��>����� 3 �� �� ������ ��� ��� ������������ ���"��� ������ � ��� ���� ������ � � �� �������� �� � ������ � ������� �����������)�� ����� �" ���� ����� �� ��� ���� �� �� ������ �� ��� ��""���� ���"2

"������ C� �" ��� ��>���! /'�� 0 �*��.7� )��� ����� �� �� ������� ��� ��""�������""����� "��� ����� ��� ��� ���""������ �� �� ��� ���� "��� ��� H����� ���2���! � � �%)AC� � ���� �=� ��� ��� ����� "���� ������ ��� ������������ "��2��� ����� �� � � ��� � ��� "��� ���� ����� ��� �� ��� ����� �� ����=�&�� � +6� ��� "��� ���� ����� ��� �� ��� ����� �� 6�7 �%)� $ ����� ����� ���� �� �� ���� "�� ��������� ������ ��>���� ���� � C5$ ����� ������������ "���� ������ � ��������� ������ �������

��(

�1��$�� (< !��� � ������ ��� 2 ���� "������� ��

� ��� ��� �=� ��� ����� ��� �� ���"� �� ����� ������� � ������ "���� *�� �� �������� ������ ������.� � ��� %���� "��������� �� �� ""��� ��� �����"�� 5�=�� �� ������� �������� ����� ��� �� ���"� �� ����� ����� � ������� �����" �� %���� "���������� � ��� ����� �" ����� �"������� ��� "������ ������ "��������� ��� ��� ��� �������� � �������� �" ������� �������� ���������� �� ������ ����� �� ��� ����� � ��� ������ "���������� ������ ��>��� �� ���� ����� �� "������� "������'� ��� � ��� ��� ����� ��� ��� ��>��� ���� +6 ��� ���� ���� �����

*"���������.� H�� ���� ���� �� + ��� ��� ������� �=� ������ "����� �������� ���� ���� �������� * � 6�;.� '� ��� ��� ��� ���� ��� ��>��� ���� ����� �� �" ;� �=� ������ �� ���������� � ��� ������� $� ������� ��� ��>���� "������� "����� � ��� � �! "����� %���� "�������� � ������%���� "�������� ��� �� ��"������ � ��� ������� )�� ��>��� � ���� ��� ����� ������ �� �" ������ %���� ������� /�����0 ��� ������� )�� ���2����� �" ������ ������ �� ��� � ��� ������� �" ��� ������� (�� " �� ��� �������� �" "����� "�������� � ��� ������ � � �� ��� �" ������ "�����2���� �#A�%) � ���* "A �. ����� ��� "��� ���� *� ���� �" �%). �������� �� ������� ��������" �� ��� " � 6�I- � � � 6�7I� ��� ������ ���� "��� ���� ��� � ��� ��2

���� �� + �%)� '��� ��� ������� �� �� ���� � ;� �=� ��� "��� ���� ����� 2��� �� ��� ����� �� +A; � 6�7 �%)� ��� ��� � ��� ���� � H=� �� 7� )�� ��2>����� �" ��� ��>��� �� ���� � &��� $+�� )�� ����� ������� �" ��� ��>��� ���� � 6��7� �=A��� ������ �� H=� �� 7� %����� �" ��� ���� "��� ���� ��� *+ �%). �������� ���� ��� ������� �� �� ����� ������ ������ "����������

��(�% �.�� �� ��+��� �� /��������� ��� ������� 0������ )������� ��+ ����� ����"��

)�� ���� ����� ��� ������ �" ��� ��>����� � )��� ����� �� �=� �� �" %���2� ������ ��� ���� � ��� ������������� � ����� �� � �1�� �� ���� ����� ��������������� �� ��� � �� �� +�� �� / � � � �1�� �� ����� � � ������������ ��� ��1�� �� �������� �������������� ���� �=� ��� ��� ��>��� �� ������� ����� � %���� "���������� )�� ��

���"� ������� "��� ����� "���������� &�� ���� ����� ���� ����� � �� �����"���� %���� ������� �������� �� �� ��� ��� ������������ ������� � ��� ���� ������ ����� � H=� �� 7� � �� �� �� ��� ��""����� � � ������� � ���= �������� ���������� �� "��� ���� ������ ������

��,

�1��$�� ,< � !��� � ������ ��� ���� " �� "������� ��

&��� � ������� ��� ����� H=� �� -� ��� �� �� ��� ��� � ��� ��� ����� ������ ��>��� ���� +6 ��� ���� ���� ����� *"���������.� H�� ���� ������ �� ��� ��� ������� �=� ������ "����� �� ������ ���� ���� �������� * � 6�;.� 5�� �� ��� ��� ��� ���� ��� ��>��� ���� ����� �� �" +66� �=� ������ �" 76 �%) �� ���������� � ��� ������� )�� ������ �� ��� ����! ��� �������� �" "����� "�������� �� " � + E -�9 � +6�++ � + � ��� �������� �" ������ "�������� ��� �������� ��� ������ �� � � -�9 � +6�++ � 6� '������ ������� �� +66� �= ��� ��� "��� ���� ����� ��� �� ��� ����� ��76A+66 � 6�7 �%)� ��� ��� � ��� � H=� ��� 7 � -� )�� ��>����� �" �����>��� �� ���� � &��� $+�� )�� ����� ������� �" ��� ��>��� �� �� � 6�+�=A�������"���� ����� �� ��� �" H=� ��� 7 � -� %����� �" ��� ���� "��� ���� ��� �������� ���� ��� ������� �� ����� ��� ����� ������ ������ "�����2����� )���� ���� ����� �� %���� ������ ��� ������� ���� ������������� )����������� ����� �" ��� ��>��� �� ��""���� "��� ��� �" H=� ��� 7 � -� )����>��� ����� ������ � ���� ������ ��� �! ��� �� ���� ����� �� �" +66�=� ������� ���� ���� ������ � �� /���0 �� ��� ���� �=� ��� � �������� ��� �������� �" "��2

��� "�������� � ������� ��� �" ������ "�������� � ��� ��������� � ��� ������ ��� ���� ������ � ������ � ���� ���� ����������������� � ����� �������� �� ��������� � ���� ���� ���� ������� � ������������� %�� ���� ����� ��� ����� ��� ����� � ������� ��� ��� ����� �" ��� ���2������� �� �� �� �� �� ���������� �������� �� ������ ��� ��� ��� ����� �� � �� ��� ��� ���� ������ �� �����" �� ������� ��� ���� �" ��� ����� ������"���� � �� ������� �� ������ � ���� ������ ������������ )��� ������� ��2�������� +������ '������ �������� "��� ��� ���� ������ �� �" ��� �����3 ���� ����������� � �� � ����� *7667.�

��, �%�' �.�� �� '& � �������� ����� ��� ������� ����������

������ 3��� �� ! � � )��� �����

)�� ��� �� ������ ��� ���� � ��� ��=� �" $)? ����� �� ��� ��� ��� ���� �" &+ ���" ��� ����� �� ��� ����� �" &6� ������ ���� ��� �" ��� ��=�� ������ ��������� ��� ���� �" ������ �""����� <����� � ������ ������� �� �� � � 2������ ��������� � ���"��� ������ �" � ����� ����� ������ %�"��� $)?� ��� �� ��� ��� ��� ���� �� ������ ��� � ���� ��� � ��� *�� ������ ������� ��� ����� ����� � ��� &6 ����� � ���.� ���� ���� ���� ����� ���� ����� )��������� �" ��� ���� ���� �� ���������� � ��� � ����� ���� "��� ������$)? � ��� ��� ��� ����� %�"��� ��� � ����� ��� � "���� ��� � �����

��.�� � ������ 1��" �� ���+�� $��� ���� �

12

35

6 7

8

4

9

−∆G2

-H

T∆S

) ���� �� ;�������� ��� ������� ������������� ����!���� ��� ������� ��� �� ������ ������� ��� !�� ��$� 1� ����� ������������� ��� ����� ������� �2� �� ������ �� ����������� ����� ���������� �� ��� � ��� ��������� ������ �� � ����� ��� ���������� ��/ �� ��� ��������� ��� �� ����������������������� �� � ��!������� ���� ������ ������� ����!���� ��� ������� ������� 1� �����#� ��� ��/ �� ��� ��������� ����� ��� � ����������� ��������� =��!��� � ����� ������� ���� ���� ������� �� ��������� ��������� ��#������ �� ����� � �� ������� ��������� ��$�&��� ��� ����� ������� ��� ������� "����� � ������!�� ����� � ����� ���� ���� ���������� ��������� �� �� ��������� ��������� ��&2�$������ ������� ������� ��� ������� ������ ������� �� ��� ���� ���� ������ ���

��������� �� ����� 2 � ����� >� 3� ��� ������ ����� ���� �� ������ ���� ����������������� �� ������� ��������� ��$>-� ��� ����������� ��������� ��-, �� ��� ����� ����� ������� !����� ��� ����� ������� �2#,� ��� �� ������� ��� ������� �������� ������ ��������� ������ � ��� ������ ��������� ������� ��� ����� ����� ��� ������ � �������� ���� � ���� ������� 3�� ���� ��� �� 5����� # � , �� �� ����� � ��� ��� �� ������� ��� ������� �������� 1� ��� �� �� ������� ��� ������ ��5����� ���� ����������� ��� ����!���� ��� ������� ������� 1������������ � � & ���� ���!�� ����� ���������� ������� ��� & � 2 ���� ���!�� ����������� ���� ���� ������� ���� ������� ����� ��� ����� �� ����������

���� ��������� ���� �� ���� "��� ��� ���� � ���� ��� >��� ��"��� ��� "������ ��� *��������� ��� ���� �� ��2� ����� ������ .� <������ ��� ������ �������" ��� "������ �" �� � ����� ��� ������ $)? � ��� ��� ��� ����� )�������� ����� �" �������� � ���� �� ��������� �� � ��� ��� ���������������� � ��� �� ���� � &��� $7� *)��� �� ���� �� �� ����� ��� �2��� �2����������� ������� ��� ����� /���������� ����0 �� �� ��������� ����� ��� ���� �� � ���� �� ��������.� �� ��� ���� ��� � ��� ��� �������� ����� �������� ���� ����� "��� ���� �� � "��� ���� �� �������� ���� ��������� ���� ����� � ����� ���� �� ������ ������ ��� � ��� ��2������ ��2��� ���� ����� ������ � "��� ��� ����� �������� <���� � �������""���� � �� ��� "��� ���� ����� ��� �� �� ������ �� �� ��� ��� ����)�� ����� ������� ��� ������� ��� ���� ������ � �������� � H�� 9�7

� &��� 9�- �� ��� ������� ��"��� ������ ���� )�� � ����� ���� �� �� �2� �� � ���� ������� *� ��������� � ��� ���� /����� 1� ��0.� �� �� ��� ������ /�0 *1� ��. �� /�""0 *�1� ��.� )�� ����� ���"��� �� ��� ��=� � ���2�� ���� ��� "���� ��� � ���� �� ������ � ������ ������ ���2�� ��������� ���� �" ����� ����� ���������� 5������������ �������� � 2���� ������� ��������� ��� ��� "��� ���� ����� ������ � ��� ��2��� � ��� ��������� ����� �� ���� �� ��� ��� ��� �����

��/ �� � ������ 1��" �� ���+�� $��� ���� �

��0�� � ������ 1��" �� ���+�� $��� ���� �

-�"������

%����� �� 7667� 5������� ��������� ���� �������� �" ���� ����������� ���"�� ��� � � &+2$)? � �����2��� %������ ����� �! +�9�767�

%������� <�� �� �� 766+� )�� � ���� �"�������� ������� ���� ( � 3�� -4!4+7�476�

C������� ?�� �� �� +���� H��� ��������� ���� ������ &2$)?�� �" ������������ ����� � ����� 2���� ����� %��� 4%� �,!4�74�4�7��

������ �� � 8� ������ +���� :����0� ���������� ������� "��� ������� �������� ��������� ������ ��� $)? � 2���� ��� � ���� �" ��� ��� ����� ����������� 2��� ����� %��� 4%� �,! +-+4I�+-+;7�

������������ 8� � %� 5���� +�II� ����2�������� "����� � ��� ��� � ����� �" ���5� (������ 6������ %�� �;9! +4�7;�

8���� ��� �� �� 766+� ����2������ ������� ������ ���� ��������� �&6&+2$)?��� *+�% $��� 7;+! +���

@����� (� � ?� @������� 7666�@������ ������ � �� ��������� � ����� �������� %���� 799! �;����

@�1� ��� �� �� 766+� '�������� �" ����� ��2��������� &+2$)?�� ���� ������������� �� �� ����� ��� ��� �����! �� �������"�� ��� ������� �" ���� ��� ���� (��+6,! --+�-4+�

@������� $� � �� ������ +��,� <��� ������� ����� � ��� �� ����1���� ���� ��� 5� I+!-6-6�-64;�

@������� $� � �� ������ +��,�� )�� � �����" ������ ���� ��������� +���� ���� �� 5�7;! 4I�;-�

������ �� � �� ��� 7666� ������� ���2����� �����! )�� ������������� �"

$)? � ����� ���� � � ���� ��� ���� +4;9!497�;+6�

������ �� � �� ��� 7666� �� �� ��� �""�2���� �" ��� &+ $)?�� �� ����J 5� ���������� �� --7! 4;��4,��

������ ��� �� �� 7666� ��� &62$)?�� ����������� ������� ����� 3��� %��� -;;! ;7-�;79�

?������� ?�� �� �� 7666� $)? ' ����� � ��� �� 7666! ������� ����� ���� ��� �����������" ����� �������� �1 �� ��� ��=���5� �������� ��� �� -7!

?����� <� '� � �� ������ +��;� <��������� ���� ��� �= ��� ��� ������� ��������" ������ ���� ��� 5� ,9! 767��7+6��

'����� C�� �� �� 7666� )�� ���� ������� �"$)? � ����� (���� 7���� %������ ����� +6!,I7�,I��

'�� '�� �� �� 7667� H����� ���� ������ �&+2$)?��� ���� 2�� ���� %��

K����� '�� �� �� 7667� :��������������������� �� ��� � ���� ��������� ���� ������ ��������� ����� 2��� ����� %��� 4%���! ;�II�;�9+�

��� �� � �� ������ +��9� H��� ���2������ � ��� &+ ����� �" $)? � �����2���� -�,! 7I��797�

��� �� � �� ������ 766+� )�� '����� �""�2���� "�� �������� ������ � ��� ���2����� +���� ��� $��� ;I! +-4�+46�

��� �� � �� ������ 7667� �������� ������������ � �������� ������� ����� � ��� �

��� �� � �� ������ 7667�� )�� '������""����� "�� �������� ������ � ��� �������� +���� ��� $��� ;I! +-4�+46�

��� ��� �� �� +��9� &���� ������� � �5$ �� ������ ���� ��� 5� I4! ++9,�+767�