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7/23/2019 8640453asdasdasd adfa dsfas d

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UNIDAD II

NMEROS ALEATORIOS Y PSEUDO ALEATORIOS

1. Qu son los nmeros aleatorios !seu"o aleatorios !ara

#usir$en%Los nmeros aleatorios tienen la propiedad de ser obtenidos al

azar,es decir, son resultado de un proceso en el cual su resultadono espredecible ya que todo nmero tiene la misma probabilidad de serelegidoy la eleccin de uno no depende de la eleccin del otro.Lapalabra aleatorio se usa para expresar una aparente carencia depropsito, causa, u orden. El ejemplo clsico ms utilizado paragenerarloses el lanzamiento repetitivo de una moneda o dado.

Los nmeros pseudo aleatorios son nmeros generados en unproceso que parece producir nmeros al azar, pero no lo hacerealmente, de aqu el pre!ijo pseudo que quiere decir !also, ya que sugeneracin partede algoritmos determinsticos, lo cual nos quiere decirque obtendremos siempre el mismo resultado bajo las mismascondiciones iniciales. Estascondiciones se re!ieren a varios parmetrosde arranque, siendo el valor inicial, tambi"n llamado semilla, eldenominador comn de todos losalgoritmos.

Estos nmeros tienen la caracterstica de que deben seguiruna distribucin #ni!orme, es decir que pueden tomar cualquier valordentrodel intervalo $%, &', entonces podemos decir que los nmeros

pseudoaleatorios son nmeros entre % y & que han pasado por untamizado de pruebas para poder determinar que tendrn una !uncinaproximada a larealidad es decir, haya aleatoriedad.

La !uncin de los nmeros pseudo aleatorios es que a partir deellospodemos generar variables aleatorias las cuales estn sujetas en elmayor de los casos, a distribuciones estadsticas que son las que seusan para establecer el comportamiento de materiales, sucesos,personas, etc., entodo proceso de simulacin.

2. Para #u &'mo se usan "i&(os nmeros%(e usan como una !uente con!iable de variabilidad dentro de los

modelos de simulacin !undamentalmente porque las sucesiones denmerospseudoaleatorios son ms rpidas de generar que las de nmerosaleatorios.


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La simulacin es el proceso de dise)ar un modelo de un sistemareal, que servir para dirigir experimentos con el propsito de entender,explicar,analizar o mejorar el comportamiento del sistema.

*ara simular el comportamiento de una o ms variables aleatorias es

necesario contar con un conjunto su!icientemente grande de nmerosaleatorios, pero por desgracia generar una sucesin de nmeros queseancompletamente aleatorios resulta muy complicado, ya que tendramosque generar una sucesin in!inita de valores que nos permitieracomprobar la inexistencia de correlaciones entre ellos, lo que seracostoso y tardadovolviendo imprctica la simulacin+ por ello es necesarioutilizar los nmerospseudoaleatorios de los cuales podemos asegurarcon un nivel alto decon!iabilidad que se comportan de manera similar aun conjunto de nmerosaleatorios.

La experimentacin directa sobre la realidad puede algunos tipo

deproblemas como costo muy alto, gran lentitud, en ocasiones las pruebassondestructivas, puede no ser "tica $sobre todo si estn involucradossereshumanos', puede resultar imposible, por ejemplo, para predecirsucesos!uturos.

3. )'mo se *eneran los nmeros !seu"o aleatorios entre + ,%

Los nmeros pseudo aleatorios se generan mediante algoritmosdeterminsticos, es decir aquellos en que se obtiene el mismo resultado

bajo las mismas condiciones iniciales, por lo cual requierenparmetros dearranque.

(ea una secuencia ri = {r1,r2,r3, ..., rn} con n valores distintos, se leconoce como el conjunto necesario de nmeros entre % y & para realizarunasimulacin, siendo n el periodo o ciclo de vida. Esta secuencia !orma laparte principal de la simulacin de procesos estocsticos $basado enprobabilidades'y son usados para generar la conducta de variablesaleatorias, continuas o discretas. Estos nmeros se consideran pseudo-aleatorios porque es imposibleel generar nmeros realmente aleatorios.

Es preciso contar con un conjunto ri grande, esto con la !inalidad

de simular el comportamiento de una o ms variables aleatorias,adems el periodo de vida debe ser amplio debido a que es convenienterealizar varias r"plicas de simulacin, corriendo cada una con nmerospseudo aleatorios distintos. Es importante se)alar que ri se considerasatis!actorio si pasa sin problema las pruebas de uni!ormidad eindependencia, solo as podr serusado en la simulacin.


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Los algoritmos determinsticos para generar nmeros pseudoaleatorios se dividen en no congruenciales y congruenciales, "stos a su vezsedividen en lineales y no lineales.

Al*oritmos No )on*ruen&iales

a)Algoritmo de cuadrados medios*ropuesto en la d"cada de los cuarenta del siglo por /on

0eumanny 1etrpolis, este algoritmo requiere un nmero entero, llamadosemilla, con2 dgitos, este es elevado al cuadrado para seleccionar delresultado los 2 dgitos del centro+ el primer nmero ri se determinasimplemente anteponiendo el 3%3 a esos dgitos. *ara obtener elsegundo ri se sigue el mismo procedimiento, slo que ahora se elevan alcuadrado los 2 dgitos del centro que se seleccionaron para obtener elprimer ri. Este m"todo se repitehasta obtener n nmeros ri.

*asos para generar nmeros con el algoritmo de cuadradosmedios

&. (eleccionar semilla $%' con 2 dgitos $2 4 5'.6.(ea % 7 resultado de elevar % al cuadrado+ sea & 7 los 2 dgitos

delcentro, y sea ri 7 %.2 dgitos del centro.5. (ea 8i 7 resultado de elevar i al cuadrado+ sea i9& 7 los 2 dgitos

delcentro, y sea ri 7 %.2 dgitos del centro para toda i 7 &, 6, 5,..., n.:. ;epetir el paso 5 hasta obtener los n nmeros ri deseados.

0ota (i no es posible obtener los 2 dgitos del centro del nmero 8i,agregue ceros a la izquierda del nmero 8i.

E-em!lo5=, dedonde se puede observar que 2 7 : dgitos.

(olucin8% 7 $=>5='6 7 56 ?@% 66= & 7 ?@%6 ri 7 %.?@%68& 7 $?@%6'6 7 >@ 6:= A%: 6 7 6:=A ri 7 %.6:=A86 7 $6:=A'6 7 %A %5& @5A & 7 %5&@ ri 7 %.%5&@85 7 $%5&@'6 7 &%& >A& & 7 %&>A ri 7 %.%&>A8: 7 $%&>A'6 7 %5% @>A & 7 5%@> ri 7 %.5%@>


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nmero, *or ejemplo si % 7 & %%%, entonces & 7 %%%%+ ri 7 %.%%%% yse diceque el algoritmo se degenera con la semilla de % 7 & %%%.

b)Algoritmo de productos mediosLa mecnica de generacin de nmeros pseudo aleatorios de este

algoritmo no congruencial es similar a la del algoritmo de cuadradosmedios. La di!erencia entre ambos radica en que el algoritmo deproductos mediosrequiere dos semillas, ambas conD dgitos+ adems, enlugar de elevarlas alcuadrado, las semillas se multiplican y del productose seleccionan losDdgitos del centro.

B continuacin se presentan con ms detalle los pasos del m"todoparagenerar nmeros con el algoritmo de producto medios.

&. (eleccionar una semilla $%' conD dgitos $2 4 5'.6. (eleccionarunasemilla(X1)con2 dgitos$2 45'.

5. (ea8% 7 %*&+ seaX27 losD dgitos del centro,y sea ri = 0.D dgitos delcentro.

:.(ea 8i = iCi9&+ sea i96 7 los 2 dgitos del centro, y sea ri9& 7%.2 dgitos del centro para toda !D7 &,6,5,...,n+=. ;epetir el paso : hasta obtener los n nmeros ri deseados.

Nota: (i no es posible obtener losD dgitos del centro del nmero8i agregueceros a la izquierda del nmero Yi.

c)Algoritmo de multiplicador constanteEste algoritmo no congruencial es similar al algoritmo deproductos medios. Los siguientes son los pasos necesarios para generarnmeros pseudoaleatorios con el algoritmo de multiplicador constante.

&. (eleccionar una semilla $%' conD dgitos $2 4 5'.6. (eleccionar una constante (a) conD dgitos $2 4 5'.

5. (ea 8% - aC%+ sea & 7 los 2 dgitos del centro, y sea ri 7 %.2 dgitosdelcentro.

:.(ea 8i 7 aCi+ sea i9& 7 los 2 dgitos del centro, y sea ri9& 7 %.2

dgitosdel centro para todai 7 &, 6, 5,..., n.=. ;epetir el paso : hasta obtener los n nmeros ri deseados.

Nota: (i no es posible obtener los 2 dgitos del centro del nmero8i agregueceros a la izquierda del nmero 8i.


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Al*oritmos )on*ruen&iales

d)Algoritmo LinealEste algoritmo congruencial !ue propuesto por 2.. Lehmer en &@=&.

(egn LaF y Gelton, este algoritmo ha sido el ms usado. El algoritmocongruencial lineal genera una secuencia de nmeros enteros por medio delasiguiente ecuacin recursiva

i9& 7 $ai + c) mod (m) i= 0,

1, 2, 3 n donde;% 7 es la

semilla, % 4% y debe ser entero.a 7 es la constante multiplicativa, a 4% y debe serentero.c 7 constante aditiva, c 4% y debe ser entero.mod m 7 modulo, signi!ica realizar las operaciones anteriores y dividir

elresultado entre el valor de m, para obtener solamente el residuo.Es importante se)alar que la ecuacin recursiva del algoritmo

congruencial lineal genera una secuencia de nmeros enteros (7 H%, &,6, 3,, m-&I, y que para obtener nmeros pseudo aleatorios en elintervalo $%,&' se requiere la siguiente ecuacin

ri 7

*ara que el algoritmo sea capaz de lograr el mximo periodo de vidan, es preciso que dichos parmetros cumplan ciertas condiciones, JanKs,arson,0elson y 0icol sugieren lo siguiente

m 7 6g

a 7 & 9 :KK, debe ser entero.c, relativamente primo am.g, debe ser entero.Jajo estas condiciones se obtiene un periodo de vida mximo 07 m7 6g.

E-em!lo.

, hasta encontrar el periodo de vida mximo $0'.

a 7 & 9 :$5' 7 &5 m 7 65 7 07 ?

% 7 A& 7 $&5CA9>' mod ? 7 = r& 7 =M> 7 %.>&:6 7 $&5C=9>' mod ? 7 % r6 7 %M> 7 %.%%%5 7 $&5C%9>' mod ? 7 > r5 7 >M> 7 &.%%%


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: 7 $&5C>9>' mod ? 7 6 r: 7 6M> 7 %.6&:= 7 $&5C69>' mod ? 7 & r= 7 &M> 7 %.&:6A 7 $&5C&9>' mod ? 7 : rA 7 :M> 7 %.=>&> 7 $&5C:9>' mod ? 7 5 r> 7 5M> 7 %.:6?? 7 $&5C59>' mod ? 7 A r? 7 AM> 7 %.?=>

Es importante mencionar que el nmero generado en ? 7 A esexactamente igual a la semilla %, y si continuramos generando msnmeros "stos se repetiran. Bdems sabemos que el algoritmocongruencial lineal genera una secuencia de nmeros enteros S ={0,1, 2, 3,, m-&I.

(i no se cumple algunas de las condiciones, el periodo de vidamximo07m no se garantiza, por lo que el periodo de vida ser menor quem.

e)Algoritmo Congruencial MultiplicativoEl algoritmo congruencial multiplicativo surge del algoritmo

congruencial lineal cuando c7 %. Entonces la ecuacin recursiva esi9& 7 $ai) mod (m) i= 0, 1, 2, 3 n

En comparacin con el algoritmo congruencial lineal, la ventajadelalgoritmo multiplicativo es que implica una operacin menos a realizar.Losparmetros de arranque de este algoritmo son %, a y m, todos loscualesdeben ser nmeros enteros y mayores que cero.

*ara trans!ormar los nmeros i en el intervalo de $%, &' se usa laecuacin

ri 7

2e acuerdo con JanKs, arson, 0elson y 0icol las condicionesquedeben cumplir los parmetros para que el algoritmo congruencialmultiplicativo alcance su mximo periodo son

m 7 6g

a 7 5 9 ?K o a 7 = 9?Kk = 0, 1, 2, 3% debe ser un nmeroimpar.g, debe ser entero.

B partir de estas condiciones se logra un periodo de vidamximo

07 mM:7 6g-6.


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E-em!lo., K 76, y g 7= hasta encontrar el periodo o ciclo de vida.

(olucin

a 7 = 9 ?$6' 7 6& y m756

% 7 &>

& 7 $6&C&>' mod 56 7 = r& 7 =M5& 7 %.&A&66 7 $6&C=' mod 56 7 @ r6 7 @M5& 7 %.6@%55 7 $6&C@' mod 56 7 6@ r5 7 6@M5& 7 %.@5=:: 7 $6&C6@' mod 56 7 & r: 7 &M5& 7 %.566== 7 $6&C&' mod 56 7 6& r= 7 6&M5& 7 %.A>>:A 7 $6&C6&' mod 56 7 6= rA 7 6=M5& 7 %.?%A:> 7 $6&C6=' mod 56 7 &5 r> 7 &5M5& 7 %.:&@5

? 7 $6&C&5' mod 56 7 &> r? 7 &>M5& 7 %.=:?5Noda vez que la semilla % se repite, volvern a generarse los

mismos nmeros. *or lo tanto, el periodo de vida es n 7?, el cualcorresponde a 07mM: 7 56M: 7 ?.

f) Algoritmo congruencial aditivoEste algoritmo requiere una secuencia previa de n nmeros enteros

&, 6, 5, :,..., n para generar una nueva secuencia de nmerosenteros queempieza en n9&, n96, n95, n9: ,

(u ecuacin recursiva esi 7 $i-& 9 i-n) mod (m) i = n + 1, n + 2, n + 3,

, NLos nmeros ri pueden ser generados mediante la ecuacin ri 7

xiM $m-&'

E-em!lo

nmeros pseudo aleatorios entre cero y uno a partir de lasiguientesecuencia de nmeros enteros A=, ?@, @?, %5, A@+ m 7 &%%.(ean & 7 A=, 6 7 ?@, 5 7 @?, : 7 %5, = 7 A@. *ara generar r&, r6, r5 r:,r=, rAy r> antes es necesario generar A, >, ?, @, &%, &&, &6.

(olucin

A 7 $= 9 &' mod &%% 7 $A%9 A=' mod &%% 7 5: r& 7 5:M@@ 7%.5:5:> 7 $A 9 6' mod &%% 7 $5: 9 ?@' mod &%% 7 65 r6 7 65M@@ 7%.6565? 7 $> 9 5' mod &%% 7 $65 9 @?' mod &%% 7 6& r5 7 6&M@@ 7%.6&6&


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@ 7 $? 9 :' mod &%% 7 $6& 9%5' mod &%% 7 6: r: 7 6:M@@ 7 %.6:6:&% 7 $@ 9=' mod &%% 7 $6: 9 A@' mod &%% 7 @5 r= 7 @5M@@ 7 %.@5@5&& 7 $&% 9A' mod &%% 7 $@5 9 5:' mod &%% 7 6> rA 7 6>M@@ 7 %.6>6>&6 7 $&& 9>' mod &%% 7 $6> 9 65' mod &%% 7 =% r> 7 =%M@@ 7 %.=%=%

g)Algoritmos congruenciales no linealesEn esta seccin se analizarn dos algoritmos congruenciales no

lineales el congruencial cuadrtico y el algoritmo presentado porJlum,Jlum y (hub.

1. l!oritmo "on!ruen"ial "uadr#ti"o

Este algoritmo tiene la siguiente ecuacin recursiva

i 9 & 7 $a6 9 bD + c) mod (m) i = 0,1,2,3,, N

En este caso, los nmeros r. pueden ser generados con la ecuacin r D

7xD-M$m - &'. 2e acuerdo con LOEcuyer, las condiciones que deben cumplirlosparmetros m, a, b y c para alcanzar un periodo mximo de 0 7 m son

m 7 6g

a, debe ser un nmero par

c, debe ser un nmero

imparg debe ser entero

$b- &' mod : 7 &

2e esta manera se logra un periodo de vida mximo 0 7 m.E-em!lo

y c 7 6>. omo todas lascondiciones estipuladas para los parmetros se satis!acen, es de esperarseque el periodo de vida del generador sea 0 7 m 7 ?, tal como podrcomprobar al revisar los clculos correspondientes, que se presentan acontinuacin.

(olucin& 7 $6AC&566 9 6>C&5 9 6>' mod $?' 7:6 7 $6AC:66 9 6>C: 9 6>' mod $?' 7>5 7 $6AC>66 9 6>C> 9 6>' mod $?' 76 : 7 $6AC666 9 6>C6 9 6>' mod $?' 7&= 7 $6AC&66 9 6>C& 9 6>' mod $?' 7% A 7 $6AC%66 9 6>C% 9 6>' mod $?' 75 > 7 $6AC566 9 6>C5 9 6>' mod $?' 7A

i


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? 7 $6ACA66 9 6>CA 9 6>' mod $?' 7=@ 7 $6AC=66 9 6>C= 9 6>' mod $?'7 :

*or otro lado, el algoritmo cuadrtico genera una secuencia denmeros enteros ( 7 H%,&, 6,5..., m-&I, al igual que el algoritmocongruenciallineal.

2. l!oritmo de $lum, $lum % &'u

(i en el algoritmo congruencial cuadrtico a 7 &, b 7 % y c 7 %,entonces se construye una nueva ecuacin recursiva

i9&7 $6 ' mod $m' i 7 %, &, 6, 5, n

La ecuacin anterior !ue propuesta por Jlum, Jlum y (hub comoun nuevo m"todo para generar nmeros que no tienen un

comportamientopredecible.

De un e-em!lo utili/an"o un al*oritmo "e *enera&i'n "e nmeros!seu"o aleatorios

Blgoritmo de cuadradosmedios% 7 65:6 2 7 :

8% 7 7 %=:?:@A: & 7 :?:@ r& 7 %.:?:@

8& 7 7 65=&6?%& 6 7 =&6? r6 7 %.=&6?

86 7 7 6A6@A5?: 5 7 6@A5 r5 7 %.6@A585 7 7 %?>>@5A@ : 7 >>@5 r: 7 %.>>@5

8: 7 7 A%>5%?:@ = 7 >5%A r= 7 %.>5%A

8= 7 7 =5:%A?A: A 7 :%A? rA 7 %.:%A?

8A 7 7 &A=::?A6: > 7 =:?A r> 7 %.=:?A

8> 7 7 5%%@A&@A ? 7 %@A& r? 7 %.%@A&

8? 7 7 @65=6& @ 7 65=6 r@ 7 %.65=6

8@ 7 7 %==5&@%: &% 7 =5&@ r&% 7 %.=5&@

8&% 7 7 6?6@&>A& && 7 6@&> r&& 7 %.6@&>

8&&7 7 %?=%???@ &6 7 =%?? r&6 7 %.=%??

8&67 7 6=??>>:: &5 7 ??>> r&5 7 %.??>>8&57 7 >??%&&6@ &: 7 ?%&& r&: 7 %.?%&&

8&:7 7 A:&>A&6& .&= 7 &>A& r&= 7 %.&>A&

8&=7 7 %5&%&&6& .&A 7 &%&& r&A 7 %.&%&&

8&A7 7 %&%66&6& &> 7 %66& r&> 7 %.%66&

8&>7 7 %:??:& &? 7 :??: r&? 7 %.:??:

8&?7 7 65?=5:=A &@ 7 ?=5: r&@ 7 %.?=5:

8&@7 7 >&&565=A 6% 7 &565 r6% 7 %.&565

i


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4. Qu !ro!ie"a"es "e0en &um!lir los nmeros !seu"oaleatoriosentre &ero uno%

En gran medida, conocer las propiedades que deben tener losnmeros aleatorios garantiza una buena simulacin, por ello se

enumerana continuacin.Media de los nmeros aleatorios entre cero y uno

En vista de que estos nmeros deben de tener la mismaprobabilidad de presentarse, es preciso que su comportamiento muestreuna distribucin de probabilidad uni!orme continua, con lmite in!eriorcero y lmite superior uno. La !uncin de densidad de unadistribucinuni!orme es la siguiente.

*ara obtener la media de la distribucin multiplicamos la !uncinde densidad por x, y la integramos en todo el rango de la distribucindela siguiente manera

(ustituyendo los valores de a y b

*or lo tanto el valor esperado $es decir, la media de losnmeros

aleatorios entre cero y uno' es

Varianza de los nmeros aleatorios

*artiendo de la misma distribucin uni!orme continua obtenemos lavarianza de la distribucin por medio de la ecuacin

Lo que nos da


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Bl sustituir tenemos que

*or lo tanto

( )2ado estos resultados podemos decir que los nmeros aleatorios

entre cero y uno deben tener

Independencia

Esta es una propiedad muyimportante, e indica que losnmeros aleatorios no deben tenercorrelacin entre s+ es decir, quesean independientes, de manera quepuedan dispersarse uni!ormementedentro de un espectro de valoresposibles.

Los datos deben mostrar dispersin como en la !igura.

Es posible realizar una serie de pruebas para corroborar queno existe correlacin ente los nmeros aleatorios, e incluso paragarantizar que no existe un sesgo o tendencia entre los dgitos de cadauno de ellos.


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E-em!li1i#ue *eneran"o un &on-unto "e nmeros a!li&2n"oles las!rue0as ne&esarias !ara &om!ro0ar #ue renen las !ro!ie"a"es3

Blgoritmo congruencial lineal

% 7 65G 7 :g 7 =c 7 5&m 7 56a 7 &>

A AM5&7 %.&@5=

= =M5&7 %.&A&6

6%

%.A:=&

&@

%.A&6@

6

6M5&7 %.%A:=

& &M5&7 %.%566

&A

%.=&A&

&=

%.:?5?

5%

%.@A>>

6@ %.@5=:

&6 %.5?>%

&&

%.5=:?

6A

%.?5?>

6= %.?%A:

? %.6=?%

>

%.66=?

66 %.>%@A

6&

%.A>>:

: %.&6@%

5

%.%@A>

&? %.=?%A

&> %.=:?5

% %.%%%%

5& &.%%%%

&:

%.:=&A

&5 %.:&@5

6?

%.@%56

6> %.?>%@

&%

%.566=

@ %.6@%5

6: %.>>:&

65 %.>:&@


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Prue0a "e me"ias

!

"

!

"

Lmites de aceptacin in!eriores y superiores

! (P

) (P )

(

)

!

) (

# #

on lo anterior podemos comprobar que el valor de la media delconjunto de datos se encuentra dentro de los lmites de aceptacin, porlo tanto se acepta la % que nos dice que el conjunto de nmerospseudoaleatorios cumplen con la primer propiedad de tener una media de%.=.

Prue0a "e$arian/a

" !

!

!


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2ado que el valor de la varianza /$r'7 se encuentra dentro delos lmites de aceptacin, podemos decir que no se puede rechazar queelconjunto de nmeros tiene una varianza de &M&6.

Prue0a "e uni1ormi"a"

% ri # $%,&'

& ri no son uni!ormes

*ara comprobar si nuestro conjunto de datos se distribuyenuni!ormemente en el intervalo $%, &' procederemos a comprobarlomediante la !rue0a "e )(i4)ua"ra"a, en la cual se debe calcular unestadstico de prueba que posteriormente se va a comparar con un valorcrtico utilizando la tabla

de la distribucin hi-cuadrada, si6

Q se acepta la %.

*ara llevar a cabo esta prueba, es necesario dividir el intervalo $%, &'enm subintervalos, en donde es recomendable m7 # posteriormente, seclasi!ica cada nmero pseudo aleatorio del conjunto r i en los m intervalos.Bla cantidad de nmeros ri que se clasi!ican en cada intervalo se le denomina!recuencia observada $Ri', y a la cantidad de nmeros ri que se esperaencontrar en cada intervalo se le llama !recuencia esperada $Ei'. B partir deestos valores se calcula el estadstico de prueba

. % 7" ( )6

%

6


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Ri Ei 7

$%.%% $ %.&AA' A =.A=A@ %.%6%@666$%.&AA $ %.55' = =.A=A@ %.%>A%?:?

$%.55 $ %.=' = =.A=A@ %.%>A%?:?$%.= $ %.AAA' = =.A=A@ %.%>A%?:?

$%.AAA $ %.?55' = =.A=A@ %.%>A%?:?$%.?55 $ &' A =.A=A@ %.%6%@666

%.5:A&?5?

El estadstico 7 %.5:A&?5? es menor al valor crtico

correspondiente de la chi-cuadrada , entonces no se puederechazar que el conjunto de nmeros r i sigue una distribucin uni!orme.

Prue0a "e in"e!en"en&ia

% los nmeros de los conjuntos ri son independientes& los nmeros de los conjuntos ri no son independientes

Existen mltiples m"todos que tratan de corroborar que si losnmerosen el intervalo $%, &' son independientes o, en otras palabras sparecenpseudoaleatorios, a continuacin se realizar la prueba de &orri"asarri0a a0a-o3 El procedimiento de esta prueba consiste en determinar

una secuencia de nmeros $(' que slo contiene unos y ceros, deacuerdo con unacomparacin entre riy ri-&, la cual se construye de lasiguiente manera secoloca un cero si el nmero ri % ri-&+ en caso de sermayor que el que nmero rianterior, se pone un uno. *osteriormente, sedetermina el nmero de corridas observadas, o la cual se identi!icacomo la cantidad de unos o cerosconsecutivos. Bdems se necesita hacerlos siguientes clculos

So 7

7

*ara aceptar o rechazar la hiptesis nula, es necesario hacer unacomparacin entre el siguiente estadstico de prueba y el valor crtico,si T%Q TM6 podemos concluir que los nmeros generados corresponden a lapropiedad de ser independientes.


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T% 7 &

'

(e aplica la prueba de corridas arriba abajo al conjunto de 56nmeros

pseudo aleatorios generados anteriormente

%.&@5= %.&A&6 %.A:=& %.A&6@ %.%A:= %.%566 %.=&A& %.:?5?%.@A>> %.@5=: %.5?>% %.5=:? %.?5?> %.?%A: %.6?=% %.66=?%.>%@A %.A>>? %.&6@% %.%@A> %.=?%A %.=:?5 % &%.:=&A %.:&@5 %.@%56 %.?>%@ %.566= %.6@%5 %.>>:& %.>:&@

( 7 H% & % % % & % & % % % & % % % & % % % & % % & %% & % % % & %I

o 7 &@

7

7 6&

7 7 =.5AAA

T% 7 + 7 - %.?A5:

#

7 7 &.@A entonces - %.?A5: es menor que &.@A se concluyeque no se puede rechazar que los nmeros del conjunto ri seanindependientes.

#


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UNIDAD III

5ARIA6LES ALEATORIAS

1. A #u se llama $aria0le aleatoria #ue ti!os "e $aria0le aleatoria

e7isten%El t"rmino variable signi!ica valores inestables, pero decir que

una variable es aleatoria, se re!iere a mediciones cuyos valores seobtienen de algn tipo de experimento aleatorio. Losexperimentosaleatorios presentan un tratamiento matemtico, en elcual se deben cuanti!icar los resultados de modo que se asigne unnmero real a cadauno de los resultados posibles del experimento.

Las variables aleatorias son aquellas que tienen uncomportamiento probabilstico de la realidad.

Nipos de variables que existen

ariales Dis"retas

(on aquellas que presentan de modo inherenteseparaciones entre valores observables sucesivos. 2icho de otramanera, se de!ine una variable discreta como la variable tal queentre dos cualesquieravalores observables hay por lo menos unvalor no observable. *or ejemplo 5 y : son potencialmente

observables, mientras que 5.= nolo es.Las variables discretas son valores enteros que no

presentancontinuidad o sea, existe una ruptura, por ejemplo,el nmero dehijos.

ariales *ontinuas

Las variables continuas son aquella que puede tomar unvalor cualquiera para un determinado intervalo. Nienen lapropiedad de que entre dos cualesquiera valores observables,hay otro valorobservable.

En pocas palabras son nmeros enteros y !raccionarios, porejemplo, el peso, la estatura.


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2. Determine el ti!o "e "istri0u&i'n a #ue !ertene&en el &on-unto

"e"atos "el e-er&i&io 8 "e la !2*ina 9, "el li0ro Simula&i'n

An2lisis "e sistemas &on Promo"el &on la (erramienta Stat. .:it3

O0-eti$o

#tilizar la herramienta (tatUit con la !inalidad de determinarladistribucin de probabilidad a partir de un conjunto de datos.

Intro"u&&i'n

(tatUit permite comparar los resultados entre variasdistribuciones analizadas mediante una cali!icacin. Entre susprocedimientos emplea las pruebas estadsticas hi-cuadrada, deGolmogorov-(mirnov y deBnderson-2arling.

onjuntamente calcula los parmetros apropiados para cada tipode distribucin, e incluye in!ormacin estadstica adicional comomedia,moda, valor mnimo, valor mximo y varianza, entre otros datos.

(tatUit se puede ejecutar desde la pantalla de inicio de*romodel, obien desde el comando (tatUit del men Nools.

Entra"a "e "atos mani!ula&i'n

Ta0la "e Datos

#n nuevo proyecto se crea haciendo clic en el icono neFdocumenten la barra de control o seleccionando Uile en la barrade meny luego 0eF en el submen, esta accin genera un nuevodocumento de(tatUit , y muestra una tabla vaca de datos.


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Es en la tabla vaca donde se insertan uno por uno los datosdelejemplo

O!&iones "e entra"a

Rpciones de entrada de datos $Vnput options' permite establecer varias

opciones de manejo

El nmero de intervalos para el histograma, la precisin con quelos datos se muestran y almacenan, y los tipos de distribucinque sepermitirn. El cuadro de dilogo Rpciones de entrada se ingresahaciendoclic en el icono Vnput Rptions o mediante la seleccin Vnputde la barrade men y luego Rptions en el men secundario.

(e aconseja que el nmero de intervalos se calcule con la razcuadrada del total de datos, &% para este ejemplo.

La precisin de los datos es el nmero de decimales que semuestranen los datos de entrada y todos los clculos posteriores. Laprecisin por de!ecto es de A ci!ras decimales y se ajustainicialmente. La precisin se puede ajustar entre % y &=. Nenga encuenta que la mayora de los datos deeste ejemplo tiene un mximode = dgitos por lo tanto es este valor que seestablecer.


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El tipo de distribucin de anlisispuedeser continua o discreta. En general,todas lasdistribuciones sern tratadas comocualquiertipo de !orma predeterminada. (inembargo, el anlisis puede ser !orzado a

cualquiera delas distribuciones continuas odistribuciones discretas, marcando la casillacorrespondiente en el cuadro de dilogoRpciones de entrada. ontinua en estecaso, clic en RG para guardar las opcionesregistradas.

#n gr!ico de los datos deentrada se puede ver mediantelaseleccin de input de la barrade mens y, a continuacininput graph desde el mensecundario, o haciendo clic en elicono de gr!ico de entrada. #nhistograma de los datos sedesplegara en pantalla.

An2lisis esta";sti&oEsta";sti&a Des&ri!ti$a

La estadstica descriptiva delos datos de entrada se puede vermediantela seleccin de (tatistics enla barra de1en y luego descriptivedesde el men secundario. (emuestra lasiguiente ventana

El comando de Estadstica 2escriptiva proporciona lasobservaciones y los clculos estadsticos bsicos sobre los datos deentraday los presenta en una vista simple como se muestra arriba.El tiempo queesta ventana este abierta, los clculos se actualizarna medida que losdatos de entrada cambien.


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A-uste "e la Distri0u&i'n

El ajuste automtico de distribuciones continuas se puede realizarmediante el comando ButoUit. Este comando sigue el mismoprocedimiento como se explica a continuacin para el ajuste manual,

peroopta por la distribucin adecuada de los datos de entrada. Nambi"ncali!ica las distribuciones de acuerdo con su relativa bondad deajuste, y da una indicacin de su aceptacin como buenasrepresentaciones de los datos deentrada.

En el ajuste manual de las distribuciones de anlisis de los datosde entrada en la tabla de datos, las distribuciones adecuadas de losdatos de entrada deben ser elegidas en la con!iguracin del ajuste$setup' junto conlas pruebas de bondad de ajuste deseadas.

omience el procesode ajuste de la distribucinmediante la seleccin de Uiten la barra de men y luegode setup desde el mensecundario, o haciendo clic enel icono de setup apropiado.

La pgina de distribuciones del cuadro de dilogo on!iguracindeajuste proporciona una lista de distribuciones para la eleccin deladistribucin para el ajuste posterior. Nodas las distribuciones elegidasaqu se utilizarn de !orma secuencial para las estimaciones ypruebas debondad de ajuste.

2espu"s de seleccionar las distribuciones, vaya a la siguientepesta)a del cuadro de dilogo para seleccionar los clculos a realizar.

Las estimaciones pueden ser obtenidas en momentos o clculosde probabilidad mxima $1LEs'. El valor predeterminado para elclculo es1LE.


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*ara distribuciones continuas con un lmite in!erior o mnimocomo la exponencial, el lmite in!erior puede ser obligado a asumirun valorigual o in!erior al valor mnimode datos. Este lmite in!eriorse utilizar tanto para los

momentos y las estimacionesdemxima verosimilitud. 2e!orma predeterminada, se dejadesconocido, esto causa quetodos los procedimientos deestimacin varen el lmitein!erior con el resto de losparmetros.

Prue0as "e 0on"a" "e a-uste

Las pruebas de bondad de ajuste no son ms que lascomparacionesde los datos de entrada a las distribuciones ajustadasde una maneraestadsticamente signi!icativa. ada prueba tiene lahiptesis de que elajuste es bueno y calcula un estadstico de pruebapara la comparacin conun estndar. Las pruebas de bondad de ajusteson

*i-cuadrada

olmogoro- Smirno-.nderson /arling

(i la eleccin de la prueba es incierto, utilice el test deGolmogorov (mirnov, que es aplicable a la gama ms amplia dedatos y parmetrosajustados.

Auto..:it

El ajuste automtico distribuciones

continuas se puede realizar haciendo clic en elicono ButoUit o mediante la seleccin deUitde la barra de 1en y luego ButoUit enelsubmen.


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Este comando sigue el mismo procedimiento como semencion anteriormente para el ajuste manual. ButoUit elegirautomticamentedistribuciones continuas adecuadas para adaptarse alos datos de entrada,calcular las estimaciones de probabilidad mximapara las distribuciones,los resultados de la prueba de bondad de ajuste,

y mostrar la distribucin por orden de su cali!icacin relativa. Lacali!icacin relativa se determinapor un m"todo emprico que utilizae!ectivos clculos de la bondad deajuste. #na cali!icacin alta indicaque la distribucin ajustada es unabuena representacin de los datosde entrada.

La distribucin 0ormal con media &?.> y desviacin estndar :.&&consigue una cali!icacin de &%%, por lo cual se acepta que esta es laindicada para seleccionar que los datos del ejemplo siguen estadistribucin.


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La distribucin ajustada se muestra en el cuadro in!erior de laderecha. (i ha seleccionado ms de una distribucin para ajustar, unalista de las distribuciones se da en el cuadro superior de la derecha.(eleccione distribuciones adicionales para mostrarlas, para compararlas,haciendo clicen el nombre de la distribuciones en el cuadro superior.abr unaleyenda en la parte in!erior de la gr!ica, como se muestra acontinuacin

(e puede observar que la distribucin Lognormal traslapa a ladistribucin 0ormal, dada la semejanza con esta ltima, y que obtuvounacali!icacin de @@.@. La distribucin #ni!orme es la que menos seajustapues los datos evidentemente no siguen esta tendencia.


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=3 Me"iante un e-em!lo *enere una $aria0le aleatoria usan"o elmto"o "e la trans1orma"a in$ersa3

a> Usan"o "istri0u&i'n e7!onen&ial

El m"todo de la trans!ormada inversa puede utilizarse parasimularvariables aleatorias continuas, lo cual se logra mediante la!uncin acumulada !$x' y la generacin de nmeros pseudoaleatorios ri # $%, &'. El m"todo consiste en desarrollar los siguientespasos

&. 2e!inir la !uncin de densidad U$x' que represente la variable amodelar

U$x' 7 e-x ara 0

6. alcular la !uncin acumulada U$x'

- x

5. 2espejar la variable aleatoria x y obtener la !uncin acumuladainversaU$x'-&

2espeje de la variable aleatoria i 7 -

ln $&-ri'

Uuncin acumulada inversa i7 -Ln $&-ri'

:. &6.:&=@=&>

6 %.=&6? 6=.??A@%%5 &6 %.=%?? 6=.=@6=:%=5 %.6@A5 &6.A=%=&5: &5 %.??>> >?.>&A@5&: %.>>@5 =:.5@:65:? &: %.?%&& =?.&5?5&&:= %.>5%A :>.6&A%??= &= %.&>A& A.@>5:6%&AA %.:%A? &?.?%%%=6& &A %.&%&& 5.?5>%%=:>> %.=:?A 6?.A5::=%@ &> %.%66& %.?%:=65%@? %.%@A& 5.A5>5&==@ &? %.:??: 6:.&6>A5@=@ %.65=6 @.A=5%>5%6 &@ %.?=5: A@.&6&>%@A

&% %.=5&@ 6>.56AA5@@ 6% %.&565 =.&%?>56?A

U$x' 7 dx 7 &-e ara


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a) Usan"o la "istri0u&i'n "e 6ernoulli

El m"todo de la trans!ormada inversa tambi"n se empleaparasimular variables aleatorias de tipo discretas. El m"todoconsiste en

&. alcular todos los valores de la distribucin de probabilidad p$x'dela variable a modelar.

6. p$x'7 px $&-p' &-x para x7%, &

(e calculan las probabilidades para x7% y x7&, para obtener

7 + ,

!?7> ,4! !

5. alcular todos los valores de la distribucin acumulada*$x'.

7 + ,

P?7> ,4! ,

:.


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(

i

ri $% $ %.?' x7%(i ri

$%.? - &' x7&

(i el nmero pseudo aleatorio es menor que %.?, no hay compra. (i el nmero pseudo aleatorio es mayor que %.?, si hay compra.

Persona ri @i E$ento. )om!ra, %.&@5= % 0oB %.&A&6 % 0o= %.A:=& % 0oC %.A&6@ % 0o %.%A:= % 0o8 %.%566 % 0o

E %.=&A& % 0o %.:?5? % 0o9 %.@A>> & (i,+ %.@5=: & (i,, %.5?> % 0o,B %.5=:? % 0o,= %.?5?> & (i,C %.?%A: & (i, %.6?= % 0o,8 %.66=? % 0o,E %.>%@A % 0o

, %.A>>: % 0o,9 %.&6@ % 0oB+ %.%@A> % 0oB, %.=?%A % 0oBB %.=:?5 % 0oB= % % 0oBC & & (iB %.:=&A % 0oB8 %.:&@5 % 0oBE %.@%56 & (iB %.?>%@ & (i

B9 %.566= % 0o=+ %.6@%5 % 0o=, %.>>:& % 0o=B %.>:&@ % 0o


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Instituto Te&nol'*i&o "e Renosa

In*enier;a In"ustrial

Ato semestreSimula&i'n

1VV. Wos" 1ara


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#0V2B2 VV 0meros Bleatorios y4seudo

aleatorios#0V2B2 VVV /ariables Bleatorias

Bbasolo 1elchor

Blbertoarranza

Documents

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