46

８ 準地衡方程式系

中緯度での大きな空間スケールでの大気の運動においては、地衡風平衡

が近似的に成り立っている。つまり、水平風の地衡風成分は、非地衡風

成分よりも大きい。この条件を用いて近似を行ない、プリミティブ方程

式系から、温帯低気圧に代表される総観規模の大気の運動を記述する方

程式系を導出する。

８．１ 運動方程式のスケール解析

第 6章の(1)、(2)より、

xfvu

pu

yvu

xuu

t

(1)

yfuv

pv

yvv

xuv

t

(2)

ただし、粘性項は無視している。ここで、(1)、(2)の各項の大きさを見積もるこ

とを考える。まず、対象としている現象の代表的な空間スケールを L、風速の代

表的なスケールをU とする。総観規模の温帯低気圧や移動性高気圧を対象にす

る場合、

m 106L , m/s 10 U (3)

である。また、中緯度においては、コリオリ係数 f は、

/s10 4f (4)

である。したがって、左辺の時間変化項と移流項の代表的スケールは、

242

m/s 10L

U (5)

右辺第 1項のコリオリ項の代表的スケールは、 23 m/s 10fU (6)

地衡風平衡が近似的に成り立っているので、右辺第 2 項の気圧傾度項も同じス

ケールである。

ut

u

pu

yvu

xu

fv

x

vt

v

pv

yvv

xu

fu

y

42

10L

U

42

10L

U

310fU 310

47

以上のスケールの評価において、コリオリ項に対する、時間変化項や移流項

の比をロスビー数(Rossby number)という。ロスビー数oR は、

fL

U

fU

LURO

/2

(7)

と定義できる。ロスビー数が小さいほど、地衡風平衡がよく成り立っていると

いえる。中緯度では、 1.0oR である。

８．２ 地衡風成分と非地衡風成分

ここで、u、 vを地衡風成分 gu 、 gv と非地衡風成分au 、

av に分けて考える。

つまり、

yfug

0

1,

xfvg

0

1 (8)

とする。ただし、コリオリ係数としては、代表的緯度での値0f を用いている。

このように定義した gu 、 gv を用いて、u、 vを

ag uuu , ag vvv (9)

とおく。地衡風平衡がよく成り立っているという条件のもとでは、

ag uu , ag vv (10)

である。(1)、(2)において、左辺の時間変化項と移流項は、右辺の２つの項に比

べて小さい。そこで、もっとも主要な成分である地衡風成分どうしの積のみを

考慮して、

ggggg uy

vux

uut

up

uy

vux

uut

(11)

ggggg vy

vvx

uvt

vp

vy

vvx

uvt

(12)

と近似する。鉛直風は非地衡風であるので、(11)、(12)の右辺には含まれない。

一方、(1)、(2)の右辺において、 u、 vを地衡風成分と非地衡風成分に分け、

さらに、

yff 0 (13)

と近似すると、

x

vvyfx

fv ag

0 (14)

y

uuyfy

fu ag

0 (15)

48

と書ける。地衡風成分に比べて非地衡風成分は小さいが、さらに、0f に比べて y

は小さい。そこで、小さいものどうしの積であるayv 、

ayv の項を無視して、

x

vfvyfx

fv ag

00 (16)

y

ufuyfy

fu ag

00 (17)

とする。(11)、(12)、(16)、(17)より、(1)、(2)は、

x

vfvyfuy

vux

uut

agggggg

00 (18)

y

ufuyfvy

vvx

uvt

agggggg

00 (19)

と近似できる。

８．３ 渦度方程式

地衡風は非発散であり、

0

gg v

yu

x (20)

であることを用いて、(19)の x偏微分と(18)の y偏微分との差を計算すると、

aaggggg v

yu

xfvu

yv

xyv

xu

t0 (21)

が得られる。ここで地衡風の相対渦度 g を ggg uy

vx

とおいて、(21)を変

形すると

aaggg v

yu

xfyf

yv

xu

t00 (22)

となる。さらに、(22)に対して、連続の式

0

pv

yu

xaa (23)

を用いると、

p

fyfy

vx

ut

ggg

00 (24)

が得られる。ここで、

2

0

1

fu

yv

xggg (25)

だから、地衡流線関数(geostrophic stream function) g を

49

0

1

fg (26)

と定義すれば、

gpg 2

(27)

となって、(25)は、

p

fyfy

vx

ut

gpgg

0

2

0 (28)

と書ける。

８．４ 熱力学方程式

第 6章の(6)より、

0

pyv

xu

t (29)

ただし、非断熱加熱を無視している。ここで、圧力 pにだけ依存する温位 の基

本場 R を定義すると、基本場の温位の鉛直勾配dp

d R は、温位の偏差の鉛直勾配

に比べてじゅうぶんに大きいので、

dp

d

p

R

(30)

である。さらに、水平移流項のu、 vを gu 、 gv に置き換えると、(29)は

dp

d

yv

xu

t

Rgg

(31)

と書ける。ここで、理想気体の状態方程式

RTp (32)

と静水圧平衡の関係

p (33)

を用いると、

pR

pT (34)

が導かれ、温位 は

pC

R

p

pT

0

(35)

だから、

50

pp

p

R

p pC

R

0

(36)

となる。これを(14)に代入すると、

dp

d

pp

p

R

p

yv

xu

t

RC

R

gg

p

0

(37)

と書ける。ここで、 R が圧力 pにだけ依存し、 x、 y、 tに依存しないことを考

慮すると、

pdp

d

p

p

R

p

yv

xu

t

RC

R

gg

p

1

0

(38)

と変形することができる。ここで、圧力 pにだけ依存する変数 sを

dp

d

p

p

p

Rs R

C

R

p

0

2 (39)

と定義する。 sは p座標における安定度の指標とみなせる。このとき、(38)は、

psyv

xu

tgg 2

1 (40)

と表せる。さらに、地衡流線関数 g を用いれば、

ggg

ps

f

yv

xu

t 2

0 (41)

が得られる。

８．５ 準地衡渦位

(28)と(41)からを消去することを考える。まず、(41)を pで偏微分すると、

p

ps

f

yp

v

xp

u

ps

f

pyv

xu

tg

gg

ggg

2

0

2

0

(42)

となる。ここで、

yu

g

g

,

xv

g

g

(43)

だから、(42)の左辺第 2項は消去できて、

51

pps

f

pyv

xu

tggg

2

0 (44)

が得られる。(44)に0f をかけて、(28)との和を計算すると、

02

2

02

0

ggpgg

ps

f

pyf

yv

xu

t (45)

となる。ここで、

yv

xu

tDt

Dgg

g

(46)

と定義すれば、

02

2

02

0

ggp

g

ps

f

pyf

Dt

D (47)

となる。(47)は、

ggp

ps

f

pyfq

2

2

02

0 (48)

が地衡風に沿って保存することを示している。この q を準地衡渦位

(quasi-geostrophic potential vorticity)という。

なお、鉛直座標として圧力 pの代わりに高度 zを用いると、(47)は、

01

2

2

02

0

gR

R

gp

g

zN

f

zyf

Dt

D

(49)

と表せる。ただし、 R は R から計算される基本場の密度である。N はブラント・

ヴァイサラ振動数であり、

dz

dgN R

R

12 (50)

と定義される。仮に、 R が高度によらず一定とすると、(49)は

02

2

2

2

02

0

ggp

g

zN

fyf

Dt

D

と書くことができる。このとき、鉛直方向の 2階微分の 22

0 / Nf 倍が水平方向の

2階微分に対応していることがわかる。これは、準地衡系では、現象の水平スケ

ールが鉛直スケールの 0/ fN 倍程度になることを意味している。 210N /s、

52

4

0 10f /s とすれば、水平スケールは鉛直スケールの 100倍程度になり、観測事

実と一致する。

８．６ オメガ方程式

前節では、連立方程式(28)、(41)からを消去して、準地衡渦位 qの時間変化

を予報する方程式(47)を求めた。ここでは、(28)と(41)から時間変化項を消去し、

を診断的に求める方程式を導出する。まず、(28)を pで偏微分すると、

2

2

0

2

0p

fyfy

vx

utp

gpgg

(51)

となって、

2

2

0

2

0

2

0p

fyfy

vx

up

yftp

gpgggp

左辺第 1項で微分の順序を入れ替えると、

2

2

0

2

0

2

pfyf

yv

xu

pptgpgg

g

p

両辺に2

0

s

f をかけて、

2

2

2

2

02

02

02

2

0

ps

fyf

yv

xu

ps

f

ps

f

tgpgg

g

p

(52)

が得られる。一方、(41)の両辺に2

p を作用させると、

2

2

02

pgggpps

f

yv

xu

t

(53)

となって、

2

2

02

2

02

pgggpgpps

f

yv

xu

ps

f

t

左辺第 1項で微分の順序を入れ替えると、

2

2

022

2

0pgggpgp

ps

f

yv

xu

ps

f

t

(54)

が得られる。(52)と(54)の和を計算すると、

53

gggpgpgg

ps

f

yv

xuyf

yv

xu

ps

f2

022

02

0

2

2

2

2

2

0p

ps

f

となる。ここで、

pggg uy

vx

u

を用いると、

2

2

2

2

02

ps

fp

gpgpgppg

ps

fuyfu

ps

f2

022

02

0

と書けて、

212

2

2

2

02FF

ps

fp

(55)

が得られる。ただし、

gppg yfups

fF

2

02

01

gpgp

ps

fuF

2

02

2

である。これをオメガ方程式(omega equation)という。

オメガ方程式を用いると、ある時刻での地衡流線関数 g の分布から鉛直流

を診断することができる。つまり、(55)の左辺は鉛直流の 2階微分になってい

るので、右辺の 21 FF の分布が求まると、を決定することができる。が波

型の構造をしている場合、 21 FF が正のとき、は負であり上昇流となる。

(55)において、右辺第 1項 1F は地衡渦度の水平移流の鉛直微分である。たとえ

ば、トラフの前面では正の渦度が西風によって移流されてくるから、渦度の移

流 gppg yfu 2

0 は正である。上空ほど西風が強いので、移流項の値

は大きくなる。このため、 p微分は負となる。したがって、 1F は正であり、ト

54

ラフの前面では地衡渦度の水平移流によって上昇流を生じさせる作用がはたら

くことがわかる。上昇流にともない、上層で水平発散が生じて渦度を減少させ

る効果、下層で水平収束が生じて渦度を増加させる効果が生じるので、地衡渦

度の水平移流によって生じる渦度偏差は平滑化される。

一方、第 2 項 2F は温位偏差の水平移流の水平 2 階微分である。たとえば、ト

ラフの前面では南風によって正の温度移流が生じているから、温度移流項は正

である。これを水平 2階微分し、符号を反転されたものが 2F であるから、結局 2F

は正である。したがって、トラフの前面では温度移流によって上昇流を生じさ

せる作用がはたらくことがわかる。上昇流によって温度が低下するので、水平

温度移流によって生じる温度偏差は緩和される。

このように、準地衡系においては、力学場（渦度場）と熱力学場（温度場）

との間の拘束条件が強く、両者は自由には変動できない。このため、渦度偏差

だけが与えられたり温度偏差だけが与えられたりしても、結局、渦度場の偏差

と温度場の偏差の両方に偏差が分配され、場の整合性を保とうとしている。

課題 8.1 理想気体の状態方程式と静水圧平衡の関係を用いて、(47)から(49)を

導出せよ。本来、p

は

zg

1に置き換えられるが、近似的に

zgR

1として

よい。同様に、dp

dを

dz

d

gR

1 に置き換えてよい。