9 Equazioni di N&S

DINAMICA DEI FLUIDI VISCOSIDINAMICA DEI FLUIDI VISCOSI

Note del Corso di Meccanica dei Fluidi

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica - Facolt di Milano Bovisa

Sezioni A & B

A.A. 2000 / 2001

Prof. Alberto Guadagnini - Dr. Monica RivaDipartimento di Ingegneria Idraulica, Ambientale e del Rilevamento (DIIAR)

Politecnico di Milano, Piazza Leonardo da Vinci, 32, 20133 Milano- Italy

Dinamica dei Fluidi ViscosiDinamica dei Fluidi Viscosi

Deformazioni del fluido

Tensore degli sforzi

Fluidi Stokesiani

Equazione costitutiva dei fluidi Newtoniani

Equazione di Navier - Stokes

Moto in tubi cilindrici

Analisi deformazioni del fluidoAnalisi deformazioni del fluido

eq1

),d,d,d((P)

),,,()(P

0

0000

tzzyyxx

tzyx

+++=

=

vv

vvP (x+dx, y+dy, z+dx)

y

x

z

0

P0(x, y, z)

t = t0

zz

yy

xx

t,z,y,xt,z,y,xt,z,y,x

ddd000

0

+

+

+=vvv

vv

[ ]0

d0 t,z,y,xgradvxvv +=

Dove: [ ]zyx dddd =x Vettore riga

=

zw

zv

zu

yw

yv

yu

xw

xv

xu

grad vMatrice


eq2

Riscrivendo i termini fuori diagonali di vgrad

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

=

zw

yw

yw

zv

xw

xw

zu

zv

zv

yw

yv

xv

xv

yu

zu

zu

xw

yu

yu

xv

xu

grad

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

v

+

+

+

+

+

+

=

zw

zv

yw

xw

zu

zv

yw

yv

xv

yu

zu

xw

yu

xv

xu

21

21

21

21

21

21

D

-

-

-

-

-

-

=

021

21

210

21

21

21

0

yw

zv

xw

zu

zv

yw

xv

yu

zu

xw

yu

xv

W

Tensore delle rotazioni rigideTensore delle velocit di deformazione

+= Dvgrad simmetricamatrice=DW= matrice emisimmetricaW

eq3

Significato fisico termini diagonali di Significato fisico termini diagonali di D

Analisi del caso di MOTO PIANOy

x

O dx

dy

Q

P

Q

P

R

txxu

dd

O velocit nulla (evidenzio solo le velocit relative)

xxv

v;xxu

u dd=

=P

yyv

xxv

v;yyu

xxu

u dddd

+

=

+

=Q

yyv

vyyu

u d;d

=

=R

Effetto di xu

Velocit di deformazione lineare lungo lasse x

x

txxu

x d

ddd

=e

xu

dtx

=ed

Allungamento unitario subito dal cilindretto di lunghezza infinitesima dx nel tempo dt

yv

dty

=ed

zw

dtz

=edAnalogamente per e

yv

zw

(Caso 3D)

eq4

Significato fisico termini diagonali di Significato fisico termini diagonali di D

La Velocit di deformazione per unit di volume

Nel caso 3D, leffetto dellazione simultanea delle componenti diagonali di consiste in una espansione di volume

D

zyxtzzw

ztyyv

ytxxu

x dddddddddddddW -

+

+

+=

tzyxttyv

zw

tyv

txu

zw

yv

zw

xu

yv

zw

dddddddddW

+

+

+

+

+

+

+=

Al primordine txu

yv

zw

dW

dW

+

+

+=

vdivxu

yv

zw

=

+

+

=W1

dtdW

Rappresenta la dilatazione volumetrica dellelemento di fluido, senza cambiamento di forma

Se il fluido incomprimibile 0=vdiv Nessuna variazione di volume

eq5

z

x

y

O P

R

kjiv

++

++

+= xxw

wxxv

vxxu

u dddP

kjiv wvu ++=0

kjiv

++

++

+= yyw

wyyv

vyyu

u dddR

dx

dy

dz

O P

u dt

v dt

txxv

dd

O

P

R

R

tyyu

dd

txv

d

tyu d

Significato fisico dei termini extradiagonali del tensore Significato fisico dei termini extradiagonali del tensore D

Q

Q

txv

yu

d z d

+

-=gDeformazione dellangolo retto in O

+

-=g

xv

yu

td zd

Velocit con cui avviene la deformazione angolare

I termini extradiagonali del tensore rappresentano la velocit di deformazione angolare

eq6

Significato fisico dei termini extradiagonali del tensore Significato fisico dei termini extradiagonali del tensore D

Caso particolarexv

yu

-=

La rotazione avviene senza deformazione (rotazione rigida) con velocit angolare:

0d

=gt

d z

O

u dt

v dt

txxv

dd

O

P

R

R

txv

d

tyu

d Q

tyxv

tyyu

dddd

-=

yu

xv

tx

txxv

-=

=

=wdd

dd

1) La velocit di deformazione angolare il doppio dei termini extradiagonali del tensore

2) I termini non nulli di descrivono la velocit di rotazione rigida dellelemento fluido

D

W

+

xv

yu

21

-

yu

xv

21


eq7

In definitiva

kjix

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

= yzv

yw

xzu

xw

zyw

zv

xyu

xv

zxw

zu

yxv

yu

dd21

dd21

dd21

Od

( ) ( ) ( ) ( )000 dd xxxxxvxv D++= WMa:

xvx d21

d =W rot

( ) ( ) ( ) xvxxxvxv d rot 21

d 00 ++= D


eq8

( )0xv la componente del vettore velocit che da luogo ad una traslazione rigida

xv d21

rot la componente del vettore velocit che da luogo ad una rotazione rigida con velocit angolare

Il tensore viene detto tensore delle velocit di rotazione rigide

vrot21

=vW

( )0d xx D la componente del vettore velocit che da luogo ad una deformazione locale. Il tensore viene detto tensore delle velocit di deformazione

D

Lelemento fluido nel suo moto subisce una traslazione, una rotazione rigida ed una deformazione

Fluido Fluido NewtonianoNewtoniano isotropoisotropo

eq9

stttsttts

=

FFFFFFFFF

=

zxy

xyz

yzx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

F Ip=F in statica

FStato di deformazione locale

Storia passata del fluido

Velocit della deformazione locale

1. Fenomeni in cui il ricordo degli stati di sollecitazione interna si estinguono rapidamente (si svolgono in durate maggiori della memoria)

2. Sforzi indipendenti dalle deformazioni

)(Df=F

Ip=FFluido

Stokesiano


eq10

=

=

zz

yy

xx

zw

yv

xu

D000D000D

00

00

00

D

Anche deve assumere forma diagonale.

Infatti: rotazione rigida attorno allasse x

zz~yy~xx~ -=-==

x

y

z

z~

y~

x~

v

w~wv~v

u~u

-=-=

=( )( )( )( ) zzz~z~

yyy~y~

xxx~x~

zw

zw

z~w~

yv

yv

y~v~

xu

x~u~

DD

DD

DD

==

--=

=

==

--=

=

=

=

=

Nel nuovo sistema di riferimento ancora diagonale e presenta le medesime componenti

D

Terna di riferimento in modo tale che sia diagonaleD

F


eq11

Le componenti del tensore sono identiche ed il legame funzionale non dipende dallorientamento degli assi

x

yy~

x~

xFy~x~xy F-=F

( )( )z~z~y~y~x~x~y~x~

zzyyxxxy

,,f

,,f

DDD

DDD

=F

=F

y~x~xy F=F

0=F=F y~x~xy


eq12

-s-s

-s+

=

ss

s=

p000p000p

p000p000p

000000

z

y

x

z

y

x

F

Parte statica Tensore DEVIATORE DEGLI SFORZI (originato dal moto)

Legame lineare fra eF DFluido Newtoniano

zzzzyyzyxxzxz

zzyzyyyyxxyxy

zzxzyyxyxxxxx

DDD p

DDDp

DDDp

mmms

mmms

mmms

++=-

++=-

++=-Forma pi generale di legame lineare


eq13

I coefficienti mij non sono tutti distinti, infatti cambiando 2 volte sistema di riferimento

Mutano le componenti di

e ma non i loro valoriF Dzz~~xy

~~yx~~

xz~zy~yx~

===

=== E cambiato solo il nome degli assi

x

y

z

y~~z~

x~~x~

z~~y~

z~~y~zz

~~z~~y~y~zz

x~~x~yx

~~x~~x~x~yy

y~~z~xy

~~y~~z~z~xx

s=s=s==

s=s=s==s=s=s==

DDD

DDDDDD

mxx = myy = mzz = - m -2 m

mxy = mxz = myx = myz = mzx = mzy = - m

convenzionalmente


eq14

Possiamo quindi scrivere

( )

( )

( ) zzzzyyxxz

yyzzyyxxy

xxzzyyxxx

wvu

wvu

wvu

D2zyx

'D2'D'D' p

D2zyx

'D'D2'D'p

D2zyx

'D'D'D2'p

m-

+

+

m-=m+m-m-m-=-s

m-

+

+

m-=m-m+m-m-=-s

m-

+

+

m-=m-m-m+m-=-s

DII m-m-= 2div'p vf

( ) DI m-m-= 2div'p vf

Equazione costituiva dei fluidi Newtoniani

valida per qualunque terna di riferimento

Significato fisico di Significato fisico di mm

eq15

dt

d

21

2D2 yxzyxz xw

zu g

m=

+

m-=m-=t=f

y

x

z

O A

C

( ) kjiv

++

++

+== xxw

wxxv

vxxu

utt ddd0A

( ) kjiv wvutt ++== 00

( ) kjiv

++

++

+== zzw

wzzv

vzzu

utt ddd0C

dx

dy

dz

O A

u dt

w dt

txxw

dd

O

A

C

C

tzzu

dd

txw

d

tzu

d

+

-=g

xw

zu

dtd y

Legge di Newton

m viscosit dinamica

Significato fisico di Significato fisico di mm

eq16

z2div'p

y2div'p

x2div'p

m-m-=s

m-m-=s

m-m-=s

w

v

u

z

y

x

v

v

v

Esplicitiamo le componenti normali di sforzo

sx + sy + sz = 3p

invariante

+

+

--=++zyx

2div'3p3wvu

zyx mmsss v

0div32

' =

m+m v

1) fluido incomprimibile

2) Hp. di Stokes

0div =v

m-=m32

'

m: responsabile di dissipazioni energetiche in un fluido isotermo che subisce deformazioni angolari

m: legato a variazioni di volume

eq1

Equazione di moto del fluidi Equazione di moto del fluidi NewtonianiNewtoniani

eq17

DI m-

m+= 2div

32

p vF

( ) Fdiv=F

+F

+F

=-rzyx

AFzyx

( ) div=-r AF

m-

m+ DI 2div

32

p v

Eq. dei Momenti

Eq. Reologica (legame sforzi deformazioni)

[ ] ( )pgradppppdiv =

+

+

= kjizyx

I

( ) ( )vvv divgrad32

divgrad32

div32

div m=m=

m I

se m uniforme

eq1


eq18

[ ] ( ) ( ) ( )++

+++

+ ++

m-=m- kjikjikji zzzyzxyzyyyxxzxyxx zyxDDDDDDDDD22div D

Sviluppiamo le componenti, ad esempio in direzione x si ottiene:

[ ]{ }

vdiv

21

21

21

21

21

212

21

21

21

21

2

21

21

2

DDD22div

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

xzu

yu

xu

zxw

yxv

xu

zu

yu

xu

zxw

zu

yxv

yu

xu

xu

zxw

zu

yxv

yu

xu

xw

zu

zxv

yu

yxu

x

zyxzxyxxx

x

m-

+

+

m-=

+

+

m-

+

+

m-=

++

+

+

+

m-=

+

+

+

+

m-=

+

+

+

+

m-=

+

+

m-=m- D

se m unifome

eq1


eq19

Analogamente lungo le direzioni y e z si ottiene rispettivamente:

[ ]{ } vdiv2div 22

2

2

2

2

yzv

yv

xv

y

m-

+

+

m-=m- D

[ ]{ } vdiv2div 22

2

2

2

2

zzw

yw

xw

z

m-

+

+

m-=m- D

Sostituendo: ( ) ( ) ( )vvv divgraddivgrad32

p grad 2 m-m-m+=-r AF

In definitiva: [ ] ( )vv divgrad2div 2 m-m-=m- DLaplaciano

( ) ( ) vv 2divgrad31

p grad m-m-=-r AF Eq. Momenti + reologica

Eq. di Continuit

Eq. di Stato + Condizioni al contorno + Condizioni iniziali

0divdtd

=r+r

v

Per fluidi incomprimibili: 0div =v ( ) v2p grad m-=-r AF Eq. di Navier Stokes

Moto permanente laminare in un fluido viscoso incomprimibile Moto permanente laminare in un fluido viscoso incomprimibile (UNIFORME)(UNIFORME)

eq20

( ) v2p grad m-=-r AFProiezione lungo la traiettoria:

v pv 2m-

=

-

-rsdt

dsz

g v = modulo di v

Moto uniformesv

vv

ddv

+

=tt

Moto permanente

+

+

m-

=

g- 22

2

2

2

2 vvv

pbnsss

z

Moto uniforme

0vv

p

2

2

2

2

Moto permanente laminare in un fluido viscoso incomprimibile Moto permanente laminare in un fluido viscoso incomprimibile (UNIFORME)(UNIFORME)

eq21

z = 0

s

nbvmaxv

z

gp

z

gp

ds

g

+

-=p

J zs

J ds

+

gm

-=

- 22

2

2 vv

Hbns

J = costante lungo la traiettoria =

Integrando -= ss

sss 00

dJ dH

Si ottiene lequazione del moto in termini finiti H(s) - H(0)= - J s

Moto permanente in tubi cilindriciMoto permanente in tubi cilindrici

eq22

x

y

z

vx

Moto permanente

r, m uniformi e stazionarie

x: direzione e moto velocit

Eq. di continuit 0div =v 0v =

x

x vx = f (y, z)

tF

dd

p grad 2v

v r=m+-rEq. di Navier Stokes Proietto lungo le coordinate x,y,z

( )

( )

( ) 0

0

0v2

=+r

-

=+r-

=m++r

-

pgzz

pgzy

pgzx x

Dalle ultime due equazioni si evidenzia che il carico piezometrico h definito come

g+=

pzh

uniforme su ogni piano ortogonale allasse x

La pressione varia con legge idrostatica lungo ogni sezione trasversale della condotta

Moto permanente in tubi cilindriciMoto permanente in tubi cilindrici

eq23

0v2 =gm

+

g

+

- xp

zx

Come vx anche 2 vx indipendente da x

Il carico piezometrico varia lungo x in accordo con la proiezione lungo lasse xdellequazione di Navier Stokes

La variazione di carico piezometrico uniforme con x

Detto:

g

+-= pzx

J J costante lungo la condotta

Jv2mg

-= x

Per determinare la distribuzione della velocit longitudinale vx su ciascuna sezione trasversale bisogna integrare lequazione

Eq. di Poisson

Necessarie: la forma della sezione trasversale

le condizioni cinematiche al contorno

Moto permanente in tubi cilindrici a sezione circolareMoto permanente in tubi cilindrici a sezione circolare

eq24

Conviene ricorrere alle coordinate cilindriche

Jv1v1vv

v 22

22

2

2

22

mg-=

q

+

=

+

= xxxxx rr

rrzy

Integrando con la condizione al contorno

z

y r

qr0

vx = 0 per r = r0

Si ottiene ( )220J4v rrx -mg

= 20J4v rmaxx m

g= sullasse

4

0

DJ128

dv20

pm

g=p= rrQ x

r

Formula di Pouseuille

maxxrQ

v21

DJ32

V 220

=m

g=

p= velocit media

00 J2v

0

rr rrx g=

m-=t=

Sforzo tangenziale alla parete

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