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2

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1.1 °“√∫Õ°µÌ“·Àπàß

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µ—«Õ¬à“ß∑’Ë 1.1

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√Ÿª∑’Ë 1.1.1

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4

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1.2 °“√‡ª≈’ˬπµÌ“·ÀπàßÀ√◊Õ°“√°√–®—¥

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·°π X ‡ªìπ√–¬–∑“ß 2 Àπ૬ ©–π—Èπ®√‘ß Ê ·≈â« °“√∫Õ°°“√‡ª≈’ˬπµÌ“·Àπàß°Á‡À¡◊Õπ°—∫°“√∫Õ°µÌ“·Àπàß

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A B CD

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√Ÿª∑’Ë 1.2.1 - „™â≈Ÿ°»√· ¥ß°“√‡ª≈’ˬπµÌ“·Àπàß

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®“°®ÿ¥ A ‰ª®ÿ¥ B ‚¥¬¡’À—«≈Ÿ°»√™’ÈÕÕ°®“° A ‰ªÀ“ B

1.3 °“√∫«°°“√°√–®—¥·≈–°“√„™â —≠≈—°…≥å·≈–‡§√◊ËÕßÀ¡“¬∫«°≈∫·∑π∑‘»

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5

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A B CD O

√Ÿª∑’Ë 1.3.1

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‰ª 2 m ∑“ßµ–«—πÕÕ° ·≈⫵àե⫬ ‰ª 0.5 m ∑“ß∑‘»µ–«—πµ° ¡’§à“‡∑à“°—∫ ‰ª 1.5 m ∑“ß∑‘»

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°“√‡¢’¬π‡ªìπ§Ì“查·∫∫π’È°Á§àÕπ¢â“߬◊¥¬“¥ ‡æ◊ËÕ‡¢’¬π„Àâ°√–™—∫¢÷Èπ‡√“®–„™â —≠≈—°…≥å·∑π§Ì“查 —≠≈—°…≥å

¢Õ߇√“®–µâÕß·∑π∑—Èß∑‘»°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë·≈–¢π“¥¢Õß√–¬–∑“ß πÕ°®“°π—Èπ‡√“µâÕß¡’ —≠≈—°…≥å·∑π "·≈⫵àÕ

¥â«¬" ·≈– "¡’§à“‡∑à“°—∫"

„Àâ‡√“·∑π "‰ª∑“ß∑‘»µ–«—πÕÕ° 2 m" ¥â«¬ 2 m E ·≈– "‰ª∑“ß∑‘»µ–«—πµ° 3 m" ¥â«¬ 3 m W

π—Ëπ§◊Õ„™â E ·∑π∑‘»µ–«—πÕÕ° ·≈– W ·∑π∑‘»µ–«—πµ° πÕ°®“°π—Èπ‡√“®–·∑π "·≈⫵àե⫬" ¥â«¬ +

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‚¥¬°“√„™â —≠≈—°…≥套߰≈à“« ‡√“ “¡“√∂·∑π°“√‡ª≈’ˬπµÌ“·Àπàߢâ“ß∫π‰¥â¥â«¬" ¡°“√"µàÕ‰ªπ’È

2 m E + 3 m E = 5 m E

2 m E + 0.5 m W = 1.5 m E

°àÕπÕ◊Ëπ —߇°µ«à“‡¡◊ËÕ°“√‡¥‘π∑“߉ª∑“߇¥’¬«°—π º≈≈—æ∏å∑’ˉ¥â¡’§à“‡∑à“°—∫‰ª∑“ßπ—Èπ¥â«¬√–¬–∑“ß∑’ˇªìπº≈∫«°¢Õß

√–¬–∑“ß∑—Èß Õß ·µà‡¡◊ËÕ°“√‡¥‘π∑“ß∑—Èß Õß «π∑“ß°—π º≈≈—æ∏å∑’ˉ¥â¡’§à“‡∑à“°—∫°“√‡¥‘π∑“߉ª‡ªìπ√–¬–∑“ß

‡∑à“°—∫º≈µà“ߢÕß√–¬–∑“ß∑—Èß Õß·≈–‰ª∑“ߥâ“π∑’Ë¡’√–¬–∑“ß¡“°°«à“ π—Ëπ§◊Õ‡¡◊ËÕ°“√‡§≈◊ËÕπ∑’ˉª∑“߇¥’¬«°—π

‡√“§‘¥‡À¡◊Õπ°—∫‡ªìπ°“√∫«°‡≈¢∏√√¡¥“

2 m E + 3 m E = 5 m E = (2 m + 3 m) E

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2 m E + 0.5 m W = 1.5 m E = (2 m − 0.5 m) E

°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë„π·π«µ√ß

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6

∂Ⓡ√“°√–®“¬«ß‡≈Á∫¢«“¡◊Õ ÿ¥¢Õß ¡°“√¢â“ß∫πÕÕ°¡“‡À¡◊Õπ°—∫«à“‡ªìπ°“√"§Ÿ≥"°—∫ E ‡√“®–‰¥â«à“

(2 m − 0.5 m) E = 2 m E − 0.5 m E

‡√“®–µâÕß„À⧫“¡À¡“¬°—∫ª√‘¡“≥∑“ߢ«“¡◊Õ¢Õß ¡°“√´÷ËߥŸ‡À¡◊Õπ°—∫‡ªìπ°“√≈∫°“√°√–®—¥ Õß°“√°√–®—¥ ÷Ëß

‡√“¬—߉¡à√Ÿâ«à“§◊ÕÕ–‰√ ∂Ⓡ√“欓¬“¡¡Õßπ‘æ®πå∑“ߢ«“¡◊Õ¢Õß ¡°“√„ÀâÕ¬Ÿà„π√Ÿª¢Õß°“√∑Ì“°“√°√–®—¥ Õß

°“√°√–®—¥µ‘¥µàÕ°—π ‡√“Õ“®·ª≈«à“ 2 m E − 0.5 m E §◊Õ 2 m E + (−0.5 m) E ´÷Ë߇√“°Á¬—߉¡à√ŸâÕ’°

‡™àπ°—π«à“ (−0.5 m) E §◊ÕÕ–‰√ (·µà‡√“®–∑Ì“‡À¡◊Õπ°—∫«à“‡√“√Ÿâ‰ª°àÕπ!) ¥—ßπ—Èπ

2 m E + 0.5 m W = 1.5 m E = (2 m − 0.5 m) E = 2 m E − 0.5 m E = 2 m E + (− 0.5 m) E

‡¡◊ËÕ‡∑’¬∫¥â“π ⓬ ÿ¥°—∫¥â“π¢«“ ÿ¥¢Õß ¡°“√ ®–‡ÀÁπ‰¥â«à“‡√“§«√„Àâ𑬓¡«à“ 0.5 m W = (−0.5 m) E

¥—ßπ—Èπ‡√“µâÕß·ª≈«à“ 2 m E − 0.5 m E = 2 m E + 0.5 m W π—Ëπ§◊Õ

°“√≈∫°“√°√–®—¥‡ªìπ°“√∫«°¥â«¬°“√°√–®—¥∑’Ë¡’∑‘»µ√ߢⓡ

·≈– °“√°√–®—¥∑’Ë¡’‡§√◊ËÕßÀ¡“¬≈∫Õ¬Ÿà¢â“ßÀπⓧ◊Õ°“√°√–®—¥∑’Ë¡’¢π“¥‡∑à“°—π·µà¡’∑‘»µ√ß°—π¢â“¡

‡æ◊ËÕ‡ªìπ°“√µ√«® Õ∫«à“°“√„Àâ𑬓¡·∫∫π’È Õ¥§≈âÕß°—∫°√≥’Õ◊ËπÀ√◊Õ‰¡à ¢Õ„Àâ‡√“æ‘®“√≥“°“√‡ª≈’ˬπ

µÌ“·Àπàß "‰ª∑“ßµ–«—πÕÕ° 2 m ·≈⫵“¡¥â«¬°“√°√–®—¥‰ª∑“ßµ–«—πµ° 3 m" °“√°√–®—¥∑—ÈßÀ¡¥π’È¡’§à“√«¡

‡∑à“°—∫‰ª∑“ßµ–«—πµ° 1 m ‡√“‡¢’¬π°“√∑Ì“°“√°√–®—¥∑—ÈßÀ¡¥π’È„π√Ÿª —≠≈—°…≥剥â«à“

2 m E + 3 m W = 1 m W

‡¡◊ËÕ‡√“·∑π 3 m W ¥â«¬ (− 3 m) E ∑“ߴ⓬¡◊Õ¢Õß ¡°“√ ‡√“®–‰¥â«à“

2 m E + 3 m W = 2 m E + (− 3 m) E = (2 m −3 m) E = (−1 m) E

∂Ⓡ√“·∑π (−1 m) E ¥â«¬ 1 m W ‡√“®–‰¥â«à“ 2 m E + 3 m W = 1 m W µ“¡∑’˧«√‡ªìπ

¥—ßπ—Èπ‡√“®–„Àâ𑬓¡«à“

(−a m) E ≡ a m W

‚¥¬∑’Ë a §◊Õ‡≈¢®Ì“π«π®√‘ß„¥ Ê

‚¥¬°“√æ‘®“√≥“„π∑Ì“πÕ߇¥’¬«°—ππ’È ‡√“ √ÿª‰¥â‡À¡◊Õπ°—π«à“ (−a m) W ≡ a m E

‡æ◊ËÕ§«“¡ –¥«°„π°“√„™âß“πµàÕ‰ª¿“¬À≈—ß ‡¢“¡—°µ°≈߇¢’¬π W ·≈– E Õ’°Õ¬à“ßÀπ÷Ëß«à“

W ≡ (−E) ·≈– E ≡ (−W)

(¥â«¬‡Àµÿπ’È ∫“ß∑’‡√“‡√’¬°∑‘»µ√ߢⓡ°—π«à“‡ªìπ∑‘»≈∫ ‡™àπ ∑‘»µ–«—πµ°‡ªìπ∑‘»≈∫¢Õß∑‘»µ–«—πÕÕ°)

°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë„π·π«µ√ß

ªî¬æß…å ‘∑∏‘§ß ¿“§«‘™“øî ‘° å §≥–«‘∑¬“»“ µ√å ¡À“«‘∑¬“≈—¬¡À‘¥≈

7

¥—ßπ—Èπ ¡°“√ (−a m) E ≡ a m W ·≈– (−a m) W ≡ a m E) ®÷ß°≈“¬‡ªìπ

(−a m) E ≡ a m (−E) ·≈– (−a m) W ≡ a m (−W)

¡°“√π’È∑Ì“„Àâ‡√“ “¡“√∂∑Ì“‡À¡◊Õπ°—∫«à“ ‡√“®–‡¢’¬π‡§√◊ËÕßÀ¡“¬≈∫µ‘¥°—∫∑‘» À√◊Õµ‘¥°—∫µ—«‡≈¢´÷Ë߇ªìπ¢π“¥

¢Õß°“√ °√–®—¥°Á‰¥â ·≈â«·µà§«“¡ –¥«°

µ—«Õ¬à“ß 1.3.1‚¥¬°“√„™â —≠≈—°…≥嵓¡∑’ˇ√“µ°≈ß°—π ®ß· ¥ß„Àâ‡ÀÁπ«à“°“√°√–®—¥‰ª∑“ß∑‘»µ–«—πµ° 2 m ·≈⫵àÕ

¥â«¬°“√°√–®—¥‰ª∑“ß∑‘»µ–«—πÕÕ° 3 m ¡’§à“‡∑à“°—∫°“√°√–®—¥‰ª∑“ß∑‘»µ–«—πÕÕ° 1 m

«‘∏’∑Ì“

„π√Ÿª¢Õß —≠≈—°…≥å °“√°√–®—¥∑’˵âÕß°“√§◊Õ

2 m W + 3 m E = (−2 m) E + 3 m E = ((−2 m) + 3 m) E = 1 m E

À√◊Õ

2 m W + 3 m E

= 2 m W + 3 m (−W) = 2 m W + (−3 m) W = (2 m − 3 m) W = (−1 m) W

= 1 m (−W) = 1 m E

1.4 °“√·∑π°“√°√–®—¥·≈–µÌ“·Àπàߥ⫬ —≠≈—°…≥å - ‡«°‡µÕ√å

„πÀ—«¢âÕ 1.3 ‡√“æ‘®“√≥“°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë„π·π«µ–«—πµ°-µ–«—πÕÕ° ·µàº≈∑’ˉ¥â®–„™â°—∫°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë„π

·π«‡ âπµ√ß·π«„¥°Á‰¥â ‰¡à«à“®–‡ªìπ·π«‡Àπ◊Õ-„µâ ·π«¥‘Ëß À√◊Õ·π«πÕπ „π·µà≈–·π«®–¡’∑‘» Õß∑‘»´÷Ë߇ªìπ∑‘»

∑’˵√ߢⓡ°—𠇙àπ ¢÷Èπ°—∫≈ß À√◊Õ¢«“°—∫´â“¬ ∂Ⓡ√“‡≈◊Õ°∑‘»Àπ÷Ë߇ªìπ∑‘»Õâ“ßÕ‘ß ‡√“®–‡√’¬°∑‘»∑’˵√ߢⓡ«à“‡ªìπ

∑‘»≈∫ ‡√“®–„™â —≠≈—°…≥åµàÕ‰ªπ’È„π°“√∫Õ°°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë:

„Àâ·π«°“√‡§≈◊ËÕπ∑’ˇªìπ·π«·°π X „Àâ∑‘»Õâ“ßÕ‘ß·∑π¥â«¬ x °“√°√–®—¥„π·π« X Õ“®‰ª∑“ß

‡¥’¬«°—∫∑‘» x À√◊Õ‰ª∑“ß∑‘»µ√ߢⓡ°—∫∑‘» x °Á‰¥â ‡√“‡¢’¬π°“√°√–®—¥ 5 Àπ૬‰ª∑“ß∑‘» x «à“ 5 x

·≈–°“√°√–®—¥ 3 Àπ૬‰ª∑“ß∑‘»µ√ߢⓡ°—∫∑‘» x ‡¢’¬π«à“ 3( ˆ )−x À√◊Õ (−3) x

¥—ßπ—Èπ‡√“Õ“®‡¢’¬π°“√°√–®—¥„¥ Ê „π·π«·°π X «à“ ax ‚¥¬∑’Ë a ‡ªìπ‡≈¢®Ì“π«π®√‘ß´÷ËßÕ“®¡’§à“

‡ªìπ∫«°À√◊Õ≈∫°Á‰¥â a ‡ªìπµ—«Õ¬à“ߢÕߪ√‘¡“≥ ‡°≈“√å ∂â“ a ‡ªìπ∫«° ax §◊Õ°“√°√–®—¥‰ª∑“ß∑‘» x

‡ªìπ√–¬–∑“ß a ·µà∂â“ a ‡ªìπ≈∫ ax §◊Õ°“√°√–®—¥‰ª∑“ß∑‘» ( ˆ )−x ‡ªìπ√–¬–∑“ß a ( a §◊Õ¢π“¥¢Õß a)

°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë„π·π«µ√ß

ªî¬æß…å ‘∑∏‘§ß ¿“§«‘™“øî ‘° å §≥–«‘∑¬“»“ µ√å ¡À“«‘∑¬“≈—¬¡À‘¥≈

8

°“√°√–®—¥‡ªìπµ—«Õ¬à“ßÀπ÷ËߢÕߪ√‘¡“≥‡«°‡µÕ√å ¥—ßπ—Èπ ax ‡ªìπª√‘¡“≥‡«°‡µÕ√å ‡√“®–„™â —≠≈—°…≥å

rA ·∑πª√‘¡“≥‡«°‡µÕ√å ‡√“ “¡“√∂‡¢’¬π

rA ‰¥â 2 ·∫∫ §◊Õ

1. ‡¢’¬π„π√Ÿª¢π“¥·≈–∑‘»¢Õß rA ‡ªìπ

r rA A A= ˆ

‚¥¬∑’ˇ√“‰¥â„™â —≠≈—°…≥å

rA ·≈– A ·∑π¢π“¥·≈–∑‘»¢Õ߇«°‡µÕ√å

rA µ“¡≈Ì“¥—∫ —߇°µ«à“„π°√≥’∑’Ë

rA

‡ªìπ‡«°‡µÕ√å∑’Ë¡’¢π“¥Àπ÷ËßÀπ૬ π—Ëπ§◊Õ

rA ¡’¢π“¥‡∑à“°—∫ 1 ‡√“®–‰¥â«à“

rA A= ˆ ¥—ßπ—Èπ A §◊Õ‡«°‡µÕ√å∑’Ë

¡’¢π“¥Àπ÷ËßÀπ૬ ‡√“‡√’¬° A «à“‡«°‡µÕ√åÀπ÷ËßÀπ૬

2. ‡¢’¬π„π√Ÿª¢Õߪ√‘¡“≥ ‡°≈“√å°—∫∑‘»Õâ“ßÕ‘ß«à“ rA A= x

A §◊Õª√‘¡“≥ ‡°≈“√å ∫“ß∑’°Á‡√’¬° A «à“Õߧåª√–°Õ∫¢Õß rA „π∑‘» x —߇°µ«à“∑‘»¢Õß

rA ‰¡à®Ì“‡ªìπ

µâÕß¡’∑‘»‡¥’¬«°—∫∑‘» x ∂â“ A ‡ªìπ∫«° rA ¡’∑‘»‡¥’¬«°—∫ x ·µà∂â“ A ‡ªìπ≈∫

rA ¡’∑‘» ( ˆ )−x

®“°¢âÕ —߇°µ∑’Ë«à“ °“√∫Õ°µÌ“·Àπà߇À¡◊Õπ°—∫°“√∫Õ°°“√°√–®—¥ ∑Ì“„Àâ‡√“ “¡“√∂„™âª√‘¡“≥‡«°‡µÕ√å

∫Õ°µÌ“·Àπà߇∑’¬∫°—∫®ÿ¥Õâ“ßՑ߉¥â ‡√“¡—°„™â —≠≈—°…≥å rx ·∑πµÌ“·Àπàß„π·π«·°π X ·≈–‡¢’¬πµ—«Àπ—ß ◊Õ

ÀâÕ¬∫Õ°«à“‡ªìπµÌ“·ÀπàߢÕß®ÿ¥„¥ ‡™àπ rxP ·∑πµÌ“·ÀπàߢÕß P ·≈–„™â x À√◊Õ xP ·∑πÕߧåª√–°Õ∫¢Õß

rx

À√◊Õ rxP „π∑‘»Õâ“ßÕ‘ßµ“¡≈Ì“¥—∫

A B CD

O

√Ÿª∑’Ë 1.4.1

„π√Ÿª∑’Ë 1.4.1 ∂â“„Àâ x ‡ªìπ∑‘»Õâ“ßÕ‘ß™’ȉª∑“ߢ«“¡◊Õ µÌ“·ÀπàߢÕß A, B, C ·≈– D ®“°®ÿ¥Õâ“ßÕ‘ß

O §◊Õ r r rx x xA B C x x x= + = + = +1 3 6ˆ, ˆ, ˆ ·≈–

rxD x x= − = −3 3( ˆ ) ( ) ˆ

„π°√≥’∑’Ë√Ÿ â°—π«à“∑‘»Õâ“ßՑߧ◊Õ∑‘»„¥ ‡¢“¡—°®–≈–∑‘»Õâ“ßՑ߉«â„π∞“π∑’ˇ¢â“„® ·≈–‡¢’¬π∫Õ°‡©æ“–

Õߧåª√–°Õ∫¢Õ߇«°‡µÕ√å„π∑‘»Õâ“ßÕ‘ßπ—È𠇙àπ x x xA B C = + = + = +1 3 6, , ·≈– xD = −3 ®“°§à“

¢ÕßÕߧåª√–°Õ∫‡√“√Ÿâ‰¥â«à“ µÌ“·ÀπàߢÕß®ÿ¥∑’Ë π„®Õ¬Ÿà∑“߉Àπ¢Õß®ÿ¥Õâ“ßÕ‘ß·≈–Õ¬ŸàÀà“߇ªìπ√–¬–∑“߇∑à“„¥ ‚¥¬

¥Ÿ®“°‡§√◊ËÕßÀ¡“¬·≈–¢π“¥¢ÕßÕߧåª√–°Õ∫ ∂Ⓡ§√◊ËÕßÀ¡“¬‡ªìπ∫«° ®ÿ¥π—ÈπÕ¬Ÿà„π∑‘»‡¥’¬«°—∫∑‘»Õâ“ßÕ‘ß ·µà∂â“

‡§√◊ËÕßÀ¡“¬‡ªìπ≈∫ ®ÿ¥π—ÈπÕ¬Ÿà„π∑‘»µ√ߢⓡ°—∫∑‘»Õâ“ßÕ‘ß à«π√–¬–∑“ßπ—Èπ¡’¢π“¥‡∑à“°—∫¢π“¥¢ÕßÕߧåª√–°Õ∫

®–‡ÀÁπ‰¥â«à“‡√“ “¡“√∂„™â‡§√◊ËÕßÀ¡“¬·∑π∑‘»‰¥â

1.5 °“√À“°“√°√–®—¥®“°µÌ“·Àπàß

¡¡ÿµ‘«à“‡√“√ŸâµÌ“·ÀπàߢÕß®ÿ¥µà“ß Ê ‡∑’¬∫°—∫®ÿ¥Õâ“ßÕ‘ß O „π√Ÿª¢Õߪ√‘¡“≥‡«°‡µÕ√å ·≈–‡√“µâÕß°“√

À“°“√°√–®—¥®“°®ÿ¥Àπ÷Ë߉ª¬—ßÕ’°®ÿ¥Àπ÷Ëß ‡™àπ °“√°√–®—¥®“° A ‰ª B ‡√“®–∑Ì“Õ¬à“߉√

°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë„π·π«µ√ß

ªî¬æß…å ‘∑∏‘§ß ¿“§«‘™“øî ‘° å §≥–«‘∑¬“»“ µ√å ¡À“«‘∑¬“≈—¬¡À‘¥≈

9

„Àâ x ‡ªìπ∑‘»Õâ“ßÕ‘ß ¡¡ÿµ‘«à“µÌ“·ÀπàߢÕß A ·≈– B ®“°®ÿ¥Õâ“ßÕ‘ß O ·∑π¥â«¬

OA xA A= =rx x ˆ ·≈– OB xB B= =v

x x ˆ

µ“¡≈Ì“¥—∫ ‚¥¬∑’ˇ√“‰¥â„™â —≠≈—°…≥å OA ·≈– OB ·∑π°“√°√–®—¥®“° O ‰ª A ·≈–°“√°√–®—¥®“° O ‰ª

B µ“¡≈Ì“¥—∫ æ‘®“√≥“°“√°√–®—¥®“° A ‰ª B ·∑π∑’ˇ√“®–‡ª≈’ˬπµÌ“·Àπàß®“° A ‰ª B ‚¥¬µ√ß ‡√“

‡¥‘π∑“ß®“° A ‰ª®ÿ¥Õâ“ßÕ‘ß O °àÕπ ·≈⫧àÕ¬‡¥‘π∑“ß®“°®ÿ¥Õâ“ßÕ‘ß O ‰ª B (¥Ÿ√Ÿª∑’Ë 1.5.1)

A B CD O

√Ÿª∑’Ë 1.5.1

„π√Ÿª¢Õߪ√‘¡“≥‡«°‡µÕ√å‡√“‡¢’¬π‰¥â«à“

AB AO OB= +

‚¥¬∑’Ë AB, AO ·≈– OB §◊Õ°“√°√–®—¥®“° A ‰ª B, ®“° A ‰ª O ·≈–®“° O ‰ª B µ“¡≈Ì“¥—∫

·µà AO ‡ªìπ°“√°√–®—¥∑’Ë¡’¢π“¥‡∑à“°—∫¢π“¥¢Õß°“√°√–®—¥®“° O ‰ª A ·µà¡’∑‘»µ√ߢⓡ ¥—ßπ—Èπ

AO OA= −( ) ·≈–‡√“‡¢’¬π ¡°“√¢â“ß∫π‰¥â„À¡à«à“AB OA OB= −( ) +

·µà AO OA A A= −( ) = −( ) = − ( )x x x xˆ ˆ ¥—ßπ—Èπ‡√“‰¥â«à“

AB )x x x x x xA B A B B A B A B A= − + = − + = − = − = −( ˆ ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ˆ ˆx x x x x x x x x xv v

π—Ëπ§◊Õ AB B A= −v vx x

—߇°µ«à“Õߧåª√–°Õ∫¢Õß AB „π∑‘» x §◊Õ x xB A− ¥—ßπ—Èπ‡√“ “¡“√∂„™â x xB A− ·∑π°“√°√–®—¥®“°

A ‰ª B ‰¥â‡¡◊ËÕ‡√“√Ÿâ«à“∑‘»Õâ“ßՑߧ◊Õ∑‘» x

‡æ◊ËÕ§«“¡ –¥«°·≈–§«“¡°√–™—∫„π°“√‡¢’¬π·≈–°“√§Ì“π«≥∑’Ë®–∑Ì“µàÕ¿“¬À≈—ß ‡√“®–„™â —≠≈—°…≥å

·∑π§Ì“查¬“« Ê ‚¥¬∑’ˇ√“®–„™â —≠≈—°…≥å ∆ ·∑π°“√‡ª≈’ˬπ·ª≈ß ´÷Ë߇√“®–„À⇪ìπ¢Õß„À¡à"≈∫"¥â«¬¢Õ߇°à“

‡ ¡Õ ·≈–‡π◊ËÕß®“°‡√“„™â rx ·∑πµÌ“·Àπàß ‡√“®–„™â ∆

rxA B→ ·∑π°“√‡ª≈’ˬπµÌ“·ÀπàßÀ√◊Õ°“√°√–®—¥®“° A

‰ª B π—Ëπ§◊Õ

∆rxA B A B→ ≡ °“√‡ª≈’Ë¬πµ”·ÀπËß®“° ‰ª

(‡§√◊ËÕßÀ¡“¬ ≡ ∫Õ°„Àâ√Ÿâ«à“π’˧◊Õ𑬓¡)

°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë„π·π«µ√ß

ªî¬æß…å ‘∑∏‘§ß ¿“§«‘™“øî ‘° å §≥–«‘∑¬“»“ µ√å ¡À“«‘∑¬“≈—¬¡À‘¥≈

10

‡æ√“–©–π—Èπ ∆r r rx x xA B B A→ = −

„π√Ÿª¢Õß —≠≈—°…≥å„À¡àπ’È ‡√“ “¡“√∂‡¢’¬π ¡°“√°“√∫«°°“√°√–®—¥∑’Ë«à“

°“√°√–®—¥®“° A ‰ª B µàե⫬ °“√°√–®—¥®“° B ‰ª C ¡’§à“‡∑à“‡∑’¬¡°—∫°“√°√–®—¥®“° A ‰ª C

‡ªìπ ∆ ∆ ∆r r rx x xA B B C A C→ → →+ =

∑—Èßπ’ȇæ√“–«à“ r r r r r rx x x x x xB A C B C A−( ) + −( ) = −( )

p °“√‡ª≈’ˬπ·ª≈ß ≡ ¢Õß„À¡à − ¢Õ߇°à“

∂â“ Q ‡ªìπª√‘¡“≥„¥ Ê ‡√“µ°≈ß„Àâ ∆Q ≡ Q„À¡Ë − Q‡°à“

- ∆rx ‡ªìπ —≠≈—°…≥åÀπ÷Ëßµ—« ‰¡à„™Ë ∆ §Ÿ≥°—∫

rx

- ÕÕ°‡ ’¬ß ∆ «à“‡¥≈µâ“ ·≈– Õà“π ∆rx «à“‡¥≈µâ“‡Õ°´å

− rx ‡ªìπ欗≠™π–„π¿“…“°√’°‡∑’¬∫‡∑à“°—∫欗≠™π– D „π¿“…“Õ—ß°ƒ…

- ‡¥≈µâ“µ—«‡≈Á°‡¢’¬π«à“ δ ‡∑’¬∫‡∑à“ d „π¿“…“Õ—ß°ƒ…

p ‡√“§◊Õπ“¬

°“√∑’ˇ√“®–‡≈◊Õ°∑‘»„¥‡ªìπ∑‘»Õâ“ßÕ‘ßπ—Èπ ‡√“‡ªìπ§π°Ì“Àπ¥¢÷Èπ¡“‡Õß Õߧåª√–°Õ∫¢Õ߇«°‡µÕ√å®–¡’§à“

‡ªìπ∫«°À√◊Õ≈∫¢÷ÈπÕ¬Ÿà°—∫∑‘»Õâ“ßÕ‘ß∑’ˇ√“‡≈◊Õ° §π ÕߧπÕ“®‡≈◊Õ°„™â∑‘»Õâ“ßÕ‘ß∑’˵à“ß°—π ∑Ì“„À≥âÕߧåª√–°Õ∫∑’Ë¡’

‡§√◊ËÕßÀ¡“¬µà“ß°—π ·µà„π∑’Ë ÿ¥‡¡◊ËÕ·ª≈°≈—∫‡ªìπ∑‘»µ“¡¢âÕµ°≈ߢÕß·µà≈–§π·≈â« ®–„Àâ§Ì“µÕ∫ ÿ¥∑⓬‡¥’¬«°—π

1.6 √–¬–∑“ß·≈–°“√°√–®—¥

„π°“√«—¥√–¬–∑“ß∑’ËÕπÿ¿“§‡§≈◊ËÕπ∑’Ë ‡√“µâÕß√Ÿâ‡ âπ∑“ßÕ¬à“ß≈–‡Õ’¬¥«à“Õπÿ¿“§‡§≈◊ËÕπ∑’ˉª¡“Õ¬à“߉√

„π¢≥–∑’ˇ√“√Ÿâ‡æ’¬ßµÌ“·Àπàßµ—Èßµâπ·≈–µÌ“·Àπàß ÿ¥∑⓬ ‡√“°ÁÀ“°“√°√–®—¥‰¥â „π°“√À“√–¬–∑“߇¡◊ËÕÕπÿ¿“§

‡§≈◊ËÕπ∑’Ë°≈—∫∑‘»‰ª¡“ ‡√“µâÕß·∫àß°“√‡§≈◊ËÕπ∑’ˇªìπµÕπ Ê ‚¥¬∑’Ë·µà≈–µÕπ‡ªìπ°“√‡§≈◊ËÕπ∑’ˉª„π∑‘»‡¥’¬« ·≈â«

‡Õ“¢π“¥ ¢Õß°“√°√–®—¥·µà≈–µÕπ¡“∫«°°—π‡ªìπ√–¬–∑“ß∑’ËÕπÿ¿“§‡§≈◊ËÕπ∑’ˉª‰¥â∑—ÈßÀ¡¥

¢âÕ —߇°µ‡æ‘Ë¡‡µ‘¡‡°’ˬ«°—∫√–¬–∑“ß·≈–°“√°√–®—¥°Á§◊Õ

1. ‚¥¬∑—Ë«‰ª·≈â« √–¬–∑“ß°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë·≈–¢π“¥¢Õß°“√°√–®—¥¡’§à“‰¡à‡∑à“°—π

2. ∂â“Õπÿ¿“§‡§≈◊ËÕπ∑’ˉª„π∑‘»‡¥’¬«µ≈Õ¥°“√‡¥‘π∑“ß ¢π“¥¢Õß°“√°√–®—¥·≈–√–¬–∑“ß¡’§à“

෈ҡѹ

°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë„π·π«µ√ß

ªî¬æß…å ‘∑∏‘§ß ¿“§«‘™“øî ‘° å §≥–«‘∑¬“»“ µ√å ¡À“«‘∑¬“≈—¬¡À‘¥≈

11

3. ‡π◊ËÕß®“°°“√°√–®—¥¡’§à“‡∑à“°—∫µÌ“·Àπàß ÿ¥∑⓬≈∫¥â«¬µÌ“·Àπàßµ—Èßµâπ ‰¡à«à“Õπÿ¿“§®–¡’°“√

‡§≈◊ËÕπ ∑’ˉª¡“Õ¬à“߉√ ·µà∂â“Õπÿ¿“§‡§≈◊ËÕπ∑’Ë°≈—∫¡“∑’ˇ¥‘¡·≈â« °“√°√–®—¥®–¡’§à“‡ªìπ»Ÿπ¬å·¡â«à“√–¬–∑“ß∑’Ë«—¥

µ“¡‡ âπ∑“ß®–‰¡à‡ªìπ»Ÿπ¬å

„π√–∫∫ SI √–¬–∑“ß·≈–°“√°√–®—¥¡’Àπ૬‡ªìπ‡¡µ√ (m)

µ—«Õ¬à“ß∑’Ë 1.6.1

æ‘®“√≥“√Ÿª∑’Ë 1.6.1 ¢â“ß≈à“ß

A B CD

O

√Ÿª∑’Ë 1.6.1

Õπÿ¿“§Àπ÷Ëß¡’°“√°√–®—¥®“° A ‰ª C µ“¡‡ âπ∑“ß A B D C→ → → Õπÿ¿“§π’È¡’°“√°√–®—¥‡∑à“‰√ ·≈–

‡§≈◊ËÕπ∑’ˉª∑—ÈßÀ¡¥‰¥â√–¬–∑“߇∑à“‰√ °Ì“Àπ¥«à“™àÕß·∫àß√–¬–∑“ß„π√Ÿª¡’Àπ૬‡ªìπ‡¡µ√ (m)

«‘∏’§‘¥

°àÕπÕ◊Ëπ‡√“µâÕ߇≈◊Õ°®ÿ¥Õâ“ßÕ‘ß·≈–∑‘»Õâ“ßÕ‘ß „Àâ O ‡ªìπ®ÿ¥Õâ“ßÕ‘ß·≈–„Àâ∑‘»Õâ“ßՑ߇ªìπ∑‘»‰ª∑“ߢ«“

¡◊Õ ¥—ßπ—ÈπÕߧåª√–°Õ∫¢Õß°“√°√–®—¥∑’Ë¡’∑‘»‰ª∑“ߢ«“¡◊Õ®–¡’§à“‡ªìπ∫«° ·≈–∑’Ë¡’∑‘»‰ª∑“ß â“¬¡◊Õ®–¡’§à“‡ªìπ≈∫

‡√“®–‰¥â«à“ xA m= +1 , xB m= +3 , xC m= +6 ·≈– xD m= −3 ‡√“À“°“√°√–®—¥∑’˵âÕß°“√®“°

𑬓¡

∆v v vx x xA C C A→ = −

°“√°√–®—¥¢÷ÈπÕ¬Ÿà°—∫®ÿ¥µ—Èßµâπ·≈–®ÿ¥ ÿ¥∑⓬‡∑à“π—Èπ Õߧåª√–°Õ∫¢Õß°“√°√–®—¥®“° A ‰ª C ¡’§à“

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∫«°¥â«¬√–¬–∑“ß®“° D ‰ª C ¡’§à“ + − + + − − + + + − − = + + =3 1 3 3 6 3 2 6 9 17( ) ( ) ( ) ( ) m m m

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12

1.7 °“√„™â°√“ø∫√√¬“¬°“√‡§≈◊ËÕπ∑’ˇ™‘߇ âπ

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0.0 0.0

1.0 3.0

2.0 12.0

3.0 27.0

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√Ÿª∑’Ë 1.7.1

2. ∫Õ°„π≈—°…≥–¢Õß Ÿµ√ (∂â“∑Ì“‰¥â! °“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë∫“ßÕ¬à“ß∫√√¬“¬¥â«¬ Ÿµ√‰¡à‰¥â) ‡™àπ x t= 3 2

3. ∫Õ°„π≈—°…≥–¢Õß°√“ø√–À«à“ߵ̓·Àπàß°—∫‡«≈“

°“√∫Õ°¥â«¬°√“ø¡’¢âÕ¥’‡Àπ◊Õ°«à“«‘∏’Õ◊Ëπµ√ß∑’Ë∑Ì“„Àâ‡√“"‡ÀÁπ¿“æ" ‡√“ “¡“√∂‡ÀÁπ‰¥â∑—π∑’«à“Õπÿ¿“§°Ì“≈—ß

Õ¬Ÿàπ‘ËßÀ√◊Õ°Ì“≈—߇§≈◊ËÕπ∑’ˉª∑“߉Àπ ¥â«¬§«“¡‡√Á«∑’˧ß∑’ËÀ√◊Õ‰¡à ·≈–¡’·π«‚πâ¡®–‡§≈◊ËÕπ∑’ˉªÕ¬à“߉√

‚¥¬∑—Ë«‰ª‡√“‡¢’¬π°√“ø√–À«à“ߵ̓·Àπà߇∑’¬∫°—∫‡«≈“‚¥¬„™â°√“ø√–∫∫·°π©“°∑’Ë¡’·°ππÕπ‡ªìπ·°π

¢Õßµ—«·ª√Õ‘ √– (¡—°‡ªìπ‡«≈“) ·≈–·°πµ—È߇ªìπ·°π¢Õßµ—«·ª√µ“¡ („π°√≥’π’ȧ◊Õ§à“¢Õߵ̓·Àπàß) (¥Ÿ√Ÿª∑’Ë 1.7.2)

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µÌ“·Àπàß°—∫‡«≈“·≈â« ‡√“¬—ß “¡“√∂‡¢’¬π°√“ø√–À«à“ߧ«“¡‡√Á«°—∫‡«≈“ ·≈–°√“ø√–À«à“ߧ«“¡‡√àß°—∫‡«≈“‰¥â

¥â«¬ §ÿ≥ ¡∫—µ‘¢Õß°√“ø∑’ˇªìπª√–‚¬™πå§◊Õ§«“¡™—π·≈–æ◊Èπ∑’Ë„µâ°√“ø ·µàª√‘¡“≥∑—Èß Õß®–¡’§«“¡À¡“¬‡ªìπ

Õ–‰√π—Èπ¢÷ÈπÕ¬Ÿà«à“°√“øπ—Èπ‡ªìπ°√“ø√–À«à“ߪ√‘¡“≥Õ–‰√°—∫Õ–‰√ æ◊Èπ∑’Ë„µâ°√“ø¢Õß°√“ø∫“ß°√“ø°Á‰¡à¡’

§«“¡À¡“¬∑“ßøî ‘° å ‡™àπ °√“ø√–À«à“ߵ̓·Àπàß°—∫‡«≈“

°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë„π·π«µ√ß

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13

√Ÿª∑’Ë 1.7.2 · ¥ß°√“ø¢Õߵ̓·Àπàß∑’ˇ«≈“µà“ß Ê „π°√≥’∑—Ë« Ê ‰ª à«π√Ÿª∑’Ë 1.7.3 · ¥ß„Àâ‡ÀÁπ

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√Ÿª∑’Ë 1.7.3 Õπÿ¿“§Õ¬Ÿàπ‘Ëß∑’Ë x0 µ≈Õ¥‡«≈“

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14

2. Õ—µ√“‡√Á«·≈–§«“¡‡√Á«

2.1 Õ—µ√“‡√Á«‡©≈’ˬ

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2.2 §«“¡‡√Á«‡©≈’ˬ

µ—«‡≈¢∑’ˉ¥â®“°Õ—µ√“‡√Á«‡©≈’ˬ‰¡à “¡“√∂∫Õ°‰¥â«à“„π∑’Ë ÿ¥Õπÿ¿“§¡’°“√‡§≈◊ËÕπ∑’ˉª∑“߉Àπ¢Õß®ÿ¥µ—Èßµâπ

‡æ√“–µ—«‡≈¢∑’ˉ¥â¡’§à“‡ªìπ∫«°‡ ¡Õ ‡§√◊ËÕßÀ¡“¬‰¡à “¡“√∂„™â∫Õ°∑‘»‰¥â ·µà‡√“ “¡“√∂ √â“ߪ√‘¡“≥∑’Ë„™â∫Õ°

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15

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A B CD

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√Ÿª∑’Ë 2.2.1

Õπÿ¿“§ Ê Àπ÷Ëß¡’°“√°√–®—¥®“° A ‰ª C µ“¡‡ âπ∑“ß®“° A ‰ª B ‰ª D ·≈⫉ª C ‚¥¬„™â‡«≈“∑—ÈßÀ¡¥ 5

«‘π“∑’ Õπÿ¿“§π’È¡’Õ—µ√“‡√Á«‡©≈’ˬ·≈–§«“¡‡√Á«‡©≈’ˬ„π™à«ß‡«≈“π’ȇ∑à“‰√ °Ì“Àπ¥«à“™àÕß·∫àß√–¬–∑“ß„π√Ÿª¡’Àπ૬

‡ªìπ‡¡µ√ (m)

«‘∏’§‘¥‡√“À“Õ—µ√“‡√Á«‡©≈’ˬ·≈–§«“¡‡√Á«‡©≈’ˬ®“°π‘¬“¡ ¥—ßπ—Èπ‡√“√Ÿâ§à“√–¬–∑“ß·≈–°“√°√–®—¥°àÕπ ´÷Ë߇√“°Á‰¥â

‡§¬À“¡“·≈â«®“°µ—«Õ¬à“ß 1.6.1 ‚¥¬∑’ˇ√“„Àâ O ‡ªìπ®ÿ¥Õâ“ßÕ‘ß·≈–„Àâ∑‘»Õâ“ßÕ‘ß x ·∑π∑‘»‰ª∑“ߢ«“¡◊Õ

°“√°√–®—¥¡’§à“‡∑à“°—∫ +5 m x à«π√–¬–∑“ß∑—ÈßÀ¡¥¡’§à“‡∑à“°—∫ 17 m ‡Õ“™à«ß‡«≈“∑’Ë„™â §◊Õ 5 s À“√

ª√‘¡“≥∑—Èß Õß ‡√“®–‰¥â«à“§«“¡‡√Á«‡©≈’ˬ¡’§à“‡∑à“°—∫ +1 m s x π—Ëπ§◊Õ¡’¢π“¥‡∑à“°—∫ 1 m s ·≈–¡’∑‘»‰ª

∑“ߢ«“¡◊Õ à«πÕ—µ√“‡√Á«‡©≈’ˬ¢ÕßÕπÿ¿“§π’È¡’§à“‡∑à“°—∫ 3.4 m s

∂Ⓡ√“°Ì“Àπ¥∑‘»Õâ“ßՑ߉«â·≈â« ‡√“„™â·§àÕߧåª√–°Õ∫¢Õß°“√°√–®—¥„π∑‘»Õâ“ßÕ‘ß∫Õ°µÌ“·Àπàß°Á‰¥â

‚¥¬∑’ˇ√“„™â‡§√◊ËÕßÀ¡“¬∫«°≈∫∫Õ°∑‘»·∑π „Àâ x ·∑πµÌ“·Àπàß∑’Ë«—¥®“°®ÿ¥Õâ“ßÕ‘ß „Àâ t ·∑π‡«≈“„¥ Ê ∑’Ë

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§«“¡‡√Á«‡©≈’ˬ®“° A ‰ª B = x x

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‚¥¬∑’Ë xA ·≈– xB §◊Õ"µÌ“·Àπàß"¢ÕßÕπÿ¿“§∑’ˇ«≈“ tA ·≈– tB µ“¡≈Ì“¥—∫ ∫“ߧ√—È߇√“„™â —≠≈—°…≥å¬àÕ

v A B→ ·∑𧫓¡‡√Á«‡©≈’ˬ ·≈–„™â —≠≈—°…≥å ∆ ‡æ◊ËÕ∫Õ°§à“∑’ˇª≈’Ë¬π‰ª ‡√“‡¢’¬π ¡°“√¢â“ß∫π„À¡à‰¥â«à“

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16

2.2.1 °“√‡§≈◊ËÕπ∑’ËÕ¬à“ß ¡ËÌ“‡ ¡Õ

„π¢≥–∑’ËÕπÿ¿“§¡’°“√‡§≈◊ËÕπ∑’ˉª ∂â“„π™à«ß‡«≈“∑’ˇ∑à“°—π„¥ Ê Õπÿ¿“§¡’°“√°√–®—¥‡∑à“°—π ‡√“‡√’¬°°“√

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µ—«Õ¬à“ß 2.2.2

A B CD

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√Ÿª∑’Ë 2.2.1

„π√Ÿª∑’Ë 2.2.1 ¡¡ÿµ‘«à“Õπÿ¿“§‡§≈◊ËÕπ∑’Ë®“° D ‰ª C ‚¥¬ºà“π O, A, ·≈– B °“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë®“° D

‰ª C π’ȇªìπ°“√‡§≈◊ËÕπ∑’˥⫬§«“¡‡√Á«§ß∑’Ë ∂ⓧ«“¡‡√Á«‡©≈’ˬ„π™à«ß¬àÕ¬„¥ Ê ‡™àπ ®“° D ‰ª A À√◊Õ®“° O

‰ª B ¡’§à“‡∑à“°—πÀ¡¥‰¡à«à“ O, A ·≈– B ®–‡ªìπ®ÿ¥„¥ Ê √–À«à“ß D ·≈– C

·∫∫Ωñ°À—¥π—°«‘Ëß·¢àß√–¥—∫π“π“™“µ‘®–«‘Ëß√–¬–∑“ß 100 ‡¡µ√ ‰¥â„π‡«≈“ª√–¡“≥ 10 «‘π“∑’ ‡¢“«‘Ëߥ⫬՗µ√“‡√Á«

‡©≈’ˬ‡∑à“‰√„πÀπ૬°‘‚≈‡¡µ√µàÕ™—Ë«‚¡ß

2.3 Õ—µ√“‡√Á«·≈–§«“¡‡√Á«¢≥–Àπ÷Ëß

„π°“√«‘Ëß·¢àß 100 ‡¡µ√ ‡√“®–‡ÀÁπ«à“„πµÕπ‡√‘Ë¡«‘Ëß Õ—µ√“‡√Á«¢Õßπ—°«‘Ëß¡’§à“πâÕ¬ ·µà«à“‡¡◊ËÕ«‘ËßµàÕ‰ª

‡¢“«‘Ëߥ⫬՗µ√“‡√Á«∑’Ë¡“°¢÷Èπ ‡√“Õ“®Õ¬“°√Ÿâ«à“¢≥–∑’ˇ¢“«‘Ëߺà“πÀπⓇ√“ ‡¢“«‘Ëߥ⫬՗µ√“‡√Á«‡∑à“‰√ ∂Ⓡ√“

—߇°µ«à“‡√“√Ÿâ‰¥âÕ¬à“߉√«à“Õ—µ√“‡√Á«µÕπ∑’ˇ¢“ºà“πÀπⓇ√“‡√Á«°«à“µÕπ∑’ˇ¢“ºà“πÀπⓇæ◊ËÕπ‡√“ ‡√“®–æ∫«à“‡√“¥Ÿ«à“

„π™à«ß‡«≈“ —Èπ Ê ∑’ˇ¢“ºà“πÀπⓇ√“ ‡¢“‡§≈◊ËÕπ∑’ˉª‰¥â‰°≈°«à“µÕπ∑’ˇ¢“ºà“πÀπⓇæ◊ËÕπ‡√“ π—Ëπ§◊ÕÕ—µ√“‡√Á«‡©≈’ˬ

µÕπ∑’˺à“πÀπⓇ√“¡’¢π“¥¡“°°«à“Õ—µ√“‡√Á«‡©≈’ˬµÕπ∑’˺à“πÀπⓇæ◊ËÕπ‡√“ ∂Ⓡ√“µâÕß°“√Õ—µ√“‡√Á«¢≥–∑’ˇ¢“ºà“π

ÀπⓇ√“æÕ¥’ ‡√“∑Ì“‰¥â‚¥¬°“√À“Õ—µ√“‡√Á«‡©≈’ˬ„π™à«ß‡«≈“∑’Ë —Èπ¡“°®π¡’§à“‡¢â“„°≈⻟π¬å „π∑Ì“πÕ߇¥’¬«°—π

§«“¡‡√Á«¢≥–Àπ÷Ëß°ÁÀ“‰¥â®“°§«“¡‡√Á«‡©≈’ˬ‡¡◊ËÕ™à«ß‡«≈“‡¢â“À“»Ÿπ¬å

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17

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∑’ˇ«≈“ ∑’ˇ«≈“‡¡◊ËÕ

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2. ¢π“¥¢Õߧ«“¡‡√Á«¢≥–Àπ÷Ëß¡’§à“‡∑à“°—∫¢π“¥¢ÕßÕ—µ√“‡√Á«¢≥–Àπ÷Ëß ‡æ√“–«à“„π™à«ß‡«≈“∑’Ë —Èπ¡“° Ê

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(µÌ“·Àπàßπ’È∫Õ°‡∑’¬∫°—∫∑‘»Õâ“ßÕ‘ß∑’ˉ¥â‡≈◊Õ°‰«â) ®ßÀ“Õ—µ√“‡√Á«‡©≈’ˬ¢ÕßÕπÿ¿“§„π√–À«à“ß™à«ß‡«≈“µàÕ‰ªπ’È

1. 1.000 ∂÷ß 2.000 «‘π“∑’

2. 1.000 ∂÷ß 1.500 «‘π“∑’

3. 1.000 ∂÷ß 1.100 «‘π“∑’

4. 1.000 ∂÷ß 1.010 «‘π“∑’

5. 1.000 ∂÷ß 1.001 «‘π“∑’

∑’ˇ«≈“ 1.000 «‘π“∑’ Õπÿ¿“§¡’Õ—µ√“‡√Á«‡∑à“‰√

«‘∏’∑Ì“‡√“À“Õ—µ√“‡√Á«‡©≈’ˬ®“°π‘¬“¡

Õ—µ√“‡√Á«‡©≈’ˬ = √–¬–∑“ß∑’ˇ§≈◊ËÕπ∑’ˉ¥â

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ªî¬æß…å ‘∑∏‘§ß ¿“§«‘™“øî ‘° å §≥–«‘∑¬“»“ µ√å ¡À“«‘∑¬“≈—¬¡À‘¥≈

18

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‡§≈◊ËÕπ∑’ˉª‰¥â°—∫¢π“¥¢Õß°“√°√–®—¥®÷ß¡’§à“‡∑à“°—π ‡æ√“–©–π—Èπ‡√“À“Õ—µ√“‡√Á«‡©≈’ˬ‰¥â®“°§«“¡‡√Á«‡©≈’ˬ´÷Ëߧ◊Õ

µÌ“·Àπàß∑’ˇª≈’ˬπ‰ªÀ“√¥â«¬™à«ß‡«≈“∑’Ë„™â ∂â“„Àâ t ·∑π‡«≈“ ·≈– x t( )∑’ˇ«≈“ ·∑πµÌ“·Àπàß ®“°∑’Ë°Ì“Àπ¥

¡“‡√“‡¢’¬π‡ªìπ Ÿµ√‰¥â«à“

x t t( )∑’ˇ«≈“ = 3 2

®“° Ÿµ√¢â“ß∫π‡√“§Ì“π«≥µÌ“·ÀπàߢÕßÕπÿ¿“§∑’ˇ«≈“µà“ß Ê ‰¥â¥—ßµ“√“ߢâ“ß≈à“ß

t (s) x (m)

1.000 3.000

1.001 3.006003

1.010 3.0603

1.100 3.630

1.500 6.750

2.000 12.000

√Ÿª∑’Ë 2.3.1

¥—ßπ—Èπ

§«“¡‡√Á«‡©≈’ˬ„π™à«ß 1.000 ∂÷ß 2.000 «‘π“∑’ = 12.000 − 3.000

2.000 − 1.000 ‡¡µ√/«‘π“∑’ = 9.000 m s

§«“¡‡√Á«‡©≈’ˬ„π™à«ß 1.000 ∂÷ß 1.500 «‘π“∑’ = 6.750 − 3.000

1.500 − 1.000 ‡¡µ√/«‘π“∑’ = 7.500 m s

§«“¡‡√Á«‡©≈’ˬ„π™à«ß 1.000 ∂÷ß 1.100 «‘π“∑’ = 3.630 − 3.000

1.100 − 1.000 ‡¡µ√/«‘π“∑’ = 6.300 m s

§«“¡‡√Á«‡©≈’ˬ„π™à«ß 1.000 ∂÷ß 1.010 «‘π“∑’ = 3.0603 − 3.000

1.010 − 1.000 ‡¡µ√/«‘π“∑’ = 6.030 m s

§«“¡‡√Á«‡©≈’ˬ„π™à«ß 1.000 ∂÷ß 1.001 «‘π“∑’ = 3.006003 − 3.000

1.001 − 1.000 ‡¡µ√/«‘π“∑’ = 6.003 m s

®–‡ÀÁπ‰¥â«à“‡¡◊ËÕ™à«ß‡«≈“¡’¢π“¥ —Èπ≈ß Ê §«“¡‡√Á«‡©≈’ˬ¡’§à“‡¢â“„°≈â 6.0 m s ¡“°¢÷Èπ Ê ¥—ßπ—Èπ∂Ⓡ√“

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m s ¢π“¥¢Õߧ«“¡‡√Á«π’ȧ◊Õ§à“¢ÕßÕ—µ√“‡√Á«∑’˵âÕß°“√¥â«¬

°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë„π·π«µ√ß

ªî¬æß…å ‘∑∏‘§ß ¿“§«‘™“øî ‘° å §≥–«‘∑¬“»“ µ√å ¡À“«‘∑¬“≈—¬¡À‘¥≈

19

∂Ⓡ√“µâÕß°“√§«“¡∂Ÿ°µâÕß∂÷ß∑»π‘¬¡¡“°µÌ“·Àπàß°«à“π’È ‡√“µâÕßæ‘®“√≥“™à«ß‡«≈“∑’ˇ≈Á°°«à“π’È≈߉ª‡√◊ËÕ¬

Ê ´÷Ë߇ªìπß“π∑’˧àÕπ¢â“ßπà“‡∫◊ËÕ ¬°‡«âπ«à“‡√“‡¢’¬π‚ª√·°√¡„Àâ§Õ¡æ‘«‡µÕ√å§Ì“π«≥‰ª‡√◊ËÕ¬ Ê ®π‰¥â§«“¡

≈–‡Õ’¬¥∑’˵âÕß°“√ «‘‘∏’∑’Ë¥’°«à“§◊Õ§‘¥µ‘¥‡ªìπ —≠≈—°…≥剫⠷≈⫧àÕ¬·∑π§à“„πµÕπÀ≈—ß ´÷Ëß®–∑Ì“„Àâ‡√“‰¡àµâÕ߇√‘Ë¡

µâπ§Ì“π«≥„À¡à∑ÿ°§√—Èß∑’Ëæ‘®“√≥“™à«ß‡«≈“„Àâ —Èπ≈ß ‡√“∑Ì“¥—ßπ’È

‡√“À“§«“¡‡√ÁÌ«®“°π‘¬“¡ v T

x T t x T

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( ) ( )∑’ˇ«≈“

∑’ˇ«≈“ ∑’ˇ«≈“‡¡◊ËÕ

+ = − →∆

∆∆ 0

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x T T( )∑’ˇ«≈“ = ×3 2

·≈– x T t T t T T t t( ) ( ) ( )∑’ˇ«≈“ + +∆ ∆ ∆ ∆= × = + +3 3 6 32 2 2

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v T

T T t t T

tt T t t T( )

( )∑’ˇ«≈“ ‡¡◊ËÕ ‡¡◊ËÕ = + + − → = + → =3 6 3 3

0 6 3 0 62 2 2∆ ∆

∆∆ ∆ ∆

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·∑π§à“ T ≈߉ª ·≈–‰¥â§Ì“µÕ∫„π∑—π∑’‚¥¬∑’ˉ¡àµâÕ߇√‘Ë¡µâ𧑥‡≈¢„À¡à∑ÿ°§√—Èß ‡™àπ ‡¡◊ËÕ T = 1 «‘π“∑’ ‡√“‰¥â§Ì“

µÕ∫∑—π∑’«à“§«“¡‡√Á«¡’§à“‡∑à“°—∫ 6.0 m s §à“π’ȇªìπ§à“Õ—µ√“‡√Á«¥â«¬

§Ì“∂“¡ „πµ—«Õ¬à“ß 2.3.1 §«“¡‡√Á«¢ÕßÕπÿ¿“§∑’ˇ«≈“ 2.0 «‘π“∑’¡’§à“‡∑à“‰√

·∫∫Ωñ°À—¥

¡¡ÿµ‘«à“µÌ“·ÀπàߢÕßÕπÿ¿“§Àπ÷Ëß®“°®ÿ¥Õâ“ßÕ‘ß∑’ˇ«≈“„¥ Ê À≈—ß®“°∑’ˇ√‘Ë¡®—∫‡«≈“¡’§à“µ“¡ Ÿµ√

µÌ“·Àπàß„πÀπ૬‡¡µ√ = 3 §Ÿ≥ ‡«≈“„πÀπ૬«‘π“∑’¬°°Ì“≈—ß Õß + 2 §Ÿ≥ ‡«≈“„πÀπ૬«‘π“∑’

À√◊Õ x t t t( )∑’ˇ«≈“ = +3 22 ‚¥¬∑’Ë —≠≈—°…≥åµà“ß Ê ¡’§«“¡À¡“¬‡À¡◊Õπ„πµ—«Õ¬à“ß 2.3.1

®ßÀ“«à“∑’ˇ«≈“ T „¥ Ê Õπÿ¿“§¡’§«“¡‡√Á«‡∑à“‰√

(µÕ∫ v T T( ) = +6 2 )

°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë„π·π«µ√ß

ªî¬æß…å ‘∑∏‘§ß ¿“§«‘™“øî ‘° å §≥–«‘∑¬“»“ µ√å ¡À“«‘∑¬“≈—¬¡À‘¥≈

20

2.4 °“√À“§«“¡‡√Á«®“°°√“ø√–À«à“ߵ̓·Àπàß°—∫‡«≈“

‡√“ “¡“√∂À“§«“¡‡√Á«‡©≈’ˬ·≈–§«“¡‡√Á«¢≥–Àπ÷Ëß®“°°√“ø√–À«à“ߵ̓·Àπàß°—∫‡«≈“‰¥â ‚¥¬∑—Ë«‰ª‡√“

‡¢’¬π°√“ø‚¥¬„Àâ·°ππÕπ‡ªìπ·°π¢Õ߇«≈“·≈–·°πµ—È߇ªìπ·°π¢Õߵ̓·Àπàß ‡√“‡√‘Ë¡®“°°√≥’ßà“¬ Ê °àÕπ

√Ÿª∑’Ë 2.4.1 ‡ªìπ°√“ø¢ÕßÕπÿ¿“§´÷ËßÕ¬Ÿàπ‘Ëßµ≈Õ¥‡«≈“∑’Ë x = +4 m ‡æ√“–‰¡à«à“‡«≈“®–‡ªìπ‡∑à“„¥ Õπÿ¿“§Õ¬Ÿà∑’Ë

µÌ“·Àπàß x = +4 m ‡ ¡Õ °√“ø∑’ˉ¥â‡ªìπ‡ âπµ√ß„π·π«πÕπ §◊Õ‰¡à¡’§«“¡™—π‡≈¬

x

t0

(m)

(s)

√Ÿª∑’Ë 2.4.1 Õπÿ¿“§Õ¬Ÿàπ‘Ëß∑’Ë x = +4 m

√Ÿª∑’Ë 2.4.2 ¢â“ß≈à“ß· ¥ß„Àâ‡ÀÁπ°√“ø¢ÕßÕπÿ¿“§∑’ˇ¥‘¡Õ¬Ÿà∑’˵̓·Àπàß x = +1 m ∑’ˇ«≈“ t = 0 s ·≈–¡’°“√

‡ª≈’ˬπµÌ“·Àπà߇æ‘Ë¡¢÷Èπ„π∑‘»Õâ“ßÕ‘ßÕ¬à“ß ¡ËÌ“‡ ¡Õ¥â«¬Õ—µ√“ 2 m s °√“ø∑’ˉ¥â‡ªìπ°√“ø‡ âπµ√߇æ√“–Õπÿ¿“§

¡’°“√‡ª≈’ˬπµÌ“·ÀπàßÕ¬à“ߧߵ—« „π∑“ß°≈—∫°—π ∂â“¡’§π„Àâ°√“øπ’È¡“ ‡√“ “¡“√∂À“§«“¡‡√Á«®“°°√“ø‰¥â‚¥¬

°“√¥Ÿ«à“Õπÿ¿“§¡’°“√‡ª≈’ˬπµÌ“·Àπà߉ªÕ¬à“߉√

x

t0

(m)

(s)

A

B

√Ÿª∑’Ë 2.4.2

°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë„π·π«µ√ß

ªî¬æß…å ‘∑∏‘§ß ¿“§«‘™“øî ‘° å §≥–«‘∑¬“»“ µ√å ¡À“«‘∑¬“≈—¬¡À‘¥≈

21

°“√À“§«“¡‡√Á«®“°§«“¡™—π¢Õß°√“ø√–À«à“ߵ̓·Àπàß°—∫‡«≈“

‡√“ “¡“√∂À“§«“¡‡√Á«‡©≈’ˬ·≈–§«“¡‡√Á«¢≥–Àπ÷Ëß®“°°√“ø√–À«à“ߵ̓·Àπàß°—∫‡«≈“‰¥â

§«“¡‡√Á«‡©≈’ˬ

√Ÿª∑’Ë 2.4.3 ‡ªìπ°√“ø√–À«à“ߵ̓·Àπàß·≈–‡«≈“¢Õß°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë¢ÕßÕπÿ¿“§Àπ÷Ëß

x

t

√Ÿª∑’Ë 2.4.3 °√“ø√–À«à“ߵ̓·Àπàß·≈–‡«≈“¢ÕßÕπÿ¿“§Àπ÷Ëß

¡¡ÿµ‘«à“‡√“µâÕß°“√À“§«“¡‡√Á«‡©≈’ˬ¢ÕßÕπÿ¿“§√–À«à“߇«≈“ tA ·≈– tB „¥ Ê

‚¥¬π‘¬“¡ ‡√“√Ÿâ«à“ vx x

t tA BB A

B A→ = −

−

„π∑’Ëπ’È xA ·≈– xB §◊յ̓·ÀπàßÕπÿ¿“§∑’ˇ«≈“ tA ·≈– tB µ“¡≈Ì“¥—∫

„Àâ‡√“æ‘®“√≥“§«“¡À¡“¬¢Õߪ√‘¡“≥π’È„π·ßà¡ÿ¡¢Õß°√“ø „π√Ÿª∑’Ë 2.4.4 „Àâ A ·≈– B ‡ªìπ®ÿ¥∫π

‡ âπ‚§âߢÕß°√“ø´÷Ëßµ√ß°—∫‡«≈“ tA ·≈– tB µ“¡≈Ì“¥—∫ ®ÿ¥ A ·≈– B ¡’æ‘°—¥‡ªìπ ( , )t xA A ·≈–

( , )t xB B µ“¡≈Ì“¥—∫ ‡√“≈“°‡ âπµ√߇™◊ËÕ¡√–À«à“ß®ÿ¥ A ·≈– B ·≈– √â“ß “¡‡À≈’ˬ¡¡ÿ¡©“°‚¥¬„À⇠âπµ√ßπ’È

‡ªìπ¥â“πµ√ߢⓡ¡ÿ¡©“°¥—ß√Ÿª∑’Ë 4 ª√‘¡“≥ x xB A− §◊Õ§«“¡ Ÿß„π·π«µ—ÈߢÕß “¡‡À≈’ˬ¡π’È à«π t tB A−

‡ªì𧫓¡¬“«µ“¡·π«πÕπ ‚¥¬π‘¬“¡ Õ—µ√“ à«π¢Õߧ«“¡¬“«µ“¡·π«µ—ÈßµàÕ§«“¡¬“«µ“¡·π«πÕπ x x

t tB A

B A

−−

§◊Õ§«“¡™—π¢Õ߇ âπµ√ß AB π’È ·µà«à“Õ—µ√“ à«ππ’È¡’§à“µ√ß°—∫§«“¡‡√Á«‡©≈’ˬ√–À«à“߇«≈“ tA ·≈– tB ¥—ßπ—Èπ

‡√“ √ÿª‰¥â«à“

§«“¡‡√Á«‡©≈’ˬ√–À«à“߇«≈“ Õ߇«≈“„¥ Ê “¡“√∂À“‰¥â®“°°√“ø√–À«à“ߵ̓·Àπàß°—∫‡«≈“ ‚¥¬°“√

§Ì“π«≥§à“¢Õߧ«“¡™—π¢Õ߇ âπµ√ß∑’Ë≈“°‡™◊ËÕ¡æ‘°—¥¢Õß®ÿ¥∑—Èß Õß

°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë„π·π«µ√ß

ªî¬æß…å ‘∑∏‘§ß ¿“§«‘™“øî ‘° å §≥–«‘∑¬“»“ µ√å ¡À“«‘∑¬“≈—¬¡À‘¥≈

22

x

t

A

B

xB − xA

tB − tA(tA,xA )

(tB, xB )

√Ÿª∑’Ë 2.4.4

§«“¡‡√Á«¢≥–Àπ÷Ëß

„π√Ÿª∑’Ë 2.4.4 ∂Ⓡ√“„À⇫≈“ tB ¡’§à“‡¢â“„°≈⇫≈“ tA ¡“° Ê „π∑’Ë ÿ¥‡ âπµ√ß AB ®–°≈“¬‡ªìπ

‡ âπ —¡º— °—∫‡ âπ‚§âߢÕß°√“ø∑’˵̓·Àπàß A (√Ÿª∑’Ë 2.4.5) ®“°π‘¬“¡∑’Ë«à“§«“¡‡√Á«¢≥–Àπ÷Ëߧ◊Õ§«“¡‡√Á«‡©≈’ˬ„π

™à«ß‡«≈“ —Èπ Ê ∑’Ë¡’§à“‡¢â“À“»Ÿπ¬å ·≈–®“°¢âÕ √ÿª¢â“ß∫π∑’Ë«à“§«“¡‡√Á«‡©≈’ˬ§◊Õ§«“¡™—π¢Õ߇ âπµ√ß∑’ˇ™◊ËÕ¡®ÿ¥∑’Ë

‡«≈“∑—Èß Õß ‡√“ √ÿª‰¥â«à“

§«“¡‡√Á«¢≥–Àπ÷Ëß∑’ˇ«≈“„¥ Ê “¡“√∂À“‰¥â®“°°√“ø√–À«à“ߵ̓·Àπàß°—∫‡«≈“ ‚¥¬°“√§Ì“π«≥§à“

§«“¡™—π¢Õ߇ âπµ√ß∑’Ë≈“° —¡º— °—∫‡ âπ‚§âߢÕß°√“ø∑’ˇ«≈“π—Èπ

x

t

A

B

(tA,xA )

(tB, xB )

√Ÿª∑’Ë 2.4.5

°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë„π·π«µ√ß

ªî¬æß…å ‘∑∏‘§ß ¿“§«‘™“øî ‘° å §≥–«‘∑¬“»“ µ√å ¡À“«‘∑¬“≈—¬¡À‘¥≈

23

2.5 °“√À“°“√°√–®—¥·≈–√–¬–∑“ß®“°§«“¡‡√Á«

‡√“‡√‘Ë¡æ‘®“√≥“®“°µ—«Õ¬à“ß

µ—«Õ¬à“ß 2.3.2„π°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë„π·π«‡ âπµ√߇ âπÀπ÷Ëß Õπÿ¿“§ P ‡§≈◊ËÕπ∑’˺à“π®ÿ¥ O ¥â«¬§«“¡‡√Á«§ß∑’Ë 5 0. m s ‰ª

∑“ߢ«“ 4.0 «‘π“∑’µàÕ¡“ Õπÿ¿“§ Q ‡§≈◊ËÕπ∑’˺à“π®ÿ¥ O ¥â«¬§«“¡‡√Á«§ß∑’Ë 10 m s ‰ª∑“ߢ«“‡™àπ°—π Q

®–‰≈à∑—π P ∑’˵̓·Àπàß„¥®“°®ÿ¥ O ·≈–∑’ˇ«≈“‡∑à“‰√À≈—ß®“°∑’Ë P ºà“π O

«‘∏’§‘¥1. ‡√“µâÕ߇¢â“„®°àÕπ«à“§Ì“∂“¡µâÕß°“√Õ–‰√·≈–¡’‡ß◊ËÕπ‰¢Õ¬à“߉√ ‚®∑¬åµâÕß°“√µÌ“·Àπàß·≈–‡«≈“∑’Ë Q

∑—π P ‡ß◊ËÕπ‰¢π’ÈÀ¡“¬§«“¡«à“ Õπÿ¿“§∑—Èß ÕßÕ¬Ÿà∑’ˇ¥’¬«°—π ∑’ˇ«≈“‡¥’¬«°—π

2. ¢—ÈπµÕπ∑’Ë Ì“§—≠µàÕ‰ª §◊Õ°“√µ—Èß™◊ËÕ·≈– —≠≈—°…≥å‡æ◊ËÕ·∑π ‘Ëß∑’ˇ√“‰¡à√Ÿâ°àÕπ °“√¡’™◊ËÕ‡√’¬°∑Ì“„Àâ‡√“

‡¢’¬π‡ß◊ËÕπ‰¢„π√Ÿª ¡°“√·≈–·∑π‡ªìπª√‘¡“≥æ’™§≥‘µ‰¥â ∑Ì“„Àâ –¥«°„π°“√§Ì“π«≥ ‘Ëß∑’ˇ√“ π„®§◊յ̓·Àπàß

·≈–‡«≈“¢Õß P ·≈– Q „π°“√∫Õ°µÌ“·Àπàß·≈–‡«≈“ ‡√“µâÕ߇≈◊Õ°®ÿ¥Õâ“ßÕ‘ß·≈–∑‘»∫«° ·≈–µâÕß∫Õ°«à“‡√“

‡√‘Ë¡®—∫‡«≈“‡¡◊ËÕ„¥ ‡√“®–‡≈◊Õ°„Àâ O ‡ªìπ®ÿ¥Õâ“ßÕ‘ß „À⇧√◊ËÕßÀ¡“¬∫«°·∑π∑‘»‰ª∑“ߢ«“¡◊Õ ·≈–„Àâ t ‡ªìπ

‡«≈“ ÷ËßÕà“π‰¥â®“°π“Ãî°“∑’ˇ√‘Ë¡®—∫µÕπ∑’Ë P ºà“π O æÕ¥’

‡√“„Àâ x xP Q , ‡ªìπµÌ“·ÀπàߢÕß P ·≈– Q ∑’ˇ«≈“ t µ“¡≈Ì“¥—∫

„Àâ Q ∑—π P ∑’ˇ«≈“ t∑—π ∑’ˇ«≈“π’ȇ√“√Ÿâ«à“

x t x tP Q( ) ( )∑’ˇ«≈“ ∑’ˇ«≈“∑—π ∑—π =

3. ¢—ÈπµàÕ‰ª§◊Õ°“√‚¬ß ‘Ëß∑’ˇ√“µâÕß°“√À“°—∫ ‘Ëß∑’ˇ√“√Ÿâ§à“

µÌ“·ÀπàߢÕß P ∑’ˇ«≈“ t∑—π À“‰¥â®“°µÌ“·Àπà߇¥‘¡∑’ˇ«≈“ t = 0 0. s à«πµÌ“·ÀπàߢÕß Q

À“‰¥â®“°µÌ“·Àπàß∑’ˇ«≈“ t = 4 0. s ‡π◊ËÕß®“°°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë¢Õß∑—Èß P ·≈– Q ‡ªìπ°“√‡§≈◊ËÕπ∑’˥⫬§«“¡‡√Á«

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vx

t= ∆

∆À√◊Õ ∆ ∆x v t=

·µà ∆x x x= −

„À¡Ë ‡°Ë“

¥—ßπ—Èπ x x x x v t x v t t„À¡Ë ‡°Ë“ ‡°Ë“ ‡°Ë“ ‡°Ë“ ‡°Ë“

= + = + = + −∆ ∆ ( )

Ì“À√—∫ P ‡√“‰¥â«à“ x t x t tP P s m s s( ) ( . ) ( . ) ( . )∑’ˇ«≈“ ∑’ˇ«≈“∑—π ∑—π = = + × −0 0 5 0 0 0

à«π Q ‡√“®–‰¥â«à“ x t x t tQ Q s m s s( ) ( . ) ( ) ( . )∑’ˇ«≈“ ∑’ˇ«≈“∑—π ∑—π = = + × −4 0 10 4 0

°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë„π·π«µ√ß

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24

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25

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26

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52+ δ , ..., t n t0

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27

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212

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212

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2

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2

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28

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√Ÿª∑’Ë 2.7.1 ‡ªìπ°√“ø√–À«à“ߧ«“¡‡√Á«°—∫‡«≈“¢Õß°“√‡§≈◊ËÕπ∑’˥⫬§«“¡‡√Á«§ßµ—« v0 „π∑‘»‡¥’¬«°—∫

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√Ÿª∑’Ë 2.7.2 · ¥ß„Àâ‡ÀÁπ°√“ø°“√‡§≈◊ËÕπ∑’˥⫬§«“¡‡√Á«§ß∑’Ë„π∑‘»µ√ߢⓡ°—∫∑‘»Õâ“ßÕ‘ß „π°√≥’π’È

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29

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30

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31

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32

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33

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