PARAMETRI ILI BROJNE KARAKTERISTIKE STATISTIKIH SLUAJNIH PROMENLJIVIH

PARAMETRI KOJI REPREZENTUJU CENTAR RASTURANJASrednje vrednostiSrednje vrednosti nekog obeleja su vaan statistiki podatak. One mogu da reprezentuju ceo skup i da omogue uporeivanje razliitih skupova. To su aritmetika sredina, moda i medijana.Najee se koristi aritmetika sredina.Definicija:Ako obeleje X ima vrednosti , tada je aritmetika sredina

Kako se vrednosti obeleja javljaju sa razliitim frekvencijama onda je .

Primer:Nai aritmetiku sredinu brojeva 1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4.

Primer:U skupu od 32 uenika, visine su date u untervalima duine 5

X140-145145-150150-155155-160160-165165-170170-175175-180180-185185-190fi1013785331fri1/3201/323/327/328/325/323/323/321/32

Definicija:Moda je vrednost obeleja koje ima najveu frekvenciju. Moe se desiti da moda ne postoji ili da ih ima vie.Primer:Nai modu brojeva 1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4.

Nai modu brojeva 1,1,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4.

Za vrednosti obeleja datih intervalima, ali kod neprekidnih, moda se ne moe tako jednostavno odrediti. Treba ga traiti u intervalima sa najveim frekvencijama i oni se nazivaju modalni intervali.

Gde je a1 donja granica modalnog intervala, a frekvencije f1,f2, su frekvencije predmodalnog, modalnog i postmodalnog intervala, a d veliina intervala.

Primer:U skupu od 32 uenika obeleje je visina data u intervalima duine 5cm.

X140-145145-150150-155155-160160-165165-170170-175175-180180-185185-19010137853310

Primer:U primeru sa visinama imamo da je modalni interval [165-170],

Definicija:

Medijana je srednja vrednost svih vrednosti obeleja ureenih po veliini. Kod odreivanja medijane moramo razlikovati sluajeve kada je broj vrednosti obeleja paran i neparan.

Ako je broj obeleja neparan, onda postoji jedna vrednost obeleja koja je u sredini.

Ako je broj rednosti paran, tada postoje 2 srednja lana i uzima se njihova aritmerika sredina Primer:Skup vrednosti nekog obeleja 21, 25, 27, 30, 32 ima medijanu 27.Primer:Skup vrednosti nekog obeleja 17, 19, 21, 23, 26, 28 ima medijanu

Ako su vrednosti obeleja date intervalima, prvo se odreuje medijalni interval u kome se nalazi srednji lan, pa je medijana:

Primer:Medijana visina uenika je

Mod i medijana imaju veliku primenu kada treba nai onu vrednost obelela koje se najee sree.

Ako ispitujemo uslove stanovanja bolji pokazatelj veliine stambene povrine koju koristi najvei broj stanovnika ( mod ), nego prosena povrina po jednom stanovniku ( aritmetika sredina ).

Dok srednji vek trajanja lokomotive moe se odrediti i pre rashodovanja svih lokomotiva , tako to se nae medijana kada broj rashodovanih lokomotiva pree polovinu.

PARAMETRI KOJI MERE RASTURANJE SLUAJNE PROMENLJIVE OKO CENTRA RASTURANJAVARIJANSA ILI DISPERZIJAVarijansa ili disperzija je mera odstupanja koja se izraunava kao prosek kvadrata odstupanja sredine od vrednosti svakog podatka u skupu. Ako obeleje X ima vrednosti

Primer:Na osnovu broja dana koje je neki radnik proveo na bolovanju tokom godine 7,23,4,8,2,12,6,13,9,4 odrediti rasturanje u odnosu na prosean broj dana na bolovanju.

Reenje:Prosean broj dana koji je proveo na bolovanju je

x-broj dana na bolovanju749-1,83,242352914,2201,64416-4,823,04864-0,80,6424-6,846,24121443,210,24636-2,87,84131694.217,649810,20,04416-4,823,04881108333,06

ili korienjem druge formule

Primer:Odrediti rasturanje prodaje TV aparata na osnovu podataka datih u tabeli.

x je broj aparataBroj dana u mesecu8294106117125134141151ukupno

Reenje:Prosean broj prodatih TV aparata je

Prodato aparata xBroj dana u mesecu f82641289189481324416106100600161171218470012514472015134169676416141196196991512252251616ukupno30371681

STANDARDNA DEVIJACIJADisperzija nije pogodna za interpretaciju jer je izraena u kvadratima jedinice. Zbog toga se za interpretaciju rasturanja neke pojave koristi kvadratni koren disperzije koji se naziva standrdna devijacija.U predhom primeru

. RASPODELE PARAMETARA-STATISTIKA UZORKA

Neka obeleje X u populaciji od N elemenata ima matematiko oekivanje i disperziju Elementi bilo kog uzorka od n elemenata X1,X2,...Xn , ove populacije imaju isto matematiko oekivanje i disperziju,

pa su matematiko oekivanje i disperzija aritmetike sredine jednaki:

Znai, ako sluajna promenljiva X, koja predstavlja neko obeleje populacije, ima normalnu raspodelu , onda e aritmetika sredina imati takoe normalnu raspodelu oblika

Ako sluajna promenljiva X nema normalnu raspodelu, ali je n>30, onda e raspodela aritmetikih sredina teiti normalnoj raspodeli.

Primer:600 kuglica koje su proizvedene u jednoj fabrici ima srednju teinu 5gr i standardno odstupanje od 0,3gr. Bira se sluajan uzorak od 100 kuglica. Nai verovatnou da e se teine svih kuglica u uzorku nalaziti u granicama od 4,9gr do 5,02gr, ako znamo da se radi o normalnoj raspodeli.