9-Bazele_experimentale_ale_mecanicii_cuantice_si_Probleme[1]

9. Bazele experimentale ale mecanicii cuantice 401

9. BAZELE EXPERIMENTALE ALE MECANICII CUANTICE

9.1. Introducere O serie de fapte experimentale înregistrate în a doua jumătate a secolului al XIX−lea au condus, la începutul secolului trecut, la formularea unor ipoteze şi teorii fizice noi care au stat la baza edificării mecanicii cuantice. Rolul jucat de aceasta în dezvoltarea fizicii a fost unul major, iar impactul fizicii moderne asupra tehnologiilor de vârf dezvoltate în a doua jumătate a secolului XX nu mai trebuie, desigur, subliniat. Prima ipoteză, absolut nouă faţă de ideile fundamentale ale fizicii de până la apariţia ei, este ipoteza cuantelor de energie, formulată de Max Plack (1900) pentru a explica radiaţia termică a corpurilor, amplu studiată experimental până în acel moment, dar neexplicată pe baza unui model unitar. Conform ipotezei lui Planck, entităţile micro-scopice ce constituie un corp emit sau absorb energie sub forma unor cantităţi discrete de energie, numite cuante. Extinderea ipotezei lui Planck asupra radiaţiei electromagnetice în general a condus la formularea ,de către Albert Einstein (1905), a ipotezei fotonului. Conform acestei ipoteze, radiaţia electromagetică este alcătuită dintr-un flux de particule, numite fotoni, ale căror caracteristici corpusculare se imprimă asupra radiaţiei electromagnetice, în special cea de frecvenţe înalte, determinând esenţial comportatea acesteia în interacţiile cu substanţa (efectul fotoelectric, efectul Compton, crearea de perechi particulă-antiparticulă). Ca urmare a descoperirii electronului de către J.J.Thompson (1897) şi a radioactivităţii naturale de către H.Becquerel (1896) şi Pierre şi Marie Curie (1898), s-a impus formularea unor ipoteze cu privire la structura materiei. Acestea


au condus la elaborarea unor modele atomice capabile să explice mecanismul absorbţiei şi emisiei radiaţiei de către substanţă. Au fost, astfel, înţelese şi explicate spectrele atomice înregistrate şi descrise anterior de formule empirice. Un nou pas în punerea bazelor fizicii cuantice a fost făcut de către L. de Broglie (1923) care a emis ipoteza că particulele au caracteristici ondulatorii. Conform acestei ipoteze, oricărei particule i se asociază o undă a cărei lungime de undă este determinată de starea de mişcare a particulei, mai exact de impulsul acesteia. Ulterior, caracterul ondulatoriu al particulelor a fost pus în evidenţă experimental în cazul interacţiilor ansamblurilor de microparticule cu substanţa. În cele ce urmează, vom prezenta, pe rând, ipotezele şi modelele fizicii menţionate mai sus. Datorită importanţei covârşitoare avute la edificarea mecanicii cuantice, vom prezenta, în final, relaţiile de nedeterminare poziţie-impuls formulate de W.Heisenberg. Conform acestora, poziţia şi impulsul unei particule pe aceeaşi direcţie de mişcare nu pot fi determinate simultan cu o precizie oricât de mare. Reamintindu-ne că în mecanica clasică obţinerea legii de mişcare a unui corp presupune cunoaşterea exactă a poziţiei şi vitezei corpului la un anumit moment de timp, se poate vedea, deci, că pentru a studia mişcarea sistemelor microscopice a fost necesară construirea unei noi mecanici, şi anume mecanica cuantică. 9.2. Radiaţia termică de echilibru a corpului negru. Ipoteza lui Planck. Toate corpurile, dat fiind că au o temperatură mai mare decăt 0K, posedă energie termică care este emisă în mediul înconjurător sub formă de radiaţie electromagnetică, numită radiaţie termică. S-a constatat experimental că radiaţia termică de echilibru este omogenă, izotropă şi se extinde pe întreaga gamă de frecvenţe din spectrul electro-magnetic. Domeniul de frecvenţe pentru care energia radiată este semnificativă este însă, mult mai îngust şi este determinat de temperatura corpului, deplasându-se odată cu aceasta spre frecvenţe mai mari atunci când temperatura creşte, şi invers.


Ca un exemplu, se poate observa comportarea unei bare metalice încălzită care, pe măsură ce-i creşte temperatura, îşi modifică culoarea, trecând din roşu, pentru T~500 K, în alb stălucitor pentru T≥3000 K. În general, schimbul de energie sub formă de radiaţie electromagnetică dintre un corp şi mediul înconjurător presupune, pe lângă emisie, şi reflexia şi absorţia radiaţiilor electromagnetice incidente pe acesta. Pentru a caracteriza absorţia şi reflexia energiei de către un corp, în cazul unei radiaţii electromagnetice cu frecvenţa ν cuprinsă în intervalul ν, ν+dν, incidentă pe un element de suprafaţă ΔS al corpului, se definesc coeficientul de reflexie şi coeficientul de absorţie prin rapoartele:

refl.,T

incid.

W ( )RW ( )νΔ ν

=Δ ν

, abs.,T

incid.

W ( )AW (ν )Δ ν

=Δ ν

(9.1)

unde , şi Δ νincid.W ( ) refl.W ( )Δ ν abs.W ( )Δ ν reprezintă energia incidentă, reflectată şi absorbită de elementul de suprafaţă ΔS al corpului iradiat cu radiaţia electromagnetică cu frecvenţa cuprinsă în intervalul ν, ν+dν. După cum este şi marcat prin indici, coeficienţii de reflexie şi de absorţie depind de frecvenţa radiaţiei şi de temperatura corpului iradiat, precum şi de natura acestuia. Un corp pentru care 0R T, =ν pentru orice frecvenţă a radiaţiei

incidente şi pentru orice temperatură a corpului se numeşte corp negru. Pentru că nu reflectă nici o radiaţie, corpul negru este un absorbant perfect la orice temperatură. Un exemplu de corp negru este o cavitate sferică cu pereţii realizaţi dintr-un material izolator termic care este menţinut la temperatură constantă, în care se practică un mic orificiu (fig. 9.1).

Fig. 9.1


O radiaţie care pătrunde în cavitate prin acest orificiu va suferi reflexii multiple pe pereţi până ce va fi integral absorbită. Radiaţia electromagnetică dintr-o asemenea cavitate, în echilibru cu pereţii păstraţi la temperatură constantă constituie radiaţia termică de echilibru a corpului negru. În general, între mai multe corpuri plasate într-o cavitate vidată, ai cărei pereţi netransparenţi sunt confecţionaţi dintr-un material care este un foarte bun izolator termic, se stabileşte o radiaţie termică de echilibru atunci când corpurile ajung la aceeaşi temperatură. O mărime importantă pentru studiul radiaţiei termice de echilibru este puterea spectrală de emisie, . Aceasta se defineşte ca fiind

energia radiaţiei termice corespunzătoare unităţii de interval de frecvenţă, care este emisă, în unitatea de timp, pe unitatea de suprafaţă normală pe direcţia de emisie:

ν,TE

νΔ

=Δ ⋅Δ ⋅ΔνT,

n

WEA t

. (9.2)

Pornind de la considerente strict termodinamice, Kirchoff a arătat (1859) că deşi şi depind de natura corpului, raportul lor, notat este

independent de aceasta, fiind o funcţie universală de frecvenţă şi temperatură: ν,TE ν,TA νε ,T

νν

ν

ε = T,T,

T,

EA

. (9.3)

Dacă observăm că pentru corpul negru 1A ,T =ν

ν

(aceasta deoarece şi ), rezultă că funcţia 0R ,T =ν 1RA ,T,T =+ νν ε ,T este chiar puterea

spectrală de emisie a corpului negru. Aceasta este reprezentată în fig. 9.2 pentru două temperaturi şi ,cu . 1T 2T T 12 T>

Legile experimentale ale radiaţiei termice de echilibru pentru corpul negru nu reprezintă altceva decât descrierea, pe porţiuni, a curbei νε ,T .

Obsevăm că frecvenţa corespunzătoare maxi-mului puterii spectrale de emisie a corpului negru se deplasează odată cu temperatura, legea acestei deplasari fiind obţinută de Wien sub forma:

(9.4) bTmax =⋅λ

unde . Km109,2b 3 ⋅⋅= −


Fig. 9.2

De asemenea, dacă se integrează νε ,T după frecvenţă se obţine puterea

integrală de emisie pentru corpul negru aflat la o temperatură T:

. (9.5) 4

0,TT Td ⋅σ=νε=ε ∫

∞

ν

Aceasta este legea Stefan-Boltzmann, unde este constanta Stefan-Boltzmann.

428 KWm1067,5 −−−⋅=σ

În ceea ce priveşte porţiunile curbei νε ,T pentru frecvenţe joase şi,

respectiv, înalte, acestea sunt descrise de legea Rayleigh-Jeans, valabilă pentru domeniul frecvenţelor joase:

Tkc

8B3

2

T,πν

=εν (9.6)

şi, respectiv, de legea Wien valabilă pentru frecvenţe înalte:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ νν=εν T

f3T, (9.7)

unde expresia funcţiei f, care este o funcţie universală de raportul ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ν

T, nu a putut

fi obţinută în cadrul termodinamicii. Problema obţinerii funcţiei f a fost rezolvată de Planck care a obţinut expresia analitică a puterii spectrale de emisie a corpului

negru introducând în locul raportului Tν mărimea adimensională

B

hk T⋅ ν , unde

constanta h numită constanta lui Planck a fost determinată din confruntarea


formulei rezultate pentru cu datele experimentale. Astfel, Planck a obţinut pentru expresia:

νε ,T

νε ,T

1e

3

2 h

c

8

Tkh,T

B

νπν=ε

νν ⋅

10 34−

(9.8)

−care este bine verificată experimental la orice temperatură şi pentru orice frecvenţă dacă pentru h se ia valoarea:

. (9.9) sJ62,6h ⋅⋅≅

Constanta lui Planck, h, are dimensiune de acţiune (energie × timp) şi de aceea se mai numeşte cuantă de acţiune. Procedeul folosit de Planck pentru obţinerea expresiei analitice a puterii spectrale de emisie a corpului negru care, iniţial, a fost doar un artificiu necesar pentru realizarea interpolării între formula Rayleigh-Jeans (9.6), valabilă pentru frecvenţe joase, şi formula lui Wien (9.7), a fost validat prin demonstrarea formulei (9.8) pe baza ipotezei cuantelor de energie (1900). Considerând radiaţia termică de echilibru a corpului negru reprezentat de cavitatea din figura 9.2, ca fiind o suprapunere de unde electromagnetice monocromatice staţionare reprezentând valorile proprii de oscilaţie ale cavităţii, Planck a emis ipoteza că energia unui mod de oscilaţie nu poate lua decât valori care sunt multiplii ai cuantei de energie ε : ν=ε h . (9.10)

Astfel, energia unui mod de oscilaţie reprezentat de o undă electromagnetică monocromatică cu frecvenţa ν ia doar valorile:

. (9.11) =ε=ε nn νnh

unde ,...3,2,1n = Pe baza acestei ipoteze, Planck a calculat energia medie care revine radiaţiei termice cu frecvenţa în intervalul (ν,ν+dν) şi de aici puterea spectrală de emisie a corpului negru. Este lesne de observat că rezultatul general valabil obţinut de Planck pentru conduce, în cazul frecvenţelor joase, νε ,T Tkh B<<ν , la legea


Rayleigh-Jeans, iar pentru frecvenţele mari ( )Tkh B>>ν permite obţinerea formei exacte a legii Wien (9.7):

kTh

33T, e

c

h8ν

−ν ν

π=ε . (9.12)

Evident că frecvenţa corespunzătoare maximului curbei νε ,T se obţine din

condiţia 0d

d T, =ν

εν , iar legea Stefan-Boltzmann rezultă prin integrarea puterii

spectrale (9.8) după toate frecvenţele. 9.3. Proprietăţile corpusculare ale radiaţiei electromagnetice. Efectul fotoelectric şi efectul Compton. Ipoteza cuantelor de energie a fost extinsă de Einstein asupra radiaţiei electromagnetice în general atunci când el a explicat efectul fotoelectric (1905). Einstein a presupus că o radiaţie electro-magnetică de frecvenţă ν este alcătuită dintr-un flux de particule, numite fotoni, a căror energie este . ν=ε h Dacă se ţine cont că fotonii se deplasează cu viteza luminii, atunci, conform relaţiei lui Einstein pentru energia unei particule relativiste, , masa de mişcare a fotonilor

2mcE =

2c

hm ν= ,

şi impulsul sunt:

c

hcmp ν=⋅= , (9.13)

iar masa de repaus a fotonilor, ţinând cont de relaţia

2

20

c

v−1

mm = , unde trebuie

luat , rezultă a fi . cv = 0m0 =

Efectul fotoelectric, observat pentru prima oară de Hertz (1887), constă în emisia de electroni de către suprafaţa unui metal asupra căruia este incidentă o radiaţie electromagnetică.


În figura 9.3 este prezentată schema dispozi-tivului necesar studiului efectului fotoelectric. Acesta cuprinde o celulă fotoelectrică, care este o incintă vidată prevăzută cu două plăci metalice, pe care se aplică o diferenţă de potenţial. Pereţii celulei trebuie să fie transparenţi pentru radiaţia incidentă pe catod. Caracteristica curent-tensiune pentru un flux luminos incident constant este reprezentată în figura 9.4.

Fig. 9.3 Fig. 9.4 Din studiul efectului fotoelectric au rezultat următoarele legi experimentale: 1. Efectul fotoelectric este practic instantaneu (apare la mai puţin de de la începerea iluminării).

s10 9−

2. Curentul fotoelectric apare numai dacă frecvenţa radiaţiei luminoase depăşeşte o anumită valoare, numită valoare de prag, specifică tipului de material din care este fabricat catodul. 3. Intensitatea curentului de saturaţie este direct proporţională cu fluxul luminos incident pe catod. 4. Energia cinetică maximă a fotoelectronilor nu depinde de valoarea fluxului luminos ci de frecvenţa radiaţiei luminoase utilizate. Legile de mai sus nu pot fi explicate pe baza teoriei ondulatorii a luminii. Conform acesei teorii, energia cinetică a electronilor emişi de catod ar trebui să depindă de intensitatea luminii incidente şi nu de frecvenţa acesteia. De asemenea, existenţa unui prag pentru producerea efectului fotoelectric nu poate fi înţeleasă cu ajutorul teoriei ondulatorii a luminii deoarece, conform acesteia, la iradierea catodului pe un interval de timp mai îndelungat lumina ar aduce suficientă energie astfel încât electronii să poată părăsi catodul. Dacă, însă, se consideră radiaţia luminoasă ca fiind alcătuită dintr-un flux de fotoni, aşa cum a presupus Einstein, atunci în urma absorţiei unui foton de către un electron legat din metal, acesta


părăseşte catodul cu o energie cinetică care depinde de frecvenţa radiaţiei. În acest caz, efectul fotoelectric poate fi privit ca o ciocnire inelastică între un foton şi un electron legat din substanţă, proces pentru care relaţia de conservare a energiei se scrie:

2

mvLh max2

.extr +=ν (9.14)

unde este lucrul mecanic de extracţie al electronului din metal. .extrL Scriind , obţinem: prag.extr hL ν=

2

mvhh max2

prag +ν=ν . (9.15)

Energia cinetică maximă a fotoelectronilor nu poate fi măsurată direct ci poate fi evaluată prin frânarea electronilor cu ajutorul unei diferenţe de potenţial inverse aplicată pe celulă până ce curentul devine nul. Astfel, se poate scrie:

2

maxf

mv eU2

= . (9.16)

Atunci, relaţia (9.15) devine:

fprag eUhh +ν=ν . (9.17)

Verificarea experimentală a relaţiei lui Einstein (9.15) a fost realizată cu mare precizie de Millikan (1916), care a determinat o valoare pentru constanta lui Planck în foarte bun acord cu cea rezultată din studiul radiaţiei termice. Un alt fenomen care confirmă justeţea ipotezei lui Einstein privind existenţa fotonilor este efectul Compton (1923). H.A.Compton a observat că la difuzia prin substanţă a radiaţiilor electromagnetice cu lungimi de undă foarte mici (de ordinul ängstromului), pe lângă radiaţia iniţială nedifuzată, având lungimea de undă λ, apar şi radiaţii difuzate ale căror lungimi de undă sunt mai mari decât λ. Mărimea unei astfel de deplasări, λ`-λ, numită deplasare Compton, nu depinde de natura substanţei, ci doar de unghiul de difuzie al radiaţiei. În plus, s-a constatat că o dată cu creşterea numărului atomic al substanţei difuzante, intensitatea radiaţiei nedeplasate creşte. Efectul Compton poate fi explicat dacă se consideră

Fig. 9.5


că procesul care are loc este o ciocnire elastică între un foton aparţinând radiaţiei ce pătrunde în substanţă şi un electron liber sau slab legat din substanţa difuzantă, presupus a fi în repaus (Fig. 9.5). În acest proces, legile de conservare pentru energie şi impuls trebuie scrise folosind expresia relativistă a energiei electronului deoarece acesta preia prin ciocnire o energie suficient de mare de la foton. Acestea sunt: 22

0 mc'hcmh +ν=+ν

mvc

'hvc

hv+= (9.18)

unde este masa de repaus a electronului, iar m este masa de mişcare a acestuia.

0m

Relaţia de conservare a impulsului, proiectată pe axele Ox şi Oy, axa Ox coincizând cu direcţia iniţială de deplasare a fotonului, conduce la relaţiile:

h h cos mv cosc c

h0 sin mv sinc

′ν ν= θ +

′ν= θ − ϕ

ϕ (9.19)

Aceste relaţii, împreună cu relaţia de conservare a energiei, permit determinarea deplasării Compton:

( θ−=λ−λ′=λΔ cos1cm

h

0) . (9.20)

Mărimea 024,0cm

h

0C ==Λ Ă este lungimea de undă Compton pentru

electron. Se observă că deplasarea Compton: ( )θ−Λ=λΔ cos1C (9.21) nu depinde în nici un fel de natura substanţei difuzante ci doar de unghiul de difuzie al fotonului, ea fiind maximă pentru fotonii retroîmprăştiaţi. 9.4. Modele atomice Aşa cum am menţionat în introducere, după descoperirea electronului şi a radioactivităţii naturale, la sfârşitul secolului al XIX-lea a apărut necesitatea


elaborării unor modele atomice capabile să explice fenomenele observate în urma studiului interacţiei radiaţiei electromagnetice cu substanţa. În acelaşi timp, modelele atomice trebuie să fie în concordanţă cu caracteristicile generale ale substanţei. Unul din primele modele atomice a fost propus în 1904 de J.J.Thompson. Conform acestui model, atomul este format dintr-o masă cu sarcină pozitivă distribuită uniform în interiorul unei sfere în care sunt presăraţi, precum în interiorul unei "budinci cu stafide", electronii. Suma sarcinilor negative purtate de aceştia este egală cu sarcina pozitivă distribuită uniform în interiorul atomului. În afară de satisfacerea cerinţei ca atomul să fie neutru din punct de vedere electric şi explicării conducţiei electrice, modelul atomic Thompson nu a dus la explicarea altor fenomene ca, de exemplu, emisia şi absorţia luminii de către atomi, şi de aceea a fost repede abandonat. La fel s-a întâmplat şi cu modelul atomic Rutherford (1914), model a cărui construcţie este similară cu cea a sistemului planetar. Conform acestui model, în centrul atomului se află un nucleu încărcat pozitiv în care este concentrată aproape întreaga masă a atomului şi în jurul căruia se rotesc, pe diferite orbite circulare, electronii. Un electron este atras de nucleu prin forţa coulombiană de atracţie, iar aceasta este echilibrată de forţa centrifugă datorată mişcării electronului pe orbita circulară. Dimensiunea nucleului este extrem de mică faţă de dimensiunea atomului, iar sarcina negativă corespunzătoare tuturor electronilor care gravitează în jurul nucleului este egală cu sarcina pozitivă a nucleului astfel încât atomul este neutru din punct de vedere electric. Rutherford şi-a întemeiat modelul atomic pe rezultatele obţinute în cadrul experimentelor de difuzie a particulelor α, anterior descoperite, prin foiţe metalice subţiri (Fig.9.6).

Fig. 9.6


El a constatat că, în marea lor majoritate, particulele α, care sunt particule grele, nu sunt deviate şi, practic, doar o particulă din 8000, este deviată sub un unghi ce depăşeşte 90°. În plus, folosind foiţe din metale diferite, Rutherford a observat că numărul de particule pe unitatea de unghi solid care suferă o deviere este proporţional cu pătratul numărului de ordine Z al metalului folosit. Astfel, Rutherford a ajuns la concluzia că, în afară de un mic nucleu masiv, spaţiul din interiorul unui atom este aproape gol (electronii au masa de peste 7000 de ori mai mică decât particulele α). Particulele α care sunt semnificativ deviate trebuie să treacă suficient de aproape de nucleu astfel încât să „simtă” acţiunea de respingere exercitată de câmpul coulombian al nucleului, a cărui sarcină, la fel ca şi a particulele α, este pozitivă. Deşi pe baza modelului planetar al atomului propus de Rutherford pot fi explicate o serie de proprietăţi electrice şi magnetice ale materiei, acest model a fost abandonat ca atare datorită unei contradicţii fundamentale ce rezidă din legile electro-dinamicii clasice. Conform legilor electro-dinamicii, o sarcină electrică în mişcare accelerată emite o undă electro-magnetică. Aceasta înseamnă că electronii în mişcare de rotaţie pe o orbită circulară trebuie să radieze un câmp electromagnetic şi pierzându-şi treptat energia ar trebui să cadă, finalmente, pe nucleu. Or, acest lucru nu se observă în practică, atomii, deşi prezintă o configuraţie dinamică de tipul celei propuse de Rutherford, sunt stabili şi nu emit de la sine radiaţie electromagnetică. Cel care a înlăturat acest inconvenient, prin introdu-cerea unor condiţii noi, de natură cuantică, pe care trebuie să le satisfacă un atom cu confiuraţia propusă de Rutherford, a fost fizicianul danez N.Bohr (1913). El a preluat modelul nuclear al atomului, dar a enunţat trei condiţii, cunoscute sub numele de postulatele lui Bohr, pe care atomul cu configuraţia propusă de Rutherford trebuie să le satisfacă. Acestea sunt:

1) Atomii se pot găsi un timp îndelungat numai în anumite stări de energie bine determinată, numite stări staţionare, în care aceştia nu emit şi nu absorb energie. Energiile stărilor staţionare ale unui atom constituie un şir discret de valori.

2) La trecerea dintr-o stare staţionară în alta, atomii emit sau absorb radiaţii elecromagnetice ale căror frecvenţe sunt date de relaţia:


h

EE nmmn

−=ν (9.22)

unde şi sunt energiile stărilor staţionare între care are loc tranziţia, iar h este constanta lui Planck.

mE nE

3) Dintre toate orbitele circulare, principial posibile conform mecanicii clasice, se realizează doar acelea pentru care momentul cinetic al electronului satisface condiţia de cuantificare:

hr

nL = (9.23)

unde momentul cinetic este prL ×= , π

=2h

h iar n ia valorile ,...2,1n = .

Pe baza acestor postulate, Bohr a calculat mărimile care caracterizează mişcarea electronului pe orbitele circulare permise în atomul de hidrogen: raza, viteza, acceleraţia, dar şi energia atomului de hidrogen presupunând că nucleul este fix. Cu aceste rezultate au fost interpretate corect spectrele de absorţie şi emisie ale atomului de hidrogen precum şi cele ale ionilor hidrogenoizi. Astfel, pornind de la condiţia de stabilitate pentru electronul în mişcare pe o orbită circulară:

2

20

20

re

rvm

= (9.24)

unde 0

220 4

eeπε

= şi este masa de repaus a electronului şi folosind condiţia de

cuantificare a momentului cinetic care, pentru o orbită circulară, este de modul

0m

vrmL 0= :

π

=2hnvrm0 (9.25)

se obţin razele orbitelor circulare:

200

2

22n

em4

hnrπ

= (9.26)

şi vitezele electronului în mişcare pe acestea:

nh

e2v

20

n⋅π

= (9.27)

unde n = 1,2,3,...


Energia totală a atomului într-o stare indexată prin n se obţine prin însumarea energiei potenţiale a electronului aflat în câmpul de atracţie al nucleului la distanţa : nr

22

400

n

20

n,Phn

em4re

E⋅⋅π

−=−= (9.28)

cu energia cinetică a acestuia:

22

400

22n0

n,Chn

em22vm

Eπ

== . (9.29)

Astfel, rezultă:

22

400

2

n,Pn,Cnn1

h

em2EEE ⋅

π−=+= . (9.30)

Faptul că s-a obţinut un spectru de energii negative arată că electronul în atomul de hidrogen este „legat”, iar pentru a deveni liber ( )0E = are nevoie să i se furnizeze din exterior energie pentru a fi scos din câmpul de atracţie al nucleului. Spectrul de energii (9.30) obţinut conform modelului Bohr a permis obţinerea seriilor spectrale ale hidrogenului (Fig.9.7), date de:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅π=

λ 223

400

2

m

1

n

1

ch

em21 (9.31)

unde n = 1,2,..., şi m = n+1, n+2, ...

Fig. 9.7


Prin confruntarea cu formula obţinută experimental de Balmer:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

λ 22Hm1

n1R1 (9.32)

rezultă expresia constantei Rydberg pentru hidrogen:

ch

em2R

3

400

2

Hπ

= (9.33)

precum şi valoarea acesteia: (9.34) 1

H cm 737.109R −≅

Suficient de buna concordanţă cu valoarea experimentală , precum şi explicarea mecanismului emisiei şi absorţiei radiaţiei de către atomul de hodrogen constituie succesul incontestabil al modelului atomic Bohr.

1H cm 678.109R −≅

Făcând unele corecţii, modelul atomic Bohr s-a folosit cu succes şi la obţinerea seriilor spectrale ale ionilor şi atomilor hidrogenoizi. Pentru ionii hidrogenoizi, care sunt atomi care şi-au pierdut toţi electronii cu excepţia unuia singur,trebuie ca pentru sarcina nucleului să se ia (+Ze) în loc de (+e) ceea ce conduce la:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

λ 222

Hm1

n1ZR1 (9.35)

unde Z este numărul de ordine al atomului respectiv. Formula (9.35) arată o comportare a lungimilor de undă din spectrul de emisie cu numărul de ordine Z identică cu cea prevăzută de legea lui Moseley

pentru spectrele de raze X ale atomilor grei, conform căreia λ1 este proporţional

cu Z. În ceea ce priveşte atomii hidrogenoizi, care sunt atomi având pături pline cu electroni, cu excepţia celei periferice, care are un singur electron, se admite că păturile pline au un efect de ecranare a sarcinii electrice pozitive a nucleului, determinând o diminuare a atracţiei exercitate de acesta asupra electronului periferic. În acest caz, sarcina nucleului este +eZ*, cu Z*=Z σ− , unde constanta

, numită constantă de blindaj, creşte o dată cu creşterea lui Z. σ Deşi modelul atomic Bohr prezintă insuficienţe majore, printre care amintim imposibilitatea explicării structurii fine şi hiperfine a spectrelor precum şi imposibilitatea calculării intensităţii liniilor spectrale, el are o importanţă


deosebită pentru mecanica cuantică, care rezidă în faptul că, deşi pe baza unei teorii semiclasice, este introdusă pentru prima oară cuantificarea energiei atomilor. Cuantificarea energiei atomilor a fost probată experimental de J. Franck şi G. Hertz (1914). Aceştia au studiat excitarea atomilor de mercur în urma ciocnirilor cu electroni acceleraţi la o diferenţă de potenţial variabilă. Atomii de mercur, sub formă de vapori la presiune joasă, au fost introduşi într-un tub de tip triodă. Electronii, emişi de un filament care joacă rol de catod, au fost acceleraţi prin aplicarea unei tensiuni de accelerare între catod şi grilă (Fig. 9.8).

Fig. 9.8

Distanţa dintre grilă şi filament este mai mare decăt drumul liber mediu al electronilor astfel încât aceştia pot ciocni mai mulţi atomi de mercur în drumul lor spre grilă. Între grilă şi anod se menţine o diferenţă de potenţial de frânare constantă, de aproximativ 0,5 V. În aceste condiţii, curentul anodic va fi influenţat doar de tensiunea de accelerare . Dependenţa gU ( )gAA UII = este reprezentată în

figura 9.9.

Fig. 9.9


Scăderile bruşte ale intensităţii curentului anodic se explică prin pierderea de energie de către electroni în urma ciocnirilor cu atomii de mercur. Acestea nu pot fi decât ciocniri inelastice deoarece într-o ciocnire elastică, datorită diferenţei mari dintre masa unui atom şi cea a electronului, energia cinetică a electronului se modifică nesemnificativ astfel încât acesta ajunge la anod, iar curentul nu ar avea de ce să scadă. În schimb, într-o ciocnire inelastică, electronul poate pierde o cantitate de energie semnificativă care este preluată de atomul ciocnit, care va fi astfel excitat. Minimul curentului pentru tensiunea de 4,9V arată că

energia preluată de un atom de mercur este de 4,9 eV, atomul fiind astfel excitat din starea fundamentală, iar scăderile curentului anodic pentru şi

arată că un electron accelerat la această diferenţă de potenţial a

efectuat două excitări, respectiv, trei excitări. O dată cu apariţia primului minim al curentului anodic, a fost pusă în evidenţă emisia de către vaporii de mercur a unei radiaţii cu lungimea de undă

AI

2537

gU

V9,42Ug ×=

V9,42Ug ×=

=λ Ă. Dacă se calculează care este energia fotonilor cu această lungime de undă se vede că ea este:

hch = 4,9ν ≅λ

eV . (9.36)

Astfel, fotonii emişi corespund exact tranziţiei de pe nivelul excitat al atomilor de mercur care au preluat de la electronii acceleraţi la

energia de 4,9eV.

V9,4Ug =

Deoarece a pus în evidenţă, pentru prima oară, cuantificarea energiei atomului, experienţa Franck şi Hertz este considerată a fi una din experienţele fundamentale ale fizicii.

9.5. Ipoteza de Broglie. Caracterul ondulatoriu al particulelor. Louis de Broglie a formulat în 1923 o ipoteză prin care a atribuit particulelor materiale proprietăţi ondulatorii. Ipoteza de Broglie apare ca un revers al ipotezei fotonului, anterior formulată, conform căreia câmpului electromagnetic i s-au atribuit proprietăţi corpusculare. Conform ipotezei de Broglie, unei particule având impulsul p i se asociază o undă, numită undă de Broglie, a cărei lungime de undă λ este dată de:


h hp mv

λ = = . (9.37)

Se poate uşor constata că în cazul particulelor macroscopice lungimea de undă de Broglie are valori extrem de mici faţă de dimensiunile acestora astfel încât caracterul lor ondulatoriu nu se manifestă în nici o experienţă. De Broglie a emis această ipoteză pentru a justifica existenţa orbitelor staţionare ale electronilor legaţi prin condiţia de apariţie a undei staţionare pentru unda asociată.

Nu la mult timp după ce de Broglie îşi formulase ipoteza, caracterul ondulatoriu al micro-particulelor a fost pus în evidenţă experimental, în 1927, de către C.J. Davisson şi L.H. Germer. Aceştia au studiat modul în care un fascicul de electroni este împrăştiat de o ţintă constituită de un monocristal de nichel (Fig.9.10) Cu ajutorul unui detector au fost înregistraţi electronii împrăştiaţi de cristal după diferite direcţii, obţinându-se maxime ale intensităţii

fasciculului de electroni pentru anumite valori ale unghiului de imprăştiere, întocmai ca în cazul împrăştierii unui fascicul de raze X având lungimea de undă

identică cu lungimea de undă a electronilor, hp

λ = . În cazul împrăştierii razelor

X, maximele sunt date de respectarea condiţiei Bragg (1912):

Fig. 9.10

(9.38) 2dsin nθ = λ

unde d este distanţa dintre două plane reticulare ale cristalului, iar n = 1,2,3,…

Fig. 9.11


Respectarea acestei condiţii asigură de fapt existenţa unui maxim pentru fasciculul reflectat rezultat prin însumarea fasciculelor reflectate de o familie de plane cristaline paralele aflate la distanţe d unul faţă de altul (Fig. 9.11).

Ori de câte ori se obţine un maxim al intensităţii fasciculului de electroni difractat de cristal, relaţia lui Bragg este verificată pentru o familie de plane reticulare ale cristalului (deci un anumit d fixat) şi o lungime de undă asociată electronilor (deci o anumită viteză a acestora obţinută prin accelerarea lor la o diferenţă de potenţial precizată). Astfel, se poate afirma că experienţa Davisson-Germer a probat indubitabil caracterul ondulatoriu al fascicolului de electroni difuzat de cristal. De altfel, experienţele de difracţie cu molecule de hidrogen şi cu atomi de heliu precum şi experienţele de interferenţă cu electroni realizate ulterior au evidenţiat şi ele comportarea ondulatorie a particulelor, confirmând astfel justeţea ipotezei de Broglie. 9.6. Relaţiile de nedeterminare ale lui Heisenberg Pentru a analiza comportarea microparticulelor, să ne imaginăm o experienţă simplă în care un fascicul de microparticule, de exemplu electroni, suferă o difracţie pe o fantă de lăţime a, practicată într-un paravan opac. Particulele au toate aceeaşi energie şi direcţia impulsului acestora este normală pe fantă (Fig. 9.12).

Fig. 9.12

Contorizând electronii sosiţi pe ecranul de observare, se obţine o figură de difracţie constând din maxime şi minime, întocmai ca la difracţia luminii printr-o fantă. Maximul central, cu mult mai pronunţat decât maximele secundare, se întinde pe axa y pe o lăţime cu atât mai mare cu cât fanta este mai îngustă. Primul


minim se obţine, ca şi în cazul difracţiei luminii, pentru o direcţie de difracţie a electronilor dată de: 0θ . (9.39) θ = λ0asinÎn momentul trecerii prin fantă, poziţia electronilor pe axa y este localizată cu o imprecizie Δy dată de lăţimea fantei:

Δy = a. (9.40)

În acelaşi timp, limitându-ne doar la maximul central, electronii capătă, datorită difracţiei, un impuls pe axa y dat de:

. (9.41) yp psin= 0θ

y

Aceasta constituie chiar imprecizia cu care poate fi determinat impulsul electronilor după direcţia y:

(9.42) yp ~pΔ

Atunci, folosind (9.40 ÷ 9.42), (9.39) devine:

yy p hpλ

Δ ⋅ Δ = = . (9.43)

Ţinând cont că relaţia (9.43) s-a obţinut luându-se în considerare doar maximul central, în general putem scrie:

. (9.44) yy p hΔ ⋅Δ ≥ Aceasta este o relaţie care leagă între ele impreciziile cu care pot fi determinate simultan poziţia şi impulsul electronului după o direcţie arbitrar aleasă (y în acest caz). Relaţii similare pot fi scrise şi pentru celelalte două direcţii ortogonale din spaţiu acestea fiind relaţiile de nedeterminare poziţie – impuls date de Heinsenberg. Comportarea tuturor microparticulelor este guvernată de relaţiile Heisenberg, ele fiind ca o piatră de hotar care separă particulele cuantice de cele clasice. Semnificaţia relaţiilor de nedeterminare Heisenberg, rezidând în trăsăturile profunde ale lumii cuantice, se desprinde uşor prin simpla lor examinare: pentru o microparticulă, poziţia şi componenta impulsului pe o aceeaşi axă nu pot fi determinate simultan cu o precizie oricât de mare deoarece produsul celor două imprecizii nu poate fi mai mic, ca ordin de marime, decât constanta lui Planck, h. Aceasta constituie o limitare în ceea ce priveşte descrierea evoluţiei micro-particulelor, pentru care nu mai poate fi definită o traiectorie conform legilor mecanicii clasice. Ca atare, s-a impus necesitatea construirii unei noi mecanici, ale cărei legi să răspundă particularităţilor intrinseci ale lumii cuantice.


PROBLEME REZOLVATE 9.1. Se consideră, într-o bună aproximaţie, că suprafaţa stelelor are o comportare de corp negru. Să se afle: a) Temperatura suprafeţei Soarelui ştiind ca 5100max =λ Å b) Temperatura Stelei Polare, pentru care 3500max =λ Å. c) Puterea emisă de unitatea de suprafaţă a celor două stele. Se cunoaşte:

428 Km/W1067,5 −⋅=σ , . mK10898,2b 3−⋅=

Rezolvare: Se aplică legea deplasării a lui Wien: ttanconsTmax =⋅λ . Astfel:

a) K5700bTSmax,

S =λ

=

b) K8300bTp

pSmax,

S =λ

=

c) Se aplică legea Stefan – Boltzmann:

274SS m/W109,5T ⋅=σ=ε

284SS m/W1071,2T

pp⋅=σ=ε .

9.4. Într-o explozie termonucleară temperatura atinge valoarea de în miezul acesteia. Să se determine lungimea de undă corespunzătoare maximului de emisie termică.

K107

Rezolvare: Se aplică legea deplasării a lui Wien:

3m10898,2K10

mK10898,2Tb 10

7

3

max ≈⋅=⋅

==λ −−

Å.


9.5. La o anumită temperatură maximul de emisie al unui corp negru este plasat la Å. La ce lungime de undă se va deplasa acesta dacă temperatura

corpului creşte până la dublarea ratei de emisie ? 6500max =λ

Rezolvare: Se scrie legea Stefan – Boltzmann petru cele două temperaturi:

411 Tσ=ε ; . 4

22 Tσ=ε

Deoarece , 12 2ε=ε 412 2TT = .

Aplicând legea lui Wien pentru aceste două temperaturi: bTT 2max21max1 =⋅λ=⋅λ .

Rezultă: 71052 4/1

max2max1 =⋅λ=λ − Å. 9.6. Să se explice de ce la 1100 K o bucată de metal este o sursă puternică în roşu, în timp ce cuarţul, aflat la aceeaşi temperatură, nu emite nici o radiaţie ? Rezolvare: Metalul poate fi aproximat cu un corp negru, la care aplicând legea deplasării a lui Wien, pentru K1100T = , se obţine:

300.26Tb

max ≅=λ Ă

adică în infraroşu. Aceasta face ca din componentele spectrului vizibil, roşul să fie predominant. În ceea ce priveşte cuarţul, transparenţa sa în vizibil face ca aproximaţia de corp negru să nu poată fi valabilă. 9.7. Să se explice de ce, privind într-o cavitate cu pereţii de corp negru, aflaţi la o aceeaşi temperatură, nu se pot distinge nici un fel de detalii. Rezolvare: Ochiul este sensibil la variaţiile lui λ şi la cele ale densităţii de energie. Deoarece distribuţia spectrală a densităţii energetice a radiaţiei termice a corpului negru este funcţie de temperatură, toate punctele vor avea aceleaşi caracteristici de emisie, ceea ce face ca nici un detaliu să nu poată fi distins.


9.8. La ce lungime de undă este situat maximul de emisie termica a corpului

Rezolvare: corpul omenesc ca având o comportare de corp negru aflat, în

eneral

omenesc ? Considerândg , la o temperatură K310T = , maximul de emisie este situat, conform legii deplasării a lui Wien, la o undă maxlungime de λ :

m9K310

mK10898,2b ⋅T

3

max μ≅==λ−

.

Fiinţele vii sunt deci surse detectabile în infraroşu.

.9. Energia de ionizare a sodiului este de ina galbenă cu

9 eV3,2 . a) Se poate obţine efect fotoelectric cu lum 5890=λ Å ?

Rezolvare: instein, energia fotonului incident este:

b) Care este λ de prag ? a) Conform relaţiei E

eV3,2eV1,2hch <==ν=ε , λ

efectul fotoelectric nefiind posibil.

) Lungimea de undă de prag corespunzătoare energiei de ionizare a sodiului este: b

5400hc==λ Å

Eiprag

9.10. Să se determine constanta lui Planck ştiind că fotoelectronii smulşi din metal

Rezolvare: a conservării energiei pentru cele două cazuri:

de radiaţia luminoasă de frecvenţă 115 s102,2 −× sunt frânaţi total de un potenţial

de 6,6V şi fotoelectronii smulşi de venţa 115 s106,4 −× sunt frânaţi total de un potenţial de 16,5V.

lumina cu frec

Se scrie lege

1extr1 eULh +=ν ; 2extr2 eULh +=ν . De unde, . Deci: 1221 eUeUhh +−ν=ν

( ) ( ) eUUh 211 2 =ν− ⋅−ν


şi rezultă: ( )

sJ106,6UUe

h 34

21

21 ⋅⋅≅ν−ν−

= − .

.11. Să se arate că un electron şi un pozitron în repaus nu se pot anihila prin

rvării energiei în procesul de anihilare: , ne arată ă frecv

9emisia unui singur foton.

Rezolvare: Legea conse ν= hcm2 2

0c enţa pe care ar trebui să o aiba fotonul este

hcm2 2

0=ν .

Din legea conservării impulsului rezultă:

ch0 ν

= adică 0=ν .

Deci, anihilarea perechii electron–pozitron cu emisia unui singur foton nu

.12. Să se calculeze masa unui foton în următoarele cazuri:

este posibilă. 9a) m5 μ=λ (infraroşu); b) m5,0 μ=λ (vizibil); c) 500=λ Å (ultraviolet);

Ă Å

Rezolvare: tonul are numai masă de mişcare, corespunzătoare energiei

d) (raze X); e) =λ (raze γ dure). 5,0=λ 5105 −⋅ Se ştie că fosale ν=ε h :

2mchch =λ

=ν=ε .

Rezultă, ; b) ; c)

.13. O suprafaţă de aluminiu, cu lucrul de extracţie de 4,2eV, este iluminată cu

a) ,4m = kg104 35−⋅ kg104,4m 34−⋅= kg104,4m 33−⋅= ;

d) ; e) kg104,4m 30−⋅= kg104,4m 26−⋅= 9radiaţia cu lungimea de undă 2000=λ Å. Se cer: a) energia cinetică cE a celor i fotoelectro mai rapiz ni; b) potenţialul de frânare;


c) lungimea de un minimă necesară extragerii electronului din atomul ddă e

Rezolvare:

aluminiu; d) numărul de fotoni emişi în unitatea de timp de unitatea de suprafaţă dacă intensitatea fasciculului incident este de 2m/W2 .

a) eV3,2LhcEc −= extr =λ;

b) V3,2e

EV c == ;

c) 0

extrhcLλ

= , 2946Lhc

0 ==λ Å

d) sm/fotoni102hch

N 218⋅≅λ

=ν

=II

.14. Într-un experiment pentru producerea efectului fotoelectric se iradiază un

9fotocatod de sodiu cu o radiaţie monocromatică cu 3000=λ Å, potenţialul de frânare fiind 1,85V, iar pentru 4000=λ Å, acesta est ă se determine: a) constanta Planck;

e 0,82V. S

b) lucrul de extracţie; prag c) lungimea de undă de .

Rezolvare:

Lhc a) 1−

λ= ; eV1 LhceV

22 −

λ= .

Prin scădere:

( ) sJ106,6VVceh 34

1221

21 ⋅⋅≅−λ−λλλ

= − .

b) eV3,2eVhcL 11

≅−λ

= .

5440Lhc c) Lhc

p=

λ de unde p ==λ Ă.

.15. a) Să se arate că un electron liber nu poate să absoarba un foton, adica 9producerea efectului fotoelectric necesită un electron legat. b) Să se explice de ce efectul Compton poate avea loc pe electronii liberi ?


Rezolvare: a) Legile de conservare ale energiei şi impulsului în cazul clasic, presupunând că efectul fotoelectric ar avea loc pe un electron liber se scriu astfel:

21

22 mvhcmv 21

mvhmv

22

=λ

+

=λ

+

din care rezultă:

cv2vcv2v

vc2

vv

c2v

2221

21

2

22

1

21

−=−

−=−

sau ( )( ) ( ) c2vvvvvv 212121 −=+−

deci

2vvc 21 +=

ceea ce este imposibil. t, legile de conservare se scriu: În cazul relativis

22

21 cmhcm

2211 vmhvm =λ

+

Conservarea energiei se mai poate scrie:

=ν+

22

2 mhccm =1 cλ

+ .

Scăzând ultimele două relaţii se o ţine: b

2

21

2

22

1

2

2

1

c

v1

c

v1

vcvc

mm

−

−=

−−

=

de unde rezultă:

1

2

1

2vcvc

vcvc

++

=−− .


Relaţia obţinută nu poate avea loc decât pentru 21 vv = , ceea ce duce la , adică∞=λ 0=ν şi deci fotonul ar avea energia nulă.

sorbţia întonu junge energiei şi impulsului, la

b) În cazul efectul fotoelectric, care reprezintă ab tregii energii a

lui, se a , pe baza relaţiilor de conservare ale foun sistem de două ecuaţii cu o singură necunoscută: viteza finală a electronului, sistemul fiind incompatibil, cu excepţia cazului banal 0=ν (cazul a). În cazul efectului Compton, fiind absorbită doar o parte din energia fotonului, se obţine un sistem de două ecuaţii, linear independente, cu două necu o cute (viteza finală a electronului şi frecvenţa finală a fotonului) sistemul fiind compatibil, ceea ce face ca, din punct de vedere fizic, efectul Compton să fie posibil.

5

n s

.16. Un foton cu energia de , incident după direcţia Ox pe un electron flat în repaus, este împrăş . Să se determine componentele

l.

egea de conservare a impulsului este:

9 eV10tiat de acesta la a °90

impulsului electronului de recu Rezolvare:

Într-o ciocnire Compton, l eff ppp

fi

rrr+= .

În acelaşi timp, variaţia lungimii de undă a fotonului, pentru

Se proiectează această relaţie pe cele două axe:

y,ey,f

x,ef ppi=

pp0 +=

, este: °=θ 90

( ) 025,0cmcm 00

hcos1h==θ−=λ−λ′=λΔ Ă.

Din prima relaţie de conservare a impulsului rezultă:

s/mkg103,6cc i

ii,fx,e λ

Ehhpp 23i ⋅⋅≅=ν=== −

şi din a doua relaţie rezultă:

.s/mkg101,5

Ehchhhpp 23

iif

y,fy,e λ⋅⋅≅

λΔ+⋅

−=λΔ+λ

−=−=−= −


9.17. Se consideră un fascicul de raze X cu 1=λ Å şi un fascicul de raze γ

provenind de la o sursă de Cs137 cu 28,1 −=λ Å. Se urmăreşte radiaţia împrăştiată de electronii liberi la °90 faţă ciculului incident. Se cere să se afle: a) C

108 ⋅ţia f de direc as

are este deplasarea Compton în fiecare caz ? l ?

Rezolvare:

b) Ce energie cinetică primeşte electronul de recu c) Ce procent din energie pierde fotonul incident ? Se cunosc: sJ1063,6h,kg1011,9m 3431

0 ⋅⋅=⋅= −− , e C106,1 19−⋅= .

a) ( ) 0243,0cos1cm

h=λΔ

0=θ− Ă , este independentă de lungimea de

undă a radiaţiei incidente.

b) Ecuaţia de conservare a energiei este:

Ehchc+=

λ′λunde λΔ+λ=λ′ .

Înlocuind, se obţine:

( )λΔ+λλλΔ⋅

=hcE .

Astfel:

şi

c) Pentru razele X, energia fotonului incident este

keV295,0J1073,4E 17X =⋅= −

keV378J1098,5E 14 =⋅= −γ

keV4,12hc==ε ,

xλiar energia pierdută de foton este câştigată de electron, astfel că procentul de energie pierdută este:

%4,2%100keV4,12keV295,0

X =×=P

Similar se obţine

%57%100keV660keV378

X =×=P .


9.18. Să se calculeze razele primelor trei orbite ale atomului de hidrogen, respectiv a celei de a zecea orbite.

ă

Rezolvare:

Se pune condiţia de staţionaritate pe orbit

rm

r4 20=

πεvZe1 22

şi ţinând cont de postulatul Bohr: , pentru 1Z =hnrvm = , se obţine:

2er .

220

mn4 h

πε=

Pentru se obţine raza primei orbite: 1n =

( )( ) =

⋅=

− 2341

103 Å.

Pentru următoarele două orbite, obţinem:

Å ;

⋅⋅⋅

⋅ −− 19319 106,11,91005,1

1091r 5,0m1026,5 11 =⋅ −

73,4r9r 23 ==1,2r4r == 12 Å.

Pentru , se obţine:10n = 53r100r 110 == Å.

.19. Ştiind că numărul de atomi pe diferite stări energetice este dat de legea de istribuţie Boltzmann , să se estimeze temperatura unui gaz ce

ensitate cu ce

9d KT/E

i ie~n −

conţine atomi de hidrogen pentru care în spectrul de absorbţie liniile seriei Balmer ajung comparabile ca int le din seria Lymann. Se cunosc: ,eV39,3E,eV6,13E 21 −=−= şi K/eV1062,8K 5−⋅= . Rezo

Abslvare:

orbţia este proporţională cu numărul de atomi de pe nivelul inferior al anziţi cu pentru seria Lymann şi cu pentru seria Balmer.

tr ei, respectiv 1n 2nAstfel se calculează

( )e/E

enn KT/EE

1

KT/E

1

2 122 −−

−=

−=

1~ee

KT

T/1018,1T1062,8/)6,1339,3( 55 ⋅−⋅+−− ==

=

−

.

Rezultă deci o temperatură a hidrogenului:

K10~T 5 .


9.20. Arătaţi că undele asociate electroniloraţionare.

în mişcare pe orbitele Bohr sunt unde st Rezolvare:

Scriind condiţia de cuantificare a momentului cinetic: hnrvmp == , şi troducândin unda asociată de Broglie

Prezultă chiar condiţia de staţionaritate

h=λ

pentru unda asociată: λ=π nr2 .

ionară în atomul de 9.21. Să se exprime viteza electronului pe o orbită staţhidrogen în funcţie de constanta de structură fină

137c4 0=

πε=α

h

şi să se precizeze în ce măsură sunt aplicabile legil

11 2

e mecanicii nerelativiste. Rezolvare:

e⋅

Conform modelului Bohr, pe o orbită staţionară

cvnc

ne

41v 1

2

0 Astfel

n α=<α=⋅πε

=h

.

21n 10cv

cv −<α=<

şi deci eroarea introdpentru majoritatea problem

usă prin folosirea formulelor nerelativiste este neglijabilă elor de interes pentru atomul de hidrogen.

lele date de relaţia:

9.22. a) Calculaţi care este cea mai mare lungime de undă din seria Balmer.

b) Stabiliţi între ce lungimi de undă se află această serie. Rezolvare:

ile de pe nive a) Seria Balmer cuprinde liniile spectrale date de tranziţi3≥ pe nivelul 2n = , lungimile de undă corespunzătoare fiindm

3m,m4

R 2H ⎟⎠

⎜⎝λ

.

Lungimea de undă maximă se obţine pentru valoarea minimă a numărulu

111≥⎟

⎞⎜⎛

−=

i cuantic , deci pentru . m 3m =


Astfel

m656,0m1056,6R594Rmax μ=⋅==⎟

⎠⎜⎝

−=λ . 36111 71

⎞⎛ −−

imile de undă ale seriei Balmer sunt cuprinse între calculat la punctul a) şi

b) Lung maxλ

minλ care se obţine pentru ∞=m , având valoarea

m365,0m10656,3R4 7

min μ=⋅==λ − .

eriei Se observă că domeniul de lungimi de undă al s Balmer ( )656,0,365,0 mμ se află aproape integra meniul vizibil. l în do

Stabiliţi în

9.23. a) Calculaţi cea mai mică lungime de undă din seriile: Lyman, Paschen, Pfund.

ce regiune a spectrului se găsesc aceste serii. b) Rezolvare: a) Seriile Lymann, Paschen şi Pfund se referă la următoarele tranziţii:

1n2mLyman =→≥ 3n4mPaschen =→≥

5n6mPfund =→≥ Lungimea de undă minimă a unei serii corespunde numărului cuantic

, după cum se observă din expresia lungimii de undă ∞=m

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

λ 22Hm1

n1R1 .

Astfel, se obţine pentru seria Lyman

nm2,91m10912,0R1 7 =⋅==λ −

Hmin

pentr seria Paschen

nm820m1020,89min ⋅==λ

R7

H=−

pentru seria Pfund

nm2280m108,22R25 7

Hmin =⋅==λ − .

fiecare serie spectrală are lungimile de undă cuprinse într-un

interval b) Deoarece

( )maxmin , λλ urmează să se calculeze lungimile de undă . Acestea maxλ


1nm +=corespund tranziţiei de pe nivelul imediat superior, adică . Astfel, expresia lungimii de undă pentru o serie spectralăcorespunzătoare tranziţ este

maxλiilor pe nivelul inferior

care cuprinde liniile

nE

( )( )

1n21nn

R1

1n1

n1

R1 22

H

1

22H ++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−=

−

.

Astfel, pentru seria Lyman se ne:

maxλ

obţi

nm124max ==λ . 2

R3 HPentru seria Paschen rezultă:

nm860.1R7max169H

=⋅

=λ .

Pentru seria Pfund vom avea:

nm460.7R113625H

max =⋅

=λ .

Deci, lungimile de undă pentru seriile spectrale e interes sunt cuprinse în următoarele intervale:

d

– seria Lyman: ( ) −−∈λ nm1222,91 ultraviolet – seria Paschen: ( ) −−∈λ nm860.1820 infraroşu – seria Pfund: ( ) −−∈λ nm460.7280.2 infraroşu îndepărtat 9.24. Un atom de de pe nivelu hidrogen este excitat l 1n = pe nivelul

energia care trebuie fur ului în acest proces; e energiile fotonilor care pot fi em şi să se

iagramă tranziţiile care au) să se stabilească în ce serii spectrale se găsesc aceste linii.

Rezolvare:

4n = . a) să se calculeze nizată atomb) să se calculez işi prin dezexcitare

figureze pe o d loc; c

a) eV75,121cRhE 2 =⎟⎟⎜⎜ −= 1 ⎞⎛

4 ⎠⎝

b) eV75,124

1RchE 241 =⎟⎟⎠

⎜⎜⎝−= ; 1 ⎞⎛ eV09,12

311RchE31 ⎜⎜

⎝−= 2 =⎟⎟

⎠

⎞⎛

eV89,131

21RchE 2232 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= eV20,10

211RchE 212 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ;


eV66,041

31RchE 2243 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= eV55,2

41

21RchE 2242 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ;

n

4

2

seria Balmer

9.25. Un atom de hidrogen a e excitată , cu energia de legătură de

efectuează o tivă într-o stare , cu energia de excitare de Să se energia fotonului emis; b) numerele cuantice ale

ărilor între care are loc tranziţia.

a)

3 1 c) −213141 E,E,E seria Lyman −4232 E,E 43E seria Paschen −

flat într-o star mneV85,0

eV2,10, tranziţie radia. determine: a)

st Rezolvare:

Electronul în atom este un atom legat, deci: eV85,0mE −= , iar eV4,3EeV2,10E in −=−=

unde eV6,13hcREE 1i =+=−= .

Deci eV55,2EEE nmf =−= .

b) eV85,0mE

mhcRE 2

12m −==−=

4m;1685,06,13m2 ===

eV4,3n

6,13nE

221 −=−== En

2n;44,36,13n2 === .


9.26. Presupunem că s-a măsurat viteza unui electron ( )kg101,9m 310

−⋅= i s-a găsit aceeaşi valoa

ţiile în cadrul aceleea

şi a unui proiectil cu o eroare de 0,01% ş re

. Cu ce precizie ar fi putut fi măsurate pozi şi experienţe ? Rezolvare:

iar

Deci:

( )g50m =s/m300v =

Pentru electron: s/mkg107,2vmp 280 ⋅⋅== − ,

s/mkg107,210vm 3240 ⋅⋅=⋅ −− p =Δ

cm2,0p2

x =Δ

≥Δh .

Pentru proiectil: s/mkg15vmp ⋅==

s/mkg105,1p 3 ⋅⋅=Δ − iar

m103p2

x 32−⋅≈Δ⋅

≥Δh .

9.27. Fiind dată relaţia de nedeterminare între durata tΔ a unui puls şi intervalul

recvenţă pe care îl acoperă acesta de f νΔ 1t ≥νΔΔ , şi,

t

ştiind că în transmisiile

TV sunt necesare pulsuri cu durata se arate de ce s-a ales pentru

emisiunile eniul ş ru transmisiile radio, situat

tre şi

niul de frecven TV es

s6− , să

olosit pen

10t =Δ

i nu cel fTV dom

Hz6Hz108 ,

Hz106⋅ . în 105,0 ⋅ 5,1 Rezolvare: Dome ţe necesar unui canal te:

Hz10t

~Δ

νΔ

ceea c în î

1 6=

e ar acoperi ntregime banda de frecvenţe radio.

.28. D

9 e ce nu se manifestă, în experienţa cotidiană, caracterul ondulatoriu al corpurilor ?


Rezolvare: Corpurile macroscopice au în general masa şi viteza ceea ce ar face ca să fie dat de:

g1m > s/m1v > , λ

m106,6ph 31−⋅=≤λ ,

te imposibil de pus în evidenţă în viaţa cotidiană.

re o energi

cinetică egală cu

şi deci caracterul ondulatoriu es

9.29. Un neutron termic (în echilibru termic cu mediul înconjurător), a e

KT23 . Considerând că K300T = , să se calculeze:

Rezolvare:

a) energia neutronului; b) lungimea de undă asociata.

a) eV1088,3J1021,6KT23E 221 −− ⋅=⋅==

b) 5,1h===λ Ă.

Em2ph

9.30. De ce nu este distrusă paralelitatea unui fascicul de electroni cu energia de ă de lăţime eV104 , la trecerea printr-o fant mm5,0d = ?

olvare: ungimea de undă asociată electronilor este:

RezL

m102,1Em2p

Aceasta trebuie să fie comparată nsiunea fantei,

hh 11−⋅===λ .

cu dime . Dar d6104,2

d−⋅=

λ şi deoarece λ>>d , nu apare difracţia pe fantă tea

apă

lăsată de un electron cu energia de

, paralelita

fasciculului menţinându-se.

9.31. Un electron lasă o urmă în camera cu ceaţă formată din picături de ă cu diametrul de 510− m. Să se arate, cu ajutorul relaţiilor de nedeterminare, c urma

eV6 este o linie dreaptă.

10


Rezolvare: Imprecizia în determinarea poziţiei electronului este de ordinul de mărime

al dimetrului picăturii, m10x 5−=Δ . Aceasta determină o imprecizie în impulsul electronului:

s/mkg10p 30x ⋅≥Δ −h 3,5

x2⋅=

Δ⋅are es ai mică decât impulsul electronului , atunci când acesta are c te cu mult m p

eV0E 6c şi 1= s/m104,5Em2p 22

c0−⋅== .

Astfel, modifica i electronului nu este observabilă, ea apărând ca o linie drea

rea traiectorieptă.

oricât de mică n diafragmare. b) Să se determine dimensiunea minimă a unui fascicul în cazul unui tun

Rezolvare: Notând dimensiunea diafragmei şi cu dimensiunea fasciculului,

9.32. a) Să se arate că dimensiunea unui fascicul de electroni nu poate fi făcută pri

electronic cu energia de 10kV şi cu o distanţă de 50cm între diafragmă şi ecran.

cu a D l fiind distanţa diafragmă – ecran, relaţia de nedeterminare poziţie – impuls, pe axa Oy, se scrie astfel:

2apy

h≥⋅Δ

ceea ce dă pentru nedeterminarea în impuls valoarea minimă: a2

pyh

=⋅Δ . Astfel:

xx

y 1hap

2atg2aD ⋅+=Δ

+=α+=l

ll pa2p π

Pentru a afla dimensiunea minimă pe care o poate avea fasciculul prin diafragmare se pune condiţia:

( )xpa4 ⋅π

ceea ce conduce la soluţia

2h210D

dad

−==l

xmin p2

a⋅π

= .

Ştiind că

hl

cx Em2p = , se obţine:


xm

xminmmin p2

h2a2pa2

haDπ

==⋅⋅π

+=ll .

b) m10mE22h

=l

p2ha 6

cxm

−≅ππ

=l

iar .

Ce potenţial este necesar pentru accelerarea electronilor dintr-un microscop tronic pentru a se obţine aceeaşi putere de rezoluţie ca în cazul radiaţiei

m102D 6min

−≅ ⋅

9.33. elec γ de 0,2MeV ? Rezolvare: Pentru a avea aceeaşi putere de rezoluţie trebuie ca: fe λ=λ . Scriind:

ef

f Ehcc λ==

ν=λ

şi

cEhhhp f====

Ehc

ffe

e λλ

se obţine energia cinetică pe care trebuie să o aibă ărăsesc zona accelerare:

electronii când pde

keV38cmcpcmcmmcE 20

22420

20

2c ≅−+=−= .

Potenţialul de accelerare este deci kV38U = .

Documents

9-Bazele_experimentale_ale_mecanicii_cuantice_si_Probleme[1]