LISTA DE EXERCCIOS E RESOLUES CLCULO I 1) Faa as derivadas das seguintes funes: Dado: a) b) c) d) e) f) d sen(u)/du = cos(u), d (eu)/du = eu, d cos(u)/du = -sen(u), d log(u)/du = 1/u.

f(x) = (x + 5)-5/3 f(x) = (2x2 + 1)2 (x2 + 3x) f(x) = (2x2 + x 1)5/2 / (3x + 2)9 f(x) = sen(2x)/cos(3x) f(x) = (ex + 1)1/2 f(x) = log(x2 + 2)/e-x

2) P = 130 + 2x3/2 a funo que d, em milhes de habitantes, a populao de um pas em funo do tempo x, em anos, a partir de hoje. a) Determine a funo Crescimento Populacional. Por que a derivada da funo Populao a funo Crescimento Populacional? b) Quantos Habitantes ter esse pas daqui a quatro anos? c) Quanto a populao estar crescendo por ano daqui a exatamente quatro anos? 3) Encontre os pontos crticos e classifique-os (mximo, mnimo e ponto de inflexo). a) b) c) d) e) f) y = 40 6x + x2 y = 2x2 x3 y = x5 + 5x3 + 5 y = k.exp(-x2 /2) y = x + 1/x Seja C = q3 9q2 + 40q + 50 uma funo Custo Total.

4) Seja P = -x3 + 300x a funo que d a quantidade produzida de certo produto agrcola em funo da quantidade de fertilizante. a) Determine a funo Produo Marginal (Pmg) e resolva a equao Pmg = 0 e as inequaes Pmg>0 e Pmg>0. b) Determine os pontos de mximo e mnimo, se houver, e os intervalos de crescimento e decrescimento da funo Produo. c) Faa o grfico de P. 5) Determine os pontos de mximo, mnimo ou sela, se houver. a) b) c) d) e) Z = [(x3 + y3)/3] - 3x2 3y2 + 8x + 50 Z = x2 + 4xy + y2 40x 56y +1 Z = x3 y3 Z = x2 + 2y2 4x 12y + 32 Z = 6x + 12y x2 y3

f) Z = ln (4xy 10) g) Z = exp(2x + y2) 6) Seja U = 4xy + 3x x3 y2 a funo que d a utilidade de um consumidor de dois produtos de quantidades x e y. a) Determine a combinao (x, y) que lhe proporciona a utilidade mxima. b) Teste o ponto encontrado para verificar se realmente se trata de um ponto de mximo. c) Determine a utilidade mxima do consumidor. 7) Sejam px = 5 x2 e py = 4 y2 as funes Demanda para dois produtos de quantidades x e y e seja C = x2 + 2y2 + 2 a funo Custo associada. Determine o lucro mximo. 8) Seja L = 20x x2 + 32y 2y2 a funo lucro de uma indstria que produz e comercializa dois produtos em quantidades x e y. Quer-se calcular o lucro mximo, sabendo que a produo da indstria limitada em 24 unidades, includos os dois produtos. 9) Sejam Z = 3x1/3 y1/3 e C = x2 + 2y + 8, respectivamente, as funes Produo e Custo para uma empresa que quer calcular seu custo mnimo para uma produo de 12 unidades. 10) Seja U = xy x a funo que d a utilidade de um consumidor de dois produtos de quantidades x e y. Calcule a utilidade mxima do consumidor, sabendo que sua restrio oramentria dada pela igualdade 8x + 2y = 34.A ignorncia a chave da certeza Autor Desconhecido

RESOLUO 1) a. f ( x) = ( x + 5) 5 / 35 5 f ' ( x) = ( x + 5) (5 / 3) 1 = ( x + 5) 8 / 3 3 3

b. f ( x) = ( 2 x 2 +1) 2 ( x 2 + 3)f ' ( x) = [2(2 x 2 +1)( 4 x )]( x 2 + 3) + (( 2 x 2 +1) 2 [2 x + 3]

c. f ( x) =

( 2 x 2 + x 1) 5 / 2 (3 x + 2) 9

f ' ( x) =

[( 5 / 2)( 2 x 2 + x 1) 3 / 2 ( 4 x + 1)]( 3 x + 2) 9 (2 x 2 + x 1) 5 / 2 [9(3 x + 2) 8 (3)] (3 x + 2)18

d. f ( x ) =

sen 2 x cos 3 x [cos 2 x( 2)] cos 3 x sen 2 x[ sen 3 x(3)] f ' ( x) = (cos 3 x) 2

e. f (x ) = e x + 1f ' ( x) = 1 x (e = 1) 1 / 2 (e x ) 2

f. f ( x ) =f ' ( x) =

log( x 2 + 2) e x

[( x 2 + 2) 1 ( 2 x )]e x log( x 2 + 2)e x ( 1) ( e x ) 2

2)

P = 130 + 2 x 3 / 2

a. fcp ( x ) = P ' ( x) = 3 x 1 / 2 Porque a derivada d a variao na populao correspondente variao de um ano no tempo. b. P(4) = 130 + 2(4) 3 / 2 = 130 + 22 4 3 = 130 + 2 64 = 130 + 2 8 = 130 +16 =146 milhes de hab. c. P ' (4) = 3(4) 3 / 2 = 6 milhes de hab por ano. 3) a. y = 40 6x + x2 y= 6 + 2 x = 0 , Resolvendo esta equao temos x = 3. Assim, o nico ponto crtico desta funo (x, y) = (3, 31). y= 2. Ento o ponto (3,31) de mnimo. b. y = 2x2 x3 y= 4 x 3 x 2 = 0 , (x = 0 ou x = 4/3). y= 4 6 x [ em x = 0 / y= 4 (Ponto de Mnimo)] [ em x = 4/3 / y= 4 (Ponto de Mximo)] c. y = x5 + 5x3 + 5 y= 5 x 4 + 15 x 2 = x 2 ( x 2 + 3) = 0 , (x = 0). y= 20 x 3 + 30 x , [ em x = 0 / y= 0, mas y3 = 30 (Ponto de Inflexo)]

d. y = ke x / 2 y= ke x / 2 ( x) = 0 , (x = 0). y= [ke x / 2 (x)]( x) + ke x / 2 [ 1] , { em x = 0 / y= k [ Se k 0 (Ponto de mximo), se k 0 (Ponto de Mnimo), e se k = 0 , nada podemos dizer.2 2 2

2

e.

y= x+

1 x

y= 1 y=

2 = 0 , ( x = 2 ) x2

4 4 (Ponto de Mnimo)] 3 , [ em x = + 2 / y= 2 2 x

[ em x = 2 / y=

4 2 2

(Ponto de Mximo)]

f. C = q3 9q2 + 40q + 50 q C= 3q 2 18 q + 40 = 0 , (C 0 R ) ( significa: PARA TODO). Como no existe q que faa C= 0, a funo no possui pontos crticos. 4) P ( x) = x 3 + 300 x a.Pmg ( x) = 3 x 2 + 300 3 x 2 + 300 = 0 3 x 2 = 300 x 2 =100 x = +/ 10

Estudando a funo Pmg= 0, se x=+/-10 Pmg > 0, se {x R / -10 < x < 10} Pmg < 0, se {x R / x < -10 ou x > 10} b. b1. Para construirmos o grfico de uma funo, precisamos antes identificar alguns pontos especiais do mesmo: a) Os x* para os quais f(x*) = 0; b) Os pontos crticos, ou seja, os x* para os quais f(x*) = 0.

P ( x) = 0 x 3 + 300 x = 0 x ( x 2 + 300 ) = 0 x 2 +300 = 0 x = +/ 17 ,32 x =0

b2. (17,32; -10; 0 ; 10 ; 17,32) so os Pontos Especiais da funo. Ento vejamos o comportamento da funo nos seguintes intervalos: (-, -17,32)P ' ( 20 ) = 3(20 ) 2 + 300 = 900 < 0 P ' ' ( 20 ) = 6( 20 ) = 120 > 0

(-17,32 , -10) P ' (15 ) = 3( 15 ) 2 + 300 = 375 < 0

P" ( 15) = 6( 15) = + 90 > 0P ' (5) = 3(5) 2 + 300 = +225 > 0

(-10 , 0)

P" ( 5) = 6( 5) + 30 > 0

(0 , 10)

P ' (5) = 3(5) 2 + 300 = 375 < 0

P" (5) = 6(5) = 30 < 0

(10 , 17,32)

P ' (15 ) = 3(15 ) 2 + 300 = 375 < 0

P" (15) = 6(15) = 90 < 0P ' ( 20 ) = 3( 20 ) 2 = 300 = 900 < 0

(17,32 , +)

P" (20) = 6(20) = 120< 0

Voc j tem todas as informaes de que necessita. Agora, s construir o grfico. 5) a. z =c. p.o. Z = x 2 6x + 8 = 0 x Z = y2 6y = 0 xx3 + y 3 3 x 2 3 y 2 + 8 x + 50 3

Os Pontos Estacionrios so: (2;0),(2;6),(4;0) e (4;6). Classificao dos pontos: (2;0) [h11] = [H] =2Z = 2 x 6 = 2 0 x 2

2 Z 2 Z 2 Z 2 Z = (2 x 6)( 2 y 6) = 12 0 xy yx x 2 y 2

(2;6) [h11] = 2 x 6 = 2 0 [H] = (2 x 6)( 2 y 6) = 12 0 (4;0) [h11] = 2 x 6 = 2 0 [H] = (2 x 6)( 2 y 6) = 12 0 (4;6) [h11] = 2 x 6 = 2 0 [H] = (2 x 6)( 2 y 6) = 12 0 (2;0) Mximo; (2;6) Sela; (4;0) Sela; e (4;6) Mnimo. b. z = x 2 + 4 xy + y 2 40 x 56 y +1c. p.o. Z = 2 x + 4 y 40 = 0 x Z = 4 x + 2 y 56 = 0 x

O Ponto Estacionrio : (12; 4). Classificao dos pontos: (12;4) [h11] = [H] =2Z =2 0 x 2

2 Z 2 Z 2 Z 2 Z = 12 0 xy yx x 2 y 2

(12,4) Ponto de Sela. c. z = x 3 y 3c. p.o. Z = 3x 2 = 0 x Z = 3y 2 = 0 x

O Ponto Estacionrio : (0; 0). Classificao dos pontos: (0;0) [h11] = [H] =2Z = 6x = 0 x 2

2 Z 2 Z 2 Z 2 Z = (6 x )( 6 y ) = 0 xy yx x 2 y 2

O Hessiano nenhuma informao proporciona, mas pode-se verificar que o ponto (0,0) no ponto de mximo nem de mnimo, pois a funo assume o valor zero em (0,0), e nas proximidades do ponto (0,0) assume tanto valores positivos como negativos. Ento (0,0) ponto de sela. d. z = x 2 + 2 y 2 4 x 12 y + 32c. p.o. Z = 2x 4 = 0 x Z = 4 y 12 = 0 x

O Ponto Estacionrio : (2; 3). Classificao dos pontos: (12;4) [h11] = [H] =2Z =2 0 x 2

2 Z 2 Z 2 Z 2 Z =8 0 xy yx x 2 y 2

(2,3) Ponto de Mnimo. e. z = 6 x +12 y x 2 y 3c. p.o. Z = 6 2x = 0 x Z = 12 3 y = 0 x

O Ponto Estacionrio : (3; 4). Classificao dos pontos:2Z (12;4) [h11] = = 2 0 x 2

[H] =

2 Z 2 Z 2 Z 2 Z =6 0 xy yx x 2 y 2

(3,4) Ponto de Mximo. f. z = e 2 x + yc. p.o.2

2 Z = e 2 x + y ( 2) = 0 x 2 Z = e 2 x + y (2 y ) = 0 x

No existem pontos no R2 que satisfaam este sistema de equaes. Isto significa que no h pontos crticos, ou estacionrios, (Mximo, Mnimo, Sela). g. z = log( 4 xy 10 )c. p.o. Z 1 = (4 y ) = 0 x 4 xy 10 Z 1 = (4 x) = 0 x 4 xy 10

O Ponto Estacionrio : (0; 0). Classificao dos pontos: (12;4) [h11] = [H] = Z 2 Z 2 Z 2 Z 16 y 2 16 x 2 = = 0,16 0 xy yx ( 4 xy 10 ) 2 ( 4 xy 10 ) 2 x 2 y 22

2 Z 16 y 2 = =0 (4 xy 10 ) x 2

(3,4) Ponto de Sela. 6)U = 4 xy + 3 x x 3 y 2

c. p.o. U = 4 y + 3 3x 2 = 0 x U = 4x 2 y = 0 y

Os pares ordenados que resolvem o sistema, satisfazendo a Condio de Primeira Ordem, so denominados Pontos Estacionrios. Neste caso so (3;6) e (-1/3;-2/3). Classificao dos pontos: 2U (3;6) [h11] = = 6 x = 18 0 x 2 [H] = (-1/3; -2/3)2U 2U 2U 2U =12 x 16 = 20 0 xy yx x 2 y 2

[h11] = -6x = 2 0 [H] = 12 x 16 = 20 0

Assim, H definida Negativa (Ponto de Mximo) em (3;6). Em (-1/3; -2/3) H Indefinida (Ponto de Sela).L = R C = ( p x x + p y y ) C t = x 3 x 2 + 5 x y 3 2 y 2 + 4 y 2 c. p.o.

7)

L = 3 x 2 2 x + 5 = 0 x L = 3 y 3 4 y + 4 = 0 x

Os (x, y) que satisfazem a c.p.o., ou seja, anulam tempo so (-5/3, 2/3); (-5/3,-2); (1,2/3) e (1,-2). Classificao dos pontos: (-5/3,2/3)2 2

L L e ao mesmo y x

[h11] = [H] =

2L = 6 x 2 = 8 0 x 2

L L 2 L 2 L = ( 6 x 2)( 6 y 4) = 64 0 2 2 xy yx x y

(-5/3,-2)

[h11] = 6 x 2 = 8 0 [H] = (6 x 2)( 6 y 2) = 64 0 [h11] = 6 x 2 = 8 0 [H] = (6 x 2)( 6 y 2) = 64 0 [h11] = 6 x 2 = 8 0 [H] = (6 x 2)( 6 y 2) = 64 0

(1,2/3) (1,-2)

H definida Negativa (Ponto de Mximo) em (1,2/3). Lmx. = L(1,2/3) = 8)67 27

Max. L( x, y ) = 20 x x 2 + 32 y 2 y 2 s.a. g ( x, y ) = x + y = 24 Max. F ( x, y, ) = 20 x x 2 + 32 y 2 y 2 ( x + y 24 )c. p.o. F = 20 2 x = 0 xF = 32 4 y = 0 y F = ( x + y 24 ) = 0 ( x, y , ) = (14 ,10 , ) o nico ponto no espao R3 que satisfaz as trs 8

equaes. Classificao do ponto:N (var iveis ) M ( restries ) = 2 1 = 1( Menor Pr incipal ) ~ m +1 [ H ] ~ ( 1) ( Mx .Local ) ~ m [ H ] ~ ( 1) ( Min .Local ) 0 0 ~ [H ] = g x gy gx Fxx Fyx gy g Fxy = x Fyy g y g x 2 F x 2 2 F yx g y 2 F xy 2 F y 2

No esquea que a Matriz Hessiana simtrica em relao Diagonal Principal. Como~ [H ] =6 0 ,

e ( 1) m +1 = ( 1)1+1 = (1) 2 =1 0 , temos um Mximo Local.

9)

Min. C ( x, y ) = x 2 + 2 y + 8 s.a. p ( x, y ) = 3 x 1 / 3 y 1 / 3 = 12 Max. F ( x, y, ) = x 2 + 2 y + 8 (3 x1 / 3 y 1 / 3 12 )c. p.o. F = 2 x x 2 / 3 y 1 / 3 = 0 xF = 2 x 1 / 3 y 2 / 3 = 0 y F = (3 x 1 / 3 y 1 / 3 12 ) = 0

Resolvendo o sistema temos ( x, y , ) = (4,16 ,8) ,ou ( x, y , ) = ( ,16 ,8). 4 Classificao do ponto (4,16,8) nico que tem significado econmico:

N M = 1 ~ 9 . [ H ] = 8 0Como (1) m = (1)1 = 1 0 , temos um Mnimo Local. 10) Max. U ( x, y ) = xy x s.a. g ( x, y ) = 8 x + 2 y = 34 Max. F ( x, y, ) = xy x (8 x + 2 y 34 )c. p.o. F = y 1 8 = 0 x

F = x 2 = 0 y F = (8 x + 2 y 34 ) = 0

A soluo do sistema ( x, y, ) = ( 2,9,1) .

N M = 1 . ~ [H ] = 3 2 0Como ( 1) m +1 = ( 1)1+1 = (1) 2 =1 0 , temos um Mximo Local.