89555084 Exisosi Eutheias K2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β′ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΟΥΡΑΦΑΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ 1

Σηµείο τοµής ευθειών – Σηµεία που ανήκουν σε ευθεία

Σηµεία που ανήκουν σε ευθεία Αν ένα σηµείο ανήκει σε µια ευθεία (η ευθεία διέρχεται από το σηµείο), αν και µόνο αν οι

συντεταγµένες του σηµείου την επαληθεύουν.

Για να εξετάσουµε αν ένα σηµείο ανήκει σε µια ευθεία, αντικαθιστούµε τις συντεταγµένες του στην

εξίσωση της ευθεία και ελέγχουµε αν ισχύει η ισότητα που προκύπτει.

Εφαρµογή 1η

Να εξετάσετε ποια από τα παρακάτω σηµεία ανήκουν στην ευθεία ε: y=-4x+12

(α) Α(2, 7) (β) Β(3, 0) Γ(2, 4)

Λύση

(α) Αντικαθιστούµε στην εξίσωση της ευθείας τις συντεταγµένες του σηµείου Α(2, 7)

7=-4⋅2+12⇔7=-8+12⇔7=4 Η ισότητα δεν ισχύει, άρα το σηµείο δεν ανήκει στην ευθεία ε.

(β) Αντικαθιστούµε στην εξίσωση της ευθείας τις συντεταγµένες του σηµείου Β(3, 0)

0=-4⋅3+12⇔0=-12+12⇔0=0 Η ισότητα ισχύει, άρα το σηµείο ανήκει στην ευθεία.

(γ) Αντικαθιστούµε στην εξίσωση της ευθείας τις συντεταγµένες του σηµείου Γ(2, 4)

4=-4⋅2+12⇔4=-8+12⇔4=4 Η ισότητα ισχύει, άρα το σηµείο ανήκει στην ευθεία.

Εποµένως τα σηµείο τα σηµεία Β(3, 0) και Γ(2, 4) ανήκουν στην ευθεία ε: y=-4x+12.


Να βρείτε το α∈R ώστε η ευθεία ε: y=3x-5 να διέρχεται από το σηµείο Μ(2α+1, 4-α)

Λύση Η ευθεία ε διέρχεται από το σηµείο Μ, εποµένως οι συντεταγµένες του επαληθεύουν την εξίσωσή της.

Αντικαθιστούµε στην εξίσωση της ευθείας τις συντεταγµένες του σηµείου Μ(2α+1, 4-α)

(4-α)=3⋅(2α+1)-5 ⇔ 4-α=6α+3-5 ⇔ -α-6α=3-5-4 ⇔ -7α=-6 ⇔ 7 6

7 7

α− −=

− − ⇔

6

7α = −

Εποµένως είναι 6

7α = −


Να εξετάσετε αν τα σηµεία Α(1, 7), Β(-2, 1) και Γ(6, 17) είναι συνευθειακά.

Λύση

Υπολογίζω το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία Α, Β. 1 7

2 1λΑΒ

−=

− −=

6

3

−−

=2

Υπολογίζω το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία Α, Γ. 17 7

6 1λΑΓ

−=

−=

10

5=2

Ει ευθείες ΑΒ και ΑΓ έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, άρα είναι παράλληλες.

Έχουν όµως και κοινό σηµείο το Α.

Αλλά δύο ευθείες δεν µπορεί να είναι παράλληλες και να έχουν και κοινό σηµείο εκτός αν

ταυτίζονται. Εποµένως οι ευθείες ΑΒ και ΑΓ ταυτίζονται, δηλαδή τα σηµεία Α, Β, Γ είναι

συνευθειακά.




Να βρείτε το κ∈R ώστε τα σηµεία Μ(κ-4, 3κ+2), Ν(5-κ, κ-1) και Ρ(3+κ, 2-4κ) να είναι

συνευθειακά.

Λύση

Ορίζουµε το διανύσµατα ( ) ( ) ( ) ( )( )5 4 , 1 3 2κ κ κ κΜΝ = − − − − − +

= ( )5 4, 1 3 2κ κ κ κ− − + − − − ⇔

ΜΝ

= ( )9 2 , 2 3κ κ− − −

και το διάνυσµα ( ) ( ) ( ) ( )( )3 4 , 2 4 3 2κ κ κ κΜΡ = + − − − − +

= ( )3 4, 2 4 3 2κ κ κ κ+ − + − − − ⇔

ΜΡ

= ( )7, 7κ−

Αν τα σηµεία Μ, Ν, Ρ είναι συνευθειακά, τότε τα διανύσµατα ΜΝ

και ΜΡ

είναι συγγραµµικά.

Ισχύει ότι: ΜΝ

// ΜΡ

⇔ ( )det , 0ΜΝ ΜΡ =

⇔ 9 2 2 3

07 7

κ κκ

− − −=

− ⇔ (9-2κ)⋅(-7κ)-7⋅(-2κ-3)=0

⇔-63κ+14κ2+14κ+21=0 ⇔ 14κ

2-49κ+21=0 ⇔ 7(2κ

2-7κ+3)=0

⇔ 2κ2-7κ+3=0⇔(κ-3)(2κ-1)=0⇔ κ=3 ή κ=

1

2

Σηµείο τοµής µε τον άξονα y′y Τα σηµεία του άξονα y′y έχουν τη µορφή Μ(0,y)

Για να βρούµε το σηµείο τοµής µιας ευθείας µε τον άξονα y′y, θέτουµε όπου x=0 και λύνουµε την

εξίσωση της ευθείας ως προς y.

Εφαρµογή ∆ίνεται η ευθεία ε: y=3x+4. Να βρείτε το σηµείο στο οποίο η ευθεία ε τέµνει τον άξονα y′y.

Λύση

Θέτουµε στην εξίσωση της ευθείας όπου x=0 και υπολογίζουµε το y

y=3⋅0+4⇔y=4

Εποµένως το σηµείο στο οποίο η ευθεία ε τέµνει τον άξονα y′y είναι το σηµείο Α(0, 4).

Σηµείο τοµής µε τον άξονα x′x Τα σηµεία του άξονα y′y έχουν τη µορφή Μ(x,0)

Για να βρούµε το σηµείο τοµής µιας ευθείας µε τον άξονα x′x, θέτουµε όπου y=0 και λύνουµε την

εξίσωση της ευθείας ως προς x.

Εφαρµογή ∆ίνεται η ευθεία ε: y=-2x+6. Να βρείτε το σηµείο στο οποίο η ευθεία ε τέµνει τον άξονα x′x.

Λύση

Θέτουµε στην εξίσωση της ευθείας όπου y=0 και υπολογίζουµε το x

0=-2⋅x+6 ⇔ 2x=6 ⇔ x=3

Εποµένως το σηµείο στο οποίο η ευθεία ε τέµνει τον άξονα x′x είναι το σηµείο Α(3, 0).



Σηµείο τοµής δύο ευθειών Το σηµείο τοµής δύο ευθειών ανήκει και στις δύο ευθείες, άρα επαληθεύει τις εξισώσεις τους.

Άρα για να βρούµε το σηµείο τοµής τους λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεών τους.

Εφαρµογή ∆ίνονται οι ευθείες ε1: y=x+5 και ε2: y=3x-7. Να βρείτε το σηµείο τοµής των ευθειών ε1 και ε2.

Λύση

Για να βρούµε το σηµείο τοµής των δύο ευθειών λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεών τους:

( )( )

5 1

3 7 2

y x

y x

= +

= − (1), (2)⇒ x+5=3x-7 ⇔ x-3x=-7-5 ⇔ -2x=-12

⇔ 2 12

2 2

x− −=

− − ⇔ x=6 (3)

( )( )3

1 ⇒ y=6+5=11

Εποµένως το σηµείο τοµής των δύο ευθειών είναι το σηµείο Α(6, 11)



Συντελεστής διεύθυνσης-γωνία ευθεία µε τον άξονα x′x

Υπολογίζω γωνία αν γνωρίζω το συντελεστή διεύθυνσης Γνωρίζουµε ότι η γωνία ω που σχηµατίζει η ευθεία µε τον άξονα x′x συνδέεται µε το συντελεστή

διεύθυνσης λ της ευθεία µε τον τύπο: λ εφω=

Αν γνωρίζουµε το συντελεστή διεύθυνσης λ τον αντικαθιστούµε στον παραπάνω τύπο και

υπολογίζουµε τη γωνία ω. Για τον υπολογισµό της γωνίας να θυµόµαστε ότι 0≤ω<π

Εφαρµογή ∆ίνεται η ευθεία ε: y= 3 x-6. Να βρείτε τη γωνία που σχηµατίζει η ευθεία ε µε τον άξονα x′x.

Λύση

Μπορούµε να βρούµε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας µέσα από τον τύπο της. Όταν η

εξίσωση της ευθείας είναι στη µορφή y=λx+β, ο συντελεστής του x (το λ) είναι ο συντελεστής

διεύθυνσης της ευθείας.

Εποµένως, ο συντελεστής διεύθυνσης της παραπάνω ευθείας ε είναι λ= 3 .

Ισχύει ότι: λ=εφω ⇔ 3 =εφω 0 ω π≤ <

⇔ ω=3

π

Υπολογίζω το συντελεστή διεύθυνσης αν γνωρίζω τη γωνία Γνωρίζουµε ότι η γωνία ω που σχηµατίζει η ευθεία µε τον άξονα x′x συνδέεται µε το συντελεστή

διεύθυνσης λ της ευθεία µε τον τύπο: λ εφω=

Αν γνωρίζουµε τη γωνία ω την αντικαθιστούµε στον παραπάνω τύπο και υπολογίζουµε το

συντελεστή διεύθυνσης λ.

Εφαρµογή Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας της οποίας η γωνία που σχηµατίζει µε τον άξονα

x′x είναι ω=4

π.

Λύση

Ισχύει ότι: λ=εφω ⇔ λ=εφ4

π ⇔ λ=1.

Υπολογίζω το συντελεστή διεύθυνσης αν γνωρίζω µια παράλληλη ευθεία Γνωρίζουµε ότι οι παράλληλες ευθείες έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης.

Εφαρµογή Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας ε αν γνωρίζουµε ότι είναι παράλληλη προς την

ευθεία ε1: y=-2x+9.

Λύση




Εποµένως, ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε1 είναι λ1=-2.

Ισχύει ότι ε//ε1 ⇔ λ=λ1 ⇔ λ=-2

Εποµένως ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε είναι λ=-2



Υπολογίζω το συντελεστή διεύθυνσης αν γνωρίζω µια κάθετη ευθεία Γνωρίζουµε ότι οι κάθετες ευθείες έχουν γινόµενο συντελεστών ίσο µε -1.

1 2 1 2 1ε ε λ λ⊥ ⇔ ⋅ = −

Εφαρµογή Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας ε1 αν γνωρίζουµε ότι είναι κάθετη προς την

ευθεία ε2: y=5x-8.

Λύση




Εποµένως, ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε2 είναι λ2=5.

Ισχύει ότι 1 2 1 2 1ε ε λ λ⊥ ⇔ ⋅ = − ⇔ 1 5 1λ ⋅ = − ⇔ 1

1

5λ = −

Εποµένως ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε1 είναι 1

1

5λ = −



Ζητάµε την εξίσωση µιας ευθείας

Για να βρούµε την εξίσωση µιας ευθείας χρειαζόµαστε δύο στοιχεία. Ένα σηµείο της ευθείας και το

συντελεστή διεύθυνσης. Αν τα γνωρίζουµε, τα αντικαθιστούµε στην εξίσωση ( )0 0y y x xλ− = − και

βρίσκουµε την εξίσωση της ευθείας. Αν δε τα γνωρίζουµε, η άσκηση περιέχει όλες τις πληροφορίες

που χρειαζόµαστε για να τα βρούµε.

Γνωρίζουµε ένα σηµείο της και το συντελεστή διεύθυνσης Αν γνωρίζουµε ένα σηµείο ( )0 0

,M x y της ευθείας ε και το συντελεστή διεύθυνσης λ, τα

αντικαθιστούµε στον τύπο που γνωρίζουµε από τη θεωρία ε: ( )0 0y y x xλ− = − .


Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας. η οποία διέρχεται από το σηµείο Μ(3, -2) και έχει συντελεστή

διεύθυνσης λ=-4

Λύση

Μ(3, -2)

λ=-4

( )0 0y y x xλ− = −

⇔ ( ) ( )2 4 3y x− − = − − ⇔ 2 4 12y x+ = − + ⇔ 4 12 2y x= − + − ⇔ 4 10y x= − +

Εποµένως η εξίσωση της ευθείας ε είναι 4 10y x= − +


Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας. η οποία διέρχεται από το σηµείο Μ(-1, 3) και σχηµατίζει γωνία

ω=6

π µε τον άξονα x′x.

Λύση

Υπολογίζουµε πρώτα το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας µε τη βοήθεια της γωνίας της ω

λ=εφω ⇔ λ=εφ6

π ⇔ λ=

3

3

Μ(-1, 3)

λ=3

3

( )0 0y y x xλ− = −

⇔ ( )33 1

3y x− = − − ⇔ ( )3

3 13

y x− = + ⇔ 3 3

33 3

y x− = +

⇔ 3 3

33 3

y x= + + ⇔ 3 3 9

3 3y x

+= +

Εποµένως η εξίσωση της ευθείας ε είναι 3 3 9

3 3y x

+= +


Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας. η οποία διέρχεται από το σηµείο Α(6, -2) και είναι παράλληλη

στην ευθεία ε1: y=-3x+7.

Λύση

Υπολογίζουµε πρώτα το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας ε µε τη βοήθεια της ευθείας ε1.

Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε1 είναι λ1=-3 και αφού είναι παράλληλη στην ευθεία ε

έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης: 1 1

//ε ε λ λ⇔ = ⇔ λ=-3

Α(6, -2)

λ=-3 ( )0 0

y y x xλ− = −

⇔ ( ) ( )2 3 6y x− − = − − ⇔ 2 3 18y x+ = − + ⇔ 3 18 2y x= − + − ⇔ 3 16y x= − +





Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας. η οποία διέρχεται από το σηµείο Κ(0, 5) και είναι παράλληλη

στο διάνυσµα ( )2, 6δ = −

.

Λύση

Υπολογίζουµε πρώτα το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας ε µε τη βοήθεια του παράλληλου

διανύσµατος ( )2, 6δ = −

.

Ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσµατος ( )2, 6δ = −

είναι y

xδλ = ⇔

6

2δλ =

− ⇔ δ

λ =-3 και

αφού είναι παράλληλο στην ευθεία ε έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης.

//δ

ε δ λ λ⇔ =

⇔ λ=-3

Κ(0, 5)

λ=-3 ( )0 0

y y x xλ− = −

⇔ ( )5 3 0y x− = − − ⇔ 5 3y x− = − ⇔ 3 5y x= − +



Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας. η οποία διέρχεται από το σηµείο Ζ(1, -1) και είναι κάθετη στην

ευθεία ε1: y=3x-12.

Λύση

Υπολογίζουµε πρώτα το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας ε µε τη βοήθεια της κάθετης ευθείας

ε1.

Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε1 είναι λ1=3 και αφού είναι κάθετη προς την ευθεία ε έχουν

γινόµενο συντελεστών ίσο µε -1.

1 11ε ε λ λ⊥ ⇔ ⋅ = − ⇔ λ⋅3=-1 ⇔ λ=

1

3−

Ζ(1, -1)

λ=1

3−

( )0 0y y x xλ− = −

⇔ ( ) ( )11 1

3y x− − = − − ⇔

1 11

3 3y x+ = − + ⇔

1 11

3 3y x= − + − ⇔

1 2

3 3y x= − −

Εποµένως η εξίσωση της ευθείας ε είναι 1 2

3 3y x= − −


Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας. η οποία διέρχεται από το σηµείο Α(4, 0) και είναι κάθετη στο

διάνυσµα ( )4, 2η = −

.

Λύση

Υπολογίζουµε πρώτα το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας ε µε τη βοήθεια του κάθετου

διανύσµατος ( )4, 2η = −

.

Ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσµατος ( )4, 2η = −

είναι y

xηλ = ⇔

2

4ηλ

−= ⇔

1

2ηλ = − και

αφού είναι κάθετο προς την ευθεία ε έχουν γινόµενο συντελεστών ίσο µε -1.

1ηε η λ λ⊥ ⇔ ⋅ = −

⇔ λ⋅ 1

2

−

=-1 ⇔ λ=2

Α(4, 0)

λ=2

( )0 0y y x xλ− = −

⇔ ( )0 2 4y x− = − ⇔ 2 8y x= −

Εποµένως η εξίσωση της ευθείας ε είναι 2 8y x= −




Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας. η οποία διέρχεται από τα σηµεία Α(1, -2) και Β(3, 4).

Λύση

Υπολογίζουµε πρώτα το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας ε µε τη βοήθεια των δύο σηµείων της.

Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία Α(x1, y1) και Β(x2, y2) δίνεται

από τον τύπο 2 1

2 1

y y

x xλ

−=

−.

Εποµένως είναι: ( )4 2

3 1λ

− −=

−⇔ 4 2

2λ

+= ⇔ 6

2λ = ⇔ 3λ =

Για να βρούµε την εξίσωση της ευθείας χρησιµοποιούµε ένα από τα σηµεία που µας έδωσε και το

συντελεστή διεύθυνσης που βρήκαµε.

Α(1, -2)

λ=3 ( )0 0

y y x xλ− = −

⇔ ( ) ( )2 3 1y x− − = − ⇔ 2 3 3y x+ = − ⇔ 3 3 2y x= − − ⇔ 3 5y x= −

Εποµένως η εξίσωση της ευθείας ε είναι 3 5y x= −


Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε, η οποία διέρχεται από το σηµείο Κ(-2, -3) και από το σηµείο

τοµής Λ των ευθειών ε1: y=2x-3 και ε2: y=-3x+8.

Λύση

Γνωρίζουµε ένα σηµείο της ευθείας, αλλά δε γνωρίζουµε το συντελεστή διεύθυνσης.

Μπορούµε να βρούµε άλλο ένα σηµείο της ευθείας, το οποίο είναι το σηµείο τοµής των ευθειών ε1

και ε2.

Υπολογίζω το σηµείο τοµής των ευθειών ε1 και ε2.

( )( )

2 3 1

3 8 2

y x

y x

= −

= − + (1), (2) ⇒ 2x-3=-3x+8 ⇔ 2x+3x=8+3 ⇔ 5x=10 ⇔ x=10:5 ⇔ x=2 (3)

(1), (3) ⇒ y=2⋅2-3 ⇔ y=4-3 ⇔ y=1

Εποµένως το σηµείο τοµής των ευθειών ε1 και ε2 είναι το Λ(2, 1)

Τα σηµεία Κ(-2, -3) και Λ(2, 1) είναι σηµεία της ευθείας ε και µε τη βοήθειά τους µπορούµε να

βρούµε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας.

2 1

2 1

y y

x xλ

−=

− ⇔

1 ( 3)

2 ( 2)λ

− −=

− − ⇔

1 3

2 2λ

+=

+ ⇔

4

4λ = ⇔ λ=1

Για να βρούµε την εξίσωση της ευθείας χρησιµοποιούµε ένα από τα σηµεία που µας έδωσε και το

συντελεστή διεύθυνσης που βρήκαµε.

Λ(2, 1)

λ=1

( )0 0y y x xλ− = −

⇔ ( )1 1 2y x− = ⋅ − ⇔ 1 2y x− = − ⇔ 2 1y x= − + ⇔ 1y x= −

Εποµένως η εξίσωση της ευθείας ε είναι 1y x= −


Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε, η οποία διέρχεται από το σηµείο Α(5, 8) και είναι παράλληλη

στον άξονα x′x.

Λύση

Μια ευθεία ε παράλληλη στον άξονα x′x έχει συντελεστή διεύθυνσης λ=0 και έχει εξίσωση της

µορφής y=yo, όπου yo είναι η τεταγµένη ενός σηµείου της ευθείας.

Η ευθεία µας είναι παράλληλη στον άξονα x′x και διέρχεται από το σηµείο Α(5, 8), άρα έχει

εξίσωση ε: y=8




Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε, η οποία διέρχεται από το σηµείο Α(13, 13 ) και είναι

παράλληλη στον άξονα y′y.

Λύση

Μια ευθεία ε παράλληλη στον άξονα y′y ή αλλιώς κάθετη στον άξονα x′x, δεν ορίζεται συντελεστής

διεύθυνσης και η εξίσωσή της είναι της µορφής x=xo, όπου xo είναι η τετµηµένη ενός σηµείου της

ευθείας.

Η ευθεία µας είναι παράλληλη στον άξονα y′y και διέρχεται από το σηµείο Α(13, 13 ), άρα έχει

εξίσωση ε: x=13

Η εξίσωση της µεσοκαθέτου ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ

Εφαρµογή Να βρείτε την εξίσωση της µεσοκαθέτου (ε) του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ όπου Α(3,-2) και

Β(5, -8).

Λύση

Η µεσοκάθετος είναι η ευθεία που διέρχεται από το µέσο του ΑΒ και είναι

κάθετη σε αυτό.

Το µέσο του ΑΒ µπορούµε να το βρούµε, αφού γνωρίζουµε τις

συντεταγµένες των άκρων του ευθύγραµµου τµήµατος.

Το συντελεστή διεύθυνσης µπορούµε να το βρούµε από την καθετότητα

της µεσοκαθέτου µε το ΑΒ.

Έστω Μ το µέσο του τµήµατος ΑΒ. Θα υπολογίσουµε το µέσο του

Α(3,-2)

Β(5, -8)

3 5 2 8,

2 2

+ − − Μ

ή 8 10

,2 2

− Μ

οπότε: ( )4, 5Μ −

Υπολογίζουµε το συντελεστή διεύθυνσης του ΑΒ

Α(3,-2)

Β(5, -8) 2 1

2 1

y y

x xλ

−=

−=

8 2

5 3

− +−

=6

2

−−

=3

Η ευθεία ε είναι κάθετη στο τµήµα ΑΒ. εποµένως 1λ λΑΒ ⋅ = − ⇔ 3 1λ⋅ = − ⇔ 1

3λ = −

Τώρα γνωρίζουµε ένα σηµείο της ευθείας (ε) και το συντελεστή διεύθυνσης. Μπορούµε να βρούµε

την εξίσωσή της.

Μ(4, -5) 1

3λ = −

( )0 0y y x xλ− = −

⇔ ( ) ( )15 4

3y x− − = − ⋅ − ⇔

1 45

3 3y x+ = − + ⇔

1 45

3 3y x= − + −

⇔ 1 4 15

3 3 3y x= − + − ⇔

1 11

3 3y x= − −

Εποµένως, η εξίσωση της µεσοκαθέτου του τµήµατος ΑΒ είναι η ευθεία ε: 1

13

y x= − −



Στοιχεία τριγώνου

Εφαρµογή ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ για το οποίο γνωρίζουµε την εξίσωση της πλευράς του ΑΒ: y=x+4, την

εξίσωση του ύψους Α∆: y=-3x-4 και την κορυφή του Γ(-10, 6). Να βρείτε:

Α) Την κορυφή Α του τριγώνου

Β) Την εξίσωση της πλευράς ΒΓ του τριγώνου

Γ) Να υπολογίσετε τις συντεταγµένες της κορυφής του Β

∆) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους ΒΕ

Ε) Την εξίσωση της διαµέσου ΓΜ

ΣΤ) Το ορθόκεντρο του τριγώνου

Λύση

Α) Γνωρίζουµε τις εξισώσεις του ύψους

Α∆ και της πλευράς ΑΒ. Οι δύο ευθείες

τέµνονται στο σηµείο Α. Εποµένως η

λύση του συστήµατος των δύο ευθειών

θα µας δώσει τις συντεταγµένες του

σηµείου Α.

( )( )

4, 1

3 4 2

y x

y x

= +

= − −

(1), (2) ⇒ x+4=-3x-4 ⇔ x+3x=-4-4 ⇔ 4x=-8 ⇔ 4 8

4 4

x −= ⇔ x=-2 (3)

(1), (3) ⇒y=-2+4 ⇔ y=2

Εποµένως η κορυφή Α του τριγώνου έχει συντεταγµένες Α(-2, 2)

Β) Για να βρούµε την εξίσωση της πλευράς ΒΓ πρέπει να γνωρίζουµε ένα σηµείο της και το

συντελεστή διεύθυνσης.

Το σηµείο που γνωρίζουµε είναι το Γ(-10, 6).

Συντελεστή διεύθυνσης δε γνωρίζουµε, αλλά µπορούµε να τον βρούµε γιατί γνωρίζουµε µια

ευθεία κάθετη στη ΒΓ. Αυτή η ευθεία είναι το ύψος Α∆: y=-3x-4. Ο συντελεστής

διεύθυνσης της Α∆ είναι 3λΑ∆ = − .

Ισχύει ότι: 1ε ε λ λΒΓ Α∆ ΒΓ Α∆⊥ ⇔ ⋅ = − ⇔ ( )3 1λΒΓ ⋅ − = − ⇔ 1

3λΒΓ =

Γ(-10, 6) 1

3λ =

( )0 0y y x xλ− = −

⇔ ( )16 10

3y x− = ⋅ + ⇔

1 16 10

3 3y x− = + ⋅ ⇔

1 110 6

3 3y x= + ⋅ +

⇔ 1 10 18

3 3 3y x= + + ⇔

1 28

3 3y x= +

Εποµένως η εξίσωση της ευθείας ΒΓ είναι 1 28

3 3y x= +

Γ) Για να βρούµε τις συντεταγµένες της κορυφής Β πρέπει να βρούµε δύο γνωστές ευθείες οι

οποίες να διέρχονται από το Β και να λύσουµε το σύστηµά τους. Οι ευθείες, οι οποίες διέρχονται από το Β και γνωρίζουµε τις εξισώσεις τους είναι οι ΑΒ και ΒΓ.

( )

( )

4, 1

1 282

3 3

y x

y x

= +

= +

(1), (2) ⇒

1 284

3 3x x+ = + ⇔

1 283 3 4 3 3

3 3x x⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇔ 3x+12=x+28

⇔ 3x-x=28-12 ⇔ 2x=16 ⇔ 2 16

2 2

x= ⇔ x=8 (3)

(1), (3) ⇒y=8+4 ⇔ y=12

Εποµένως το σηµείο τοµής των ΑΒ και ΒΓ είναι το Β(8, 12)



∆) Για να βρούµε την εξίσωση του ύψους ΒΕ χρειαζόµαστε ένα σηµείο του και το συντελεστή

διεύθυνσης.

Γνωρίζουµε το σηµείο Β(8, 12) και το συντελεστή διεύθυνσης θα το βρούµε µε τη βοήθεια

της ΑΓ. Το ύψος ΒΕ είναι κάθετο στην ΑΓ και αν βρούµε το συντελεστή της ΑΓ θα βρούµε

και το συντελεστή διεύθυνσης του ΒΕ.

Το συντελεστή διεύθυνσης της ΑΓ θα το βρούµε από τα σηµεία της Α(-2, 2) και Γ(-10, 6) y y

x xλ Γ Α

ΑΓΓ Α

−=

−=

6 2

10 ( 2)

−− − −

=4

10 2− +=

4

8−=

1

2−

Ισχύει ότι 1ε ε λ λΒΕ ΑΓ ΒΕ ΑΓ⊥ ⇔ ⋅ = − ⇔ 1

12

λΒΕ ⋅ − = −

⇔ 2λΒΕ =

Β(8, 12)

λΒΕ=2 ( )0 0

y y x xλ− = −

⇔ ( )12 2 8y x− = ⋅ − ⇔ ( )2 8 12y x= ⋅ − +

⇔ 2 16 12y x= − + ⇔ 2 4y x= −

Εποµένως η εξίσωση του ύψους ΒΕ είναι 2 4y x= −

Ε) Για τη διάµεσο ΓΜ γνωρίζω την κορυφή Γ(-10, 6) και µπορούµε να βρούµε το µέσο του ΑΒ.

Α(-2, 2)

Β(8, 12) Μ(xo, yo) = ,

2 2

x x y yΑ Β Α Β+ + Μ

=

2 8 2 12,

2 2

− + + Μ

6 14,

2 2

Μ

= ( )3, 7Μ

Από τα σηµεία Γ(-10, 6) και Μ(3, 7) µπορούµε να βρούµε το συντελεστή διεύθυνσης της

διαµέσου. y y

x xλ Μ Γ

ΓΜΜ Γ

−=

−=

( )7 6

3 10

−− −

=1

3 10+=

1

10

Μ(3, 7)

λΓΜ=1

10

( )0 0y y x xλ− = −

⇔ ( )17 3

10y x− = ⋅ − ⇔

1 17 3

10 10y x− = − ⋅

⇔ 1 13 7

10 10y x= − ⋅ + ⇔

1 3 70

10 10 10y x= − +

⇔ 1 67

10 10y x= +

Εποµένως η εξίσωση της διαµέσου είναι ΓΜ: 1 67

10 10y x= +

ΣΤ) Ορθόκεντρο ονοµάζεται το σηµείο τοµής των υψών του τριγώνου. Ως σηµείο τοµής των

ευθειών Α∆ και ΒΕ, µπορούµε να το βρούµε µε τη λύση του συστήµατος των εξισώσεών τους.

( )( )

3 4, 1

2 4, 2

y x

y x

= − −

= − (1), (2) ⇒ 2x-4=-3x-4 ⇔ 2x+3x=4-4 ⇔ 5x=0 ⇔ x=0 (3)

(1), (3) ⇒ y=-3⋅0-4 ⇔ y=-4

Εποµένως το ορθόκεντρο του τριγώνου είναι το Η(0, -4)



Γνωρίζουµε συντελεστή διεύθυνσης και µια ιδιότητα

Αν γνωρίζουµε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας ή µπορούµε να τον βρούµε (ευθεία

παράλληλη ή κάθετη προς άλλη ευθεία ...κ.λ.π.), αλλά δε γνωρίζουµε κάποιο σηµείο της ευθείας,

εργαζόµαστε µε τον τύπο y=λx+β.

Η εξίσωση ( )0 0y y x xλ− = − έχει δύο αγνώστους (τις συντεταγµένες x0, y0 του σηµείου της ευθείας),

ενώ η εξίσωση y=λx+β έχει για άγνωστο µόνο το β.

Η ιδιότητα που µας δίνει στα δεδοµένα, θα µας βοηθήσει να σχηµατίσουµε εξίσωση, από την οποία

θα βρούµε τον άγνωστο β.

Εφαρµογή Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία δ: y=2x+23 και

σχηµατίζει µε τους άξονες τρίγωνο µε εµβαδόν Ε=4 τ.µ.

Λύση

Η ευθεία ε που ζητάµε είναι παράλληλη στην ευθεία δ, εποµένως

έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. Ο συντελεστής

διεύθυνσης της ευθείας δ είναι ο λδ=2, άρα και της ε: λ=2.

Γνωρίζουµε το συντελεστή διεύθυνσης της ε, αλλά δε γνωρίζουµε

σηµείο της. Γι αυτό και θα χρησιµοποιήσουµε την εξίσωση ε:

y=λx+β, όπου λ=2.

Η εξίσωση παίρνει τώρα τη µορφή ε: y=2x+β.

Γνωρίζουµε ακόµα για την ευθεία µας ότι σχηµατίζει µε τους άξονες τρίγωνο µε γνωστό εµβαδόν.

Αφού η εκφώνηση αναφέρει ότι η ευθεία µας τέµνει τους άξονες, πρέπει να βρούµε τα σηµεία

τοµής.

Για να βρούµε το σηµείο τοµής µε τον άξονα x′x όπου y=0 και είναι 0=2⋅x+β ⇔ 2x=-β ⇔ 2

xβ

= −

Άρα η ευθεία ε τέµνει τον άξονα x′x στο σηµείο , 02

β Α −

Για να βρούµε το σηµείο τοµής µε τον άξονα y′y όπου x=0 και είναι y=2⋅0+β ⇔ y=β

Άρα η ευθεία ε τέµνει τον άξονα y′y στο σηµείο Β(0, β)

Το τρίγωνο που σχηµατίζεται είναι το ΑΟΒ, ορθογώνιο στο Ο και για να βρούµε το εµβαδόν του

θα χρησιµοποιήσουµε τα µήκη των κάθετων πλευρών του (ΟΑ)=2

β− =

2

β και (ΟΒ)=|β|.

∆ε γνωρίζουµε αν ο β είναι θετικός ή αρνητικός γι αυτό και στον υπολογισµό του µήκους, το

βάζουµε µέσα σε απόλυτη τιµή.

Για το εµβαδόν του τριγώνου ισχύει:

Ε=1

2(ΟΑ)⋅(ΟΒ) ⇔ 4=

1

2⋅

2

β⋅|β| ⇔ 4=

2

4

β ⇔ 16=β

2 ⇔ β= 16 ή β=- 16 ⇔ β=4 ή β=-4

Βρήκαµε δύο τιµές για το β, άρα υπάρχουν δύο ευθείες που ικανοποιούν τις συνθήκες της

υπόθεσης.

Η ευθεία ε1: y=2x+4 και η ευθεία ε2: y=2x-4



Γεωµετρικός τόπος σηµείων

Εφαρµογή Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ(3λ-5, 7-5λ).

Λύση

Για κάθε τιµή του λ∈R έχουµε και ένα διαφορετικό σηµείο στο επίπεδο. Ονοµάζουµε Μ(x, y) το

τυχαίο σηµείο στο επίπεδο.

Θέτουµε x=3λ-5 (1)

και y=7-5λ (2)

Θα λύσουµε την πρώτη εξίσωση ως προς λ και την τιµή που θα βρούµε θα την αντικαταστήσουµε

στη δεύτερη.

(1) ⇔ x+5=3λ ⇔ 5

3

xλ

+= (3)

( )( )3

2 ⇔ y=7-( )5 5

3

x⋅ + ⇔ y=

21 5 25

3 3

x +− ⇔ y=

21 5 25

3

x− − ⇔ y=

5 4

3

x− − ⇔

5 4

3 3

xy = − −

Εποµένως, ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ είναι η ευθεία ε: 5 4

3 3

xy = − −



Γενική Μορφή εξίσωσης ευθείας

Ζητάµε εξίσωση ευθείας στη γενική µορφή

Εφαρµογή ∆ίνεται ευθεία ε: 3x+y-1=0. Να βρείτε:

(α) Ευθεία ζ κάθετη στη ε η οποία διέρχεται από το σηµείο Α(-2, -3)

(β) Το σηµείο τοµής των ευθειών ε και ζ

Λύση

Γνωστή διαδικασία από την προηγούµενη ενότητα. Μοναδική διαφορά η µορφή της εξίσωσης της

ευθείας. Για να βρούµε το συντελεστή διεύθυνσης της ε θα πρέπει να λύσουµε την εξίσωσή της ως

προς y, οπότε ο συντελεστής διεύθυνσης θα είναι ο συντελεστής του x ή να τη φέρουµε στη µορφή

Αx+Βy+Γ=0, οπότε ο συντελεστής διεύθυνσης θα είναι ο λΒ

= −Α

.

(α) Η ευθεία ε: 3x+y-1=0 έχει συντελεστή διεύθυνσης λε=1

3−

Ονοµάζουµε λζ το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας ζ

Ισχύει ότι 1ε ζε ζ λ λ⊥ ⇔ ⋅ = − ⇔ 11

3ζλ

− ⋅ = −

⇔ λζ =3

Α(-2, -3)

λζ=3 ( )0 0

y y x xλ− = −

⇔ ( ) ( )( )3 3 2y x− − = − − ⇔ ( )3 3 2y x+ = +

⇔ 3 3 6y x+ = + ⇔ 3 6 3y x= + −

⇔ 3 3y x= +

Η εξίσωση της ευθείας ζ είναι ζ: 3 3y x= +

3x+y-1=0

(β) Για να βρούµε το σηµείο τοµής των ευθειών ε, ζ θα λύσουµε το σύστηµα:

( )( )

3 1 0, 1

3 3, 2

x y

y x

+ − =

= + ⇔

3 1 0

3 3 0

x y

x y

+ − =

− + =

( )+

⇔ 6x+2=0 ⇔ 6x=-2 ⇔ 2

6x = − ⇔

1

3x = − (3)

(2), (3) ⇒y=3⋅ 1

3

−

+3 ⇔ y=-1+3 ⇔ y=2

Εποµένως το σηµείο τοµής των ευθειών ε, ζ είναι το σηµείο 1

, 23

Κ −



Παραµετρική: ζητάµε το λ ώστε να είναι εξίσωση ευθείας


∆ίνεται η εξίσωση : ( ) ( )2 2 24 2 8 3 2 0x yλ λ λ λ λ− + + − + − + = (1)

Να βρείτε για ποιες τιµές του λ∈R η εξίσωση (1):

(α) παριστάνει ευθεία.

(β) παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα x′x.

(γ) παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα y′y.

(δ) παριστάνει ευθεία που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων.

Λύση

(α) Μια εξίσωση της µορφής Αx+Βy+Γ=0 παριστάνει ευθεία αν και µόνο αν οι συντελεστές Α

και Β δε µηδενίζονται ταυτόχρονα.

Στην εξίσωση ( ) ( )2 2 24 2 8 3 2 0x yλ λ λ λ λ− + + − + − + = ισχύει ότι:

Α=0 ⇔ λ2-4=0 ⇔(λ-2)(λ+2)=0 ⇔ λ-2=0 ή λ+2=0 ⇔ λ=2 ή λ=-2

Β=0 ⇔ λ2+2λ-8=0 ⇔ (λ+4)(λ-2)=0 ⇔ λ+4=0 ή λ-2=0 ⇔ λ=-4 ή λ=2

Αν λ=2 οι δύο εξισώσεις µηδενίζονται ταυτόχρονα. Άρα για να παριστάνει ευθεία η (1) πρέπει να

είναι λ≠2.

(β) Για να είναι µια ευθεία της µορφής Αx+Βy+Γ=0 παράλληλη στον άξονα x′x, πρέπει να είναι

της µορφής y=y0. Αρκεί δηλαδή να είναι:

Α=0 ⇔ λ2-4=0 ⇔ λ2=4 ⇔ λ=2 (απορρίπτεται γιατί λ≠2) ή λ=-2

Εποµένως ε//x′x ⇔ λ=-2

(γ) Για να είναι µια ευθεία της µορφής Αx+Βy+Γ=0 παράλληλη στον άξονα y′y, πρέπει να είναι

της µορφής x=x0. Αρκεί δηλαδή να είναι:

Β=0 ⇔ λ2+2λ-8=0 ⇔ (λ+4)(λ-2)=0 ⇔ λ=2 (απορρίπτεται γιατί λ≠2) ή λ=-4

Εποµένως είναι ε//y′y ⇔ λ=-4

(δ) Για να διέρχεται η ευθεία µε εξίσωση την (1) από την αρχή των αξόνων, πρέπει οι

συντεταγµένες του Ο να επαληθεύουν την εξίσωσή της.

(1) ( ) ( )2 2 24 2 8 3 2 0x yλ λ λ λ λ− + + − + − + =

0x y= =

⇒ ( ) ( )2 2 24 0 2 8 0 3 2 0λ λ λ λ λ− ⋅ + + − ⋅ + − + =

⇔ 2 3 2 0λ λ− + = ⇔ ( 1)( 2) 0λ λ− − = ⇔ λ=1 ή λ =2(απορρίπτεται)

Εποµένως είναι λ=1




∆ίνεται η ευθεία ε: ( )3 2 2 1 0x yα α− + + − = . Να βρείτε για ποια τιµή του α∈R η ευθεία ε:

(α) είναι κάθετη στην ευθεία κ: 6x-3y+4=0

(β) είναι παράλληλη στην ευθεία ζ:5x-10y+12=0

(γ) σχηµατίζει γωνία 45ο µε τον άξονα x′x.

(δ) ∆ιέρχεται από το σηµείο Η(1, 5).

Λύση

(α) Η ευθεία κ: 6x-3y+4=0, έχει συντελεστή διεύθυνσης 6

3κλ = −

−⇔ 2κλ = και αφού η ε είναι

κάθετη στην κ ισχύει η σχέση 1ε κλ λ⋅ = − ⇔ 2 1ελ ⋅ = − ⇔ 1

2ελ = − (1)

Ο συντελεστής διεύθυνσης της ε υπολογίζεται συναρτήσει του α, από την εξίσωσή της

ευθείας: ( )3

2ε

αλ

− −= (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουµε ότι:

( )31

2 2

α− −− = ⇔

1 3

2 2

α −= ⇔

1 32 2

2 2

α −⋅ = ⋅ ⇔ 1=α-3 ⇔ α=3+1 ⇔ α=4

(β) Η ευθεία ζ:5x-10y+12=0, έχει συντελεστή διεύθυνσης 5

10ζλ = −

−⇔ 1

2ζλ = και αφού η ε είναι

παράλληλη στη ζ έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. Άρα είναι 1

2ελ = (1)



2ε

αλ

− −= (2)


( )31

2 2

α− −= ⇔

1 3

2 2

α− += ⇔

1 32 2

2 2

α− +⋅ = ⋅ ⇔ 1=-α+3 ⇔ α=3-1 ⇔ α=2

(γ) Η ευθεία ε σχηµατίζει γωνία 45ο µε τον άξονα x′x, εποµένως έχει συντελεστή διεύθυνσης:

λ=εφ45ο=1 (1)



2ε

αλ

− −= (2)


( )31

2

α− −= ⇔

( )32 1 2

2

α− −⋅ = ⋅ ⇔ ( )2 3α= − − ⇔ 2=-α+3 ⇔ α=3-2 ⇔ α=1

(δ) Το σηµείο Η(1, 5) είναι σηµείο της ευθείας ε εποµένως οι συντεταγµένες του επαληθεύοτν

την εξίσωσή της.

( )3 2 2 1 0x yα α− + + − =( )1, 5 εΗ ∈

⇔ (α-3)⋅1+2⋅5+2α-1=0 ⇔ α-3+10+2α-1=0 ⇔

3α+6=0 ⇔ 3α=-6 ⇔ α=-2



Παραµετρική: Εξισώσεις-Ευθειών που διέρχονται από το ίδιο σηµείο

Εφαρµογή ∆ίνεται η εξίσωση: ( ) ( )3 4 0x yµ µ µ− + − + = (1)

(α) Να αποδείξετε ότι για κάθε µ∈R η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία.

(β) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που παριστάνει η εξίσωση (1) για τις διάφορες τιµές του

µ∈R διέρχονται από το ίδιο σηµείο το οποίο και να βρείτε.

(γ) Να βρείτε το µ∈R, ώστε η ευθεία µε εξίσωση την (1), είναι παράλληλη στην ευθεία

ζ: 4 2 13 0x y+ + =

Λύση

(α) Για να παριστάνει µια εξίσωση της µορφής Αx+Βy+Γ=0 ευθεία, πρέπει να µη µηδενίζονται

ταυτόχρονα οι συντελεστές Α και Β.

Στην εξίσωση (1) έχουµε:

Α=0 ⇔ 3-µ=0 ⇔ µ=3

Β=0 ⇔ 4-µ=0 ⇔ µ=4

Οι συντελεστές Α και Β των x και y αντίστοιχα, δεν µηδενίζονται για

την ίδια τιµή του µ, εποµένως η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία.

(β) Για κάθε τιµή του µ η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία. Θα δώσουµε στο µ δύο

συγκεκριµένες τιµές και θα βρούµε δύο συγκεκριµένες εξισώσεις (ευθείες).

Για µ=2 η εξίσωση (1) γίνεται: ( ) ( )3 2 4 2 2 0x y− + − + = ⇔ x+2y+2=0

Για µ=3 η εξίσωση (1) γίνεται: ( ) ( )3 3 4 3 3 0x y− + − + = ⇔ 0x+y+3=0 ⇔ y+3=0

Άρα για µ=2 έχουµε την ευθεία ε1: x+2y+2=0 και για µ=3 έχουµε την ευθεία ε2: y+3=0

Θα βρούµε το σηµείο τοµής των ευθειών ε1 και ε2 λύνοντας το σύστηµα:

2 2 0

3 0

x y

y

+ + =

+ = ⇔

2 2 0

3

x y

y

+ + =

= − ⇔

( )2 3 2 0

3

x

y

+ − + =

= − ⇔

6 2 0

3

x

y

− + =

= − ⇔

4 0

3

x

y

− =

= − ⇔

4

3

x

y

=

= −

Το σηµείο τοµής των ευθειών ε1 και ε2 είναι το Κ(4, -3)

Για να δείξουµε ότι όλες οι ευθείες που προκύπτουν από την εξίσωση (1) διέρχονται από το σηµείο

Κ αρκεί να αποδείξουµε ότι η συντεταγµένες του σηµείου Κ επαληθεύουν την εξίσωση (1).

( )4, 3

1x y= =−

⇒ ( ) ( ) ( )3 4 4 3 0µ µ µ− ⋅ + − ⋅ − + = ⇔ 12 4 12 3 0µ µ µ− − + + = ⇔ 0 0 0µ+ ⋅ = το οποίο ισχύει για

κάθε µ∈R.

Εποµένως όλες οι ευθείες µε εξίσωση της µορφής ( ) ( )3 4 0x yµ µ µ− + − + = , µ∈R, διέρχονται από το

ίδιο σηµείο Κ(4, -3).

(γ) Η ευθεία ζ: 4 2 13 0x y+ + = έχει συντελεστή διεύθυνσης 4

2ζλ

−= ⇔ 2ζλ = −

Η ευθεία ε: ( ) ( )3 4 0x yµ µ µ− + − + = έχει συντελεστή διεύθυνσης ( )3

4ε

µλ

µ

− −=

−

Για να είναι η ευθεία ε παράλληλη στην ευθεία ζ πρέπει να έχουν τον ίδιο συντελεστή

διεύθυνσης: // ε ζε ζ λ λ⇔ = ⇔ ( )3

24

µ

µ

− −=

− ⇔ -(3-µ)=2⋅(4-µ) ⇔-3+µ=8-2µ

⇔ µ+2µ=8+3 ⇔ 3µ=11 ⇔ 11

3µ =



Παραµετρική µε Ευθείες παράλληλες – κάθετες (µε χρήση διανυσµάτων)

Εφαρµογή ∆ίνονται οι ευθείες: ε1: ( )3 5 0x yλ λ+ − − = και ε2: ( ) ( )3 4 2 0x yλ λ− + − + = . Να βρείτε για ποιες τιµές

του λ∈R οι ευθείες ε1 και ε2: (α) είναι παράλληλες (β) είναι κάθετες

Λύση

Σε παραµετρικές ασκήσεις µε παράλληλες ή κάθετες ευθείες, καλό είναι να εργαζόµαστε µε τα

παράλληλα διανύσµατα. Ένα διάνυσµα παράλληλο στην ευθεία ε: Ax+Βy+Γ=0 είναι το ( ),δ = −Β Α

Ένα διάνυσµα παράλληλο στην ευθεία ε1: ( )3 5 0x yλ λ+ − − = είναι το ( )13,δ λ λ= − +

Ένα διάνυσµα παράλληλο στην ευθεία ε2: ( ) ( )3 4 2 0x yλ λ− + − + = είναι το ( )24, 3δ λ λ= − + −

(α) Γνωρίζουµε ότι: 1 2 1 2

// //ε ε δ δ⇔

⇔ ( )1 2det , 0δ δ =

⇔ 3

04 3

λ λλ λ

− +=

− + −

⇔ (-λ+3)(λ-3)-λ(-λ+4)=0 ⇔ -λ2+3λ+3λ-9+λ

2-4λ=0 ⇔ 2λ-9=0 ⇔ 2λ=9 ⇔

9

2λ =

Εποµένως οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες να 9

2λ =

(β) Γνωρίζουµε ότι: 1 2 1 2

ε ε δ δ⊥ ⇔ ⊥

⇔ 1 2

0δ δ⋅ =

⇔ (-λ+3, λ)⋅(-λ+4, λ-3)=0

(-λ+3)⋅(-λ+4)+λ⋅(λ-3)=0 ⇔ λ2-4λ-3λ+12+λ

2-3λ=0 ⇔ 2λ

2-10λ+12=0

:2⇔ λ

2-5λ+6=0

⇔ (λ-3)(λ-2)=0⇔ λ-3=0 ή λ-2=0 ⇔ λ=3 ή λ=2

Εποµένως οι ευθείες ε1 και ε2 είναι κάθετες αν λ=3 ή λ=2

Ζητάµε τη γωνία δύο ευθειών

Εφαρµογή Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηµατίζουν οι ευθείες: ε1: 3 7 0x y⋅ − + = και ε2: 3 3 13 0x y⋅ − + = .

Λύση

∆εν έχουµε ειδικό τύπο για να βρούµε την οξεία γωνία που σχηµατίζουν δύο ευθείες, γι αυτό και θα

ζητήσουµε τη βοήθεια των διανυσµάτων.

Ένα διάνυσµα παράλληλο στην ευθεία ε: Ax+Βy+Γ=0 είναι το ( ),δ = −Β Α

Ένα διάνυσµα παράλληλο στην ευθεία ε1: 3 7 0x y⋅ − + = είναι το ( )13, 1δ = − −

Ένα διάνυσµα παράλληλο στην ευθεία ε2: 3 3 13 0x y⋅ − + = είναι το ( )23, 3δ = − −

( ) 1 2

1 2

1 2

,δ δ

συν δ δδ δ

⋅=

⋅

Υπολογίζω το εσωτερικό γινόµενο:1 2

δ δ⋅

= ( ) ( )3, 1 3, 3− − ⋅ − − = ( ) ( ) ( ) ( )3 3 1 3− ⋅ − + − ⋅ − =2

3 3+ =3+3=6

Υπολογίζω το γινόµενο των µέτρων:

1 2δ δ⋅

= ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2

3 1 3 3− + − ⋅ − + − = 3 1 3 9+ ⋅ + = 4 12⋅ = 4 3 4⋅ ⋅ = 2 2 3⋅ ⋅ = 4 3

1 2δ δ⋅

=6

1 2δ δ⋅

= 4 3

( ) 1 2

1 2

1 2

,δ δ

συν δ δδ δ

⋅=

⋅

=6

4 3=

3 3

2 3 3

⋅

⋅=

( )2

3 3

2 3

⋅=

3 3

2 3

⋅⋅

=3

2

Εποµένως είναι ( )1 2,

6

πδ δ =

Εποµένως η οξεία γωνία των ευθειών ε1, ε2 είναι ίση µε τη γωνία των διανυσµάτων ( )1 2,

6

πδ δ =



Από δοσµένη εξίσωση προκύπτει ζεύγος ευθειών


Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 22 2 3 7 3 0x y xy x y− − − − + = (1) , παριστάνει δύο ευθείες κάθετες.

Λύση

Για να βρούµε τις δύο ευθείες που προκύπτουν από την εξίσωση (1) θα πρέπει να την

παραγοντοποιήσουµε. Επειδή αυτό είναι αρκετά δύσκολο σε ορισµένες παραστάσεις, όπως στην

(1), µετασχηµατίζουµε την εξίσωση στη µορφή Αx2+Βx+Γ=0 και τη λύνουµε.

(1)⇔ 2 22 2 3 7 3 0x y xy x y− − − − + = ⇔ ( ) ( )2 22 3 7 2 3 0x y x y y− + + − − + = (2)

2 4β αγ∆ = − = ( ) ( )2 23 7 4 2 2 3y y y− + − ⋅ ⋅ − − + = ( ) ( )2 2

3 7 8 2 3y y y+ − ⋅ − − + =

= 2 2 29 2 3 7 7 16 8 24y y y y+ ⋅ ⋅ + + + − = 225 42 49 8 24y y y+ + + − = 225 50 25y y+ + = ( )225 2 1y y+ + =

= ( )225 1y + ≥0

Η εξίσωση (2) έχει δύο λύσεις άνισες τις µορφής:

1, 22

xβ

α− ± ∆

= =( )2

3 7 25 1

2 2

y y+ ± +

⋅=

3 7 5 1

4

y y+ ± +

( )1

3 7 5 1

4

y yx

+ + += =

3 7 5 5

4

y y+ + + =

8 12

4

y + =

( )4 2 3

4

y + = 2y+3 ⇔ x=2y+3

( )2

3 7 5 1

4

y yx

+ − += =

3 7 5 5

4

y y+ − − =

2 2

4

y− + =

( )2 1

4

y− + =

1

2

y− + ⇔ x=

1

2

y− + ⇔ 2x=-y+1

Εποµένως οι δύο ευθείες είναι: ε1: x-2y-3=0 και ε2: 2x+y-1=0

Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε1 είναι λ1=1

2.

Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε2 είναι λ2=-2.

Ισχύει ότι: λ1⋅λ2=1

2⋅(-2)=-1 εποµένως οι ευθείες είναι κάθετες.


Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 2 2 2 2 3 0x y xy x y+ − − + − = (1) , παριστάνει δύο ευθείες παράλληλες.

Λύση

(1)⇔ 2 2 2 2 2 3 0x y xy x y+ − − + − = ⇔ ( )2 22 2 3 0x xy y x y− + − − − = ⇔ ( ) ( )2

2 3 0x y x y− − − − =

⇔ ( ) ( )22 1 4 0x y x y− − − + − = ⇔ ( )

2

1 4 0x y− − − = ⇔ ( )2 21 2 0x y− − − =

⇔ ( ) ( )1 2 1 2 0x y x y− − − ⋅ − − + = ⇔ ( ) ( )1 2 1 2 0x y x y− − − ⋅ − − + = ⇔ ( ) ( )3 1 0x y x y− − ⋅ − + =

⇔ x-y-3=0 ή x-y+1=0

Εποµένως οι δύο ευθείες είναι: ε1: x-y-3=0 και ε2: x-y+1=0

Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε1 είναι λ1=1.

Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε2 είναι λ2=1.

Οι δύο ευθείες έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, εποµένως είναι παράλληλες.



Ζητάµε Απόσταση σηµείου από ευθεία

Εφαρµογή ∆ίνεται η ευθεία ε: 4x-3y+2=0. Να βρείτε τις αποστάσεις των σηµείων Α(2, 5) και Β(-4, 2) από την

ευθεία ε.

Λύση

Αν µια ευθεία η εξίσωση µιας ευθείας ε είναι στη µορφή Αx+Βy+Γ=0 µπορούµε να βρούµε την

απόσταση ενός σηµείου Κ(xo, yo) από αυτήν µε χρήση του τύπου ( ) 0 0

2 2,

x yd ε

Α +Β +ΓΚ =

Α +Β

Η απόσταση του σηµείου Α(2, 5) από την ευθεία ε: 4x-3y+2=0 είναι

( )( )

( )22

4 2 3 5 2,

4 3

d ε⋅ + − ⋅ +

Α =+ −

=8 15 2

16 9

− +

+=

5

25

−=

5

5=1

Η απόσταση του σηµείου Β(-4, 2) από την ευθεία ε: 4x-3y+2=0 είναι

( )( ) ( )

( )22

4 4 3 2 2,

4 3

d ε⋅ − + − ⋅ +

Β =+ −

=16 6 2

16 9

− − +

+=

20

25

−=

20

5=4


∆ίνονται τα σηµεία Α(4, -2), Β(2, -8) και Γ(-1, 13). Να βρείτε την απόσταση του σηµείο Α από την

ευθεία ΒΓ.

Λύση

Θα βρω το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας ΒΓ

Β(2, -8)

Γ(-1, 13) y y

x xλ Γ Β

ΒΓΓ Β

−=

−=

( )( )

13 8

1 2

− −

− −=

13 8

1 2

+− −

=21

3−=-7

Β(2, -8) 7λΒΓ = −

( )0 0y y x xλΒΓ− = ⋅ −

⇔ ( ) ( )8 7 2y x− − = − ⋅ − ⇔ 8 7 14y x+ = − +

⇔ 7 8 14 0x y+ + − = ⇔ 7 6 0x y+ − =

Εποµένως η ευθεία ΒΓ έχει εξίσωση 7 6 0x y+ − =

Θα βρούµε την απόσταση του σηµείου Α από την ευθεία ΒΓ

Α(4, -2)

ΒΓ: 7 6 0x y+ − = ( ) 0 0

2 2,

x yd ε

Α +Β + ΓΑ =

Α +Β=

= ( )2 2

7 4 2 6

7 1

⋅ + − −

+ =

28 2 6

49 1

− −

+ =

20

50 =

20

2 25⋅ =

= 20

5 2 =

4 2

2 2

⋅

⋅ =

2

4 2

2

⋅ =

4 2

2

⋅ = 2 2

Εποµένως η απόσταση του σηµείου Α από την ευθεία ε είναι 2 2 .



Εξίσωση ευθείας που απέχει από άλλη συγκεκριµένη απόσταση.

Εφαρµογή Να βρείτε τις ευθείες που είναι παράλληλες στην ευθεία δ: 3x+y-51=0 και απέχουν από το σηµείο

Α(-4, 2) απόσταση ίση µε 2 10 .

Λύση

Οι ευθείες που είναι παράλληλες προς τη δ, έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης και είναι της

µορφής ε: 3x+y+Γ=0. Η απόσταση του σηµείου Α από την ευθεία ε θα µας δώσει την εξίσωση

µέσα από την οποία θα βρούµε το Γ.

Α(-4, 2)

ε: 3x+y+Γ=0 ( ) 0 0

2 2,

x yd ε

Α +Β + ΓΑ =

Α +Β= 2 10 ⇔

( )2 2

3 4 1 2

3 1

⋅ − + ⋅ + Γ

+ = 2 10 ⇔

12 2

9 1

− + +Γ

+ = 2 10 ⇔

10

10

Γ − = 2 10 ⇔ |Γ-10| =

2

2 10 ⇔ |Γ-10| = 2⋅10 ⇔

|Γ-10| = 20 ⇔ Γ-10=20 ή Γ-10=-20 ⇔ Γ=30 ή Γ=-10

Εποµένως δύο είναι οι ευθείες µε απόσταση 2 10 από τη δ, οι οποίες έχουν εξίσωση:

ε1: 3x+y+30=0 ε1: 3x+y-10=0

Απόσταση παραλλήλων ευθειών

Εφαρµογή Να βρείτε την απόσταση των ευθειών ε1: y=2x+7 και ε2: y=2x-3.

Λύση

Για να βρούµε την απόσταση δύο παραλλήλων ευθειών, βρίσκουµε ένα σηµείο της µιας ευθείας και

υπολογίζουµε την απόστασή του από την άλλη.

Για να βρούµε ένα σηµείο της ε1, θέτουµε στην εξίσωσή της όπου x=1 και υπολογίζουµε το y.

ε1: y=2x+71x=

⇔ y=2⋅1+7 ⇔ y=2+7 ⇔ y=9.

Άρα το σηµείο Α(1, 9) είναι σηµείο της ευθείας ε1.

Υπολογίζουµε την απόστασή του από την ε2.

Α(-1, 9)

ε: 2x-y-3=0 ( ) 0 0

2 2,

x yd ε

Α +Β + ΓΑ =

Α +Β=

=( )

( )22

2 1 1 9 3

2 1

⋅ − − ⋅ −

+ − =

2 9 3

4 1

− − −

+ =

14

5

− ⇔

14

5 =

14 5

5 5

⋅

⋅ =

2

14 5

5

⋅ =

14 5

5

⋅

Εποµένως η απόσταση των δύο ευθειών είναι 14 5

5

⋅



Γεωµετρικοί τόποι

Μεσοπαράλληλος δύο ευθειών

Εφαρµογή Να βρείτε την εξίσωση της µεσοπαραλλήλου των ευθειών ε1: y=3x-1 και ε2:y=3x+9

Λύση

Η µεσοπαράλληλος των ε1 και ε2 είναι η ευθεία, της οποίας τα σηµεία ισαπέχουν από τις ευθείες

ε1 : 3x-y-1=0 και ε2 3x-y+9=0

Αν Κ(x, y) είναι ένα σηµείο της µεσοκαθέτου ε, τότε ισχύει:

( ) ( )1 2, ,d dε εΚ = Κ ⇔

( )22

3 1

3 1

x y− −

+ −=

( )22

3 9

3 1

x y− +

+ −⇔

3 1

10

x y− −=

3 9

10

x y− + ⇔ 3 1x y− − = 3 9x y− +

⇔ 3x-y-1=3x-y+9 ή 3x-y-1=-(3x-y+9) ⇔ -1= +9 (αδύνατο) ή 3x-y-1=-3x+y-9

⇔ 3x-y-1+3y-y+9=0 ⇔ 6x-2y+8=0 ⇔ 3x-y+4=0

Εποµένως η µεσοπαράλληλος των ευθειών ε1 και ε2 είναι η ευθεία ε: 3x-y+4=0

∆ιχοτόµος γωνίας ευθειών

Εφαρµογή Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόµων των γωνιών που σχηµατίζουν οι ευθείες ε1: 3x-4y+1=0 και

ε2: 8x-6y+5=0.

Λύση

Η διχοτόµος της γωνίας των ε1 και ε2 είναι η ευθεία, της οποίας τα σηµεία ισαπέχουν από τις

πλευρές της γωνίας που είναι οι ευθείες ε1: 3x-4y+1=0 και ε2: 8x-6y+5=0

Αν Κ(x, y) είναι ένα σηµείο της διχοτόµου ε, τότε ισχύει:

( ) ( )1 2, ,d dε εΚ = Κ ⇔

( )22

3 4 1

3 4

x y− +

+ −=

( )22

8 6 5

8 6

x y− +

+ − ⇔

3 4 1

9 16

x y− +

+=

8 6 5

64 36

x y− +

+⇔

3 4 1

25

x y− +=

8 6 5

100

x y− +⇔

3 4 1

5

x y− +=

8 6 5

10

x y− + ⇔

3 4 1

1

x y− +=

8 6 5

2

x y− + ⇔ 2|3x-4y+1|=|8x-6y+5| ⇔

2(3x-4y+1)=(8x-6y+5) ή 2(3x-4y+1)=-(8x-6y+5)

6x-8y+2=8x-6y+5 6x-8y +2=-8x+6y-5

6x-8y+2-8x+6y-5=0 ή 6x-8y +2+8x-6y+5=0

-2x-2y-3=0 14x-14y +7=0

2x+2y+3=0 2x-2y +1=0

Εποµένως οι ευθείες ε1 και ε2 σχηµατίζουν δύο γωνίες µε αντίστοιχες διχοτόµους:

δ1: 2x+2y+3=0 και δ2: 2x-2y +1=0



Εµβαδόν τριγώνου

Υπολογισµός εµβαδού τριγώνου µε γνωστές κορυφές

Εφαρµογή Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου µε κορυφές τα σηµεία Α(-2, 1), Β(3, 4) και Γ(1, -6)

Λύση

Θεωρούµε δύο διανύσµατα µε άκρα τις κορυφές του τριγώνου και µε κοινή αρχή, έστω τα ΑΒ

και

ΑΓ

. Βρίσκουµε τις συντεταγµένες τους και εργαζόµαστε µε τον τύπο ( ) ( )1det ,

2ΑΒΓ = ΑΒ ΑΓ

Α(-2, 1) ΑΒ

=(3+2, 4-1) ⇔ ΑΒ

=(5, 3)

Β(3, 4) ΑΓ

=(1+2, -6-1) ⇔ ΑΓ

=(3, -7)

Γ(1, -6)

ΑΒ

=(5, 3) ( ) 5 3det ,

3 7ΑΒ ΑΓ =

−

=5⋅(-7)-3⋅3=-35-9=-44

ΑΓ

=(3, -7) ( ) ( )1det ,

2ΑΒΓ = ΑΒ ΑΓ

=

144

2− =

144

2⋅ =22

Εποµένως το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι Ε=22 τµ



Προσδιορισµός σηµείου ευθείας που απέχει ελάχιστη απόσταση από άλλο σηµείο

Εφαρµογή ∆ίνεται ευθεία ε: x+2y-6=0. Να βρείτε:

(α) Το σηµείο της ευθείας ε που απέχει τη µικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων.

(β) Το σηµείο της ευθείας ε που απέχει τη µικρότερη απόσταση από το σηµείο Μ(2, -3).

Λύση

Όταν µας ζητάνε να βρούµε κάποιο σηµείο, συνήθως είναι το

σηµείο τοµής δύο ευθειών.

Πρέπει να βρούµε τις εξισώσεις των ευθειών και να λύσουµε το

σύστηµα.

(α) Για να βρούµε το σηµείο της ευθείας ε µε τη µικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων, πρέπει να φέρουµε

κάθετη ευθεία ζ από το σηµείο Ο(0, 0) προς την ευθεία ε.

Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε είναι ελΑ

= −Β

=1

2− ,

άρα για το συντελεστής διεύθυνσης της κάθετης ζ ισχύει: 1ε ζλ λ⋅ = − ⇔ 2ζλ =

Η ευθεία ζ διέρχεται από την αρχή των αξόνων, άρα είναι της µορφής y=λζx ⇔ y=2x

Για να βρούµε το σηµείο µε τη µικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων πρέπει να λύσουµε

το σύστηµα:

x+2y-6=0

y=2x

⇔x+2 2x-6=0

y=2x

⋅

⇔x+4x-6=0

y=2x

⇔5x-6=0

y=2x

⇔5x=6

y=2x

⇔6

x=5

y=2x

⇔

6x=

5

6y=2

5

⇔

6x=

5

12y=

5

Άρα το σηµείο µε τη µικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων είναι 6 12

,5 5

Κ

(β) Θα βρούµε την εξίσωση της ευθείας ε1 που διέρχεται από το σηµείο Μ(2, -3) και είναι

κάθετη στην ευθεία ε.

Η ευθεία ε έχει συντελεστή διεύθυνσης ελΑ

= −Β

=1

2− ελ

Α= −

Β=

1

2− , άρα για το συντελεστής

διεύθυνσης της κάθετης ε1 ισχύει: 1

1ε ελ λ⋅ = − ⇔1

2ελ =

Μ(2, -3) ε1: ( )10 0y y x xελ− = −

12ελ = ⇔ ( ) ( )3 2 2y x− − = ⋅ − ⇔ 3 2 4y x+ = − ⇔ 2 4 3y x= − − ⇔ 2 7y x= −

Για να βρούµε το σηµείο τοµής των ε και ε1 λύνουµε το σύστηµα:

x+2y-6=0

y=2x-7

⇔ ( )x+2 2x-7 -6=0

y=2x-7

⇔ x+2x-14-6=0

y=2x-7

⇔ 3x-20=0

y=2x-7

⇔ 3x=20

y=2x-7

⇔ 20

x=3

y=2x-7

⇔

20x=

3

20y=2 -7

3

⋅

⇔

20x=

3

40 21y= -

3 3

⇔

20x=

3

19y=

3

Άρα το σηµείο µε τη µικρότερη απόσταση από το σηµείο Μ είναι το σηµείο 20 19

,3 3

Λ



Προσδιορισµός ελάχιστης απόστασης σηµείου από ευθεία

Εφαρµογή Θεωρούµε τα σηµεία Μ(λ-4, 3λ-2), όπου λ∈R.

(α) Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιµές του λ∈R τα σηµεία Μ κινούνται πάνω σε ευθεία

της οποίας την εξίσωση να βρείτε.

(β) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση της παραπάνω ευθείας από την αρχή των αξόνων.

Λύση

(α) Μ(λ-4, 3λ-2)

Έστω ότι το σηµείο Μ έχει συντεταγµένες Μ(x, y) για τις οποίες γνωρίζουµε ότι:

x=λ-4 (1)

και y=3λ-2 (2)

(1) ⇔ λ=x+4 (3)

(2), (3) ⇒ y=3⋅(x+4)-2 ⇔ y=3x+12-2 ⇔ y=3x+10

Οι συντεταγµένες του τυχαίου σηµείου Μ επαληθεύουν την εξίσωση y=3x+10

Εποµένως, για τις διάφορες τιµές του λ τα σηµεία Μ ανήκουν στην ευθεία ε: y=3x+10

(β) ζητάµε την απόσταση της ευθείας ε από την αρχή των αξόνων ή αλλιώς την απόσταση του

σηµείου Ο(0, 0) από την ευθεία ε: 3x-y+10=0.

Ισχύει ότι: ( ) 0 0

2 2,

x yd ε

Α +Β +ΓΟ =

Α +Β=

( )22

3 0 0 10

3 1

⋅ − +

+ −=

10

9 1+=

10

10= 10

Εποµένως η απόσταση της ευθείας ε από την αρχή των αξόνων είναι ( ), 10d εΟ =

Documents

89555084 Exisosi Eutheias K2