Upload
others
View
20
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
MATEMATIKA 1. DBH 133
Hasi baino lehen
1.Lerro poligonalak…………………………… 136. orr.
Definizioa eta sailkapena. Poligonoa
2.Triangeluak…………………………………… 136. orr.
Elementuak eta sailkapena
Triangeluak eraikitzen Zuzen eta puntu esanguratsuak
3.Laukiak……………………………………………… 141. orr.
Elementuak eta sailkapena Paralelogramoak
4.Poligono erregularrak ………………… 143. orr.
Definizioa
Simetria-ardatzak
5.Perimetroak eta azalerak…………… 145. orr.
Definizioa. Azalerak neutzen Azalera-unitateak
5.Poligonoen azalerak……………………… 147. orr.
Laukien azalerak Triangeluen azalerak Poligono erregularren azalerak
Poligono irregularren azalerak
Praktikatzeko ariketak Gehiago jakiteko
Laburpena
Autoebaluazioa
Tutoreari bidaltzeko jarduerak
Helburuak Hamabostaldi honetan, hau ikasiko
duzu:
Poligonoen elementuak
zeintzuk diren esaten,
bereizten eta irudikatzen.
Triangeluak irudikatzen.
Zeintzuk diren triangeluetako
zuzen eta puntu
esanguratsuak.
Lauki motak bereizten eta
irudikatzen.
Beste poligono batzuk
identifikatzen.
Poligonoen perimetroak
kalkulatzen.
Poligonoen azalerak
kalkulatzen.
Poligonoen azaleren kalkulua
aplikatzen eguneroko bizitzako
egoeretan.
Poligonoak, perimetroak eta azalerak 9
134 MATEMATIKA 1. DBH
MATEMATIKA 1. DBH 135
Hasi baino lehen
Bost piezako Tangram-a
Moztu goiko irudiak, eta ebazpenari begiratu
gabe, saiatu lauki bat eraikitzen pieza guztiekin.
Ondoren, saiatu beste irudi batzuk sortzen.
Aztertu
Beste zein tangram oinarritzen da lauki baten
banaketan? Zenbat pieza ditu?
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
136 MATEMATIKA 1. DBH
1. Lerro poligonalak
Definizioa eta sailkapena. Poligonoak
Lerro poligonoala da lotuta dauden segmentu
batzuen multzoa (segmentu baten amaiera izango da
hurrengoaren hasiera). Irekiak edo itxiak izan
daitezke.
Ahurrak edo ganbilak izan daitezke poligonoak.
Ganbila: 180º baino txikiagoak dira bere barne-
angelu guztiak.
Ahurra: 180º baino handiagoa(k) d(ir)a barne-
angeluetako bat(zuk).
Unitate honetan, ikusiko dugu erregularrak edo
irregularrak izan daitezkeela poligonoak. Alde
kopuruaren arabera ere sailka daitezke.
2. Triangeluak
Elementuak eta sailkapena
Hiru aldeko poligonoa da triangelua. Triangeluaren
elementu garrantzitsuak hauek dira: aldeak, oinarria,
altuera, erpinak eta angeluak.
Angeluen arabera sailka daitezke triangeluak:
Zorrotza: hiru angeluak zorrotzak dira.
Zuzena: angelu zuzen bat eta bi zorrotz.
Kamutsa: angelu kamuts bat eta bi zorrotz.
Aldeen arabera ere sailka daitezke triangeluak:
Aldekidea: hiru aldeak berdinak dira.
Isoszelea: bi alde berdinak dira.
Eskalenoa: hiru aldeak desberdinak dira.
Lerro poligonal irekia
Poligono ganbila Poligono ahurra
Triangelua aldeak erpinak
angeluak oinarria altuera
Triangelu zorrotza
Triangelu zuzena
Triangelu kamutsa
Triangelu aldekidea
Triangelu isoszelea
Triangelu eskalenoa
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
Lerro poligonal itxi batek osatzen
duen barrutia da poligonoa.
Hiru aldeko poligonoa da triangelua.
MATEMATIKA 1.DBH 137
ARIKETA ebatziak
1. Adierazi beheko poligonoak ahurrak ala ganbilak diren:
a) Ganbila: 180º baino txikiagoak dira barne-angelu guztiak.
b) Ahurra: 180º baino handiagoa da F angelua.
c) Ahurra: 180º baino handiagoak dira A eta D angeluak.
d) Ganbila: 180º baino txikiagoak dira barne-angelu guztiak.
2. Sailkatu beheko irudiak angeluen eta aldeen arabera:
a) Isoszelea eta zuzena. d) Isoszelea eta zorrotza.
b) Eskalenoa eta kamutsa. e) Aldekidea eta zorrotza.
c) Eskalenoa eta zorrotza. f) Eskalenoa eta zuzena.
3. Bete beheko taula: gelaxketan BAI edo EZ idatzi beharko duzu triangelu bat
zutabean eta errenkadan adierazten den motakoa izatea posible denaren arabera:
Aldekidea Isoszelea Eskalenoa
Zorrotza
Zuzena
Kamutsa
Aldekidea Isoszelea Eskalenoa
Zorrotza BAI BAI BAI
Zuzena EZ BAI BAI
Kamutsa EZ BAI BAI
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
138 MATEMATIKA 1. DBH
Triangeluak eraikitzen
Triangelu bat irudikatzeko, honako kasu hauetako
bat izan beharko dugu:
Hiru aldeak ezagutzea.
Segmentuetako bat hartuko dugu gure
triangeluaren oinarri.
Arku bat marraztuko dugu: zentroa oinarriaren
muturretako batean izango du, eta erradioa beste
aldeetako baten luzera izango da.
Beste arku bat marraztuko dugu: zentroa
oinarriaren beste muturra izango da, eta erradioa
hirugarren aldearn luzera.
Marraztutako arkuen ebaki puntua da
triangeluaren hirugarren erpina.
Oharra: triangelua eraiki ahal izateko, a aldearen luzera baino handiagoa izan behar du b eta c aldeen luzeren baturak.
Bi alde eta bien arteko angelua
ezagutzea.
Segmentuetako bat hartuko dugu gure
triangeluaren oinarri.
Alde honen muturretako batean, irudikatuko dugu
ezaguna den angelua.
Zuzen bat marraztuko dugu: erreferentzia
moduan hartutako erpinetik igaroko da, eta
aurreko pausoan iruditutako angeluaren aldea
izango da. Zuzen horren gainean, puntu bat
markatuko dugu: bigarren aldearen luzera izango
da marraztutako angeluaren erpinetik puntu
horretara egongo den distantzia.
Segmentu batekin lotuko ditugu triangelua izten
lagunduko diguten erpin biak.
Bi angelu eta batera duten aldea
ezagutzea.
Ezagutzen dugun aldea izango da triangeluaren
oinarria. Eman diguten angeluetako bat
marraztuko dugu oinarriaren mutur batean. Zuzen
bat marraztuko dugu: erreferentzia moduan hartu
dugun erpinetik igaroko da, eta aurreko pausoan
neurtutako angeluaren aldea zuzen horren
gainean egongo da. Oinarriaren beste muturrean
irudikatuko dugu bigarren angelua, eta zuzen bat
marratuko dugu oinarriarekin angelu hori osatzen
duena. Zuzenki bi horien ebakipuntua izango da
triangeluaren hirugarren erpina.
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
MATEMATIKA 1.DBH 139
Erdibitzaileak eta zirkuntzentroa
Erdikariak eta intzentroa
Erdibidekoak eta barizentroa
Altuerak eta ortozentroa
Zuzen eta puntu esanguratsuak
Lau zuzen mota definitzen dira triangelu batean; zuzen esanguratsuak esaten zaie:
Erdibitzailea: aldearen erdiko puntutik igarotzen
den zuzen perpendikularra.
Erdikaria: angelua beste bi angelu berdinetan
banatzen duen zuzena.
Erdibidekoa: erpin batetik aurkako aldearen
erdiko puntura doan zuzena.
Altuera: erpin batetik aurkako aldera
perpendikularrean doan zuzena.
Mota bakoitzeko hiru zuzen daude triangelu batean.
Zuzenkion ebaki puntuei puntu esanguratsuak
deritze:
Zirkuntzentroa: hiru erdibitzaileen ebaki puntua.
Intzentroa: hiru erdikarien ebaki puntua.
Barizentroa: hiru erdibidekoen ebaki puntua.
Ortozentroa: hiru altueren ebaki puntua.
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
Zein da triangelu baten barne-angeluen batura? Irudian ikus dezakezunez:
A + B + C = 180º
A B
140 MATEMATIKA 1. DBH
ARIKETA ebatziak
4. Esan zeintzuk diren irudietako zuzen eta puntu esanguratsuak:
Altuerak eta ortozentroa Erdikariak eta intzentroa Erdibidekoak eta
barizentroa Erdibitzaileak, zirkuntzentroa
5. Esan zeintzuk diren irudietako zuzen eta puntu esanguratsuak:
Erdikariak eta intzentroa Altuerak eta ortozentroa Erdibitzaileak, zirkuntzentroa
Erdibidekoak eta barizentroa
6. Irudikatu 6, 7 eta 8 zentimetroko aldeak dituen triangelua. Aldeei erreparatuz,
nolakoa da triangelua? Eta angeluei erreparatuz? Marraztu zuzen eta puntu
esanguratsu guztiak. Non daude kokatuta puntu esanguratsuak?
Triangelua eskalenoa da hiru aldeak desberdinak baitira. Zorrotza da angelu guztiak
zorrotzak baitira. Barnean daude puntu esanguratsu guztiak.
7. Irudikatu 6, 8 eta 10 zentimetroko aldeak dituen triangelua. Aldeei erreparatuz,
nolakoa da triangelua? Eta angeluei erreparatuz? Marraztu zuzen eta puntu
esanguratsu guztiak. Non daude kokatuta puntu esanguratsuak?
Triangelua eskalenoa da hiru aldeak desberdinak baitira. Zuzena da angelu zuzen
bat baitauka. Zirkuntzentroak bat egiten du hipotenusaren erdiko puntuarekin.
Angelu zuzenaren erpinean dago ortozentroa. Barnean daude barizentroa eta
intzentroa.
8. Irudikatu 6, 8 eta 12 zentimetroko aldeak dituen triangelua. Aldeei erreparatuz,
nolakoa da triangelua? Eta angeluei erreparatuz? Marraztu zuzen eta puntu
esanguratsu guztiak. Non daude kokatuta puntu esanguratsuak?
Triangelua eskalenoa da hiru aldeak desberdinak baitira. Kamutsa da angelu
kamuts bat baitu. Kanpoan daude zirkuntzentroa eta ortozentroa. Barnean daude
barizentroa eta intzentroa.
9. Irudikatu 6, 6 eta 6 zentimetroko aldeak dituen triangelua. Aldeei erreparatuz,
nolakoa da triangelua? Eta angeluei erreparatuz? Marraztu zuzen eta puntu
esanguratsu guztiak. Non daude kokatuta puntu esanguratsuak?
Aldekidea eta zorrotza da triangelua: angelu guztiak dira 60º-koak. Bat egiten dute
zuzen esanguratsuek; baita puntuek ere.
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
MATEMATIKA 1.DBH 141
Laukiak Diagonalak
aldeak erpinak angeluak
Trapezoidea Trapezioa
Paralelogramoak
Karratua Laukizuzena
Erronboa Erronboidea
3. Laukiak
Elementuak eta sailkapena
Laukia lau aldeko poligonoa da. Laukiaren elementu
garrantzitsuak: aldeak, erpinak, angeluak eta diagonalak.
Zenbat alde paralelo dituzten, honela sailkatzen dirá
laukiak:
Trapezoideak: aldeak ez dira paraleloak.
Trapezioak: bi alde paraleloak dira.
Paralelogramoak: binaka paraleloak dira aldeak.
Paralelogramoak
Aurreko atalean esan den bezala, paralelogramoa da aurkako aldeak beti paraleloak dituen laukia.
Bere angeluen eta aldeen arabera sailka daitezke paralelogramoak:
Karratuak: berdinak dira lau aldeak; baita
angeluak ere.
Laukizuzenak: aldeak binaka desberdinak dira;
eta berdinak lau angeluak (zuzenak).
Erronboak: angeluak binaka desberdinak dira; eta
berdinak lau aldeak.
Erronboideak: angeluak eta aldeak binaka
desberdinak dira.
Laukia lau aldeko poligonoa da.
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
Aurkako aldeak paraleloak dituen
laukia da paralelogramoa.
Zein da lauki baten barne-angeluen batura?
Diagonalak bi triangelutan
banatzen du laukia; laukiaren
barne-angeluen batura:
180º+180º=360º
142 MATEMATIKA 1. DBH
ARIKETA ebatziak
10. Sailkatu beheko laukiak:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
a) Trapezioa b) Laukizuzena c) Erronboidea
d) Erronboa e) Trapezoidea f) Trapezioa
g) Erronboidea h) Erronboa i) Laukizuzena
j) Karratua k) Trapezioa l) Trapezoidea
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
MATEMATIKA 1.DBH 143
aldeak erpinak
Zentroa eta apotema Zentroa eta erradioa
diagonala Barne-angelua
Pentagonoa Hexagonoa
Heptagonoa Oktogonoa
Eneagonoa Dekagonoa
Endekagonoa Dodekagonoa
4. Poligono erregularrak
Elementuak.
Poligono erregularraren elementu esagurantsuak:
Aldea: lerro poligonal itxiaren segmentuetako
bakoitza.
Erpina: ondoz ondoko bi aldek batera duten
puntuetako bakoitza.
Zentroa: erpin guztietatik distantzia berdinera
dagoen puntua.
Apotema: alde batekiko segmentu
perpendikularra: poligonoaren zentroan dago
muturretako bat; bestea, aldean bertan.
Erradioa: segmentu bat da, mutur bat zentroan
duena, eta bestea poligonoaren erpin batean.
Diagonalak: segmentu bat da, muturrak ondoz
ondokoak ez diren erpinetan dituena.
Barne-angelua: ondoz ondoko bi aldek osatzen
duten angelua (180º baino txikiagoa).
Alde kopuruaren arabera, izen bat du poligono
bakoitzak:
Hiru aldekoa: triangelu aldekidea.
Lau aldekoa: laukia.
Bost aldekoa: pentagonoa.
Sei aldekoa: hexagonoa.
Zazpi aldekoa: heptagonoa.
Zortzi aldekoa: oktogonoa.
Bederatzi aldekoa: eneagonoa.
Hamar aldekoa: dekagonoa.
Hamaika aldekoa: endekagonoa.
Hamabi aldekoa: dodekagonoa.
Hamairu edo alde gehiagokoa: ez zaio izen
berezirik ematen; 13, 14... aldeko poligono
erregularra esaten zaio.
Poligono erregularra da luzera
berdineko aldeak eta angelu berdinak
dituen poligonoa.
144 MATEMATIKA 1. DBH
ARIKETA ebatziak
11. Kalkulatu angelu zentrala, barne-angelua eta kanpo-angelua pentagono
erregular batean, eta hexagono erregular batean:
Angelu zentrala: 360:5=72º
Barne-angelua: 180-72=108º
Kanpo-angelua: 180-108=72º
Angelu zentrala: 360:6=60º
Barne-angelua: 180-60=120º
Kanpo-angelua: 180-120=60º
12. Irudikatu triangelu aldekidearen, laukiaren, heptagono erregularraren eta
oktogono erregularraren simetria ardatzak:
Simetria-ardatzak
Badira lerro batzuk irudi bat erdibitu egiten dutenak;
irudia lerro horietatik tolestutakoan, aldeetako bat
beste batean gainjartzen da (biek bat egiten dute):
simetria-ardatza dute izena lerro horiek.
Poligonoek alde kopuru bikoitia edo bakoitia izan
dezakete. Ohartu zaitez zer antzekotasun eta
desberdintasun dituzten poligonoek simetria ardatzari dagokiolarik.
Alde kopuru bakoitia duen poligono erregularraren
erpin bakoitzetik eta horien aurkako aldearen erdiko puntutik igarotzen da simetria ardatza.
Bi motatako simetria ardatzak ditu alde kopuru
bikoitiko poligono erregular batek: aurkako erpinak
lotzen ditu batek; eta besteak aurkako alde biren erdiko puntuak lotzen ditu.
Pentagonoaren simetria ardatza
Hexagonoaren simetria ardatza
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
MATEMATIKA 1.DBH 145
Poligono baten perimetroa
Azalera-unitatea
Unitate handiagoetara aldaketa
Unitate txikiagoetara aldaketa
5. Perimetroak eta azalerak
Definizioa. Azalerak neurtzen.
Irudi lau baten perimetroa da aldeen luzeren batura.
Irudiak betetzen duen azalera neurtzea da
irudiak betetzen duen eremuaren luze-zabala
kalkulatzea.
Zeharka kalkulatzen dira azalerak. Hau da, hainbat
formula matematiko erabiltzen dira, ezin baititugu
neurtu luzerekin egiten den moduan (besterik gabe
"irakur" dezakegu erregelarekin segmentu baten luzera).
Azalera-unitateak
Metro bateko aldea duen karratuaren azalera da
azalerak neurtzeko unitatea. Metro koadro du izena unitate horrek eta ikurra: m2.
Ezkerreko irudian ikusi nola lortzen den metro
koadroaren lehenengo azpimultiploa. Azalera-
unitateak ehunaka aldatzen direla ikusiko duzu.
Unitate batetik ondoz-ondoan duen goiko
unitatera pasatzeko, 100ekin zatitu behar da.
Unitate batetik ondoz-ondoan duen beheko
unitatera pasatzeko, 100ekin biderkatu behar
da.
Area da lursailen azalerak neurtzeko erabiltzen den
azalera-unitatea: dekametro karratua da, edo ehun
metro koadro.
Perimetroa da poligonoaren aldeen
luzeren batura. Azalera ezin da modu
zuzenean kalkulatu, zeharkako formuletara jo beharko dugu.
Metro koadroa (m2) da azalera-unitatea.
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
146 MATEMATIKA 1. DBH
ARIKETA ebatziak
13. Kalkulatu beheko poligono erregularren perimetroa. Adierazi perimetroa
dekametrotan, metrotan, dezimetrotan, zentimetrotan eta milimetrotan:
aldea: 5 cm. aldea: 8 m. aldea: 2 dm. aldea: 4 mm.
a) Pentagonoaren perimetroa: 0.025 dam = 0.25 m = 2.5 dm = 25 cm = 250 mm
b) Hexagonoaren perimetroa: 4.8 dam = 48 m = 480 dm = 4800 cm = 48000 mm
c) Oktogonoaren perimetroa: 0.16 dam = 1.6 m = 16 dm = 160 cm = 1600 mm
d) Dekagonoaren perimetroa: 0.004 dam = 0.04 m = 0.4 dm = 4 cm = 40 mm
14. Zenbat cm2 dira 40 m2?
m2–tik cm2–ra pasatzeko, bi posizio jaitsi behar ditugu: bi aldiz bider 100 egin
behar dugu; hau da, bider 10000 egin behar dugu.
40 m2 = 40 · 100 · 100 = 40 · 10000 = 400000 cm2.
15. Zenbat m2 dira 500 mm2?
mm2-tik m2–ra pasatzeko, hiru posizio igo behar ditugu: hiru aldiz zati 100 egin
behar dugu; hau da, zati 1000000:
500 mm2 = 500 : 100 : 100 : 100 = 500 : 1000000 = 0.0005 m2.
16. Zenbat dm2 dira 7 km2?
km2-tik dm2-ra pasatzeko, lau posizio jaitsi behar ditugu: lau aldiz bider 100 egin
behar dugu. Hau da, bider 100000000:
7 km2 = 7 · 100000000 = 700000000 dm2.
17. Zenbat hm2 dira 24 dam2?
dam2-tik hm2–ra pasatzeko, posizio bat igo behar dugu: zati 100 egin behar dugu.
24 dam2 = 24 : 100 = 0.24 hm2.
18. Zenbat mm2 dira 0.125 hm2?
hm2-tik mm2–ra pasatzeko bost posizio jaitsi behar ditugu: bost aldiz bider 100
egin behar dugu. Hau da, bider 10000000000.
0.125 hm2 = 0.125 · 10000000000 = 1250000000 mm2.
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
MATEMATIKA 1.DBH 147
A = 7 x 4 = 28 cm2
A = 5 x 5 = 25 cm2
A = 6 x 4 = 24 cm2
26 x 4A = =12 cm
2
2(7 + 4) x 3A = =16,5 cm
2
6. Poligonoen azalerak
Laukien azalerak
Oso erraza da laukizuzenaren, karratuaren eta
erronboidearen azalera kalkulatzea.
Laukizuzenaren azalera. Oinarria eta altuera
biderkatuz lortzen da: A = oinarria x altuera.
Karratuaren azalera. A = aldea x aldea = aldea2.
Erronboidearen azalera. Laukizuzenaren
azaleran oinarritzen da: erronboidearen oinarria bider
altuera (ez da beste aldearekin biderkatu behar).
A = oinarria x altuera.
Erronboaren azalera. Erronbotik abiatuz,
laukizuzen bat lor daiteke ezkerreko irudian ikus
dezakezun bezala. Diagonal handia da oinarria, eta
diagonal txikiaren erdia laukizuzenaren altuera:
Trapezioaren azalera. Ezkerreko irudian ikus
daitekeen bezala, trapezioa aldrebes ipiniz gero,
erronboide bat lor daiteke. Erronboide horren azalera
da trapezioaren azaleraren bikoitza. Erronboidearen
oinarria da trapezioaren oinarrien batura, eta
erronboidearen altuera da trapezioaren altuera.
Funtsezkoa da laukizuzen baten
azalera kalkulatzen jakitea beste
irudi lau batzuen azaleren kalkulua
ulertzeko.
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
148 MATEMATIKA 1. DBH
Triangeluen azalerak
Edozein triangeluren azalera nola kalkulatzen den
ulertzeko, irudian ikus dezakezunez, triangelua
aldebrez ipiniz gero, erronboide bat lortzen da.
Triangeluaren azaleraren bikoitza izango da
erronboidearen azalera. Oinarri eta altuera bera
dituzte erronboideak eta triangeluak.
Poligono erregularren azalerak
Edozein poligono erregularren azalera kalkulatzeko,
triangelutan banatzen da poligonoa: erpinak
zentroarekin lotuz lortuko ditugu. Poligonoaren
apotema da triangeluen altuera. Triangelu baten
azalera kalkulatzen da, eta gero triangeluen kopuruagatik biderkatu.
Poligono irregularren azalera
Zeharkako metodoak erabiliko ditugu edozein
poligono irregularren azalera kalkulatzeko. Hiru dira
metodoak: triangulazioa, bilbe kuadrikulatua eta poligonoa lauki ezagunetan banatzea.
27 x 6A = = 21cm
2
Poligono irregularraren triangulazioa
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
Oinarria bider altuera zati bi da
triangeluaren azalera.
Perimetroa bider apotema zati bi da
poligono erregular baten azalera.
MATEMATIKA 1.DBH 149
ARIKETA ebatziak
19. Kalkulatu paralelogramo hauen azalera:
2
A =24 16
A =384 cm
2
2
A =11
A =121 cm
2
A =30 18
A =540 cm
2
24 16
2A =
A =192 cm
20. Kalkulatu lauki hauen azalera:
2
(35+7) 21
2A =
A = 441 cm
2
(12+8) 12
2A =
A =120 cm
21. Kalkulatu triangelu hauen azalera:
2
12 7
2A =
A = 42 cm
2
4 9
2A =
A =18 cm
22. Kalkulatu polígono irregular hauen azalera:
2
5 8 5.5
2A =
A =110 cm
2
6 10 8.66
2A =
A =259.8 cm
23. Kalkulatu polígono hauen azalera:
2
1
2
2
2
8×2= 8
2
8×6= 24
2
A = cm
A = cm
A =8+24=32 cm
2
2
2
(5+2) 4
2
A =5 3=15 cm
A = 14 cm
A =15+14=29 cm
150 MATEMATIKA 1. DBH
Praktikatzeko
1. Markoan jarri nahi dugu 103 cm-ko
oinarria eta 63 cm-ko altuerako
koadro bat. Zer luzera izango du
erabili nahi dugun moldurak? 7,2 €/m
da molduraren prezioa. Kalkulatu
markoaren prezioa.
2. Pentagono irregular baten formako
parke bat dago hiri batean. Aldeen
neurriak: 45, 39, 29, 17 eta 39
metro. Zer luzera du parkea
inguratzen duen hesiak?
3. Erromerietarako karpa bat jarri dute
herrian: 11 aldeko polígono irregular
baten forma du. Bonbillez osatutako
girlanda bat jarri dute bere inguruan.
Girlandaren luzera: 68 m. Zer luzera
du karparen alde batek?
4. Lauza karratuak jarri nahi dira eraikin
bateko barne-patioan. Lausaren
aldearen luzera: 30 cm. Laukizuzena
da patioa. Patioaren neurriak: 10 m
bider 1 m. Zenbat lauza behar dira?
5. Apurtu egin da itsasontzi baten bela,
eta beste bat ipini behar dugu. 21 €/
m2 kobratzen dizkigute bela
berriagatik. Belaren altuera 8 m-koa
bada, eta altuera 4 m-koa; zenbat
ordaindu beharko dugu?
6. Ohial-biribilki baten zabalera 2 m-koa
da; eta 1050 zapi karratu egiteko
erabili da. Zapien aldea: 20 cm. Ez da
ohialik falta izan, ezta sobratu ere;
beraz, zer luzer zuen biribilkiko
ohialak?
7. Erronbo formako kometa bat egin
dugu. 393 eta 205 cm-koak dira
erronboaren diagonalak. Plastikozko
lamina laukizuzen bat erabili da
kometa egiteko. Laukizuzenaren
luzera eta zabalera eta kometarenak
berdinak dira. Kalkulatu kometaren
azalera; bainta laminarena ere.
8. Hondartzarako eguzkitakoak egiten
ditu enpresa batek. Poligono
erregularretan moztutako ohiala
erabiltzen du horretarako. 173 cm-
koa da eguzkitakoaren aldea, eta
266,21 cm-koa bere apotema. Zer
luzerako ohiala beharko dugu 10
aldeko 36 eguzkitako egiteko?
9. Irudiko mosaikoan, koro poligonalak
osatzen dituzte hexagonoen inguruko
karratuek eta triangeluek.
Hexagonoaren aldea eta
dodekagonoarena berdinak dira, eta
30 cm-ko luzera dute. Hexagonoaren
apotema 25,98 cm-koa da eta
dodekagonoarena 55,98 cm-koa.
Kalkulatu koro poligonalen azalera.
10. Oinarri hexagonalekoa da aintzinako
fortifikazio baten dorrea. 166,27 m2-
koa da dorrearen oinarriaren azalera,
eta 8 m-koa paretaren zabalera. Zer
luzera du dorrearen apotemak?
11. a) Zenbat dam2 dira 97 hm2?
b) Zenbat dm2 dira 172 dam2?
c) Zenbat cm2 dira 0.5 km2?
d) Zenbat dm2 dira 2 km2?
e) Zenbat mm2 dira 256 m2?
12. a) Zenbat m2 dira 250000 mm2?
b) Zenbat dam2 dira 6 m2?
c) Zenbat hm2 dira 1423 mm2?
d) Zenbat km2 dira 8000 dm2?
e) Zenbat m2 dira 1500000 cm2?
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
MATEMATIKA 1. DBH 151
Gehiago jakiteko
Euler-en zuzena
Edozein triangeluren lau puntu esanguratsuak marraztutakoan hau ikusiko dugu:
zirkuntzentroa, barizentroa eta ortozentroa lerrokatuta daude. Euler-en zuzena
esaten zaio puntu horietatik igarotzen den zuzenari.
Euler-en zuzena triangelu zorrotz batean
Euler-en zuzena triangelu zuzen batean.
Euler-en zuzena triangelu kamuts batean.
Triangelu isoszele batean, lau puntuak lerrokatuta daude.Euler-en zuzenean dago intzentroa.
Triangelu aldekide batean, bat egiten dute lau puntuek. Ez dago Euler-en zuzenik.
Planoa betetzen
Zer poligonok planoa guztiz betetzen duten -espazio hutsik utzi gabe eta bata bestearen
gainean jarri gabe- jakitea oso interesgarria da bai artean, bai ehun-diseinuan, baita
matematikan ere. Horietako batzuekin probatu ahalko duzu hurrengo eszenan. Zeintzuk
erabil ditzakegu planoa guztiz betetzeko?
Triangelu aldekideekin bete dezakegu planoa.
Karratuekin bete dezakegu planoa.
Pentagono erregularrekin ezin dugu planoa bete.
Hexagono erregularrekin planoa bete dezakegu.
Beste poligono erregularrekin ezin da planoa bete, baina poligono desberdinak erabiliz gero bai. Adibidez, karratuekin eta oktogonoekin.
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
152 MATEMATIKA 1. DBH
Gogora ezazu
garrantzitsuena
Lerro poligonoala da lotuta dauden segmentu batzuen multzoa (segmentu baten
amaiera izango da hurrengoaren hasiera). Irekiak edo itxiak izan daitezke.
Lerro poligonal itxi baten barne-azalera da poligonoa. Ahurra edo ganbila izan
daiteke, eta erregularra edo irregularra.
Triangeluen sailkapena: zorrotza, zuzena eta kamutsa, bere angeluen arabera;
eta aldekidea, isoszelea eta eskalenoa, bere aldeen arabera.
Laukizuzenen sailkapena: paralelogramoak, trapezioak eta trapezoideak,
aldeen paralelotasunaren arabera.
Paralelogramoen sailkapena: karratuak, laukizuzenak, erronboak eta
erronboideak.
Azalera-unitatea: metro kuadroa(m2). Azalera-unitateak ehunaka aldatzen dira.
Nekazaritzarako-unitateak deritzen unitateak erabiltzen dira lursailak neurtzeko:
area (a), hektarea (Ha) eta zentiarea (ca). Aurreko hiru unitate horiek beste
hauei dagozkie hurrenez hurren: dam2, Hm2 eta m2.
Formula desberdinak erabilitz kalkulatzen dira triangelu, lauki eta poligono
erregularren azalerak.
Poligono irregularren kasuan, azalerak kalkulatzeko, teknika hauek erabiltzen dira:
triangelaketa, koadrikulatzea eta deskonposaketa.
Poligonoak, perimetroak eta azalerak perímetros y áreas
MATEMATIKA 1. DBH 153
Autoebaluazioa
1. Aldeen arabera sailkatu ezkerreko triangelua
2. Puntu batean ebakitzen dira triangelu baten altuerak. Zer
izen du puntu horrek?
3. Sailkatu ezkerreko laukia.
4. Kalkulatu ezkerreko poligonoaren perimetroa.
5. Kalkulatu ezkerreko triangeluaren azalera. Datuak: oinarria 4
cm-koa da, alde berdinak 6,3 cm-koak eta altuera 6 cm-koa.
6. Kalkulatu ezkerreko laukiaren azalera.
7. Kalkulatu ezkerreko pentagonoaren azalera. Datuak: aldea 8 cm-koa da, eta apotema 8,30 cm-koa.
8. 9 m-ko oinarria eta 27 m2 -ko azalera ditu ezkerreko
publizitate-panelak. Zer altuera du?
9. Hexagono erregular bat da ezkerreko bonboi-kaxaren tapa. 314,86 cm2 -koa da bere azalera, eta 11 cm-koa bere aldea.
Kalkulatu taparen apotema.
10. Kalkulatu dekagono erregularraren barne-angelua.
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
154 MATEMATIKA 1. DBH
Praktikatzeko ariketen erantzunak
1. 23,90 euro
2. 169 metro
3. 6,18 metro
4. 1333 lauza
5. 336 euro
6. 21 metro
7. 4,03 metro, 8,06 metro
8. 23,03 metro koadro
9. 7738,2 zentimetro koadro
10. 6,93 metro
11. a) 9700 dam2
b) 1720000 dm2
c) 5000000000 cm2
d) 200000000 dm2
e) 256000000 mm2
12. a) 0,25 m2
b) 0,06 dam2
c) 0.0000001423 hm2
d) 0,0008 km2
e) 150 m2
Bidali jarduerak tutoreari
Poligonoak, perimetroak eta azalerak perímetros y áreas
AUTOEBALUAZIOAREN erantzunak
1. Isoszelea
2. Barizentroa
3. Trapezioa
4. 44,32 cm2
5. 12 cm2
6. 180 cm2
7. 232,4 cm2
8. 3 metro
9. 4,77 cm
10. 144º