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A
B
C
D
E
En la figura, ACB=EDB.a) Prueba que ΔABC ΔEDB AC=10 cm , AB=24 cm y EB=15 cm, calcula la longitud de ED
Tiempo para copiar
10 c
m
15 cm
24 cm
.
b) Si
A
B
C
D
Ea) Prueba que ΔABC ΔEDB
.
En la figura, ACB=EDB.
En los triángulos ABC y EDB
ACB=EDB (dato)
B (común)
ΔABC ΔEDBTienen dos ángulos
respectivamenteiguales (a,a)
A
B
C
D
E ΔABC ΔEDB
10 c
m15 cm
24 cm
.
?
= =AB AC CBEB ED DB
= = CBED DB
2415
10Lados proporcionales
ED = 15·1024
5
8
ED = 6,25 cmED =0,625·10
En la figura, AC bisectriz del DAB.
A
BC
DE
Estudio independiente
ΔACB rectángulo en C y DE CB.
a) Demuestra que ΔABC ΔADE
b) Prueba que
BC·AE=DE·AC
Tiempo para copiar
.
En la figura, ABCD es un rectángulo y DB es una diagonal con CE DB.
b) Si EC=12 cm y EB=5,0 cm ,
A B
CD
ETiempo
para copiar
a) Prueba que ΔABDΔCBE.
calcula el área del rectángulo.
.
A B
CD
E.
a) ΔABDrectángulo
en A (ABCD
rectángulo)ΔCBE
rectánguloen E
(CE DB dato)
DAB=CEB
ADB=EBC(alternos entre lossegmentos BC ADdel rectángulo y la
diagonal DB)
ΔABDΔCBETienen dos ángulos
respectivamente iguales (a,a)
·A
B
E C
D
O
En la figura A, B, C y D son puntos de la circunferencia de centro O .DB es diámetro y AC BE .
a) Demuestra que ΔBCD ΔABEb) Demuestra que AB·BC = BD·BE
.
Tiempo para copiar
·A
B
E C
D
O
ΔBDCrectángulo en C(BCD inscrito
sobre el diámetro)ΔAEB
rectángulo en E(dato AC BE )A =D
(inscritos sobre el mismo arco BC)
ΔBDC ΔAEB
Triángulosrectánguloscon un ánguloagudo igual.
.(a,a)
·A
B
E C
D
O
ΔBDC ΔAEB
= =BD BC DCBEAB AE
AB·BC = BD·BEentonces:
AB·BC = BD·BE
Demuestra que:.
(lados proporcionales)
Comprueba que el perímetro del círculo mide 173,45 cm si:AB=29 cm, AE=20 cm y BC=40 cm
ESTUDIO INDIVIDUAL
Teorema de la bisectrizLa bisectriz de un ángulo en un
triángulo cualquiera, divide al ladoopuesto en dos segmentos
proporcionales a los otros dos lados del triángulo.
B
A
C
P
a
bm
n m=n
ab
CP bisectriz del BCA
.
B
A
C
P
a
bm
n
Q
AQ PC1
2
3
4b
1=2 (bisectriz)
CP bisectriz del BCA
2=3 (alternos entre4=1 (corresp. entre
4=3 (propiedad
CQ prolon-gación de BC
AQ PC)
AQ PC)
transitiva)ΔAQCisósceles
de base AQ
CQ=ba
=bm n
Teorema
transversalesde las
.
Estudio individual
18 cm
x+8
x6,0cm
A B
C
P
En el triángulo ABC, CP es la bisectriz del C .
Comprueba que AB=10 cm
.
a) Prueba que ABD ~ DFE.b) Halla el área del DFE.
A B
D CE
F
ABCD es un rectángulo de área A = 9,6 dm2. E y F son puntos medios de los lados DC y DA respectivamente.
Ejercicio 1
A B
D CE
F
Solución del ejercicio 1
DEDEDCDC
DFDFDADA
=
BAD = EDFBAD = EDF(justificar)(justificar)
Entonces, ABD ~ DFE por tener dos lados respectivamente proporcionales e igual el ángulo comprendido entre ellos.
Entonces, ABD ~ DFE por tener dos lados respectivamente proporcionales e igual el ángulo comprendido entre ellos.
==1212
En los triángulos DFE y ABD tenemos:En los triángulos DFE y ABD tenemos:
A B
D CE
F
Solución del ejercicio 1
DEDEDCDC
DFDFDADA
= ==1212
AEDF = k2AABDAEDF = k2AABD
AABCD = Y = 9,6 dm2AABCD = Y = 9,6 dm2
AEDF =1,2 dm2AEDF =1,2 dm2
1212
AABD = Y AABD = Y 1212
= ( )2 Y = ( )2 Y 1212
1212
= = 9,6 dm2
9,6 dm2
1212
BB
CC
DDAA
EEPrueba que:
a)ABC EBD.
AADC
ADBC
AD
DB=c)
b)BD es bisectriz del EBC.
En el ABC, CD es la
bisectriz del BCA.BCA = BDE y el AED es isósceles de base AE.
B
C
DA
E
BCA = BDE BCA = BDE
(por dato)(por dato)
ACAC
CBCB
ADAD
DBDB==
ACAC
CBCB
DEDE
DBDB==
AD = DE ( AED isósceles de base AE) AD = DE ( AED isósceles de base AE)
ACAC
DEDE
CBCB
DBDB==
(por ser CD bisectriz del BCA)
entonces, ACAC
CBCB
DEDE
DBDB==
(1)(1)
(2)(2)
BCA = BDE BCA = BDE (1)(1)
ACAC
DEDE
CBCB
DBDB== (2)(2)
Entonces, ABC EBD por tener dos lados respectivamente propor- cionales e igual el ángulo compren- dido entre ellos.
Entonces, ABC EBD por tener dos lados respectivamente propor- cionales e igual el ángulo compren- dido entre ellos.
B
C
DA
E
En la figura:ABCD es un cuadradode 10 cm de lado y E es el punto medio del lado BC. AFDE .
b) Prueba que ADF ~ DEC
Calcula el área del AFE c)
a) Prueba que ABE = DEC
D C
BA
E
F
.
D C
BA
E
F 10
5
5
ΔDEC rectánguloen C
a)
ΔABE rectánguloen B
(ABCD cuadrado)
DCE=ABE=90o
CE=EB(E punto medio de BC)
AB=DC(ABCD cuadrado)
ΔDEC=ΔABE
AΔDEC
DC·CE2= =10·5
2=25 cm2
25
25
.
dos lados y
(tienen resp.
el ángulo comprendido)
iguales
D C
BA
E
F b) ΔDEC rectángulo
en C
ΔDAF rectánguloen F
(ABCD cuadrado)
(dato AF DE )
DCE=DFA=90o
ADF=DEC
AD BC(alternos entre
del cuadrado)
ΔDAF ΔDEC(tienen dos ángulos
iguales resp.)(a,a)
25
=K ADDE
=DE
10
10 ?
.
10
5A
D C
BA
E
F ΔDAF ΔDEC25
10
DE=K AD
DE= 10 ?
.
10
5DE2=DC2+CE2
Teorema de Pitágoras
c)
DE= 2+ 210 5 =100+25
=125 = 53
55
=55DE
=52·5
5= 2
5·5 25
5=
255K=
A
K1K0,896A =
DAFK ·
2 A DEC
Estudio individual.
A B
C
D
E
En el dibujo:CA es bisectriz del DCB ΔABC y ΔDEC isósceles
respectivamente.de bases AB y DE
DC=6,0 cm AE=2,0 cm
A =16 cm2
ΔABCCalcula el áreadel ΔDEC .
9,0
cm2
D C
BA
E
F ΔDAF ΔDEC25
.
10
5c)
255K=
AA =DAF
K ·2 A
DEC10
A =DAF
255
2·25
4·525
= ·25
A =DAF
20 cm2
AABCD
=AD2 =102
AABCD
=100 cm2
20
25
30
A =AFE
30 cm2
D C
BA
E
F
10
10
2030
50
.
Otra vía para
calcular el área
del ΔAFE.
Demostrar que:
"Si AB y CD son dos rectas secantes a una circunferencia desde un punto exterior E, entonces EB EA = EC ED“.
"Si AB y CD son dos rectas secantes a una circunferencia desde un punto exterior E, entonces EB EA = EC ED“.(A, B, C y D son puntos de la circunferencia)(A, B, C y D son puntos de la circunferencia)
BA
CD
O E
DemostraciónDemostración
En los triángulos EDB y ECA tenemos:
Trazamos las cuerdas AC y DB.
E es común.E es común.
EAC =EDB por inscritos sobre el mismo arco BC.EAC =EDB por inscritos sobre el mismo arco BC.
BA
CD
O E
DemostraciónDemostración E es común.E es común.
EAC =EDB EAC =EDB
BA
CD
O E Entonces: EDB ECA(Por tener dos ángulos
respectivamente iguales)
EB
EC
ED
EA
BD
CA= =
(Proporcionalidad entre los lados homólogos en triángulos semejantes)
Luego:
DemostraciónDemostración
BA
CD
O E
EB
EC
ED
EA
BD
CA= =
Y aplicando la propiedad fundamental de las proporciones se tiene:
EB EA = EC EDEB EA = EC ED(que es lo que se quería demostrar)
Demostrar que:
"Si la recta AB es secante y EC tangente a una circunferencia desde un punto exterior E,
entonces EB EA = EC2 ".
"Si la recta AB es secante y EC tangente a una circunferencia desde un punto exterior E,
entonces EB EA = EC2 ".(A, B y C son puntos de la circunferencia)(A, B y C son puntos de la circunferencia)
BA
C
O
E
Demostrar que:
"Si AB y CD son dos cuerdas que se cortan en un punto E exterior a una circunferencia, entonces
"Si AB y CD son dos cuerdas que se cortan en un punto E exterior a una circunferencia, entonces
(A, B, C y D son puntos de la circunferencia)(A, B, C y D son puntos de la circunferencia)
B
A
D
C
O
E
EB EA = EC ED".EB EA = EC ED".
DemostraciónDemostración
En los triángulos ACE y BDE tenemos:
Trazamos las cuerdas AC y BD.
CEA =DEB (opuestos por el vértice)CEA =DEB (opuestos por el vértice)
EAC =BDE por inscritos sobre el mismo arco BC.EAC =BDE por inscritos sobre el mismo arco BC.
B
A
D
C
EO
DemostraciónDemostración CEA =DEBCEA =DEB
EAC =BDEEAC =BDEEntonces: BDE ACE(Por tener dos ángulos
respectivamente iguales)
EB
EC
ED
EA
BD
CA= =
(Proporcionalidad entre los lados homólogos en triángulos semejantes)
Luego:
B
A
D
C
EO
DemostraciónDemostración
EB
EC
ED
EA
BD
CA= =
Y aplicando la propiedad fundamental de las proporciones se tiene:
EB EA = EC EDEB EA = EC ED(que es lo que se quería demostrar)
B
A
D
C
EO